Prova resolvida - Análise combinatória e Probabilidade

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ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 
 
 
1) Classifique em Verdadeiro ou Falso: 
 
a) ( ) (UFSC 2020) O número de anagramas da palavra VITÓRIA que começam e terminam com 
consoante é 360. 
 
Solução: 
Com a condição imposta, existem 3∙2 = 6 possibilidades para ocupar a primeira e a última letra, pois 
aparecem três consoantes distintas na palavra VITÓRIA. 
 
Para as demais cinco letras, temos 5!/2! = 60 possibilidades, pois duas delas são iguais (letra I). 
 
Portanto, o total de anagramas é dado por 6∙60 = 360. Verdadeiro. 
 
 
 
b) ( ) (UFSC 2020) Com os algarismos 1, 2, 3, 7 e 8 são formados números de cinco algarismos distintos. 
Se listássemos, em ordem decrescente, todos os números obtidos, então a posição do número 27.813 
seria a 80ª. 
 
Solução: 
Considerando os números em ordem decrescente, precisamos calcular quantos números maiores que 
27813 existem. 
 
Primeiro, calculamos quantos números iniciam em 3, 7, ou 8: 
3∙4∙3∙2∙1 = 72 números. 
 
Agora, vejamos quantos números (maiores que 27813) existem iniciando com o algarismo 2. Se o 
segundo algarismo for 8, são 1∙1∙3∙2∙1 = 6 números. Se o segundo algarismo for 7, o terceiro só pode ser 
8, e com isso temos somente uma possibilidade, o número 27831. 
 
Portanto, existem 72 + 6 + 1 = 79 números maiores que 27813, e portanto, em ordem decrescente ele 
ocupa a 80ª posição. Verdadeiro. 
 
 
 
2) Em um grupo de 12 pessoas, 8 falam inglês e 4 falam espanhol. Serão escolhidas 9 pessoas para 
formar uma comissão, das quais 6 devem falar inglês. De quantas formas a escolha poderá ser feita? 
 
Solução: 
Dos 8 que falam inglês, devemos escolher 6, logo existem: 
(
8
6
) =
8!
6! 2!
=
8 ∙ 7
2
= 28 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. 
 
Para completar a comissão, devem ser escolhidos 3 que falam espanhol entre os 4 disponíveis. Portanto: 
(
4
3
) =
4!
3! 1!
= 4 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. 
 
Dessa maneira, o total de possibilidades para formar a comissão é dada por 28∙4 = 112 possibilidades. 
PROVA RESOLVIDA 
 
3) De quantas maneiras podemos comprar 3 balas que são oferecidas em 4 sabores diferentes? 
 
Solução: 
Sejam os sabores das balas representados por A, B, C e D. Não é um problema de princípio fundamental 
da contagem, pois comprando A, B e C por exemplo, temos a mesma compra que B, C e A. Também não 
é um problema de combinação simples, já que não serão escolhidos necessariamente três objetos 
distintos entre os quatro disponíveis, podemos escolher mais de uma bala do mesmo sabor. Trata-se de 
um problema de combinação completa (ou combinação com repetição). Portanto a resposta do problema 
é dada por: 
(
6
3
) =
6!
3! 3!
=
6 ∙ 5 ∙ 4
3!
=
6 ∙ 5 ∙ 4
3 ∙ 2 ∙ 1
= 20. 
 
 
 
4) Escolhendo aleatoriamente um dos cartões da imagem, qual a probabilidade do cartão escolhido 
apresentar um número menor ou igual a 1? 
 
 
 
Solução: 
Dos cartões apresentados na imagem, apenas três trazem um número maior que 1, são eles: 
 log 13, pois log 10 = 1. 
 √5 2⁄ , já que √5 > 2, pois √4 = 2. 
 𝜋 > 3. 
 
Então são 7 cartões com números menores ou iguais a 1, em um total de 10 cartões, ou seja, a 
probabilidade pedida é 7/10. 
 
 
 
5) Um dado comum com seis faces numeradas de 1 a 6 será lançado três vezes. Qual a probabilidade 
de se obter um número par em exatamente dois lançamentos? 
 
Solução: 
A probabilidade de obter um número ímpar em um determinado lançamento (no primeiro digamos) e 
números pares nos outros dois é 
1
2
∙
1
2
∙
1
2
=
1
8
. 
 
Porém existem três casos possíveis, pois o número ímpar pode ser obtido no primeiro lançamento, ou no 
segundo lançamento ou no terceiro lançamento. Logo a probabilidade pedida é: 
3 ∙
1
8
=
3
8
.