Aula-7-Circuitos-CC-Lei-de-Kirchhoff-e-Associações-Mistas-de-Resistores - 2014.1

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Graduação em Engenharia Civil 
ELETROTÉCNICA (ENE078) 
PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
E-mail: ricardo.henriques@ufjf.edu.br 
 
Aula Número: 07 
UNIVERSIDADE FEDERAL 
DE JUIZ DE FORA 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 07 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
Revisão Aula Anterior... 
• Revisão da aula 6 
 Associação de resistores em série 
 
 Associação de resistores em paralelo: 
 
 Cálculo do divisor de tensão 
 Ligação em série 
 Cálculo do divisor de corrente 
 Ligação em paralelo 
 Associação de fontes de tensão em série 
 Associação de fontes de corrente em paralelo 
2 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
 
• São aquelas que contêm resistores associados em série, em paralelo e/ou 
de modo diverso: 
 
3 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
 
• Para determinar o resistor equivalente nesse tipo de associação deve-se 
fazer o seguinte: 
 
• identificar os resistores que estejam de fato associados em série: 
4 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
 
• identificar os resistores que estejam de fato associados em paralelo: 
5 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
 
• determinar os resistores equivalentes das associações em série e em 
paralelo e redesenhar o circuito, substituindo as associações por seus 
respectivos resistores equivalentes; ao redesenhar, o circuito será 
simplificado e surgirão novas associações em série e/ou em paralelo: 
6 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
 
• repetir os passos anteriores até sobrar um único resistor, que será o 
resistor equivalente do circuito. 
7 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• Definição de circuito elétrico: Consiste em um número qualquer de 
elementos unidos por seus terminais, estabelecendo pelo menos um 
caminho fechado através do qual a corrente possa fluir. 
8 
R
V C
L
I
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• São o resultado de um trabalho desenvolvido por Gustav Kirchhoff, que 
facilita o cálculo dos circuitos elétricos. 
 
• Conceitos: 
 Nó: é qualquer ponto do circuito onde concorrem três ou mais condutores. 
9 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Conceitos: 
 Nó: é qualquer ponto do circuito onde concorrem três ou mais condutores. 
 VERMELHO: nó 
 CINZA: conexão entre resistores em série 
10 
 C1 
Nó 2 
 C7 
Nó 6 
Nó 1 
Nó 3 
Nó 3 
 C1 
Nó 2 
C4 
C3 
C2 C5 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Ramo: é qualquer trecho do circuito compreendido entre dois nós 
consecutivos. Qualquer parte de um circuito elétrico composto por um ou 
mais elementos ligados em série (“cascata”). 
11 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Malha: é qualquer circuito fechado, formado por ramos. 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• CIRCUITOS ELÉTRICOS (LEI DE KIRCHHOFF) 
 
• Apresentação: O efeito de interligação de diferentes elementos de circuito 
pode ser descrito por duas leis propostas por Gustav Kirchhoff (1824-
1887), um físico alemão. 
13 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• A 1.ª Lei de Kirchhoff ou Lei dos nós diz que: 
 
• A soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual à soma 
algébrica das correntes que saem deste nó. 
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I1 + I2 = I3 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• A corrente convencional, partindo da fonte e se dividindo pelos nós, 
polariza com sinal positivo o “lado” do resistor por onde ela entra. Dessa 
maneira, estabelecem-se as polaridades das tensões nos resistores: 
15 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Convenções: Como a primeira Lei de Kirchhoff estabelece um somatório 
algébrico nulo para as correntes em um nó do circuito. Iremos definir o 
seguinte critério arbitrário para resolver os problemas 
 
16 
1) As correntes que entram em um nó serão ditas positivas e as 
correntes que saem negativas 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Exemplo 1: Calcule a corrente através do resistor R3, sabendo que a fonte 
de tensão fornece uma corrente de 3A. 
 
17 
Resposta: I = 6A 
R
2
R
3
R
1
10V 5A
3A 2A I =?
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Exemplo 1: Calcule a corrente através do resistor R3, sabendo que a fonte 
de tensão fornece uma corrente de 3A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Nó: 3 + 5 – 2 + I = 0 → I = 6A 
 
18 
Resposta: I = 6A 
R
2
R
3
R
1
10V 5A
3A 2A I =?
Nó 1 
Nó 2 
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120 A 30 A1/30Ω 1/15ΩV
I
1
I
2
Nó 1 
Nó 2 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Exemplo 2: Determine a corrente e a tensão de cada elemento no circuito 
da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
• 120 – I1 – 30 – I2 = 0 
• I1 + I2 = 90 
• Aplicando um divisor de corrente 
• I1=(1/45)*90/(1/30)=60 
• I2=(1/45)*90/(1/15)=30 
Resposta: V = 2V, I1 = 60A e I2 = 30A 
CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
19 
120 A 30 A1/30Ω 1/15ΩV
I
1
I
2
Nó 1 
Nó 2 
90A 
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120 A 30 A1/30Ω 1/15ΩV
I
1
I
2
120 A 30 A1/30Ω 1/15ΩV
I
1
I
2
Nó 1 
Nó 2 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Exemplo 2: Determine a corrente e a tensão de cada elemento no circuito 
da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
• 120 – I1 – 30 – I2 = 0 
• I1 + I2 = 90 
• Calculando Req: 
• 1/Req=[1/(1/30)]+[1/(1/15)] 
• Req=1/45 
• V=Req x I=90/45=2V 
CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
20 
Nó 1 
Nó 2 
90A 
• I1=V/(1/30)=30xV=60A 
• I2=V/(1/15)=15xV=30A 
 
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CIRCUITOS CC: ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES 
• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• A 2.ª Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas diz: 
 
• Percorrendo-se uma malha, num mesmo sentido, a soma das tensõesnos elementos de circuito encontrados é igual a zero. 
 
• Para aplicar a 2a Lei de Kirchhoff, considera-se, para cada tensão, o 
primeiro sinal encontrado no sentido do percurso. Para cada malha, o 
sentido do percurso é arbitrado. 
21 
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• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• A 2.ª Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas diz: 
 
• Percorrendo-se uma malha, num mesmo sentido, a soma das tensões 
nos elementos de circuito encontrados é igual a zero. 
 
• Convenções: Como a segunda Lei de Kirchhoff estabelece um somatório 
algébrico nulo as tensões em um caminho fechado (laço/malha). Iremos 
definir o seguinte critério arbitrário para resolver os problemas. 
 
22 
2) As tensões em elementos passivos (resistores, capacitores, indutores) 
serão dadas em sentido oposto ao da corrente percorrendo o elemento. 
3) As tensões em elementos ativos (fontes de tensão) serão negativas se 
a tensão da fonte estiver a favor do sentido de percurso do circuito. 
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• LEIS DE KIRCHHOFF 
• Para aplicar a 2a Lei de Kirchhoff, considera-se, para cada tensão, o 
primeiro sinal encontrado no sentido do percurso. Para cada malha, o 
sentido do percurso é arbitrado. 
23 
–V + V1 + V3 + V2 = 0 
V = V1 + V3 + V2 
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• LEIS DE KIRCHHOFF 
• Para aplicar a 2a Lei de Kirchhoff, considera-se, para cada tensão, o 
primeiro sinal encontrado no sentido do percurso. Para cada malha, o 
sentido do percurso é arbitrado. 
24 
 –V3 + V4 + V5 + V6 = 0 
V3 = V4 + V5 + V6 
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• LEIS DE KIRCHHOFF 
• Para aplicar a 2a Lei de Kirchhoff, considera-se, para cada tensão, o 
primeiro sinal encontrado no sentido do percurso. Para cada malha, o 
sentido do percurso é arbitrado. 
25 
– V + V1 + V4 + V5 + V6 + V2 = 0 
V = V1 + V4 + V5 + V6 + V2 
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• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Exemplo 3: Determine as tensões V1 e V2 nos resistores do circuito a 
seguir. 
 
26 
30Ω10Ω
120V
V1 V2
100V
Resposta:V1 = 5V e V2 = 15V 
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• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• Exemplo 3: Determine as tensões V1 e V2 nos resistores do circuito a 
seguir. 
 
27 
30Ω10Ω
120V
V1 V2
100V
-120 + V1 + V2 + 100 = 0 
V1 + V2 = 20 
 
Divisor de tensão: 
Req = 10 + 30 = 40Ω 
V1 = (10/40)*20=5V 
V2 = (30/40)*20=15V 
ou... 
I = 20/Req = 0,5A 
V1 = 10 x 0,5 = 5V 
V2 = 30 x 0,5 = 15V 
Resposta:V1 = 5V e V2 = 15V 
Sentido de Percurso 
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• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
• A resolução de circuitos elétricos contendo associações mistas de 
resistores não tem uma regra-padrão. Geralmente, há mais de uma 
maneira de visualizar o problema e encontrar a solução. A experiência é 
obtida com a prática. A seguinte sequência de etapas é sugerida, para 
resolver os circuitos de modo racional: 
 
1. enumerar de modo organizado as grandezas conhecidas e aquelas a 
serem calculadas; 
 
2. identificar os nós e as malhas do circuito; 
 
3. atribuir a cada ramo do circuito o sentido para as correntes e a polaridade 
das tensões nos resistores; 
28 
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• LEIS DE KIRCHHOFF 
 
4. escrever as equações de corrente para cada nó e as de tensões para cada 
malha, de acordo com as leis de Kirchhoff; 
 
5. utilizar, sempre que possível, as propriedades das associações série e 
paralelo e a Lei de Ohm, para determinar tensões e correntes 
desconhecidas; 
 
6. escolher as equações convenientes dentre aquelas obtidas na 4a etapa; 
cada equação só permite determinar uma incógnita, não sendo útil aquela 
que, após a substituição dos valores conhecidos, apresentar mais de um 
termo a ser determinado. 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
• No circuito abaixo: a) determinar a polaridade das tensões nos resistores; 
b) escrever as equações das tensões em todas as malhas; c) obter as 
tensões e as correntes em todos os resistores. 
30 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
• Solução: 
a) A corrente parte da fonte e percorre o circuito, se dividindo pelos resistores 
e polarizando-os como se vê: 
 
 
31 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
• Solução: 
a) Continuação... 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações das correntes nos nós: 
 nó b: I1 = I2 + I3 
 nó e: I2 + I4 = I1 32 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
• Solução: 
b) As equações das tensões nas malhas: 
malha a-b-e-f-a: V = V1 + V2 
malha a-b-c-d-e-f-a: V = V1 + V3 + V4 
malha b-c-d-e-b: V2 = V3 + V4 
33 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
• Solução: 
 
c) Quando há resistores em série com a fonte, a corrente que percorre este resistor, 
neste caso, R1, é a mesma que sai da fonte. 
 
• Para determinar a corrente fornecida pela fonte, deve ser conhecido o resistor 
equivalente do circuito: 
34 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
• Solução: 
 a corrente fornecida pela fonte: 
36 
 Conseqüentemente: 
 I1 = 0,5 A 
 V1 = R1 · I1 
 V1 = 10 · 0,5 = 5 V 
 A equação da malha a-b-e-f-a: 
 V = V1 + V2 
 10 = 5 + V2 
 V2 = 5 V 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
• Solução: 
 A corrente no resistor R2 é obtida pela Lei de Ohm: 
 
 
 
 
 
 
 
 A equação da corrente no nó b: 
 0,5 = 0,25 + I3 
 I3 = 0,25 A 
 
37 
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• EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
• Solução: 
 
• Com R3 em série com R4 
 I4 = 0,25 A 
 
• E pela lei de Ohm: 
 V3 = R3 · I3 
 V3 = 15 · 0,25 = 3,75 V 
 
 V4 = R4 · I4 
 V4 = 5 · 0,25 = 1,25 V 
38 
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• EXEMPLO 1 
1. Determine V2 usando a Lei de Kirchhoff para tensões 
2. Determine a corrente I 
3. Determine R1 e R3 
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• EXEMPLO 1 
1. Determine V2 usando a Lei de Kirchhoff para tensões 
 
Percorrendo a malha no sentido horário: 
 
 
 
 
No sentido anti-horário: 
 
 
 
 
40 
 
3 2 1
2 3 1
0
54 15 18 21
E V V V
V E V V V
    
      
 
1 2 3
2 1 3
0
54 15 18 21
E V V V
V E V V V
   
      
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• EXEMPLO 1 
2. Determine a corrente I 
 
 
 
 
3. Determine R1 e R3 
41 
 2
2
21
3
7
V
I A
R
  
 
 
1
1
3
3
18
6
3
15
5
3
V
R
I
V
R
I
   
   
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• EXEMPLO 2 
 Determine a corrente I e a tensão entre os terminais do resistor de 7 [] 
42 
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• EXEMPLO 2 
 
Percorrendo a malha no sentido horário: 
 
 
 
 
 
A queda de tensão no resistor de 7 [] é dada por: 
43 
 
1 1 2 2 3
0
50 4 12,5 7 4 0
15 37,5 2,5
E V E V V
I I I
I I A
    
    
  
 2 2 7 2,5 17,5V R I V   
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• EXEMPLO 3 
• Calcule as correntes I1, I3, I4 e I5 
 
 
 
• Resolvendo para o nó a: 
 
• Para os nós b e c, respectivamente: 
 
 
 
• Por fim, para o nó d: 
44 
 1 2 1 5 4 1I I I I A     
 
 
1 3 3
2 4 4
1
4
I I I A
I I I A
  
  
 3 4 5 5 1 4 5I I I I A     
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• Alguma dúvida? 
 
 E-mail: ricardo.henriques@ufjf.edu.br 
 Sala: 4272, ao lado do R.U. 
 Horário preferencial: 2ª e 4ª Feira pela manhã 
45