Apostila Ondas 2012

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ONDAS 2016
BIBLIOGRAFIA PARA AS ETAPAS 1 e 2:
HALLIDAY e outros – Fundamentos da Física; vol 2 – cap. 14; 16; 17
SERWAY, Raymond e outros. Princípios de Física, vol. 2. cap. 12; 13; 14 Ed. THOMSON
TREFIL James e Hazen Robert M. Física Viva – vol. 2, cap. 14; 15; 19. Ed. LTC
CUTNELL & JOHNSON – Física – vol. I – cap. 10; 16; 17. Ed. LTC
KNIGTH Randal. D.– Física - Uma abordagem estratégica. vol II – Ed. BOOKMAN
www.educypedia.be – para animações
Animação de onda: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Onda 
http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html 
Onda: perturbação que se propaga num meio transmitindo energia.
Onda mecânica: perturbação que se propaga nos meios materiais através da oscilação dos átomos e das moléculas do meio
· ex: som, ondas numa corda, terremotos
Onda eletromagnética: perturbação que se propaga através da oscilação de campos elétricos e magnéticos ·
ex: raio X, luz
Principais parâmetros de uma onda
amplitude da onda (A)
valor máximo alcançado pela grandeza oscilante
unidade SI: metro (no caso de onda mecânica)
freqüência da onda (f)
o freqüência na qual a grandeza oscila (seja uma partícula ou um campo eletromagnético
o unidade SI: Hz
período (T)
tempo que a grandeza oscilante leva para realizar um ciclo completo
 T = 1/ f
o tempo de oscilação de uma onda é igual ao tempo de oscilação da grandeza que oscila
 unidade SI: segundo
comprimento de onda (λ)
 distância ao longo da direção de propagação após a qual a onda começa a se repetir (seja onda mecânica ou onda eletromagnética) 
menor distancia entre dois pontos cuja grandeza oscilante apresenta o mesmo valor
unidade SI: metro 
velocidade de propagação da onda ou velocidade da onda (v) 
se uma onda é uma perturbação que se propaga em um meio, existe uma velocidade na qual esta propagação acontece. A velocidade de propagação:
depende das propriedades mecânicas do meio
é diferente da velocidade com que a partícula vibrante se oscila
o meio não se desloca no espaço, a perturbação e que se desloca
para meios homogêneos a velocidade da onda (velocidade de propagação) é constante (para QUALQUER onda, mecânica ou eletromagnética)
Velocidade de propagação de uma onda num meio homogêneo
	v = dx /dt 
Se v = constante, v = Δ x / Δ t
se 
Δ x = comprimento de onda (λ) →t = período (T) 
v = λ / T ou 
	
v = λ f
onde
v = velocidade de propagação
λ = comprimento de onda
f = freqüência
As ondas eletromagnéticas se propagam no ar ou no vácuo com velocidade constante
c = 3,00 x 108 m/s
(é comum denominar-se a velocidade da luz pela letra c)
Qualquer onda tem sua velocidade de propagação dada por v = λ f, mas a velocidade de propagação depende do meio no qual a onda se propaga. 
Mudanças no meio de propagação de uma onda acarretam alterações na velocidade e no
comprimento de onda; sua freqüência permanece constante uma vez que depende apenas da
fonte que a gerou.
A freqüência de uma onda e sempre igual à freqüência da fonte que a emitiu
	
	
	ATENÇÃO!
Trabalhamos com diferentes velocidades:
Velocidade de oscilação de um ponto qualquer do meio:
É variável no tempo, dependendo da posição da partícula em cada instante;
Você deve derivar a equação do deslocamento da partícula vibrante em relação ao tempo.
Velocidade de propagação de uma onda:
V = λ f
Varia de acordo com o meio, sendo constante para meios homogêneos;
Para ondas eletromagnéticas se propagando no ar ou vácuo:
v = c = 3,0 x 108 m/s;
em qualquer outro meio a onda eletromagnética se propaga com velocidade v < c
Para ondas mecânicas se propagando em cordas:
v = (T/()1/2 ; 
v = velocidade de propagação
T = tensão na corda
( = densidade linear de massa (( = m / L)
m = massa da corda
L = comprimento da corda
para ondas sonoras se propagando no ar (0oC) 
v = 340 m/s
Ex 1: 
Determine a freqüência de uma onda cujo comprimento de onda é igual 3,0 m considerando que:
esta é uma onda eletromagnética que se propaga no ar; 
esta é uma onda mecânica que se propaga numa corda de densidade linear 0,60 kg/m tensionada a 15 N.
esta é uma onda sonora que se propaga no ar 
qual das 3 ondas descritas está se propagando com maior velocidade?
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
As ondas eletromagnéticas são constituídas por um campo elétrico e um campo magnético perpendiculares entre si e que oscilam em fase um com o outro, ou seja, quando um campo for máximo o outro também o será, quando um campo for zero o outro também será nulo, etc. Tais campos sempre oscilam em direções perpendiculares à direção de propagação, por isso estas ondas são transversais (veja figura abaixo).
As ondas eletromagnéticas não necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, elas podem se propagar no vácuo o que não é possível para as ondas mecânicas.
No vácuo, a velocidade de qualquer onda eletromagnética é c = 3,00x108 m/s e em qualquer outro meio sua velocidade será sempre menor do que este valor. Entretanto, ao se propagar no ar sua velocidade diminui de tal forma que, escrita com 3 algarismos significativos não apresenta alteração. Por isso, considera-se que a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no ar ou no vácuo como
c = 3,00 x 108 m/s (no ar ou vácuo)
Emissão de ondas eletromagnéticas
Um corpo eletricamente carregado estático produz um campo elétrico estático. Uma corrente estacionária (provocada por portadores de carga que possuem velocidade média constante) produz um campo magnético estático. Portanto, cargas em repouso ou em movimento uniforme não produzem campos de onda dependentes do tempo. Logo, para produzir onda eletromagnética uma carga deve estar acelerada. Qualquer carga (ou distribuição de carga) em aceleração é uma fonte de ondas eletromagnéticas
ENERGIA ASSOCIADA A UMA ONDA ELETROMAGNÉTICA
As ondas eletromagnéticas transportam energia através da interação entre os campos campos elétricos e magnéticos do meio, seja ele material ou não. Esta interação se dá através dos fótons; a energia transportada por cada fóton encontra-se relacionada à freqüência da onda através da relação
Energia associada ao fóton
	
E = h f
	E = energia
h = 6,63 x 10 –34 J. s (constante de Planck)
f = freqüência
Através da observação da expressão pode-se concluir que a energia de um fóton encontra-se relacionada unicamente à frequencia da oscilação.
Potência: 
Taxa na qual a energia é transmitida: 
Para taxas constantes, pode-se considerar: 
Energia associada ao fóton ≠ energia transmitida num aparelho, pois neste caso considera-se a soma das energias de todos os fótons juntos.
A energia associada ao fóton é a energia que cada um dos fótons carrega. 
O espectro eletromagnético
As ondas eletromagnéticas são utilizadas pelo homem e sua aplicação depende da energia que carregam. Diferentes formas de geração das ondas eletromagnéticas acarretarão ondas com diferentes freqüências; cada faixa de freqüência recebe uma denominação e, devido à energia que carregam interagem de forma diferente com a matéria. Na figura abaixo são mostradas as principais aplicações das ondas eletromagnéticas, formando o que se denomina espectro eletromagnético
Ondas de Rádio: São assim denominadas as ondas eletromagnéticas de freqüências que variam de 102 a 108 Hz. Como podem se propagar grandes distâncias na atmosfera, são usadas nos sistemas de comunicações. Apresentam subdivisões, sendo diferentes faixas de freqüência reservadas a diferentes usos: rádios, estações de TV, bombeiros, polícia, celulares,etc.
Microondas: São ondas eletromagnéticas com comprimento de onda que variam de 1mm até 1cm. O controle de navegação aérea é uma das grandes aplicações tecnológicas, mas são também utilizadas para transmissõesde sinais telefônicos, de TV e celulares, especialmente nas transmissões via satélite. É também usada para estudo de propriedades atômicas e moleculares e, como apresenta freqüência próxima à freqüência natural de vibração da molécula de água, acontece o efeito da ressonância resultando no aquecimento do alimento.
Infravermelho (IV): possuem comprimentos de onda variando aproximadamente de 10-3 m até 10-7 m. São geradas pela vibração das moléculas de corpos em temperaturas comparáveis às do corpo humano, sendo por esta razão emitidas também pelos seres vivos. Detectores de infravermelho são utilizados para localizar vazamentos de calor, guiando mísseis e localizando pessoas, veículos ou animais na ausência de luz visível. São também usadas em fisioterapia e nos controles remotos aparelhos domésticos.
Luz visível: É produzida pelas transições eletrônicas dos elétrons dos átomos e recebe este nome por carregar a energia necessária para estimular a visão dos seres humanos. Nesta denominação encontram-se os comprimentos de onda entre 400 nm (violeta) a 700 nm (vermelho). A sensibilidade do olho humano depende do comprimento de onda e é máxima para um comprimento de onda aproximadamente igual a 5,5x10-7 m que corresponde ao amarelo-verde no espectro da luz visível.
Ultravioleta (UV): Com comprimentos de onda que vão de cerca de 10-7 a 10-10 m são produzidas também por transições eletrônicas só que em níveis de energia mais distantes um do outro, sendo bem mais energéticos que a luz visível, sendo o principal responsável pelo bronzeamento e queimaduras de sol. Já podem ser consideradas radiações ionizantes e são utilizadas em processos de esterilização. Embora essenciais à vida humana, em excesso podem provocar doenças como o câncer.
Raios X: são ondas eletromagnéticas cujo comprimento de onda varia entre 10-8 e 10-13m. Os raios X são provenientes da desaceleração brusca de elétrons de altas energias quando atingem um alvo de metal ou de matéria que é sugada por um buraco negro no espaço. Tem uma grande aplicação na medicina seja para diagnóstico (radiografias) ou cura de vários tipos de câncer. Deve ser usada com critério pois, radiação ionizante,pode provocar ter efeitos deletérios nos seres vivos.
Raios Gama: São assim denominadas as ondas de maior energia do espectro eletromagnético, emitidas apenas em reações nucleares. Com diversificadas aplicações na indústria e na medicina, tanto diagnóstica quando terapêutica, são altamente penetrantes e podem produzir sérios danos aos tecidos vivos, seu uso envolve cuidados e obediência às normas de segurança.
Exercício 2:
Em uma "caneta" ponteira laser (laser-pointer) utilizada para apontar detalhes numa tela de projeção encontra-se impresso: “1mW – 660 nm”. A partir destas informações, determine: 
a) a energia associada a cada fóton
b) o número de fótons emitidos por segundo
c) a energia transmitida pela caneta por segundo 
Exercício 3: 
Identifique no espectro eletromagnético as ondas
a) com freqüências de 2kHz; 9 GHz(giga)
b) com comprimentos de onda: 2mm; 7pm
Exercício 4:
a) Por que as ondas de raios X são mais penetrantes que luz visível?
b) Considere duas ondas eletromagnéticas: uma de comprimento de onda 2 km e a outra com freqüência 1018 Hz. Qual delas transporta mais energia? Qual a relação entre as energias que transportam?
Exercício 5:
Uma notícia importante é transmitida por ondas de rádio para pessoas sentadas próximas de seus rádios, a 100 km de distância da estação e por ondas sonoras, para pessoas sentadas na sala de notícias, a 70 m do transmissor de notícias. Quem recebe a notícia primeiro? Explique e considere a velocidade do som no ar sendo 340 m/s.
Exercício 6
Qual é a freqüência das ondas eletromagnéticas usadas nos fornos de microondas?
Existe alguma razão para ter sido escolhida esta freqüência em particular?
Exercício 7
Considere uma lâmpada de luz monocromática que emite 4,7x1020 fótons por segundo. A freqüência de emissão é 6x1014 Hz. Qual é a potência da lâmpada?
Exercício 8
Considere duas fontes de radiação eletromagnética; a fonte 1 emite ondas de comprimento de onda 5x10-10 m e a fonte 2 emite ondas de comprimento de onda 8x10-10 m. A potência de ambas as fontes é de 200 W, 
a) Qual é a diferença do número de fótons emitidos pelas fontes?
b) É possível que estas fontes sejam lâmpadas?
Exercício 9
Considere uma lâmpada de luz monocromática de freqüência 6,8x1014 Hz cuja potência é 120 Watts. 
a) Qual a energia de cada fóton?
b) Quantos fótons ela emite em 5 minutos?
c) Calcule a energia emitoda em 5 minutos de funcionamento.
Descrição matemática de uma onda mecânica
Função de onda: 
Função que descreve o valor da grandeza que oscila em qualquer ponto do meio em função do tempo;
a grandeza que oscila é função:
 da posição x deste elemento ao longo do meio
 do tempo t
 Y = Y (x, t) 
Função de onda mecânica: 
equação matemática que fornece, a qualquer tempo, o deslocamento y de uma partícula em relação à sua posição de equilíbrio como função da coordenada x (descreve simultaneamente o movimento de todas das partículas do meio)
	Y(x,t) = Ym sen (kx – wt)
	sendo
	( = 2(/T
k = 2(/(
onde: 
	Grandeza
	Unidade SI
	Y = deslocamento na direção de vibração
	m
	Ym = deslocamento máximo (amplitude de deslocamento)
	m
	( = freqüência angular
	rad/s
	f = freqüência
	Hz
	k = número de onda angular (não confundir com constante elástica)
	rad/m
	( = comprimento de onda
	m
	x = posição do ponto do meio que vibra 
	m
	t = tempo
	s
	T = período
	s
	(kx - (t) = fase da onda
	rad
Obs: consideraremos inicialmente apenas os casos em que a fase inicial seja nula → Y (0,0) = 0
Exercício 10: 
Dada as ondas descritas, em SI, pelas equações abaixo:
Y1 (x,t) = 0,08 sen ( [ (x / 4) – (t / 6) ]
Y2 (x,t) = 0,08 sen ( [ (8 x) – (4 t) ]
Qual delas apresenta maior freqüência?
Qual delas apresenta maior comprimento de onda?
Qual delas se desloca com maior velocidade?
Exercício 11: 
Dada a onda mecânica que apresenta:
Amplitude: 0,05 m; Freqüência: 0,25 Hz ; Comprimento de onda: 0,6 m
escreva a equação da onda 
determine a velocidade de propagação
faça o gráfico para o tempo t = 0
faça o gráfico o ponto x = 0 
	gráfico para t = constante (t = 0)
	gráfico para x = constante (x = 0)
	
Equação de uma onda unidimensional
A equação Y(x,t) = Ym sen (kx – wt) é apenas uma das inúmeras formas de se descrever uma onda mecânica. Na verdade, para que uma função descreva uma onda que se propaga numa determinada direção deve satisfazer a condição:
(2 Y (x, t) /(x2 = (1/vx2) ((2 Y (x, t) /(t2)
Comprovação de que a função Y(x, t) = ym sen (kx - wt) é capaz de descrever uma onda que se propaga em linha reta(no caso, ao longo do eixo x) 
Y é função de 2 variáveis: x e t. 
Seja Y(x, t) = ym sen (kx - wt)
Tomando x = constante
Derivando 2 vezes em relação a t:
(Y (x,t) / (t = - ym w cos (kx - wt)
(2 Y (x, t) /(t2 = - ym w2 sen (kx - wt)
Como Y(x, t) = ym sen (kx - wt)
→ (2Y (x,t) /(t2 = -w2Y (x, t) 
Tomando t = constante
Derivando 2 vezes em relação a x:
(Y (x,t) / (x = ym k cos (kx - wt)
(2 Y (x, t) /(x2 = - ym k2 sen (kx - wt)
Como Y(x, t) = ym sen (kx - wt)
→ (2Y(x,t) /(x2 = - ym k2 Y(x, t) 
[((2 Y (x, t) /(x2)]/ [((2 Y (x, t) /(t2)] = k2 / w2
Como w / k = v = velocidade de propagação
Equação de onda unidimensional:
(2 Y (x, t) /(x2 = (1/vx2) ((2 Y (x, t) /(t2)
Qualquer equação que satisfaça à condição acima descreve uma onda progressiva linear, seja ela uma onda que se propaga numa corda, uma onda sonora que se propaga em um meio qualquer ou uma onda eletromagnética. Restringuiremos nosso estudo ás ondas descritas na forma 
Y(x, t) = ym sen (kx - wt).Exercício 12:
Uma onda de freqüência 20 Hz propaga-se ao longo de um fio tensionado a 5 N com velocidade 31 m/s. Sabendo que a amplitude de deslocamento é 0,003m, 
escreva a equação desta onda
determine a massa de 5,0 m deste fio
Exercício 13:
Uma onda que se propaga na superfície de um lago, no sentido positivo do eixo x, pode ser descrita pela função de onda abaixo, dada em unidades SI: 
Y (x,t) = 0,008 sen ( [ (x / 8) – (t / 6) ]
Determine:
a altura da crista desta onda
a freqüência angular
o número de onda angular
faça a “fotografia” desta onda no tempo t = 0 s. 
Solução do gráfico:
Exercício 14:
Uma onda pode ser descrita pela função abaixo, dada em unidades SI: 
y = 0,7 sen (( x / 3 – ( t/2)
Determine para esta onda:
a amplitude; o comprimento de onda; o período 
a velocidade de propagação 
Exercício 15:
Uma onda que se propaga num meio A pode ser descrita em SI pela equação
YA(x,t) = 0,3 sen (4 ( x/3 – 0,8( t/2)
 Ao se propagar num novo meio, B, o faz com velocidade 4,5 m/s. 
Determine a velocidade de propagação da onda no meio A
Determine o comprimento de onda e a frequencia da onda em ambos os meios
Escreva a equação desta onda quando se propaga no novo meio
Exercício 16:
A figura mostra a fotografia de uma onda de frequência 80 Hz que se propaga numa corda de 20m de comprimento tensionada a 40 N. Determine para esta onda:
A velocidade de propagação 
A funçãode onda
O tempo necessário para que a onda percorra 5 m da corda
A massa da corda
PROPRIEDADE DAS ONDAS
Qualquer alteração no meio no qual uma onda se propaga perturba-a e esta se altera. Alterações no meio, uma fronteira, um obstáculo, uma fenda ou mesmo uma segunda onda, são suficientes para alterar aquela onda que se propaga. Conhecendo-se as propriedades das ondas pode-se prever a forma e/ou características da onda viajante após cada interação. Reflexão, refração, interferência, polarização, difração e interferência são as propriedades mais importantes, e excetuando-se a polarização (possível apenas em ondas transversais), acontecem em todos os fenômenos ondulatórios. 
A cada vez que uma onda encontra uma fronteira, uma combinação dessas propriedades acontece simultaneamente; ressaltar uma ou outra é função apenas de focar a atenção na propriedade que mais interessa naquela situação. 
Difração
É a capacidade das ondas em contornar obstáculos e/ou fendas. Se o obstáculo for muito maior que o comprimento de onda, a onda sofre reflexão; caso a fenda seja muito maior, a onda não a “enxerga” e continua se propagando como se a fenda não existisse. Se a onda encontrar um obstáculo (ou fenda) cujas dimensões sejam comparáveis ao seu comprimento de onda, a onda se curva para contorná-lo, propagando-se após o obstáculo (ou fenda) como se ali originado.
	
	
Reflexão:
Quando uma onda atinge as fronteiras do meio no qual se propaga, ela pode retornar ou se propagar através do novo meio. Se a onda retornar, diz-se que sofreu reflexão e pode acontecer total ou parcialmente, com ou sem inversão de fase, dependendo das propriedades dos meios.
	
	
Refração
Quando o meio no qual uma onda se propaga se altera (meio não homogêneo) ou a onda encontra uma fronteira e não sofre difração (o comprimento de onda for desprezível em relação às dimensões do novo meio): ela se propagará através do novo meio. Caso a incidência não seja normal à fronteira a onda sofrerá alteração na direção de propagação, diz-se que a onda sofreu refração. Como a mudança de meio provoca uma alteração na velocidade de propagação, o comprimento de onda resultará também alterado. 
	
V1 = λ1 f
V2 = λ2 f
	V1 / λ1 f = V2 / λ2 
 f = constante
Porque a freqüência é característica da fonte que emitiu a onda
	
	 
Raio incidente, raio refletido e raio refratado encontram-se todos no mesmo plano
	
	
Polarização
Se a onda, ao atravessar uma fenda, sofrer restrição ao movimento em alguma direção, diz-se que foi polarizada. A polarização acontece apenas em ondas transversais; nas ondas longitudinais o movimento de oscilação dá-se na mesma direção que a propagação. A onda pode também sofrer polarização quando é refletida; este fenômeno acontece com as ondas eletromagnéticas e é a explicação para o brilho dos dias meio enevoados.
	
	
Exercício 17: Identifique a principal propriedade das ondas (propagação; refração; difração; polarização; reflexão) presente em cada uma das situações descritas abaixo:
a) As estrelas cintilando no céu.
b) Uma haste que parece quebrada quando parcialmente submersa.
c) Ruídos ouvidos através de uma porta fechada.
d) Você vê o que acontece às suas costas mesmo que esteja olhando para frente.
e) Você ouve simultaneamente sons provenientes de diferentes fontes.
f) Num dia quente você vê o asfalto molhado mesmo que o sol brilhe.
g) Você fala ao celular mesmo que esteja em um local com portas e janelas fechadas.
h) Num dia ensolarado o azul do céu é esbranquiçado e brilhante.
i) Você ouve um carro passando na rua embora não possa vê-lo.
j) Você ouve um eco.
k) Uma piscina aparentando mais rasa que o real.
l) Uma fotografia sem reflexos.
Interferência / Superposição
Princípio de Fourier - interação entre duas ou mais ondas
Acontece interferência quando uma onda se encontra com uma ou mais ondas. Uma vez cessada a interferência a superposição se encerra e cada uma das ondas segue inalterada. 
Interferência / Superposição de ondas
Fenômeno de cancelamento e reforço resultante da superposição de ondas;
Aplica-se tanto a ondas mecânicas quanto a ondas eletromagnéticas. 
Após interferirem, cada onda continua a se propagar como antes;
Princípio de Fourier (Princípio da Superposição): 
Qualquer onda pode ser descrita como uma superposição diversas ondas senoidais.
	
	
O deslocamento de cada ponto do meio é a soma dos deslocamentos que cada ponto sofreria caso cada onda agisse sozinha.
A perturbação resultante em cada ponto do meio, durante a superposição, é a soma das perturbações individuais.
Y (x, t) = Y1 (x, t) + Y2 (x, t) + Y3 (x, t) + Y4 (x, t) + ... + Yn (x, t)
Encontramos superposição de ondas quando ouvimos simultaneamente diversos sons, agitamos a mão na superfície de um aquário, ouvimos um instrumento musical, falamos, sintonizamos um canal de rádio ou TV. 
As ondas que se superpõem podem:
Apresentar amplitudes diferentes;
 Apresentar freqüências diferentes; 
Apresentar comprimentos de onda diferentes; 
Ser idênticas.
Exemplos de superposição de ondas:
1.1. Duas ondas de mesma amplitude e freqüências diferentes
1.2. Duas ondas de mesma amplitude e freqüências diferentes
2. batimentos: ondas com freqüências ligeiramente diferentes f = Δf
Mesma onda anterior apresentada num intervalo de tempo maior. Neste caso vários ciclos são apresentados.
Devido à dificuldade em se adicionar (sem o uso de computadores) funçoes senoidais estudaremos (com equações) apenas a superposição de duas ondas idênticas que se propagam na mesma direção. 
Situação 1: mesma direção e sentido
Situação 2: mesma direção e sentidos opostos
Situação 1: 
Superposição de 2 ondas idênticas que se propagam na mesma direção e sentido: 
ym1 = ym2 = ym w1 = w2 = w k1 = k2 = k
Para um estudo geral consideremos que exista uma diferença de fase entre elas
A onda resultante também será uma onda viajante
	
Y1 (x, t) = ym sen (kx – wt)
Y2 (x, t) = ym sen (kx – wt + ()
	
(kx – wt) = fase da onda 1
(kx – wt + () = fase da onda 2
( = diferença de fase entre as ondas
	Y (x, t) = Y1 (x, t) + Y2 (x, t)
	Relembrando a identidade trigonométrica:
sen ( + sen ( = 2 [sen (( + () / 2] [cos (( - () / 2 ]
e considerando:
(kx - wt) = ((kx - wt + () = (
Tem-se:
Y (x, t) = 2 ym {sen [(kx - wt) + (kx - wt + ()] /2 }{ cos [(kx - wt) - (kx - wt + ()] /2]
 
Y (x, t) = 2 ym sen [(kx - wt + ( /2)] [cos ( - () /2]
Como cos (-( ) = cos (( )
Eq. de uma onda que se propaga, resultado da superposição de duas ondas idênticas
	
Y (x, t) = 2 ym cos (( /2) sen (kx wt + ( /2)
 nova amplitude: 2 ym cos (( /2)
Situação 2: 
Superposição de duas ondas idênticas se propagando em mesma direção e sentidos contrários
ym1 = ym2 = ym w1 = w2 = w; k1 = k2 = k
Nesta condição podem ser criadas as ondas denominadas ondas estacionárias. 
Não se considera a diferença de fase entre elas porque esta muda a cada instante uma vez que s epropagam em sentidos contrários. 
	
Y1 (x, t) = ym sen (kx – wt)
	
onda se propagando no sentido crescente de x
	Y2 (x, t) = ym sen (kx + wt)
	onda refletida – extremidade fixa
onda se propagando no sentido -x
Y (x, t) = Y1 (x, t) + Y2 (x, t)
Y (x, t) = ym sen (kx – wt) + ym sen (kx + wt)
	Relembrando a identidade trigonométrica:
sen ( + sen ( = 2 [sen (( + () / 2] [cos (( - () / 2 ]
e considerando:
(kx - wt) = ( (kx + wt) = (
Y (x, t) = 2 ym {sen [(kx - wt) + (kx + wt)] /2 }{ cos [(kx - wt) - (kx + wt)] /2]
Y (x, t) = 2 ym [sen ( kx ) ][cos ( wt)] 
Eq. de uma onda estacionária em uma corda, extremidade fixa
	
Y (x, t) = 2 ym sen (kx) (cos wt)
	
 nova amplitude: 2 ym sen (kx)
Equações de superposição de ondas
	CASO 1: mesma direção e sentido
Y (x, t) = 2 ym cos (( /2) sen (kx wt + ( /2)
A amplitude é constante e depende apenas da diferença de fase entre as ondas
A = 2 ym cos (( /2)
A onda resultante é sempre viajante
	CASO 2: mesma direção e sentidos contrários
Y (x, t) = 2 ym sen (kx) (cos wt)
A amplitude depende da posição: cada ponto do meio vibra com uma amplitude diferente
A = 2 ym sen (kx)
Podem se formar ondas estacionárias
CASO1: Estudo da superposição de ondas que se propagam na mesma direção e sentido: 
Apenas a amplitude se altera!
A onda resultante é também uma onda viajante que apresenta
mesmo comprimento de onda que as ondas individuais, 
mesma freqüência das ondas individuais
mesma direção e sentido de propagação das ondas individuais
a amplitude passa a ser 2 ym cos (( /2) e depende da diferença de fase entre as ondas.
Análise influência da diferença de fase na amplitude da onda resultante:
	se ( = 0 ( 
	Y (x, t) = 2 ym sen (kx - wt)
	( interferência compl. construtiva
	se ( = 1 ( ( 
	Y (x, t) = 0
	( interferência compl. destrutiva
	se ( = 2 ( ( 
	
	( interferência compl. construtiva
	se ( = 3 ( ( 
	
	( interferência compl. destrutiva
	se ( = n ( ( 
	n ímpar
n par
	( interferência compl. destrutiva
( interferência compl. construtiva
No caso da interferência completamente destrutiva a onda resultante deixa de existir, as ondas se anulam mutuamente. 
Obs: A primeira prova convincente de que a luz era uma onda eletromagnética deu-se através de experimentos onde foram constatadas interferências construtivas e destrutivas da luz. 
Ilustração de soma de 2 ondas idênticas que se propagam na mesma direção e sentido
	T1 = T2 = T = 10 s
Ym1 = Ym2 = 1,0 cm
Diferença de fase: ( = π / 2
Amplitude da nova onda:
A = 2 ym cos (( /2)
A = 2 (1,0) cos [(π / 2)/2]
A = 1,41 cm
	
	T1 = T2 = T = 10 s
Ym1 = Ym2 = 1,0 cm
Diferença de fase: ( = π / 3
Amplitude da nova onda:
A = 2 ym cos (( /2)
A = 2 (1,0) cos [(π / 3)/2]
A = 1,73 cm
	
Dadas as ondas, descritas pelas equações abaixo, descritas em unidades SI: 
Y1 (x,t) = 0,5 sen (2 ( x - 6( t); Y2 (x,t) = 0,5 sen (2 ( x - 6( t + 2 ()
Determine para cada uma das ondas: a direção de propagação; a amplitude; a freqüência; período; o comprimento de onda; a velocidade de propagação; a fase
Determine a diferença de fase entre as ondas
Determine, para a onda resultante da superposição: a direção de propagação; a amplitude; o comprimento de onda; a freqüência; o período; a fase; a equação; a velocidade de propagação
Exercício 15:
Determine a diferença de fase entre duas ondas idênticas que se deslocam na mesma direção e sentido sabendo que, quando superpostas, apresentam amplitude 50% maior que suas amplitudes individuais.
CASO 2: Estudo da superposição de ondas que se propagam na mesma direção e sentidos contrários: 
A onda resultante pode ser uma onda estacionária que apresenta
mesmo comprimento de onda que as ondas individuais, 
mesma freqüência das ondas individuais
a amplitude passa a ser 2 ym sen (kx) → cada ponto do meio vibra com uma amplitude diferente, que varia de zero a 2 ym
Os pontos que permanecem em repouso (pontos onde sen (kx) = 0 ) e são denominados nós (ou nodos).
Para localizar os nós (ponto de amplitude nula):
Condição: sen (kx) = 0 ( kx = n (
(2( /() x = n ( ( x = n.(.( / 2( ( x = n (/2
	x = n (/2,
sendo n = inteiro
	Localização dos nós de uma onda estacionária
Exercício 16:
A equação abaixo, dada em unidades SI, descreve uma onda que se propaga numa corda muito maior que seu comprimento de onda.
Y(x,t) = 0,3 sen (4 ( x/3 – 0,8( t/2)
Ao encontrar um abstáculo, reflete-se (com inversão de fase) sobre si mesma. 
Escreva a equação da onda refletida
Escreva a equação da onda resultado desta superposição
Determine seu comprimento de onda, sua frequencia, sua amplitude máxima e mínima
Localize pelo menos 3 nós.
Exercício 17:
Qual a condição para que duas ondas idênticas, quando superpostas, apresentem mesma freqüência, mesmo comprimento de onda e mesma amplitude?
Aplicações das ondas estacionárias - Modos normais de vibração
Sistemas Vibrantes e Ondas Estacionárias
É comum que uma onda, ao se propagar, encontre obstáculos nos quais sofra sucessivas reflexões. Cada onda refletida será superposta à onda incidente, podendo criar padrões de interferência e dando origem ao que se denomina onda estacionária. Este é o princípio de funcionamento de diversos instrumentos musicais e dos hologramas.
Ondas estacionárias:
caracterizam-se por cada ponto da onda realizar um MHS com amplitudes diferentes. → existem pontos que não se movem.
resultam da superposição de duas ondas idênticas (mesmo (, mesma f, mesma A), propagando-se em sentidos opostos
podem acontecer tanto nas reflexões em extremidades fixas quanto nas extremidades livres
são formadas quando as ondas que interferem apresentam frequencia igual a uma das frequencias de ressonância do sistema (frequencia natural)
Quais são as frequencias naturais de um sistema?
	PARA FACILITAR SEU ESTUDO
Sistemas complexos de ondas, estacionárias ou não, sempre podem ser descritos como combinações de sistemas simples. Para o estudo das ondas estacionárias e compreensão do conceito de freqüência natural faremos a análise de sistemas vibrantes simples. 
Como vibram os sistemas compostos de bolas iguais, igualmente espaçadas ao longo de uma corda cujas extremidades encontram-se fixas? Analisemos três sistemas, formados respectivamente por 1, 2 e 3 bolas.
Sistema de bolas:
cada um dos seus modos de vibração mostra todas as propriedades de um sistema simples
qualquer movimento concebível num sistema de bolas numa corda pode ser considerado uma combinação de modos elementares
para analisar um sistema devemos descobrir os modos mais básicos
em qualquer modo vibracional todas as partículas movem-se em MHS com mesma freqüência.
bolas diferentes podem se mover com amplitudesdiferentes e certas bolas podem sequer se mover
Relação entre as freqüências de vibração de cada modo:
2oº modo tem freqüência (f2) tal que f2 = 2 f1
3oº modo tem freqüência (f3) tal que f3 = 3 f1
e-nésimoº modo tem freqüência (fn) tal que fn = n f1
Observações:
há sempre tantos modos de vibração quantas forem as bolas. Em cada modo todas as bolas se movem com a mesma freqüência, embora nem sempre em fase.
sistemas complexos são conjuntos de osciladores simples; apresentam várias formas de oscilar em MHS
os modos de vibração mais complexos têm freqüências mais altas
aumentando-se a freqüência do 10 modo a freqüência de todos os modos superiores aumentarão na mesma proporção (aumentando-se a tensão na corda ou tornando as bolas mais leves)
o tempo de amortecimento é em geral mais curto para freqüências mais altas
posições de máxima vibração são denominadas ventre e posições estacionárias são denominados nós (ou nodos)
À medida que aumentamos o número de bolas aumentamos também os modos normais de vibração. 
se aumentarmos significativamente o número de bolas, 
se todas as bolas forem iguais,
se todas as bolas estiverem igualmente espaçadas,
Os modos de vibração tendem a se aproximar de uma senóide. Os modos possíveis, bem como o número de bolas tende ao infinito. 
Esta é a situação de uma corda que é dedilhada, onde se cria um pulso que se propaga em ambos os sentidos e é sucessivamente refletido nas extremidades, gerando ondas que se superpõem, criando um padrão estacionário. Quais são os modos normais possíveis? 
MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO
Quais são as frequencias naturais de vibração de um sistema? 
São todas as frequências com as quais seja possível estabelecer ondas estacionárias naquele sistema: freqüência fundamental + seus harmônicos 
Determinação das frequencias naturais de uma corda de comprimento L
Condição de formação de ondas estacionárias (para extremidades fixas):
possuir nós em ambas as extremidades da corda
distância entre 2 nós consecutivos: ( / 2
	
	
L = ( (1/2)
(
(1 = 2L
	
	
L = 2 ( (2/2)
(
(2 = L
	
	
L = 3 ( (3/2)
(
(3 = 2L/3
	
	
L = 4 ( (4/2)
(
(4 = 2L/4
	Superposição dos 5 primeiros modos normais:
	Comprimentos de onda possíveis:
L = n ( (n/2)
(
(n = 2L/n
	onde:
	(n = comprimento de onda possível
L = comprimento da corda
n = número inteiro
(1 ( f1 ( 1o. harmônico (freqüência fundamental)
(2 ( f2 ( 2o. harmônico
(n ( fn ( enésimo harmônico
freqüência fundamental + seus harmônicos = freqüência natural de vibração
As frequencias naturas dependem ainda das propriedades físicas do meio, o que determina a velocidade com qua as ondas se propagam naquele meio.
Como 
v = (.f (n = 2L/n fn = n. v/2L
Suponha uma onda se propagando numa corda.
Aumentar o tamanho de uma corda aumenta ou diminui a freqüência natural?
Uma corda pode vibrar em diversas freqüências ao mesmo tempo, combinando ainda diferentes amplitudes ( timbre do som emitido. 
Cordas mais grossas têm frequencia fundamental mais alta?
Aumentar a tensão na corda aumenta ou diminui f?
As ondas estacionárias são formadas tanto em cordas como em tubos, com ambas as extremidades fixas ou livres ou ainda com uma extremidade livre e outra fixa. Estas possibilidades são mostradas abaixo. Observe que em todos eles:
distância entre dois ventres consecutivos: ( / 2 
distância entre dois nós consecutivos: ( / 2 
distância entre um nó e um ventre consecutivos: ( / 4
	
	
extremidades livres.
	
	
extremidades fixas.
	
	
uma extremidade fixa
 e 
outra livre.
Ressonância:
Considere uma corda de comprimento L, fixa nas extremidades. 
Condição de onda estacionária: 
o comprimento da corda deve ser múltiplo inteiro de meio comprimento de onda (o maior λ é sempre igual a 2L). 
Como, (n=2L/n, conclui-se que as freqüências possíveis são: fn = n. v/2L. 
Condição de ressonância:
A freqüência do estímulo deve ser igual à freqüência natural de vibração (freqüência fundamental + seus harmônicos)
Se, num sistema vibrante, acontecer um estímulo externo cuja frequencia seja igual a uma das freqüências naturais o sistema absorverá energia e a amplitude do movimento será aumentada. 
Exercício 16: 
Imagine sistemas onde seja possível estabelecer ondas estacionárias e identifique-os no desenho acima: extremidades livres, fixas ou ambos?
Exercício 17: 
Uma corda de comprimento 2,0 m tem as extremidades fixas. Estabelece-se nesta corda uma onda estacionária de 120 Hz correspondente ao 3o. harmônico. Determine:
o comprimento de onda
a velocidade de propagação
a distância entre um nó e um ventre consecutivos.
Exercício 18: 
Uma corda vibra com ambas as extremidades fixas de forma que se estabelece uma onda estacionária. A equação abaixo representa o 6o. harmônico. 
Y (x, t) = 2 sen (20.π.x) cos (4.π.t)
Determine: 
o comprimento de onda desta onda
o comprimento da corda
a freqüência fundamental 
a posição de cada um dos nós
a freqüência correspondente ao 5o. Harmónico
a posição de cada um dos nós caso a corda vibre em seu 6º. harmônico
POTÊNCIA TRANSMITIDA POR ONDAS SENOIDAIS EM CORDAS
Potência:
taxa na qual a energia é transmitida
	
P = dE / dt
	
E = EC + EP
Suponha uma onda transversal que se propaga numa corda homogênea
Onda transversal: 
direção de vibração: y
direção de propagação : x
Corda homogênea: 
densidade linear constante
μ = constante = massa / comprimento
Cada ponto da corda vibra em MHS, podendo-se utilizar as relações:
Posição:
Y (x, t) = A sen(kx – wt)
Velocidade de vibração de cada ponto do meio:
Vy = - A w cos(kx – wt)
Velocidade de propagação da onda:
v = λ f = λ / T
Energia de cada elemento de massa Δm da corda:
E = EC + EP
Cálculo da energia de uma onda mecânica que se propaga da corda 
(elementos de massa Δm; comprimento Δx)
Energia cinética:
ΔEc = (1/2) Δm (Vy) 2
Considerando que
μ = Δm/ Δx → Δm = μ Δx
Vy = - A w cos(kx – wt) 
ΔEc = (1/2) μ Δx [- A w2 cos(kx – wt)] 2
ΔEc = (1/2) μ Δx A2 w2 cos2 (kx – wt)
Tomando lim Δm→ 0, temos Δx→ dx e ΔEc→ dEc
dEc = (1/2) μ A2 w2 cos2 (kx – wt) dx
Considerando o instante t = 0
dEc = (1/2) μ A2 w2 cos2 (kx) dx
Integrando para um comprimento de onda λ (de zero a λ)
∫dEc = ∫ (½) μ A2 w2 cos2 (kx) dx
∫dEc = (½) μ A2 w2 ∫cos2 (kx) dx
Tomando numa tabela de integrais
∫cos2 (ax) dx = [(x/2) + (sen(2ax) / 4a] 
∫sen2 (ax) dx = [(x/2) - (sen(2ax) / 4a] 
Resolvendo, tem-se a energia cinética associada a cada comprimento de onda:
ECλ = (½) μ A2 w2 [(x/2) + (sen(2ax) / 4a]│o λ
ECλ = (¼) μ A2 w2 λ
Energia potencial:
ΔEp = (1/2) k (Y) 2
Lembrando que
 Y = Y (x, t) = A sen(kx – wt)
ΔEP = (1/2) k [A sen(kx – wt)] 2
ΔEp = (1/2) k A2 sen2 (kx – wt)
Considerando que cada elemento de massa Δm oscila em MHS, e que k = w2 Δm 
ΔEp = (1/2) w2 Δm A2 sen2 (kx – wt)
Considerando que
μ = Δm/ Δx → Δm = μ Δx
ΔEp = (1/2) w2 μ Δx A2 sen2 (kx – wt)
Tomando lim Δm→ 0, temos Δx→ dx e ΔEp→ dEp
dEp = (1/2) μ A2 w2 sen2 (kx – wt) dx
Considerando o instante t = 0
dEp = (1/2) μ A2 w2 sen2 (kx) dx
Integrando para um comprimento de onda λ (de zero a λ)
∫dEp = ∫ (½) μ A2 w2 sen2 (kx) dx
∫dEp = (½) μ A2 w2 ∫ sen2 (kx) dx
Tomando numa tabela de integrais
∫cos2 (ax) dx = [(x/2) + (sen(2ax) / 4a] 
∫sen2 (ax) dx = [(x/2) - (sen(2ax) / 4a] 
Resolvendo, tem-se a energia potencial associada a cada comprimento de onda:
Epλ = (½) μ A2 w2 [(x/2) - (sen(2ax) / 4a]│o λ
Epλ = (¼) μ A2 w2 λ
Energia Mecânica: 
Eλ = Epλ + Ecλ
Eλ = (¼) μ A2 w2 λ + (¼) μ A2 w2 λ
Eλ = (½) μ A2 w2 λ
	
Eλ = (½) μ A2 w2 λ
	Energiaque passa por um dado ponto de
uma corda durante 1 período de oscilação
Potência transferida: P = (dE /dt) = Eλ / T
P = (½) μ A2 w2 λ / T
Lembrando que v = velocidade de propagação da onda
v = λ / T
P = (½) μ A2 w2 v
Exercício 19: 
Uma mangueira de jardim quando vazia tem massa de 3,100 kg e, esticada, comprimento de 40,6 m. Você deseja gerar nesta corda ondas senoidais que tenham amplitude 0,300 m e e comprimento de onda de 0,80 m. Se as ondas se propagam com velocidade 20m/s na situação descrita,:
determine a frequência da vibração com a qual você deve agitar a mangueira.
calcule a taxa na qual você deve fornecer energia à mangueira
a energia que você fornece em 2 minutos é suficiente para elevar a mangueira verticalmente a que altura?
Se você aumentasse o comprimento de onda da onda gerada para 0,90 m, que alteração aconteceria na frequencia com a qual você deveria fazer oscilar a mangueira? Que alteração aconteceria na potência formecida? Suponha que a velocidade permaneça constante
Se a mangueira estivesse cheia de água a potência a ser fornecida sofreria alteração?
�PAGE �
_1392464373/ole-[42, 4D, FA, E2, 0D, 00, 00, 00]
_1392464377/ole-[42, 4D, BE, 50, 05, 00, 00, 00]
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