CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, POTÊNCIA E RADICAIS

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TEORIA DOS CONUNTOS 
 
Símbolos 
∈ : Pertence 
∉ : Não pertence 
⊂ : Está contido 
⊄: Não está contido 
⊃ : Contém 
/ : Tal que 
→: Implica 
↔ : Se, e somente se 
∃ : Existe 
∀ : Para todo 
∅ ou { } :Conjunto vazio 
A ∩ B: A interseção com B 
A ∪ B: A união com B 
A – B: Diferença de A e B 
a < b: a é menor que b 
a > b: a é maior que b 
a ≤ b: a é menor que ou igual a 
b 
a ≥ b: a é maior que ou igual a b 
≠: Diferente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTOS NÚMÉRICOS 
 Números Naturais (N) 
 
Todos os números inteiros positivos pertencem ao conjunto dos naturais, 
inclusive o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula: N = {0,1, 
2, 3, ...} 
 Números Inteiros(Z) 
Os números inteiros são todos os números naturais e também os seus opostos. 
Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. 
O conjunto de todos os inteiros é representado por Z. Observe: Z = {... ,-3, -2, 
-1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 Números Racionais (Q) 
Os números racionais são aqueles que podem ser representado por uma ração 
entre dois números inteiros. O conjunto dos números racionais é representado 
por Q, pode ser assim definido: 
Q = { a/b; a,b ∈ Z, b ≠ 0} 
Observação: 
Há quarto forma de representar os números racionais: frações (própria ou 
imprópria), número misto (que é uma variação das frações imprópria), números 
decimais de escrita finita e por fim, as dízimas periódica. 
 Números Irracionais (I) 
Os números irracionais são aquele que não podem ser representados por uma 
fração entre dois números inteiros. Conjunto dos números irracionais é 
representado pelo símbolo I. Estes números não admitem serem escritos na 
forma de fração, pois em suas formas decimais, consistem em números infinitos 
não periódicos. 
Atenção: Todos os números que não são quadrados perfeitos apresentam raízes 
quadradas irracionais. 
Exemplos: 
São números irracionais: 
√ 2 = 1, 4142133 ... , 
𝜋 = 3,14 15926 ... 
 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, POTÊNCIA E RADICAIS 
 Números Reais (R) 
O conjunto dos números reais (R) é definido como a 
união entre os conjuntos dos números racionais e 
irracionais. 
R = Q ∪ I 
Atenção: Todo número real pode ser representado por 
um ponto sobre uma reta, e, reciprocamente, qualquer 
ponto sobre uma reta pode ser associado a um número 
real. 
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R, R – Q = I 
Atenção: O conjunto dos números reais é representado 
por meio do diagrama de Venn Euler, como mostra a 
figura. 
 
EXERCÍCIO 01 
1- Complete: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Completa o quadro, marcando um X quando o 
número pertence ao respetivo conjunto. 
Números Naturais 
(N) 
Inteiros 
(Z) 
Racionais 
(Q) 
Reais 
(R) 
−
20
10
 
 
√16 
√5 
25 
−
5
3
 
 
0 
-25 
-1,7 
 
 
3- Preencha o quadro com os sinais ∈ ou ∉ 
 N Z Q R 
-5 
√3 + 1 
−
6
5
 
 
13,444... 
0 
5,13 
 
4- Classifique cada um dos números reais seguintes 
como racional ou irracional. 
a) √8 
b) 0,121212... 
c) 4,414414441... 
d) 𝜋 – 2 
e) −
3
5
 
f) 5,45 
5- Qual é a forma correta de representa, em um 
mesmo diagrama, os conjuntos N e Z? 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
Dízima 
Infinitas 
Periódicas 
Números racionais 
Números Reais 
Z 
N 
Z 
N 
Z 
N 
6- Sendo P o conjunto dos números pares entre 1 e 9, 
escreva ∈ ou ∉ para relacionar corretamente, em cada 
item, o elemento ao conjunto. 
a) 2 e P ____ b) 8 e P ____ c) 9 e P ____ 
7- Considere os conjuntos M, N e P do diagrama a 
seguir. 
 
Use o símbolo ∈ ou ∉ para associar os elementos ao 
respectivos conjunto. 
a) 1 ___ P c) 3 ___ M e) 6 ___N 
b) 5 ___ M d) 6 ___ P f) 5 ___ P 
8- Determine o conjunto solução S da equação 3x + 6 = 
0 sabendo que x pertence ao conjunto universo U = 
{0,1, 2, 3, ...} 
 
9- Dados os conjuntos A = {1, 3, 2y} e B = {1, 3, 4}, 
determine o valor de y para que A seja igual a B. 
 
10- Faça um diagrama que simbolize a situação em que 
A, B, c e D são conjunto não-vazio de U e D ⊂ C ⊂ B 
⊂ A. 
 
 
 
 
11- As sentenças a seguir são verdadeiras ou falsas. 
a) 
2
3
 ∉ Q 
b) 
4
3
 ∈ Q+* 
 c) -2,1313... ∈ Q 
d) -8 ∈ R+* 
12- Escreva qual dos seguintes números é racional ou 
irracional. 
a) 3,222... 
b) 0,437537537... 
c) 0,101001000100001... 
13- Deste números: 
a) 0,494949... b) √7 c) 0,141144111444... 
Quais são racionais? Quais são irracionais? 
 
 
14- Quantas unidade devemos diminuir de 7 para 
chegarmos a -4? 
 
15- Quantas unidade devemos diminuir de -3 para 
chegarmos a -9? 
 
16 Quantas unidade devemos diminuir de 11 para 
chegarmos a 13? 
 
17- Classifique cada sentença em V ou F e justifique: 
a) A soma de dois números irracionais é sempre um 
número irracional. 
 
b) O produto de dois número irracional pode ser 
racional. 
 
c) A soma de dois número racional é sempre racional. 
 
d) A soma de um número racional com um número 
irracional é um número real. 
 
18- Considere o quadrado ABCD: 
 
a) Para indicar o perímetro desse quadrado, em 
centímetro, pode-se usar um número natural? 
 
b) Para indicar o perímetro desse quadrado, em metro, 
pode-se usar um número natural? 
10 cm 
 
c) Para indicar o área desse quadrado, em centímetro 
quadrado, pode-se usar um número natural? 
 
Potência 
A potenciação é uma simplificação da forma de expor 
uma multiplicação de fatores iguais. 
 
Quando a base é positiva: sendo o expoente par ou 
ímpar, o valor da potência é positivo. 
Exemplos: 
 
(+3) ² = (+3) · (+3) = +9 
 
 
 
(+4) ³ = (+4) · (+4) · (+4) = +64 
 
 
 Quando a base é negativa: se o expoente for par, 
a potência é positiva. Se o expoente for ímpar, a 
potência é negativa. Exemplos: 
 
(-3) ² = (-3) · (-3) = +9 
 
 
 
(-4) ³ = (-4) · (-4) · (-4) = - 64 
 
 
 Potências com expoente negativo 
Uma potência com expoente negativo é calculada 
utilizando-se o inverso da base e o oposto do expoente. 
Exemplo: 
3
–2 
→ o inverso de 3 é 
1
/3. Logo, para calcular 3
 – 2
, 
faremos: 
 
 
 
EXERCÍCIO 02 
1- Calcule o valor de: 
a) 10 -1 
b) (-6)-5 
c) (−
1
3
) -5 
d) (7)0 
2- Considere x = 
1
10
 e y = 
1
5
 e calcule a soma x -1 + y -1. 
 
Propriedade das potências com expoente inteiros 
Multiplicação de potências de mesma base: conserva-
se a base e adicionam-se os expoentes. 
 
Exemplo: 5 2 × 5 3 = 5 2 + 3 = 5 5 
 
3- Com base na propriedade da multiplicação de 
potências de mesma base, apresente uma potência 
equivalente à multiplicação dada. 
 
a) 34 · 36 = 
b) 7 · 76 = 
c) 45 · 47 = 
d) 3 · 44 
e) 102 · 105 = 
f) 18 · 12 = 
g) 010 . 03 = 
 
Divisão de potências de mesma base: conserva-se a 
base e subtraem-se os expoentes (base diferente de 
zero). 
 
Exemplo: 8 5 ÷ 8 2 = 8 5 - 2 = 8 3 
 
4- Com base na propriedade da divisão de potências de 
mesma base, apresente uma potência equivalente à 
divisão dada. 
Expoente par 
Base Potência 
Expoente ímpar 
Base Potência 
Expoente par 
Base Potência 
Expoente ímpar 
Base 
Potência 
 
a) 8 16 ÷ 8 12 = 
b) 1 10 ÷ 1 = 
c) 20 16 ÷ 20 2 = 
d) a 6 ÷ a 4 = 
e) f 11 ÷ f 9 = 
f) 8 16 ÷ 8 12 = 
g) 100 0 ÷100 0 = 
 
Potência da potência: conserva-se a base e 
multiplicam-se os expoentes. 
 
Exemplo: (3 3) 2 = 3 3 X 2 = 3 6. 
 
Todo número elevado a zero é igual a 1. 
 
Exemplo: 6 0 = 1 
 
5- Com base na propriedade denominada potência de 
potência, apresente uma potência equivalente à potência 
dada. 
a) (5 5 ) 3 = 
b) (1 7 ) 1 = 
c) (0 10 ) 4 = 
d) (m 30 ) 0 = 
e) (4 6 ) 2 = 
f) (a 5 ) 7 = 
g) (7 3 ) 4 = 
 
Produto elevado a um expoente: distribui-se o 
expoente para cada fator ou multiplicam-se os fatores e 
aplica-se o expoente. 
 
Exemplo: (2·5) 3 = 2 3 ·5 3 ou (2·5) 3 = 10 3 
 
6- Com base na propriedade denominada produto 
elevado a um expoente, apresenteuma potência 
equivalente à potência dada. 
a) (10·2)3 = 
b) (1·2)7 = 
c) (0·100)0 = 
d) (12·3)5 = 
e) (11·1)4 = 
f) (0·122)1 = 
g) (10·10)2 = 
 
7- O valor de [4 7 .4 10.4] 2 : (45 ) 7 é: 
a) 16 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 2 
 
8- Aplicando as propriedades das potências simplifique 
a expressão 
13259
20718
222
222
..
..
 
 
 
 
 
 
 
9- Dadas as afirmações: 
I)   baba xx . II) baba xxx . 
III)
baba xxx  IV) 10
2
2
 a
a
a
 
Considerando que V = verdadeira e F= falsa, podemos 
afirmar que as afirmações nesta ordem são: 
a) V, V, V, V c) V, V, F, F e) F, V, F, F 
b) V, V, V, F d) V, F, F, F 
 
10- Escreve na forma de uma única potência: 
   .3333 2646 
 
 
 
 
 
 
 
RADICIAÇÃO 
 
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Por 
exemplo, se elevarmos um número ao quadrado e depois 
extrairmos sua raiz quadrada, voltamos ao número 
inicial. 
Exemplo: 52 = 5 x 5 = 25 → √25 = 5 
Os elementos da operação de radiciação são: índice, 
radical, radicando e raiz. 
 
 
Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo 
 
 a ≥ 0, b ≥ 0 e n ≠ 0 
√𝑎
𝑛
 = b ↔ b n = a com ou 
 a< 0, b < 0 e n ímpar 
 
Atenção: Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo 
e índice par. 
 
PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
1º PROPRIEDADE 
Todo número elevado a um expoente fracionário é igual 
a um radical, cujo índice é o denominador do expoente 
e cujo radicando é o número elevado ao numerador do 
expoente. 
Exemplo: 
 𝑁 
𝑎
𝑏 = √𝑁𝑎
𝑏
 
 2 
3
5 = √23
5
 
 
Atividade - Escreve em forma de radical: 
a) 4
3
2 
b) 
6
1
4m 
c) 
  3
2
ab
 
d) 
3
2
5 
e) 
7
5
m 
f) 
4
7
x 
g) 7
1
2 
h) 
4
3
2x 
i) 
2
3
6 
Escreve em forma de potência com expoente 
fracionário: 
a) 
3 25 
b) 3 
c) 
510 
d) 
4 32 
e) 
xy5
 
f) 
3 26 b 
g) 
8 10 
h) 
y2
 
i) a7 
2ª PROPRIEDADE: 
1º caso - Para extrair a raiz de uma potência, dividimos 
o expoente da potência pelo índice do radical. A divisão 
é exata. 
Exemplo: 
 √2 15
3
 = 2 
15
3 = 2 5 
2º caso - A divisão não é exata. Então o quociente da 
divisão será o expoente do maior fator possível que sairá 
do radical, enquanto que o resto será o expoente do fator 
que ficará no radical. 
 
i
n
c
e 
índice 
Exemplo: 
 √2 13
5
 = √2 10. 2 3 
5
 = 2 ² √2 3
5
 = 4 √2 3
5
 
 
𝑶𝑩𝑺. Quando o expoente da potência que se encontra
 no radicando for menor do que o índice, tal potência 
não poderá ser extraída do radical. 
Exemplo: 
√2 4
6
 
Atividade- Aplicando a 2ª propriedade efetue as 
operações necessárias. 
a) √3 45
5
 
b) √2 18
3
 
c) √10 25
5
 
d) √12 15
3
 
3ª PROPRIEDADE: 
Considerando a e b números naturais, a raiz de um 
produto é igual ao produto das raízes dos fatores. 
Exemplos: 
 √𝑎. 𝑏
𝑛
 = √𝑎
𝑛
 . √𝑏
𝑛
 
 √5. 𝑥²
4
 = √5
4
 . √𝑥²
4
 
 
Atividade – Aplicando a 3ª propriedade efetue as 
operações. 
a) √5. 𝑥
3
 
b) √3. 𝑦²
4
 
c) √2. 𝑥
5
 
d) √12. 𝑤
4
 
4ª PROPRIEDADE: 
Considerando a e b números naturais e b diferente de 
zero, a raiz de uma divisão é igual a raiz do dividendo 
dividida pela raiz do divisor. 
Exemplos: 
 √
𝑎
𝑏
𝑛
 = 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
 √
144
25
 = 
√144
√25
 
12
5
 
Atividade – Efetue as operações. 
a) √
169
25
 
b) √
225
81
 
c) √
625
9
 
d) √
900
64
 
5ª PROPRIEDADE: 
Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical 
e o expoente do radicando pelo mesmo número diferente 
de zero, a raiz não se altera. 
Exemplos: 
 √36
8
 = √33
4
 ( divisão por 2) 
 √24
5
 = √230
25
 (multiplicação por 5) 
 
Atividade - Dividindo o índice do radical e o expoente 
do radicando por um mesmo número, diferente de zero, 
simplifica: 
a) 
15 52 
b) 
10 85 
c) 
14 73 
d) 
20 12a 
e) 
16 410 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
Chamamos de radicais semelhantes aqueles que 
apresentam o mesmo índice e o mesmo radicando. 
Exemplo: 
3√4
5
 e 4 √4
5
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
Adição e Subtração 
Só podemos somar ou subtrair radicais semelhantes 
(mesmo índice e mesmo radicando). Para isso, devemos 
conservar o radical e somar ou subtrair os coeficientes. 
Exemplos: 
 8√6
3
 + 7 √6
3
 = 15√6
3
 (soma) 
 3 √5 8 √5 = -5 √5 (subtração) 
Atividade - Encontre o perímetro das figuras, cujas 
medidas de seus lados são dadas numa mesma unidade 
de medida de comprimento. 
 
32 
 
 33 
 
 
Efetue: 
a)  56553 
 
 
b)  5555 3323235 
 
 
Multiplicação 
1º caso: Radicais com mesmo índice. 
Exemplo: 
√6
4
 . √5
4
 = √6.5
4
 = √30
4
 
 
2º caso: Radicais com índices diferentes. Neste caso, 
devemos, inicialmente, reduzir ao mesmo índice. 
Exemplo: 
√2 . √2²
3
 =? 
Primeiro devemos tirar o MMC entre os índices. Este 
MMC será o índice do radical. Assim, o MMC entre 2 e 
3 é 6, que será o índice do radical. Depois dividimos o 
MMC pelo índice de cada um dos radicais iniciais e 
multiplicamos cada resultado obtido pelo expoente do 
respectivo radicando. Logo: 
 √2 . √2²
3
 = √2 3.1
6
 . √2 2.2
3
 = √2 3. 2 4
6
 = √2 7
6
 
 
Atividade - Efetua, simplificando o máximo possível: 
a) 
     4 234 3 5 yxxyx
 
 
b) 

4
27
3
82
 
 
c) 
     12 712 53 bb
 
 
 
d)
 725212
 
 
 
e) 
     3 23 46 76 abybaa
 
 
 
f)





 4 3
5
7
xy 




 4 33
7
15
yx
 
 
 
 
Potência 
Para elevarmos um radical a um expoente devemos 
manter o índice e elevar o radicando a esse expoente. 
Exemplo: 
(√2
4
)3 =√2³
4
= √8
4
 
 
Atividade - Calcule as potências: 
 
a) ( √2) 2 
b) (√9
3
) 2 
c) (4 √5)3 
d) ( √15)2 
e) (2 √7)2 
Raiz 
Para extrair a raiz de um radical devemos manter o 
radicando e multiplicar os índices. 
Exemplo: 
√√6
3
 = √6
2 .3
 = √6
6
 
 
Atividade- Dadas as afirmações: 
I) a = 4 a 
II) 
3 23 aaa  
III) 3273  
Marque um x na alternativa correta. 
 
a) Apenas a I é verdadeira. 
 b) Apenas a II é verdadeira. 
c) Apenas a I, II e III são verdadeiras 
d) Apenas a I e II são verdadeiras. 
e)Nenhuma alternativa é correta 
 
Introdução de um fator em um radical 
O número que está multiplicando o radical, vem para 
dentro do radical elevado ao índice. 
Exemplo: 
3. √2
4
 = √2.34
4
 = 
 
Divisão 
1º caso: Radicais com mesmo índice. 
Exemplo: 
√8
4
 
√2
4 
 = √
8
2
4
 = √4
4
 
 
2º caso: Radicais com índices diferentes. 
Neste caso devemos multiplicar e dividir o numerador e 
o denominador da fração dada por um mesmo fator, 
convenientemente escolhido, de modo a eliminar a raiz 
do denominador. Este processo é chamado de 
Racionalização de Denominadores. 
Exemplo: 
9 √2 
√3 
 = 
9 √2 .
√3 .
√3
√3
 = 
9 √2 .3
√3²
= 
9 √6
3
 
 
Atividade - Resolva as expressões: 
a) 
 3 223 172 yxyxb) 






40
5
4
 






5
3
2
 
 
c) 
 14 314 11 aa
 
 
Racionalizando a expressão 
16
23


 , obtemos: 
 
a) 
6
231218 
 
b) 
5
3324 
 
c) 
5
322 
 
d) 
6
322 
 
e)
7
3324 
 
 
 
Racionalizando a expressão 
35
35


 , obtemos : 
a) 28 - 10 3 
b) 28 + 10 3 
c) 14 - 5 3 
d) 14 + 10 3 
e) N.D.A. 
Racionalize a expressão 
35
212
 e simplifique se 
possível: 
 
 
Racionaliza os denominadores das frações e simplifica, 
se possível, o resultado 
a) 
3 7
1
 
b) 
5 2
8
x 
 
c) 
12 7a
a
 
 
d) 
6 5
15
 
 
e) 4
3
2
 
 
f) 
5 2
8
x
 
 
g) 
3 2
1
 
EXERCÍCIO - Complementar 
 
1- A radiciação é a operação inversa da: 
 
a) multiplicação; 
b) adição; 
c) potenciação; 
d) divisão. 
 
2- A raiz quadrada de 16 é o dobro de: 
 
a) 16 
b) 8 
c) 2 
d) 4 
 
3- Nas sentenças abaixo, assinale com V as verdadeiras 
e , com F, as falsas: 
I) 90 9 81  II) 8 4 16  
III) 12 32  IV) 66 32 . 23  
Nesta ordem, a alternativa correta é : 
a) F, V, F, F 
b) F, F, V, V 
c) F, F, F, F 
d) F, V, V, F 
e) N.D.A. 
5- Escrevendo o número 3
2
12 , obtemos: 
a) 3 32 
b) 182 
c) 
3 182 
d) 3 912 
e) Nenhuma das alternativas anteriores