Resumo do capítulo 1 - operações - álgebra moderna

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Álgebra II
Ementa:
1. Operações
2. Grupos
3. Anéis
4. Ideais
5. Corpos
Bibliografia Básica:
Domingues, H.; Iezzi, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual Editora, 1982.
Avaliação:
Atividades
Trabalhos
2
Caṕıtulo 1
Operações
No presente caṕıtulo faremos o estudo de operações e suas propriedades. Para definirmos
uma operação em um conjunto não vazio E precisamos lembrar as definições de relações
e aplicações. Na primeira seção faremos uma breve revisão destes assuntos.
1.1 Conceitos preliminares
Definição 1.1. Sejam E e F conjuntos não vazios. Dizemos que R é uma relação binária
de E em F se, R for um subconjunto de E×F .
Neste caso, usaremos a notação aRb para indicar que (a, b) ∈ R. Quando isto aconte-
cer, diremos que a está relacionado com b ou que a relaciona-se com b segundo R.
E é denominado conjunto de partida de R e F por conjunto de chegada de R.
Definição 1.2. Seja R uma relação de E em F então:
1. O conjunto D(R) = {a ∈ E | aRb, para algum b ∈ F}, será chamado domı́nio de
R;
2. O conjunto Im(R) = {b ∈ F | aRb, para algum a ∈ E}, será chamado imagem de
R.
Exemplo 1.1. Se E={0, 1} e F={a, b, c}, temos:
E × F = {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)}.
De acordo com a definição qualquer subconjunto do cartesiano E×F é um relação de
E em F. Sendo assim, são exemplos de relações:
1. ∅;
2. R1 = {(0, a)};
3. R2 = {(0, a), (0, b)};
4. R3 = {(1, c), (1, a), (0, b)};
5. R4 = {(0, a), (0, b), (1, c), (1, a)}.
3
4 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
Exemplo 1.2. Podemos ter também o caso que E=F, vamos considerar E = F = N.
Quem é E × F? Neste exemplo R definida abaixo é uma relação de N em N.
R = {(a, b) ∈ N× N | a divide b}.
Você consegue imaginar como serão os pares ordenados nesta relação?
Exerćıcio: Determinar o domı́nio e a imagem dos exemplos (1.1) e (1.2).
Também podemos definir inversa de uma relação:
Definição 1.3. Dada um relação R de E em F. Denomina-se relação inversa de R, que
indicaremos por R−1, a seguinte relação de F em E:
R−1 = {(b, a) ∈ F × E | (a, b) ∈ R}.
Exemplo 1.3. E={0, 1} e F={a, b, c} e R={(0, a), (1, a, ), (1, b), (1, c)}, então:
R−1 = {(a, 0), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}.
Vimos no exemplo (1.2) o caso particular E = F , quando isto acontecer diremos que R
é uma relação sobre E, ou ainda, R é uma relação em E. Veremos algumas propriedades
que as relações sobre E podem apresentar.
Definição 1.4. Seja R uma relação em E. Então,
a) Reflexiva:
R é reflexiva quando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo. Isto é, aRa,
∀ a ∈ E;
b) Simétrica:
Se aRb, então bRa;
c) Transitiva:
Se aRb e bRc, então aRc;
d) Antissimétrica:
Se aRb e bRa, então a = b.
Exemplo 1.4. Se E={1, 2, 3, 4} a relação R = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3)}. Quais das
propriedades acima que R satisfaz?
Exemplo 1.5. A relação dada no exemplo (1.2) é antissimétrica.
Exemplo 1.6. Seja R a relação em N dada por
aRb se, e somente se, a ≤ b.
Esta relação é transitiva?
1.2. APLICAÇÕES 5
1.2 Aplicações
Definição 1.5. Seja f um relação de E em F. Dizemos que f é um aplicação de E em F
se, e somente se:
1. o domı́nio de f é E, isto é, D(f)=E;
2. dado um elemento a ∈ D(f), é único o elemento b ∈ F tal que (a, b) ∈ f.
Se f é uma aplicação de E em F , escrevemos:
b = f(a) (lê-se “b é a imagem de a pela f”)
para indicar que (a, b) ∈ f .
Outra forma de indicar a imagem de um elemento qualquer de E, digamos a é
a 7→ f(a),
ou seja, f(a) é a imagem do elemento a de E.
Costuma-se também usar a notação
f : E −→ F
para indicar que f é uma aplicação de E em F .
Dizemos que F é o contradomı́nio de f . Convém ressaltar que duas aplicação f e g
com domı́nio e contradomı́nio iguais, isto é, f : E −→ F e g : E −→ F serão ditas iguais
se, e somente se, f(x) = g(x) para todo x ∈ E.
Definição 1.6. Seja f : E −→ F , onde F é um conjunto numérico (ou seja, um subcon-
junto de C), é usual chamar f de função. Às vezes, porém, usa-se palavra função para
designar uma aplicação qualquer.
Exemplo 1.7. Se E = {E,F,H, J,K,R} e F = {r, x, y, w, z}, dentre as relações abaixo,
quais delas são aplicações?
R1 = {(E, x), (F, z), (H, y), (J, x), (K, x), (R, x)}
R2 = {(E,w), (F, y), (H,w), (J, x), (R, r)}
R3 = {(E, x), (F, r), (H,w), (J, z), (K, y), (R, z)}
R4 = {(E, r), (F, x), (H, y), (J, w), (K, z), (R,w), (E, z)}
Exeŕıcios
1. Se E = {1, 2, 3, 4} e F = {a, b, c}, quais das relações abaixo são aplicações de E em
F?
R1 = {(1, a), (2, b), (3, c)}
R2 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)}
R3 = {(1, b), (1, c), (2, b), (3, c), (4, a)}
R4 = {(1, c), (2, c), (3, c), (4, c)}
6 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
2. Considere a relação R = {(x, y) ∈ R× R | x2 + y2 = 9}. R é uma aplicação?
3. Seja f : N× N −→ N tal que f(x, y) = mdc(x, y).
Determine f(5, 1), f(12, 8), f(3, 7) e f(0, 5).
4. A aplicação f : R −→ R é dada pela lei:
f(x) =

2x+ 5, se x < −1
x2 + 2, se − 1 ≤ x ≤ 1
3x, se x > 1
.
Determine f(0), f(−7
2
), f(
√
3) e f(−2π
5
).
1.3 Operações
Definição 1.7. Seja E 6= ∅ um conjunto. Uma operação em E é uma aplicação
∗ : E × E −→ E
(x, y) 7−→ x ∗ y .
Uma operação é também chamada de lei de composição interna.
Exemplo 1.8. Consideremos a aplicação f : Q×Q −→ Q dada por f(x, y) = x+ y, isto
é, f associa a cada par (x,y) de números racionais a sua soma x+y. Esta aplicação é uma
operação que conhecemos muito bem, que é a adição de números racionais.
Exemplo 1.9. Seja E um conjunto não vazio. Vamos indicar por P(E) o conjunto das
partes!! de E. Considere a aplicação h : P(E)×P(E) −→ P(E), tal que h(X, Y ) = X∩Y ,
ou seja, h associa a cada par de conjuntos (X, Y ) a sua intersecção X ∩Y . Tal aplicação
é conhecida pelo nome operação de interseção sobre P(E).
Uma operação f sobre E associa a cada par (x, y) de E × E um elemento de E que
será simbolizado por x ∗ y (lê-se x estrela y). Assim x ∗ y é uma forma de indicar f(x, y).
Diremos também que E é um conjunto munido da operação ∗.
O elemento x ∗ y é chamando composto de x e y pela operação ∗. Os elementos x
e y do composto de x ∗ y são chamados termos do composto x ∗ y. Os termo x e y do
composto x∗y são chamados respectivamente, primeiro e segundo termo ou, então, termo
da esquerda e termo da direita.
Outras notações poderão ser usadas para indicar uma operação sobreE: +, ·,⊕,�,�,⊗,4,
etc.
Exemplo 1.10. A aplicação f : N∗ × N∗ −→ N∗ tal que f(x, y) = xy é operação de
potenciação sobre N∗.
Quaisquer que sejam os naturais não nulos x e y, o śımbolo xy representa um natural não
nulo, portanto, f está bem definida.
Note que essa operação não pode ser estendida a Z∗, pois, por exemplo, a imagem do par
(2,−1) seria 2−1 que não pertene a Z∗.
1.4. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES 7
Exemplo 1.11. A aplicação f : Q∗ × Q∗ −→ Q∗ tal que f(x, y) = x
y
é a operação de
divisão sobre Q∗.
Note que a operação de divisão pode ser estendida também a R∗ e C∗. Verifique que
a divisão não é uma operação em N ou em Z.
Exemplo 1.12. A aplicação f : Z × Z −→ Z tal que f(x, y) = x − y é a operação de
subtração sobre Z.
Exemplo 1.13. A aplicação f : E × E −→ E, em que E = Mm×n(R) representa o
conjunto das matrizes do tipo m × n com elementos reais, tal que f(x, y) = x + y é a
operação de adição sobre Mm×n(R).
Exemplo 1.14. A aplicação f : E × E −→ E, onde E = Mn(R) representa o conjunto
das matrizes quadradas de ordem n com entrandas reais, tal que f(x, y) = xy é a operação
de multiplicação sobre E = Mm×n(R).
Exemplo 1.15. A aplicação φ : E ×E −→ E em que E = RR representa o conjunto das
funções de R em R, tal que φ(f, g) = f ◦ g é a operação de composição sobre RR
1.4 Propriedades das Operações
Seja ∗ uma lei de composição interna em E. Nesta seção estudaremos algumas das pro-
priedades que esta operação pode satisfazer sobre E.
Propriedade AssociativaDefinição 1.8. Dizemos que ∗satifaz a propriedade associativa se:
x ∗(y ∗z) = (x ∗y) ∗z,
quaisquer que sejam x, y, z ∈ E.
Exemplo 1.16. As adições em N,Z,Q,R ou C são operações que satisfazem a proprie-
dade associativa.
x+ (y + z) = (x+ y) + z, ∀ x, y, z.
Exemplo 1.17. As multiplicações em N,Z,Q,R ou C são operações associativas
x(yz) = (xy)z, ∀ x, y, z.
Exemplo 1.18. A adição em Mm×n(R), conjunto das matrizes do tipo m × n com ele-
mentos reais, é operação associativa.
X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z, ∀ X, Y, Z.
Exemplo 1.19. A multiplicação em Mm×n(R) é operação associativa.
X(Y Z) = (XY )Z, ∀ X, Y, Z.
8 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
Exemplo 1.20. A composição de funções de R em R é operação associativa, já que
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h, ∀ f, g, h.
Exerćıcio:
1. Mostre que a potênciação em N∗ não é operação associativa.
2. Mostre que a divisão em R∗ não é operação associativa.
Propriedade Comutativa
Definição 1.9. Dizemos que ∗ satisfaz a propriedade comutativa se
x ∗y= y ∗x,
quaisquer que sejam x, y ∈ E
Exemplo 1.21. As adições em N,Z,Q,R ou C são operações que satisfazem a proprie-
dade comutativa.
x+ y = y + x, ∀ x, y.
Definição 1.10. As multiplicações em N,Z,Q,R ou C são operações comutativas.
xy = yx, ∀ x, y.
Definição 1.11. A adição em Mm×n(R) é operação comutativa.
X + Y = Y +X, ∀ X, Y .
Exerćıcios:
1. Mostre que a multiplicação não é uma operação comutativa em Mn(R).
2. Mostre que a potenciação em N∗ não é comutativa.
3. Mostre que a composição em RR não é comutativa.
4. Mostre que a divisão em R não é comutativa.
Elemento Neutro:
Definição 1.12. Se existe e ∈ E tal que e ∗ x = x para todo x ∈ E, dizemos que e é um
elemento neutro à esquerda para ∗.
Se existe e ∈ E tal que x ∗ e = x para todo x ∈ E, dizemos que e é um elemento
neutro à direita para ∗.
Se e é elemento neutro à direita e à esquerda para operação ∗, dizemos simplesmente
que e é elemento neutro para essa operação.
1.4. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES 9
Exemplo 1.22. O elemento neutro das adições em N,Z,Q,R ou C é o número 0, pois
0 + x = x+ 0 para qualquer número x.
Exemplo 1.23. O elemento neutro das multiplicações em N,Z,Q,R ou C é o número 1,
pois 1 x = x 1 para qualquer número x.
Exemplo 1.24. O elemento neutro da adição em Mm×n(R) é Om×n (matriz nula de
tamanho m× n), pois Om×n +X = X = X +Om×n, qualquer que seja X ∈ Mm×n(R).
Exemplo 1.25. O elemento neutro da composição de função em RR é a função iR (função
idêntica em R), pois iR ◦ f = f = f ◦ iR, qualquer que seja f ∈ RR.
Observação 1.1. A subtração em Z admite 0 como elemento neutro à direita pois x−0 =
x para todo x ∈ Z, mas não admite neutro à esquerda, pois não existe e (fixo) tal que
e− x = x para todo x ∈ Z.
Proposição 1.1. Se a operação ∗ sobre E tem um elemento neutro e, então ele é único.
Exerćıcio: Em cada caso a seguir, verifique se a operação ∗ sobre E é associativa,
comutativa e quais têm elemento neutro.
1. E = R e x ∗ y = x+ y
2
2. E = R e x ∗ y = x
3. E = R+ e x ∗ y =
√
x2 + y2
4. E = R e x ∗ y = 3
√
x3 + y3
5. E = R∗ e x ∗ y = x
y
6. E = R+ e x ∗ y =
x+ y
1 + xy
7. E = Z e x ∗ y = xy + 2x
8. E = Q e x ∗ y = x+ xy
9. E = R e x ∗ y = x+ y − 2x2y2
10. E = R e x ∗ y = x2 + y2 + 2xy
10 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
Elementos Simetrizáveis:
Definição 1.13. Seja ∗ um operação sobre E que tem elemento neutro e. Dizemos que
x ∈ E é um elemento simetrizável para essa operação se existir x′ ∈ E tal que:
x ’∗ x = e = x ∗ x’.
O elemento x′ é chamado simétrico de x para a operação ∗. Quando a operação é um
adição, o simétrico de x também é chamdo oposto de x e indica do por −x. Quando a
operação é uma multiplicação, o simétrico de x também é chamado inverso de x e indicado
por x−1.
Exemplo 1.26. 5 é um elemento simetrizável para a adição em Z, e seu simétrico (ou
oposto) é -5, pois:
(−5) + 5 = 0 = 5 + (−5)
Exemplo 1.27. 6 é simetrizável para a multiplicação em Q, e seu simétrico (ou inverso)
é
1
6
, pois:
1
6
6 = 1 = 6
1
6
.
0 não é simetrizável para a mesma operação, pois não há elemento x′ ∈ Q tal que:
x′0 = 1 = 0x′.
Exemplo 1.28. Existem apenas dois elementos simetrizáveis para a multiplicação em Z :
o 1 e o -1, que são iguais aos seus respectivos inversos.
O 5 não é simetrizável para a multplicação em Z, pois não existe x′ ∈ Z tal que
x′5 = 1 = 5x′.
Exemplo 1.29.
(
2 3
4 5
)
é simetrizável para a adição em M2(R), seu simétrico é(
−2 −3
−4 −5
)
, pois:
(
−2 −3
−4 −5
)
+
(
2 3
4 5
)
=
(
0 0
0 0
)
=
(
2 3
4 5
)
+
(
−2 −3
−4 −5
)
.
Notação 1.1. Se ∗ é uma operação sobre E com elemento neutro e, indica-se por U∗(E)
o conjunto dos elementos simetrizáveis de E para a operação ∗.
U∗(E) = {x ∈ E | ∃ x′ ∈ E ; x′ ∗ x = e = x ∗ x′}.
Observação 1.2. Note que U∗(E) 6= ∅, pois necessariamente e ∈ U∗(E), uma ves que
e ∗ e = e.
1.4. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES 11
Proposição 1.2. Seja ∗ uma operação sobre E que é associativa e tem elemento neutro
e.
(i) Se um elemento x ∈ E é simetrizável, então o simétrico de x é único.
(ii) Se x ∈ E é simetrizável, então seu simétrico x′ também é, e (x′)′ = x.
(iii) Se x, y ∈ E são simetrizáveis, então x ∗ y é simetrizável e (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′.
Elementos Regulares:
Definição 1.14. Dizemos que um elemento a ∈ E é regular (ou simplificável) à direita
relativamente à operação ∗ se, para quaisquer x, y ∈ E tais que x ∗ a = y ∗ a, vale x = y.
Dizemos que um elemento a ∈ E é regular à esquerda em relação à operação ∗ se,
para quaisquer x, y ∈ E tais que a ∗ x = a ∗ y, vale x = y.
Se a ∈ E é um elemento regular à direita e à esquerda para operação ∗, dizemos
simplesmente que a é regular para essa operação.
Exemplo 1.30. 9 é regular para adição em N, pois:
9 + x = 9 + y =⇒ x = y
∀ x, y ∈ N.
Exemplo 1.31. 5 é regular para multiplicação em Z, pois:
3x = 3y =⇒ x = y
∀ x, y ∈ Z.
Exemplo 1.32. Note 0 não é regular para a multiplicação em Z, pois
0.2 = 0.3 e 2 6= 3
Exemplo 1.33.
(
1 2
3 4
)
é regular para a adição em M2(R), pois(
1 2
3 4
)
+
(
a b
c d
)
=
(
1 2
3 4
)
+
(
a′ b′
c′ d′
)
, então(
1 + a 2 + b
3 + c 4 + d
)
=
(
1 + a′ 2 + b′
3 + c′ 4 + d′
)
, donde,
a = a′, b = b′,c = c′ e d = d′. Logo
(
a b
c d
)
=
(
a′ b′
c′ d′
)
.
12 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
Exemplo 1.34.
(
0 0
1 1
)
não é regular para a multiplicação em M2(R), pois(
0 0
1 1
)(
1 2
3 4
)
=
(
0 0
1 1
)(
3 4
1 2
)
e
(
1 2
3 4
)
6=
(
3 4
1 2
)
.
Proposição 1.3. Seja ∗ uma operação sobre E, suponhamos que ∗ seja associativa e
tenha elemento neutro e. Se a ∈ E é um elemento simetrizável, então a é regular
Notação 1.2. Indicaremos por R∗(E) o conjunto dos elementos regulares de E para a
operação ∗.
Propriedade Distributiva
Definição 1.15. Sejam ∗ e 4 duas operações sobre E. Dizemos que 4 é distributiva à
esquerda relativamente a ∗ se:
x4 (y ∗ z) = (x4 y) ∗ (x4 z)
quaisquer que sejam x, y, z ∈ E.
Dizemos que 4 é distributiva à direita relativamente a ∗ se:
(y ∗ z)4 x = (y4 x) ∗ (z 4 x)
quaisquer que sejam x, y, z ∈ E.
Quando 4 é distributiva à esquerda e à direita de ∗, dizemos simplesmente que 4 é
distributiva relativamente a ∗.
Exemplo 1.35. A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição em Z, pois
x(yz) = (xy)z ∀ x, y, z ∈ Z.
Exemplo 1.36. Seja Mn(R) com a adição e mulplicação de matrizes, então a multi-
plicação é distributiva em relação a adição, isto é,
X(Y + Z) = XY +XZ
(Y + Z)X = Y X + ZX
Para quaisquer que sejam X, Y, Z ∈ Mn(R).
Exemplo 1.37. Em N∗, a potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação,
pois
(xy)z = xzyz ∀x, y, z ∈ N∗.
Mas não é distributiva à esquerda em relação à multiplicação, pois, por exemplo:
32·4 6= 32 · 34
1.4. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES 13
Exerćıcios:
1.Examine novamente as operações do exerćıcio anterior que têm elemento neutro
para determinar os elementos simetrizáveis e o conjunto dos elementos regulares.
2. Estabeleça condições sobre m,n ∈ Z de modo que a operação ∗ sobre Z dada pela
lei x ∗ y = mx+ ny:
(a) seja associativa
(b) seja comutativa
(c) admita elemento neutro
3. Sendo ∗ a operação sobre Z3 dada por (a, b, c)∗ (d, e, f) = (ad, be, cf) determine seu
elemento neutro e o conjunto dos elementos simetrizáveis de Z3 para ∗.
4. Sejam E e F dois conjuntos em que estão definidas as operações ∗ e 4, respectiva-
mente, as quais são associativas e tem neutros. Sobre o conjunto E×F , considerando
uma operação ◦ assim definida:
(a, b) ◦ (c, d) = (a ∗ c, b4 d)
(a) Mostre que ◦ é associativa e possui elemento neutro.
(b) Determine os elementos inverśıveis de E × F para essa operação.
5. Se a operação ∗ sobre E é associativa, tem elemento neutro e, e a ∈ E é simetrizável,
então a é regular.
6. Mostre que nenhum elemento de R é regular para a operação ∗ assim definida:
x ∗ y = x2 + y2 − xy.
7. Determine os elementos regulares de R relativamente à operação ∗ assim definida:
x ∗ y = 5x+ 3y − 7xy.
8. Em Z× Z estão definidas duas operações ∗ e 4 da seguinte forma:
(a, b) ∗ (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b)4 (c, d) = (ac, ad+ bc)
Verifique se 4 é distributiva em relação a ∗.
14 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
1.5 Parte Fechada Para uma Operação
Definição 1.16. Seja E um conjunto no qual está definida uma operação ∗. Se A é um
subconjunto não vazio de E, tal que, ∀ x, y ∈ A temos que x ∗ y ∈ A, dizemos que A é
uma parte fechada de E para operação ∗.
Exemplo 1.38. Q é uma parte fechada para a adição e a multiplicação em R, pois:
Q 6= ∅,Q ⊂ R
x ∈ Q e y ∈ Q =⇒ x+ y ∈ Q e xy ∈ Q.
Exemplo 1.39. O conjunto A das funções bijetoras de R em R é um subconjunto fechado
para a composição de funções em RR, pois:
f ∈ A e g ∈ A =⇒ f ◦ g ∈ A
Exemplo 1.40. (R−Q) não é fechado para adição em R e para a multiplicação em R,
pois
√
2 ∈ (R−Q), −
√
2 ∈ (R−Q)
mas
√
2 + (−
√
2) /∈ (R−Q) e (
√
2)(−
√
2) /∈ (R−Q).
1.6 Tábua de uma operação
Seja E um conjunto finito com n elementos. Toda operação sobre E é uma aplicação
f : E × E −→ E que associa a cada par (ai, aj) o elemento ai ∗ aj = aij.
Podemos representar o elemento aij, correspondente ao par (ai, aj), numa tabela de
dupla entrada constrúıda como segue.
1o) Marcamos na linha fundamental e na coluna fundamental os elementos do conjunto
E. Chamamos de i-ésima linha aquela que começa com ai e de j-ésima coluna a que
começa por aj
* a1 a2 · · · ai · · · aj · · · an
a1
a2
...
ai
...
aj
...
an
1.6. TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO 15
2o) Dado um elemento ai na coluna fundamental e um elemento aj na linha fundamental,
na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna, marcamos o composto aij.
* a1 a2 · · · ai · · · aj · · · an
a1
a2
...
ai aij
...
aj
...
an
Exemplo 1.41. Tábua da multiplicação em E = {1,−1, i,−i}
· 1 -1 i -i
1 1 -1 i -i
-1 -1 1 -i i
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Exemplo 1.42. Tábua da multiplicação em E =
{(
−1 0
0 −1
)
,
(
0 0
0 0
)
,
(
1 0
0 1
)}
·
(
−1 0
0 −1
) (
0 0
0 0
) (
1 0
0 1
)
(
−1 0
0 −1
)
(
0 0
0 0
)
(
1 0
0 1
)
A tábua de uma operação ∗ sobre um E = {a1, a2, . . . , an} nos permite checar uma a
uma as propriedades desta operação.
Propriedade associativa
É a mais trabalhosa de se verificar. Dever ser feita calculando todos os compostos do
tipo ai ∗ (aj ∗ ak), com i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n}, e depois calculam-se todos os compostos do
tipo (ai ∗aj)∗ak, com i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n}, comparam-se os compostos que têm o mesmo
i, j, k.
16 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
Propriedade Comutativa
Se a operação ∗ for comutativa aij = ai ∗aj = aj ∗ai = aji ∀ i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Note
que os compostos aij e aji ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal.
Assim, uma operação ∗ é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à
diagonal principal, isto é,
* a1 a2 · · · ai · · · aj · · · an
a1 a11
a2 a22
...
. . .
ai aii aij
...
. . .
aj aji ajj
...
. . .
an ann
Elemento Neutro
Um elemento e é neutro para operação ∗ quando:
I) e ∗ ai = ai, ∀ i ∈ E
II) ai ∗ e = ai, ∀ i ∈ E
De (I) a linha de e é igual à linha fundamental.
De (II)a coluna de e é igual à coluna fundamental.
* a1 a2 a3 · · · e · · · an
a1 a1
a2 a2
a3 a3
...
...
e a1 a2 a3 · · · e · · · an
...
...
an an
Uma operação ∗ tem neutro desde que exista um elemento cuja linha e coluna são
respectivamente iguais à linha e coluna fundamentais.
Elementos Simetrizáveis
ai ∈ E é simetrizável para a operação ∗ que tem neutro e quando existe um aj ∈ E
tal que:
I) ai ∗ aj = e
II) aj ∗ ai = e
1.6. TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO 17
De (I) a linha de ai na tábua deve apresentar ao menos um composto igual a e.
De (II) a coluna de ai deve apresentar ao menos um composto igual a e.
* a1 a2 · · · ai · · · aj · · · an
a1
a2
...
ai e
...
aj e
...
an
Note que o elemento e aparece em posições simétricas em relação à diagonal principal,
pois, aij = aji = e.
Elementos Regulares
a ∈ E é regular em relação à operação ∗ quando:
a ∗ ai = a ∗ aj =⇒ ai = aj
ai ∗ a = aj ∗ a =⇒ aj = ai
ou equivalentemente,
I) se ai 6= aj =⇒ a ∗ ai 6= a ∗ aj
II) se aj 6= ai =⇒ ai ∗ a 6= aj ∗ a
Isto significa que a é regular quando, composto com elementos distintos de E, tanto à
esquerda deles como à direita, produz resultados distintos.
Assim, um elemento a é regular quando na linha e na coluna de a não há elementos
iguais.
Exemplo 1.43. Considere a seguinte tábua.
· e a b c d
e e a b c d
a a b c d e
b b c b c a
c c d c a b
d d e a b c
Os elementos regulares são e, a, d.
18 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
Exerćıcios
1. Em cada caso a seguir está definida uma operação ∗ sobre E. Faça a tábua da
operação.
(a) E = {1, 2, 3, 6} e x ∗ y = mdc(x, y)
(b) E = {1, 3, 9, 27} e x ∗ y = mmc(x, y)
(c) E = {1,
√
2,
3
2
} e x ∗ y = min(x, y)
(d) E = {3
√
2, π,
7
2
} e x ∗ y = max(x, y)
(e) E = {1,−1, i,−i} e x ∗ y = xy
2. Em cada caso a seguir está definida uma operação ∗ sobre E = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Construa a tábua da operação.
(a) x ∗ y = x ∪ y
(b) x ∗ y = x ∩ y
(c) x ∗ y = x ∪ y − x ∩ y
3. Construa as tábuas das operações ⊕ e � sobre E = {0, 1, 2, 3, 4} assim definidas:
(a) x⊕ y = o resto da divisão em Z de x+ y por 5
(b) x� y = o resto da divisão em Z de xy por 5.
4. A partir da tábua ao lado, da operação 4 sobre E = {1, 2, 3, 4}, calcule os seguintes
compostos: tem Complete a tábua da operação ∗ sobre o conjunto E={a, b, c, d, e},
sabendo que:
(a) (34 4)4 2
(b) 34 (44 2)
(c) [44 (34 3)]4 4
(d) (44 3)4 (34 4)
(e) [(44 3)4 3]4 4
4 1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 1 2 3 4
3 1 3 4 2
4 1 4 2 3
5. Complete a tábua da operação ◦ (composição) definida sobre o conjunto de funções
reais E = {f1, f2, f3, f4}, em que:
f1(x) =
1
x
f2(x) = −x
f3(x) = −
1
x
f4(x) = x
◦ f1 f2 f3 f4
f1
f2
f3
f4
1.6. TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO 19
Depois responda:
(a) Qual é o elemento neutro?
(b) Que elemento têm simétrico?
(c) Quais são os valores dos compostos f 21 , f
−1
2 , f
2
1 ◦ f−12 ◦ f 33 ?
6. Construa a tábua da operação de reunião sobre a famı́lia de conjuntos F =
{A,B,C,D,E} sabendo que A ∪B = A, C ∪D = B, D ∪ E = D e E ∪ C = C.
7. Construa a tábua da operação de composição sobre o conjunto de funções E =
{f1, f2, f3, f4}, sabendo que essas funções são de R2 em R2, dadas por:
f1(x, y) = (x, y)
f2(x, y) = (−x, y)
f3(x, y) = (x,−y)
f4(x, y) = (−x,−y)
8. Seja E = {0, 1}. Seja EE o conjunto das aplicações de E em E. Construa a tábua
da operação de composição em EE.
9. Construa a tábua da operação de composição de funções em E = {f1, f2, f3, f4}, em
que:
f1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), } =
(
a b c d
a b c d
)
f2 = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, a), } =
(
a b c d
b c d a
)
f3 = {(a, c), (b, d), (c,a), (d, b), } =
(
a b c d
c d a b
)
f4 = {(a, d), (b, a), (c, b), (d, c), } =
(
a b c d
d a b c
)
Em Seguida, calcule:
(a) f2 ◦ f3 ◦ f4
(b) (f3)
2
(c) (f2 ◦ f4)3
(d) (f3 ◦ f4)−1
(e) f−12
(f) f−12 ◦ f−13
Observação: A notação
(
a b c d
c d a b
)
, por exemplo, indica que a imagem de a é
c, de b é d, de c é a e de d é b.
20 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
1.7 Operações em Zm
Faremos agora um breve revisão de congruências módulo m, vamos relembrar de algumas
definições para que possamos estabelecer o conjunto Zm.
Definição 1.17. Seja m 6= 0 um inteiro fixo. Dois inteiros a e b dizem-se congruentes
módulo m se, e somente se, m divide a diferença a− b.
Equivalentemente a esta definição temos o seguinte resultado:
Proposição 1.4. Seja m um inteiro fixo. Dois inteiros a e b são congruentes módulo m
se, e somente se, eles têm como resto o mesmo inteiro quando dividimos por m.
Definição 1.18. Uma relação R sobre um conjunto E não vazio é chamada relação de
equivalência sobre E se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, R
deve cumprir, respectivamente, as seguintes propriedades:
i) se x ∈ E, então xRx;
ii) se x, y ∈ E e xRy, então yRx;
iii) se x, y, z ∈ E e xRy e yRz, então xRz.
A relação de congruência módulo m (m ∈ Z, m > 1) sobreZ, é um relação de equi-
valência, pois:
∀ a ∈ Z, a ≡ b (mod m)
∀ a, b ∈ Z, se a ≡ b (mod ), então b ≡ a (mod m)
∀ a, b, c ∈ Z, se a ≡ b (mod ) e b ≡ c (mod ), então a ≡ c (mod ).
Um bom exerćıcio é mostrar que a relação de congruência módulo m é um relação de
equivalência sobre Z.
Como a relação de congruência módulo m é um relação de equivalência sobre Z, é natu-
ral se perguntar: Quem são as classes de equivalências determinadas por elementos a ∈ Z?
Lembrando que:
Seja R uma relação de equivalência sobre E. Dado a ∈ E, chama-se classe de equi-
valência determinada por a, módulo R, o subconjunto de E constitúıdo pelos elementos
x tais que xRa. Em śımbolos
ā = {x ∈ E | xRa}.
Seja m ∈ Z, m > 1, a relação de congruência módulo m. Quem é a classe de equi-
valência determinda por 0 e 1, módulo m?
Por definição, é o conjunto de Z constituido pelos elementos x tais que x ≡ 0 (mod m)
e x ≡ 1 (modm). Ou seja,
1.7. OPERAÇÕES EM ZM 21
0̄ = {∈ Z | x ≡ 0 (mod m)} = {x ∈ Z | m | (x− 0)} = {x ∈ Z | x = mq, q ∈ Z}.
1̄ = {∈ Z | x ≡ 1 (mod m)} = {x ∈ Z | m | (x− 1)} = {x ∈ Z | x− 1 = mq, q ∈ Z} =
= {x ∈ Z | x = mq + 1, q ∈ Z}.
Agora, dado a ∈ Z, como é ā?
ā = {∈ Z | x ≡ a (mod m)} = {∈ Z | x = mq + a (mod m)}.
Caso 0 ≤ a < m.
ā é constitúıdo por elementos que deixam resto a, quando divididos por m.
Caso a > m.
Podemos efetuar a divisão euclidiana de a por m, obtendo quociente q e resto r. Temos
a = mq + r e 0 ≤ r < m
assim,
a− r = mq =⇒ m | (a− r) =⇒ a ≡ r (mod m).
Ou seja, conclúımos, que ā é constitúıdo de elementos que deixam o mesmo resto
quando divididos por m. Note que ā = r̄, em que r é o resto da divisão de a por m. Como
r ∈ {0, 1, 2, . . . ,m− 1}, vem:
ā ∈ {0̄, 1̄, . . . ,m− 1}.
Lembre que, toda relação de equivalência produz um conjunto quociente, que o con-
junto das classes de equivalência módulo R e indicado por E/R.
Seja R a relação de congruência módulo m sobre Z. Como é o conjunto quociente
Z/R?
Sabemos que {0̄, 1̄, . . . ,m− 1} ⊆ Z/R, acabamos de ver que, se a ∈ Z, então;
ā ∈ {0̄, 1̄, . . . ,m− 1}, assim Z/R ⊆ {0̄, 1̄, . . . ,m− 1}. Logo,
Z/R = {0̄, 1̄, . . . ,m− 1}.
Para afirmarmos que Z/R tem m elementos devemos verificar que seus elementos
são todos distintos. Para isto, suponhamos que existam duas classes, r̄ e s̄ iguais em
{0̄, 1̄, . . . ,m− 1}, representadas por elementos r e s, podemos supor sem perda de gene-
ralidade que r < s. Então
r̄ = s̄ e 0 ≤ r < s < m.
De r̄ = s̄ segue que r ≡ s (mod m) e, portanto m | (s− r). Como 0 < s− r < m, isso
é absurdo.
Conclúımos que Z/R = {0̄, 1̄, . . . ,m− 1} é constitúıdo por exatamente m elementos
distintos dois a dois.
22 CAPÍTULO 1. OPERAÇÕES
Como o conjunto Z/R = {0̄, 1̄, . . . ,m− 1} é muito importante em diversas áreas da
matemática, existe uma notação especial para ele. Denotamos por Zm, isto é,
Zm = {0̄, 1̄, . . . ,m− 1}.
Seja m > 1 um inteiro, podemos definir a adição e multiplicação em Zm com segue:
Definição 1.19. Dadas duas classes a, b ∈ Zm, chama-se soma a+ b a classe a+ b.
Definição 1.20. Dadas duas classes a, b ∈ Zm, chama-se produto a · b a classe a · b.
Lembrando que uma operação é uma aplicação, sendo assim sempre que definimos
uma nova operação, temos que verificar se a tal operação está bem definida.
Sejam a, a′, b, b′ ∈ Zm tais que a = a′ e b = b′, devemos verificar que:
a+ b = a′ + b′ e a · b = a′ · b′.
Isso mostar que a soma e o produto de classes não dependem da esoclha dos represen-
tantes das classes. Garantindo que a+ b e a · b é única, ou seja, as aplicações estão bem
definidas. Tais operações sobre Zm, são denomindas adição e multiplicação, respectiva-
mente.
Propriedades da Adição
1. Associativa:
∀ a, b, c ∈ Zm, temos a+ (b+ c) = (a+ b) + c.
2. Comutativa:
∀ a, b ∈ Zm, temos a+ b = b+ a.
3. Elemento Neutro:
∀ a ∈ Zm, temos, a+ 0 = a
4. Elementos Simetrizáveis:
Dado a ∈ Zm, devemos encontrar a′ ∈ Zm tal que
a+ a′ = 0.
Mas, a + a′ = a+ a′ = 0, ou seja, a + a′ ≡ 0 (mod m) ou, a′ ≡ −a (modm), que é
equivalente a dizer que a′ ≡ m− a (mod m). Portanto, a′ = m− a.
Com isso, conclúımos que todo elemente a ∈ Zm é simetrizável para adição e seu
simétrico é m− a.
1.7. OPERAÇÕES EM ZM 23
Propriedades da Multiplicação
1. Associativa:
∀ a, b, c ∈ Zm, temos a(bc) = (ab)c.
2. Comutativa:
∀ a, b ∈ Zm, temos ab = ba.
3. Elemento Neutro:
∀ a ∈ Zm, temos, a1 = a1 = a
4. Elementos Simetrizáveis:
a ∈ Zm é simetrizável para a multiplicação se, e somente se, mdc(a,m) = 1.
(=⇒) Seja a ∈ Zm um elemento iverśıvel. Existe, então, a′ ∈ Zm tal que aa′ = 1,
assim aa′ = 1, com isso aa′ ≡ 1 (mod m), o que implica m | (aa′ − 1), ou seja,
aa′ − 1 = mq para algum inteiro q e esta ultima igualdade pode ser reescrita como
aa′ +m(−q) = 1 o que significa que mdc(a,m) = 1.
(⇐=) Se mdc(a,m) = 1, então existem r, s ∈ Z tais que ar + ms = 1. Logo
ar − 1 = m(−s), esta igualdade nos diz que m | (ar − 1), ou seja, ar ≡ 1 (mod m).
Conclúımos então que ar = 1 ou ainda ar = 1, o que mostra que a é inverśıvel e r
é seu inverso.
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