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figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Equação de Schrödinger Augusto Freitas1 1CLF IFS - 2020.2 26 de março de 2021 1 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações 1 Equação de Schrödinger 2 Equação de Schrödinger independente do tempo 3 Propriedades das autofunções 4 Aplicações Part́ıcula em uma caixa “Caixa unidimensional” Caixa tridimensional Potencial degrau 2 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Sumário 1 Equação de Schrödinger 2 Equação de Schrödinger independente do tempo 3 Propriedades das autofunções 4 Aplicações Part́ıcula em uma caixa “Caixa unidimensional” Caixa tridimensional Potencial degrau 3 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Definição − ~ 2 2m ∇2Ψ(r , t) + V (r)Ψ(r , t) = i~∂Ψ(r , t) ∂t . (1) 4 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Separação de variáveis Ψ(r , t) = ψ(r)φ(t). (2) − ~ 2 2m φ(t)∇2ψ(r) + V (r)ψ(r)φ(t) = i~ψ(r)dφ(t) dt , (3) − ~ 2 2m 1 ψ(r) ∇2ψ(r) + V (r) = i~ 1 φ(t) dφ(t) dt . (4) 5 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Separação de variáveis − ~ 2 2m 1 ψ(r) ∇2ψ(r) + V (r) = E , (5) i~ 1 φ(t) dφ(t) dt = E . (6) − ~ 2 2m ∇2ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r), (7) 1 φ(t) dφ(t) dt = −i E ~ . (8) 6 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Solução em t φ(t) = e−i E ~ t . (9) Solução geral: Ψ(r , t) = ψ(r)e−i E ~ t . (10) 7 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Sumário 1 Equação de Schrödinger 2 Equação de Schrödinger independente do tempo 3 Propriedades das autofunções 4 Aplicações Part́ıcula em uma caixa “Caixa unidimensional” Caixa tridimensional Potencial degrau 8 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Equação de Schrödinger independente do tempo − ~ 2 2m ∇2ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r). (11) Solução depende do V (r). 9 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Equação de Schrödinger independente do tempo unidimensional − ~ 2 2m d2ψ(x) dx2 + V (x)ψ(x) = Eψ(x), (12) d2ψ(x) dx2 + 2m ~2 [ E − V (x) ] ψ(x) = 0. (13) 10 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Equação de Schrödinger independente do tempo unidimensional i E < V (x): soluções hiperbólicas. d2ψ(x) dx2 − 2m ~2 [ V (x)− E ] ψ(x) = 0, (14) d2ψ(x) dx2 − k2ψ(x) = 0, (15) com k2 = 2m~2 [ V (x)− E ] . A solução é1: ψ(x) = Cekx + De−kx . (16) 1Para V (x) = V0 = constante 11 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Equação de Schrödinger independente do tempo unidimensional ii E > V (x): soluções oscilatórias. d2ψ(x) dx2 + 2m ~2 [ E − V (x) ] ψ(x) = 0, (17) d2ψ(x) dx2 + k2ψ(x) = 0, (18) com k2 = 2m~2 [ E − V (x) ] . A solução é2: ψ(x) = Ae ikx + Be−ikx . (19) 2Para V (x) = V0 = constante 12 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Sumário 1 Equação de Schrödinger 2 Equação de Schrödinger independente do tempo 3 Propriedades das autofunções 4 Aplicações Part́ıcula em uma caixa “Caixa unidimensional” Caixa tridimensional Potencial degrau 13 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Propriedades das autofunções ψ(x) e dψdx devem ser finitas; ψ(x) e dψdx devem ser uńıvocas; ψ(x) e dψdx devem ser cont́ınuas. 14 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Sumário 1 Equação de Schrödinger 2 Equação de Schrödinger independente do tempo 3 Propriedades das autofunções 4 Aplicações Part́ıcula em uma caixa “Caixa unidimensional” Caixa tridimensional Potencial degrau 15 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau “Caixa unidimensional” 16 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau “Caixa unidimensional” d2ψ(x) dx2 + k2ψ(x) = 0, (20) em que k2 = 2m~2 E . ψ(x) = Ae ikx + Be−ikx , (21) ψ(x) = A sin kx + B cos kx . (22) 17 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau “Caixa unidimensional”: condições de contorno ψ(0) = 0 → B = 0, (23) ψ(a) = 0 → A sin ka = 0 → ka = nπ → k = nπ a (24) n = 1, 2, · · · . 18 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau “Caixa unidimensional”: solução ψn(x) = An sin ( nπ a x ) , (25) ψ(x) = ∞∑ n=1 An sin ( nπ a x ) . (26) 19 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau “Caixa unidimensional”: quantização da energia k = nπ a , n = 1, 2, · · · , (27) √ 2mE ~ = nπ a , (28) E = π2~2 2ma2 n2, n = 1, 2, · · · . (29) 20 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Caixa tridimensional 21 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Caixa tridimensional: soluções ψx(x) = ∞∑ nx=1 Anx sin ( nxπ a x ) , (30) ψy (y) = ∞∑ ny=1 Any sin ( nyπ a y ) , (31) ψz(z) = ∞∑ nz=1 Anz sin ( nzπ a z ) . (32) 22 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Caixa tridimensional: quantização da energia E = π2~2 2ma2 (n2x + n 2 y + n 2 z), ni = 1, 2, · · · . (33) 23 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Potencial degrau 24 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Potencial degrau: região I, V = 0 d2ψI (x) dx2 + k2IψI (x) = 0, (34) com k2I = 2m ~2 E . ψI (x) = Ae ikI x + Be−ikI x . (35) 25 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Potencial degrau: região II, V = V0 a E < V0. d2ψII (x) dx2 − k2IIψII (x) = 0, (36) com k2II = 2m ~2 [ V0 − E ] . ψII (x) = Ce kII x + De−kII x . (37) 26 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Potencial degrau: região II, V = V0 b E > V0. d2ψII (x) dx2 + k2IIψII (x) = 0, (38) com k2II = 2m ~2 [ E − V0 ] . ψ(x) = Ce ikII x + De−ikII x . (39) 27 / 28 figs/ifs.png Sumário Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Part́ıcula em uma caixa Potencial degrau Potencial degrau: condições de contorno ψI (x = 0) = ψII (x = 0), (40) dψI dx ∣∣∣∣∣ x=0 = dψII dx ∣∣∣∣∣ x=0 (41) 28 / 28 Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger independente do tempo Propriedades das autofunções Aplicações Partícula em uma caixa Potencial degrau
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