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Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Segunda Avaliac¸a˜o - 10 de julho de 2013 Nome: 1) Determine as seguintes integrais. a) ∫∫ B1 ∫ e −‖x‖2 dΩ sendo B1 = { x ∈ R3 : ‖x‖ 6 1}; b) ∫ 2 1 ∫ 2 0 (x2 + 2x1e x2)dx1dx2; c) ∫ 1 0 ∫ x2 0 ∫ 1 x1 6x1x2x3dx3dx2dx1; d) ∫∫ R x1e x 2 1dΩ, R = [0, 1]× [0, 1]; e) ∫ 1 0 ∫ 1 x21 x 3 1sen ( x 3 2 ) dx2dx1; f) ∫ 2 0 ∫√4−x21 − √ 4−x21 √ x21 + x 2 2dx2dx1. 2) Seja a func¸a˜o f : Rn → R, x 7→ ‖x‖2. a) Determine f ′ (x;y) , y ∈ Rn. b) Determine g = grad (f). c) O campo escalar f tem ponto crı´tico? Se sim, determine-o. Jus- tifique sua resosta. d) Determine g ′ (x;y). e) Determine D2xf. f) Determine uma matriz Hessiana H (f). g) f tem extremo(s) local(is)? Se sim, indique-o(s). Justifique sua resposta. 3) Determine a) min (x1,x2,x3)∈R2 {2x3 (x1 + x2) + 10x1x2} sujeito a x1x2x3 = 10; 1 b) Treˆs nu´meros positivos x1, x2 e x3 cuja soma e´ 100 e o produto x1x2x3 seja ma´ximo. Formula´rio: Seja f : S ⊂ Rn → Rm f ′ (x;y) = d dt ∣∣ t=0 f (x + ty); f (x + y) = f (x) + Tx (y) + 1 2! Bx (y,y) + r (x,y) : lim y→0 r (x,y) ‖y‖2 = 0, Tx e´ linear e Bx e´ bilinear; ‖u‖ = √u · u; Dx (f ◦ g) (x) = Dyf ∣∣ y=g(x) Dxg (x);∫ R f (x)dΩ = ∫ T−1(R) (f ◦ T) (u) (x) |DuT |dω sendo dΩ = dx1...dxn e dω = du1...dun 2
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