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1 Medidas de Dispersão • Suponha as notas de 2 grupos de Estudantes, cada qual com4 alunos. Grupo “A” : 4, 5, 5, 6 � média: 5 Grupo “B” : 0, 0, 10, 10 � média: 5 1 Medidas de Dispersão • Os dois grupos apresentam a mesma média • O comportamento dos 2 grupos são bem distintos. GRUPO “A”: valores são mais homogêneos GRUPO “B”: valores são dispersos em relação à média 2 Medidas de Dispersão • Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas: – a) Amplitude Total – b) Desvio Médio – c) Variância – d) Desvio Padrão – e) Coeficiente de variação 3 a) AMPLITUDE TOTAL - R – é a diferença entre o maior e o menor valor observados. R = Limite superior - Limite Inferior • Exemplo 5: Idade de 20 alunos: Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 R = 9 – 1 = 8 4 2 b) DESVIO MÉDIO - DM – É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência central: média ou mediana � DM = Σ Xi – µµµµ_���� população n Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável n = nº elementos µµµµ = média aritmética b) DESVIO MÉDIO - DM EXEMPLO: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10 a) Calcule a média X = = = 4 b) Montar a tabela a seguir: ΣΣ XiXi nn 4040 1010 b) DESVIO MÉDIO - DM Xi Xi - x Xi – x 2 2 – 4 = - 2 2 2 2 – 4 = - 2 2 3 3 – 4 = - 1 1 3 3 – 4 = - 1 1 3 3 – 4 = - 1 1 DM = = 4 4 – 4 = 0 0 4 4 – 4 = 0 0 DM = 1,56 4 4 – 4 = 0 0 5 5 – 4 = 1 1 10 10 – 4 = 6 6 Σ 14 Σ Xi – x_ n - 1 14 9 Considerando uma amostra c) VARIÂNCIA – população: σ2 amostra: s2 – é a média dos quadrados dos afastamentos entre as os valores da variável e sua média aritmética – Revela a dispersão do conjunto que se estuda 3 � Para uma amostra s2 = Σ (Xi – X )2_ n – 1 Sendo: s2= variância amostra n = nº elementos X = média aritmética Xi = valor da variável � Para uma população σ2 = Σ (Xi – µµµµ )2_ n Sendo: σ2 = variância população Xi = valor variável n = nº elementos µ = média aritmética c.1) Variância - σ2 – dados simples Exemplo 7: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10 a) Calcule a média X = = = 4 b) Montar a tabela a seguir: ΣΣ XiXi nn 4040 1010 c.1) Variância - s2 – dados simples Xi Xi - x ( Xi – x )2 2 2 – 4 = - 2 22 = 4 2 2 – 4 = - 2 22 = 4 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 s2 = = 4 4 – 4 = 0 02 = 0 4 4 – 4 = 0 02 = 0 4 4 – 4 = 0 02 = 0 s2 = = 5,33 5 5 – 4 = 1 12 = 1 10 10 – 4 = 6 62 = 36 Σ 48 ΣΣ ( Xi ( Xi –– x )x )22 n n -- 11 4848 99 c.2) Variância - s2 – dados agrupados Xi fi Xi . fi Xi - x ( Xi – x )2 ( Xi – x )2 . fi 2 2 2 . 2 = 4 2 – 4 = -2 (-2)2 = 4 4 . 2 = 8 3 3 3 . 3 = 9 3 – 4 = -1 (-1)2 = 1 1 . 3 = 3 4 3 4 . 3 = 12 4 – 4 = 0 02 = 0 0 . 3 = 0 5 1 5 . 1 = 5 5 – 4 = 1 12 = 1 1 . 1 = 1 10 1 10 . 1 = 10 10 - 4 = 6 62 = 36 36 . 1 = 36 Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48 se amostra s2 = s2 = = 5,33 ΣΣ ( Xi ( Xi –– x )x )2 2 . fi. fi ΣΣ fi fi -- 11 4848 99 4 c.2) Variância - s2 – dados agrupados em classes Xi PM fi PM.fi PM-x ( PM–x )2 ( PM–x )2.fi 0 2..... 1 2 1.2 = 2 1-5= -4 (-4)2 = 16 16 . 2 = 32 2 4..... 3 4 3.4 = 12 3-5= -2 (-2)2 = 4 4 . 4 = 16 4 6..... 5 8 5.8 = 40 5-5= 0 02 = 0 0 . 8 = 0 6 8..... 7 6 7.6 = 42 7-5= 2 (2)2 = 4 4 . 6 = 24 8 10.... 9 1 9.1 = 9 9-5= 4 (4)2 = 16 16 . 1 = 16 total .... 21 105 88 Σ ( PM – x )2 . fi Σ fi - 1 Σ ( PM.fi) Σ fi X = = 105 21 X = 5 s2 = = 88 20s 2 = s2 = 4,4 d) DESVIO PADRÃO – Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios – É a mais utilizada – Revela a dispersão do conjunto que se estuda � para uma população σ = σ2 � para uma amostra s = s2 d) Desvio Padrão - “σ” ou “s” – Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão é nulo. – quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média – MEDIA ± 1 σ => 68,26% dos valores – MEDIA ± 2 σ => 95,44% dos valores – MEDIA ± 3 σ => 99,74% dos valores e) Coeficiente de Variação - CV CV = σσσσ σ - desvio padrão X X - média artitmética – o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição – Valor máximo é CV = 1 0 ≤ CV ≤ 1 16 5 Coeficiente de Variação - CV – Quanto mais próximo de 1: �mais heterogênea é a distribuição �Os valores estão mais dispersos – Quanto mais próximo de 0: �mais homogênea é a distribuição �Os valores da variável estão mais próximos em torno da média 17 Coeficiente de Variação - CV – Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais foram: • “a”: 60; 40; 50; 50 • “b”: 70; 70; 30; 30 • Qual foi mais regular ? 18 Coeficiente de Variação - CV Na comparação de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados: 1. expressos em diferentes unidades de medida 2. expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes. 19 Coeficiente de Variação - CV Comparação de valores expressos em diferentes unidades de medida Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia mais: PESO ou COMPRIMENTO XPESO = 20 kg XCOMPRIMENTO = 50 metros σσσσPESO = 2 kg σσσσCOMPRIMENTO = 4 metros 20 6 Coeficiente de Variação - CV XXPESOPESO σσPESOPESOCVCVPP = CVCVCC = σσCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO XXCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO 44 22 2020CVCVPP = 5050CVCVCC = CVCVPP = 0,10 CVCVCC = 0,08 CVCVPESOPESO = 0,10 ≥ CVCVCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO= 0,08 PESO varia mais que o comprimentoPESO varia mais que o comprimento 21 Coeficiente de Variação - CV expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo “ A ” ou “ B “ tem mais variação de rendimento em um processo: XA = 80 % XB = 50 % σσσσA = 2 % σσσσB = 1 % 22 Coeficiente de Variação - CV σσAACVCVAA= XXAA σσBBCVCVBB = XXBB 22 8800CVCVPP = 11 5050CVCVBB = CVCVAA= 0,025 CVCVBB = 0,020 CVCVAA = 0,025 ≥ CVCVBB= 0,020 O rendimento do Produto A varia mais que o O rendimento do Produto A varia mais que o rendimento do produto B no decorrer do processorendimento do produto B no decorrer do processo 23
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