Integrais reçacionadas a saúde

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 10: Estudo de integrais
Apresentação
Vimos que é possível solucionar problemas com taxas de variação utilizando o cálculo diferencial na aula anterior. Nesta
aula, faremos o inverso, isto é, veremos o cálculo integral e determinaremos uma função a partir de informações de sua taxa
de variação.
Com esse conhecimento, poderemos calcular a posição futura de um corpo a partir da sua posição atual e do conhecimento
das forças que atuam sobre ele. Dessa forma, seremos capazes de determinar as áreas de regiões irregulares no plano.
Estudaremos também a formulação da soma de Riemann para a integral de�nida, que permite que você calcule áreas sob
curvas, que não podem ser calculadas com a geometria clássica ou analítica.
Objetivos
Identi�car os conceitos de integração de funções de uma variável real;
Aplicar técnicas de integração;
Determinar propriedades e aplicações das integrais de�nidas.
Cálculo integral
Na matemática, tudo possui o seu inverso:
−
A subtração como inverso da
adição;
÷
A divisão como inverso da
multiplicação.
No cálculo diferencial, temos também o inverso da derivada, que é a antiderivada (primitiva), ou integral, como chamaremos aqui.
Logo, para todo x pertencente ao intervalo I, F será a antiderivada de f num dado intervalo I se F'(x) = f(x).
Exemplo
1. Uma função F(x) é chamada de primitiva da função f(x) em um intervalo I se F'(x) = f(x).
A função F(x) =
x5
5 é uma primitiva da função f(x) = x
4, pois:
F'(x) =
5x4
5 = x
4 = f(x)
Observe que as funções T(x) =
x5
5 + 9 ou H(x) =
x5
5 - 2 ou G(x) =
x5
5 + C também são primitivas de f(x) = x
4, pois:
T'(x) = H'(x) = G'(x) = x4
2. Se a função F(x) é uma primitiva da função f(x), a expressão F(x) + C será chamada de integral inde�nida de f(x) e será expressa
por:
∫ f(x)dx = F(x) + C
Integral inde�nida de f(x) ou simplesmente integral de f(x) em
relação a x
Chamamos de integração o processo que permite encontrar a integral inde�nida de uma função. Assim, temos que:
(i) ∫ f(x)dx é o sinal de integração;
(ii) f(x) é a função integrando;
(iii) dx é a diferencial que identi�ca a variável de integração.
A partir da de�nição de integral inde�nida, temos as seguintes propriedades:
(i) ∫ f(x)dx = F(x) + C ↔ F'(x) = f(x)
(ii) ∫ f(x)dx representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de
todas as primitivas da função que integra.
(iii) 
d
dx (∫ f(x)dx) =
d
dx (F(x) + C) = F'(x) = f(x)
A partir delas, observamos que:
∫ f(x)dx = F(x) + C →
d
dxF(x) = F'(x) = f(x)
Isso permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas de
derivação.
Propriedades da integral indefinida
∫ k f(x)dx = k ∫ f(x)dx
∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
Regra generalizada para integração de uma função
Se x é uma função derivável, então: ∫ xndx =
xn+ 1
n+ 1 + C, com n + 1 ≠ 0.
Exemplo
a) ∫ 7x4 + x2 dx
Solução:
∫ 7x4 + x2 dx = ∫7x4dx + ∫x2dx = 7
x4 + 1
4 + 1 + C1 +
x2 + 1
2 + 1 + C2
C1 e C2 são constantes arbitrárias. De modo que C1 + C2 = C, ou seja, basta colocar o termo “+C” no �nal da solução das
integrais, independentemente do número de parcelas da função do integrando.
Logo:
∫ 7x4 + x2 dx = ∫7x4dx + ∫x2dx = 7
x4 + 1
4 + 1 + C1 +
x2 + 1
2 + 1 + C2 =
7x5
5 +
x3
3 + C
b) ∫x2dx
Solução:
x2 + 1
2 + 1 =
x3
3
Logo:
∫x2dx =
x3
3 + C
c) ∫dx
Solução:
∫1 · dx = x + C
d) ∫ 3x2 + 5 dx
Solução:
∫ 3x2 + 5 dx = ∫3x2dx + ∫5dx = 3∫x2dx + 5∫dx = 3 ·
x2 + 1
2 + 1 + 5x + C = 3
x3
3 + 5x + C = x
3 + 5x + C
( )
( )
( )
( )
( )
e) ∫
2
3
√x
dx
Solução:
∫
2
x
1
3
dx = 2∫x
- 1
3 dx = 2
x
- 1
3
+ 1
- 1
3
+ 1
+ C = 2 ·
x
2
3
2
3
+ C = 2 ·
3
2
3
√x2 + C = 3 ·
3
√x2 + C
f) ∫
2
x3
+
3
x2
+ 5 dx
Solução:
Para veri�car se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução F(x) + C. Se essa derivada for igual a 
f(x), a primitiva está correta. Caso o resultado seja diferente, existe algum erro nos cálculos.
∫
2
x3
dx + ∫
3
x2
dx + 5∫dx = 2∫x - 3dx + 3∫x - 2dx + 5∫dx = 2 ·
x - 3 + 1
- 3 + 1 + 3
x - 2 + 1
- 2 + 1 + 5x + C = 2
x - 2
- 2 + 3
x - 1
- 1 + 5x + C = - x
- 2 - 3x - 1 + 5x + C = -
1
x2
( )
Atividade
1. Agora é sua vez! Calcule as integrais inde�nidas a seguir:
a. ∫ 8x4 + 4x3 - 6x + 5 dx
b. ∫ x5 + 1 dx
c. ∫ x
2
3 - x dx
d. ∫√x(x - 1)dx
e. ∫
2
√x
dx
( )
( )
( )
Integral de�nida e de�nição da área
Quando é preciso encontrar a área de uma região S, que está sob a curva y = f(x) de a até b, veri�que se S (�gura 10.1) está
limitada pelo grá�co de uma função contínua f (onde f(x) > 0), as retas verticais x = a e x = b, e o eixo x.
 Figura 10.1 – área S sob a curva contínua f(x), limitada pelas retas x =
a e x = b. Fonte: G. B. Thomas, 2002.
Um conceito primitivo de área é o da área do retângulo. Calcular a área do retângulo e de outras �guras geométricas elementares,
como triângulo e paralelogramo, é relativamente fácil.
Para calcular a área de uma região S qualquer, faça uma partição P do intervalo [a, b], isto é, divida o intervalo [a, b] em n
subintervalos, por meio dos pontos escolhidos arbitrariamente, da seguinte maneira:
a = x0 < x1 < x2 < … < xi+ 1 < xi < … < xn = b
Determinemos o comprimento do i-ésimo subintervalo xi - 1, xi como:[ ]
∆ xi = xi - xi - 1
Vamos construir retângulos de base xi - xi - 1 e altura f ci , em que ci é um ponto do intervalo xi, xi - 1 .
Assim, a soma das áreas dos n retângulos, que denotaremos por Sn, será:
( ) [ ]
Sn = f c1 * ∆ x1 + f c2 * ∆ x2 + … + f cn * ∆ xn = ∑
n
i= 1f ci * ∆ xi( ) ( ) ( ) ( )
Onde se lê que o somatório do produto corresponde a:
f ci * ∆ xi, varia de i = 1 até i = n.( )
Essa soma se chama Soma de Riemann da função f relativa à partição P. Quando n cresce, é natural esperar que a soma das
áreas dos retângulos se aproxime da área S sob a curva. Chamamos de norma da partição P o comprimento do seu subintervalo
mais longo:
||P|| = max ∆ xi; i = 1, 2, 3, …, n{ }
Caso o limite exista, a medida da área A da região S que está sob um grá�co de uma função contínua f é:
A = lim ||P || → 0 ∑ni= 1f ci * ∆ xi( )
De�nição de integral de�nida
Considerando f(x) uma função limitada de�nida no intervalo fechado [a, b] e P uma partição qualquer de [a, b], a integral de f(x) no
intervalo [a, b], denotada por ∫baf(x)dx, é dada por:
∫baf(x)dx = lim ||P || → 0 ∑
n
i= 1f ci * ∆ xi( )
Desde que exista o limite, a integral de�nida de f(x)dx vai de [a] até [b].
Propriedades da integral de�nida
i. ∫bak f(x)dx = k ∫
b
af(x)dx
ii. ∫ba (f(x) + g(x))dx = ∫
b
af(x)dx + ∫
b
ag(x)dx
iii. Se a < c < b, então ∫ba f(x)dx = ∫
c
a f(x)dx + ∫
b
c f(x)dx
iv. ∫ba f(x)dx = - ∫
b
a f(x)dx
Saiba mais
Assista ao vídeo <https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-7/v/connecting-the-�rst-and-second-
fundamental-theorems-of-calculus> sobre o teorema fundamental do cálculo e integrais de�nidas.
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Se F é tal que F'(x) = f(x) para x entre [a, b], então:
∫baf(x)dx = F(b) - F(a)
O resultado será um valor numérico sem o termo “+C”.
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-7/v/connecting-the-first-and-second-fundamental-theorems-of-calculus
Exemplo
a) Cálculo da integral de f(x) = x2 no intervalo [1, 2]
∫21f(x)dx = ∫
2
1x
2dx =
x3
3
2
1
Para resolver essa questão, substitua x pelo limite superior de integração. Nesse caso, 2 menos (subtrair) onde tem x você
substituirá pelo limite inferior, que é 1.
Vamos lá:
∫21f(x)dx = ∫
2
1x
2dx =
x3
3
2
1
=
23
3 -
13
3 =
8
3 -
1
3 =
7
3
b) 
∫01 x
3 + 3x - 1 dx = ∫01x
3dx + 3∫01xdx - ∫
0
1dx =
x4
4 +
3x2
2 - x
0
1
=
0x4
4 + 3
02
2 - 0 -
14
4 + 3
12
2 - 1 = 0
1
4 +
3
2 - 1 =
2 + 12 - 8
8 =
4
8 =
1
2
c) Mudando os limites para [-1, 0], encontramos 
- 11
4 .
d) Calculando a integral de f(x) =
1
x3
 no intervalo [1, 2].
∫21f(x)dx = ∫
2
1
1
x3
dx = ∫21x
- 3dx =
x - 3 + 1
- 3 + 1
2
1
=
x - 2
- 2
2
1
=
2 - 2
- 2 -
1 - 2
- 2 = -
1
8+
1
2 =
3
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Leitura
Algumas técnicas de integração <galeria/aula10/anexo/tecnicas_de_integracao.pdf> para diferentes funções.
Aplicações das integrais
Veja dois tipos de cálculos de área:
Sob a curva f(x) no intervalo [a, b];
Entre as curvas f(x) e g(x) no intervalo [a, b].
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula10/anexo/tecnicas_de_integracao.pdf
Cálculo de áreas sob a curva f(x) no intervalo [a, b]
Para determinar a área de diferentes regiões, é preciso encontrar a área de uma região A, que está sob a curva de uma função f(x),
como demonstrado na �gura 10.1.
Dessa forma:
Área S = ∫baf(x)dx
Exemplo
a) Calcular a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 1 e pelo grá�co de f(x) = x2
área = ∫10f(x)dx = ∫
1
0x
2dx =
x3
3
1
0
=
13
3 -
03
3 =
1
3 u. a.
u. a. signi�ca unidades de área
b) Calcular a área de f(x) = x + 1 entre x = 0 e x = 4
área = ∫40f(x)dx = ∫
4
0(x + 1)dx =
x2
2 + x
4
0
=
43
2 + 4 - 0 = 8u. a.( ) ( )
Atividade
2. Considerando f(x) = 5, tomemos a região delimitada por x = 1, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3. Faça o grá�co e calcule a área
dessa região.
3. Considerando f(x) = x, tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as retas x = 0 e x = 7.
Cálculo de área entre as curvas f(x) e g(x) no intervalo [a, b]
Considere a região entre os grá�cos de duas funções. Em seguida, suponha que f(x) e g(x) sejam funções contínuas no intervalo 
[a, b] e que f(x) > g(x) para todo x em [a, b]. Dessa forma, a área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à
esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b, conforme a �gura a seguir, corresponde a:
A = ∫ba[f(x) - g(x)]dx
 Figura 10.2 – Área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y
= g(x), à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b. Fonte: G. B.
Thomas, 2002.
Exemplo
Cálculo da área da região delimitada por y = f(x) = x + 6 e y = g(x) = x2 em [-2, 3].
Portanto, a área delimitada por:
y = f(x) = x + 6 e y = g(x) = x2 em [-2, 3] é 
125
6 u. a. .
A = ∫ba[f(x) - g(x)]dxA = ∫
3
- 2 (x + 6) - x
2 dx = ∫3- 2 x + 6 - x
2 dxA = ∫3- 2xdx + ∫
3
- 26dx - ∫
3
- 2x
2dxA =
x2
2 + 6x -
x3
3
3
- 2
A =
32
2 + 6 · 3 -
33
3[ ] [ ] ( ) ( )
Atividade
4. Encontre a área delimitada pela curva y = 1 - x2 e as reta y = x - 1 entre [-1, 2]
Mudança de variável ou regra da substituição
Agora aprenderemos como substituir uma integral relativamente complicada por uma mais simples. Sejam f e g funções
diferenciáveis. Suponha que F seja uma primitiva de f. Então:
F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x))g'(x)
[F(g(x))]' = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x)
Portanto:
∫ f(g(x))g'dx = F(g(x)) + C
Onde k é uma constante arbitraria. Assim, se �zermos a mudança de variável ou substituição u = g(x), temos:
∫F'(g(x))g'(x)dx = ∫[F(g(x))]'dx = F(g(x)) + C = ∫F'(u)du
Escrevendo F' = f, obtemos a regra da substituição:
∫ f(g(x))g'(x)dx = ∫ f(u)du
Exemplo
Para encontrar ∫2x√1 + x2dx, escolha a função de maior potência para chamar de u.
Nesse caso:
u = 1 + x2
du
dx = 2x
Queremos explicitar dx =
du
2x .
Vamos fazer a substituição?
∫2x√1 + x2dx = ∫2x√u du2x
Viu como �cou fácil?
Basta cortar 2x do numerador com 2x do denominador:
∫2x√u
du
2x = ∫√udu
Essa integral já sabemos resolver:
∫√udu = ∫u
1
2du =
2√u3
3 + C
Substituindo de volta u = 1 + x2, teremos que a solução �nal da integral é:
∫2x√1 + x2dx =
2 1 + x2 3
3 + C
√ ( )
Saiba mais
Assista ao vídeo Introdução à integração por substituição <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-
techniques-calc/u-substitution-calc/v/u-substitution> .
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-techniques-calc/u-substitution-calc/v/u-substitution
Atividade
5. Resolva a integral:
∫ x5 + 3x2
2
· 5x4 + 6x dx( ) ( )
6. Resolva ∫√2x - 1dx
Regra da substituição para integrais de�nidas
Se g' for contínua em [a, b] e f for contínua na variação u = g(x), então:
∫baf(g(x))g'(x)dx = ∫
g ( b )
g ( a ) f(u)du
Parece complicado?
Basta você resolver a interação por substituição e depois aplicar os limites de integração.
Exemplo
Vamos resolver o exemplo anterior:
∫11
2
√2x - 1dx
Já sabemos que os passos para a solução dessa integral nos leva a:
∫11
2
√2x - 1dx = ∫11
2
√u
du
2 =
1
2 ∫
1
1
2
u
1
2du =
1
2 ·
2
3√u3
1
1
2
Antes de efetuar a regra da integração de�nida, temos que ir até o �nal da solução da integral por substituição, ou seja, você não
deve resolver a integral de�nida em u.
Resolva a integral, faça a substituição de u e depois aplique os limites de integração em x. Logo, a aplicação dos limites de
integração deverá ser em x:
∫11
2
√2x - 1dx = ∫11
2
√u
du
2 =
1
2 ∫
1
1
2
u
1
2du =
1
2 ·
2
3√u3
1
1
2
=
1
3 · √(2x - 1)3
1
1
2
=
1
3 · √(2 · 1 - 1)3 -
1
3 · 2 ·
1
2 - 1
3
=
1
3 √1 -
1
3 √0 =
1
3√( )
Atividade
7. Resolva as integrais abaixo:
a) ∫20x√3x2 + 2dx
b) ∫21x√x2 + 1dx
Observações �nais
a) Integração de f(u) = eu
Vimos que existem regras para integração e para a integral:
∫eudu = eu + C
Aplicando a regra de substituição de variável, podemos resolver as integrais a seguir:
∫e5xdx
Faremos:
u = 5x
du
dx = 5dx =
du
5
Logo:
∫e5xdx = ∫eu
du
5 =
1
5 ∫e
udu =
eu
5 + C
Substituindo de volta u = 5x, teremos que:
∫e5xdx =
e5x
5 + C
b) Integração de f(u) =
1
u
Integral do tipo:
∫
dx
x = ln|x| + C
Também podemos resolver integrais do tipo ∫
dx
3x ou ∫
dx
x+ 3 .
Basta utilizar a técnica de solução da integral por substituição de variável:
∫
dx
3x
u = 3x
du
dx = 3dx =
du
3
Logo:
∫
dx
3x = ∫
dx
3
u
=
1
3 ∫
du
u
=
1
3
ln|u| + C
Substituindo de volta: u = 3x
Teremos que:
∫
dx
3x =
1
3
ln|3x| + C
Analogamente:
∫
dx
x+ 3
u = x + 3
du
dx = 1dx = du
Logo:
∫
dx
x+ 3 = ∫
du
u
= ln|u| + C
Substituindo de volta: u = x + 3
Teremos que:
∫
dx
x+ 3 = ln|x + 3| + C
Referências
G. B. Thomas, Cálculo. 10.ed. São Paulo: Addison-Wesley/Pearson, 2002.
Bornatto G., Cálculo diferencial e integral. Disponível em: https:// issuu.com/ labvirtual. utfpr. pb/ docs/ apostila_ calculo_ 1.
<https://issuu.com/labvirtual.utfpr.pb/docs/apostila_calculo_1> Acesso em: 8 mar. 2019.
Explore mais
Exemplos de Integração. <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-calc>
https://issuu.com/labvirtual.utfpr.pb/docs/apostila_calculo_1
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-calc