gabarito lista 1ºunidade UFPE

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Gabarito da 1a Lista de Exercı´cios - 2017.2
Geometria Analı´tica - Turmas P4 e P5
Prof. Fa´bio Lima
1. Considere um triaˆngulo de ve´rtices A,B e C, e sejam E e F os pontos me´dios dos lados
AB e BC.
a) Explique por que
−→
EB= 12
−→
AB e
−→
BF = 12
−→
BC.
b) Mostre que o segmento de reta que liga E a F e´ paralelo a AC e tem metade de seu
comprimento.
Resp: (a) Temos que −→EB e 12
−→
AB possuem a mesma direc¸a˜o e sentido que
−→
AB. Ale´m disso, como
E e´ ponto me´dio do segmento AB, temos que ||−→EB|| = ||12
−→
AB|| = 12 ||
−→
AB||. Logo, como
ambos possuem a mesma direc¸a˜o, sentido e comprimento, vale a igualdade
−→
EB = 12
−→
AB.
De forma ana´loga, mostra-se que
−→
BF = 12
−→
BC.
(b) Temos que
−→
EF =
−→
EB+
−→
BF
=
1
2
−→
AB+
1
2
−→
BC
=
1
2
(
−→
AB+
−→
BC)
=
1
2
−→
AC
Ou seja,
−→
EF e´ paralelo a
−→
AC e possui a metade de seu comprimento, ja´ que
||−→EF ||= 1
2
||−→AC||.
2. Sejam A,B,C,D,E e F os seis ve´rtices, em ordem, de um hexa´gono regular. Mostre que
−→
AB+
−→
AC+
−→
AD+
−→
AE+
−→
AF = 3
−→
AD.
1
Resp: Note que
−→
AB+
−→
AC+
−→
AD+
−→
AE+
−→
AF = (
−→
AC+
−→
AF)+(
−→
AB+
−→
AE)+
−→
AD
=
−→
AD+
−→
AD+
−→
AD= 3
−→
AD.
3. Dado um tetraedro ABCD, seja M um ponto que satisfaz
−→
MB+
−→
MC+
−−→
MD=~0.
a) Explique por que M pertence a` face BCD.
b) Verifique que as coordenadas de
−→
AM na base (
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD) sa˜o 13(1,1,1).
Resp: (a) Note que a igualdade
−→
MB+
−→
MC+
−−→
MD=~0,
implica que (
−→
MB,
−→
MC,
−−→
MD) e´ L.D. e, consequentemente, M,B,C e D devem ser coplana-
res.
2
(b) Dada a base (
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD), temos que
−→
MB=
−→
MA+
−→
AB,
−→
MC =
−→
MA+
−→
AC,
−−→
MD=
−→
MA+
−→
AD.
Sendo assim,
3
−→
MA+
−→
AB+
−→
AC+
−→
AD=~0,
−→
AM =
1
3
(
−→
AB+
−→
AC+
−→
AD),
−→
AM =
1
3
(1,1,1).
4. Seja E = (~e1,~e2,~e3) uma base do espac¸o tridimensional e sejam
~u=~e1+~e2+~e3,
~v=~e1+~e2,
~w=~e1.
Verifique que (~u,~v,~w) e´ LI e escreva~e1,~e2 e~e3 como combinac¸o˜es lineares de~u,~v e ~w.
Resp: Considere a combinac¸a˜o linear
α~u+β~v+ γ~w=~0.
A igualdade acima pode ser reescrita como
α(~e1+~e2+~e3)+β (~e1+~e2)+ γ(~e1) =~0.
Consequentemente,
(α+β + γ)~e1+(α+β )~e2+α~e3 =~0.
Como E e´ uma base, a sequeˆncia (~e1,~e2,~e3) e´ LI e, portanto,
α+β + γ = 0
α+β = 0
α = 0
A soluc¸a˜o dos sistema e´ dada por α = β = γ = 0 e, consequentemente, (~u,~v,~w) e´ LI.
Agora, note que podemos escrever
~e1 = ~w,
~e2 =~v−~w,
~e3 =~u−~v.
3
Sendo assim, as coordenadas de~e1,~e2,~e3 na base (~u,~v,~w) sa˜o
~e1 = (0,0,1),
~e2 = (0,1,−1),
~e3 = (1,−1,0).
5. Avalie se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es abaixo. Justifique sua resposta.
(i) Se as sequeˆncias de vetores (~u,~v),(~u,~w),(~v,~w) sa˜o LI, podemos afirmar que a sequeˆncia
(~u,~v,~w) e´ linearmente independente.
(ii) Se a sequeˆncia (~u,~v,~w) e´ LD, sempre podemos escrever ~w como combinac¸a˜o linear
dos outros dois vetores.
(iii) Dado um triaˆngulo ABC, a sequeˆncia formada por
−→
AB,
−→
BC e
−→
CA e´ LI.
Resp: (i) Falso. Considere~u= (1,0,1),~v= (0,1,0) e ~w= (1,1,1).
(ii) Falso. Considere~u= (1,0,0),~v= (2,0,0) e ~w= (0,1,0).
(iii) Falso. Os vetores
−→
AB,
−→
BC e
−→
CA sa˜o coplanares, logo, a sequeˆncia (
−→
AB,
−→
BC,
−→
CA) e´ LD.
6. Fixada uma base ortonormal, escreva ~w = (−1,−3,2) como combinac¸a˜o linear de dois
vetores~u e~v, tais que~u e´ paralelo ao vetor~z= (0,1,3) e~v e´ ortogonal a~z.
Resp: Seja~u a projec¸a˜o ortogonal de ~w sobre~z, e seja~v= ~w−~u. Temos que~u e´ paralelo a~z e~v
e´ ortogonal a~z. Ale´m disso, ~w=~u+~v. Sendo assim,
~u= pro j~z~w=
~w ·~z
||~z||2~z,
=
3
10
(0,1,3).
Por sua vez,
~v= ~w−~u= (−1,−3,2)− 3
10
(0,1,3),
= (−1,−33/10,11/10).
7. Verifique que (~u,~v,~w) e´ linearmente independente se, e somente se, (~u+~v,~u+~w,~v+~w)
e´ linearmente independente.
Resp: Suponha (~u,~v,~w) LI. Considere a combinac¸a˜o linear
α(~u+~v)+β (~u+~w)+ γ(~v+~w) =~0.
Sendo assim,
(α+β )~u+(α+ γ)~v+(β + γ)~w=~0.
Como (~u,~v,~w) e´ LI,
α+β = 0
α+ γ = 0
β + γ = 0
4
Consequentemente, α = β = γ = 0. Logo, (~u+~v,~u+~w,~v+~w) e´ LI.
Agora, suponha (~u+~v,~u+~w,~v+~w) LI. Considere
~f =~u+~v,
~g=~u+~w,
~h=~v+~w.
A partir das equac¸o˜es acima, podemos escrever
~u=
1
2
(~f −~h+~g),
~v=
1
2
(~h−~g+~f ),
~w=
1
2
(~g−~f +~h).
Enta˜o, se considerarmos a combinac¸a˜o linear
α~u+β~v+ γ~w=~0,
temos que
1
2
[α(~f −~h+~g)+β (~h−~g+~f )+ γ(~g−~f +~h)] =~0.
Ou ainda,
(α+β − γ)~f +(α−β + γ)~g+(−α+β + γ)~h=~0.
Como (~f ,~g,~h) e´ LI,
α+β − γ = 0,
α−β + γ = 0,
−α+β + γ = 0.
Tal sistema tem como soluc¸a˜o α = β = γ = 0. Logo, (~u,~v,~w) e´ LI.
8. No paralelepı´pedo retaˆngulo da figura abaixo, HG, BC e CG medem, respectivamente, 3,
1 e 2.
a) Explique por que (
−→
AB,
−→
AE,
−→
AD) e´ base.
b) A base do item (a) e´ ortonormal?
5
c) Determine as coordenadas de
−→
AC,
−→
BD e
−→
AG em relac¸a˜o a base do item (a).
d) Determine o comprimento das diagonais BD e AG.
e) E´ possı´vel formar uma base com a sequeˆncia (
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD)? Justifique sua resposta.
Resp: (a)
−→
AB,
−→
AE e
−→
AD sa˜o dois a dois LI, ja´ que na˜o sa˜o paralelos. Ale´m disso, como na˜o sa˜o
paralelos a um mesmo plano, (
−→
AB,
−→
AE,
−→
AD) e´ LI. Como treˆs vetores LI determinam uma
base para V3, tal sequeˆncia e´ uma base.
(b) Na˜o. Se fosse ortonormal a norma de cada um dos vetores que formam a base deveria
ser igual a 1. No entanto, por exemplo, ||−→AB||= 3.
(c) Temos que
−→
AC =
−→
AB+
−→
AD,
−→
BD=
−→
BA+
−→
AD=−−→AB+−→AD,
−→
AG=
−→
AB+
−→
AD+
−→
AE.
(d) Temos que ||−→AB||= 3, ||−→AD||= 1, ||−→AE||= 2. Sendo assim,
||−→BD||2 = ||−→AB||2+ ||−→AD||2,
= 9+1 =
√
10,
||−→AG||2 = ||−→AC||2+ ||−→AE||2,
= 10+4 =
√
14.
(e) Note que a sequeˆncia (
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD) e´ formada por treˆs vetores coplanares, logo e´ LD.
Consequentemente, na˜o pode ser uma base.
9. Calcule m de modo que a sequeˆncia formada por ~u = (1,2,2), ~v = (m− 1,1,m− 2) e
~w = (m+ 1,m− 1,2) seja LD. E´ possı´vel escrever ~u como combinac¸a˜o linear de ~v e ~w?
Justifique sua resposta.
Resp: Se (~u,~v,~w) e´ LD, enta˜o ∣∣∣∣∣∣
1 2 2
m−1 1 m−2
m+1 m−1 2
∣∣∣∣∣∣= 0.
Tal igualdade nos fornece que m = 0 ou m = 3. Note que, para m = 0 temos ~v =
(−1,1,−2) e ~w = (1,−1,2), e para m = 3 temos que ~v = (2,1,1) e ~w = (4,2,2). Em
ambos os casos~v e´ paralelo a ~w. Logo, se~u puder ser escrito como combinac¸a˜o linear de
~v e ~w, ele sera´ paralelo a (−1,1,−2) ou (2,1,1), por exemplo. No entanto, note que na˜o
existe λ ∈ R tal que (1,2,2) = λ (−1,1,−2) ou (1,2,2) = λ (2,1,1). Logo, ~u na˜o pode
ser escrito como combinac¸a˜o linear de~v e ~w.
10. Sejam OABC um tetraedro e M o ponto me´dio de BC. Explique por que (
−→
OA,
−→
OB,
−→
OC) e´
base e determine as coordenadas de
−→
AM nessa base.
6
Resp: Os vetores
−→
OA,
−→
OB e
−→
OC sa˜o dois a dois na˜o paralelos e, ale´m disso, na˜o sa˜o paralelos a
um mesmo plano. Logo, a sequeˆncia (
−→
OA,
−→
OB,
−→
OC) e´ LI e, portanto, uma base de V3. Por
sua vez, temos que
−→
AM =
−→
AB+
−→
BM =
−→
AB+
1
2
−→
BC,
=
−→
AB+
1
2
(
−→
OC−−→OB),
=−−→OA+−→OB+ 1
2
(
−→
OC−−→OB),
=−−→OA+ 1
2
−→
OB+
1
2
−→
OC.
Logo,
−→
AM = (−1,1/2,1/2).
11. Sejam E = (~e1,~e2,~e3) uma base ortonormal de V3, ~u = (1,−1,3)E , ~v = (2,1,3)E e ~w =
(−1,−1,4)E . Determine:
a) As coordenadas de~u+~v,~u−2~v,~u+3~v−8~w em relac¸a˜o a base E.
b) Obtenha
||~u||, ||~v||, ||~u+~v||, ||~u−2~v||.
c) Verifique se~u,~v e ~w sa˜o dois a dois ortogonais.
Resp: (a) Temos que
~u+~v= (1,−1,3)+(2,1,3) = (3,0,6),
~u−2~v= (1,−1,3)−2(2,1,3) = (−3,−3,−3),
~u+3~v−8~w= (1,−1,3)+3(2,1,3)−8(−1,−1,4) = (15,10,−20).
(b) Temos que
||~u||=
√
11,
||~v||=
√
14,
||~u+~v||= 3
√
5,
||~u−2~v||= 3
√
3.
7
(c) Temos que
~u ·~v= 10,
~u ·~w= 12,
~v ·~w= 9.
Logo, (~u,~v,~w) na˜o sa˜o dois a dois ortogonais.
12. Verifique que a altura do tetraedro ABCD relativa a` base ABC e´
h= |[−→AB,−→AC,−→AD]|/||−→AB∧−→AC||.
Resp: Temos que a altura do tetraedro relativa a base ABC e´ igual a altura do paralelepı´pedo
gerado por (
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD). Sendo assim, como o volume do paralelepı´pedo e´ dado por
V = Abh⇒ |[−→AB,−→AC,−→AD]|= ||−→AB∧−→AC||h,
temos que
h= |[−→AB,−→AC,−→AD]|/||−→AB∧−→AC||.
13. Considere os vetores ~u com norma
√
2, ~v com norma
√
3, tais que ang(~u,~v) = 45o. Se
~w=~u∧~v e
~t = pro j~v~u+ pro j~u~v+~w,
determine as coordenadas de~t na base β = (~u,~v,~w).
Resp: Temos que
pro j~v~u=
~u ·~v
||~v||2~v,
=
||~u||||~v||cosθ
||~v||2 ~v,
=
√
3
3
~v.
pro j~u~v=
~v ·~u
||~u||2~u,
=
||~v||||~u||cosθ
||~u||2 ~u,
=
√
3
2
~u.
Sendo assim,
~t = pro j~v~u+ pro j~u~v+~w,
=
√
3
3
~v+
√
3
2
~u+~w.
8
Ou seja,~t = (
√
3/2,
√
3/3,1).
14. Dados ~v = (1,1,1),~w = (0,1,−1) e~t = (2,1,−1), obtenha ~u de norma √5, ortogonal a
~t, tal que (~u,~v,~w) seja LD. Algum destes vetores forma aˆngulo agudo com (−1,0,0)?
Resp: Seja~u= (a,b,c). Da condic¸a˜o de~u⊥~t, obtemos que
(a,b,c) · (2,1,−1) = 2a+b− c= 0.
Por sua vez, da condic¸a˜o de (~u,~v,~w) ser LD, obtemos∣∣∣∣∣∣
a b c
1 1 1
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣= 0.
Ou seja, −2a+b+ c= 0. Sendo assim, b= 0 e c= 2a. Por fim, da condic¸a˜o ||~u||=√5,
obtemos
a2+b2+ c2 = 5,
a2+4a2 = 5,
a=±1.
Enta˜o~u= (1,0,2) =~u1 ou~u= (−1,0,−2) =~u2.
Agora, vamos analisar se os vetores formar aˆngulo agudo com (−1,0,0). Temos que
~u1 · (−1,0,0) =−1,
~u2 · (−1,0,0) = 1,
~v · (−1,0,0) =−1,
~w · (−1,0,0) = 0,
~t · (−1,0,0) =−2.
Sendo assim, apenas o vetor~u2 forma aˆngulo agudo com (−1,0,0).
15. Dados~u= (1,1,1) e~v= (0,1,2), encontre uma base ortonormal positiva (~a,~b,~c) tal que:
(i) ~a e´ paralelo a~u, e os dois teˆm o mesmo sentido;
(ii) ~b e´ combinac¸a˜o linear de~u e~v, e a sua primeira coordenada e´ positiva.
Resp: Como~a e´ paralelo a~u, temos que
~a= λ (1,1,1),λ > 0.
Por sua vez, a partir da segunda condic¸a˜o obtemos
~b= α(1,1,1)+β (0,1,2),α > 0.
9
Ale´m disso, como ||~a|| = 1, temos que
√
3λ 2 = 1. Consequentemente, λ = 1/
√
3. Adi-
cionalmente, se b= (e1,e2,e3), e1 > 0, temos que
~a ·~b= 0⇒ 1√
3
(e1+ e2+ e3) = 0,
⇒ 1√
3
(α+α+β +α+2β ) = 0,
⇒ 1√
3
(3α+3β ) = 0,
⇒ α =−β .
Por sua vez,
||~b||= 1⇒
√
e21+ e
2
2+ e
2
3 = 1,
⇒ α2+(α+β )2+(α+2β )2 = 1,
⇒ 2α2 = 1,
⇒ α = 1/
√
2.
Logo,
~b=
1√
2
(1,1,1)− 1√
2
(0,1,2) =
1√
2
(1,0,−1).
Sabemos que, se ~a e ~b sa˜o LI, (~a,~b,~a∧~b) e´ uma base positiva. Enta˜o, seja ~c = ~a∧~b.
Temos que
~c= 1√
6
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 1 1
1 0 −1
∣∣∣∣∣∣ .
Sendo assim,~c= 1/
√
6(−~i+2~j−~k). Ou seja,~c= 1/√6(−1,2,−1). Note que, ||~c||= 1
e ~c e´ ortogonal a ~a e a ~b. Como ~a ·~b = 0, temos que (~a,~b,~c) e´ uma base ortonormal
positiva.
16. Dados os vetores linearmente independentes~u e~v, verifique que F = (~u,(~u∧~v)∧~u,~u∧~v)
e´ uma base ortogonal (entende-se por base ortogonal uma base cujos vetores sa˜o dois a
dois ortogonais).
Resp: Por definic¸a˜o, (~u∧~v)∧~u e´ ortogonal a ~u∧~v e ~u, assim como ~u∧~v e´ ortogonal a ~u. Logo
os vetores sa˜o dois a dois ortogonais. Ale´m disso, ~u e~v sa˜o na˜o-nulos, ja´ que (~u,~v) e´ LI.
Logo, temos uma base ortogonal.
17. Os vetores~a e~b sa˜o unita´rios e ang(~a,~b) = 30o. O vetor~c, ortogonal a ambos, tem norma
2, e a base (~a,~b,~c) e´ positiva. Sendo ~u um vetor tal que ~u ·~a = 2, ~u ·~b = 1 e ~u ·~c = 1,
obtenha a tripla de coordenadas de~u na base (~a,~b,~a∧~b).
Resp: Temos que ||~a||= ||~b||= 1 e ||~a∧~b||= 1/2. Ale´m disso, note que c e´ paralelo a~a∧~b, ou
seja, c= λ~a∧~b. Consequentemente, c= 4~a∧~b. Agora, considere a combinac¸a˜o linear
~u= α~a+β~b+ γ~c.
10
Temos que
~u ·~a= α~a ·~a+β~b ·~a+ γ~c ·~a,
2 = α+
√
3
2
β ,
~u ·~b= α~a ·~b+β~b ·~b+ γ~c ·~b,
1 =
√
3
2
α+β ,
~u ·~c= α~a ·~c+β~b ·~c+ γ~c ·~c,
1 = 4γ.
Sendo assim, obtemos α = 2(4−√3),β = 4(1−√3) e γ = 1/4. Logo, as coordenadas
de~u na base (~a,~b,~a∧~b) sa˜o~u= (2(4−√3),4(1−√3),1).
18. Na figura abaixo esta´ representado um paralelepı´pedo. Sendo M tal que
−→
BM =
−→
BG/2,
indique a ponta da flecha de origem H que corresponde ao vetor
−→
HB/2+
−→
AB/3−−→CD/6.
Resp: Temos que
−→
CD=−−→DC =−−→AB. Sendo assim,
−→
HB/2+
−→
AB/3−−→CD/6 =−→HB/2+−→AB/2,
=
1
2
(
−→
HB+
−→
AB),
=
1
2
(
−→
BG).
Como
−→
BM = 12
−→
BG, temos que o vetor procurado e´
−−→
HM.
19. Sejam, em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas, A = (0,0,3), B = (3,0,1) e
C = (0,3,1).
a) Mostre que o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles, mas na˜o equila´tero, e determine o cosseno
do aˆngulo formado pelos lados congruentes.
b) Determine o vetor ~w, tal que
−→
AB= ~w+ pro j−→AC
−→
AB.
11
Resp: (a) Temos que
−→
AB= (3,0,1)− (0,0,3) = (3,0,−2),
−→
BC = (0,3,1)− (3,0,1) = (−3,3,0),
−→
CA= (0,0,3)− (0,3,1) = (0,−3,2).
Por sua vez,
||−→AB||=
√
13,
||−→BC||= 3
√
2,
||−→CA||=
√
13.
Ou seja, ABC e´ iso´sceles, mas na˜o equila´tero. Ale´m disso, se θ = ang(
−→
AB,
−→
AC),
cosθ =
−→
AB ·−→AC
||−→AB||||−→AC||
=
4
13
.
(b) Temos que
pro j−→AC
−→
AB=
4
13
(0,3,−2).
Enta˜o,
~w= (3,0,−2)− 4
13
(0,3,−2),
= (3,−12/13,−18/13).
20. Sejam~u e~v dois vetores LI e ~w um vetor na˜o-nulo. Sendo ang(~u,~v) = φ e ang(~u∧~v,~w) =
θ , exprima [~u,~v,~w] em func¸a˜o de φ , θ e das normas dos vetores.
Resp: Temos que
[~u,~v,~w] =~u∧~v ·~w,
= ||~u∧~v||||~w||cosθ ,
= ||~u||||~v||||~w||cosθ sinφ .
21. Sejam~u e~v vetores na˜o-nulos. Para cada caso, ou demonstre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira
ou deˆ um exemplo mostrando que ela e´ falsa.
(i) Se~u e~v sa˜o ortogonais, enta˜o 2~u e −3~v tambe´m sa˜o ortogonais.
(ii) Se pro j~u~v=~0, enta˜o~v e´ ortogonal a~u.
(iii) Se~v e´ paralelo a~u, enta˜o pro j~u~v=~v.
(iv) Vale que
pro j~vpro j~u~v=
(~u ·~v)2
||~u||2||~v||2~v.
12
Resp: (i) Verdadeiro. Note que 2~u · (−3~v) =−6~u ·~v= 0, ja´ que~u⊥~v.
(ii) Verdadeiro. Temos que
pro j~u~v=
~u ·~v
||~u||2~u=
~0⇒ (~u ·~v)~u=~0.
Como~u 6=~0, enta˜o~u ·~v= 0.
(iii) Verdadeiro. Se~v e´ paralelo a~u, temos que~u= λ~v e
pro j~u~v=
~u ·~v
||~u||2~u,
=
λ~v ·~v
||λ~v||2λ~v,
=~v.
(iv) Verdadeiro. Temos que
pro j~vpro j~u~v=
~v · pro j~u~v
||~v||2 ~v,
=
~v · [(~u ·~v)~u]
||~u||2||~v||2 ~v,
=
(~u ·~v)2
||~u||2||~v||2~v.
22. Sejam E uma base no espac¸o tridimensional,
−→
AB =
(√
3
2 ,
1
2 ,0
)
E
e
−→
AD =
(√
3
2 ,
1
2 ,
√
3
)
E
.
O vetor
−→
AC =
−→
AB+
−→
AD e´ bissetriz do aˆngulo BÂD?
Resp: Temos que
−→
AC = (
√
3,1,
√
3).
Adicionalmente,
||−→AB||= 1,
||−→AC||=
√
7,
||−→AD||= 2.
Sejam θ = ang(
−→
AB,
−→
AC) e φ = ang(
−→
AC,
−→
AD). Se
−→
AC e´ bissetriz de BÂD, enta˜o θ = φ .
Temos que
cosθ =
2√
7
,
cosφ =
5
2
√
7
.
Logo
−→
AC na˜o e´ bissetriz de BÂD.
23. Sabendo que a medida em radianos do aˆngulo entre~u e~v e´ pi/6 e que ||~u||= 1 e ||~v||= 7,
13
calcule ||~u∧~v|| e ||13~u∧ 34~v||.
Resp: Temos que
||~u∧~v||= ||~u||||~v||sinθ = 7
2
,
||1
3
~u∧ 3
4
~v||= 1
4
||~u∧~v||= 7
8
.
24. O paralelepı´pedo ABCDEFGH esta´ representado na
figura abaixo. Sejam~e1 =
−→
AD,~e2 =−→
AC e~e3 =
−→
AF . Determine as coordenadas dos pontos A,B,C,D,E,F,G e H no sistema de
coordenadas (A,~e1,~e2,~e3).
Resp: Temos que
A= (0,0,0),
−→
AB=−−→AD+−→CA= (−1,1,0),
−→
AC = (0,1,0),
−→
AD= (1,0,0),
−→
AE =−−→AD+−→AF = (−1,0,1),
−→
AF = (0,0,1),
−→
AG=
−→
AC+
−→
AE = (−1,1,1),
−→
AH =
−→
AB+
−→
AE = (−2,1,1).
25. Verifique que, se ~u∧~v= ~w∧~t e ~u∧~w=~v∧~t, enta˜o ~u−~t e~v−~w sa˜o linearmente depen-
dentes.
Resp: Vamos usar o fato de que~u∧~v=~0 se, e somente se, (~u,~v) e´ LD. Temos que
(~u−~t)∧ (~v−~w) =~u∧~v−~u∧~w−~t ∧~v+~t ∧~w,
= ~w∧~t−~v∧~t−~t ∧~v+~t ∧~w,
=−~t ∧~w+~t ∧~v−~t ∧~v+~t ∧~w,
=~0.
Logo, (~u−~t,~v−~w) e´ LD.
14
26. Considere o paralelepı´pedo abaixo. Em relac¸a˜o a uma base ortonormal positiva,
−→
AB =
(1,0,1),
−→
BE = (1,1,1) e
−→
AD= (0,3,3). Calcule:
a) a a´rea do triaˆngulo ABD;
b) o volume do paralelepı´pedo ABCDEFGH;
c) o volume do tetraedro EABD;
d) a altura do tetraedro EABD em relac¸a˜o a` face DEB.
Resp: (a) A a´rea do triaˆngulo ABD e´ dada por
AT =
||−→AB∧−→AD||
2
.
Temos que
−→
AB∧−→AD= 1√
6
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 1
0 3 3
∣∣∣∣∣∣= (−3,−3,3).
Logo, AT = 3
√
3
2 .
(b) O volume do paralelepı´pedo e´ dado por
VP = |[−→AD,−→AB,−→AE]|.
Note que
−→
AE =
−→
AB+
−→
BE = (2,1,2).
Sendo assim,
[
−→
AD,
−→
AB,
−→
AE] = 1√
6
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
0 3 3
2 1 2
∣∣∣∣∣∣=−3.
Logo, VP = 3.
(c) O volume do tetraedro e´ dado por
VT =
1
6
VP =
1
2
.
15
(d) Seja h a altura relativa a` tal face, temos que
1
6
||−→DE ∧−→DB||h= 1
2
.
Sendo assim,
h=
3
||−→DE ∧−→DB||
.
Note que
−→
DE =
−→
DA+
−→
AE = (2,−2,−1),
−→
DB=
−→
DA+
−→
AB= (1,−3,−2).
Sendo assim,
−→
DE ∧−→DB= (1,3,−4) e ||−→DE ∧−→DB||=√26. Logo, h= 3/√26.
27. Em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas, A = (1,2,−1),B = (0,1,1) e C =
(2,0,0). Mostre que A,B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero.
Resp: Temos que
−→
AB= (0,1,1)− (1,2,−1) = (−1,−1,2),
−→
BC = (2,0,0)− (0,1,1) = (2,−1,−1),
−→
CA= (1,2,−1)− (2,0,0) = (−1,2,−1).
Sendo assim,
||−→AB||=
√
6,
||−→BC||=
√
6,
||−→CA||=
√
6.
Logo o triaˆngulo ABC e´ equila´tero.
28. Dada uma base ortonormal B= (~i,~j,~k), determine~x de norma
√
3, ortogonal a (1,1,0) e
a (−1,0,1), e que forma aˆngulo agudo com ~j.
Resp: Temos que
(1,1,0)∧ (−1,0,1) =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 1 0
−1 0 1
∣∣∣∣∣∣=~i+~k−~j
Sendo assim, temos que~x= (1,−1,1) ou~x= (−1,1,−1). Note que
(1,−1,1) · (0,1,0) =−1, aˆngulo obtuso,
(−1,1,−1) · (0,1,0) = 1, aˆngulo agudo.
Logo,~x= (−1,1,−1).
16
29. Dados os pontos A = (1,−2,3), B = (2,−1,−4), C = (0,2,0) e D = (−1,m,1), calcule
o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepı´pedo determinado por−→
AB,
−→
AC e
−→
AD.
Resp: Temos que
−→
AB= (2,−1,−4)− (1,−2,3) = (1,1,−7),
−→
AC = (0,2,0)− (1,−2,3) = (−1,4,−3),
−→
AD= (−1,m,1)− (1,−2,3) = (−2,m+2,−2).
Por sua vez, temos que o volume do paralelepı´pedo e´ dado por
|[−→AB,−→AC,−→AD]|= 1√
6
∣∣∣∣∣∣
1 1 −7
−1 4 −3
−2 m+2 −2
∣∣∣∣∣∣ .
A partir de tal determinante, obtemos que |10m−40|= 20, ou seja, m= 2 ou m= 6.
30. Verifique as desigualdades abaixo:
a) |~u ·~v| ≤ ||~u||||~v|| (Desigualdade de Schwarz).
b) ||~u+~v|| ≤ ||~u||+ ||~v|| (Desigualdade triangular).
Resp: (a) Temos que
|~u ·~v|= ||~u||||~v|||cosθ |.
Como 0≤ |cosθ | ≤ 1, temos que
||~u||||~v|||cosθ | ≤ ||~u||||~v||.
Logo,
|~u ·~v| ≤ ||~u||||~v||.
(b) Temos que
||~u+~v||2 = (~u+~v) · (~u+~v),
=~u ·~u+2~u ·~v+~v ·~v,
= ||~u||2+2~u ·~v+ ||~v||2,
≤ ||~u||2+2|~u ·~v|+ ||~v||2,
≤ ||~u||2+2||~u||||~v||+ ||~v||2, (pela desigualdade de Schwarz),
≤ (||~u||+ ||~v||)2.
Logo,
||~u+~v|| ≤ ||~u||+ ||~v||.
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