2017 apostila Fisica Moderna I

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1 
 
 
 
 
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Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
Departamento de Física 
Universidade Federal do Piauí 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Março de 2011 
 
 
 2 
 
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
GOVERNADOR DO ESTADO 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA DO MEC 
COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ 
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE DUCAÇÃO ABERTA À DISTÂNCIA 
DA UFPI 
SUPERITENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO 
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
COORDENADOR DO CURSO DE FÍSICA 
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
DIAGRAMAÇÃO 
 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
Serviço de Processamento Técnico da Universidade Federal do Piauí 
Biblioteca Comunitária Jornalista Carlos Castello Branco 
 
 
 
 
 B238f Barbosa, Paulo Henrique Ribeiro 
 Física /Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
 . – Teresina : CEAD/UFPI, 2010. 
 200 p. 
 
 1. Física. 4. Física – Introdução à Física Moderna. I. Título. 
 CDD 530 
 3 
 
 
 
Este texto é destinado aos estudantes que participam do 
programa de Educação à Distância da Universidade Aberta do Piauí 
(UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do 
Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Centro Federal de 
Educação Tecnológica (CEFET – PI), com apoio do Governo do Estado do 
Piauí, através da Secretaria de Educação. 
O texto é composto de duas unidades, constituída de quatro 
capítulos cada uma. Nos quatro capítulos iniciais (primeira unidade), 
iremos tratar da relatividade restrita e da antiga teoria quântica, e nos 
quatro capítulos finais (segunda unidade) apresentaremos a teoria de 
Schrödinger da mecânica quântica, soluções da equação de Schrödinger 
para potenciais simples, oscilador harmônico quântico e, por último 
átomos de um elétron. 
A bibliografia para leitura complementar é indicada ao final de 
cada unidade, bem como exercícios resolvidos e exercícios visando 
avaliar o entendimento do leitor serão apresentados ao longo do texto 
de cada unidade. 
 
Apresentação 
 4 
Sumário Geral 
 
 
 
UNIDADE I 
 
1. TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 
1.1 Introdução 10 
1.2 Os postulados de Einstein 11 
1.3 Conseqüências dos postulados de Einstein 13 
1.4 Transformadas de Lorentz 14 
1.5 Transformação relativística da velocidade 16 
1.6 Momento relativístico 16 
1.7 Energia relativística 
1.7 Problemas Propostos 21 
1.8 Referências bibliográficas 23 
1.9 Web-bibliografia 23 
 
2. RADIAÇÃO TÉRMICA, O POSTULADO DE PLANCK E AS 
PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO 
2.1 Introdução 26 
2.2 Radiação do corpo negro 26 
2.3 Efeito Fotoelétrico 28 
2.4 Contínuo de Raios - X 29 
2.5 Efeito Compton 31 
2.6 Espectros Atômicos e o Modelo de Bohr 32 
2.8 Problemas Propostos 35 
2.9 Referências bibliográficas 37 
2.9 Web-bibliografia 37 
 
3. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA 
3.1 Introdução 3.1 
3.2 O Postulado de de Broglie 3.2 
 5 
3.3 Propriedades das Ondas Piloto 3.3 
3.4 Interpretação Probabilística das Ondas de de Broglie 3.4 
3.5 O princípio da Incerteza de Heisenberg 3.5 
3.6 Problemas 3.5 
3.7 Referências Bibliográficas 
3.8 Web-bibliografia 
 
4 MODELOS ATÔMICOS 
4.1 Os Modelos de Thomson e de Rutherford e a Descoberta do 
Núcleo do Átomo 
75 
4.2 Espectros Atômicos 78 
4.3 O Modelo Atômico de Bohr 81 
4.4 Átomos Hidrogenóides 84 
4.5 Problemas Propostos 85 
4.6 Web-bibliografia 87 
 
UNIDADE II 
 
5 A TEORIA DE SCHRODINGER DA MECÂNICA QUÂNTICA 
5.1 Introdução 90 
5.2 A Equação de Schrodinger 92 
5.3 Interpretação da Função de Onda 96 
5.4 A Equação de Schrodinger Dependente do Tempo 102 
5.5 Propriedades Matemáticas da Função de Onda e 
Autofunções 
 
5.6 Valores Esperados e Operadores Diferenciais 
5.7 Limites Clássicos da Mecânica Quântica 
5.8 Problemas Propostos 
5.9 Referências bibliográficas 87 
5.10 Web-bibliografia 87 
 
6 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER PARA POTENCIAIS 
SIMPLES 
6.1 Partícula Livre 115 
 6 
6.2 Potencial Degrau 117 
6.3 Barreira de Potencial 119 
6.4 Poço Quadrado de Potencial 119 
6.5 Poço Infinito de Potencial 120 
6.6 Problemas Propostos 137 
6.7 Bibliografia 139 
 
7 O OSCILADOR HARMÔNICO QUÂNTICO 
7.1 Magnetismo 142 
7.2 O campo magnético e suas fontes 145 
7.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo 
magnético 
 
148 
7.4 Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas 
na presença de campo magnético 
 
150 
7.5 A força magnética agindo sobre um condutor portando 
corrente elétrica 
 
152 
7.6 Torque 157 
 Questões 161 
 Problemas 163 
 Bibliografia 165 
 
8 ÁTOMO DE UM ELÉTRON 
8.1 Lei de Biot – Savart 168 
8.2 Lei de Ampère 173 
8.3 A lei de Ampère e os solenóides 176 
8 Questões 178 
 Problemas 179 
 Bibliografia 181 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 
 
 
TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 
 
 
Resumo 
 
Nesta unidade iremos apresentar e discutir os postulados da relatividade 
restrita. O objetivo é usar estes postulados para mostrar que tempo e 
espaço não são grandezas absolutas ou invariantes. Apresentaremos as 
modificações nas leis da física decorrentes dos postulados de Einstein. 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
 
Sumário 
UNIDADE 1: A Teoria da Relatividade Restrita 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
1.1 Introdução 1.1 
1.2 Os postulados de Einstein 1.2 
1.3 Conseqüências dos postulados de Einstein 1.3 
1.4 Transformadas de Lorentz 1.4 
1.5 Transformação relativística da velocidade 1.5 
1.6 Momento relativístico 1.6 
1.7 Energia relativística 1.7 
1.7 Problemas Propostos 1.7 
1.8 Referências bibliográficas 1.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
1.1 – Introdução 
 Conta-se que Albert Einstein, até então somente um 
entusiasmado estudante de física, andava intrigado com uma 
discrepância entre as leis de Newton da mecânica e as leis de Maxwell 
do eletromagnetismo. O que o jovem “aprendiz de cientista” sabia era 
que as leis de Newton eram independentes do estado de movimento de 
um observador, ou seja, duas pessoas, uma em repouso e outra em 
movimento retilíneo e uniforme, observaria que as mesmas leis da 
mecânica seriam aplicáveis ao movimento de um objeto, e que 
diferentes equações de Maxwell são aplicáveis ao movimento de uma 
carga elétrica. Enquanto as leis de Newton sugeriam que o movimento é 
um fenômeno relativo, cálculos da velocidade de propagação de ondas 
eletromagnéticas através das equações de Maxwell sugeriam a 
existência de um referencial absoluto. De fato, tanto teoricamente 
quanto experimentalmente conclui-se que a velocidade de uma onda 
eletromagnética no vácuo é uma constante de valor c=299 792 458 m/s, 
independente do referencial inercial em relação ao qual a mesma é 
medida. Ou seja, a velocidade da luz é um invariante sob transformações 
entre referenciais inerciais. 
 O que aprendemos através da mecânica newtoniana é que o 
movimento é relativo, ou seja, um determinado objeto pode ter 
diferentes velocidades com relação a diferentes sistemas de referência 
inercial, mas as suas acelerações são as mesmas. Uma das conclusões 
das leis de Newton éa de que não existe nenhum experimento 
mecânico que seja capaz de dizer se um observador inercial está em 
repouso ou em movimento em relação a outro observador inercial. Mas 
então como resolver a questão de que velocidade da luz é uma 
constante, e que, portanto, sugere a existência de um referencial 
absoluto, o chamado éter? Em 1887 os físicos americanos s A. A. 
Michelson e E. W. Morley derrubaram a tese da existência do tal Éter, o 
referencial privilegiado, através de uma experiência de interferometria e 
concluíram que o mesmo não existia, além de mostrar que a velocidade 
da luz não obedece à formula de adição da transformada de Galileu. 
 11 
 Em 1905 Einstein publicou um artigo mostrando que o conflito 
entre as leis de Newton e as leis de Maxwell poderia ser resolvido se 
aceitássemos que todas as medidas do espaço e tempo fossem 
dependentes do movimento relativo. Por exemplo, segundo a teoria 
relativística de Einstein, o comprimento de uma nave espacial em 
repouso sobre uma plataforma de lançamento e os tiques dos relógios 
dentro da nave se altera quando a nave é colocada em movimento com 
uma rapidez muito grande. 
1.2 – Os Postulados de Einstein 
 
Em seu famoso artigo de 1905, Einstein postulou que o movimento 
absoluto não pode ser detectado por nenhum experimento, 
rejeitando assim, a existência do éter. A teoria especial da 
relatividade pode ser derivada de dois postulados, que são: 
 Postulado 1: Nenhum movimento retilíneo uniforme 
absoluto pode ser detectado 
 Postulado 2: A velocidade da luz é independente do 
movimento da fonte. 
O Postulado 1 ainda pode ser enunciado como: “ As leis da física 
devem ter a mesma forma em todos os referenciais inerciais”. Isso 
significa que as leis válidas para um observador inercial não podem 
ser violadas por qualquer outro observador inercial, como resumido 
pela transformada de Galileu, ⃗ ⃗ ⃗⃗ , onde ⃗ , ⃗ são os vetores 
que localizam o objeto nos referenciais F e F’, e ⃗⃗ é a velocidade 
constante relativa entre os dois observadores. Faz parte ainda da 
transformada de Galileu o fato de que o tempo medido pelos dois 
observadores F e F’ serem os mesmos: t=t’. 
 Com relação ao segundo postulado, o mesmo pode ser enunciado 
ainda como: “A velocidade da luz no espaço livre tem o mesmo valor 
c em todos os referenciais inerciais”. Embora o segundo postulado 
descreva uma propriedade comum a todas as ondas, a de que a sua 
velocidade de propagação independe da velocidade da fonte, é 
muito difícil de aceitá-lo porque ele viola o senso comum, 
fundamentado na cinemática de Galileu. Uma de suas 
 12 
conseqüências é a de que ele limita a velocidade de qualquer objeto 
à velocidade da luz, independentemente da quantidade de energia 
cinética fornecida a este. 
1.3 - Conseqüências dos postulados de Einstein 
Mostraremos como os postulados de Einstein podem solucionar as 
dificuldades para interpretar as medições de tempo, comprimento e 
velocidades. 
Para entendermos medidas de tempo é importante que 
conceituemos relógio. O requisito básico de um relógio é a 
periodicidade, ou seja, o intervalo de tempo entre dois “tics” deve 
ser o mesmo. Podemos calibrar nosso relógio, colocando-o junto 
com uma fonte de luz na origem de um sistema de coordenadas e 
então iluminar o eixo-x, por exemplo. Podemos colocar um espelho 
no ponto x1 e medir o tempo que a luz leva para chegar ao ponto x1 
e retornar a origem. Se o intervalo de tempo corresponde a dois 
“tics” diz-se que x1 está distando de uma unidade de comprimento 
da origem x=0. Especificamente, se a duração de um “tic” é τ, então 
a distância a x1 é cτ. Se movermos o espelho de modo que o tempo 
que a luz gaste para alcançá-lo e voltar sejam de quatro “tics”, o 
ponto estará duas unidades de comprimento (2cτ) afastado da 
origem. Com este procedimento podemos associar as coordenadas 
 a cada ponto do espaço e colocar um relógio em cada um 
desses pontos, que serão múltiplos inteiros da distância unitária cτ. 
Todos estes relógios, colocados nos pontos (x,y,z), podem ser 
sincronizados da seguinte forma: na origem e ao meio dia um sinal 
luminoso é enviado ao ponto x=1, y=z=0. Quando o sinal chega a 
esse ponto o operador de relógio que aí se encontra ajusta o relógio 
daí para um “tic” depois do meio dia. O operador na posição x=2, 
y=z=0 ajusta o relógio dessa posição para dois “tics” depois do meio 
dia. Desse modo todos os relógios são sincronizados e teremos uma 
estrutura de referência com posições e tempos bem definidos. Ou 
seja, todos os pontos do sistema de coordenadas (x,y,z) terão o 
mesmo tempo t. 
 
 
 13 
 
 
Fig. 1.1(a) Trem parado e os 
observadores A e A’ vêem 
simultaneamente o evento. (b) 
Trem em movimento e os 
observadores já não 
concordam que os eventos são 
simultâneos. 
 Simultaneidade 
Dois eventos em pontos diferentes em um dado sistema de 
referência são simultâneos quando eles ocorrem ao mesmo tempo 
naquele referencial. Considere o problema de medir o 
comprimento de um trem em movimento com velocidade ao 
longo do eixo x. Considere duas pessoas A e A’, respectivamente 
dentro do trem (referencial F) e na plataforma de embarque 
(referencial F’). A figura 1.1a mostra um trem de comprimento 
inicialmente em repouso na plataforma e neste caso o processo de 
medida é feito de forma simples com uma fita métrica esticada 
entre os pontos B e C. Duas pessoas, A e A’, em posições 
adjacentes, concluirão que um pulso esférica de luz emitida em t=0 
do ponto médio do trem alcançará as extremidades do trem, 
pontos B e C, simultaneamente, em um tempo t=L/2c. 
Considere agora que o trem está em movimento ao longo do eixo-x, 
com velocidade u quando medida pelo referencial F’ da plataforma; 
o referencial F é aquele em que o trem está em repouso. Suponha 
que no instante t=0=t’, as posições dos observadores A e A’ sejam 
as mesmas. Com relação ao observador A (referencial F) ele ainda 
concluirá que o pulso esférico de luz emitido por uma fonte no 
ponto médio do trem alcançará os extremos do trem 
simultaneamente. Este não será o ponto de vista do observador A’ 
(referencial F’) com base no segundo postulado de Einstein, de que 
a velocidade da luz é a mesma em ambos os referenciais inerciais. 
Para a pessoa A’ a luz chegará primeiro à extremidade B do trem 
em um tempo tB. De fato, pelo segundo postulado de Einstein, a 
distância percorrida pelo pulso de luz na visão de A’ é 
 . Logo, 
 
 
 
 
Da mesma forma o feixe de luz percorre uma distância até 
atingir o ponto C. Temos assim, 
 
 
 
 
Como é diferente de , os eventos não serão simultâneos na 
visão do observador A’ (referencial F’). 
 14 
 
Fig1.2 
As conseqüências do fato de que eventos que são simultâneos em 
um referencial inercial deixam de ser em outro referencial inercial 
serão apresentadas a seguir. 
 Dilatação Temporal 
Considere o aparato da Figura 1.2, onde um feixe de luz é refletido por 
um espelho (uma distância L da fonte) e retorna. Para um observador 
em repouso em relação ao aparato, o tempo que o feixe leva para ir e 
voltar é 
 
 
 
Um observador A no referencial F’, movendo-se para a esquerda com 
velocidade (Fig. 1.2a), vê o fenômeno como descrito pela Figura 1.2b. 
No referencial F’ a luz se propaga com velocidade c (segundo postulado 
de Einstein), mas ao mesmo tempo o espelho se move. Se em t’=0 o 
pulso de luz foi emitido, no instante de tempo este é refletidopelo espelho e, em o feixe retorna à fonte. Pela Figura 1.2b, a 
distância percorrida pela luz até ser refletida (referencial F’) é 
 
 
 √ (
 
 
*
 
 
Isto é, usando , temos 
 
 
√ ( 
 
 ⁄ )
 
O observador F’ mede um tempo maior para o mesmo evento, ou seja, o 
observador F’ conclui que relógios móveis são mais lentos que relógios 
 15 
 
Fig1.3 
em repouso. Este efeito é conhecido como dilatação temporal. O tempo 
T, neste caso, é referido como tempo próprio, pois é o tempo associado 
a um relógio que está em repouso neste referencial. 
O efeito da dilatação temporal é real, com inúmeros experimentos que o 
compravam. Deixaremos para o leitor a busca de informações sobre tais 
experimentos, bem como a discussão acerca do famoso paradoxo dos 
gêmeos. 
Exemplo: Ana está em um carro de trilhos se movendo para o leste a 
uma velocidade de relativo à Bob. Ela segura em suas mãos com 
os braços abertos lâmpadas que delas emitem simultaneamente flash 
de luz. Ana mantém as mãos afastadas de e com orientação na 
direção leste-oeste. De acordo com Bob que lâmpada emitiu primeiro 
o flash? 
Resposta: Considere que Ana está no referencial S’ e Bob no referencial 
S. O evento 1 é o flash que vem do leste e chega em Ana e o evento 2 é 
flash que vem do oeste e chega em Ana. Para Ana, os dois eventos são 
simultâneos , de modo que 
 
 , e eles estão separados de 
 
 
 . Para encontrar o intervalo de tempo entre os dois 
eventos para Bob, podemos mostrar, usando Eq.(1.3), que a diferença 
entre os tempos que a luz leva para chegar em Ana vinda do leste e o 
tempo da luz vinda do oeste é . 
 Contração do Comprimento 
A lentidão dos relógios móveis 
é acompanhada pela 
contração no comprimento 
dos objetos móveis ao longo 
da direção de movimento, 
como veremos em seguida. 
Para isso considere o aparato 
da figura1.3,que consiste em 
uma lâmpada e dois espelhos 
dispostos ortogonalmente e 
cada um a uma distância L da lâmpada. Ambos os feixes refletidos nos 
dois espelhos chegam à lâmpada ao mesmo tempo Suponha agora que 
 16 
este aparato esteja se movendo para a direita com velocidade ⃗⃗ , na 
direção da linha lâmpada - espelho com relação a um observador no 
referencial F’. O observador no referencial F’ concluirá que o tempo de 
ida e volta que a luz leva para percorrer a parte transversa ao 
movimento é de 
 
 
 
 
√ (
 
 
*
 
Por outro lado, o tempo de ida e volta da luz ao longo da direção 
horizontal é o tempo t’1 que esta leva para atingir o espelho mais o 
tempo t’2 que esta leva para retornar. O espelho está se movendo para a 
direita, de forma que a luz percorre uma distância extra ut’1. Se, de 
acordo com o observador no referencial F’, a distância entre lâmpada e 
espelho é L`, então percorrida pela luz na ida é 
 . 
Na volta a distância percorrida pela luz é 
 , 
que adicionados darão 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
*
 
Este deve ser igual ao tempo T’, que a luz leva pra ir e voltar ao longo da 
direção transversal. Fazendo esta igualdade temos que 
 √ (
 
 
) 
que mostra que uma barra de comprimento L em um referencial de 
repouso, terá seu comprimento reduzido ao longo da direção de 
movimento por um fator √ na visão de um observador em 
um referencial F’, que se move com velocidade ⃗⃗ ao longo do 
comprimento da barra. Note que a contração de comprimento ocorre 
somente ao longo da direção de movimento. 
 
 A adição relativística de velocidades 
 17 
 
Fig. 1.4 
Suponha que um observador A mede a velocidade de um objeto como 
sendo ⃗ , e que um observador B que se move com velocidade ⃗⃗ com 
relação ao observador A, mede a velocidade do mesmo objeto como 
sendo ⃗ . De acordo com a lei de adição de Galileu teremos ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗. Claramente esta relação violaria o segundo princípio da relatividade, 
que afirma que nenhuma partícula poderia viajar com velocidade 
superior que a da luz. Isto pode ser visto escolhendo-se como módulos 
das velocidades os seguintes valores: v1=0.8c e u=0.8c, que daria 
v2=1,6c. Precisamos reformulá-la à luz dos postulados da relatividade 
restrita. 
 A figura 1.4 abaixo mostra um dispositivo que emite uma 
partícula com velocidade ⃗ que ao atingir uma fonte de luz S a uma 
distância L, faz com que a 
mesma emita um flash de luz 
em direção ao detector D. O 
intervalo de tempo T 
decorrido entre lançamento 
da partícula e a chegada do flash no detector, medido por um 
observador F` em repouso em relação ao dispositivo é 
 
 
 
 
 
 
 
Esta mesma seqüência de eventos, quando observada de um referencial 
F enquanto o dispositivo é carregado por um trem que viaja com 
velocidade u ao longo do comprimento L’ mostra que a partícula agora 
tem uma velocidade v e gasta um tempo t’1 para percorrer v2t’1, que por 
sua vez é igual ao comprimento L’ somada a distância percorrida pelo 
trem ut’1: 
 
O intervalo t’2 corresponde ao tempo que a luz deixa a fonte S e atinge o 
detector D. A distância percorrida é L’ subtraída da distância percorrida 
pelo trem neste tempo ut’2. Assim, a luz percorre a distância 
 
Isolando t’1e t’2 e o fato de que o tempo total na visão deste observador 
é T’=t’1+ t’2, juntamente com as equação (1.3) e (1.7) temos 
 
 
 (
 
 
)
 
 18 
Será oportuno colocar um exemplo numérico a fim de fixarmos o 
conteúdo. 
1.4 Transformadas de Lorentz 
A transformada de Galileu, como foi mencionado no início deste 
capítulo, relacionam as coordenadas (x, y, z) de um ponto em um 
sistema de coordenadas F com as coordenadas (x’,y’,z’) deste mesmo 
ponto vista de um outro sistema de coordenada F’ que se move com 
relação ao primeiro com velocidade u, por exemplo ao longo dos eixos x-
x’ (só para simplificar). Além dessa relação entre as coordenadas, a 
transformada de Galileu estabelece ainda que as escalas de tempos 
sejam as mesmas, ou seja, t=t’. Acima, mostramos que estas relações 
levam à uma fórmula de adição de velocidades incompatível com os 
postulados da relatividade restrita. Deduziremos agora transformações 
mais gerais, consistentes com os princípios da relatividade, que ficaram 
conhecidas como transformações de Lorentz. 
 Para prosseguir, focalizemos em um evento, alguma coisa que 
acontece em um determinado lugar e em um tempo particular. 
Exemplos são as colisões entre duas partículas, uma explosão, etc. Em 
um referencial inercial F, o evento será descrito pelas coordenadas 
espaço-tempo (x, y, z, t). Quais são as coordenadas (x’, y’,z’,t’) deste 
mesmo evento em outro sistema de referência inercial F’, que se move 
com velocidade u ao longo do 
eixo-x do referencial F? Vamos 
supor que nos tempos t=t’=0 
as origens dos sistemas de 
coordenadas coincidem. 
Tomando por referência a 
figura 1.6 a distância OO’ é ut. 
A coordenada x’ é própria para 
o referencial F’, de modo que para o sistema F ela se contrai de um fato 
√ , como indicado pela equação de contração de 
comprimento. Assim, a distância x entre O e P, na figura 1.6, não será 
simplesmente , como na transformada de Galileu, mas sim 
por 
 
Fig1.6 
 19 
 √ (
 
 
)que explicitando x’dá 
 
 
√ (
 
 
*
 
Esta é uma das equações de transformadas de Lorentz. Outra 
importante equação de transformação é a que estabelece a relação 
entre as variáveis temporais e espaciais, que obteremos a seguir. O 
princípio da relatividade exige que as transformações de F para F’ 
tenham a mesma forma das transformações de F’ para F, a menos do 
sinal da velocidade relativa entre os referenciais que deve ser trocado. 
Assim, trocando as coordenadas com apostrofo com as sem apóstrofo e 
mudando u para –u, a equação (1.11) transforma-se em 
 √ (
 
 
) 
Igualando as eqs. (1.12) e (1.13) temos 
 
 
 
 
√ (
 
 
*
 
Como enfatizado, comprimentos perpendiculares ao movimento não 
sofrem contração e temos y’=y e z’=z. 
 Agrupando as relações obtidas temos 
 
Aqui temos √ . A informação mais importante que estas 
relações nos fornecem é a de que o espaço e o tempo estão interligados, 
e portanto não podemos mais dizer que o espaço e o tempo possuem 
significados absolutos independentes do sistema de referencia. 
 
 
√ (
 
 
*
 
 
 
 
 
 
 
√ (
 
 
*
 ( 
 
 
) 
 
 20 
 De posse das relações (1.14) podemos obter algebricamente a 
transformação de Lorentz para a velocidade. Por diferenciação temos 
 
 ( 
 
 
* 
Dividindo membro a membro temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que dá 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos checar o que acontece quando, por exemplo, uma partícula se 
desloca a velocidade da luz (vx=c) no referencial F e ver qual é a 
velocidade medida por um observador F’.Da equação (1.15) vemos que 
vê 
 , compatível com os postulados de Einstein. 
 A transformação inversa, ou seja, do referencial F’ para o referencial F é 
obtida simplesmente trocando as variáveis com apostrofo pelas sem 
apóstrofo e tomando o cuidado de trocar u por –u. Assim, as 
transformadas de velocidades para as coordenadas x, y, e z são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
*
 (1.16b) 
 
 
 
 ( 
 
 
 
*
 
 
Exemplo 1.2: A luz se propaga no referencial S’ com velocidade 
 . 
Qual é a sua velocidade no referencial S? 
Resposta: Usando a relação 1.16ª temos, 
 
 
 
 
 
 . 
 
Exemplo 1.3: Dois eventos ocorrem no mesmo ponto 
 nos tempos 
 
e 
 no referencial S’. Qual é a separação espacial desses eventos num 
referencial S que se move em relação a S’ com velocidade constante ? 
 21 
Fig. 1.7 
Resposta: 
 Para o observador S, a posição em que aconteceu o primeiro 
evento é 
 
 , enquanto a posição da ocorrência do 
segundo evento é 
 
 Assim, a separação espacial entre 
os dois eventos, na visão do observador S é 
 
 
 
1.5 Momento relativístico 
 A necessidade de modificarmos nossa noção de espaço e tempo 
sugere que as definições de outras quantidades massa, momento e 
energia, que se baseiam em medidas de espaço e tempo devem ser 
reformuladas à luz da teoria da relatividade restrita. Nós sabemos que 
na mecânica não-relativística o momento linear de uma partícula que se 
desloca com velocidade ⃗ é ⃗ ⃗, onde m é denominada de massa de 
repouso. Sabemos que na ausência de forças externas o momento linear 
da partícula é conservado, ou seja, constante: 
∑ ⃗ 
 
 ⃗⃗ 
A conservação do momento linear tem sua origem na terceira lei de 
Newton e é um princípio que deve se mantém tanto não - 
relativisticamente quanto relativisticamente. Entretanto, o simples 
experimento de colisão abaixo vai mostrar que este não se conserva 
num sistema isolado. 
 Considere dois observadores, o observador A no referencial F e 
o observador B no referencial F’, que se move ao longo do eixo x com 
 
 
 
velocidade u relativamente ao observador A. Considere que cada 
observador tem uma bola de massa m. As duas bolas são idênticas 
quando comparadas em repouso. Um dos observadores lança sua bola 
para 
cima 
com 
 22 
velocidade relativa a ele mesmo e o outro observador lança sua bola 
para baixo com uma velocidade relativa a ele próprio também, de 
maneira que cada bola percorre a distância L até colidirem uma com a 
outra e retornarem. A figura 1.7 mostra a maneira com que cada 
observador ver a colisão. Classicamente, cada bola tem momento linear 
de magnitude , e como as componentes verticais do momento 
linear de cada bola são iguais e opostas, a componente vertical total do 
momento linear é nula antes da colisão. A colisão simplesmente inverte 
o momento de cada bola, permanecendo o momento linear vertical 
nulo, após a colisão. 
 Relativisticamente, porém, as componentes verticais das 
velocidades das duas bolas como vistas por cada observador não são 
iguais e opostas. Assim, quando estas são invertidas pela colisão, o 
momento clássico não é mais conservado. Por exemplo, considere a 
colisão como vista pelo observador A no referencial F. A velocidade de 
sua bola é . Uma vez que a velocidade da bola do observador 
B no referencial F’ é 
 e 
 , a componente y da 
velocidade da bola do observador B no referencial F é , 
como estabelecido pela Eq. (1.16b). Dessa forma, se a expressão 
clássica, ⃗ ⃗ é a usada como a definição de momento linear, as 
componentes verticais dos momentos das duas bolas não são iguais e 
opostas na visão do observador A. uma vez que as bolas invertem o 
movimento depois da colisão, a expressão clássica do momento não 
traduz conservação. Porém, o momento linear ganha outra forma 
quando o aspecto relativístico é considerado, como veremos agora. O 
momento em relatividade é uma grandeza atribuída a partículas móveis 
e tem as seguintes propriedades: (a) Na ausência de forças externas, a 
soma dos momentos das partículas inter agentes é conservado, e (b) no 
limite de baixas velocidades devemos recuperar suas expressões não – 
relativísticas, ou seja, no limite de ⃗ ⃗ ⃗. A quantidade 
 ⃗ 
 ⃗
√ (
 
 
*
 
atende a estes requisitos, como podemos mostrar abaixo para a mesma 
colisão entre as bolas dos observadores A e B, nos seus respectivos 
referenciais. Esta será nossa definição relativística de momento linear. 
 23 
Uma das interpretações da Eq. (1.17) é a de que a massa de uma 
partícula cresce com sua velocidade. A grandeza √ é 
chamada de massa relativística. A massa de repouso de uma partícula 
normalmente é representada por . Dessa forma a massa de uma 
partícula cresce de a √ quando está está 
viajando a uma velocidade . A massa de repouso é a mesma em todos 
os referenciais inerciais. Finalizando, nossa definição de momento fica 
então, 
 ⃗ 
 ⃗
√ (
 
 
*
 
 Ilustrando a conservação do momento linear 
Voltemos ao caso da colisão acima e reavaliemos a questão da 
conservação do momento linear relativístico. Para este fim calcularemosa componente y do momento relativístico das duas partículas no sistema 
de referencia F e mostraremos que a componente y do momento linear 
relativístico total é nula. A velocidade da bola do observador no 
referencial F é , de modo que a componente y do seu momento 
relativístico é 
 
 
√ (
 
 
 
*
 
A velocidade da bola do observador B na visão do referencial F têm 
componentes e 
 
 
 √ (
 
 
), de modo que 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
Assim temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
 
) . 
De onde tiramos que 
√ 
 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
Assim, a componente y do momento da partícula B é 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 24 
Como , a soma das componentes verticais é igual a zero, 
como queríamos verificar. 
 
1.6 Trabalho e Energia Relativística 
Vamos usar o conceito de energia cinética da mesma forma que definido 
em mecânica clássica, ou seja, é o trabalho feito por uma força para 
acelerar uma partícula do repouso até uma determinada velocidade v, 
exceto que a força agora será dada em termos de variação do momento 
linear. Assim, a energia cinética, K, é dada como 
 ∫ (∑ )
 
 
 ∫
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
(
 
 
 
√ 
 
 )
 
 
 
 ∫ ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 ) 
Ou 
 
 
 
 
 
 (1.19). 
Esta é a energia cinética relativística, composta de dois termos, o 
primeiro dependente da velocidade e o outro, que independe da 
velocidade , denomina-se energia de repouso. 
 A energia relativística total é então formada pela energia 
cinética mais a energia de repouso: 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
onde definimos 
 
√ 
, como a massa relativística. A célebre 
equação acima, , massivamente divulgada, é um dos mais 
importantes resultados da teoria da relatividade restrita. A energia 
armazenada por um corpo pode ser de qualquer forma (térmica, 
potencial, química, etc.), e que devido ao fator ser extremamente 
elevado uma pequena variação da massa de um corpo pode liberar uma 
grande quantidade de energia sob as mais variadas formas, 
principalmente calor, como acontece nos processos radioativos. Para 
 25 
finalizar, podemos obter uma expressão útil para a velocidade, v, da 
partícula, ao multiplicarmos Eq. (1.18) para o momento relativístico por 
 e compararmos com a Eq.(1.20): 
 
 
 
√ 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
Em aplicações práticas, a energia relativística e o momento de uma 
partícula às vezes são mais conhecidos do que sua velocidade. Uma 
relação útil e fácil de ser obtida, envolvendo estas grandezas, é 
 
 
É comum relembrar dessa útil 
relação através de um triângulo 
retângulo (Fig. 1.8). Se a energia 
da partícula é muito maior que 
sua energia de repouso, 
 , o 
segundo termo da Eq. (1.22) 
pode ser desprezado e obtemos 
 
 
Esta é a relação extra para partículas com massa de repouso nula, como 
é o caso de fótons. 
 
1.7 Problemas Propostos 
1) Um pequeno, mas poderoso laser e colocado em uma mesa 
girante que rota a uma freqüência de 900 rev/s. O laser, cujo 
feixe faz um ângulo de 25° com a horizontal, ilumina uma nuvem 
afastada de 70 km. Calcule a velocidade com que a luz atinge a 
nuvem móvel. Esta velocidade viola a limitação da velocidade da 
luz? Explique. 
 
2) A vida média de múons freados num bloco de chumbo fixo num 
laboratório, é 2,2  s. A vida média dos múons com grande 
velocidade, numa explosão de raios cósmicos, observada da 
 
Fig. 1.8 
 26 
Terra, é 16  s. Ache a velocidade destes múons dos raios 
cósmicos em relação à Terra. R: 0,9905 c 
 
3) Um avião voa de San Francisco até Nova York (cerca de 4800 km 
ou 4,80x106 m) a uma velocidade constante de 300 m/s (cerca 
de 670 mi/h). Qual é a duração da viagem para um observador 
no solo? E para um observador no avião? 
 
4) Uma espaçonave passa pela Terra com uma velocidade de 
0.990c. Um membro da tripulação verifica que o comprimento 
da espaçonave é igual a 400 m. Qual é o comprimento da 
espaçonave medido por um observador na Terra? 
 
5) Os píons são criados na alta atmosfera da Terra, quando 
partículas de alta energia, de raios cósmicos, colidem com 
núcleos atômicos. Um píon assim formado desce em direção à 
Terra com a velocidade de 0,99c. Num referencial onde estejam 
em repouso, os píons decaem com a vida média de 26 ns. Num 
referencial fixo na Terra, qual é a distância percorrida (em 
média) pelos píons na atmosfera, antes de decaírem? R: 54,7 m. 
 
6) Uma barra mantém-se paralela ao eixo x de um referencial S, 
movendo-se ao longo deste eixo com velocidade 0,630c. O seu 
comprimento de repouso é 1,70 m. Qual será seu comprimento 
medido em S. R: 1,32 m 
 
7) Um astronauta parte da Terra com destino à estrela Vega, 
distante 26 anos-luz, deslocando-se com a velocidade de 0,99c. 
Qual o tempo decorrido medido pelos relógios da Terra? (a) 
quando o astronauta chega a Vega? e (b) quando os 
observadores, na Terra, recebem o aviso de sua chegada à 
Vega? (c) Quantos anos mais velhos os observadores na Terra 
julgam que o viajante estará ao chegar a Vega? R: (a) 26,3 anos; 
(b) 52,3 anos; (c) 3,7 anos 
 
 27 
8) (a) Uma espaçonave que se afasta da Terra com uma velocidade 
igual a 0.900c dispara uma sonda espacial com um robô com 
uma velocidade igual a 0.700c em relação à espaçonave na 
mesma direção e no sentido da velocidade da espaçonave. Qual 
é a velocidade da sonda espacial em relação à Terra? (b) Um 
ônibus espacial tenta alcançar a espaçonave se deslocando com 
velocidade igual a 0950c em relação à Terra. Qual é a velocidade 
do ônibus em relação a espaçonave? 
9) Um elétron ( 
 , ) move-
se em sentido oposto ao de um campo elétrico com módulo 
 . Todas as outras forças são desprezíveis em 
comparação com a força elétrica. (a) Determine o módulo do 
momento linear e da aceleração quando 
 . (b) Calcule a aceleração 
correspondente considerando uma força com módulo igual ao 
item anterior perpendicular à velocidade.R: (p1=2,7x10
-24kg.m/s, 
a1=8,8x10
16m/s2), (p2=5,6x10
-22kg.m/s, a2=7,3x10
15m/s2), 
(p3=1,9x10
-21kg.m/s, a3=1,2x10
16m/s2). 
10) Um elétron desloca-se a uma velocidade tal que poderia 
circunavegar a Terra, no equador, em 1,00 s no referencial da 
Terra. (a) Qual é a sua velocidade em termos da velocidade da 
luz? (b) Qual é a sua energia cinética K? (c) Qual é o erro 
percentual cometido se a energia cinética K for calculada pela 
fórmula clássica?R: (a) 0,134 c; (b) 4,62 keV; (c) 1,36 % 
11) Admite-se que os quasares sejam os núcleos de galáxias ativas 
em estágios primitivos de formação. Um quasar típico irradia 
energia à taxa de 10+41 W. A que taxa estará a massa de um 
quasar sendo reduzida para fornecer esta energia? Expresse sua 
resposta em unidades de massa solar por ano, sabendo que uma 
unidade de massa solar é igual à massa do nossoSol (1 ums = 
2,0 x 10+30 kg). R: 17,5 ums/ano 
12) Qual é o trabalho necessário para aumentar a velocidade de um 
elétron de (a) 0,18c até 0,19c e (b) 0,98c até a 0,99c? Observe 
que o aumento de velocidade (= 0,01c) é o mesmo, nos dois 
casos.R: (a) 996,1 eV; (b) 1,0545 MeV 
 28 
Questões: 
Como testaríamos um referencial proposto para saber se ele é ou 
não um referencial inercial? 
2. A velocidade da luz, no vácuo, é uma verdadeira constante da 
natureza, independente do comprimento de onda da luz e do 
referencial (inercial) escolhido. Há, então, algum sentido em 
afirmar que o segundo postulado de Einstein pode ser encarado 
como parte do conteúdo do primeiro postulado? 
3. Sabemos que, quando dois eventos A e B são vistos por diversos 
observadores, um deles pode dizer que o evento A precedeu o 
evento B, mas um outro pode afirmar que o evento B precedeu o 
evento A. O que você diria a um amigo que lhe perguntasse qual 
dos eventos precedeu realmente o outro? 
4. Dois eventos ocorrem num mesmo lugar e num mesmo instante 
para um certo observador. Para todos os outros observadores os 
mesmos dois eventos também serão simultâneos? Para todos os 
outros observadores, os eventos também ocorrerão no mesmo 
lugar? 
5. Como o conceito de simultaneidade entra na medida do 
comprimento de um corpo? 
6. Partículas de massa nula (como os fótons de luz) que têm a 
velocidade c num certo referencial, podem estar em repouso num 
outro referencial? Estas partículas podem ter uma velocidade 
diferente de c? 
 
 
Livro Texto 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 4, 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 4. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
 29 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 4. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
1.9 Web-bibliografia 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm 
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 2 
Radiação Térmica, o Postulado de 
Planck e as propriedades 
Corpusculares da radiação 
 
RESUMO 
Neste capitulo iniciamos nosso estudo da consagrada teoria quântica. 
De certa forma, a mecânica quântica é o estudo das coisas pequenas, 
tão pequenas que é praticamente impossível que não alterem o 
comportamento daquilo que se quer observar. Nosso objetivo é mostrar 
neste capítulo uma série de observações experimentais incapazes de 
serem explicados à luz da física clássica, e como fenômenos envolvendo 
ondas eletromagnéticas só puderam ser explicados postulando que a 
energia da onda eletromagnética é quantizada, ou seja, a radiação 
apresentando comportamento de partícula, assim evidenciando o seu 
caráter dual. 
 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
UNIDADE 2: Radiação Térmica, o Postulado de Planck e as 
 Propriedades Corpusculares da Radiação 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
2. Radiação Térmica, o Postulado de Planck e as Propriedades 
Corpusculares da Radiação 
2.1 Introdução 26 
2.2 Radiação do corpo negro 26 
2.3 Efeito Fotoelétrico 28 
2.4 Contínuo de Raios - X 29 
2.5 Efeito Compton 31 
2.6 Espectros Atômicos e o Modelo de Bohr 32 
2.8 Problemas Propostos 35 
2.9 Referências bibliográficas 37 
 31 
2.9 Web-bibliografia 37 
 
 
 
 
 
 32 
2.1 – Introdução 
 Como dito por H. M. Nussenzveig (Física Basica V. 4): “A física 
quântica não se parece com nada do que vimos até agora”. É claro que o 
renomado educador e cientista não se referia a uma teoria recente, mas 
temporizava a escalada da construção do conhecimento ao se 
pronunciar acima. A física clássica, que compreende a teoria newtoniana 
da mecânica, a termodinâmica e a teoria de Maxwell do 
eletromagnetismo, descreve com muita precisão fenômenos 
macroscópicos em uma escala familiar e em velocidades ordinárias, 
enquanto a física quântica trata principalmente de fenômenos na escala 
atômica e sub-atômica. Portanto, não esperamos que nossos sentidos 
vislumbrem tais fenômenos e que os conceitos da física clássica sejam 
capazes de explicá-los. 
Ao fim do século dezenove parecia não haver nenhuma questão ou 
fenômeno para o qual a física clássica não pudesse dar uma resposta 
satisfatória. Entretanto, os resultados de um vasto número de 
experimentos envolvendo sistemas tanto microscópicos quanto 
macroscópicos revelaram a incapacidade de uma explicação com base 
na física clássica. Dentre estes resultados podemos enumerar o 
problema da radiação do corpo negro, o efeito fotoelétrico, a 
estabilidade do átomo, etc. Em muitos desses experimentos, os 
resultados explicitamente mostram que a radiação manifesta 
comportamento de partícula e a matéria mostra comportamento de 
onda. 
 Neste capítulo cobriremos os principais resultados de estudos 
em sistemas nos quais a radiação apresenta comportamento de 
partícula. Discutiremos a radiação do corpo negro, efeito fotoelétrico, 
efeito Compton, espectros atômicos e etc. 
 
2.2 Radiação do Corpo Negro 
 A mecânica quântica não nasceu do estudo de átomos ou outros 
sistemas microscópicos. A primeira alusão a esta veio do trabalho de 
Max Planck que estava tentando entender os resultados experimentais 
na radiação do corpo negro, nome dado ao espectro da radiação 
eletromagnética em equilíbrio termodinâmico a uma temperatura T (Fig. 
 33 
2.1), uma situação comumente representada por uma cavidade metálica 
(Fig. 2.2), onde um pequeno orifício permite analisar a radiação dentro 
dela. Corpos negros são ambos absorvedores perfeitos e emissores 
perfeitos de radiação eletromagnética, e encontram suas realizações em 
certas classes de sólidos metálicos. Qualquer radiação que entra na 
cavidade é absorvida depois de sucessivas reflexões. Experimentalmente 
observa-se que o espectro varre um contínuo de freqüências e depende 
somente da temperatura. A figura (2.1) mostra a intensidade da 
radiação do corpo negro (energia por unidade de área por unidade de 
tempo) em função da freqüência e da temperatura. O gráfico 
experimental revela que o máximo da curva está diretamente ligado à 
temperatura, (lei de Wien), e sinaliza que podemos associar a 
cor de um sólido com a sua temperatura T. A baixas temperaturas o 
máximo de intensidade ocorre em freqüências do Infravermelho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a temperatura aumenta, desloca-se para o vermelho. 
Então para na metade do espectro temos a emissão de luz branca. 
No começo do século XX, Rayleigh e Jeans tentaram explicar o espectro 
da radiação do corpo negro usando argumentos clássicos e 
considerando a radiação eletromagnética dentro da cavidade na forma 
de ondas estacionárias com nodos nas paredes da cavidade. Rayleigh e 
Jeans usaram argumentos geométricos para mostrar que o número de 
ondas estacionárias num certo intervalo de freqüências cresce com o 
quadrado da freqüência. A energia média por intervalo de freqüência é 
então dada pelo número de ondas estacionárias multiplicado pela 
energia média de cada onda estacionária neste intervalo, dividida pelo 
volume da cavidade. Considerando que a energia média por grau de 
 
Fig 2.1: Intensidade I(f) em função da 
freqüência f da radiação do corpo negro 
para duas temperaturas. O máximo fmax 
se desloca com a temperatura (T1<T2). 
 
Fig.2.2:Uma cavidade com uma pequena 
abertura é um exemplo de um corpo 
negro. A radiação que entra na cavidade é 
absorvida depois de reflexões. 
 34 
liberdade classicamente é 
 
 
, Rayleigh e Jeans encontraram que a 
intensidade do espectro de radiação do corpo negro seria dado por 
 
 
 
 
I(f) é também conhecida como radiância espectral, ou seja, a energia 
emitida por intervalo de freqüência por unidade de tempo por unidade 
de área do corpo negro. A Figura (2.1) mostra que a equação de Rayleigh 
e Jeans concorda com os resultados experimentais a baixas freqüências 
(linha pontilhada), mas falha completamente a altas freqüências. Esta 
fracassada tentativa em explicar o espectro de radiação do corpo negro 
com base em argumentos da teoria clássica ficou conhecida como a 
“catástrofe do ultravioleta”. 
Exemplo2.1: Para cálculos aproximados, o sol pode ser 
considerado como um corpo negro que emite radiação com uma 
intensidade máxima para . Pede-se determinar: a) a 
temperatura aparente da superfície do sol; b) o poder (ou 
potência) emissivo da superfície do sol; c) a distribuição deste 
poder (ou potência emissiva) pelo espectro 
Solução: 
 
(a) Pela lei de Wien, temos que o produto do comprimento de 
onda de máxima emissão, pela temperatura (em graus 
absolutos) T vale 2897,6 m K. Daí, tiramos diretamente que 
 
(b) O poder emissivo de um corpo negro vale: . No 
caso, utilizando a temperatura calculada no ítem anterior, 
obtemos que Eb = 6,4 x 10
7 W / m2. 
(c) Para estudarmos a distribuição desta energia pelo espectro, 
vamos utilizar a planilha disponível em forma zipada aqui. Para 
fins de comparação, escolheremos as faixas 0 a 2 microns, 0 a 4 
microns e 0 a 5 microns. Aparecem ainda os resultados para a 
 35 
temperatura do sol e uma bastante inferior (500 K) para efeitos de 
comparação. 
 
T(sol) 500 K 
0 a 2 microns 94,1% 0% 
0 a 4 microns 99,1 % 6,7% 
0 a 5 microns 100 % 16,1 % 
 
 No mesmo ano em que Rayleigh e Jeans apresentaram os seus 
estudos encerrados na equação 2.1, Max Planck chegou a uma notável 
fórmula para a intensidade da radiação emitida pelo corpo negro que se 
ajusta perfeitamente aos dados experimentais em todos os intervalos de 
freqüências: 
 
 
 
 
( 
 
 *
 
onde é a constante de Planck. Para obter a Eq. 
(2.2) Planck postulou que: as paredes da cavidade absorvem e emitem 
energia constantemente, e esta emissão e absorção de radiação é 
limitada a “pacotes” de energia. Cada pacote terá energia proporcional 
à sua freqüência, de acordo com a fórmula 
 
Esta relação mostra que a radiação na cavidade é composta de um 
grande número de elementos quantizados de energia , cuja 
designação poderia ser rotulada por índice inteiro ...) Esta 
suposição, que não tinha nenhum análogo na física clássico, foi reescrita 
por Einstein de uma forma mais geral: A radiação eletromagnética é 
composta de quanta, ou unidades indivisíveis idênticas, cada uma 
portando energia , onde f é a freqüência da radiação. Em outras 
palavras, as paredes da cavidade são emissoras e absorvedoras de 
pacotes de energia de radiação porque a radiação somente se manifesta 
 36 
em pacotes. A relação (2.3) expressa a primeira vez que a quantização 
de uma grandeza dinâmica, a energia, surgiu na física. 
 Tratando a coleção de energias quantizadas como um sistema 
estatístico de osciladores harmônicos, podemos ter um entendimento 
mais rápido da natureza da radiação na cavidade. Assim, a uma 
temperatura T, para uma dada quantidade de energia distribuída sobre 
todos os modos de freqüências, a função distribuição de Maxwell – 
Boltzmann determina a probabilidade de que uma dada energia, E, do 
sistema ocorra: . Com isso entendemos o decaimento da curva de 
intensidade para altas freqüências, pois a probabilidade de encontrar o 
sistema com uma energia é muito pequena. 
Embora Planck tenha sido obrigado a ir de encontro à física clássica 
postulando que a energia da radiação do corpo negro é discreta 
somente para explicar o resultado experimental, o mesmo demorou 
muito a se convencer de que a sua hipótese era real. 
 
2.3 – Efeito Fotoelétrico 
Heinrich Hertz foi o primeiro a gerar ondas eletromagnéticas 
artificialmente no ano de 1886, consagrando a teoria de Maxwell do 
eletromagnetismo como uma das mais completas da física clássica. 
Por uma dessas ironias do destino, felizmente, por acaso, Hertz 
descobriria um dos fenômenos que daria início à revolução quântica. 
No curso de suas experiências acerca das ondas eletromagnéticas 
Hertz observou que um eletroscópio negativamente carregado 
poderia ser descarregado incidindo luz ultravioleta neste. A 
observação de Hertz chamou a atenção de J. J. Thomson, que 
concluiu que a radiação ultravioleta 
estimularia a emissão de cargas 
negativas do eletrodo, 
descarregando-o eletricamente. 
Thomson constatou que as partículas 
emitidas eram elétrons e denominou 
os elétrons emitidos dessa maneira 
de fotoelétrons e o fenômeno acima 
descrito é chamado de efeito 
 
Fig. 2.3: Dispositivo 
experimental para o estudo do 
efeito fotoelétrico 
 37 
fotoelétrico. A figura 2.3 mostra esquematicamente um dispositivo 
experimental para o estudo do efeito fotoelétrico. A luz incide na 
placa metálica e, ao ser liberado, é coletado pela placa superior em 
virtude de uma diferença de potencial entre os dois eletrodos. 
Observe que não existe nenhum contato entre a placa metálica e 
placa coletora e o fenômeno se processam em ambiente de vácuo. 
 Embora a descoberta do efeito fotoelétrico tenha parecido 
inicialmente sem importância, este viria a ser o evento crucial que 
abriria as portas para novas idéias que se seguiriam. Afinal de contas 
o que tem de diferente no fenômeno da ejeção de elétrons de uma 
superfície metálica que não podem ser explicado com base na física 
clássica? Para responder a esta pergunta vamos enumerar uma série 
de resultados experimentais advindos do estudo do efeito 
fotoelétrico. A física clássica assinala que um elétron abandone a 
superfície de um metal este precisa receber uma energia mínima 
proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico, que é a 
intensidade da radiação incidente (vetor de Poynting). Essa energia 
mínima é chamada energia de ligação. A energia de ligação de um 
elétron é uma propriedade particular do metal em questão e é 
descrita como uma função trabalho, φ, do metal. Para medir a 
máxima energia cinética que um elétron possui ao abandonar a 
superfície metálica aplicamos uma diferença de potencial que 
desacelere este na sua viagem em direção à placa coletora (Fig. 2.3). 
Assim, um elétron que deixe a placa metálica s com velocidade v0 
somente alcançará a placa coletora se sua energia cinética inicial for 
maior ou igual à energia potencial do elétron na placa coletora 
( 
 
 
 
 . No experimento U cresce até que um valor U0 é 
atingido, onde mais nenhum elétron consegue atingir a placa 
coletora. Assim sendo U0 é uma medida da máxima energia cinética 
que um fotoelétron adquire ao deixar a superfície metálica. 
 Os principais resultados da análise experimental do efeito 
fotoelétrico são: 
1. Para o experimento realizado com luz monocromática, 
isto é, freqüência fixa, f, U0 é independente da intensidade I da 
luz incidente na placa metálica. Este resultado é mostrado na 
Fig. 2.4 
 38figura (2.4), que mostra o gráfico do número de eletros que 
atingem a placa coletora em função da energia U do potencial 
de desaceleração, para duas intensidades diferentes, I1 e I2. 
2. U0 é proporcional a f e, como mostra a Figura 2.5, para uma 
 dada freqüência, fc, nenhum elétron é mais emitido pela 
superfície metálica, independente da intensidade da luz que 
incide sobre esta; fc depende do material metálico. 
3. Fotoelétrons são emitidos instantaneamente quando a luz 
atinge a superfície metálica, mesmo quando a intensidade da luz 
é muito fraca. 
 Vamos ver como a física clássica vê estes fatos experimentais. Dos 
nossos estudos de ondas nós aprendemos que a energia de uma 
onda eletromagnética se distribui sobre todo o espaço ocupado pela 
onda, e que a sua intensidade é proporcional ao quadrado de sua 
amplitude. Assim, o entendimento clássico do efeito fotoelétrico é o 
de que a onda eletromagnética que incide sobre a placa metálica 
provoca a oscilação dos elétrons que se encontram na mesma. Se a 
energia de oscilação deste elétron for maior do que a função 
trabalho φ, este será ejetado com energia cinética , 
onde é a energia liberada pela onda no processo. Desse modo, 
do ponto de vista clássico teríamos o seguinte: 
 Seja qual for a freqüência, f, da onda que incide na placa 
metálica, esta entregará energia suficiente para liberar um 
elétron, se a intensidade da luz é suficientemente alta. Não 
existirá, portanto, uma freqüência de corte, fc, como 
observado experimentalmente. 
 Como a energia transportada por uma onda se distribui por 
todo o espaço, demora algum tempo para que um elétron 
acumule certa energia Ф para ficar livre. Em outras palavras: 
um fotoelétron não seria emitido instantaneamente quando 
a luz atinge uma placa metálica, ao contrário do que se 
observa experimentalmente. 
 Os resultados experimentais observados no efeito fotoelétrico, 
claramente inconsistentes com a física clássica, foram explicados em 
1905 por Albert Einstein. A maneira que Einstein encontrou para 
 
Fig. 2.5 
 39 
 
Fig. 2.6 
explicar este fenômeno foi postular que a energia de onda 
eletromagnética de freqüência f não está distribuída uniformemente 
através do espaço ocupado pela onda mas localizada em pequenos 
pacotes de energia (de agora em diante chamados fótons) e que a 
energia de cada fóton, E, é determinada pela freqüência da onda através 
da equação 
 
 onde h é a constante de Planck. Embora o postulado de Einstein para a 
quantização da energia tenha uma grande similaridade com a hipótese 
de Planck da radiação do corpo negro, este é mais forte porque afirma 
que a quantização é uma propriedade da onda eletromagnética, ao 
invés de estar associada à cargas oscilantes que emitem ondas. 
 Na teoria de Einstein do efeito fotoelétrico, fótons no feixe de 
luz interagem com os elétrons da chapa metálica interagem como 
partículas de energia , ao invés de onda. Aumentar a intensidade 
da luz, nesta visão de partícula, significa aumentar o número de fótons, 
mas não a energia de cada fóton. Quando um fóton interage com um 
elétron da chapa metálica sua energia, , supre a energia Ф da função 
trabalho necessária para ejetar o elétron, e o excesso fica com o elétron 
na forma de energia cinética: 
 
Observe que experimentalmente um fotoelétron com energia cinética 
máxima, Kmax=U0, temos 
 
Diretamente através da Eq. (2.6) podemos explicar partes 
dos resultados experimentais discutidos acima: 
1. Se f é fixa, U0 é definido pela Eq. (2.6) 
independente da intensidade da radiação que incide na 
chapa metálica. 
2. A Eq. (2.6) mostra que quando , os 
fótons não podem entregar energia suficiente para liberar 
um elétron, mas uma ,luz mais intensa é capaz de liberar 
uma quantidade maior de elétrons da superfície metálica.A 
 40 
Fig.2.6 mostra então que define a freqüência 
crítica mínima, abaixo da qual nenhum fotoelétron é 
emitido da superfície metálica. Além disso, o 
comportamento linear observado experimentalmente e 
ilustrado na Fig. 2.6 nos leva a uma maneira de medir tanto 
a constante de Planck, h, como a função trabalho associada 
a um tipo de metal. 
3. O processo de absorção da energia de um fóton e a emissão 
liberação de um fotoelétron ocorre instantaneamente. 
A explicação do efeito fotoelétrico nos revela assim um quadro 
aparentemente contraditório acerca da natureza da radiação 
eletromagnética. Em certas circunstâncias, como no do efeito 
fotoelétrico, a radiação eletromagnética pode se comportar como 
partícula. Esta é uma das manifestações da natureza dual da luz: ora 
podemos tratá-la como onda (na discussão dos fenômenos de 
interferência e difração), ora podemos tratá-la como partícula (como no 
caso do efeito fotoelétrico e radiação do corpo negro). 
Exemplo2.2: O lítio, um dos metais usados por Millikan para 
comprovar a teoria de Einstein do efeito fotoelétrico, tem função 
trabalho . (a) Encontre o limiar fotoelétrico para a 
radiação incidente neste metal. (b) Considere uma fonte de potencia 
 a uma distância de do lítio. Calcule o número de 
fótons por segundo que atingem uma unidade de área da superfície do 
lítio. 
Solução: (a) O limiar de freqüência , ocorre quando ou 
seja, quando . Assim, 
 
 
 
 
 
 , 
que dá um comprimento de onda 
 
 
 
 
 
 , 
que se encontra na região do visível. Qualquer radiação com 
comprimento de onda menor ou igual que este deve estimular a 
emissão de elétrons da superfície do lítio. 
(b) A energia por unidade de área por unidade de tempo que incide 
sobre a superfície do lítio a R=1m de distância proveniente de uma 
fonte de potencia P=1W é a intensidade luminosa, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Se cada fóton tem energia , 
 41 
 
Fig.2.8: Espectro de uma fonte de 
raio X. Linhas discretas são 
superpostas pela linha contínua. 
então o número de fótons que atingem uma unidade de área por 
segundo será 
 
 
 
 
 
 . 
 
2.4 Contínuo de Raios – X 
Numa fonte de raio – X dois eletrodos são colocados em tudo a 
vácuo, como mostrado na Fig2.7 abaixo. O catodo é aquecido até 
que um elétron seja emitido no vácuo(emissão termiônica) em 
virtude da grande energia potencial que estes possuem devido à 
grande diferença de potencial entre os eletrodos. Ao chegar ao 
anodo toda a energia potencial que possuem é convertida em 
energia cinética. A colisão converte parte da energia cinética em 
radiação eletromagnética de alta freqüência, os chamados raios- X, 
em virtude da brusca desaceleração do elétron. A figura 2.8 mostra 
a intensidade em função da freqüência da radiação X emitida, 
revelando duas características: (a) Linhas de emissão com 
freqüências discretas que são características do material alvo, 
decorrem da excitação dos elétrons de seus átomos atingidos. (b) 
Uma emissão contínua cujo perfil é independente do material alvo. 
A freqüência máxima, fmax, observada do espectro contínuo é 
proporcional à energia potencial U, dada aos elétrons que colidem. 
A existência da máxima freqüência exige uma explicação quântica. A 
radiação X de freqüência fmax, corresponde ao caso em que o 
elétron, ao colidir com o anodo, perde toda a sua energia cinética, K 
(=U), fornecendo ao fóton. É um efeito contrário ao efeito 
fotoelétrico.Para determinar a freqüência fmax vamos usar a relação 
de Einstein: , onde obtemos 
 
 
 
 
Esta é outra evidência da teoria quântica. O contínuo da intensidade 
para freqüências menores que a freqüência máxima corresponde ao 
caso em que o elétron perde sua energia U em um número maior de 
colisões no anodo, que produzem fótons de raio - X com freqüências 
menores que a freqüência máxima. 
 
 
 
Fig. 2.7: Esquema de uma fonte de 
raio-x mostrando as energias cinética 
e potencial durante o trajeto do 
elétron de um eletrodo para o outro 
 
 42 
2.5 Efeito Compton 
A mais marcante e convincente manifestação do comportamento 
corpuscular da radiação eletromagnética é o efeito Compton (Arthur 
Holly Compton 1892-1962). Neste caso, ao analisar tal efeito 
explicitamente tratamos o fóton como uma partícula de energia 
e momento que colide elasticamente com um elétron em 
repouso da estrutura cristalina. O tratamento da colisão segue o 
protocolo normal de colisões de partículas, com a diferença de que 
agora a energia do elétron deve ser considerada a energia 
relativística, √ A Figura 2.10 mostra o 
esquema experimental para a produção de tal efeito, onde um 
fóton de raio X 
com comprimento de onda λ atinge um alvo de grafite. O 
comprimento de onda dos fótons de raio – X espalhados são 
medidos por um espectrômetro de raio-X em função do ângulo 
pelo qual eles são espalhados. A intensidade do espectro de raio – X 
em função do comprimento de onda λ revela dois picos, um em λ, o 
comprimento de onda do raio-X incidente, e outro em um 
comprimento de onda λ’ maior, o comprimento de onda do raio-X 
espalhado. Mostra-se (Fig.2.10) experimentalmente que a diferença 
entre os comprimentos de onda associados aos dois picos, 
 , varia com o ângulo θ de acordo com a equação 
 . 
Este deslocamento do comprimento de onda é o que chamamos de 
efeito Compton. Tudo bem! E o que isso tem de anormal, que não é 
previsto pela teoria clássica do eletromagnetismo? O que tem de 
diferente é que a teoria clássica prevê que os elétrons do cristal 
oscilem devido ao campo eletromagnético dos raios – X, e que esta 
oscilação dos elétrons produzam ondas eletromagnéticas com o 
mesmo comprimento de onda do raio X incidente. 
 Vamos agora como podemos explicar o efeito Compton tratando 
o fóton como uma partícula que colide relativisticamente com um 
elétron. Como o fóton é uma partícula de massa de repouso nula 
(m=0), e como pelo postulado de Einstein do efeito 
fotoelétrico, temos que o momento do fóton é 
 
 
 
 
 
 (Eq.1.22) 
 
Fig.2.9: Representação do 
aparato experimental para 
produção do efeito Compton 
 
Fig. 2.10: Intensidade da radiação X 
espalhada vista de dois ângulos de 
observação (a) e (b) 
 
 43 
obtida por meio da Eq. (1.22). No referencial de laboratório 
(Fig.2.11), um fóton com energia e momento 
 
 
, 
colide elasticamente com um elétron em repouso. Depois da colisão 
o fóton viaja com momento 
 
 
 e energia a um ângulo 
θ com a direção de incidência e o elétron terá momento e 
energia a um ângulo φ com a direção de incidência do fóton. 
 A aplicação do princípio da conservação da energia relativística 
nos leva a seguinte equação; 
 
em que é a energia de repouso do elétron, e a energia do 
elétron está ligada ao seu momento através da relação relativística 
 
 
 
O princípio da conservação do momento relativístico leva a seguinte 
equação vetorial: 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
Ilustrado na Figura 2.12. Como ⃗ ⃗ ⃗ , temos 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
 ⃗ ⃗ ⃗ 
que pode ser reescrita como 
 
 (2.12) 
Para fazer uma comparação entre os comprimentos de onda 
incidente, λ, e espalhado, λ’, precisamos eliminar o momento pe e a 
energia Ee nas relações de conservação. Inicialmente notemos que 
da Eq. 2.9 temos 
 
 
onde usamos o fato de que e . Quadrando a 
relação acima temos 
 
 
 
cuja simplificação leva a 
 
 
Igualando as Esq. 2.12 e 2.13 temos 
Usando e p’=h/λ’ temos, finalmente, 
 
 
 
 . 
Esta é a equação do efeito Compton que prevê o deslocamento do 
comprimento de onda do fóton e a sua dependência com o ângulo θ 
na colisão com um elétron. Só fomos capazes de obter tal equação 
 
Fig.2.12: Conservação do 
momento no efeito Compton 
 44 
tratando a onda eletromagnética como partícula na sua interação 
com partículas. 
Exemplo2.4: Fótons de comprimento de onda incidem 
sobre elétrons livres. Ache o comprimento de onda de um fóton 
que é espalhado de um ângulo em relação à direção de 
incidência, e a energia cinética transferida ao elétron. 
Solução: O deslocamento Compton para é 
 . Assim, 
 , que dá . A energia cinética 
transferida é (
 
 
 
 
 
) , 
ou ainda MeV. 
 
 
2.6 Exercícios 
1- Foi mostrado em aula que a energia média de um oscilador é 
calculada utilizando-se a distribuição de Boltzmann. No caso de 
um oscilador clássico, cuja energia pode ser qualquer valor 
positivo, o valor médio para a energia é dado pela expressão: 
dEe
dEEe
E
kTE
kTE







0
0 . (A) 
Em seu trabalho sobre radiação de cavidade, Planck se viu 
forçado a admitir que um oscilador vibrando com freqüência 

 
apresenta um espectro discreto de energia, ou seja, que a 
energia de um oscilador só pode assumir certos valores positivos 
bem definido. Planck argumentou que esses valores deveriam 
ser um múltiplo inteiro de certo valor mínimo, 

: 
nE 
, com 
,...2,1,0n
 
Assim, o valor médio da energia deve ser calculado de maneira 
equivalente àquela mostrada anteriormente, mas substituindo 
as integrais por somatórios: 
 45 









0
0
n
kTn
n
kTn
e
en
E





. (B) 
Mostre que o cálculo de (A) conduz a 
kTE 
 (levando a lei 
de Rayleigh-Jeans) e que o cálculo de (B) conduz a 
1

 kT
e
E


. Conforme mostrado por Planck, esse último 
resultado leva a distribuição correta para a intensidade 
 I
 
para a radiação emitida por uma cavidade aquecida se fizermos 
 h
, com 
3410626,6 h
J.s. 
 
2- Mostre que a densidade de energia por unidade de freqüência
 
 obtida por Planck em seu trabalho sobre radiação de 
cavidade torna-se a lei de Rayleigh-Jeans na região de 
frequências baixas. (Dica: expandir a função exponencial em 
série de Taylor até a primeira ordem). 
 
3- Em aula argumentamos que a intensidade (também chamada de 
radiância epectral) da radiação de freqüência 

 emitida por 
uma cavidade, 
 I
, é proporcional à densidade de radiação de 
mesma freqüência no interior da cavidade, 
 
. Pode-se 
mostrar que as duas grandezas se relacionam da seguinte 
maneira: 
   
4
c
I 
, 
em que c é a velocidade da luz. A intensidade total (ou radiância 
total) IT emitida pela cavidade é a soma das intensidades 
emitidas em cada freqüência 

, ou seja, 
  dIIT 


0
. 
Utilizando a densidade
 
 obtida por Planck a partir da 
hipótese da discretização (ou quantização) da energia, mostre 
que 
4TIT 
, em que T é a temperatura absoluta do forno 
(cavidade) e 

 é a chamada constante de Stefan-Boltzmann e 
tem o valor 
428 /1067,5 KmW
. Obtenha também um valor 
numérico para a constante de Planck a partir da constante de 
Stafan-Boltzmann. (Dica: utilize a integral tabelada 
 46 
151
4
0
3 



dx
e
x
x
 ). Obs.: a proporcionalidade entre intensidade 
total e a quarta potência da temperatura, bem como o valor 
numérico da constante de Stafan-Boltzmann já eram bem 
conhecidos antes dos trabalhos de Planck, mas apenas após 
esses trabalhos é que se pôde justificar teoricamente esses 
resultados. 
 
4- Mostre que a freqüência correspondendo ao máximo de 
intensidade emitida por um forno é proporcional à temperatura 
absoluta do forno, ou seja, que 
Tmáx 
. 
Essa lei é conhecida como lei do deslocamento de Wien. 
 
5- A mecânica quântica é um instrumento muito útil na explicação 
das propriedades dos sólidos. Um exemplo disso é a sua 
aplicação na explicação da capacidade calorífica dos sólidos a 
baixas temperaturas. Einstein propôs um modelo para o 
comportamento da capacidade calorífica admitindo que todos 
os osciladores (átomos) nas paredes de um sólido em uma 
temperatura T pudessem vibrar apenas em uma determinada 
freqüência característica do sólido, 
E
, e que a energia média 
dessas oscilações fosse dada pala expressão encontrada por 
Planck, 
1

kT
h
E
E
e
h
E


. 
Para um sistema composto de N osciladores, a energia interna é 
dada por 
ENU 3
. 
Partindo da definição da capacidade calorífica a volume 
constante, 
NS
V
T
U
C
,









, 
dê a expressão específica da capacidade calorífica para esse 
modelo. 
 
 47 
6- O que é o efeito fotoelétrico? A respeito desse efeito, discorra 
sobre as discrepâncias entre previsões teóricas e observações 
experimentais, mostrando como Einstein resolveu o problema. 
 
7- O comprimento de onda correspondente ao limiar para que 
ocorra o efeito fotoelétrico no alumínio é de 2954 A . (a) Qual é 
a função de trabalho do Al (em eV)? (b) Qual é a energia cinética 
máxima dos elétrons ejetados do Al por luz ultravioleta de 
comprimento de onda de 1500 A ? 
 
8- O limite absoluto para a percepção da luz de 510 nm, para o 
olho humano adaptado ao escuro, foi medido como sendo igual 
a 3,5.1017 J na superfície da córnea. A quantos fótons 
corresponde esse limite? 
 
 
9. Há alguma incompatibilidade entre o fato da intensidade de 
uma onda eletromagnética plana e monocromática ser 
independente da freqüência, e a energia do fóton depender da 
freqüência? Justifique. 
 
10. (a) Faça esboços esquemáticos da representação da intensidade 
da energia eletromagnética numa frente de onda plana, 
segundo o eletromagnetismo clássico, e segundo a descrição 
fotônica de Einstein. (b) Explique a partir destes esboços a 
compatibilidade entre eles e a observação experimental. 
 
11. Uma rádio FM de freqüência 107,7MHz emite um sinal de 
50.000W. Quantos fótons por segundo são emitidos por esta 
rádio? 
 
12. Quantos fótons por segundo são emitidos pelas seguintes fontes 
de radiação eletromagnética que tem uma potência de 150W: 
a) estação de rádio de 11.000Hz: 
b) raios X de 8nm; 
c) raios gama de 4MeV. 
 
13. Por que mesmo para radiação incidente monocromática os 
fotoelétrons são emitidos com velocidades diferentes? 
 
14. O olho humano é sensível a um pulso de luz que contenha no 
mínimo da ordem de 100 fótons. Para a luz amarela, que tem 
 48 
comprimento de onda de 5.800angstrons, quanto de energia 
existe neste pulso? 
 
15. O olho humano deteta luz, ou seja, ondas eletromagnéticas de 
comprimentos de onda entre 4000 e 7000 angstrons. Quais são 
os limites de freqüência e energia dos fótons que o olho 
humano deteta? 
 
16. Por que as medidas fotoelétricas são muito sensíveis à natureza 
da superfície do metal? 
 
17. A existência de uma freqüência limiar para que ocorra o efeito 
fotoelétrico é freqüentemente citada como a mais forte 
indicação da teoria corpuscular da radiação. Justifique. 
 
18. Na figura abaixo, por que a corrente fotoelétrica não sobe 
verticalmente até seu valor máximo (de saturação) quando a 
diferença de potencial aplicada é ligeiramente mais positiva do 
que –V0? 
 
 
19. Numa experiência fotoelétrica na qual se usa luz monocromática 
e um fotocatodo de sódio, encontra-se um potencial de corte de 
1,85V para 3000Å, e de 0,82V para 4000Å. A partir destas 
informações determine: 
a) O valor da constante de Planck. 
b) A função trabalho do sódio em elétron-volt. 
c) O comprimento de onda limite para o sódio. 
d) Diga o significado físico da função trabalho e do comprimento de 
onda limite, explicitando se este é um limite superior ou inferior. 
 
20. Uma fonte puntiforme e monocromática de comprimento de 
onda 5000Å emite isotropicamente 125J.s-1. A fonte é colocada a 
1m de uma placa quadrada de potássio de 5cm de lado, de 
forma que a radiação incide normalmente à superfície da placa. 
A função trabalho do potássio é de 2,0eV. 
a) Quais os valores de energia cinética dos elétrons emitidos pelo 
potássio? Justifique. 
 49 
b) Determine o potencial de freamento do potássio e diga o que ele 
significa. 
c) Determine a energia média que a placa de potássio recebe por 
unidade de tempo. 
d) Determine o número médio de fótons que a placa recebe por 
segundo. 
 
21. O potencial de corte para elétrons emitidos por uma superfície 
atingida por luz de comprimento de onda =4910Å é 0,71V. 
Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente, 
encontra-se para este potencial um valor de 1,43V. Qual é o 
novo comprimento de onda? 
 
22. O que você entende por efeito Compton? Você pode observar o 
efeito Compton com a luz visível? Por que? 
 
23. Por que no efeito fotoelétrico se leva em conta o fato do elétron 
do metal ter uma energia de ligação, enquanto no efeito 
Compton se diz que o elétron é livre? Justifique com clareza e 
concisão. 
 
24. *No efeito Compton, para que ângulo de espalhamento  
(0<) a variação do comprimento de onda é máxima? Nestas 
condições, mostre que a energia cinética com que o elétron 
recua é dada por: 
 
2
)(
2
0
2
max
cm
h
h
K



 
25. (a) Mostre que um elétron livre não pode absorver um fóton e 
durante esse processo conservar simultaneamente a energia e a 
quantidade de movimento (momento linear). Portanto, o efeito 
fotoelétrico impõe a existência de um elétron ligado. (b) Por 
outro lado, no efeito Compton pode-se ter um elétron livre. 
Explique. 
 
26. No espalhamento de um feixe de raios X por um material, o 
espectro (intensidade de radiação versus freqüência) 
observado num dado ângulo, mostra dois picos. Um dos picos 
tem a mesma freqüência que o feixe incidente, o outro tem 
freqüência diferente do feixe incidente. 
a) A freqüência diferente da incidente é maior ou menor? 
Justifique. 
b) É necessária a idéia fotônica para descrever o processo físico 
que ocorre no espalhamento que gera o pico de mesma 
freqüência? E o de freqüência diferente? Justifique. 
 50 
c) Se no item b) sua resposta foi negativa em algum caso, descreva 
o processo físico sem a idéia fotônica. 
d) Você pode explicar o processo físico que gera o pico de mesma 
freqüência sem utilizar a idéia fotônica? E o de freqüência 
diferente? 
e) Nos casos que sua resposta for positiva ao item d), descreva o