Fundamentos de Análise

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Fundamentos de Análise 
Mariana da Silva Nogueira Ribeiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1 OS NÚMEROS REAIS I .............................................................................. 3 
2 SEQUÊNCIAS INFINITAS ......................................................................... 12 
3 SÉRIES INFINITAS I ................................................................................. 22 
4 SÉRIES INFINITAS II ................................................................................ 31 
5 SÉRIES DE POTÊNCIA ............................................................................. 39 
6 SÉRIES DE FUNÇÕES .............................................................................. 48 
 
 
 
3 
 
 
 
1 OS NÚMEROS REAIS I 
 
Apresentação 
O conjunto dos Números Reais, representado pela letra R, é constituído pela união dos 
conjuntos dos números irracionais e dos números racionais, nos quais estão incluídos 
os números naturais e os números inteiros. Os números reais são utilizados em nosso 
dia a dia para representar uma quantidade contínua, incluindo o zero e os negativos, 
como temperaturas, altitudes, quantidades de forma geral, entre outras. 
Dessa forma, para conhecer mais a respeito do conjunto dos Números Reais serão 
abordados alguns pontos considerados relevantes, como as propriedades formais da 
adição, as propriedades algébricas dos reais e conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis 
e não enumeráveis. 
1.1 Propriedades formais da adição 
O conjunto dos Números Reais e suas particularidades são apresentados ao aluno 
desde muito cedo na fase escolar a partir dos conteúdos curriculares existentes na 
disciplina de Matemática. O conjunto é associado, geometricamente, à reta. De acordo 
com Aguilar e Dias (2015), com o advento da geometria analítica e o uso de 
coordenadas, os números reais podem ser vistos como pontos de uma reta, conforme 
ilustra a figura a seguir: 
 
Figura 1.1 – Reta Numérica. 
Fonte: Aguilar; Dias (2015, p. 109). 
 
 
4 
 
O conjunto dos Números Reais é definido a partir da união dos números racionais e 
irracionais, o qual é denotado por 𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰. O conjunto dos Reais contém duas 
operações, a soma “+” e o produto “×”. 
Para Lima (2012), em Matemática, um conjunto é caracterizado pelos seus elementos 
e pelas operações e propriedades que estes podem satisfazer, as quais são 
fundamentais para a realização dos cálculos necessários à solução de problemas. 
Os elementos do conjunto dos Números Reais estão definidos em duas operações, 
adição e multiplicação, as quais satisfazem as seguintes propriedades (LIMA, 2012): 
 Comutativa: quaisquer que sejam dois números reais a e b, sempre se 
tem: 
(i) a + b = b + a e ab = ba 
 Associativa: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, sempre se 
tem: 
(i) (a + b) + c = a + (b + c) e a (bc) = (ab) c 
 Elemento neutro: existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, 
tais que, para qualquer número real a, verificam: 
(i) a + 0 = a e a .1 = a 
 Elemento oposto e elemento inverso: 
(i) Dado um número real a, existe um único número real, indicado 
por −a, chamado oposto de a, tal que a + (−a) = 0. 
(ii) Dado um número real a ≠ 0, existe um único número real 
indicado por 
𝟏
𝒂
 ou por 𝒂−𝟏, chamado inverso multiplicativo de a, 
tal que 𝒂.
𝟏
𝒂
= 𝟏. 
 Distributiva: quaisquer que sejam a, b e c reais, sempre se tem: a (b + c) 
= ab + ac e (b + c) a = ba + ca. 
 
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Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: <https://bit.ly/2G2pGLf>. 
Acesso em: 11 ago. 2020. 
1.2 Propriedades algébricas dos reais 
Com relação ao conjunto dos Números Reais, as propriedades são bastante usadas, 
junto com os axiomas e as definições, com intuito de demonstrar outras propriedades 
também essenciais. Para provar essas propriedades, são usados alguns axiomas, 
conforme serão apresentados a seguir: 
Propriedade1: a igualdade não se altera quando se soma ou multiplica o mesmo 
número nos dois lados da igualdade. Para Lima (2012), sejam a, b, c ∈ R. Valem as 
seguintes propriedades: 
i) a = b ⇒ a + c = b + c (preservação da igualdade na soma). 
ii) a = b ⇒ a · c = b · c (preservação da igualdade no produto). 
 
Nessa demonstração, é utilizada a lógica e os axiomas de fechamento da soma e do 
produto, em que de acordo com Figueredo (1975), temos: 
i) a ∈ R e c ∈ R pela lei do fechamento da soma, a + c ∈ R, e sabemos, pela 
lógica, que a + c = a + c. Por hipótese, a = b, logo, por lógica, a = b e a + c = a 
+ c, então: 
⇒ a + c = b + c 
 Como b = a, o valor a do lado direito da igualdade foi substituído pelo valor b. 
ii) a ∈ R e c ∈ R pela lei do fechamento do produto, a · c ∈ R, e sabemos, pela 
lógica, que a · c = a · c. Por hipótese, a = b, logo, por lógica, a = b e a · c = a · 
c, então: 
https://bit.ly/2G2pGLf
 
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⇒ a · c = b · c. 
Como b = a, o valor a do lado direito da igualdade foi substituído pelo valor b. 
Propriedade 2: unicidade do elemento neutro da soma. 
Primeira propriedade de unicidade do 0: só existe um número real que satisfaz o 
axioma de existência de elemento neutro da soma. O único elemento b ∈ R que 
satisfaz a + b = a, ∀a ∈ R é o elemento 0 (FIGUEREDO, 1975). 
Para provar tal propriedade, suponha por absurdo que a tese é falsa, ou seja, existe 
outro elemento neutro 0 ∈ R; em que 0′ ≠ 0. Por um lado, 0 é elemento neutro da 
soma: 
⇒ 0 ′ + 0 = 0′ 
 Por outro lado, 0′ é elemento neutro da soma, ou seja: 
⇒ 0 + 0′ = 0. 
No entanto, pela lei comutativa da soma, temos que 0′ + 0 = 0 + 0′ é transitividade da 
igualdade: 
⇒ 0 ′ = 0 
Nesse sentido, como 0 = 0′ e 0 ≠ 0′ não podem ocorrer simultaneamente, portanto, 
não é possível negar a tese, isto é, o elemento neutro 0 ∈ R é único. 
Para Alencar (1964), a segunda propriedade da unicidade do 0 apresenta que: 
⇒ a + b = a para algum a ∈ R ⇒ b = 0. 
Propriedade 3: Unicidade do elemento neutro do produto. 
A primeira propriedade de unicidade do 1 define que só existe um número real que 
satisfaz o axioma de existência de elemento neutro do produto (LIMA, 2012). Nesse 
sentido, temos um único elemento b ∈ R, b ≠ 0 que satisfaz a · b = a, ∀a ∈ R é o 
elemento 1. 
 
7 
 
Nesse caso, para provarmos, vamos supor que por absurdo existe outro elemento 
neutro 1′ ∈ R; em que 1′ ≠ 0 e 1′ ≠ 1. Logo, 1 é elemento neutro do produto: 
⇒ 1 ′ · 1 = 1′ 
Mas, 1′ é elemento neutro do produto: 
⇒ 1 · 1′ = 1 
Portanto, pela lei comutativa do produto, temos que 1′ · 1 = 1 · 1 ′, ou seja, pela, 
transitividade da igualdade: 
⇒ 1′ = 1 
Porém, 1 = 1′ e 1 ≠ 1′ não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, não é possível 
negar a tese, isto é, o elemento neutro 1 ∈ R é único (LIMA, 2012). 
A segunda propriedade da unicidade do 1 apresenta que: a · b = a, para algum a ∈ R, a 
≠ 0 ⇒ b = 1 
Propriedade 4: unicidade do elemento simétrico. 
De acordo com Figueredo (1975), só existe um número real que satisfaz o axioma de 
existência de elemento simétrico. 
Propriedade 5: unicidade do elemento inverso. 
Para Figueredo (1975), só existe um número real que satisfaz o axioma de existência 
de elemento inverso. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tde/2951/5/Numeros%20Reais%20Um
%20Corpo%20Ordenado%20Completo.pdf>. 
Acesso em: 11 ago. 2020. 
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tde/2951/5/Numeros%20Reais%20Um%20Corpo%20Ordenado%20Completo.pdf
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tde/2951/5/Numeros%20Reais%20Um%20Corpo%20Ordenado%20Completo.pdf
 
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1.3 Conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis e não enumeráveis 
Antes de iniciarmos nosso estudo, vamos ler a seguinte citação: “Era uma vez um hotel 
com um número infinito de quartos. Todos estavam ocupados. Chegou um novo 
hóspede que necessitava muito de hospedagem. Como o gerente poderia resolver 
esse problema?” (GONÇALVES, 2009,p. 11). 
De acordo com Gonçalves (2009), a primeira ideia que surge diante de um problema 
desse tipo é colocar o novo hóspede num dos quartos já ocupados. Porém, pode não 
ser a melhor ideia, pois só se resolveria a situação se um antigo hóspede concordasse 
em compartilhar o seu quarto. Diante dessa situação, considerando um número 
infinito de quartos, podemos numerar os quartos do hotel como sendo 1, 2, 3,..., n,... 
E se pegarmos o hóspede do primeiro quarto e o passarmos para o segundo, e o do 
segundo passarmos para o terceiro, e assim sucessivamente, o que acontece? Se 
optarmos por esse caminho, todos os hóspedes ficariam acomodados nos quartos 
subsequentes e o primeiro quarto ficaria livre para acomodar o novo hóspede. De 
acordo com Gonçalves (2009), essa situação analisada representa a ideia de conjunto 
infinito enumerável, ou seja, de um conjunto infinito cujos elementos podem ser 
colocados na forma de uma lista. 
Quando pensamos na ideia intuitiva de um conjunto finito, lembramos sempre de algo 
cujos elementos podemos contar. Mas quando um conjunto não é finito? Quando um 
conjunto não é finito, dizemos que ele é infinito e na história da humanidade, sempre 
persistiu muita dificuldade para compreender e aceitar grandezas infinitas. 
Na área da Matemática, o pesquisador Cantor desenvolveu um trabalho sobre 
conjuntos infinitos, o que deu origem ao conceito de cardinalidade. Cantor mostrou 
que existem diferentes tipos de conjuntos infinitos, e que, em alguns deles, não é 
possível colocar seus elementos em sucessão, na forma de lista, como fizemos na 
situação inicial desta seção. Surgiram, assim, os conceitos de conjunto enumerável e 
de conjunto não enumerável. 
Para compreendermos sobre os conjuntos infinitos e finitos, temos as seguintes 
definições, conforme Carvalho (2007): 
 
9 
 
1.1 Um conjunto X é dito finito se é vazio ou se, para algum n, existe uma 
bijeção f : Ιn → X. Neste caso, dizemos que X tem cardinalidade n, isto é, X 
tem n elementos. 
1.2 Se X não for finito, dizemos que X é infinito. 
1.3 Um conjunto infinito X é dito enumerável se existe uma bijeção. 
Para Lima (2012), todo conjunto infinito que não é enumerável, é dito não 
enumerável. Cantor apresenta que dois conjuntos, A e B, tem a mesma cardinalidade 
quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre os elementos de 
A e os elementos de B. Assim, pode-se afirmar que existe uma bijeção entre A e B, ou 
seja, o conjunto dos Números Reais é não enumerável. 
Para mostrar que o conjunto dos números reais entre 0 e 1 é não enumerável, 
usaremos a representação decimal infinita, que é única para todo número real 
(GONÇALVES, 2009). Por exemplo: 
 0,397 = 0,396999... 
 0,5 = 0,4999... 
Vamos imaginar que é possível estabelecermos uma correspondência biunívoca dos 
Números Reais existentes no intervalo (0, 1) com os Números Naturais. Nesse sentido, 
podemos escrever esses números em sucessão, x1, x2, x3, onde xn são algarismos de 0 a 
9, conforme o esquema a seguir (GONÇALVES, 2009): 
 
Figura 1.2 – Reta Numérica. 
Fonte: Gonçalves (2009, p. 19). 
 
10 
 
Ao estabelecer uma contradição utilizando o processo diagonal de Cantor, é possível 
construir um número diferente de todos os listados, trocando os algarismos da 
diagonal. 
Assim, para Gonçalves (2009), esse novo número será diferente de x1, na primeira casa 
decimal, diferente de x2 na segunda casa decimal, diferente de x3 na terceira casa 
decimal, e assim sucessivamente. Logo, chegamos a um absurdo, o que conclui que o 
conjunto dos Números Reais entre 0 e 1 é não enumerável. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://mtm.ufsc.br/~daemi/Cursos%20Ministrados/Int_Analise/Livro/Elementos%20
da%20An%E1lise%20-%20Versao%20Preliminar.pdf>. 
Acesso em: 11 ago. 2020. 
Conclusão 
Neste bloco, foi apresentado de maneira formal o conjunto dos Números Reais, 
iniciando pelas propriedades formais da adição. Outro ponto abordado foram as 
operações de adição e multiplicação, bem como as suas propriedades.: associativa, 
comutativa, distributiva, elemento neutro e simétrico. 
Abordamos também as propriedades algébricas com relação ao conjunto dos Números 
Reais. Apresentamos a definição dos conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis e não 
enumeráveis, assim como ao estabelecer uma contradição utilizando o processo 
diagonal de Canto, mostrou-se que o conjunto dos Números Reais entre 0 e 1 é não 
enumerável. 
 
 
 
http://mtm.ufsc.br/~daemi/Cursos%20Ministrados/Int_Analise/Livro/Elementos%20da%20An%E1lise%20-%20Versao%20Preliminar.pdf
http://mtm.ufsc.br/~daemi/Cursos%20Ministrados/Int_Analise/Livro/Elementos%20da%20An%E1lise%20-%20Versao%20Preliminar.pdf
 
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REFERÊNCIAS 
AGUILAR, I.; DIAS, M. S. A construção dos números reais e suas extensões. Rio de 
Janeiro: UFF, 2015. 
ALENCAR FILHO, E. Elementos de análise algébrica. São Paulo: Nobel, 1964. 
CARVALHO, N. T. B.; GIMENEZ, C. S. C. Fundamentos da matemática I. Florianópolis: 
UFSC/EAD/CED/CFM, 2007. 
FIGUEREDO, D. G. Análise I. Brasília: Editora Universidade de Brasília Livros Técnicos e 
Científicos Editora S.A, 1975. 
GONÇALVES, M. B.; GONÇALVES, D. Elementos de análise. UFSC, 2009. 
LIMA, E. L. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. v. 1. 
 
 
 
12 
 
 
2 SEQUÊNCIAS INFINITAS 
 
Apresentação 
Uma sequência de Números Reais pode ser compreendida como uma lista infinita de 
números reais, arranjados em uma certa ordem, com uma determinada regra. Mais 
especificamente, temos uma sequência infinita para cada número natural associado a 
um número real, que sempre deve obedecer a uma determinada ordem definida 
antecipadamente. Na Matemática, uma sequência numérica deve ser representada 
entre parênteses e ordenada. 
Dessa forma, para conhecer mais a respeito das sequências numéricas, serão 
abordados alguns pontos considerados relevantes, como: definição, notação, 
convergências; limites e propriedades; sequências monótonas e limitadas. 
2.1 Definição, notação e convergência de sequências 
O uso da sequência é empregado para representar uma sucessão de objetos ou fatos 
respeitando uma ordem determinada. Para Ricardo (2018), tal ordem pode ser de 
lógica, tamanho, ordem cronológica, entre outros. Na Matemática, é utilizada 
comumente para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por 
uma lei ou função que é chamada de termo geral da sequência ou lei de recorrência 
(RICARDO, 2018). 
Para definirmos uma sequência numérica, vamos considerar um conjunto enumerável 
de Números Reais, em que podemos ordenar da seguinte forma: a1, a2, ..., an, ... Tal 
sucessão enumerável de Números Reais é denominada de sequência. Formalmente, 
uma sequência numérica é uma função f: N → R (FIGUEREDO, 1996), em que temos 
que essa função f define a ordem dos elementos an: f (1) = a1, f (2) = a2, e assim 
sucessivamente. Ainda, para n ∈ N, escrevemos f (n) = an. Nesse sentido, essa 
sequência pode ser representada também da seguinte forma: (an), em que n varia 
entre os Números Naturais. 
 
13 
 
Um exemplo que podemos utilizar para representarmos uma sequência pode ser: 1, 1, 
..., 1, ..., definida por an = 1 para todo n, ou f (n) = 1 para todo n é uma sequência 
constante. É possível observarmos que a sequência não é um conjunto, pois por 
definição, o conjunto {an; n ∈ N} formado pelos elementos da sequência não é 
ordenado. 
Assim, as ordenações desses elementos surgem apenas quando definimos qual será a 
função f. Os elementos ordenados an da sequência são chamados de termos da 
sequência, sendo an o n-ésimo termo (FIGUEIREDO, 1996). 
Ao analisarmos a sequência {𝒂𝒏} = 𝟏, 𝟒, 𝟕, 𝟏𝟎, …, é possível identificarmos que se 
refere a uma progressão aritmética (PA) em que o primeiro termo é a1 = 1 e tem razão 
3, pois a diferença entre um termo e o seguinte é de 3. O termo geral da PA é: 
an = a1 + (n − 1).r 
an= 1 + (n − 1) · 3 
an = 3n – 2 
 
Logo, o termo geral dessa sequência é an = 3n – 2. 
Para Lima (2016), dizemos que a sequência (an) é limitada quando existirem a e b ∈ R, 
tais que seus termos estejam contidos em um intervalo [a, b], isto é, quando tivermos 
a ≤ an ≤ b para todo n ∈ N. 
Logo, se isso não acontecer, temos que a sequência é ilimitada. De forma análoga, 
podemos dizer que a sequência (an) é limitada superiormente se existir b ∈ R, tal que 
an ∈ (−∞, b) 
 
para todo n ∈ N, e limitada inferiormente se existir b ∈ R, tal que an ∈ (a, +∞) para 
todo n ∈ N (LIMA, 2016). 
 
14 
 
Definição 1: temos que 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒙𝒏 = 𝑳, se para todo 𝜺 > 𝟎 existe 𝑵𝟎 ∈ 𝑵 tal que 
𝒏 > 𝑵𝟎 → |𝒙𝒏 − 𝑳| < 𝜺. Nesse caso, de acordo Figueiredo (1996), a sequência é 
convergente e L é dito limite da sequência. Assim, |𝒙𝒏 − 𝑳| < 𝜺 se, e somente se, 
𝑳 − 𝜺 < 𝒙𝒏 < 𝑳 + 𝜺. 
Definição 2: temos que 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒙𝒏 = ∞, se para todo 𝑴 ∈ 𝑹 existe 𝑵𝟎 ∈ 𝑵 tal que 
𝒏 > 𝑵𝟎 → 𝒙𝒏 > 𝑴. Nesse caso, de acordo Figueiredo (1996), a sequência diverge para 
infinito em que denotamos 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒙𝒏 = ∞. De forma análoga, a sequência diverge 
para −∞, se e somente se, −𝒙𝒏 diverge para o infinito. 
Definição 3: a sequência não convergente é denominada de sequência divergente e as 
sequências divergentes podem ser divergentes tanto para −∞ como +∞, ou que não 
tem limites. 
De acordo com Lima (2016), o teorema para convergência de sequências numéricas 
apresenta o seguinte: 
 Se |𝒂| < 𝟏, então 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞ 𝒂
𝒏 = 𝟎. 
 Se |𝒂| > 𝟏, então (𝒂𝒏) diverge. 
 Se 𝒂 = 𝟏, então 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞ 𝟏
𝒏 = 𝟏. 
 
Também é possível aplicar a regra de L’Hopital para encontrar o limite de algumas 
sequências, conforme o exemplo a seguir: 
 𝒂𝒏 =
𝒏
𝟏−𝟐𝒏
 
O limite pode ser escrito como 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝒙
𝟏−𝟐𝒙
, considerando que 𝒙 ∈ 𝑹. Nesse caso, é 
possível utilizar a regra de L’Hopital: 
 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝒙
𝟏−𝟐𝒙
= −
𝟏
𝟐
 
 
 
15 
 
Portanto, a sequência 𝒂𝒏 converge para 
𝟏
𝟐
. 
Outro exemplo em que podemos utilizar o limite da sequência, com intuito de 
determinar se a sequência converge ou diverge é: 
 𝒂𝒏 = 𝒏𝒔𝒆𝒏 (
𝝅
𝟐𝒏
) 
Podemos escrever o limite dessa sequência de forma a obter o limite fundamental: 
 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒙
 
 
Substituindo, temos: 
 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒅𝒏 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝒔𝒆𝒏(
𝝅
𝟐𝒏
)
𝟏
𝒏
 
Multiplicando o numerador e o denominador da fração por 
𝝅
𝟐
, define-se a nova variável 
𝒙 =
𝝅
𝟐𝒏
. Essa nova variável tende a zero quando n tende a ∞. Logo, o novo limite será: 
 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒅𝒙 =
𝝅
𝟐
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒙
=
𝝅
𝟐
 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www.academia.edu/38701457/Sequ%C3%AAncias_e_S%C3%A9ries_Sadao_
Massago_Setembro_de_2014>. Acesso em: 12 ago. 2020. 
 
2.2 Limites e propriedades de limites de sequências 
Ao compreender as propriedades relacionadas às sequências numéricas, é possível 
identificar algumas particularidades existentes. Nesse sentido, considerando as 
sequências (𝒂𝒏) e (𝒃𝒏), são convergentes então, conforme Lima (2016): 
https://www.academia.edu/38701457/Sequ%C3%AAncias_e_S%C3%A9ries_Sadao_Massago_Setembro_de_2014
https://www.academia.edu/38701457/Sequ%C3%AAncias_e_S%C3%A9ries_Sadao_Massago_Setembro_de_2014
 
16 
 
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞(𝒂𝒏 + 𝒃𝒏) = 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒂𝒏 + 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒃𝒏 
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞(𝜸𝒂𝒏) = 𝜸 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒂𝒏 
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞(𝒂𝒏𝒃𝒏) = 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒂𝒏 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒃𝒏 
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ (
𝒂𝒏
𝒃𝒏
) = 
𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒂𝒏
𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒃𝒏
, de que 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒃𝒏 ≠ 𝟎 
 Caso f for contínua 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞(𝒇𝒙𝒏) = 𝒇( 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒙𝒏) 
 
Para que possamos determinar alguns limites, existem alguns teoremas e técnicas. 
Uma delas são sequências definidas pela função contínua em que: Se 𝒙𝒏 = 𝒇(𝒙) onde 
f é uma função contínua tal que, 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒇(𝒙) existe, então 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒙𝒏 =
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒇(𝒙) (LIMA, 2016). 
Exemplo: Seja 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝒆𝒏
𝒏²
=
∞
∞
 , onde teremos uma indeterminação. Logo, aplicando 
L’Hopital, temos: 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝒆𝒏
𝟐
=
∞
𝟐
= ∞. Nesse caso, não se pode considerar n como 
número real no qual a sequência eram números inteiros. 
Já o Teorema do Sanduíche estabelece a existência do limite de uma função real, 
contanto que no domínio de interesse essa função se encontre limitada por duas 
funções, ambas convergentes para o mesmo limite, ou seja: Se 𝒂𝒏 ≤ 𝒃𝒏 ≤
𝒄𝒏 𝒆 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒄𝒏 = 𝑳, então 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒃𝒏 = 𝑳 (FIGUEIREDO, 1996). 
Nesse sentido, numa sequência (an), um número finito de seus termos com n tendendo 
ao infinito, não será alterado. Assim, se a sequência original converge para L ou 
diverge, a nova sequência terá o mesmo comportamento, ou seja, convergirá para L ou 
divergirá, respectivamente (RICARDO, 2018). 
Exemplo: Se 𝒙𝒏 =
𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒏
, então temos que: 
 −𝟏 ≤ 𝐜𝐨𝐬 𝒏 ≤ 𝟏, implicando que 
−𝟏
𝒏
≤
𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒏
≤
𝟏
𝒏
 e consequentemente: 
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
−𝟏
𝒏
≤ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒏
≤ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝟏
𝒏
. 
 
17 
 
Assim, 
−𝟏
∞
= 𝟎 ≤ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒏
≤
𝟏
∞
= 𝟎. Logo, 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒏
= 𝟎 
Exemplo: Se 𝒃𝒏 =
𝟏
𝟐𝒏
, então temos que: 
 𝟎 ≤
𝟏
𝟐𝒏
≤
𝟏
𝟐
, logo, pelo Teorema do Sanduíche, temos: 
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝟎 ≤ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝟏
𝟐𝒏
≤ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝟏
𝒏
. 
Logo, 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝟏
𝟐𝒏
= 𝟎. Assim, a sequência converge para 0. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www.ime.usp.br/~martha/mat0315-2016/sequencias2.pdf>. 
Acesso em: 12 ago. 2020. 
 
 
2.3 Sequências monótonas e limitadas 
Se os termos de uma sequência aparecem em outra sequência na ordem dada delas, 
denominamos a primeira de subsequência da segunda. Existem alguns casos em que 
uma sequência converge e nesta pode ser mais fácil calcular o valor do limite usando 
uma das subsequências. 
Assim, conforme Ávila (2006), se qualquer subsequência de uma sequência diverge ou 
se duas subsequências têm limites diferentes, então a sequência como um todo 
diverge. Outra característica relevante trata-se em identificar quando uma sequência é 
crescente ou decrescente. De acordo com Lima (2016): 
 Uma sequência {𝒂𝒏} é crescente se: 
𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+𝟏∀ ∈ 𝑵 
https://www.ime.usp.br/~martha/mat0315-2016/sequencias2.pdf
 
18 
 
 Uma sequência {𝒂𝒏} é decrescente se: 
𝒂𝒏 ≥ 𝒂𝒏+𝟏∀ ∈ 𝑵 
 
Exemplos: 
1 - {𝒂𝒏} = {
𝟓
𝒏+𝟒
} = 𝟏,
𝟓
𝟔
,
𝟓
𝟕
, … é decrescente. 
1 - {𝒂𝒏} = {𝒏 +
𝟏
𝒏
} = 𝟐, 𝟐 + 
𝟏
𝟐
, 𝟑 +
𝟏
𝟑
, … é crescente. 
 
Toda sequência crescente ou decrescente é chamada de monótona. Uma sequência 𝒂𝒏 
é dita monótona crescente quando 𝒂𝒏+𝟏 ≥ 𝒂𝒏 para todo n. Analogamente, uma 
sequência 𝒂𝒏 é dita monótona decrescente se 𝒂𝒏+𝟏 ≤ 𝒂𝒏 para todo n (LIMA, 2016). 
 
Definição 1: as sequências crescente ou decrescente são denominadas de sequências 
monótonas. Um caso especial de sequências monótonas são as sequências 
estritamente monótonas (LIMA, 2016). 
 
Definição 2: No caso quando 𝒂𝒏+𝟏 > 𝒂𝒏 para todo n, dizemos que a sequência é 
estritamente crescente e caso tenha 𝒂𝒏+𝟏 < 𝒂𝒏 para todo n, dizemos que a sequência 
é estritamente decrescente. Uma sequência é estritamente monótona se for 
estritamente crescente ou estritamente decrescente. 
Uma sequência também pode ser limitada superiormente ou limitada inferiormente. 
De acordo com Figueiredo (1996), temos que: 
 A sequência {𝒂𝒏} é limitada superiormente se existir um número M, tal 
que: 
𝒂𝒏 ≤ 𝑴, ∀ 𝒏 ≥ 𝟏 
 
19 
 
 A sequência {𝒂𝒏} é limitada inferiormente se existir um número m, tal 
que: 
𝒎 ≤ 𝒂𝒏, ∀ 𝒏 ≥ 𝟏 
 
Se a sequência for limitada superiormente e inferiormente, então {𝒂𝒏} é uma 
sequência limitada. 
 
Exemplos: 
 Se {𝒂𝒏} = 𝒏 é limitada inferiormente (𝒂𝒏 > 𝟎) mas não superiormente. 
 Se {𝒂𝒏} = {
𝒏
𝒏+𝟏
} é limitada, pois 𝟎 < 𝒂𝒏 < 𝟏, para todo n. 
 Se{𝒂𝒏} = (−𝟏)
𝒏 é limitada inferiormente e superiormente (−𝟏 ≤
𝒂𝒏 ≤ 𝟏) mas não é convergente. 
 
Nesse sentido, toda sequência (an) monótona e limitada é convergente. Assim, de 
acordo Lima (2016), seja (an) uma sequência não decrescente, com termos positivos e 
como a sequência é limitada, existe uma cota superior M tal que 𝒂𝟏 ≤ 𝒂𝟐 ≤ ⋯ ≤
𝒂𝒏 ≤ 𝑴. 
Como o conjunto dos Números Reais é completo, então existe um valor L que é a 
menor das cotas superiores tal que 𝒂𝟏 ≤ 𝒂𝟐 ≤ ⋯ ≤ 𝒂𝒏 ≤ 𝑳. Assim, a sequência 
converge para L, em que 𝜺 > 𝟎. Para 𝜺 > 𝟎, 𝑳 − 𝜺 < 𝟎, e portanto, 𝑳 − 𝜺 não pode ser 
uma cota superior para a sequência. Consequentemente, existe pelo menos um an 
maior que 𝑳 − 𝜺 . Em outras palavras, 𝑳 − 𝜺 < 𝒂𝑵 para algum N inteiro positivo. 
Como (an) é não decrescente, segue que aN < an para todo 𝒏 > 𝑵 (LIMA, 2016). 
 
Portanto, 
 
20 
 
𝑳 − 𝜺 < 𝒂𝑵 < 𝒂𝒏 ≤ 𝑳 < 𝑳 + 𝜺, ∀𝒏 > 𝑵 
Logo, |𝒂𝒏 − 𝑳| < 𝜺, para todo 𝒏 > 𝑵, o que por definição (𝒂𝒏) converge para L. 
 
 Saiba mais 
Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series2.pdf>. 
Acesso em: 12 ago. 2020. 
 
Conclusão 
Neste bloco, foram apresentadas de maneira formal as sequências numéricas, 
iniciando com a definição e notação de uma sequência. Apresentou-se que uma 
sequência de Números Reais pode ser compreendida como uma lista infinita de 
números reais, arranjados em uma certa ordem, com uma determinada regra. 
Abordamos também as demonstrações e exemplos práticos sobre convergências e 
divergências de limites. Outro ponto abordado foi a convergência e divergência, bem 
como os limites e propriedades, a definição de sequências monótonas e limitadas e 
suas demonstrações. 
 
REFERÊNCIAS 
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. Edgard Blucher Ltda., 2006. 
FIGUEIREDO, D. G. Análise I. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 2. ed. São Paulo: Livros Técnicos 
e Científicos Editora Ltda., 1987. v. 1. 
LIMA, E. Análise real: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2016a. v. 1. 
https://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series2.pdf
 
21 
 
LIMA, E. Curso de análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2016b. v. 1. 
RICARDO, J. C. Fundamentos de análise. Rio de Janeiro – RJ: Seses, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
3 SÉRIES INFINITAS I 
Uma série numérica é um caso especial de uma sequência em que os resultados 
demonstrados podem ser adaptados para as séries, chegando a conclusões úteis. Um 
dos exemplos pode ser o crescimento cumulativo de alguma quantidade, em que a 
cada mês a população de um vírus aumenta e é possível identificar o quanto será nos 
próximos meses, pois a série que determina o número total de indivíduos pode ser 
representada pela soma ao longo do tempo. 
Dessa forma, para conhecer mais a respeito das séries numéricas, serão abordados 
alguns pontos considerados relevantes como: sua definição e convergência de séries 
infinitas; séries geométricas; séries alternadas e harmônicas. 
3.1 Definição e convergência de séries infinitas 
Os conhecimentos relacionados às séries são utilizados para determinar a soma de 
uma quantidade de elementos medidos ao longo do tempo. Em Matemática, é dada 
uma sequência (xn) de Números Reais, em que a propriedade da sequência formada 
por suas somas parciais (xn) pode ser definida da seguinte forma, conforme Lima 
(2016): 
Para n = 1, fazemos 𝑥1 = 𝑐1. Para n = 2 , 𝑥2 = 𝑐1 + 𝑐2 = 𝑥1 + 𝑐2, e assim por diante. 
Nesse sentido, o n-ésimo termo dessa sequência será definido indutivamente por 
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + 𝑐𝑛. 
Assim, temos que xn é a soma dos termos ck para k variando de 1 até n, e utilizamos a 
denotação com símbolo de somatório ∑, de tal forma que 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + 𝑐𝑛 é escrito 
como: 
𝑥𝑛 = ∑ 𝑐𝑘
𝑛
𝑘=1
 
De acordo com Lima (2016), cada xn é uma soma parcial da sequência original (cn), ou 
seja (xn), é a sequência de somas parciais de (cn). Portanto, a sequência (xn) como é 
 
23 
 
composta pelas somas parciais de (cn) é chamada de série, em que o termo geral de 
ordem n é cn. 
Agora que já conhecemos a definição de uma série, vamos compreender as suas 
relações com o limite de uma sequência de somas parciais, ou melhor, o limite da 
série. Para a sequência (xn), vamos utilizar a seguinte notação: 
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = ∑ 𝑐𝑘
∞
𝑘=1
 
Para Figueiredo (1996), temos a soma dos infinitos termos da sequência (xn), o qual 
representa os termos gerais da mesma. Considerando que isso não é possível de se 
resolver, recorremos, então, ao processo de limite. 
Dizemos então que, se o limite exposto existe, a série ∑ 𝑐𝑛 é convergente e o limite 
∑ 𝑐𝑘
∞
𝑘=1 é chamado de soma da série; caso contrário, a série é dita divergente 
(FIGUEIREDO, 1996). Para determinar se uma série converge ou não, pode-se verificar 
se existe o limite de (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ, de modo que lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑆; assim a série ∑𝑐𝑛 é 
convergente e, nesse caso, ∑𝑐𝑛 = lim 𝑆𝑛 = 𝑆. 
Exemplo: Considerando 𝑆𝑛 = [
5+6𝑛²
9+2𝑛²
], temos que: 
lim𝑛→∞
5+6𝑛²
9+2𝑛²
=
∞
∞
 , logo, temos uma indeterminação. Assim, aplicando L’Hopital: 
 lim𝑛→∞
5+6𝑛²
9+2𝑛²
= lim
𝑛→∞
12𝑛
4𝑛
= 3 
Assim, a série converge para 3. Se as séries ∑ 𝑎𝑛 e ∑ 𝑏𝑛 são convergentes, de acordo 
com Lima (2016), temos: 
 ∑(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = ∑ 𝑎𝑛 + ∑ 𝑏𝑛 
 ∑(𝛾𝑎𝑛) = 𝛾 ∑ 𝑎𝑛 
 |∑ 𝑎𝑛| ≤ ∑|𝑏𝑛| 𝑐𝑎𝑠𝑜 ∑|𝑎𝑛| for convergente. 
 
 
24 
 
Caso o limite envolver o infinito, vale somente se a operação corresponder e conseguir 
operar. A convergência das séries depende somente de termos para n grande. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://www.rpm.org.br/cdrpm/30/3.htm>. 
Acesso em: 16 ago. 2020. 
3.2 Série geométrica 
A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos 
de uma progressão geométrica, que é uma sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada 
de razão da progressão geométrica. 
Vamos analisar a seguinte progressão geométrica: 
 𝑎𝑛 = {2, 4, 8, 16} 
Nessa progressão geométrica de quatro termos, temos que o primeiro termo 𝑎1 = 2, a 
razão é 𝑞 = 2 e o último e quarto termo 𝑎4 = 16. Assim, uma série geométrica é 
composta da seguinte forma: 
∑ 𝑎𝑜𝑟
𝑛∞
𝑛=0 em que 𝑎𝑜 ≠ 0 𝑒 𝑟 ≠ 0 
Temos que ∑ 𝑎𝑜𝑟
𝑛∞
𝑛=0 converge sem e somente se |𝑟| < 1. Nesse caso, ∑ 𝑎𝑜𝑟
𝑛 =∞𝑛=0
𝑎𝑜
1−𝑟
. (LIMA, 2016). 
Exemplo 1: Determinar a soma dos termos da série ∑
1
2𝑛
∞
 𝑛=1 
𝑟 =
𝑥𝑛−1
𝑥𝑛
 
http://www.rpm.org.br/cdrpm/30/3.htm
 
25 
 
𝑟 =
1
4
1
2
=
1
4
.
2
1
=
2
4
=
1
2
 
Como 𝑟 =
1
2
< 1 a série é convergente. 
Temos que 𝑎𝑜 =
1
2
; 𝑟 = 
1
2
; 𝑐𝑜𝑚 |𝑟| < 1, logo: 
Para calcularmos a soma dos termos dessa série, utilizaremos a seguinte forma: 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑟
 
𝑆 =
1
2
1 −
1
2
=
1
2
1
2
=
1
2
.
2
1
=
2
2
= 1 
Exemplo 2: Determinar a soma dos termos da ∑
1
22𝑛+3
∞
 𝑛=1 
Temos que 𝑎𝑜 =
1
8
; 𝑟 = 
1
4
; 𝑐𝑜𝑚 |𝑟| < 1, logo: 
Como 𝑟 =
1
2
< 1, a série é convergente. 
Para calcularmos a soma dos termos dessa série, utilizaremos a seguinte forma: 
𝑆 =
1
8
1 −
1
4
=
1
8
3
4
=
1
8
.
4
3
=
4
24
=
1
6
 
Nos dois exemplos, como |𝑟| < 1, as séries convergem. 
Exemplo 3: Vamos analisar a seguinte série geométrica. 
 ∑
3
2𝑛
=
3
2
+
3
4
+
3
8
+ ⋯
𝑛=1
 
Primeiramente, vamos determinar a razão da série: 
𝑟 =
𝑥𝑛−1
𝑥𝑛
 
 
26 
 
𝑟 =
3
4
3
2
=
3
4
.
2
3
=
6
12
=
1
2
 
Como 𝑟 =
1
2
< 1, a série é convergente. 
Para calcularmos a soma dos termos dessa série, utilizaremos a seguinte forma: 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑟
 
𝑆 =
3
21 −
1
2
=
3
2
1
2
=
3
2
.
2
1
=
6
2
= 3 
Então, a soma de todos os termos dessa série geométrica é igual a 3. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/series-geometricas-convergentes-
divergentes.htm>. 
Acesso em: 16 ago. 2020. 
3.3 Série harmônica e séries alternadas 
Em Matemática, a série harmônica infinita foi definida devido à semelhança com a 
proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, …Trata-
se de uma série composta por um conjunto de ondas da frequência e de seus múltiplos 
inteiros. De forma geral, pode ser o resultado da vibração de algum tipo de oscilador 
harmônico, em que parte de objetos produtores de som são os instrumentos musicais. 
Assim, eles são responsáveis por produzir as notas musicais em que observamos o 
aparecimento da Série Harmônica. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/series-geometricas-convergentes-divergentes.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/series-geometricas-convergentes-divergentes.htm
 
27 
 
Além dessa aplicação, podemos encontrar esse tipo de série na análise 
de espectros eletromagnéticos. Um exemplo disso são as ondas de rádio e sistemas 
de corrente alternada. 
O termo série harmônica refere-se a uma série infinita em que ∑
1
𝑛𝑝
 é denominado de 
p-séries. De acordo com Lima (2016), temos que: 
 Em p-séries ∑
1
𝑛𝑝
 converge se, e somente se, 𝑝 > 1. 
Série do tipo ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 é conhecida como série harmônica que se encontra no limite 
entre séries convergentes e divergentes, em que sua divergência para o infinito é 
muito lenta. 
Exemplo 1: Seja a série ∑
1
√(𝑛+1)³
=∞𝑛=0
1
√(𝑛+1)
3
2
 
Fazendo k = n + 1, logo n = k − 1: 
∑
1
√(𝑛+1)³
=∞𝑛=0
1
√(𝑘)
3
2
 que é uma p-série com: 
𝑝 =
3
2
> 1 
Logo, a série harmônica converge. 
Um outro tipo de série é a alternada. De acordo com Ávila (2016), em Matemática, o 
teste da série alternada ou teste de Leibniz, proposto por Gottfried Leibniz é um 
método para determinar a convergência e estimar o erro de truncamento de séries 
numéricas. 
Série no formato ∑(−1)𝑛𝑎𝑛 com 𝑎𝑛 > 0 é denominada de série alternada. Série 
alternada ∑(−1)𝑛𝑎𝑛 com lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 e 𝑎𝑛 < 0 é convergente. Além disso, o erro 
de aproximação do valor das séries pela soma parcial 𝑆𝑛 é o máximo |𝑎𝑛+1|. 
(FIGUEIREDO, 1996). 
 Exemplo 2: ∑
(−1)𝑛
2𝑛+1
∞
𝑛=0 
 
28 
 
Considerando a série ∑
(−1)𝑛
2𝑛+1
∞
𝑛=0 , temos que: 
 lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞
(−1)𝑛
2𝑛+1
=
1
∞
= 0 
Temos também que 𝑎𝑛 < 0, pois: 
 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 
 
1
2(𝑛+1)+1
≤
1
2𝑛+1
 
2𝑛 + 1 ≤ 2𝑛 + 3 
1 ≤ 3 
Assim, na série alternada, 𝑎𝑛 já é assumido sem o sinal para efetuar testes e estimar 
erros (LIMA, 2016). Para determinar o erro inferior ou igual a 0,05, temos que: 
|𝐸𝑛| ≤ 𝑎𝑛+1 ≤ 0,05, ou seja: 
1
2𝑛 + 1
≤ 0,05 
1
0,05
≤ 2𝑛 + 1 
20 − 1 ≤ 2𝑛 
19 ≤ 2𝑛 
19
2
≤ 𝑛 
9,5 ≤ 𝑛, logo: 
10 ≤ 𝑛, pois n deve ser inteiro 
Teremos que somar até n=10 e a convergência dessa série pode ser justificada pelo 
fato do valor de r que pode ser obtido pelo teste da razão. 
 Exemplo 3: ∑
(−1)𝑛
𝑛 𝑙𝑛(𝑛)
∞
𝑛=1 
 
29 
 
A série ∑
(−1)𝑛
𝑛 𝑙𝑛(𝑛)
∞
𝑛=1 trata-se de uma série alternada com: 
 lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞
1
𝑛 ln 𝑛
=
1
∞𝑙𝑛∞
=
1
∞
= 0 
Assim, temos que: 
𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) =
1
𝑛 ln 𝑛
 
Com f decrescente para x grande, por ter: 
 𝑓′(𝑥) =
−(ln 𝑥+1)
(𝑥 ln 𝑥)²
≤ 0, para 𝑥 ≥ 1 
Logo, a série converge. 
Para ter erro inferior a 0,05, tem-se que: 
 𝑎𝑛 =
1
𝑛 ln 𝑛
≤
1
𝑛
, para 𝑛 > 𝑒, logo, basta ter: 
 
1
𝑛
≤ 0,05 
 𝑛 ≥ 20 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www.ime.usp.br/~oliveira/ELE-SeriesNumericas.pdf>. 
Acesso em: 16 ago. 2020. 
Conclusão 
Neste bloco, foi apresentado de forma geral qual a definição de uma série, bem como 
sua relação com uma sequência. Foram apresentados alguns exemplos de onde 
podemos encontrar as séries no nosso dia a dia. Um exemplo pode ser representado 
pelo crescimento de uma população de vírus ou até mesmo por uma simples nota 
musical. 
https://www.ime.usp.br/~oliveira/ELE-SeriesNumericas.pdf
 
30 
 
Abordamos também sobre como a definição de denotação de uma série numérica, 
desde a série geométrica, harmônica (série-p) e alternada. No estudo dessas séries, foi 
possível identificar propriedades e fórmulas que nos auxiliam para identificar quando 
uma série converge ou diverge, e como elas podem trazer contribuições para o 
assunto em pauta. 
 
REFERÊNCIAS 
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. Edgard Blucher Ltda., 2006. 
FIGUEIREDO, D. G. Análise I. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 2. ed. São Paulo: Livros Técnicos e Científicos 
Editora Ltda., 1987. v. 1. 
LIMA, E. Análise real: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2016a. v. 1. 
LIMA, E. Curso de análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2016b. v. 1. 
RICARDO, J. C. Fundamentos de Análise. Rio de Janeiro – RJ: Seses, 2018. 
 
 
 
31 
 
 
4 SÉRIES INFINITAS II 
As somas infinitas surgiram há séculos com o intuito de determinar a área de um 
segmento. Arquimedes, em 250 a.C., também necessitou calcular a soma de uma 
progressão geométrica, o que resultou dos primeiros cálculos de somas infinitas. Essas 
considerações sobre as somas infinitas também estão ligadas aos problemas da 
passagem do limite, e por falta de conceitos adequados, por um longo período na 
Antiguidade levaram os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a 
respeito das séries infinitas. 
Dessa forma, de acordo com as propriedades relacionadas às séries numéricas, serão 
abordados alguns pontos considerados relevantes como: a comparação de séries e 
teste da comparação; teste da integral; teste da raiz e teste da razão. 
4.1 Comparação de séries e teste da comparação 
O teste da comparação estabelece um método para aferir a convergência de séries 
positivas, ou para a convergência absoluta. De acordo com Lima (2016), suponha que 
∑ 𝑎𝑛 e ∑ 𝑏𝑛 sejam ambas séries com termos positivos tais que 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 para todo 
𝑛 > 𝑁. 
 Se ∑ 𝑏𝑛 converge, então ∑ 𝑎𝑛 também converge. 
 Se ∑ 𝑎𝑛 diverge, então ∑ 𝑏𝑛 também diverge. 
Para que possamos identificar a convergência ou divergência, vamos aplicar o teste da 
comparação. Vamos considerar a seguinte série: 
∑
ln 𝑛
𝑛
∞
𝑛=1
 
ln 𝑛
𝑛
>
1
𝑛
, ∀ 𝑛 ≥ 3 
Então, temos que a série ∑
1
𝑛
𝑛
𝑛=1 diverge e pelo teste da comparação, a série 
∑
ln 𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 também diverge. 
 
32 
 
Para Figueiredo (1996), podemos também aplicar o teste da comparação no limite. 
Suponha que ∑ 𝑎𝑛 e ∑ 𝑏𝑛 sejam ambas séries com termos positivos, se: 
 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑐 
Em que 𝑐 > 0 é um número finito, então ambas as séries convergem ou ambas 
divergem. Aplicando o teste da convergência ou divergência na série a seguir temos: 
∑
2𝑛2 + 3𝑛
√5 + 𝑛5
∞
𝑛=1
 
Como os termos dominantes no numerador e no denominador são 2𝑛² e √𝑛5, 
devemos considerar: 
𝑎𝑛 =
2𝑛2+3𝑛
√5+𝑛5
 𝑒 𝑏𝑛 =
2𝑛²
√𝑛5
 
Desse modo, 
 lim𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= lim𝑛→∞
(2𝑛2+3𝑛)(√𝑛5)
(√5+𝑛5)(2𝑛2)
= 1 
Assim, 
 ∑ 𝑏𝑛 = 2
∞
𝑛=1 ∑
1
𝑛1/2
∞
𝑛=1 diverge e pelo teste da comparação no limite, a série 
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 também diverge. 
De acordo com Lima (2016), podemos definir uma série como sendo absolutamente 
convergente, ou seja, dada uma série ∑ 𝑎𝑛 , ela é dita absolutamente convergente se a 
série de valores absolutos como ∑|𝑎𝑛| for convergente. Logo, se uma série ∑ 𝑎𝑛 for 
absolutamente convergente, então ela é convergente. 
Vamos analisar se a série a seguir converge ou diverge: 
 ∑
cos 𝑛
𝑛²
∞
𝑛=1 
Como 
|cos 𝑛|
𝑛²
≤
1
𝑛²
 
 
33 
 
Como ∑
1
𝑛²
∞
𝑛=1converge, então pelo teste da comparação a série é absolutamente 
convergente. Portanto, a série ∑
cos 𝑛
𝑛²
∞
𝑛=1 também converge. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2016/MA311/Aula18.pdf>. 
Acesso em: 17 ago. 2020. 
4.2 Teste da integral 
O teste da integral, ou em algumas literaturas apresentado como critério da integral, é 
conhecido como um método para estabelecer a convergência de séries 
numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada 
(LIMA, 2016). É considerado como um dos testes de convergência mais precisos entre 
os testes possíveis. 
É comum encontrarmos enunciados que exigem que a função em estudo seja 
contínua. Uma condição de integrabilidade é que as funções monótonas num intervalo 
limitado e fechado sejam limitadas nesse intervalo e, portanto, sejam integráveis. 
As demonstrações mais conhecidas em que se pode aplicar uma integral muitas vezes 
aparecem de forma sistematizada a partir de fórmulas. Outro fator relevante 
apresenta que a positividade não é necessária, pois as funções monótonas têm sempre 
limite negativo se a função é decrescente, e consequentemente, o limite é nulo. Então, 
ela é necessariamente positiva, e se o limite não é nulo, falham as condições 
necessárias de convergência de uma série e de um integral imprópria (LIMA, 2016). 
Para que possamos identificar a convergência e divergência a partir do teste da 
integral, suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, ∞). Se 
𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛), então: 
 Se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
 for convergente, então ∑ 𝑎𝑛
𝑛
𝑖=1 converge. 
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2016/MA311/Aula18.pdf
 
34 
 
 Se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
 for divergente, então ∑ 𝑎𝑛
𝑛
𝑖=1 diverge. 
Para colocarmos em prática o teste do integral, vamos considerar a seguinte série: 
∑
1
𝑛2 + 1
∞
𝑛=1
 
Aplicando o teste da integral, temos: 
∫
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
∞
1
 
Pela regra da integral, temos: 
∫
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
∞
1
 arctan(𝑥) + 𝑐|
1
∞
 
 arctan(𝑥) + 𝑐|1
∞ =
𝜋
2
−
𝜋
4
=
𝜋
4
 
Assim, é possível concluir pelo teste da integral que a série converge. 
Podemos aplicar o teste da integral nos mais diversos tipos de séries. Um exemplo que 
vamos mostrar trata-se de aplicar o teste na seguinte série harmônica: 
∑
1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯
∞
𝑛=1
 
Aplicando a integral: 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 =
∞
1
ln 𝑥|1
∞ = +∞ 
Assim, podemos concluir pelo teste da integral que a série diverge. 
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
 
35 
 
Disponível em: 
< https://www.somatematica.com.br/superior/series/series3_2.php> 
Acesso em: 17 ago. 2020. 
4.3 Teste da razão e teste da raiz 
Em Matemática, o teste da razão ou critério d'Alembert é um teste para saber a 
convergência ou não de uma série. Trata-se de uma importante consequência do teste 
da comparação. De acordo com Figueiredo (1986), o teste da razão se define da 
seguinte forma: 
Dada uma série ∑ 𝑎𝑛, suponha que: 
 lim𝑛→∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 𝐿 
Em que L é um número não negativo ou infinito. Tem-se que: 
 Se 𝐿 < 1, então ∑ 𝑎𝑛 é absolutamente convergente. 
 Se 𝐿 > 1, então ∑ 𝑎𝑛 é divergente. 
 Nada podemos afirmar se 𝐿 = 1. 
Para colocarmos em prática o teste da razão, vamos analisar a seguinte série: 
∑(−1)𝑛
𝑛³
3𝑛
∞
𝑛=1
 
Como lim𝑛→∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| =
1
3
< 1 
Assim, pelo teste da razão, a série converge, pois o lim𝑛→∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 𝐿, em que 𝐿 < 1. 
Uma outra série em que podemos aplicar o teste da razão para identificarmos se 
converge ou diverge trata-se de: 
∑
𝑛𝑛
𝑛!
∞
𝑛=1
 
https://www.somatematica.com.br/superior/series/series3_2.php
 
36 
 
Temos que: 
 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
=
(𝑛 + 1)𝑛+1
(𝑛 + 1)!
.
𝑛!
𝑛𝑛
 
 
(𝑛 + 1)(𝑛 + 1)𝑛
(𝑛 + 1)𝑛!
.
𝑛!
𝑛𝑛
 
= (
𝑛 + 1
𝑛
)
𝑛
= (1 +
1
𝑛
)
𝑛
→ 𝑒 
Aplicando o limite: 
lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 𝑒 > 1 
Temos que a série ∑
𝑛𝑛
𝑛!
∞
𝑛=1 diverge pelo teste da razão. 
Embora o teste da razão possa ser aplicado nessa série, existe também um outro 
método mais simples em que também pode ser utilizado o método do teste para 
divergência, uma vez que: 
𝑎𝑛 =
𝑛𝑛
𝑛!
=
𝑛. 𝑛. 𝑛 … . 𝑛
1.2.3 … . 𝑛
≥ 𝑛 
Para Lima (2016), segue que 𝑎𝑛 não tende para 0 quando n tente ao infinito. Portanto, 
pelo teste para divergência, a série dada anteriormente diverge. 
De acordo com Lima (2016), um outro teste aplicável às séries refere-se ao teste da 
raiz. O teste da raiz ou teste de Cauchy trata-se de um teorema que permite 
estabelecer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele também pode 
ser utilizado para estudar a convergência de uma série de funções, assim como 
estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor, que veremos em blocos 
posteriores. 
Para Figueiredo (1986), o teste da raiz se define a partir do seguinte teorema: 
Dada uma série ∑ 𝑎𝑛, suponha que: 
lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛
= 𝐿 
 
37 
 
Em que L é um número não negativo ou infinito. Tem-se que: 
 Se 𝐿 < 1, então ∑ 𝑎𝑛 é absolutamente convergente. 
 Se 𝐿 > 1, então ∑ 𝑎𝑛 é divergente. 
 Nada podemos afirmar se 𝐿 = 1. 
Para aplicarmos o teste da raiz com intuito de identificarmos a convergência ou 
divergência, vamos analisar a seguinte série: 
∑ (
2𝑛 + 3
3𝑛 + 2
)
𝑛∞
𝑛=1
 
Temos que: 
𝑎𝑛 = (
2𝑛 + 3
3𝑛 + 2
)
𝑛
 
Aplicando o teste da raiz, temos: 
lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛
=
2𝑛 + 3
3𝑛 + 2
 
2𝑛 + 3
3𝑛 + 2
=
2 +
3
𝑛
3 +
2
𝑛
=
2
3
< 1 
Logo, a série converge, pois quando se 𝐿 < 1, então ∑ 𝑎𝑛 converge. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://docs.ufpr.br/~akirilov/ensino/2019/docs/analise_avila_87a98.pdf>. 
Acesso em: 17 ago. 2020. 
 
https://docs.ufpr.br/~akirilov/ensino/2019/docs/analise_avila_87a98.pdf
 
38 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, foi apresentado de forma objetiva e procedimental como aplicar testes 
em séries numéricas. Sabe-se que uma série é formada pelo somatório dos termos de 
uma sequência e, nesse sentido, podemos determinar quando uma série diverge ou 
converge, a partir de testes. Além dos testes, apresentou-se neste bloco a importância 
de se conhecer técnicas de derivação, resolução de limites e integrais, pois esses são 
procedimentos básicos para utilização dos testes em séries. 
Com relação aos testes que podem ser aplicados às séries, abordamos a definição de 
comparação de séries, o teste de comparação, o teste da integral, o teste da raiz e o 
teste da razão. Mostrou-se como é possível utilizar esses testes para determinar 
quando uma série numérica converge ou diverge, em aplicações e resoluções 
detalhadas em diversos exemplos, contribuindo de forma significativa na construção 
do conhecimento Matemático. 
REFERÊNCIAS 
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. Edgard Blucher Ltda, 2006. 
BOYCE, W. E.; RICHARD, C., Equações diferenciais elementares e problemas de 
valores de contorno. LTC, 1999. 
FIGUEIREDO, D. G. Análise I. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 2. ed. São Paulo: Livros Técnicos 
e Científicos Editora Ltda., 1987. v. 1. 
LIMA, E. Análise real: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2016a. v. 1. 
LIMA, E. Curso de análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2016b. v. 1. 
RICARDO, J. C. Fundamentos de análise. Rio de Janeiro – RJ: Seses, 2018. 
 
39 
 
 
5 SÉRIES DE POTÊNCIA 
A série de potência é denominada como uma série infinita de termos variáveis. A 
teoria aplicada às séries infinitas de termos constantes pode ser aprofundada 
realizando análise de convergência em séries de potências. Uma série de potência 
pode ser utilizada em diversas aplicações como determinar aproximações de números 
irracionais, calcularvalores aproximados de integrais e contribuir para resolução de 
equações diferenciais. 
Dessa forma, para conhecer mais a respeito das séries de potência, serão abordados 
alguns pontos considerados relevantes como: sua definição e propriedades; como 
determinar a convergência de uma série de potência; o raio e intervalo de 
convergência. 
5.1 Definição 
Uma série de potências centrada em a ou em torno de a é uma série da seguinte 
forma: 
∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)
2 + ⋯
∞
𝑛=0
 
Em que x é uma variável, a é fixo e os coeficientes 𝑐𝑛são constantes. Assim, uma série 
de potências define uma função da seguinte forma: 
 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛∞
𝑛=0 
Cujo domínio é o conjunto de todos os pontos em que a série converge, incluindo o 
ponto x=a. 
A série do tipo ∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑐)
𝑛 é denominada de série de potência (LIMA, 2016). 
Considere uma série de potência, existe R de modo que essa série vai convergir para 
|𝑥 − 𝑐| < 𝑅, ou seja, no interior do intervalo de raio R com centro em c, vai divergir 
|𝑥 − 𝑐| > 𝑅. De acordo com Lima (2016), esse valor de R é denominado de raio de 
 
40 
 
convergência e quanto mais próximo do centro, a convergência será ainda mais rápida. 
De forma análoga, quanto mais próximo dos extremos, a convergência será lenta. 
As séries de potência geralmente aparecem com expoente de (x − c) diferente de n, 
como no seguinte caso: 
𝑥 = ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛+1
(2𝑛+1)!
∞
𝑛=0 , onde 2n + 1 é a potência. 
Um exemplo de série de potência pode ser representada da seguinte forma: 
∑
𝑥𝑛
𝑛!
= 1 + 𝑥 +
𝑥²
2!
+ ⋯ +
𝑥𝑛
𝑛!
+ ⋯ = 𝑒𝑥
+∞
𝑛=0
 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<http://sweet.ua.pt/rosalia/cadeiras/CII/CalcIIcap4b.pdf>. 
Acesso em: 18 ago. 2020. 
5.2 Convergência de séries de potência 
Ao analisarmos as séries de potência, podemos considerá-las como a seguinte função: 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛𝑥
𝑛
∞
𝑛=0
 
A função tem como domínio todos os valores de x em que esses convergem. De forma 
geral, esse tipo de série de potência pode convergir para x = 0, para valores de x de um 
intervalo específico, ou até mesmo, para todos os valores de x. 
Para determinar os valores de x para os quais a série de potências a seguir é 
convergente, temos que: 
𝑛 = ∑
𝑛𝑥𝑛
3𝑛
∞
𝑛=0
 
http://sweet.ua.pt/rosalia/cadeiras/CII/CalcIIcap4b.pdf
 
41 
 
Fazendo uso do teste da razão, temos o seguinte: 
𝑎𝑛 =
𝑛𝑥𝑛
3𝑛
 
𝑎𝑛+1 =
(𝑛 + 1)𝑥𝑛+1
3𝑛+1
=
(𝑛 + 1)𝑥𝑛𝑥
3𝑛3
 
Aplicando limite: 
𝐿 = lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| 
𝐿 = lim
𝑛→∞
|
(𝑛 + 1)𝑥𝑛𝑥
3𝑛3
𝑛𝑥𝑛
3𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
𝑥(𝑛 + 1)
3𝑛
| = lim
𝑛→∞
|𝑥|
3
(
𝑛 + 1
𝑛
) 
Assim, de acordo com o teste da razão, temos o seguinte: 
𝐿 =
|𝑥|
3
lim
𝑛→∞
(
𝑛 + 1
𝑛
) =
|𝑥|
3
< 1 
|3| < 3 
Ao usar o teste da razão para provar que a série é divergente para 𝐿 > 1, ou seja, para 
|3| < 3. Para 𝐿 = 1, isso equivale a |𝑥| = 3 e o teste da razão não apresenta prova 
conclusiva, pois não pode ser usado para provar a convergência de uma série. Nesse 
caso, precisamos provar a convergência ou divergência para |𝑥| = 3 a partir de outra 
estratégia. 
Para 𝐿 = 1, 
|𝑥|
3
= 1 
𝑥 = ±3 
 Com 𝑥 = 3 
∑
𝑛𝑥𝑛
3𝑛
= ∑
𝑛3𝑛
3𝑛
=
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
∑ 𝑛
∞
𝑛=0
 
 
42 
 
Nesse caso, a série diverge e isso pode ser mostrado usando a seguinte propriedade: 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛 = ∞ 
O que prova que a série é divergente. 
 Com 𝑥 = −3 
∑
𝑛𝑥𝑛
3𝑛
= ∑
𝑛(−3)𝑛
3𝑛
=
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
∑(−1)𝑛𝑛
∞
𝑛=0
 
Nesse caso, a série também diverge e isso pode ser mostrado usando a seguinte 
propriedade: 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
((−1)𝑛𝑛) = ±∞ 
O que prova que a série é divergente. 
Logo, a série converge apenas para o intervalo aberto (−3, 3). 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/mcap02.pdf>. 
Acesso em: 18 ago. 2020. 
5.3 Raio de convergência e intervalo de convergência 
De acordo com Lima (2016), uma maneira de obter o raio de convergência R é aplicar o 
teste da razão ou da raiz, em que devem ser inseridas as potências (𝑥 − 𝑐) para 
determinar os valores de x para os quais a série converge. 
Considerando a série ∑
𝑛
𝑒𝑛
𝑥3𝑛+5, temos que: 
𝑎𝑛 =
𝑛
𝑒𝑛
𝑥3𝑛+5 
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/mcap02.pdf
 
43 
 
Quando incluímos as potências (𝑥 − 𝑐): 
𝑟 = lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| 
𝑟 = lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)𝑒𝑛|𝑥|3(𝑛+1)+5
𝑛𝑒𝑛+1|𝑥|3𝑛+5
 
𝑟 = lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)
𝑛𝑒
|𝑥|3 
𝑟 =
∞
∞
 
Nesse caso, o limite é aplicado em n e consequentemente o L’Hopital é aplicado em n. 
Nesse sentido, como necessitamos de 𝑟 < 1 para garantir a convergência: 
|𝑥|3
𝑒
< 1 → |𝑥| < √𝑒
3
 
Logo, o raio de convergência é 𝑅 = √𝑒
3
 
Outro exemplo em que podemos determinar o raio de convergência pode ser resolvido 
a partir da seguinte série: 
∑
𝑛
2𝑛
(𝑥 − 1)
𝑛+1
2 
Temos que: 
𝑟 = lim
𝑛→∞
|𝑎𝑛+1(𝑥 − 1)
𝑛+1+1
2 |
|𝑎𝑛(𝑥 − 1)
𝑛+1
2 |
 
𝑟 = lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)2𝑛+1
𝑛2𝑛 
|𝑥 − 1|
1
2 
𝑟 = lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)²
𝑛 
|𝑥 − 1|
1
2 =
∞
∞
 
Aplicando a regra de L’Hopital, temos que: 
 𝑟 = lim𝑛→∞
2
1 
|𝑥 − 1|
1
2 = 2|𝑥 − 1|
1
2 
 
44 
 
Assim, a convergência é dada pela condição: 
𝑟 =
2
1 
|𝑥 − 1|
1
2 < 1 
|𝑥 − 1|
1
2 <
1
2
 
|𝑥 − 1| <
1
4
 
Então, o raio de convergência é 𝑅 =
1
4
. Vale a pena ressaltar que |𝑥 − 𝑐| < 𝑅 e não 
|𝑎𝑥 − 𝑐| < 𝑅 ou similar (LIMA, 2016). 
Além do raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência de 
uma série. De acordo com Figueiredo (1986), o intervalo de convergência é 
denominado por I com centro em “c” e raio “R”, tal que a série de potência converge 
se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐼. Como convergência, é garantido em |𝑥 − 𝑐| < 𝑅 → −𝑅 < 𝑥 −
𝑐 < 𝑅 → 𝑐 − 𝑅 < 𝑥 < 𝑐 + 𝑅 e a divergência é de forma análoga, em que o intervalo é 
similar [𝑐 − 𝑅, 𝑐 + 𝑅], em que cada extremo, aberto ou fechado, dependendo da série, 
depende de testes (FIGUEIREDO, 1986). Uma das propriedades mais importantes das 
séries de potências é: 
Teorema: a série de potência é contínua no intervalo de convergência. 
A série de potência é um caso particular por convergir para função contínua devido ao 
Teorema de Abel. Numa sequência de funções quaisquer, isso não ocorre como no 
caso de 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥
𝑛 que é definida como uma sequência de funções contínuas e é 
convergente no intervalo ]−1, 1]. Porém, o limite de 𝑓(𝑥) = lim𝑛→∞ 𝑓𝑛(𝑥) é uma 
função descontínua dada como: 
𝑓(𝑥) = {
0, −1 < 𝑥 < 1
1, 𝑥 = 1
 
Como exemplo para determinar o intervalo de convergência, utilizaremos a seguinte 
série: 
∑
𝑥𝑛
𝑛
 
 
45 
 
Temos que, 
𝑟 = lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1𝑥
𝑛+1
𝑎𝑛𝑥𝑛
| 
𝑟 = lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)|𝑥|𝑛+1
𝑛|𝑥|𝑛
 
𝑟 = lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)|𝑥|
𝑛
 
𝑟 =
∞
∞
 
Aplicando a regra de L’Hopital, temos que: 
 𝑟 = lim𝑛→∞
|𝑥|
1
= |𝑥| 
Para convergir 𝑟 < 1 com |𝑥| < 1. Então, o raio de convergência é R = 1, o centro é c = 
0 e o intervalo ]−1, 1], com ou sem fechar os extremos. Para isso, vamos testar cada 
um dos extremos: 
 Se 𝑥 = 1, então ∑
1
𝑛
 é p-série com p = 1 que é divergente. 
 Se 𝑥 = −1, então ∑
(−1)𝑛
𝑛
 que é uma série alternada com lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 =
lim𝑛→∞
1
𝑛
=
1
∞
= 0 e 𝑎𝑛 não crescente, pois 
𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 
1
𝑛 + 1
≤
1
𝑛
 
𝑛 ≤ 𝑛 + 1 
0 ≤ 1 
Logo, a série é convergente e o intervalo é ]−1, 1]. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
 
46 
 
Disponível em: 
<https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/mcap02.pdf>. 
Acesso em: 18 ago. 2020. 
Conclusão 
Neste bloco, foi apresentada a definição da série de potência, assim como sua teoria 
aplicada às séries infinitas de termos constantes, na qual foi possível analisar a 
convergência e a divergência. Mostrou-se que umasérie de potências pode ser 
utilizada em diversas aplicações e para resolução de problemas. 
Abordamos também a definição de uma série de potências, desde sua forma como 
também suas especificidades. Apresentamos e demonstramos algumas propriedades, 
como determinar a convergência, o raio e intervalo de convergência. Neste bloco, foi 
possível conhecer como é possível aplicar os mais diversos testes nas séries de 
potências. 
 
REFERÊNCIAS 
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. Edgard Blucher Ltda., 2006. 
BOYCE, W. E.; RICHARD, C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores 
de contorno. LTC, 1999. 
FIGUEIREDO, D. G. Análise I. 2. ed. Rio de Janeito: LTC, 1996. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 2. ed. São Paulo: Livros Técnicos 
e Científicos Editora Ltda., 1987. v. 1. 
LIMA, E. Análise real: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2016a. v. 1. 
LIMA, E. Curso de análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2016b. v. 1. 
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/mcap02.pdf
 
47 
 
RICARDO, J. C. Fundamentos de análise. Rio de Janeiro – RJ: Seses, 2018. 
 
 
 
48 
 
 
6 SÉRIES DE FUNÇÕES 
A série de potências é uma forma de aproximar uma função a partir de combinações 
lineares somativas de potências. A partir das séries de potências, podemos definir uma 
função analítica dada, na qual a de Taylor de 𝑓(𝑥) em torno do ponto x = a. 
Considerando a série de Taylor, podemos gerar a série de MacLaurin, assim como 
também, se utilizadas outras sequências de funções, em específico, as funções 
trigonométricas, temos as séries de Fourier. 
Dessa forma, para conhecer melhor as séries de potências, serão abordados alguns 
pontos considerados relevantes como: as propriedades e teoremas relacionados à 
série de Taylor; série de MacLaurin; e, em específico, considerando as funções 
trigonométricas, a série de Fourier. 
6.1 Série de Taylor 
Em Matemática, uma série de Taylor é considerada série de funções em que 𝑓(𝑥) é 
uma função analítica dada. Uma série é dita ser a de Taylor de 𝑓(𝑥) em torno do ponto 
x = a. O polinômio de Taylor de ordem n em torno de x = a de uma dada função n-
vezes, qual é diferenciável neste ponto. 
Teorema: Se 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑐)
𝑛∞
𝑛=0 , então 𝑎𝑛 =
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
. 
Como as séries de potências têm derivadas, consequentemente “f” também terá. 
Logo, derivando ambos os lados e analisando que (𝑥 − 𝑐)0 será constante, então 
temos que: 
𝑓(𝑘)(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑛 × (𝑛 − 1) … × (𝑛 − 𝑘 + 1)(𝑥 − 𝑐)
𝑛−𝑘
∞
𝑛=𝑘
 
Assim, de acordo com Lima (2016): 
𝑓(𝑘)(𝑐) = 𝑎𝑘𝑘 × (𝑘 − 1) … × (𝑘 − 𝑘 + 1) = 𝑎𝑘𝑘! 
E consequentemente: 
 
49 
 
𝑎𝑘 =
𝑓(𝑘)(𝑐)
𝑘!
 
Em específico, no caso da função ser séries de potências, o teorema acima nos 
possibilita obter a séries de potências que representam a função. Ressalva ao teorema, 
pois nem toda função é igual a uma série de potências (LIMA, 2016). A série de Taylor 
de uma função f centrada em “a” é: 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
∞
𝑛=0
(𝑥 − 𝑎)𝑛, |𝑥 − 𝑎| < 𝑅 
Assim, para todo 𝑥 ∈ 𝑅, tem-se que: 
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑛!
= 0 
Vamos supor que 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛(𝑥) + 𝑅𝑛(𝑥), em que 𝑇𝑛 é o polinômio de Taylor de grau n 
de f e 𝑅𝑛 é o resto. Assim, se: 
lim
𝑛→∞
𝑅𝑛(𝑥) = 0, ∀|𝑥 − 𝑎| < 𝑅 
Então, f é igual à soma de Taylor considerando o intervalo |𝑥 − 𝑎| < 𝑅. 
Para Figueiredo (1986), vamos considerar que 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛(𝑥) + 𝑅𝑛(𝑥), em que 𝑇𝑛 é o 
polinômio de Taylor de grau n de f e 𝑅𝑛 é o resto. Assim, se: 
|𝑓(𝑛+1)(𝑥)| ≤ 𝑀 para todo |𝑥 − 𝑎| ≤ 𝑑, então: 
|𝑅𝑛(𝑥)| ≤
𝑀
(𝑛 + 1)!
|𝑥 − 𝑎|𝑛+1, ∀|𝑥 − 𝑎| ≤ 𝑑 
Ao analisarmos os polinômios de Taylor de grau 𝑛 = 1, 2, 3 de 𝑒𝑥 em 𝑎 = 0, temos: 
𝑇1(𝑥) = 1 + 𝑥, 𝑇2(𝑥) = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
 𝑒 𝑇3(𝑥) = 1 + 𝑥 +
𝑥²
2
+
𝑥³
3
 
Note que: 
𝑅𝑛(𝑥) ≤
𝑒𝑑
(𝑛 + 1)!
|𝑥|𝑛+1, ∀|𝑥| ≤ 𝑑 
 
50 
 
Nesse sentido, se 𝑥 = 1: 
𝑅1(1) ≤
𝑒
2
= 1,3591 
𝑅2(1) ≤
𝑒
6
= 0,45305 
𝑅3(1) ≤
𝑒
24
= 0,11326 
Como exemplo, vamos estimar o valor de 𝑒0,1 usando Taylor de ordem 3 estimando 
seu erro considerando que 𝑒 < 3. 
Assim, quando lim𝑛→∞ 𝑅𝑛 = 0, temos que 𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
∞
𝑛=0 (𝑥 − 𝑐)
𝑛 e a função é 
igual a série de Taylor. Como f trata-se de uma função analítica: 
|𝑓(𝑛+1)(𝑧)| ≤ 𝑀 para todo n, ∀𝑧 ∈ [𝑐, 𝑥] 
O valor absoluto dessas derivadas é limitado ao número M que não vai depender de n 
e nem de z (LIMA, 2016). É possível observar que toda função que tem todas as 
derivadas contínuas é analítica, ou seja, conforme o exemplo: 
𝑓(𝑥) = {𝑒𝑥
−1
2 , 𝑥 ≠ 0
0, 𝑥 = 0
 
Nesse caso, todas as derivadas são contínuas e 𝑓(𝑘)(0) = 0 para todo k. Logo, 
podemos concluir que as séries de Taylor em torno de 0 serão: 
∑
0𝑥𝑛
𝑛!
= ∑ 0 = 0
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
 
Assim, a série converge para todo x, o que não podemos afirmar para 𝑓(𝑥) em 𝑥 ≠ 0, 
ou seja, não existe intervalo em que 𝑓(𝑥) coincide com a série de Taylor em torno de 
0. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
 
51 
 
Disponível em: 
<https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2016/MA311/Aula20.pdf >. 
Acesso em: 19 ago. 2020. 
6.2 Série de Maclaurin 
A série de Maclaurin é gerada por “f” a partir da série de Taylor em x = 0, da seguinte 
forma: 
 




0
)(
2
)(
...,
!
)0(
...
!2
)0´´(
)0´()0(
!
)0(
k
n
n
k
k
x
n
f
x
f
xffx
k
f
 
Para colocar em prática, considere a série da MacLaurin da função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥. Note 
que: 𝑒𝑥 = 𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥) = ⋯. Assim, 1 = 𝑒0 = 𝑓(0) = 𝑓′(0) = ⋯ 
Logo, 𝑒𝑥 = 1 +
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯ 
Para determinarmos o polinômio de Taylor em 0 ou polinômio de MacLaurin, temos: 
 Grau 1: 𝑇1(𝑥) = 1 +
𝑥
1!
 
 Grau 2: 𝑇2(𝑥) = 1 +
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
 
Outro exemplo será aproximar 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) por um polinômio de Taylor de grau 5, 
com um erro inferior a 10−5. Primeiramente, vamos considerar o Polinômio de Taylor 
centrado na origem, ou seja, MacLaurin. Vale ressaltar que a expressão da série de 
Taylor centrada em zero: 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(0)
𝑛!
𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓(0) +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 + ⋯ 
Considerando a função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥), deve-se calcular as derivadas em repetição de 
ciclo de quatro: 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓(0) = 0 
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓′(0) = 1 
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2016/MA311/Aula20.pdf
 
52 
 
𝑓′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓(0) = 0 
𝑓′′′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓(0) = −1 
𝑓(𝑖𝑣) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓(𝑖𝑣)(0) = 0 
Da expressão da série de Taylor, segue que: 
𝑓(𝑥) = 0 +
1
1!
𝑥 +
0
2!
𝑥2 +
−1
3!
𝑥3 +
0
4!
𝑥4 +
1
5!
𝑥5 + ⋯ 
Ou seja, uma série alternada. 
𝑓(𝑥) = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
−
𝑥7
7!
+
𝑥9
9!
+ ⋯ = ∑(−1)𝑛
𝑥2𝑛+1
(𝑛 + 1)! 
∞
𝑛=0
 
Logo, determinando o Polinômio de Taylor de grau 5: 
𝑓(𝑥) ≈ 𝑝(𝑥) = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
 
Vamos também encontrar o erro inferior a 10−5, no qual temos que determinar 𝑥 
para: 
|
𝑥7
7!
| < 10−5 ⇒ |𝑥7| < 7! 10−5 ⇒ |𝑥| < √0,0504
7
 
Logo, devemos ter |𝑥| < 0,6526. 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series7.pdf>. 
Acesso em: 19 ago. 2020. 
 
 
https://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series7.pdf
 
53 
 
6.3 Séries trigonométricas 
A série de Fourier é uma forma de série trigonométrica utilizada na representação de 
funções infinitas e periódicas complexas relacionadas aos processos físicos, compostas 
pelas funções seno e cosseno. A função a seguir representa a série de Fourier: 
𝑓(𝑥) ≈
1
2
𝑎0 + ∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
 
Suponha que 𝑓 e 𝑓′ são seccionalmente contínuas em −𝐿 ≤ 𝑥 < 𝐿, e que 𝑓 está 
definida fora do intervalo −𝐿≤ 𝑥 < 𝐿 de modo a ser periódica com período 2𝐿. A 
série converge para 𝑓 nos pontos em que 𝑓 é contínua: 
 
1
2
[𝑓(𝑥 + 0) + 𝑓(𝑥 − 0)] nos pontos em que 𝑓 é descontínua. 
De acordo com Lima (2016), os coeficientes na expansão em Série de Fourier são 
representados da seguinte forma: 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
, 𝑛 = 0,1,2, … 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
, 𝑛 = 1,2,3, … 
Outra característica fundamental sobre as séries de Fourier está relacionada à função 
par e ímpar, pois: 
Função par: função 𝑓 que satisfaz 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 em seu domínio. Nesse 
caso, temos um gráfico simétrico em relação ao eixo 𝑦. Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
De acordo com Lima (2016), a série de Fourier para funções pares é a série de 
cossenos, em que temos: 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑎0 + ∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
 
Com: 
 
54 
 
𝑎𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Função ímpar: função 𝑓 que satisfaz 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para todo 𝑥 em seu domínio. 
Nesse caso, temos o gráfico simétrico em relação à origem. Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
Para Lima (2016), a série de Fourier para funções ímpares é a série de senos, em que 
temos: 
𝑓(𝑥) = ∑ [𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
 
Com: 
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Para exemplo de aplicação, vamos determinar a série de Fourier para a função 
𝑓(𝑥) = 𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. Note que 𝑓 é ímpar, pois 𝑓(−𝑥) = −𝑥 = −𝑓(𝑥) para todo 𝑥 
real. Além disso, o período é 2𝐿 = 2. Por ser uma função ímpar, sua série de Fourier é 
uma série de senos cujos coeficientes são dados por: 
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑥 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Temos, para a função 𝑓 de período 𝐿 = 2: 
𝑏𝑛 =
2
1
∫ 𝑥 sen(𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥
1
0
= 2 ∫ 𝑥 sen(𝑛𝜋𝑥) 𝑑𝑥
1
0
 
Aplicando a mudança 𝑦 = 𝑛𝜋𝑥 segue que: 
𝑏𝑛 =
2
𝑛2𝜋2
∫ 𝑦 sen(𝑦) 𝑑𝑥
𝑛𝜋
0
 
Por integração por partes, obtemos: 
𝑏𝑛 =
2
𝑛2𝜋2
[−𝑦 cos(𝑦) + sen(𝑦)]0
𝑛𝜋 
 
55 
 
𝑏𝑛 =
2
𝑛2𝜋2
[−𝑛𝜋 cos(𝑛𝜋)] 
𝑏𝑛 =
2
𝑛2𝜋2
[−𝑛𝜋 cos(𝑛𝜋)] =
2
𝑛𝜋
[− cos(𝑛𝜋)] 
Veja que: 
 Para 𝑛 par: − cos(𝑛𝜋) = −(−1) = 1 
 Para 𝑛 ímpar: − cos(𝑛𝜋) = −1 
Assim, − cos(𝑛𝜋) = (−1)𝑛+1. Logo, 
𝑏𝑛 =
2(−1)𝑛+1
𝑛𝜋
=
2
𝜋
⋅
(−1)𝑛+1
𝑛
 
Assim, considerando os coeficientes encontrados, a série de Fourier será dada por: 
 𝑓(𝑥) =
2
𝜋
∑
(−1)𝑛+1
𝑛
sen(𝑛𝜋𝑥)∞𝑛=1 
Saiba mais 
 Para saber mais, acesse: 
Disponível em: 
<https://www.ime.usp.br/~oliveira/serieFourier.pdf>. 
Acesso em: 20 ago. 2020. 
Conclusão 
Neste bloco, foram apresentadas de forma bem objetiva as séries de potências com 
intuito de aproximar uma função a partir de combinações lineares somativas de 
potências. Apresentamos também a definição de uma série de Taylor, considerada 
como uma particularidade de uma série de potências. 
Abordamos também as propriedades relacionadas à série de MacLaurin e algumas 
definições e condições existentes para sua aplicação. Por fim, a partir das funções 
trigonométricas, foi apresentada a composição de uma série de Fourier, assim como 
seus coeficientes e a importância de identificar uma função par e ímpar. 
https://www.ime.usp.br/~oliveira/serieFourier.pdf
http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/sf.pdf
http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/sf.pdf
http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/sf.pdf
 
56 
 
REFERÊNCIAS 
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. Edgard Blucher Ltda., 2006. 
BOYCE, W. E.; RICHARD, C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores 
de contorno. LTC, 1999. 
FIGUEIREDO, D. G. Análise I. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 2. ed. São Paulo: Livros Técnicos 
e Científicos Editora Ltda., 1987. v. 1. 
LIMA, E. Análise real: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2016a. v. 1. 
LIMA, E. Curso de análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2016b. v. 1. 
RICARDO, J. C. Fundamentos de análise. Rio de Janeiro – RJ: Seses, 2018.