Ecaderno apostila de analise combinatoria e probabilidade matematica

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Sumário
 
Capítulo 1 – Sistemas Lineares …............................................................................................................. 02
 
Teoria .......................................................................................................................................................... 02
I. Equação linear …...................................................................................................................................... 02
II. Sistema linear .….................................................................................................................................... 02
III. Classificação de um sistema linear …..................................................................................................... 02
IV. Métodos de resolução de sistemas lineares …...................................................................................... 03
Sessão Leitura ............................................................................................................................................ 04
Fixação ….................................................................................................................................................... 05
Pintou no ENEM .......................................................................................................................................... 06
Capítulo 2 – Polinômios …......................................................................................................................... 07
 
Teoria ............................................................................................................................................................ 07 
I. Expansão polinomial de um número ….................................................................................................... 08
II. Identidade de polinômios …..................................................................................................................... 08
III. Operações com polinômios …................................................................................................................. 08
IV. Divisão de um polinômio por um binômio do 1° grau …......................................................................... 09
V. Equação Polinomial …............................................................................................................................. 10
1)Teorema Fundamental da Álgebra …................................................................................................... 10
2)Teorema da Decomposição ….............................................................................................................. 10
VI. Raízes: …................................................................................................................................................ 11
1) Número de Raízes de uma equação Polinomial ….............................................................................. 11
2) Raízes Racionais …............................................................................................................................. 11
VII. Relações de Girard em equações do 2º e 3º …..................................................................................... 11
Sessão Leitura .............................................................................................................................................. 12
Fixação …..................................................................................................................................................... 13
Puntou no ENEM …...................................................................................................................................... 14
 
Capítulo 3 – Análise Combinatória …...................................................................................................... 15
 
Teoria ............................................................................................................................................................ 15
I. Princípio fundamental da contagem …...................................................................................................... 15
II. Fatorial ….................................................................................................................................................. 16
III.Tipos de agrupamento …........................................................................................................................... 16
1) Arranjos simples ….............................................................................................................................. 16
2) Permutação simples …........................................................................................................................ 17
3) Permutação com elementos repetidos …............................................................................................ 17
4) Combinação simples …....................................................................................................................... 17
IV. Binômio de Newton …............................................................................................................................. 18
Sessão Leitura .............................................................................................................................................. 19
Fixação …..................................................................................................................................................... 20
Pintou no ENEM …........................................................................................................................................ 21
 
Capítulo 4 – Probabilidade ….................................................................................................................... 23
 
Teoria ............................................................................................................................................................ 23
I. Conceito e definição de probabilidade ….................................................................................................. 23
II. Adição de probabilidades …..................................................................................................................... 23
III. Probabilidade condicional …................................................................................................................... 24
IV. Multiplicação de probabilidades ….......................................................................................................... 24
Sessão Leitura ….......................................................................................................................................... 25
Fixação …..................................................................................................................................................... 26
Pintou no ENEM …........................................................................................................................................ 28
Referências....................................................................................................................................................30
Matemática
Professor Responsável: Jéssica Toschi
Coordenação: Letícia Couto Bicalho 
Análise Combinatória e Probabilidade
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Capítulo 3 – Análise Combinatória
TeoriaI. Princípio Fundamental da Contagem
Contar não é uma tarefa tão fácil como parece. Contar unidades uma a uma não é um processo viável em 
muitas situações, como, por exemplo, determinar o número de pessoas presentes em grandes eventos, o 
número de grãos de areia de uma praia e o número de moléculas de determinada substância. Por isso, 
foram desenvolvidos métodos de cálculo para serem aplicados em situações semelhantes às 
exemplificadas anteriormente. O princípio fundamental da contagem é um desses métodos.
Observe a seguinte situação: 
Júlia não gosta de repetir exatamente a mesma roupa para ir nas aulas de seu curso pré-vestibular, mas 
não se importa em usar as mesmas peças em diferentes combinações. Sabendo que ela possui 2 sapatos, 
2 calças e 4 blusas, quantos dias Júlia poderá ir nas aulas sem repetir a mesma combinação de peças, se 
ela não comprar roupas novas neste período?
• Primeiro, vamos listar todas as possibilidades através da chamada matriz de possibilidades: 
chamaremos os dois sapatos de S1 e S2, as duas calças de C1 e C2 e as quatro blusas de B1, B2, B3 e 
B4. Assim, temos:
(S1, C1, B1); (S1, C1, B2); (S1, C1, B3); (S1, C1, B4)
(S1, C2, B1); (S1, C2, B2); (S1, C2, B3); (S1, C2, B4)
(S2, C1, B1); (S2, C1, B2); (S2, C1, B3); (S2, C1, B4)
(S2, C2, B1); (S2, C2, B2); (S2, C2, B3); (S2, C2, B4)
Total = 16 possibilidades = 16 dias com roupas diferentes
• Como percebemos, usando a matriz de possibilidades, se o número de cada peça de vestuário 
fosse maior, demoraria e daria muito trabalho para descobrir o quantas diferentes possibilidades Júlia teria 
para se vestir. O princípio fundamental da contagem nos ajuda a chegar ao resultado com uma operação 
matemática simples e rápida, mesmo para eventos com grande quantidade de possibilidades.
Princípio Fundamental da Contagem: se os experimentos E1, E2, E3, …, Ek, apresentam n1, n2, n3, …, 
nk resultados distintos, então o experimento composto por E1, E2, E3, …, Ek, apresenta um total de 
resultados distintos, dado por: 
n1·n2·n3·...·nk
• No exemplo da vestimenta de Júlia, teríamos: 2·2·4 = 16 possibilidades distintas.
Exemplos:
1) Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8, e 9?
5·5·5 = 125
2) Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8, 
e 9?
5·4·3 = 60
3) Qual é a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 3.000 que podemos representar 
utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 8, de modo que não figurem algarismos repetidos?
(4·5·4) + (2·5·4·3) = 80 + 120 = 200 números
16
II. Fatorial
Durante o estudo de análise combinatória, nos deparamos com multiplicações de números naturais 
consecutivos, como, por exemplo, 11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1. Esta é uma multiplicação possível de ser feita 
mesmo sem o auxilio de calculadoras, porém demanda bastante tempo fazê-lo desta maneira.
Para facilitar operações desse tipo, podemos lançar mão da notação n! (lê-se: “fatorial de n”) para indicar o 
produto dos números naturais consecutivos n, (n-1), (n-2),...,1.
Exemplos: 
a) 5! = 5·4·3·2·1 = 120
b) 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040
Propriedade fundamental dos fatoriais: n! = n·(n-1)
Exemplo: 9! = 9·8·7·6!
Observações: 1! = 1 e 0! = 1
III. Tipos de Agrupamentos
• Arranjos: são agrupamentos em que alterações na ordem dos elementos fornecem um resultado 
diferente, ou seja, a ordem dos elementos tem importância. 
Por exemplo, com as letras da palavra LATA, podemos formar, também, a palavra TALA, para isso basta 
alterar a ordem dos elementos.
• Combinações: são agrupamentos em que alterações na ordem dos elementos não mudam o 
resultado, ou seja, a ordem dos elementos não tem importância. 
Por exemplo, se um treinador de um time de futebol tem 22 jogadores e deseja dividi-los em dois times para 
um treino, ele pode fazer duas combinações, na qual cada time teria 11 jogares. Se trataria de uma 
combinação porque a ordem da escolha dos jogadores não faz diferença dentro de seu time.
• Além da divisão dos agrupamentos em arranjos e combinações, podemos ainda classificá-los como 
simples ou compostos. Os agrupamentos simples são aqueles que não possuem nenhum elemento repetido 
e os compostos apresentam pelo menos um elemento repetido.
• Diferenciando arranjo e combinação: Quando nos deparamos com um problema de análise 
combinatória, é muito comum ficarmos na dúvida se é um caso de arranjo ou combinação. 
Para identificar em qual das duas situações o problema se enquadra, devemos construir um dos 
agrupamentos sugeridos pelo problema e, em seguida, mudamos a ordem de seus elementos. Se 
obtivermos um agrupamento diferente do original, será um arranjo, mas se obtivermos um agrupamento 
igual ao original, será uma combinação. 
1) Arranjo Simples:
Usamos a notação “An,p”, lê-se arranjo simples de n elementos tomados p a p, quando temos um arranjo 
de n possibilidades para cada elemento p do arranjo, sendo que p ≤ n.
1º elemento 2º elemento 3º elemento ... pº elemento
n n-1 n-2 n– (p – 1)
An,p = n·(n – 1)·(n – 2)·(n – 3)·...·(n – p + 1)
Exemplo: 
Quantas sequências de três letras distintas podem ser formadas usando as letras a, b, c, d, e, f, g e h?
• Temos 8 possibilidades, a, b, c, d, e, f, g e h, então n = 8.
• Para sequência de três letras, temos 3 elementos no arranjo, então p = 3.
• Cálculo: A8,3 = 8·7·6 = 336
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2) Permutação Simples:
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a 
permutação à noção de misturar. Permutação simples de um conjunto de n elementos (Pn) é qualquer 
sequência de elementos distintos formada por todos os elementos disponíveis. 
Seu cálculo é dado por: Pn = n!
Exemplo:
Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ANEL?
 
• Há quatro possibilidades para a primeira posição, três para a segunda, duas para a terceira e uma 
para a quarta posição.
• Pelo princípio fundamental da contagem, temos 4·3·2·1 = 4! = 24
• Podemos formar 24 anagramas com a palavra ANEL.
3) Permutação com elementos repetidos:
Quantos anagramas podemos formar com a palavra INFINITO?
Se as oito letras que compõem essa palavra fossem distintas entre si, bastaria fazer 8! que teríamos a 
resposta. Porém, ao permutar letras iguais, a palavra não se altera; por isso, concluímos que o número de 
anagramas é menor que 8!.
Para fazer o cálculo correto do número de anagramas, devemos desconsiderar as palavras repetidas que 
se formarão devido à presença de letras repetidas. Para tanto, usamos a expressão:
Exemplo: I N F I N I T O
• Temos oito letras no total;
• A letra i aparece três vezes e a letra N aparece duas vezes;
• A repetição das letras i e N não produzirão novos anagramas, então devemos excluí-las;
• Para excluir os anagramas repetidos, devemos dividir n! pelo produto do fatorial do número de 
repetições das letras que aparecem mais de uma vez, ou seja:
4) Combinação Simples:
Nos problemas de contagem, o conceito de combinação está associado à noção de escolher subconjuntos.
Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, vamos formar todos os subconjuntos de A com três elementos:
{a,b,c} {a,b,d} {a,c,b} {b,c,d}
Observe, baseado na definição de conjuntos, que:
• {a,b,c} ≠ {a,b,d}, os conjuntos se diferenciam pela natureza dos elementos;
• {a,c,b} = {a,b,c}, já que apenas a ordem dos elementos mudou e isso não altera o conjunto;
• Obs.: se fossem arranjos, teríamos quatro agrupamentos diferentes,pois a mudança na ordem dos 
elementos formaria arranjos diferentes.
• Isto posto, percebemos que para determinar o número de combinações possíveis, devemos eliminar 
os agrupamentos que não são considerados conjuntos, já que seus elementos diferem apenas pela ordem. 
Se não for feita a exclusão desses agrupamentos, eles serão contados duas ou mais vezes, gerando um 
número falso de combinações possíveis para aquele conjunto. 
18
Cada combinação de n elementos tomados p a p correspondem a p! arranjos, que são obtidos permutando 
os elementos da combinação, ou seja:
O número de combinações possíveis para um conjunto de n elementos tomados p a p é dado por:
Exemplo: De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo à sua 
disposição 12 atletas que jogam em qualquer posição e sabendo que um time de basquete tem 5 
jogadores?
IV. Binômio de Newton
Para desenvolver certos problemas de matemática, necessitamos de potências do tipo ( x + y)³, que para 
serem resolvidas sem o auxílio da análise combinatória seriam calculadas da seguinte maneira:
(x+y)³ = (x+y)(x+y)(x+y) = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ 
• Usando conceitos de análise combinatória, podemos deduzir uma expressão binomial, 
relativamente mais simples, para desenvolver essas potências. 
• A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x + y)ᶰ e ela é 
encontrada fazendo o produto (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) … (x + y), n vezes. 
• O termo genérico do produto é obtido tomando em p dos fatores (p = 1, 2, 3,..., n) a segunda 
parcela e tomando nos restantes n – p fatores a primeira parcela. Com isso, pode ser feito:
 Cn,p = 
Exemplo: Considere a potência 
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Sessão Leitura
O conhecimento sobre análise combinatória é muito utilizado em situações cotidianas. Frequentemente 
assistirmos a reportagens de telejornais nas quais é dito o número de pessoas que se encontravam em um 
grande evento, como, por exemplo, nas manifestações que aconteceram em todo o país no ano de 2013. 
Esse tipo de contagem normalmente é uma estimativa do verdadeiro número de pessoas que ocupam 
aquele espaço e essa contagem precisa ser feita para que os responsáveis pelo local do evento possam 
estimar o número de policiais, ambulâncias e banheiros necessários para atender a demanda do evento.
Um exame feito em laboratórios clínicos é a contagem de glóbulos vermelhos no sangue. Um homem adulto 
sadio tem de 4.500.000 a 6.000.000 dessas células em cada mm³ de sangue, e uma mulher tem de 
4.000.000 a 5.400.000. Modernos aparelhos eletrônicos fazem a contagem, que também pode ser feita 
utilizando-se um microscópio, conforme descrito a seguir.
O sangue é diluído em uma proporção conhecida, reduzindo-se muito o número de células por mm ³, e 
colocado num pequeno recipiente de vidro em forma de paralelepípedo com fundo quadriculado. Em alguns 
quadradinhos desse quadriculado, conta-se a quantidade de glóbulos vermelhos, calculando-se, a seguir, o 
número médio por quadradinho. Levando-se em conta a diluição, obtém-se o número de glóbulos vermelhos 
por mm³ no sangue.
Agora vamos resolver um exercício de raciocínio lógico:
Quantas pernas há no ônibus?
Há um ônibus com 7 garotas.
Cada garota tem 7 sacolas.
Dentro de cada sacola há sete gatos grandes.
Cada gato grande tem 7 gatos pequenos.
Todos os gatos têm 4 pernas cada um.
Pergunta: Quantas pernas há no ônibus?
Resposta: são 56 gatos por sacola, são 4 patas: 4×56= 224,
são 7 sacolas: 224x 7=1568, são 7 garotas: 1568×7= 10976
cada garota tem 2 pernas: 2×7=14, então: 10976+14=10990.
O resultado é: 10 990 pernas
20
Fixação
1) Quantos números de quatro algarismos distintos maiores que 2000 podemos formar com os algarismos 
1, 2, 3, 4, 5, e 6 ?
2) As placas dos automóveis são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas 
podemos criar com as letras A e B e os algarismos pares, podendo repetir a letra, mas não podendo repetir 
o algarismo?
3) A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de presidente, 
secretário ou tesoureiro. De quantas maneiras podemos formar chapas que contenham presidente, 
secretário e tesoureiro?
4) Sobre uma reta, marcam-se 4 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. 
Quantos triângulos podemos formar unindo 3 quaisquer desses 9 pontos?
5) Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo é um número natural de cinco algarismos distintos 
e não-nulos. Com o objetivo de acessar esse arquivo, ele programou o computador para testar, como 
senha, todos os números naturais nessas condições. O computador vai testar esses números um a um, 
demorando 5 segundos em cada tentativa. Qual será tempo máximo para que o arquivo seja aberto?
6) Um jornal terá 12 páginas. O diagramador deve distribuir 6 fotos diferentes em 6 páginas do jornal, de 
modo que não apareçam duas dessas fotos em páginas consecutivas. De quantas maneiras diferentes o 
diagramador pode distribuir essas fotos?
7) (UFPE) Uma prova de Matemática é constituída de 16 questões de múltipla escolha, tendo cada questão 
5 alternativas, das quais deve ser assinalada como resposta apenas uma. Respondendo ao acaso todas as 
questões, o número de maneiras diferentes que se pode preencher o cartão de respostas é:
a) 80
b) 165
c) 5³²
d) 16 ¹¹
e) 5¹5.5
8) Quantos números naturais pares ou múltiplos de 5 , com 4 algarismos distintos, podem ser formados com 
os algarismos 0, 2, 3, 5 e 9?
Gabarito: 
1- 300 números
2- 960 placas
3- 720 chapas
4- 70 triângulos
5- 21 horas
6- 1440 maneiras diferentes
7- Alternativa E
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8- 60 números
Pintou no Enem
1) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a 
públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página 
inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos 
C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele 
verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 
páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o 
fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de 
impressão igual a:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110 
2) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido 
da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do
Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles 
jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo 
de abertura podem ser calculadas através de
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
3) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de 
R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no 
cheque especial, caso Joãoquitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação 
imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 
parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o 
dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A 
opção que dá a João o menor gasto é:
a) renegociar suas dívidas com o banco.
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do 
cartão de crédito.
e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do 
cheque especial. 
4) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios 
avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance 
de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de 
cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos 
compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende 
assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos 
colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses.
c) 6 doses.
d) 8 doses.
22
e) 10 doses
5) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro 
nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes 
maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, 
entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, 
quantas cédulas a mais?
a) 1667
b) 2036
c) 3846
d) 4300
e) 5882 
6) Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando desde a infância até a idade 
adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais (testosterona e estrógeno) fazem com que essas 
extremidades ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior a área 
calcificada entre os ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os quatro ou 
cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros.
De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de altura poderá chegar 
ao final dessa fase com uma altura
a) mínima de 1,458 m.
b) mínima de 1,477 m.
c) máxima de 1,480 m.
d) máxima de 1,720 m.
e) máxima de 1,750 m. 
7) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número 
de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados 
dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 
9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o 
segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos 
resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O 
dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são 
contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão 
por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na 
delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove 
primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, 
respectivamente,
a) 0 e 9
b) 1 e 4
c) 1 e 7
d) 9 e 1
e) 0 e 1
Gabarito: 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7-
188 a e b b e a
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Capítulo 4 – Probabilidade
Teoria
I. Conceito e Definição de Probabilidade
Conceito: Probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer ou não em evento.
Definição: Se E é um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio, e A é um evento de E, então a 
probabilidade de ocorrer algum elemento de A é definida por:
P(A) = n(A)
 n(E)
1) Experimento aleatório: é todo experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso. Ex.: 
lançamento de moedas e dados, sorteio de cupons, etc.
2) Espaço amostral de um experimento aleatório: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório. Ex.: o espaço amostral do lançamento de uma moeda é E= {cara, coroa}.
3) Evento de um espaço amostral: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ex.: No lançamento de 
um dado temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, o subconjunto B = {1, 2} é um evento de E.
4) Evento amostral equiprovável: é o espaço amostral cujas frequências de seus elementos tendem a um 
mesmo valor quando o número de experimentos aumenta indefinidamente.
- Propriedades das Probabilidades
• P.1: a probabilidade de ocorrência de um evento impossível é dada por P(Ø) = 0
• P.2: a probabilidade de ocorrer um evento certo é dada por P(E) = 1
• P.3: a probabilidade de ocorrência de um dos eventos de A deve ser dada por 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P.4: a probabilidade de ocorrência do evento A somada a probabilidade de ocorrência dos 
elementos de E que não pertencem a A, é igual a 1. P(A) + P(Ᾱ) = 1
Exemplos: 
1) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter na face voltada para cima, um número de 
pontos menor que três?
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2}
n(A) = 2
P(A) = 2 / 6 = 1 / 3 = 33,33...%
2) Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se uma bola dessa urna, a probabilidade de se obter uma 
bola vermelha é de 0,64. Qual é a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha?
P(A) + P(Ᾱ) = 1
0,64 + P(Ᾱ) = 1
P(Ᾱ) = 1 – 0,64 = 0,36
II. Adição de Probabilidades
A probabilidade de ocorrência de um elemento A ou de um elemento B é dada por:
P(A U B) = n(A U B)
 n(E)
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
24
• Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles nos quais P(A∩B) = 0; então P(A U B) = P(A) + P(B).
Exemplo: Um número será sorteado dentre os números naturais de 1 a 1.000. Qual é a probabilidade de 
que saia um número par ou um número de dois algarismos?
E = {1, 2, 3, … ,1000} e n(E) = 1000
A = {2, 4, 6, …, 1000} e n(A) = 500
B = {10, 11, 12, …, 99} e n(B) = 90
P(A U B) = {10, 12, 14, … ,98} = n(A U B) = 45
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 500 + 90 – 45 = 545 = 54,5%
 1000 1000
III. Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que ocorreu o evento A, é 
indicada por P (B/A) e seu cálculo se dá pela expressão:
• Dois eventos são independentes se, e somente se, P(A/B) = P(A) ou P(A/B) = P(B).
Exemplo: Uma moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de obtermos cara no segundo 
lançamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lançamento?
Cara no 1º evento: B = {(C,C),(C,K)}
Cara no 2º evento: A = {(C,C),(K,C)}
P(A/B) = 1
 2
Como P(A/B) = P(A) = 1 , dizemos que os eventos A e B são independentes.
 2
IV. Multiplicação de Probabilidades
Como visto, P(B/A) = n(A U B) , daí concluímosque:
 n(A)
• Se A e B forem eventos independentes, então: P(A U B) = P(A) x P(B).
• A probabilidade de retirar simultaneamente elementos de um dado conjunto A é igual á 
probabilidade de retirá-los sucessivamente e sem reposição. Neste caso, a ordem de retirada dos 
elementos de A deve ser levada em consideração.
Exemplo: Uma urna contém exatamente onze bolas, das quais 6 são azuis e 5 são vermelhas. Retirando-se 
simultaneamente 4 bolas, qual é a probabilidade de saírem 3 bolas azuis e uma vermelha?
P = P1 + P2 + P3 + P4 = 22/66 = 10/33
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P = 0,3030 ou 30,30%
Sessão Leitura
Origem das Probabilidades
O passo decisivo para fundamentação teórica da inferência estatística, associa-se ao desenvolvimento do 
cálculo das probabilidades. A origem deste costuma atribuir-se a questões postas a Pascal (1623-1662) pelo 
célebre cavaleiro Méré, para alguns autores um jogador inveterado, para outros um filósofo e homem de 
letras. Parece, no entanto, mais verosímil aceitar que as questões postas por Méré (1607-1684) eram de 
natureza teórica e não fruto da prática de jogos de azar. Parece, também, aceitável que não foram essas
questões que deram origem ao cálculo das probabilidades. Do que não resta dúvida é de que a 
correspondência trocada entre Pascal e Fermat (1601-1665) - em que ambos chegam a uma solução 
correta do célebre problema da divisão das apostas - representou um significativo passo em frente no 
domínio das probabilidades.
Também há autores que sustentam que o cálculo das probabilidades teve a sua origem na Itália com 
Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileo (1564-1642) e outros. Se é certo 
que nomeadamente Cardano no seu livro Liber de Ludo Aleae, não andou longe de obter as probabilidades 
de alguns acontecimentos, a melhor forma de caracterizar o grupo é dizer que marca o fim da pré- história 
da teoria das probabilidades. Três anos depois de Pascal ter previsto que aliança do rigor geométrico com a 
incerteza do azar daria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1625), entusiasmado pelo desejo de " 
dar regras a coisas que parecem escapar á razão humana" publicou "De Ratiociniis in Ludo Aleae" que é 
considerado como sendo o primeiro livro sobre cálculo das probabilidades e tem a particularidade notável 
de introduzir o conceito de esperança matemática.
Leibniz (1646-1716), como pensador ecléctico que era, não deixou de se ocupar das probabilidades. 
Publicou, com efeito, duas obras, uma sobre a " arte combinatória" e outra sobre as aplicações do cálculo 
das probabilidades às questões financeiras. Foi ainda devido ao conselho de Leibniz que Jacques Bernoulli 
se dedicou ao aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. A sua obra "Ars Conjectandi", foi publicada 
oito anos depois da sua morte e nela o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades é rigorosamente 
provado. Pode dizer-se que foi devido às contribuições de Bernoulli que o cálculo das probabilidades 
adquiriu o estatuto de ciência. São fundamentais para o desenvolvimento do cálculo das probabilidades as 
contribuições dos astrónomos, Laplace, Gauss e Quetelet.
Agora vamos resolver uma questão de raciocínio lógico:
A lesma no poço
Uma lesma está no fundo de um poço que tem 15 metros de profundidade,
e quer sair dele. Como lesma é lesma, ela sobe 4 metros durante o dia, mas
desce três durante a noite. Pergunta: Em quantos dias ela conseguirá sair do poço?
Resposta: em 12 dias ela conseguirá sair do poço.
Subindo 4 metros por dia e descendo 3 à noite, no décimo primeiro dia já terá subido 11 metros.
Um dia depois, no décimo segundo dia, subindo mais 4 metros chegará à boca do poço (15 m) e não terá 
porquê continuar descendo.
26
Fixação
1- Numa urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser 
retirada. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja: 
a) Par? 
b) Primo? 
c) Par ou primo? 
d) Par e primo? 
e) Nem par nem primo? 
f) Par mas não primo? 
g) Primo mas não par? 
2- No lançamento de dois dados perfeitos, qual é a probabilidade de se obter soma 8 ou números 
iguais nas faces superiores? 
3- Numa classe há 16 homens e 20 mulheres, dos quais metade dos homens e metade das mulheres 
têm cabelos castanhos. Ao escolher um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que seja homem 
ou tenha cabelos castanhos? 
4- Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter “cara” 
ou um 6? 
5- Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas e, ao mesmo tempo, uma moeda é 
lançada. Qual é a probabilidade de se obter: 
a) Carta vermelha e cara? 
b) Carta vermelha ou cara? 
c) Carta de figura (dama, valete, rei) e coroa? 
d) Carta de figura ou coroa?
6- Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de a carta 
retirada ser: 
a) Copas? 
b) Dama? 
c) Copas ou dama? 
d) Copas e dama (dama de copas)? 
e) Não copas? 
f) Não dama? 
g) Nem copas nem dama? 
7) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja:
a) Um número par? 
b) Um número primo? 
c) O número 3? 
d) Um número menor do que 3?
8) Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de, ao acaso, retirar:
a) Uma bola vermelha? 
b) Uma bola branca? 
9) Escreva em pedaços iguais de papel os números de 1 a 13. Dobre-os igualmente de modo que 
qualquer um deles tenha a mesma chance de ser retirado de uma caixa. Qual a probabilidade de 
que o número retirado seja: 
a) Par? 
b) Divisível por 3? 
c) Um número primo? 
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d) Maior do que 8? 
e) Menor do que 10? 
f) Um número entre 5 e 10? 
g) Múltiplo de 4? 
10) Qual a probabilidade de, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas, obter:
a) Uma carta de copas? 
b) Um ás? 
c) Um ás de copas? 
d) Uma carta com naipe vermelho? 
e) Um “três” vermelho? 
11) No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que:
a) Em ambas ocorra cara? 
b) Em uma ocorra cara e na outra coroa? 
c) Não ocorra nenhuma cara? 
d) Ocorra exatamente uma coroa?
12) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos e distinguíveis, um branco e outro vermelho, qual 
é a probabilidade de que: 
a) A soma seja 7? 
b) A soma seja par? 
c) A soma seja um número primo? 
d) A soma seja maior do que 1 e menor do que 8? 
e) Ambos os números sejam pares? 
f) Ambos os números sejam iguais? 
g) O primeiro número seja múltiplo do segundo? 
13) Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Faça um diagrama de arvore para mostrar todos os 
possíveis arranjos de meninos e meninas. Qual é a probabilidade de que: 
a) Duas crianças sejam meninos e a outra, menina? 
b) Todas as crianças sejam meninas? 
c) Pelo menos uma criança seja menino? 
d) Todas as crianças sejam do mesmo sexo? 
e) Nenhuma criança seja menina? 
Gabarito:
1-
a) 8/17
b) 7/17
c) 14/17
d) 1/17
e) 3/17
f) 7/17
2- 27,78%
3- 72,2%
4- 58,3%
5-
a) 25% 
b) 75% 
c) 11,5% 
d) 61,5%
6-
a) 25% 
b) 7,7% 
c) 30,8% 
d) 1/52 
e) 75% 
f) 92,3% 
g) 69,2%
7- a) 50% 
b) 50% 
c) 16,7% 
d) 33,3%
8- a) 40% 
b) 60% 
9-
a) 46,2% 
b) 30,8% 
c) 46,2% 
d) 38,5% 
e) 69,2% 
f) 30,8% 
g) 23,1%
10-
a) 25% 
b) 7,7% 
c) 1,9% 
d) 50% 
e) 3,8%
11- a) 25% 
b) 50% 
c) 25% 
d) 50%
12-
a) 16,7% 
b) 50% 
c) 41,7% 
d) 58,3% 
e) 25%f) 16,7% 
g) 38,9%
13-
a) 37,5% 
b) 12,5% 
c) 87,5% 
d) 25% 
e) 12,5%
28
Pintou no Enem
1) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das 
regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica 
foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais 
temperaturas são apresentadas no gráfico:
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma 
região que seja adequada às recomendações médicas é
a) 1/5
b) 1/4
c) 2/5
d) 3/5
e) 3/4 
Texto para as questões 2 e 3
A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida 
aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização 
das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo.
Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 
milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da 
população total nos países desenvolvidos. 
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29
2) Suponha que o modelo exponencial y = 363 eº˒º³˟, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 
corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no 
ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em 
desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e º˒³ = 1,35, estima-se que a população 
com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
e) 870 e 910 milhões
3) Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na 
população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de:
a) 1/2
b) 7/20
c) 8/25
d) 1/5
e) 3/25
4) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de 
um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de 
vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com
exatamente dois aparelhos defeituosos?
a) 2 · (0,2%)⁴
b) 4 · (0,2%)²
c) 6 · (0,2%)² · (99,8%)²
d) 4 · (0,2%)
e) 6 · (0,2%) · (99,8%)
5) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas 
da mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, 
especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis 
dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar 
apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é 
melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em 
comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no 
segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente:
a) 1 1/2 vez menor. 
b) 2 1/2 vezes menor. 
c) 4 vezes menor.
d) 9 vezes menor.
e) 14 vezes menor.
Gabarito: 
1- e
2- e
3- c
4- c
5- c
30
Referências
 
 
BARRETO FILHO, Benigno. Matemática aula por aula. Volume único. São Paulo: FTD, 2000.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Ática, 2005.
PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005.
ENEM. Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/web/enem/enem>. Acesso em: 24 mar. 2014. 
Matemática. Disponível em: <www.matematiques.com.br>. Acesso em: 06 de mai. 2014.
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