Pontos, direcoes e planos cristalograficos pdf 2017

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Aula 4: Ciência e Tecnologia dos Materiais 
1º Bimestre 
FACULDADE NOBRE 
CURSOS DE GRADUÇÃO EM ENGENHARIA 
MECÂNICA E ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS 
MATERIAIS 
Prof.º MSc. JODILSON AMORIM CARNEIRO 
Pontos, Direções e Planos Cristalográficos 
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1º Bimestre 
INTRODUÇÃO 
• Ao correlacionar várias propriedades e 
estruturas cristalinas, é necessário identificar 
direções específicas no cristal. 
• Estas direções podem ser obtidas se usarmos 
a célula unitária como base. 
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Sistemas cristalinos 
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4 
Romboédrico 
(trigonal) 
 
 
 
 
 
Ortorrômbico 
 
 
 
 
Monoclínico 
Triclínico 
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COORDENADAS DE PONTOS 
q r s 
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COORDENADO DE UM ÁTOMO EM UMA REDE 
CÚBICA SIMPLES 
• As coordenadas do átomo 
vermelho são: ( a, a, 0) 
• Que podem ser inscritos em 
termos do parâmetro de 
rede como: (1,1,0) 
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• Posições atômicas em células unitárias 
cúbicas 
 
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COORDENADAS DE PONTOS 
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• Posições atômicas em células unitárias 
cúbicas 
 
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COORDENADAS DE PONTOS 
(a) Célula unitária da blenda de zinco;, 
 (b) vista superior. Indicação das osições relativas dos átomos em relação a altura da célula... 
a).. 
b).. 
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COORDENADAS DE PONTOS 
• Para a célula unitária a seguir, localizar o 
ponto de coordenadas ½ 1 ¼ 
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Sistema cristalino 
Monoclínico 
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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
• É definida como sendo uma linha entre dois 
pontos, ou um vetor. 
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Representação dos 
índices direcionais 
[ u v w ] 
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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
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Certos processos físicos envolvem a interação entre os 
átomos dispostos segundo certas direções. Por exemplo: 
• um feixe de luz sendo transmitido através de uma 
estrutura cristalina. O feixe percorre a estrutura em 
uma dada direção e interage com os átomos. 
• Uma tração agindo em certa direção em uma estrutura 
cristalina tende a afastar os átomos naquela direção. 
As diferentes distâncias interatômicas das diferentes 
direções resultam em diferentes respostas do material ao 
estímulo externo. Certas propriedades dependem das 
direções cristalinas em que são medidas, como o índice 
de refração e o módulo de elasticidade. 
À dependência que as propriedades exibem com a direção cristalina em 
que são medidas dá-se o nome de anisotropia. 
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Etapas a serem seguidas para 
determinação dos três índices direcionais 
 • Posicionar o vetor, com comprimento conveniente, de 
forma que ele passe na origem do sistema de coordenadas 
• Determinar o comprimento das projeções do vetor sobre 
cada um dos três eixos principais 
• Os valores obtidos deverão ser multiplicados ou divididos 
de maneira a reduzi-los aos menores valores inteiros 
• Os três índices são colocados entre colchetes, sem ser 
separados por virgulas [ u v w] 
 Obs: Qualquer vetor pode ser movido por toda a rede, desde que seu 
paralelismo seja mantido 
 Para cada um dos três eixos, podem existir tanto coordenadas positivas 
como negativas 
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Etapas a serem seguidas para determinação 
dos três índices direcionais 
 
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Projeção sobre o 
eixo y(b) 
Projeção sobre o 
eixo x (a/2) 
x y z 
projeções 
Projeções ( a, b, c) 
redução 
[ u v w ] 
a/2 b 0c 
1/2 1 0 
1 2 0 
[ 1 2 0 ] 
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Índices Direcionais Negativos 
 Representação dos 
índices direcionais 
[ u v w ] 
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_ 
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Direções cristalográficas: 
Exemplos 
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• cristais hexagonais 
 
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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
 
Sistema de coordenadas de 
quatro eixos ( Miller – Bravais ) 
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• cristais hexagonais 
 
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DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICAS 
 
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• cristais hexagonais 
 
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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
 
Delineação de um dos três 
paralelepípedos 
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Determinar os índices para a direção mostrada 
na célula unitária hexagonal abaixo 
 
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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
 
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Converter as direções [ 1 1 0] e [ 0 1 1 ] para 
o esquema de quatro índices de Miller-
Bravais para a células unitárias hexagonais. 
 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
• Orientações semelhantes às 
direções cristalográficas 
• Especificados por três índices 
de Miller ( h k l ) 
• Quaisquer dois planos 
paralelos entre si são 
equivalentes e possuem 
índices idênticos 
 
 
 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
• A clivagem de certos minerais ocorre em 
determinados planos atômicos. 
• A supercondutividade elétrica de certas fases 
cristalina existe em certos planos cristalinos. 
• São os planos cristalinos que emitem os sinais na 
técnica de difração de Raios X, largamente 
empregada na investigação de materiais. 
• A plasticidade dos metais está relacionada ao 
movimento de defeitos cristalinos, as 
discordâncias, em planos cristalinos 
preferenciais. Isto justifica o estudo dos planos 
cristalinos. 
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Direções cristalográficas 
Etapas a serem seguidas para determinação dos índices de 
Miller 
• Se o plano selecionado passa na origem, ou cria-se um outro 
plano paralelo mediante uma translação apropriada ou deve 
ser estabelecida uma nova origem no vértice de outra célula 
unitária 
• Neste ponto, ou o plano cristalográfico intercepta ou ele é 
paralelo a cada um dos três eixos ; o comprimento da 
interseção planar é a, b e c 
• Os valores inversos desses números são calculados e tomados 
• Se necessário, esses três números são modificados para se 
obter um conjunto de números inteiros 
• Os números obtidos são apresentados obtendo-se: (h k l) 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
• Representação dos planos cristalográficos (h k l ) 
27 
Outros planos (001) 
equivalentes 
Plano (001) com 
referencia à origem 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
• Representação dos planos cristalográficos (h k l ) 
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Outros planos (110) 
equivalentes 
Plano (110) com 
referencia à origem Plano (111) com 
referencia à origem 
Outros planos (111) 
equivalentes 
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Determinar os índices de Miller para a direção 
mostrada na célula unitária hexagonal abaixo 
 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 
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x y z 
interseções 
Interseções (a, b, c) 
Inverso 
Reduções 
( u v w ) 
Determinar os índices de Miller para a direção 
mostrada na célula unitária hexagonal abaixo 
 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
a -b c/2 
-1 1/2 
0 -1 2 
(0 1 2) 
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planos cristalográficos: 
exemplos 
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DENSIDADES LINEAR E PLANAR 
Densidade Linear 
DL = 
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Número de átomos centrados sobre o vetor direção 
Comprimento do vetor direção 
(nm-1) 
CFC 
DL110= (2 átomos) / 4R 
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ARRANJOS ATÔMICOS 
CFC 
33 
Os arranjo atômico para um plano 
cristalográfico, o que frequentemente é de 
interesse, depende da estrutura cristalina 
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ARRAMJOS ATÔMICOS 
CCC 
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Os arranjo atômico para um plano 
cristalográfico, o que frequentemente é de 
interesse, depende da estrutura cristalina 
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Planos cristalográficos 
 • Para algumas estruturas cristalinas que possuem a 
mesma compactação atômica, mas com índices 
diferentes, são equivalentes. 
• Nos cristais cúbicos , todas os planos representadas 
pelos índices abaixo, são equivalentes 
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E são representados da seguinte forma: 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICAS 
 
 Esta equivalência não é verdadeira para 
outros sistemas cristalinos 
 No sistema tetragonal os planos da família 
Conteria apenas os planos 
Uma vez que 
Não são equivalentes 
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Os indices (h k l ) são identificados 
diretamente no paralelepípedo 
dentro da célula hexagonal, e sua 
obtenção é idêntica para ambos os 
sistemas de indexação 
 
• cristais hexagonais 
 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICAS 
Sistema de coordenadas de 
quatro eixos ( Miller – Bravais ) ( h k i l ) 
Deteminação do indice ( i ) 
i= - ( h+k ) 
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• cristais hexagonais 
 
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PLANOS CRISTALOGRÁFIC0S 
 
Delineação de um dos três 
paralelepípedos 
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Determinar os índices de Miller-Bravais para o 
plano mostrado na célula unitária hexagonal 
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 
Delineação de um dos três 
paralelepípedos 
a1 a2 z 
projeções 
Projeções ( a, b, c) 
Inverso 
redução 
[ h k l ] 
a -a c 
1 -1 1 
1 -1 
( 1 1 1 ) 
 1 
i = - (h+k) = - ( 1-1 ) = 0 
( 1 1 0 1 ) ( h k i l ) 
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Determinar os índices de Miller-Bravais para 
o plano mostrado na célula unitária 
hexagonal abaixo: 
40 
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 
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DENSIDADE PLANAR 
Densidade Planar 
DP = 
41 
Número de átomos centrados sobre um plano 
Área do plano 
(nm-2) 
CFC 
DP110= (2 átomos) / 8R
22 
2R2 
4R 
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( D Linear; D Planar ) X ESCORREGAMENTO 
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O processo de 
escorregamento 
(deformação plástica nos 
metais) ocorre nos planos 
cristalográficos mais 
densamente compactados 
e naqueles planos, ao 
longo das direções que 
possuem a maior 
compactação atômica 
Direção da força 
P
la
n
o
 d
e
 e
s
c
o
rr
e
g
a
m
e
n
to
 
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1º Bimestre 
Obrigado! 
REFERENCIAS 
 
CALLISTER JR. , William D. Ciência e 
engenharia de materiais: uma introdução. 
7.ed. Rio de janeiro:LTC, 2012. 
 
.----- . Fundamentos da Ciência e Engenharia 
de materiais: uma abordagem integrada. 
2.ed. Rio de Janeiro:LTC, 2006.