DOMINIOS E IDEIAIS

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Fatorac¸a˜o U´nica em Domı´nios de Ideais
Principais
Weversson Dalmaso Sellin
24 de setembro de 2009
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Nesta sec¸a˜o R denotara´ um domı´nio de integridade.
Definic¸a˜o 1. R e´ um domı´nio Euclidiano se existe uma func¸a˜o
λ : R − {0} → N tal que se a, b ∈ R, b 6= 0, existem c, d ∈ R com a
propriedade de a = bc+ d e d = 0 ou λ(d) < λ(b).
Exemplo 1. O anel Z dos inteiros e´ um domı´nio de Euclidiano, onde a
func¸a˜o λ e´ dada pela func¸a˜o valor absoluto | | : Z− {0} → N.
Proposic¸a˜o 1. Se R e´ domı´nio Euclidiano e I ⊂ R e´ um ideal, enta˜o existe
um elemento a ∈ R tal que I = Ra = 〈a〉 = {ra; r ∈ R}.
Dem.: Considere o conjunto de inteiros na˜o-negativos {λ(b); b ∈ I e b 6= 0}.
Como cada subconjunto na˜o-vazio de inteiros na˜o-negativos possui menor
elemento, existe a ∈ I, a 6= 0, tal que λ(a) ≤ λ(b) para todo b ∈ I, b 6= 0.
Mostraremos que I = Ra. Certamente, Ra ⊂ I, pois I e´ ideal e a ∈ I. Por
outro lado, se b ∈ I, enta˜o sabemos que existem elementos c, d ∈ R tais que
b = ca + d, onde d = 0 ou λ(d) < λ(a). Como d = b− ca ∈ I, na˜o podemos
ter λ(d) < λ(a). Deste modo, temos d = 0 e b = ca ∈ Ra. Portanto, I ⊂ Ra
que somado ao fato de Ra ⊂ I nos leva a concluir que I = Ra.
Definic¸a˜o 2. Dados os elementos a1, · · · , an ∈ R, definimos 〈a1, · · · , an〉 =
Ra1 + · · · + Ran = {
n∑
i=1
riai; ri ∈ R}. E´ fa´cil mostrar que 〈a1, · · · , an〉 e´ um
ideal de R. Se I e´ um ideal e existem ai, · · · , an ∈ R tais que I = 〈a1, · · · , an〉,
dizemos que I e´ um ideal finitamente gerado. Caso o ideal I seja gerado por
um u´nico elemento a ∈ R,isto e´, I = 〈a〉, dizemos que I e´ um ideal principal.
Definic¸a˜o 3. Um domı´nio de integridade R e´ um Domı´nio de Ideais Prin-
cipais (DIP) se cada ideal de R e´ principal.
Da proposic¸a˜o 1 temos que todo domı´nio Euclidiano e´ um domı´nio de
Ideal Principal. A rec´ıproca desse resultado e´ falsa, no entanto, a demon-
strac¸a˜o deste fato foge aos propo´sitos destas notas.
Introduziremos agora algumas terminologias.
Definic¸a˜o 4. 1. Se a, b ∈ R, b 6= 0, dizemos que b divide a se a = bc para
algum c ∈ R. Notac¸a˜o: b|a.
2. Um elemento u ∈ R e´ chamado de uma unidade se u divide 1.
3. Dois elementos a, b ∈ R sa˜o ditos associados se a = bu para alguma
unidade u.
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4. Um elemento p ∈ R diz-se irredut´ıvel se a|p implica que a e´ uma
unidade ou a e´ associado de p.
5. Um elemento p ∈ R − {0} que na˜o e´ unidade diz-se primo se sempre
que p|ab implica em p|a ou p|b.
Obs. 1. No anel dos inteiros as noc¸o˜es de elemento primo e irredut´ıvel
coincidem.
Algumas das noc¸o˜es discutidas ate´ aqui podem ser traduzidas para a
linguagem de ideais. Por exemplo:
1. a|b se, e somente se, 〈b〉 ⊆ 〈a〉.
2. u ∈ R e´ uma unidade se, e somente se, 〈u〉 = R.
3. a e b sa˜o associados se, e somente se, 〈a〉 = 〈b〉.
4. p se, e somente se, ab ∈ 〈p〉 implica que a ∈ 〈p〉 ou b ∈ 〈p〉.
Fica como exerc´ıcio para o leitor mostrar as afirmac¸o˜es dos items acima.
Definic¸a˜o 5. d ∈ R diz-se um ma´ximo divisor comum (mdc) de dois ele-
mentos a, b ∈ R se
(a) d|a e d|b.
(b) d′|a e d′|b implica que d′|d.
Exerc´ıcio 1. Mostre que se d e d′ sa˜o ambos ma´ximo divisor comum de
a, b ∈ R, enta˜o d e´ associado a` d′.
Proposic¸a˜o 2. Seja R um DIP e a, b ∈ R. Enta˜o a e b tem um ma´ximo
divisor comum d e, 〈a, b〉 = 〈d〉.
Dem.: Considere o ideal 〈a, b〉. Sendo R e´ um DIP existe um elemento d
tal que 〈a, b〉 = 〈d〉. Como 〈a〉 ⊆ 〈d〉 e 〈b〉 ⊆ 〈d〉 segue que d|a e d|b. Se d′|a
e d′|b, enta˜o 〈a〉 ⊆ 〈d′〉 e 〈b〉 ⊆ 〈d′〉. Deste modo, 〈d〉 = 〈a, b〉 ⊆ 〈d′〉 e d′|d.
Portanto, provamos que d e´ um mdc de a e b e, 〈a, b〉 = 〈d〉.
Definic¸a˜o 6. Dois elementos a e b sa˜o relativamente primos se seus u´nicos
divisores comuns sa˜o unidades.
Corola´rio 1. Se R e´ um DIP e a, b ∈ R sa˜o relativamente primos, enta˜o
〈a, b〉 = R.
Corola´rio 2. Se R e´ um DIP e p ∈ R e´ irredut´ıvel, enta˜o p e´ primo.
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Dem.: Suponha que p|ab e que p - a. Como p - a segue que seus divisores
comuns sa˜o unidades. Pelo Corola´rio 1 〈a, p〉 = R. Deste modo, 〈ab, pb〉 = 〈b〉
e do fato de ab ∈ 〈p〉 e pb ∈ 〈p〉 temos 〈b〉 ⊆ 〈p〉. Portanto, p|b. Por outro
lado, e´ fa´cil verificar que se p e´ primo, enta˜o p e´ irredut´ıvel. (por que?)
Daqui para frente R denotara´ um DIP e usaremos indistintamente as
palavras primos e irredut´ıveis.
O objetivo e´ mostrar que todo elemento na˜o-nulo de R e´ produto de
elementos primos(irredut´ıveis). A prova deste fato e´ feita em duas etapas.
Primeiro mostraremos que se a ∈ R, a 6= 0, existe um irredut´ıvel dividindo
a. Enta˜o mostraremos que a e´ um produto de irredut´ıveis. Para atingir este
intuito, demonstraremos o seguinte lema:
Lema 1. Seja 〈a1〉 ⊆ 〈a2〉 ⊆ 〈a3〉 ⊆ · · · uma cadeia ascendente de ideais.
Enta˜o existe um inteiro k tal que 〈ak〉 = 〈ak+i〉 para i = 0, 1, 2, · · ·. Em
outras palavras, toda cadeia ascendente de ideais e´ estaciona´ria.
Proposic¸a˜o 3. Seja R um DIP. Todo elemento na˜o nulo de R que na˜o e´
unidade se escreve como um produto de elementos irredut´ıveis.
Dem.: Seja a ∈ R, a 6= 0 e na˜o unidade. Inicialmente, mostraremos que a e´
divis´ıvel por um elemento irredut´ıvel. De fato, se a e´ irredut´ıvel, nada temos
para provar. Caso contra´rio, a = a1b1 onde a1, b1 ∈ R na˜o sa˜o unidades. Se a1
e´ irredut´ıvel, nada temos a fazer. Caso contra´rio, a1 = a2b2, onde a2, b2 ∈ R
na˜o sa˜o unidades. Se a2 e´ irredut´ıvel ja´ temos um elemento irredut´ıvel que
divide a. Caso contra´rio, prosseguimos com o argumento e obtemos uma
cadeia de ideais 〈a〉 ⊂ 〈a1〉 ⊂ 〈a2〉 ⊂ · · ·, a qual pelo lema 1 na˜o pode
continuar indefinidamente. Deste modo, para algum k, ak e´ irredut´ıvel.
Mostraremos agora, que a se escreve como um produto de irredut´ıveis.
De fato, se a e´ irredut´ıvel na˜o temos nada ha´ provar. Caso contra´rio, seja
p1 um elemento irredut´ıvel tal que p1|a. Enta˜o a = p1c1 para algum c1 ∈ R.
Se c1 e´ uma unidade, a prova termina aqui. Caso contra´rio, seja p2 ∈ R um
elemento irredut´ıvel tal que p2|c1. Logo, a = p1p2c2 para algum c2 ∈ R. Se
c2 e´ uma unidade, na˜o temos nada ha´ provar. Caso contra´rio, prosseguindo
indutivamente, obtemos uma cadeia de ideais 〈a〉 ⊂ 〈c1〉 ⊂ 〈c2〉 ⊂ · · ·, a qual
pelo Lema 1 na˜o pode continuar indefinidamente. Deste modo, existe k, tal
que a = p1p2 · · · pkck, onde ck e´ uma unidade. E como pkck e´ irredut´ıvel
conclu´ımos a demonstrac¸a˜o.
Lema 2. Seja p um elemento primo e a 6= 0. Enta˜o existe um inteiro n tal
que pn|a, mas pn+1 - a
Dem.: Se este lema fosse falso, enta˜o para cada inteiro positivo m, existiria
um elemento bm tal que a = p
mbm. Enta˜o pbm+1 = bm o que nos daria uma
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cadeia ascendente de ideais 〈b1〉 ⊂ 〈b2〉 ⊂ 〈b3〉 ⊂ · · · na˜o estaciona´ria, o que
contraria o Lema 1.
Obs. 2. O inteiro n, que esta´ definido no Lema 2, e´ unicamente determinado
por p e a. Denotamos-o por n = ordpa.
Lema 3. Se a, b ∈ R com a, b 6= 0, enta˜o ordpab = ordpa+ ordpb.
Dem.: Seja α = ordpa e β = ordpb. Enta˜o a = p
αc e b = pβd com p - c
e p - d. Deste modo, ab = pα+βcd. Como p e´ primo segue que p - cd.
Consequentemente, ordpab = α+ β = ordpa+ ordpb.
Estamos agora em condic¸o˜es de formular e provar o principal teorema
desta sec¸a˜o.
Seja S um conjunto de elementos primos de um DIP R com as duas
seguintes propriedades:
(a) Todo elemento primo de R e´ associado a um elemento primo de S.
(b) Dois elementos quaisquer de S na˜o sa˜o associados.
Teorema 1. Seja R um DIP e S um conjunto de elementos primos com as
propriedades acima. Enta˜o, se a ∈ R, a 6= 0, podemos escrever
a = u
∏
p
pe(p), (1)
onde u e´ uma unidade e o produto e´ sobre todos os p ∈ S. A unidade u e os
expoentes e(p) sa˜o unicamente determinados por a. De fato, e(p) = ordpa.
Dem.: A existeˆncia de tal decomposic¸a˜o segue imediatamente da proposic¸a˜o
3.
Para provar a unicidade, seja q um elemento primo de S e aplique ordq a
ambos os lados da equac¸a˜o 1. Usando o lema 3 obtemos
ordqa = ordqu+
∑p
e(p)ordqp.
Agora, da definic¸a˜o de ordq vemos que ordqu = 0 e que ordqp = 0 se
q 6= p e 1 se q = p. Deste modo, ordqa = e(q). Como os expoentes e(q) sa˜o
unicamente determinados, o mesmo vale para a unidade u. Isto completa a
prova.
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