Cálculo I - Integral

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Roteiro 3: INTEGRAL DE FUNÇÕES ELEMENTARES E APLICAÇÕES 
 
1. A INTEGRAL DEFINIDA 
 
Anteriormente usamos limites para descrever o comportamento de uma 
função e calcular sua taxa de variação (derivada). Agora, empregaremos o 
conceito de limite para estudar uma questão completamente diferente: Como 
definir e calcular a área de uma região no plano? Durante séculos, o 
estudo desta questão levou ao desenvolvimento da integral definida, que é 
um procedimento de soma generalizada com numerosas aplicações na 
matemática e nas ciências. 
 
1.1 O Cálculo da Área como um Limite 
 
O Problema da Área: Seja f uma função contínua não negativa com 
 bax ,
. 
Encontrar a área da região R limitada pelo gráfico de f, o eixo-x, e as 
retas 
ax 
 e 
bx 
. 
 A figura abaixo representa uma região R típica para o caso de uma 
função f não negativa. 
 
 Para definir a área A, aproximamos a região R com retângulos, e 
realizamos nosso esquema de aproximação de tal modo que sejamos capazes de 
calcular a área A como o limite desta seqüência de aproximação. 
 
y 
x 
y 
a b 
y=f(x) 
x 
a b 
y=f(x) 
x 
y 
a b 
x=a 
x=b 
y=f(x) 
R 
 2 
 
 Quando o número de retângulos aumenta e o tamanho dos retângulos 
individuais decresce em largura, a união do conjunto de retângulos 
aproximam com mais precisão a região R. 
 Nossa intenção é definir a área A de R como sendo o valor limite das 
áreas associadas com estas aproximações. Naturalmente, devemos primeiro 
mostrar que tal limite existe. 
 
 
Aproximação inferior (soma aproximada inferiormente) 
 
 É uma aproximação da área de R pela combinação das áreas de n 
retângulos de igual largura, sendo que cada um dos retângulos está 
inteiramente contido em R. 
 Como os retângulos possuem a mesma largura, esta é dada por 
n
ab
x


. 
 Os extremos dos subintervalos resultantes são: 
bxnaxxaxxaxax n  ,,2,, 210 
. 
 
 
 Queremos que a altura do retângulo construído sobre o intervalo 
 
jj xx ,1
 seja o valor mínimo de f neste intervalo. Se f é contínua em 
 
jj xx ,1
, existe no mínimo um número 
 
jjj xxc ,1
 com 
    jjj xxxxfcf  1/min
. 
 Com esta notação podemos escrever a área 
Aj 
  xcf j 
. 
 A soma aproximada inferior Sn é, portanto, 
Sn = A1 + A2 + A3 + ... + An 
 = 
        xcfxcfxcfxcf n  321
. 
x 
a=x0 x4=b 
y=f(x) 
x1 x2 x3 
y 
x 
a b 
y=f(x) 
y 
 3 
Exemplo 1.1: Encontre a soma aproximada inferior S4 para a área da região R 
limitada pelo gráfico de 
  24 xxf 
 e o eixo-x entre 
0x
 e 
2x
. 
Solução: Como 
4n
, a largura de cada subintervalo é 
2
1
4
02


x
 
 Os extremos dos subintervalos são, portanto: 
2e
2
3
,1,
2
1
,0 43210  xxxxx
. 
 Como 
  24 xxf 
 é decrescente em [0, 2], o seu valor mínimo ocorre no 
extremo direito de cada subintervalo 
 
jj xx ,1
. 
 Assim, 
2e
2
3
,1,
2
1
4321  cccc
 
 A soma aproximada inferior é, portanto, 
S4 
   
2
1
2
2
1
2
3
2
1
1
2
1
2
1












 ffff
 
 
   
4
17
2
1
0
4
7
3
4
15
2
1
44
2
1
4
9
4
2
1
14
2
1
4
1
4














 
 Como cada retângulo repousa inteiramente dentro da região R, temos que 
Sn ≤ A 
para todas as somas aproximadas inferiormente. 
 
Aproximação por excesso (soma aproximada superiormente) 
 
 Se, a o invés de usar o valor mínimo de f sobre cada subintervalo 
 
jj xx ,1
, usarmos o valor máximo, obtemos o que é chamado de soma 
aproximada superiormente 
nS
. Ou seja, tomamos a altura do retângulo sobre 
o intervalo 
 
jj xx ,1
 como sendo o valor 
  xdf j 
, em que 
    jjj xxxxfdf  1/max
 
 A área do j-ésimo retângulo aproximado é, portanto, 
  xdfA jj 
, e a 
soma aproximada superiormente é 
        xdfxdfxdfxdf
AAAAS
n
nn




321
321
 
 
x 
a=x0 xn=b 
y=f(x) 
x1 x2 x3 
y 
... 
 4 
Exemplo 1.2: Encontre uma soma aproximada superiormente para a região R do 
exemplo 1.1. 
Solução: Como no exemplo 1.1, temos subintervalos de largura 
2
1
x
 e com 
pontos finais 
2e
2
3
,1,
2
1
,0 43210  xxxxx
. 
 Entretanto, como 
  24 xxf 
 é decrescente em [0, 2], o valor máximo 
de f ocorrerá na extremidade esquerda de cada subintervalo. Portanto, 
temos: 
2
3
e1,
2
1
,0 4321  dddd
. 
 A soma aproximada superiormente é:    
   
4
25
2
1
4
7
3
4
15
4
2
1
4
9
4
2
1
14
2
1
4
1
4
2
1
04
2
1
2
3
2
1
1
2
1
2
1
2
1
04


























 ffffS
 
 
 Combinando os exemplos 1.1 e 1.2 concluímos que a área A da região 
limitada pelo gráfico de 
  24 xxf 
 e o eixo-x entre 
0x
 e 
2x
 é 
limitada por 
4
25
4
17
 A
. 
 Para calcular a área desejada precisamente, precisamos calcular os 
limites de 
nS
 e Sn quando 
n
. 
 
 
Notação de soma 
 
         
         
 
  
 






















n
j
n
j
n
j
n
j
pk
kj
n
j
nn
nj
nnn
nj
nn
nj
ncccccc
pkfkfkfkfjf
nffffjf
1
32
33
1
22
1
1
1
4
1
2781
6
121
941
2
1
321
21
321






 
 
 
 5 
Exemplo 1.3: Calcule a soma aproximada por excesso 
100S
 para a área da 
região R limitada pelo gráfico de 
  2xxf 
 e o eixo-x entre 
1x
 e 
3x
. 
Solução: 
 Primeiro, calculamos 
50
1
100
13


x
. Assim, dividimos o intervalo 
[1,3] em 100 subintervalos cujos pontos finais são: 
100,,2,1,0,1  jxjxj
 
 Como estamos calculando uma soma por excesso e f é crescente em [1,3], 
usamos para 
jd
 os pontos finais que estão à direita dos subintervalos, 
isto é, 
jj xd 
. 
 Obtemos, então: 
 
 
 
   
   
7468,8
2500
867,21
50
1
6
201101100
2
101100
50
1
2
50
1
100
6
201101100
2
101100
2100
2
1
1
32
32
100
1
32
100
1
2
100
1
100
1
2
100
1
100
1
100

































xxx
xjxjx
xxj
xxjf
xdfS
jjj
j
j
j
j
 
 
 
 
Teorema 1.1: Seja f contínua e não negativa no intervalo [a, b]. Sejam Sn e 
nS
 as somas aproximadas por falta e por excesso, 
respectivamente, para f em [a, b]. Então, 
n
n
S

lim
 e 
n
n
S

lim
 
existem e 
n
n
n
n
SS

 limlim
. 
 
 
Definição 1.1: Seja R a região limitada acima pelo gráfico da função 
contínua e não negativa f, abaixo pelo eixo-x, à esquerda 
por 
ax 
 e àdireita por 
bx 
. A área de R é o número A 
definido pela equação 
n
n
n
n
SSA

 limlim
. 
 
 
 6 
1.1 Somas de Riemann 
 
Definição 1.2: Uma partição Pn de um intervalo fechado [a, b] é qualquer 
conjunto de 
1n
 números 
 
nxxxx ,,,, 210 
 com 
bxxxxa n  210
 
 
 
 Observe que estes subintervalos não são necessariamente de mesmo 
comprimento. 
 Vamos definir a norma da partição Pn, denotada por 
nP
, como sendo o 
maior destes comprimentos. Isto é, 
      11201 ,,,max  nnn xxxxxxP 
. 
 Então, 
njPxx njj ,,3,2,1,1  
 
 
 Se f é definida em [a, b], definimos uma soma de Riemann para f em 
[a,b] da mesma forma que definimos somas aproximadas, exceto que não 
exigimos que os subintervalos tenham o mesmo tamanho e nem exigimos que 
  0xf
. 
 
Definição 1.3: Uma soma de Riemann Rn para f em [a, b] é qualquer soma da 
forma 
   
jjj
n
j
jjn xxtxtfR ,, 1
1


 
 
em que 
 
nxxxx ,,,, 210 
 é uma partição de [a, b], 
1 jjj xxx
 e 
jt
 é um elemento de 
  njxx jj ,,2,1,,1 
. 
 
 
Teorema 1.2: Suponha que f seja uma função contínua em [a, b]. Então, 
existe um único número I tal que 
 



n
j
jj
n
n
n
xtfRI
1
limlim
 
 para todas as somas de Riemann Rn correspondentes às 
partições Pn para as quais 
0nP
 quando 
n
. 
 
 
Definição 1.4: Seja f contínua em [a, b]. O número I definido no teorema 
1.2 é chamado de integral definida de f de a até b e 
denotado por 
 
b
a
dxxf
 
 
a=x0 x9=b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 
 7 
Observações: 
1. O símbolo 

é referido como sinal da integral. 
2. Escrevemos o símbolo dx após o integrando 
 xf
 para indicar que x é a 
variável independente para f. 
3. Os pontos finais a e b são os limites de integração. 
 
 
 O teorema a seguir afirma que se f é não negativa e contínua em 
[a,b], a integral definida 
 
b
a
dxxf
 é a área da região limitada pelo 
gráfico de f e o eixo-x. 
 
 
Teorema 1.3: Seja f contínua em [a, b] com 
  0xf
 para todo 
 bax ,
. 
Então a área A da região R limitada acima pelo gráfico de f, 
abaixo pelo eixo-x, à esquerda por 
ax 
, à direita por 
bx 
, é dada pela integral definida 
 
b
a
dxxfA
. 
 
 
 
Exemplo 1.4: Se uma função f é não negativa, podemos, às vezes, calcular 
 
b
a
dxxf
, identificando a integral com uma região cuja área já conhecemos. 
 
(a) A figura abaixo mostra que o gráfico da função constante 
  cxf 
, 
c > 0, limita um retângulo de área 
 abc 
 no intervalo [a, b]. 
 
 
 
Assim, 
    0,   cabcdxcdxxf
b
a
b
a
. 
 
 
 
 
a b 
x 
y 
c f(x)=c 
R 
 8 
(b) A figura abaixo mostra que o gráfico da função linear 
  xxf 
 
limita um trapézio sobre o intervalo [a, b] se 
ba 0
. 
 
Como o trapézio tem bases de comprimento 
  aafB 1
 e 
  bbfB 2
 e altura 
abh 
, sua área é 
      2221
2
1
2
1
2
1
ababbahBBA 
. 
Assim, 
  baabdxx
b
a
 0,2
1 22
. 
 
(c) A figura abaixo mostra que o gráfico da função 
  22 xaxf 
 
limita um semi-círculo de raio 
ar 
 sobre o intervalo [-a, a] 
quando 
0a
. 
 
Como a área deste semi-círculo é 
22
2
1
2
1
arA  
, temos: 
222
2
1
adxxa
a
a

. 
 
 Se 
 xf
 é negativa para algum 
 bax ,
, então uma soma de Riemann para 
f pode conter termos da forma 
 
jj xtf 
, com 
  0jtf
. Como 
jx
 é positivo, 
o produto 
 
jj xtf 
 é negativo. Consequentemente, quando interpretamos um 
termo em uma soma de Riemann como a área de um retângulo, nós o assim 
fazemos com o entendimento de que um retângulo que está abaixo de eixo-x 
contribui com um número negativo para a soma. Assim, para uma função 
contínua qualquer, podemos interpretar 
 
b
a
dxxf
 como uma área “assinalada”. 
a -a 
x 
y 
f(x)=
22
xa 
 
R 
a b 
x 
y 
f(x)=x 
B2=b 
B1=a 
R 
 9 
Definição 1.5: Suponha que f seja contínua em [a, b]. Então, 
 (a) 
  0 dxxf
a
a
 
 (b) 
    
b
a
a
b
dxxfdxxf
 
 
 
1.2 Propriedades da Integral Definida 
 
Teorema 1.4: Sejam f e g contínuas em [a, b] e seja c uma constante 
qualquer. Então, 
 (a) 
         
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
 
 (b) 
    
b
a
b
a
dxxfcdxxcf
 
 
Teorema 1.5: Seja f contínua em um intervalo contendo os números a, b e c. 
Então, 
      
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
 
Independente de como os números a, b e c são ordenados. 
 
 Podemos utilizar o teorema 1.5 para justificar nossa interpretação 
geométrica de integral definida como uma área “assinalada”. 
 Por exemplo, seja 
bca 
 e suponha que f seja contínua em [a,b], 
positiva em [a,c) e negativa em (c,b]. 
 Então o gráfico de f determinará duas regiões R1 e R2. A região R1 é 
limitada pelo gráfico de f, o intervalo [a, c] e a reta 
ax 
, e R2 é 
limitada pelo gráfico de f, o intervalo [c, b] e a reta 
bx 
. 
 
 A área definida pelo gráfico de f pode ser calculada por: 
      
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
 
 Se considerarmos o gráfico de 
f
, ele também determinará duas regiões 
R1 e R3, em que R3 é a reflexão de R2 sobre o eixo-x. Assim, podemos 
escrever que 
      
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )1(
 
pois 
   xfxf 
 para 
 bcx ,
. 
a b 
x 
y 
c 
R1 
R2 
 10 
 Como a área determinada por R2 é igual a área determinada por R3, temos 
     21 RáreaRáreadxxf
b
a

 
 
 Analogamente, se f é uma função contínua em [a, b] cujo gráfico corta 
o eixo-x em um número finito de vezes, então seu gráfico e o eixo-x 
determinam um número finito de regiões. Podemos generalizar o argumento 
anterior para obter uma interpretação de 
 
b
a
dxxf
 como uma área 
“assinalada”: 
A integral definida 
 
b
a
dxxf
 é igual à diferença 
entre a área total das regiões acima do eixo-x e a 
área total das regiões abaixo do eixo-x. 
 
 
Exercícios 
1. São dadas uma função f e uma partição 
 bxxxxaP nn  ,,,, 210 
 do 
intervalo [a, b] especificado. Seja 
jt
 o extremo esquerdo do j-ésimo 
subintervalo determinado por Pn. Calcule a correspondente soma de 
Riemann 
 


n
j
jjn xtfR
1
. 
 Esboce o gráfico de f com retângulos que fornecem uma interpretação 
geométrica para o número Rn. 
(a) 
   5,3,2,1,2 3  Pxxf
 
(b) 
 






 4,2,
2
3
,1,0,3 4Pxxf
 
 
2. Siga as instruções do exercício 1, exceto que 
jt
 é a extremidade 
direita do j-ésimo subintervalo determinado por Pn. 
(a) 
   4,2,1,0, 3
2  Pxxxf
 
 (b) 
 







2
5
,2,,
2
,0,cos 4
Pxxf
 
 
3. Particione o intervalo [a, b] em 4 subintervalos de igual 
comprimento. Determine a maior e a menor soma de Riemann associada a 
esta partição, para a função f dada: 
(a) 
     2,2,,4 2  baxxf
 
(b) 
     2,0,,sen  baxxf
 
 
4. Dado que 
  3
3
0
 dxxf
, 
  2
5
2
 dxxf
 e 
  5
8
5
 dxxf
, calcule: 
(a) 
 
0
2
dxxf
 (b) 
 
8
2
dxxf
 (c) 

0
5
dxxf
 
 
 11 
5. Dado 
  5
3
1
 dxxf
 e 
  2
3
1
 dxxg
, calcule: 
 (a) 
     
3
1
dxxgxf
 (b) 
    
3
1
1
3
2 dxxgdxxf
 (c) 
     
1
3
54 dxxfxg
 
 
6. Esboce uma região no plano cuja área é dada pela integral definida. 
Utilizando fórmulas geométricas, calcule a área daquela região e, 
consequentemente, a integral. 
(a) 
  
2
1
24 dxx
 (b) 
  
3
0
12 dxx
 (c) 
 
3
0
2
9 dxx
 
(d) 
 
4
1
72 dxx
 (e) 
 
2
0
dxxf
 em que 
 






21,1
10,1
2
xx
xx
xf
 
 
 
1.3 Teorema Fundamental do Cálculo 
 Como o próprio nome diz, o Teorema Fundamental do Cálculo é o mais 
importante teorema do Cálculo. Ele relaciona dois conceitos aparentemente 
distintos – a derivada (como uma taxa de variação) e a integral definida 
(um procedimento de soma generalizada). 
 Teoricamente, o Teorema Fundamental é importante porque ele justifica 
o uso da integral como um mecanismo para definir funções. 
Computacionalmente, ele é importante porque fornece um procedimento 
poderoso para o cálculo de muitas integrais definidas. 
 
 Suponhamos que f seja contínua em um intervalo I. Então, escolhendo 
qualquer número a em I, definimos uma função A em I por 
 
   
x
a
dttfxA
 (1) 
 Isto é, 
 xA
 é igual à integral definida de f de a até x. 
 Se f é não negativa em I, o valor 
 xA
 é simplesmente a área sob o 
gráfico de 
 tfy 
 para 
xta 
. Neste caso, nos referimos a A como a 
função área determinada por f. 
 Considere todo 
ax 
 em I. Quando x aumenta, o valor 
 xA
 deve crescer 
porque estaremos calculando a área de regiões sucessivamente maiores. 
 Em geral, não precisamos supor que f seja não negativa. A integral 
 xA
 na equação (1) existe para todo 
Ix 
, independente do sinal de f. 
 Como o cálculo envolve ambos os processos de integração e 
diferenciação, vamos ver o que acontece se tentarmos diferenciar a função 
A. Por definição, 
 
 
   
h
xAhxA
xA
h


0
lim'
 (2) 
 Por simplicidade, vamos supor que f é não negativa e que 
ax 
. A fim 
de calcular o limite na equação (2), consideremos o quociente da diferença 
 
   
h
xAhxA 
 (3) 
para 
0h
. Como 
 hxA 
 é a área sob o gráfico de 
at 
 até 
hxt 
 e 
 xA
 é a área sob o gráfico de 
at 
 até 
xt 
, a diferença 
   xAhxA 
 
é a área sob o gráfico de 
xt 
 até 
hxt 
. 
 12 
Veja a figura abaixo. 
 
 
 Observemos que a largura desta região é 
  hxhx 
. Se aproximarmos 
a área por retângulos de altura 
 xf
 e largura h, obtemos 
 
      hxfxAhxA 
. (4) 
 
 Assim, o quociente da diferença (3) é aproximado por 
 
   
 xf
h
xAhxA


. (5) 
 
 Como veremos, a aproximação (4) torna-se mais precisa quando 
 0h
, 
e a aproximação (5) produz 
 
   
 xf
h
xAhxA
h


0
lim
. 
 
 Um argumento semelhante se aplica se 
0h
, e assim obtemos um fato 
notável sobre A: 
 
A é diferenciável, e sua derivada é: 
   xfxA '
. 
 
 Em outras palavras, a derivada da função área é a função original f. 
 
 Isto é a essência do teorema fundamental – as operações de integração 
(a função área A) e diferenciação são inversas (como operações 
matemáticas). 
 
 Este argumento intuitivo não é uma prova do teorema porque a 
aproximação feita em (4) não é uma afirmação matemática precisa. 
Entretanto, tal intuição é absolutamente correta. 
 
 
 
 
 
x 
a x+h 
y=f(x) 
x 
y 
A(x+h) 
A(x) 
 13 
Teorema 1.6: (Teorema Fundamental do Cálculo) 
(a) Seja f contínua em um intervalo aberto I contendo o número a 
e seja 
   
x
a
dttfxA
 
para cada 
Ix 
. Então, A é diferenciável em I, e 
   xfxA '
. 
Isto é, 
    Ixxfdttf
dx
d x
a






 ,
. 
 
(b) Seja f contínua em [a, b] e seja F qualquer antiderivada de f 
em [a, b]. Então, 
     aFbFdxxf
b
a

 
 
 
 
Exemplo 1.5: Como 
  xxxF 62 2 
 é uma antiderivada de 
  64  xxf
, 
        12621286264 212
2
1
 xxdxx
 
 
 
Exemplo 1.6: Como 
  xxx
x
xF 5
4
23
4

 é uma antiderivada de 
  523 23  xxxxf
, 
 
    361048410484
5
4
523
2
2
23
4
2
2
23









 xxx
x
dxxxx 
 
 
Exemplo 1.7: Como uma antiderivada para 
  xxf cos
 é 
  xxF sen
, temos 
  1010sen
2
3
sensencos 2
3
0
2
3
0








xdxx
 
 
 
Exemplo 1.8: 
 













 4
1
2
1
2
1
4
1
4
1
11
dxxxdx
x
xdx
x
x
. 
 Como uma antiderivada para 
  2
1
2
1

 xxxf
 é 
  2
1
2
3
2
3
2
xxxF 
, temos 
3
20
1.21
3
2
228
3
2
2
3
21
4
1
2
1
2
3
4
1




















 xxdx
x
x . 
 14 
 
Observação: A parte (b) do Teorema Fundamental explica o uso do sinal de 
integral para representar ambas a antiderivada e a integral definida. Se F 
é qualquer antiderivada para f, temos 
    b
a
b
a
cxFdxxf 
 
e o lado direito pode ser escrito como 
  b
a
dxxf
. 
 Entretanto, é preciso estar consciente da diferença conceitual entre a 
integral indefinida (antidiferenciação) e a integral definida. A integral 
indefinida é uma família de antiderivadas, e a integral definida é um 
número que representa o limite da soma de Riemann. 
 É somente pelo Teorema Fundamental que sabemos que estes dois 
conceitos estão relacionados. 
 
 
Exemplo 1.9: Calcule 
 
5
1
2dxx
. 
Solução: Aplicando a definição de valor absoluto vemos que 
 





02,2
02,2
2
xsex
xsex
x
 
Isto é, 






2,2
2,2
2
xsex
xsex
x
. 
 Calculamos, então a integral separadamente em [-1, 2] e [2, 5] usando 
a correspondente parte da definição de 
2x
 sobre cada intervalo: 
   
 
 
9
22
2
2
52
2
5
2
1
12
2
2
22
2
22
2
22
222
2222
5
2
2
2
1
2
5
2
2
1
5
2
2
1
5
1









































 





























x
xx
x
dxxdxx
dxxdxxdxx
 
 
Exercícios 
 
7. Calcule a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: 
(a) 
  
2
2
3
1dxx
 (b) 
 





2
1 3
5
2
dxx
x
 (c) 
  
3
1
22
2 dtt
 
(d) 
 
4
0
3dxx
 (e) 


0
sen dxx
 (f) 

3
1
3
4 dxx
 
 15 
(g) 
 
3
2
dxxf
, em que 
 






1,1
1,1
2
xx
xx
xf
 
 16 
2 INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 O processo para determinar uma função 
 xf
 a partir de seus valores 
conhecidos e sua derivada 
 xf'
 tem dois passos. O primeiro é encontrar uma 
fórmula que dê todasas funções que poderiam ter f como derivada. Essas 
funções são chamadas primitivas de f, e a fórmula que fornece todas elas é 
chamada integral indefinida de f. O segundo passo é usar o valor conhecido 
para selecionar a primitiva particular desejada a partir daquelas na 
integral indefinida. 
 Vamos começar com uma definição. 
 
 
Definição 2.1: (Primitiva ou antiderivada) 
Dada uma função f, definida num intervalo I, uma primitiva 
de f em I ou uma antiderivada de f em I é uma função F, 
definida em I, tal que 
   xfxF '
, para todo 
Ix 
. 
 
 Dessa maneira, observamos que o processo de primitivação, isto é, 
encontrar primitivas, é o inverso do processo de derivação. 
 Devido à relação existente entre antiderivadas e integrais, garantida 
pelo Teorema Fundamental do Cálculo, utiliza-se a notação: 
  dxxf
 
para representar o conjunto de todas as primitivas ou antiderivadas de f, 
denominada integral indefinida, sendo 

o símbolo de uma integral, a 
função f é o integrando de uma integral e x é a variável de integração. 
 Uma vez que encontramos uma primitiva F de uma função f, as outras 
primitivas diferem dela por uma constante. Indicamos isso em notação 
integral da seguinte maneira: 
    CxFdxxf 
. 
 A constante C é a constante de integração ou constante arbitrária. 
Quando encontramos 
  CxF 
, dizemos que conseguimos integrar e calcular a 
integral. 
 
 
Exemplo 2.1: (Encontrando uma integral indefinida) 
 Calcule 
 dxx
2
3
. 
Solução: 
Cxdxx 
32
3
. 
 A função 
  cxxF  3
 gera todas as primitivas da função 
  23xxf 
. As 
funções 
  43  xxg
, 
 
5
33  xxh
, 
  33  xxs
 são todas primitivas da 
função 
  23xxf 
, e isso pode ser verificado diferenciando. 
 
 17 
 Muitas das integrais indefinidas necessárias ao trabalho científico 
são determinadas pela inversão de fórmulas de derivadas. A tabela a seguir 
enumera várias formas integrais-padrão lado a lado com as fórmulas das 
integrais que as originaram. 
Tabela 1: Fórmulas de Integrais 
Integral indefinida Fórmula que a originou 
racional,1,
1
1
nnC
n
x
dxx
n
n 




 
n
n
x
n
x
dx
d










1
1
 
   Cxdxdx 1
 
  1x
dx
d
 
C
k
kx
dxkx 
cos
sen
 
kx
k
kx
dx
d
sen
cos







 
C
k
kx
dxkx 
sen
cos
 
kx
k
kx
dx
d
cos
sen






 
Cxdxx  tansec
2
 
xx
dx
d 2
sectan 
 
Cxdxx  cotancossec
2
 
  xx
dx
d 2
cosseccotan 
 
  Cxdxxx sectansec
 
xxx
dx
d
tansecsec 
 
  Cxdxxx cosseccotancossec
 
  xxx
dx
d
cotancosseccossec- 
 
  Cxdxx
ln
1
 
 
x
x
dx
d 1
ln 
 
 
 Essa tabela, evidentemente, não tem fim. Evidenciou-se aí, aquelas 
primitivas que são imediatas, entretanto desenvolveremos o estudo de 
algumas técnicas que nos permitirão encontrar primitivas quando não for 
tão evidente qual a família de funções que tem uma determinada derivada. 
As chamadas técnicas de primitivação nos permitirão resolver situações que 
têm um caráter algumas vezes bastante geral. 
 Além disso, a partir das propriedades das derivadas, poderemos 
estabelecer as propriedades das integrais indefinidas. Essas propriedades 
facilitam, em alguns casos, a tarefa de se encontrar primitivas. 
 
Exemplo 2.2: Calcule as integrais utilizando o resultado apresentado na 
tabela 1: 
 (a) 
  C
x
dxx
6
6
5
 
 (b) 
CxCxdxxdx
x
 

22
1
2
1
2
1 
 18 
 (c) 
C
x
dxxsen  2
cos
2
 
 (d) 
 




 dxxdx
x
2
1
cos
2
cos
 
 
C
x
C
x








2
sen2
2
1
2
1
sen
 
 (e) 
Cx
x
dx
x
xdx
x
x








 ln3
11
3
2
3
 
 (f) 
CxC
x
dxxdxxx 



 2
51
2
3
2
3
5
2
1
2
3
 
 
 Calcular uma integral indefinida às vezes pode ser difícil, mas depois 
de encontrá-la é relativamente fácil verificar sua validade: diferencie 
(derive) o lado direito. A derivada deve ser igual ao integrando. Faça 
isso com os resultados do exemplo anterior! 
 
 
Exemplo 2.3: Verifique qual das funções dada abaixo é a primitiva da 
função 
  xxxf cos
: 
 
(a) 
  CxxxF  sen
 
Para verificar se 
  CxxxF  sen
 é a primitiva de 
  xxxf cos
, 
devemos verificar se a derivada de 
  CxxxF  sen
 é o 
integrando, ou seja, 
  xxxf cos
. Assim, 
  xxxxxCxx
dx
d
cos0sencos sen 
. 
Portanto 
  Cxxdxxx sencos
. 
 
(b) 
  CxxxxF  cossen
 
Verificando a derivada de 
  CxxxxF  cossen
, temos: 
  xxxxxxCxxx
dx
d
cos0sensencoscossen 
. 
Portanto, 
  Cxxxdxxx cossencos
. 
 
 
 
 
 19 
2.1 Propriedades da Integral Indefinida 
 
 As propriedades a seguir são conseqüências imediatas dos fatos: 
 A derivada da soma é igual à soma das derivadas. 
 A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao 
produto da constante pela derivada da função. 
 
1. 
           dxxgdxxfdxxgxf
 
2. 
      dxxfkdxxfk
 
 
 
Exemplo 2.4: Calcule as integrais: 
 (a) 
C
x
C
x
dxxdxx   4
5
4
555
44
33
 
 (b) 
    dxdxxdxxdxxx 5252
22
 
Cxx
x
Cx
xx


5
3
5
2
2
3
2
3
23
 
 
Exercícios 
8. Calcule e verifique sua resposta por derivação: 
(a) 
 dx3
 (b) 
 dxx
5
 (c) 
 dxx
 
(d) 
 dxx
5 2
 (e) 
 dx
x
3
1
 (f) 


dxx
4
 
(g) 


dx
x
xx
2
2
 (h) 
 




 dx
xx
2
11
 (i) 
 




 dx
x
x
32
 
(j) 
dx
x
xx


2
5
1
 (k) 
 dxx5cos
 (l) 
 dtt4sen
 
(m) 
 




 dxx2cos
2
1
2
1
 (n) 
   dxxx sencos
 (o) 
   dxxx sencos
 
 
9. Calcule as integrais definidas: 
(a) 
  
2
0
2
1dxxx
 (b) 
 





3
1 2
1
dx
x
x
 (c) 
  
1
1
5 2
33 dxx
 
(d) 
 





3
0 3
2 1
3 dx
x
xx
 (e)
 





0
2 4
3 1
2 dx
x
x
 (f) 
dx
3
1
4
 
(g) 
80 2sen

dxx
 (h) 
 
1
0 21
2
x
x
 (i) 
  30 2sensen

dxxx
 
 
 20 
10. Determine a função 
   xxyy ,
, tal que: 
 (a) 
  2013  yex
dx
dy
 (b) 
  013
2
1
 yex
dx
dy
 
 (c) 
  103sen  yex
dx
dy
 (d) 
  1113  yexx
dx
dy
 
 
11. Um objeto move-se a uma velocidade de 
min/23
2
mtt 
. Qual a 
distância percorrida durante o primeiro minuto? E durante o segundo 
minuto? 
 
Respostas dos exercícios 
1. (a) 
173 R
 (b) 
4
27
4 R
 
 
2. (a) 
263 R
 (b) 
2
4

R
 
 
3. (a) 
146 44  ReR
 (b) 
20 44  ReR
 
 
4. (a) -3 (b) 3 (c) -1 
 
5. (a) 3 (b) -8 (c) 12 
 
6. (a) 9 (área do triângulo de base 3 e altura 6) 
 (b) 12 (área do trapézio de base maior 7, base menor 1 e altura 3) 
 (c) 
4
9
 (
4
1
 da área da circunferência) 
 (d) 36 (área do trapézio de base maior 15, base menor 9 e altura 3) 
 (e) 1 (2 vezes a área do triângulo de base 1 e altura 1) 
 
 7. (a) -4 (b) 
433
 (c) 
3
652
 (d) -7 (e) 2 
 (f) 80 (g) 1 
 
 8. (a) 
cx 3
 (b) 
c
x

6
6
 (c) 
cx 2
3
3
2
 
 (d) 
cx 5
7
7
5
 (e) 
2
2
1
x

 (f) 
3
3
1
x

 
 (g) 
cxx  ln
 (h) 
c
x
x 
1
ln
 (i) 
cx
x
 ln3
3
3
 
 (j) 
c
x
x
x

1
ln
4
4
 (k) 
cx 5sen
5
1
 (l) 
ct  4cos
4
1
 
 (m) 
c
xx

4
2sen
2
 (n) 
cxx  cossen
 (o) 
cxx  cossen
 
 
 9. (a) 
3
20
 (b) 
32
 (c) 
7
72
 (d) 
9
274
 (e) 
24
187

 (f) 16 (g) 
4
22 
 (h) 
6931,01ln2ln 
 (i) 
4
5
 
 
 21 
 10. (a) 
  2
2
3
2
 x
x
xy
 (b) 
 
4
11
3
4
2
 x
x
xy
 
 (c) 
 
3
4
3cos
3
1
 xxy
 (d) 
 
4
1
24
24
 x
xx
xy
 
 
 11. Durante o primeiro minuto percorre-se 
m
3
13
; no segundo minuto,
m
3
25
.