CURSO DE NIVELAMENTO - MATEMÁTICA - ETAPA 2

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Conteúdo - Curso de Nivelamento - 
Matemática - Etapa 2 
 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Números racionais são os que podem ser escritos na 
forma fracionária, na forma decimal ou percentual. Como 
por exemplo , 0,5 ou 50%. 
 
Iniciaremos os estudos na forma fracionária. 
Números Fracionários são todos os números resultantes da divisão de dois 
números inteiros. Como 0, 1, -2, -27,35, , ..., podemos observar que o 
conjunto dos números racionais contêm os números inteiros. 
Analisando a figura a seguir, ela foi dividida em 8 partes iguais, dizemos que 
ela representa um inteiro. Das 8 partes iguais, três foram pintadas. A 
representação na forma fracionária é . 
Na representação da fração , temos que o número 3 representa o 
numerador, o número 8 o denominador, e o traço de fração (divisão). Eles são 
chamados de termos da fração. 
Transformação de fração em número misto e vice-versa 
Transformação de fração em número misto 
 
 = 
 
 1ª maneira 
 
Observe a representação gráfica anterior, o número de vezes em que o todo 
está dividido é representado pelo denominador, por este motivo, mesmo na 
forma de número misto, o denominador não se altera. 
2ª maneira 
 
 
NOTA 
Fazendo a leitura da divisão: o quociente é o número inteiro que a fração 
representa, o divisor continua sendo o denominador e o resto é o numerador. 
Então: 
Transformação de número misto em fração 
 
 
 
 
 
 
 
1ª maneira 
 
 
 
2ª maneira 
 
 
 
ATENÇÃO 
Observe que foi efetuada a operação inversa da divisão do caso anterior, pois 
antes se dividia denominador por numerador e encontrava-se a forma do 
número misto. Agora multiplicamos a parte inteira pelo denominador e 
somamos com o numerador; lembrando que o denominador não se altera, pois 
ele continua dividindo o todo em partes iguais. 
Novamente observe que o denominador não se altera, pois a quantidade de 
partes em que o todo está dividido é a mesma. 
 
Frações Equivalentes 
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor em relação a uma fração 
para a outra, só que representada de forma equivalente (igual, mesmo valor). 
 Exemplo: 
, essas frações são frações equivalentes, pois todas equivalem à 
metade. 
Vejamos isso em uma representação gráfica, cada parte representa uma parte 
de um todo. 
 
Assim: 
 
Para podermos entender um pouco melhor essa situação, vamos conhecer a 
simplificação de fração. 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO 
Simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador por um mesmo 
número natural, diferente de zero e de um, tornando essa fração mais simples. 
A fração estará na sua forma mais simples quando não é mais possível dividi-
la, deixando-a em sua forma irredutível. 
Exemplo: 
(a) 
 
(b) , a fração não pode ser simplificada, pois não existe um mesmo 
número que divida o 4 e o 7 simultaneamente. Sendo assim, é uma 
fração irredutível. 
 
 
 
 
NÚMERO RACIONAL (Q) 
Número Racional é todo número que pode ser representado por uma fração 
com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero (não 
existe divisão por zero). 
 
NOTA 
O símbolo dos números racionais Q vem da inicial da palavra quociente, que 
significa razão ou fração. 
Exemplo : 
3 é um número racional, pois 3 = 
-12,75 é um número racional, pois -12,75 = , etc 
Todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal, por 
meio de uma decimal exata ou de uma dizima periódica. 
 Exemplo: 
 
 O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
 
NOTA - LEMBRANDO 
O conjunto formado pelos números racionais é indicado pela letra Q: 
 
Então, para ser um número racional, deve ser um valor de x tal que x seja igual 
a uma fração com numerador e denominador inteiro e que o denominador seja 
diferente de zero. 
 
A Relação entre os conjuntos dos números. 
Observe através do diagrama a relação entre conjuntos 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, indica o conjunto dos números naturais; 
 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, indica o conjunto dos números inteiros; 
 
Q = , indica o conjunto dos números racionais. 
 
 NOTA - ATENÇÃO 
Com isso podemos dizer que todo número natural é também um número inteiro 
e todo número inteiro é um número racional, ou ainda, que N está contido 
em Z e que N e Zestão contidos em Q. 
 
COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS 
Comparar dois números racionais significa dizer se o primeiro é maior (>), 
menor ( 
Exemplo: 
, pois todo número negativo é menor que um número positivo. 
 , pois 0 é maior do que qualquer número negativo. 
, pois quanto mais próximo do 0 maior será o número negativo. 
 
A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA RETA NÚMERICA 
Como todo número racional pode ser representado na sua forma decimal existe 
uma relação de ordem em Q e, portanto, podemos localizá-lo na reta real. 
Lembrando que primeiramente precisamos localizar o ponto de origem na reta 
e, como acabamos de ver, os números inteiros estão dentro do conjunto dos 
números racionais. 
 
 
Depois de marcados os números inteiros na reta, podemos localizar os 
números racionais. 
Exemplo: 
(a) é um número racional entre 0 e 1, pois = 0,75 
 
(b) -0,27 é um número racional entre – 1 e 0, pois – 0,27 = 
 
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL 
Já estudamos módulo nos números inteiros. Só para relembrar: módulo é a 
distância do ponto que representa esse número até a origem. 
Exemplo: 
 
A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada por que é de 
 da unidade. 
A distancia do ponto B até a origem 0 (zero) é representada por que é de 
 da unidade. 
Então: 
 é um número racional, pois 
 é um número racional, pois 
 
NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
Nesse mesmo exemplo, podemos identificar também os números opostos ou 
simétricos, que são representados por dois pontos que estão à mesma 
distância da origem. 
INVERSO DE UM NÚMERO RACIONAL 
De todos os números racionais, o único que não tem inverso é o zero. 
 
Exemplo: 
, o inverso de . 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
A adição de números inteiros pode ser realizada pela redução das frações ao 
mesmo denominador positivo e pela soma dos numeradores, conservando o 
denominador. 
Exemplo: 
 
No entanto, se observarmos a fração , é uma fração equivalente a , ou seja, 
a primeira fração foi multiplicada por 2, por esse processo chegamos num 
mesmo denominador e, então, podemos fazer as soma dos numeradores, 
conservando o denominador. 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
COMUTATIVA 
Numa adição de números racionais, a ordem das parcelas não altera seu 
resultado. 
 
Exemplo: 
 ou 
 
 
ASSOCIATIVA 
Na adição de mais de dois números racionais, não importa a ordem em que 
forem feitas as adições, pois podemos agrupar valores e chegarmos aos 
mesmos resultados. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTO NEUTRO 
Qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta nele mesmo. 
 
 
 
OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
Qualquer número racional somado a seu oposto resulta em zero. 
Exemplo: 
 
 
 SUBTRAÇÃO 
A subtração dos números racionais pode ser realizada somando o primeiro 
número com o oposto do segundo, desse modo resolvemos pelo mesmo 
método da adição. 
Exemplo: 
 
Operações de números racionais com decimais 
Para realizarmos este tipo de operação, podemos optar entre duas formas de 
resolução: 
 
 
1ª maneira 
Transformar todos os valores em fraçãoExemplo: 
 
 
NOTA - LEMBRANDO 
Utiliza-se a simplificação de frações para tornar as operações mais fáceis. 
 
2ª maneira 
Transformar todos os valores em decimal (usamos a regra do arredondamento 
no caso dos números decimais). 
Exemplo: 
 
Observe: 
 
NOTA - LEMBRANDO 
Toda fração é uma divisão, então transformar uma fração em número decimal é 
dividir o seu numerador pelo seu denominador. 
 
MULTIPLICAÇÃO 
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos os numeradores e os 
denominadores da seguinte forma. Numerador multiplica numerador e 
denominador multiplica denominador. 
Exemplo: 
 
 
 
Para multiplicação de números racionais na forma decimal, basta multiplicar 
seus valores absolutos. 
Exemplo: 
(-0,876).(-0,87) = +0,76212 ou (0,87) . (0,876) = + 0,76212 
 
(0,876).(-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87).(+0,876) = - 0,76212 
 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO 
 
COMUTATIVA 
Na multiplicação de números racionais, a ordem dos fatores não altera o 
produto. 
Exemplo: 
(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = - 
0,76212 
 
ASSOCIATIVA 
Na multiplicação de números racionais com mais de dois fatores, não importa a 
ordem em que efetuamos as multiplicações. 
Exemplo: 
 
 
DISTRIBUTIVA 
O produto de um número racional por uma soma de racionais é igual à soma 
dos produtos resultantes da multiplicação entre o primeiro racional e cada uma 
das parcelas. 
Exemplo: 
 
 
ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO 
Como vimos na adição, o elemento neutro é o zero. Já na multiplicação, o 
elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta 
nele mesmo. 
Exemplo: 
 ou 35 . 1 = 35 
 
Veja a pura álgebra desta propriedade: 
 
 
INVERSO 
Todo número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1. 
Exemplo: 
, para cada fração pertencente aos números inteiros, 
representamos seu inverso por 
 
DIVISÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Na divisão de fração, trabalhamos com a multiplicação inversa. Você deve 
estar se perguntando: se é uma divisão, como vou resolver uma multiplicação? 
 
NOTA - IMPORTANTE 
 Através da multiplicação de fração, multiplicamos o numerador pelo 
numerador. Assim, obtemos o produto do numerador e, multiplicando 
denominador pelo denominador, obtemos o produto do denominador, ou seja, a 
segunda fração deve ser invertida, veja os exemplos a seguir: 
Exemplo: 
 
 
 
 
POTENCIAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Para elevarmos uma fração a um expoente, basta elevarmos o numerador e 
denominador a esse expoente. 
Exemplo: 
 
 
RADICIAÇÃO 
NOTA 
A palavra Radical vem do latim radix, que significa raiz. O símbolo de 
radical foi introduzido em 1525, por Christoff Rudolff. 
Raiz enésima de um número. 
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima desse número será 
representada da seguinte maneira: 
 
Quando o índice for par. 
Exemplo: 
 
 
 
A raiz quadrada dos números negativos não existe no conjunto dos números 
racionais. Isto também se estende a todas as raízes pares. Assim, qualquer 
número elevado ao quadrado resulta em um número positivo. 
 
NOTA - ATENÇÃO 
Exemplo: 
 
 é o oposto de e não existe para índices pares no 
conjunto dos números Q! 
Quando o índice for ímpar. 
Exemplo: 
, pois 3.3.3 = 3³ = 27 
= 2, pois 2.2.2.2.2.2.2 = 27 = 128 
= -3, pois, (-3).(-3).(-3) = (-3)3 = - 27 
= – 2 , pois (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = (-2)7 = - 128 
Qualquer raiz de índice impar com radicando positivo ou negativo existe. 
 
RAIZ COM ÍNDICE NATURAL E ZERO NO RADICANDO 
Para raízes com o radicando zero e qualquer índice, o resultado sempre será 
zero. 
Exemplo: 
, pois 0 . 0 = 0 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL 
Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forma de radical e 
todo radical pode ser escrito na forma de uma potência com expoente 
fracionário. 
Exemplo: 
 
 
 
 NOTA - LEMBRANDO 
Os números inteiros também são racionais, por isso as propriedades estudadas 
para expoentes inteiros devem ser preservadas quando se amplia o campo do 
expoente para os racionais. 
Exemplo: 
 
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS COM EXPOENTE FRACIONÁRIO 
Multiplicação de potências de mesma base; conserva a base e soma os 
expoentes. 
Exemplo: 
 
Divisão de potências de mesma base; conserva a base e subtrai os expoentes. 
Exemplo: 
 
 
Potência de potência 
Exemplo: 
 
 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
No conjunto dos números reais existem expressões que apresentam um radical 
no denominador, nesse caso precisamos racionalizar os denominadores. Para 
racionalizar, precisamos transformar o denominador em um denominador 
racional, mantendo o valor da expressão. Lembre que uma expressão em 
forma de fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador 
e o denominador pelo mesmo número, diferente de zero. 
 
 
Exemplo: 
(a) 
 
(b) 
 
Potência de um produto 
Exemplo: 
 
 
REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE 
Reduzir ao mesmo índice significa atribuir dois radicais, de mesmo índice, de 
tal forma que o primeiro seja equivalente ao segundo. 
Exemplo: 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
 
1ª Propriedade 
Se um radical tem o índice igual ao expoente do radicando, seu valor é igual à 
base do radicando. 
Exemplos: 
 
 
Não se esqueça, porém, das condições impostas à existência dos radicais 
envolvidos. 
Exemplo: 
 não é igual a , ou seja, = 1 pois 
 
2ª Propriedade 
O valor do radical não se altera quando multiplicamos ou dividimos o índice e o 
expoente do radicando pelo mesmo número. 
Exemplos: 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
3ª Propriedade 
Um radical que tem um produto no radicando pode ser decomposto em um 
produto de radicais de mesmo índice, com cada fator do primeiro produto em 
um radical. 
Exemplo: 
 
 
 
 
4ª Propriedade 
Se um radical tem um quociente em seu radicando, ele pode ser decomposto 
em um quociente de dois radicais com o mesmo índice. 
Exemplo: 
 
 
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
Simplificando radicais 
Se o valor do radicando tiver o expoente igual ao valor do índice do radical, 
esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores 
externos. 
Exemplo: 
 
 
Lembrando também que um fator externo pode ser introduzido como fator no 
radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do 
radical. 
Exemplo: 
 
 
Adição e Subtração 
Na adição e subtração de radicais, só podemos escrever o resultado num só 
radical se os termos forem semelhantes, pois, então, podemos usar a 
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. 
Exemplo: 
 
 
 
Multiplicação e Divisão 
Exemplo: 
Se os índices forem iguais, basta usar a 3ª e a 4ª propriedades. 
 
 
Se os índices forem diferentes, devemos inicialmente reduzir os radicais ao 
mesmo índice para depois resolver. 
 
 
RESUMO DO TÓPICO 
 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Número Racional é todo número que pode ser representado por uma fração 
com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero (não 
existe divisão por zero). 
 
Frações Equivalentes 
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor em relação a uma fração, 
só que representada de forma equivalente (igual, mesmo valor). 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO 
Simplificaruma fração é poder dividir o numerador e o denominador por um 
mesmo número natural, diferente de zero e de um, tornando-a na sua forma 
irredutível. 
 
COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS 
Comparar dois números racionais significa dizer se o primeiro é maior do que 
(>), menor do que (ou igual (=) ao segundo. 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
A adição de números inteiros pode ser realizada pela redução das frações ao 
mesmo denominador positivo e pela soma dos numeradores, conservando o 
denominador. 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
Comutativa: a ordem das parcelas não altera seu resultado. 
Associativa: não importa a ordem em que forem feitas as adições, pois 
podemos agrupar valores e chegarmos aos mesmos resultados. 
Elemento Neutro: qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta nele 
mesmo. 
Oposto ou Simétrico: qualquer número racional somado a seu oposto resulta 
em zero. 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos os numeradores e os 
denominadores da seguinte forma: numerador multiplica numerador e 
denominador multiplica denominador. 
 
 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO 
Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. 
Associativa: não importa a ordem em que efetuamos as multiplicações. 
Distributiva: o produto pela soma dos racionais é igual à soma dos produtos 
resultantes da multiplicação entre o primeiro racional e cada uma das parcelas. 
Elemento Neutro: na multiplicação o elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer 
número multiplicado por 1 resulta nele mesmo. 
Inverso: Todo número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1. 
 
RADICIAÇÃO 
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima desse número será 
representada da seguinte maneira: 
 
 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
Para racionalizar, precisamos transformar o denominador em um denominador 
racional, mantendo o valor da expressão. 
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
Simplificando radicais: quando o valor do radicando tiver o expoente igual ao 
valor do índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e 
escritos como fatores externos. 
Adição e Subtração: só podemos escrever o resultado num só radical se os 
termos forem semelhantes. 
 
AUTOATIVIDADES 
 
1. Quando x = – 5 e y = 4, a expressão , qual seu valor numérico: 
a) Seu valor será 
b) Seu valor será 
c) Seu valor será 
d) Seu valor será 3 
 
2. São dadas as igualdades: 
I. 
II. 
III. 
IV. 
De acordo com as igualdades é correto afirmar que: 
a) Todas as igualdades são verdadeiras. 
b) Somente as igualdades I, II, IV são verdadeiras. 
c) Somente a igualdade II é verdadeira. 
d) Somente as igualdades I,II são verdadeiras. 
 
3. O resultado de é: 
a) 0 
b) 
c) 
d) 2 
 
 
4. Simplificando o Radical obtém-se: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
5. Racionalizando o denominador de , o resultado será: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
6. Se você dividir , obterá: 
a) 
b) 
c) 
d) 3 
 
7. O número racional – 2,7 pode ser escrito na forma de fração, assinale a 
opção correta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
8. O número racional fica entre quais os inteiros consecutivos? 
a) Entre os consecutivos – 4 e – 3. 
b) Entre os consecutivos – 4 e – 5. 
c) Entre os consecutivos 4 e 3. 
d) Entre os consecutivos 4 e 5. 
9. A expressão numérica , pode ser simplificada, assinale a 
sentença verdadeira: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
10. Determine o radical correspondente à potência , assinalando a opção 
correta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1 - d 
2 - c 
3 - d 
4 - d 
5 - d 
6 - a 
7 - d 
8 - b 
9 - a 
10 - a