CálculoIIITesteAem20132 - Rogério

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
97954 – Ca´lculo III: Se´ries e Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis – Teste do Grau A – 2013/2 – Prof. Roge´rio
Este teste pode ser feito individualmente ou em dupla.
Nome(s):
1. Encontre uma fo´rmula simples para Sn em func¸a˜o de n e determine se a se´rie converge ou diverge.
Caso convirja, encontre a sua soma.
+∞∑
k=1
1
(k + 2)(k + 3)
2. Para cada uma das se´ries abaixo diga se ela converge ou diverge, justificando a sua resposta.
Caso convirja, calcule a soma da se´rie.
(a)
+∞∑
k=0
[(
3
2
)k
− 2 ·
(
4
9
)k]
(b)
+∞∑
k=2
[
0, 4 · (0, 9)k + 3, 1 · (0, 2)k]
3. A figura mostra os QUATRO primeiros quadrados de uma sequeˆncia infinita de quadrados.
O quadrado externo tem lado igual a L. Cada um dos quadrados e´ obtido ligando-se os pontos
me´dios dos lados do quadrado anterior. Calcule a soma das a´reas de todos os quadrados da
sequeˆncia infinita.
4. Considere a se´rie geome´trica
+∞∑
n=0
2kx−k .
(a) Encontre os valores de x para os quais a se´rie acima converge.
(b) Em seguida, encontre a soma da se´rie (como uma func¸a˜o de x).
(c) Encontre o valor de x de modo que a soma seja igual a 2.
5. Para cada uma das se´ries abaixo diga se ela converge ou diverge, justificando a sua resposta.
(a)
+∞∑
n=0
4n
9n + 2013
(b)
+∞∑
n=1
5
√
n6 + 7n + 9
10
√
n23 + n8 + 4n
6. Para cada afirmac¸a˜o abaixo diga se e´ Verdadeira (V) ou Falsa (F), justificando a sua resposta.
(a) Sabendo que
∫ +∞
1
dx
x5/4
= 4, podemos concluir que
+∞∑
n=1
1
n5/4
= 4.
(b) Sabendo que lim
n→+∞
an = 0, podemos concluir que a se´rie
+∞∑
n=1
an converge.
(c) Sabendo que
+∞∑
n=0
1
n!
= e, podemos concluir que a se´rie
+∞∑
n=3
1
n!
= e− 5
2
.
Valor de cada Questa˜o: 1. 0,4 2. 0,8 3. 0,6 4. 0,6 5. 0,4 6. 0,6.