Cálculo I - Apostila 2014_01

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Cálculo Diferencial 
 e Integral I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSORA DA DISCIPLINA: Me. Mercedes Matte da Silva 
 
 
 
Material Organizado por: 
 
 Prof.ª Me. Ana Paula Ern da Silva 
Prof.ª Me. Márcia Lourenço 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 2 
 
Tópico 01 – Limites 
 
 
 Noção intuitiva: 
 Observe os seguintes exemplos: 
 
Exemplo 1 - Consideremos uma figura quadrada e de área igual a 1. 
 
 Em seguida vamos hachurar metade dessa figura 
 Área hachurada: 
 
 
 Agora vamos hachurar metade do que restou em branco: 
 Área hachurada: 
 
 
Novamente vamos hachurar metade do que restou em branco 
 Área hachurada: 
 
 
 Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada vai preenchendo 
quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1 
 Quando dizemos que a área hachurada tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no 
entanto assumir esse valor. 
 
 
 
 
Exemplo 2 - Seja a função ( )
2} / x{ xfD ≠ℜ∈=
−
−
= ,
2x
4x
)x(f
2
. 
 Se x≠2 ( ) ( ) 2x
2x
2x2x
2x
4x
)x(f
2
+=
−
−⋅+
=
−
−
=→ 
 ( ) 2xxf2x +=→≠∴ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que para todo o x ∈ ( ) ( )xfV →δ,2 ∈ ( )δ,4V podemos dizer que o limite de ( )xf 
tende para 2 é igual a 4 e podemos escrever: 
 
4
2x
4x
lim
2
2x
=
−
−
→
 
 
x ( )xf 
3 5 
2,5 4,5 
2,1 4,1 
2,01 4,01 
x ( )xf 
1 3 
1,5 3,5 
1,9 3,9 
1,99 3,99 
 ( ∣ ) 
 2 
°°°° 4 
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Exemplo 3 - Consideremos o gráfico da função ℜ→ℜ:f , definida por



>+
≤
=
3xse2x
3xsex
)x(f 
 
. 
 =
−→
)x(flim
3x
 
 
 =
+→
)x(flim
3x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os limites laterais são diferentes, dizemos que neste caso não existe limite de ( )xf quando x 
tende a 3. 
 
 
Definição: 
 Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente no próprio número a. O limite de ( )xf quando x tende a a será L, escrito como 
Lxf
ax
=
→
)( lim se a seguinte afirmativa for verdadeira: 
Dado 0>ε qualquer, existe um 0>δ , tal que se εδ <−<−< |)(| então ||0 Lxfax . Em outras 
palavras quando x se aproxima mais e mais de a, ( )xf se aproxima mais e mais de L. 
 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES: 
 
1. ax
ax
=
→
lim 
2. ,lim cc
ax
=
→
 se c é uma constante 
3. bmabmx
ax
+=+
→
)(lim 
4. [ ] )( lim )( lim)()( lim xgxfxgxf
axaxax →→→
±=± 
5. [ ] )( lim )( lim)()( lim xgxfxgxf
axaxax →→→
⋅=⋅ 
6. 
)( lim
)( lim
)(
)(
 lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
= , com 0 )( lim ≠
→
xg
ax
 
7. [ ] ∗
→→
Ν∈



= ,)( lim)( lim nxfxf
n
ax
n
ax
 
8. n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim
→→
= 
9. 0)( lim e 10 com ),( limlog)( log lim b >≠<=
→→→
xfbxfxf
axax
b
ax
 
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Exemplo 4 - Calcular os limites abaixo: 
 
a) =−
→
)5x3(lim
2x
 
b) =
→
7lim
5x
 
c) =
−→
xlim
6x
 
d) =+
−→
4
2x
)7x5(lim 
e) =
+−→ 1x7
x
lim
4x
 
f) ( )[ ]=+
→
x4xloglim
3
4
2x
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: Sejam f e g funções tais que 0==
→→
)(lim)(lim xgxf
axax
. Não podemos afirmar nada, a 
princípio, sobre o limite do quociente gf . Dependendo das funções f e g ele pode assumir 
qualquer valor real ou não existir. Chamamos 
0
0 de uma indeterminação. 
 
 
Exemplo 5 - Determine: 
 
=
−
−
→ 5
252
5 x
x
X
lim 
 
 
 
Obs: outros exemplos e mais exercícios envolvendo indeterminações serão vistos adiante 
utilizando a regra de L’Hospital 
 
 
Outros exemplos de limites laterais 
 
 Como já vimos na introdução, Se os limites laterais quando x tende a um dado valor, são 
iguais, dizemos que o limite de )(xf existe e é igual ao valor encontrado como resposta tanto pela 
direita, quanto pela esquerda. Mas, se os limites laterais são diferentes, dizemos que o limite de 
)(xf não existe quando x tende aquele valor dado. 
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Exemplo 6 - Dada a função 




<+
≥+
=
2xse,1x
2xse2x
)x(f
2
 
 , 
, encontre, se existir: 
 
a) =
−→
)x(flim
2x
 b) =
+→
)x(flim
2x
 c) =
→
)x(flim
2x
 
d) =
→
)x(flim
5x
 e) =
−→
)x(flim
3x
 
 
 
 
Exemplo 7 - Dada à função 



=
≠−
=
4xse5
4xse3x
)x(f 
 
, encontre )x(flim
4x→
. 
 
 
 
Exemplo 8 - Determinar os limites laterais e o limite bilateral em 1=x , se existirem: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
Exemplo 9 - Determinar os limites laterais e o limite bilateral em 2=x , se existirem: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
Exercício: Encontre os limites: 
 
a) =+
→
)4x2(lim
5x
 b) =−
→
)x10(lim
2
2x
 c) =+
−
→
1x6
3x2
lim
4
1
x
 
d) =
+−
+−
→ 2xx
6x5x
lim
2
2
2x
 e) =−+
→
)1y2y(lim
2
2y
 
f) =
+−
+
−→ 4x3x
1x2
lim 2
1x
 
 
g) =
→
8lim
2X
 h) =
+
−
→ 3x
1x3
lim
2
2x
 i) =+
→
x22
0x
e)1x(lim 
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Tópico 02 – Limites Envolvendo o Infinito 
 
Exemplo 10: 
Seja a função: 
x
xf
1
=)( , construa seu gráfico, após determine os limites: 
a) =
∞→ x
1
lim
x
 b) =
−∞→ x
1
lim
x
 
c) =
+→ x
1
lim
0x
 d) =
−→ x
1
lim
0x
 
 
 
Exemplo 11: 
 Determinar os limites das funções: 
a) 
 
 
 
=
−−→ )1x(
1
lim
1x
 
=
−+→ )1x(
1
lim
1x
 
=
−→ )1x(
1
lim
1x
 
b) 
 
 
 
=
−
−
−→ )1x(
1
lim
1x
 
=
−
−
+→ )1x(
1
lim
1x
 
=
−
−
→ )1x(
1
lim
1x
 
 
 
OBSERVAÇÃO: Se os valores de )(xf crescem indefinidamente por um dos lados e decrescem 
pelo outro, como em a e b, diz-se que o limite dessa função não existe, e, escreve-se: 
. 
 
c) 
 
 
 
=
−−→
2
1x )1x(
1
lim 
=
−+→
2
1x )1x(
1
lim 
=
−→ 21x )1x(
1
lim 
d) 
 
 
 
=
−
−
−→
2
1x )1x(
1
lim 
=
−
−
+→
2
1x )1x(
1
lim 
=
−
−
→ 21x )1x(
1
lim 
 
 
Exemplo 12: 
Considerando a função que da a receita )(R para certo produto em função da quantidade x
investida em propaganda, foi estabelecido que 
10
300100
)(
+
+
=
x
x
xR . Consideraremos receita e quantia 
investida em propaganda medidas em milhares de reais. Observa-se aqui que só nos interessa valores 
positivos. Nestas condições (i) determine )0(R e comente seu significado; (ii) determine )(lim xR
x ∞→
 e 
comente seu significado. 
∃/=
→
)(lim xf
ax
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OBSERVAÇÃO: O Limite da função polinomial quando ±∞→x é igual ao limite do seu termo de 
maior grau. 
 
 
Exemplo 13: Determine os limites: 
a) =+−+
∞→
)1xxx( 23
 lim
x 
b) =++++−
−∞→
)1x2xxx2( 234
 lim
x 
c) =
−+
++
−∞→ 1xx3
1xx
2
2 lim
x 
 
 
Exercícios: 
 
1. Calcule os seguintes limites: 
a) =





++∞→ 2x
1
lim
X
 b) =





+
+∞→
2
x
1
lim
X
 c) ( ) =+
−∞→
1x2lim
X
 
d) =
∞→
2
X
xlim e) =





→ 20X x
1
lim f) =




−+→ 5x
1
lim
5X
 
g) =





−−→ 5x
1
lim
5X
 h) =





++∞→ 4x
5
lim 2
X
 i) =







−
+
+∞→ 5x
x3x
lim
4
7
X
 
j) ( )=++
∞→
9xx2lim
9
x
 
 k) ( )=++
−∞→
9xx2lim
9
x
 
 l) =





++
→ 2
3
0x x
1
xxlim 
 
2. Analise os seguintes gráficos e responda: 
 
 
=
∞→
x
x
2lim =
−∞→
x
x
2lim =
∞→
3
x
xlim =
−∞→
3
x
xlim xlim
x ∞→
 
 
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Y=2 x^
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Y=x³
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Y=srqt(x)
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Outros Limites Envolvendo o Infinito 
Costuma-se dizer que as expressões ∞∞∞×∞−∞
∞
∞
1 , ,0 ,0 , , ,
0
0 00 são indeterminadas que 
dizer que podem assumir qualquer valor real ou não existir, como vimos alguns exemplos 
anteriormente. 
 
 
Exemplo 14 - Determine os limites: 
a) =
+
−
∞→ 8
52
 lim
x x
x
 b) =
−
+−
∞→ 24
532
 lim
5
3
x x
xx
 c) ( )=+−
∞→
143 lim 35
x
xx 
d) =
+
+
−→ |1|
25
 lim
1x x
x
 e) =
+
−
∞→ 28
5
 lim
3
x x
x
 f) =
−
−+
∞→ 2
13
 lim
3
2
x x
xx
 
 
Exercícios: 
 
1. Calcular os seguintes limites: 
a) )573( lim 2
0x
xx −−
→
 b) )273(lim 2
3
+−
→
xx
x
 c) 
xx −→ 2
1
lim
5
 
d) )73(lim
1
+−
−→
x
x
 e) 8 lim
3→x
 f) )42(lim
2
+
→
x
x
 
g) 
2
4
lim
2
1 +
−
→ x
x
x
 h) 
1
1
lim
2
2 −
−
→ x
x
x
 i) )4(lim
4
xe x
x
+
→
 
j) 3
2
7
)23(lim +
→
x
x
 k) s
s
s 2
4
lim
2
1
+
→
 l) 
2
3
lim
2 +
+
→ t
t
t
 
m) )]4()2[(lim 10
0
+⋅−
→
xx
x
 n) )72(lim
2
1
+
→
x
x
 
o) 
2
65
lim
2
2 +
+−
→ t
tt
t
 
p) 3
4
32lim +
→
x
x
 q) 
x
xx
x 3
2
lim
2
2
−
→
 r) ])2()4[(lim
13
1
−
−→
+⋅+ xx
x
 
s) )26(lim 45
1
++−
−→
xx
x
 t) 4
1
3
1
)32(lim +
−→
x
x
 u) 
13
4
lim
2 −
+
→ x
x
x
 
 
2. Calcular os seguintes limites: 
a) 
2
3
0x x
x
lim
→
 b) 
2
2
0x x2
x
lim
→
 c) 3
6x )6x2(
x
lim
+−→
 
d) πlim
5x→
 e) 
7x8x16
3x6x4
lim
3
2
2
1
x −+
+−
→
 f) ( )1xx2x4lim 23
x
−+−
∞→
 
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-6 -4 -2 0 2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
g) ( )2xxlim 23
x
++−
−∞→
 h) 
1xx2x
1xx2
lim
23
2
x −++
++
∞→
 i) 
1xx
1xxx
lim
2
23
x −+
+−+
∞→
 
j) 
3x
3xx6x2
lim
23
3x +
−+−
→
 k) 
4x
2x3x
lim
2
3
2x +
+−
−→
 l) 
1x
1x
lim
5
5
x −
+
∞→
 
m) 
x1
1
lim
x −∞→
 n) ( )1xx2x3lim 23
x
+−+−
−∞→
 o) 
5x6x2x
3xx2
lim
23
2
1x −++
−−
−→
 
p) 
x32
x74
lim
x +
−
−∞→
 q) 
( )
( )x3sen
x2cos
lim
2
π
x→
 r) 
12x7x
3x2x
lim
2
2
3x −+
−+
−→
 
s) 
xcos
senx3
lim
πx
+
→
 t) 
2xx3
5x2
lim
2
3
x ++
−
∞→
 
 
 
 
3. Observando os gráficos a seguir, intuitivamente encontre se existir: 
 
I) 
a) )x(f
3
 lim
x −→
 
b) )x(f
3
 lim
x +→
 
c) )x(f
3
 lim
x
→
 
d) )x(f
 lim
x
−∞→
 
e) )x(f
 lim
x
∞→
 
f) )x(flim
0x→
 
g) )x(flim
2x −→
 
 
 
 ● 
 
 
 
 
o
 
 
 
 
 
II) 
a) )x(flim
1x→
 
b) )x(flim
2x −→
 
c) )x(flim
4x→
 
d) )x(flim
6x→
 
e) )x(flim
7x→
 
f) )x(f
0
 lim
x
→
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 10 
 
III) 
a) )x(f
 lim
x
−∞→
 
b) )x(flim
6x→
 
c) )x(flim
2x→
 
d) )x(flim
0x→
 
e) )x(flim
2x −→
 
f) )x(flim
8x→
 
 
 
 o 
 
 ●
 
 
 
 
 
4. Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas: 
4)x(flim
3x
=
+→
 2)x(flim
3x
=
−→
 2)x(flim
2x
=
−→
 3)3(f = 1)2(f =− 
 
 
5. Calcule os limites abaixo: 
I. Sendo 



>−
≤−
=
3x,7x3
3x,1x
)x(f se 
 se 
, calcule: 
a) )x(flim
3x −→
 b) )x(flim
3x +→
 c) )x(flim
3x→
 d) )x(flim
5x→
 
 
II. Sendo 




=
≠+−
=
3x,7
3x,1x2x
)x(f
2 se 
 se 
, calcule )x(flim
3x→
. 
 
III. Sendo 






>−
=
<+
=
2x,x9
2x,
2x,1x
)x(f
2
2
 se 
 se 2
 se 
, calcule: 
 a) )x(flim
2x +→
 b) )x(flim
2x −→
 c) )x(flim
2x→
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) a)3; b)8; c)-1/3; d)10; e)8; f)8; g)-1; h)3; i)e4+16; j) 3 223 ; k)9/2; l)5/4; 
m)4096; n)8; o)0; p) 3 11 ; q)
3
122 −
; r)27; s)9; t) 4 3/7 ; u)6/5 
 
2) a)0 ; b)1/2; c)-1; d)π ; e)-1; f)+∞ ; g)+∞ ; h)0; i) +∞ ; j)0; k)0; l) 1; m) 0; n) +∞ ; 
o)0; p) –7/3; q)1; r)0; s)-3; t) ∞ ; 
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3) I) a)1; b)-1; c)∄ d)-∞; e)-1; f)-2; g)0 
II) a)1; b) ∄; c)1; d)0; e) ∄ f) 0 
III) a)∞ ; b)6; c) ∄ ; d)0; e)4; f) 3 
 
 
5) I) a)2; b)2; c)2; d)8; 
II) 4; 
III) a)5; b)5; c)5 
 
 
 
Tópico 03 – Derivadas 
 
Introdução 
 De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de tangência 
( ) ( )






∆
−∆+
=
x
xdxxd
αtan . Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade 
( ) ( )






∆
−∆+
=
t
tstts
v escalar 
(instantânea) e a aceleração
( ) ( )






∆
−∆+
=
t
tvttv
a , são derivadas. Nestes dois últimos casos vê-se a 
derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando outra, da 
qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao 
tempo. 
 Tanto do ponto vista geométrico, quanto do ponto de vista da dinâmica, o conceito que nos 
resolve ambos os problemas é o conceito de derivada de uma função, que é nada mais que o valor 
do qual se aproximam os quocientes quando, respectivamente, x∆ e t∆ tendem a zero. 
 
Interpretação geométrica da derivada. 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 12 
 
 
Exemplo 15 - Suponha que um rumor é espalhado em uma cidade com 10.000 habitantes. Denote 
por N(t) o número de pessoas que ouviram o rumor depois de t dias, conforme a tabela abaixo: 
 
 Descrevemos geometricamente este aumento, marcando os pontos correspondentes a 
t=0,1,...,10 e traçando uma curva suave que passa por eles. 
 No exemplo acima, existe uma correlação entre a razão com que N(t) está variando com o 
tempo e a inclinação do gráfico. Isto ilustra uma das ideias fundamentais do cálculo, que consiste em 
relacionar razões entre variações com inclinação de gráficos. 
 
Interpretação geométrica do Rumor. 
 
 
Derivada da Função num PontoA derivada de uma função ( )xf no ponto x1, denotada por )(' 1xf , é definida pelo limite: 
 
,
x
)x(f)xx(f
lim)x('f 11
0x
1 ∆
−∆+
=
→∆
 
 
quando este limite existe. Também podemos escrever .
xx
)x(f)x(f
12
lim)x('f
12
12
xx
1 −
−
=
→
 Geometricamente, a 
derivada da função )x(fy = no ponto 1x , representa a inclinação da curva neste ponto. 
 
 
A Derivada de uma Função 
A derivada de uma função ( )xfy = é a função denotada por )(' xf , tal que, seu valor em 
qualquer )( fDx∈ é dado por: ,
x
)x(f)xx(f
lim)x('f
0x ∆
−∆+
=
→∆
 se este limite existir. Quando existe a 
derivada em todos os pontos do domínio da função, dizemos que a função é derivável. 
 
 
 
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
N(t) 1 6 40 245 1368 5000 8631 9754 9960 9994 9999 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 13 
 
Exemplo 16 - Dada 165 2 −+= xxxf )( encontrar )(f 2′ através da definição. 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: 
a) 252 xxf −=)( 
b) 132 +−= xxxg )( 
 
2. Usando as mesmas funções anteriores, determinar )2('g)3('f
 e 
. 
 
 
 
 
Regras de Derivação: 
 
 Estas regras permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição. Supondo 
existentes )(xf ′ e )(' xg temos: 
 
i) Derivada de uma constante: 
 Se ( ) cxf = então temos ( ) 0=xf ' . Sendo c uma constante 
ii) Derivada da potência 
 Se ( ) nxxf = então temos ( ) 1' −⋅= nxnxf 
iii) Derivada de uma constante vezes uma função: 
 Se ( ) ( )xgcxf ⋅= então ( ) ( )xgcxf '' ⋅= 
iv) Derivada de uma soma 
 Se ( ) ( ) ( )xgxfxh += então ( ) ( ) ( )xgxfxh ''' += 
v) Derivada de um produto 
 Sendo ( ) ( )xfuxhy == , e ( )xgv = temos: Se u.vy = então v'.u u'.vy' += 
vi) Derivada de um quociente: 
 Sendo ( ) ( )xfuxhy == , e ( )xgv = , temos: Se 0 vonde ≠=
v
u
y , então 
2v
vuuv
y
'.'.
'
−
= 
 
 
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 17: Encontre a derivada das funções dadas: 
a) ( ) 2xxf = b) ( ) 1063 2 −+= xxxf c) 3
2
1
14 xxf −=)( 
d) ( ) 7=xf e) ( ) 13 += xxf f) ( ) ( ) ( )11 +⋅−= xxxf 
g) 
13
42
−
+
=
x
x
xf )( 
 
A Reta Tangente 
 
 Seja ( )xfy = uma curva definida no intervalo (a,b). Sejam P(x1,y1) e Q(x2,y2) dois pontos 
distintos de ( )xfy = . Seja S a reta secante que passa por P e Q. 
 Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante 
disto, a inclinação da reta secante S variará. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, 
a inclinação de secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante. Este valor 
limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Derivada 
1) constante) ,( kky = 0'=y 
2) ( ) constante) ,( kxkfy = ( )xk f'y =' 
3) 
( )
constante) ,( k
k
xf
y = 
( )
 
'
'
k
xf
y = 
4) uhgfy ++++= ... '...'''' uhgfy ++++= 
5) vuy ⋅= ''' vuvuy ⋅+⋅= 
6) 
v
u
y = 
2
''
'
v
uvvu
y
−⋅
= 
7) 
x
y
1
= ou 
f
y
1
= 
2
1
'
x
y −= ou 
2
'
'
f
f
y −= 
8) numérico) radical ,( pxy p= 1−⋅= pxpy 
9) xy = 
x
y
2
1
'= 
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-10
-5
0
5
10
15
P
Q
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-10
-5
0
5
10
15
P
Q
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 15 
 
Dada uma curva ( )xfy = , seja P(x1,y1) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no 
ponto P é dada por ,
xx
)x(f)x(f
12
lim
x
y
lim)x(m
12
12
xxPQ
1 −
−
=
∆
∆
=
→→
 quando o limite existe. Fazendo x2=x1+∆x 
podemos reescrever o limite na forma 
x
)x(f)xx(f
lim)x(m 11
0x
1 ∆
−∆+
=
→∆
. 
 Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P podemos encontrar a equação 
da reta tangente à curva em P. 
 
Equação da Reta Tangente 
Se a função f(x) é contínua em x1 então a reta tangente à curva )(xfy = em ))(,( 11 xfxP é: a reta que 
passa por P tendo inclinação ,
x
)x(f)xx(f
lim)x(m 11
0x
1 ∆
−∆+
=
→∆
 se este limite existe, neste caso temos a 
equação: )xx(m)x(fy 11 −=− . 
 
 
Exemplo 18: Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função: 
a) 32 2 += xy no ponto P(2,11) 
b) 2xxf =)( em 11 =x 
c) 3xxf =)( em 21 =x 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
⋇ Como vimos anteriormente à derivada de uma função f é definida naqueles pontos onde o 
limite existe. Esses pontos são chamados pontos de diferenciabilidade para f , e os pontos 
onde este limite não existe são chamados pontos de não-diferenciabilidade para f . 
Geometricamente, os pontos de diferenciabilidade de f são aqueles onde ( )xf possui uma 
reta tangente. Os pontos mais comuns de se encontrar onde não existe a derivada são: picos, 
pontos de tangência vertical e pontos de descontinuidade. Como exemplos, seguem os 
gráficos: 
 
 
 
 
 
⋇ Se derivarmos )(xf obteremos )(' xf . Se derivarmos )(' xf obteremos a )('' xf ou ( ) )(2 xf
que chamamos de derivada 2ª ou de 2ª ordem e assim por diante. Chamamos ( ) )(xf n de 
deriva n-ésima de f(x). 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 16 
 
 
⋇ Outras notações para derivadas: 
[ ] )(xf
dx
d
 que é igual a ( )xf ' ou 
dx
dy
 que é igual a 'y . 
 
Podemos encontrar ainda )(xf& , y& , )(xDf ou )(xfD
x
. De segunda ordem teríamos: 
 
2
2
dx
yd
 que é igual a ''y . 
 
 
⋇ Se quisermos calcular a derivada em um ponto específico (a) podemos utilizar as notações 
ax
dx
dy
ayaf
=
ou )(' , )(' ou ainda [ ]
ax
xf
dx
d
=
 )( 
 
 
 
 
Exemplo 19: Dada a função 75x-xy 34 += , encontre 
2
3
3
=x
dx
yd
 
 
 
 
 
Exemplo 20 - Calcular a 4ª derivada da função ( ) 256 23 −+−= xxxxf . 
 
 
 
 
 
Exemplo 21 - Dada a função ( ) 4341 xxxf −−= , resolver a equação ( ) 0=′′′ xf . 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 22 - Sendo ���� = 2�� + 6� − 1 e 
��� = ��, determine: 
a) �′′��� = 
b) 
��2� − 2
�2� = 
c) ����3� + 4��0� = 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 17 
 
Exercícios 
 
1. Dê as derivadas de 1a ordem das funções abaixo: 
a) 25 83 xxy += b) 183 2 ++= xxxf )( c) ( )22xxxf −=)( 
d) 63 −= xxf )( e) 26 += xy f) ( )283 3 −= xxy . 
g) 246 3 xxxxf ++=)( h) x
x
xy 2
1
4 3 +−= i) 
12
3
+
=
x
x
y 
j) 
1
153 2
−
−+
=
t
tt
tf )( k) x
x
xy −
+
+=
1
1
2 4 l) 
54
53
)(
xx
xf += 
m) 
25
4
x
x
xf
−
−
=)( n) ))(()( uaauuf 24 2 −−= o) )35()35(
3
2 1 +−= − xxy 
p) 
12
23
+
+
=
x
xx
xf
)(
)( q) ( )1223 ++= xxxxf )()( r) 2
1
x
y = 
s) xxy += 5
1
 t) 32
1
xxy −= u) xx)x(f 2 2 3 −= 
v) 
1
2
+
=
x
x
y x) 
2
103 2
−
−−
=
t
tt
tf )( z) 2
3
1
+= xy 
2. Encontre a equação da reta tangente à curva 
43
12
−
+
=
x
x
y no ponto de abscissa 1−=x . 
 
 
3. Dada a função 143)( 3 +−= tttf encontrar )(')0(' oftf ⋅− . 
 
 
4. Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função 1)( 2 += xxf no ponto de abscissa 
2=x . Grafique. 
 
 
5. Dadas as funções ( )
4
2
5
x
xf −= e ( )
3
2
2 −
+
=
x
x
xg , determinar: ( ) ( )
5
1'
2'
3
2 g
f − . 
 
 
RESPOSTAS: 
 
1) 
a) 16x,15x 4+ b) 86x + c) 32 4x6x-2x + 
d) 3 e) 
6 56
5
6
1
6 x
x
=
−
 f) 6-96x3 
g) 2x12x6x 35 ++ h) 
xx
x
11
12
2
2 ++ i) 
22
24
)1(
3
+
+
x
xx
 
j) 
( )2
2
1
463
−
−−
t
tt k) 
( ) xx
x
2
1
1
1
8
2
3 −
+
− l) 
65
2512
xx
−− 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 18 
 
m) 
( )22
2
5
58
x
xx
−
−+− n) 2a8au24u- 2 ++ o) 2)35(
20
−
−
x
 
p) 
( )2
23
12
234
+
++
x
xx
 q) 28x3x8x 23 +++ r) 3
2
x
− 
s) 1
5
5
4
+
−
x
 t) 2
2
1
3
2
x
x
−
−
 u) 2 23 2 −x 
v) 
2
2
)1(
2
+
+
x
xx
 x) 
2
2
)2(
12123
−
+−
x
xx
 z) 
3
1 
 
 
 
2) 0449y11x =++ 
 
3) 44t − 
 
4) 03y4x- =++ 
 
5)
30
17
 
Tópico 04 – Derivada – Outras Regras de Derivação 
 
 
Regra da Cadeia 
 Se )(ugy = , )(xfu = e existem as derivadas 
.
y em relação a u e u’ em relação a x , então a 
função composta , )]([ xfgy = tem derivada que é dada por: 
 ou 
)x('f)u('g)x('y
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=⋅= 
 
 
Por exemplo, a função ( )72 25 ++= xxy pode ser vista como a composta das funções )(7 uguy == e 
)(252 xfxxu =++= . Assim teríamos: 
 
( ) ( ) ( )5x22x5x75x2u7
dx
dy 626 +⋅++=+⋅= . 
 
 
OBSERVAÇÃO: A função potência pode ser representada na forma: 
'uun'y
uy
1n
n
⋅⋅=
=
−
 
 
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 19 
 
Exemplo 23: 
a) Dada a função ( )43 358 xxy += , encontrar 
dx
dy
. 
 
 
 
 
 
 
b) Dada a função 75)( 2 += xxf , encontrar )(' xf . 
 
 
 
 
 
 
 
c) Dada a função ( )548 5327 −+−= xxxy , encontrar y’ 
 
 
 
Derivada das Funções Trigonométricas: 
 
 Através da definição de derivada e utilizando a regra da cadeia, obtemos: 
 
Função Derivada 
senuy = uuy cos'' ⋅= 
uy cos= senuuy ⋅−= '' 
tg uy = uuy 2sec'' ⋅= 
ugy cot= uuy 2seccos'' ⋅−= 
uy sec= uuuy tgsec'' ⋅⋅= 
uy seccos= uuuy gcotseccos'' ⋅⋅−= 
 
 
Exemplo 24 - Calcular a derivada das funções: 
a) ( )73sec)( 2 ++= xxxf b) )( 2xseny = c) xseny 2= 
 
 
 
 
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 20 
 
d) 
x
senx
xf =)( e) xxf tg3)( = f) 




=
x
y
1
cos 
 
 
 
 
Derivada das Funções Exponenciais e Logarítmicas (já com a regra de cadeia) 
 
Função Derivada 
)1,0( ≠>= aaay u aauy u ln'' ⋅⋅= 
uey = ueuy ⋅= '' 
uy ln= 
u
u
y
'
'= 
uy alog= 
au
u
y
ln
'
'= 
 
Exemplo 25 - Calcular a derivada das funções: 
 
a) 532 += xy b) xey 2= 
 
 
 
 
c) ( )xxy 3ln 5+= d) ( )xy 4log= 
 
 
 
Exercício: Encontre a derivada das funções dadas: 
a) xxxf 32)( +−= b) 
3
2 32
17
)( 





+
+
=
x
x
xf c) ( )3 22 263)( −+= xxxf 
 
d) ( )72 25)( ++= xxxf e) ( ) xxxy +++= 38 42 f) ( )102 373.10 −+= xxy 
 
g) ( ) x
x
xy −
+
+−=
1
1
52 4 h) 3 2 1)( += xxf i) 
xexf −= 3
3
1
)( 
 
j) )42(log)( 2 += xxf k) )cossec()(
3xxf = l) xxxf 63
2
2)( += 
 
m) 7)42()( += xsenxf n) )43(2)( 23 += xtgxf o) )32(cot)( 4 −= xgxf 
 
p) )cos(4)( 3xxf = q) 52 )2(sec3)( xxf = r) 
��� = 5������ + 4���� 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 21 
 
Respostas: 
a) ( ) 32
2
1
2
1
+− −x b) 42
22
)32(
)21414()17(3
+
+−−+
x
xxx
 c) ( )( ) 312 26314 −−++ xxx 
 
d) ( )( )62 253514 +++ xxx e) 2
127
2
1
)42(68
−
+++ xxx f) ( )( )92 373700600x −++ xx 
 
g) ( )
( )
2
1
2
3
2
1
1
1
528
−
−
+
−− x
x
x h) 
( )
3
12 3
2
2 −+xx
 i) 3
3 xe −
− j) 
2ln).4x2(
2
+
 
 
k) 332 cotgcossec3 xxx− l) ( ) 2ln)1.(6.2 63
2
++ xxx m) ( ) 76 )42cos(4214 ++ xx 
 
n) )43(sec)43(36 2222 ++ xxxtg o) )32(cotg)32(cossec8 32 −−− xx p) 32 )(12 xsenx− 
q) 5524 )2tg()2(sec960 xxx r)100�� + 4�����1 + 8�������� + 4��������� + 4���� 
Tópico 05 – Aplicações de Derivada 
 
 
 No início do estudo da derivada, vimos que se ( )xfy = , então a derivada de dxdy / pode ser 
interpretada como uma taxa de variação de y em relação à x. Neste tópico examinaremos algumas 
das aplicações dessa ideia em diferentes ciências. 
 A velocidade, a densidade, a corrente, a potência e o gradiente de temperatura na física; a 
taxa de reação e a compressibilidade na química; a taxa de crescimento e o gradiente da velocidade 
na biologia; o custo e o lucro marginal na economia; a taxa fluxo de calor na geologia; a taxa de 
desenvolvimento do desempenho na psicologia; a taxa de espalhamento de um boato na sociologia – 
todos esses são casos especiais de um único conceito matemático, a derivada. 
 
Física 
 
Velocidade e Aceleração - Podemos calcular a velocidade e a aceleração através de derivadas. 
Suponhamos que S(t) represente o espaço percorrido por um móvel até o instante t. Então, entre t 
e tt ∆+ , o corpo sofre um deslocamento s∆ = )()( tstts −∆+ . A velocidade média neste caso seria: 
t
tstts
v
m ∆
−∆+
=
)()(
, ou seja, o espaço percorrido dividido pelo tempo gasto em percorrê-lo. Mas, 
para obtermos a velocidade instantânea temos que calcular a velocidade média em intervalos de 
tempo cada vez menores, ou seja, 
t
tstts
t
s
tv
tt ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(
limlim)(
00
 que é a derivada da função s(t) 
em relação a t. Portanto: 
 
( ) ( )tstv '= 
De maneira análoga definimos a aceleração média como sendo 
t
tvttv
a
m ∆
−∆+
=
)()(
 e a aceleração 
instantânea como sendo 
( ) ( ) ( )tstvta ''' == 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 22 
 
Exemplo 26: 
 No instante st 0= um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é 
dada por mttts )16()( 2−= . Determinar: 
a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2,4]; 
b) A velocidade do corpo no instante t=2; 
c) A aceleração média no intervalo [0,4]; 
d) A aceleração no instante t=4. 
 
 
Exemplo 27: 
 Uma cidade x é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o 
número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do 
primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por 
3
64)(
3t
ttf −= . 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no quinto dia? 
 
 
 
 
Exemplo 28: 
 Uma análise da produção diária de uma linha de montagem mostra que cerca de 
32
12
1
60 ttty −+= unidades são produzidas após t horas de trabalho, 80 ≤≤ t . Qual é a taxa de 
produção (em unidades por hora) quando t=2? 
 
 
 
Exemplo 29: 
 Uma torneira lança água em um recipiente, sendo o volume da água no instante t igual a 
)1ln()( ttV += , )(tV em m3, t em horas. 
a) Calcule a vazão em um instante t. 
b) Sabendo que em certo instante a vazão é de 41 m
3/h, determine este instante. 
 
 
 
Exemplo 30: 
 Uma notícia é transmitida pelos meios de comunicação de massa para uma audiência potencial 
de 50.000 pessoas. Após �	dias, 
��� = 50	000�1 − �� ,�"� pessoas tomaram conhecimento da 
notícia. 
a) Quantas pessoas terão conhecimento da notícia após 10 dias? 
b) Com qual taxa a notícia está se espalhando após 2,31 dias que é o tempo aproximado em que 
a metade da audiência já tem conhecimento a respeito? 
 
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 23 
 
Exercícios 
 
1. Um líquido goteja em um recipiente.Após t horas, há 2
1
5 tt − litros no recipiente. Qual a taxa de 
gotejamento de líquido no recipiente, em l/hora, quando t=16 horas? 
 
2. Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t=0. Após t horas, sua temperatura, em 
graus centígrados, é dada por 50 ,
1
4
530)( ≤≤
+
+−= t
t
ttT . Qual a velocidade de redução de sua 
temperatura após 2 horas? 
 
3. Um supermercado determina que seu volume diário de negócios V (em milhares de dólares) e o 
número de horas t que a loja permanece aberta em cada dia estão, de forma aproximada, 
relacionados pela fórmula 240 ,
100
100
120
2
≤≤





+
−= t
t
V . Encontre 
10=tdt
dV
 
 
4. Suponha que o peso em gramas de um tumor canceroso após t semanas é 21,0)( ttW = . Qual é a 
taxa de crescimento (instantânea) do tumor no tempo t=4? 
 
 
5. Um Líquido está sendo adicionado a um grande recipiente. Após t horas, o total de líquido no 
recipiente é tt −5 galões. Com qual taxa (galões por hora) o líquido flui para o recipiente 
quando t=4? 
 
 
6. Um copo de limonada a uma temperatura de 40ºF está em uma sala cuja temperatura constante é 
de 70oF. A Lei do resfriamento de Newton mostra que se a temperatura da limonada atingir 52oF 
em 1 hora, então a temperatura T da limonada como uma função do tempo decorrido é modelada 
aproximadamente pela equação: T=70-30e-0,5t , onde T está em º F e t está em horas. Determine a 
taxa de variação da temperatura da limonada em relação ao tempo em 2 horas, e diga o que 
acontecerá com a temperatura a medida que o tempo passar. 
 
7. Em um experimento psicológico, pessoas melhoraram, através da prática, a capacidade de 
reconhecer informações comuns, verbais e semânticas. Após um período de t dias de prática, o 
tempo necessário para o reconhecimento era de ( ) 36,05,077,036,0)( −−⋅+= ttf segundos. Qual era 
a taxa de variação do tempo necessária para o reconhecimento em relação aos dias de prática, 
após 4 dias de prática? 
 
 
 
Respostas 
 
1) 4,875 l/hora. 
2) –5,444...ºC/hora; 
3) 1; 
4) 0,8g/semana; 
5) 4,75 galões/hora; 
6) 5,51°F/h , vai aumentar até 70º 
7) –0,0505 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 24 
 
Tópico 06 
Função Crescente e Decrescente / Máximo e Mínimo / Concavidade e Inflexão 
 
 
Função Crescente e Decrescente 
Seja uma função f definida em um intervalo I, e sejam 1x e 2x números em I. 
a) f é crescente em I se 
)()( 21 xfxf < quando 21 xx < . 
b) f é decrescente em I se 
)()( 21 xfxf > quando 21 xx < . 
 
c) f é constante em I se 
)()( 21 xfxf = quando 21 xx < 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal da derivada primeira 
Será analisado, a seguir, o sinal da derivada para determinar os intervalos em que a função é 
crescente ou decrescente. 
Seja uma função f contínua no intervalo fechado [ ]ba, e derivável no intervalo aberto ( )ba, , 
afirma-se que: 
• a função f é crescente em [ ]ba, se 0)( >′ xf para todo ( )bax ,∈ . 
• a função f é decrescente em [ ]ba, se 0)( <′ xf para todo ( )bax ,∈ , (Swokowski, 1994). 
 
 
 
 
Exemplo 31 
A produção (P) de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas (t), 
leva à função 128t24t2P 2 ++−= . Pergunta-se a partir de que horas a produção deste funcionário 
torna-se decrescente? 
 
 
)( 1xf 
)( 2xf
 
1x 
 
2x 
)( 2xf 
)( 1xf 
1x 
 
1x 
 
2x 
2x 
)()( 21 xfxf = 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 25 
 
Exemplo 32 
Estudar os intervalos onde 132
3
)( 2
3
++−= xx
x
xf é crescente ou decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número crítico 
Um número c no domínio de uma função f é um número crítico de f se 0)( =′ cf ou )(cf ′ não 
existe, ou seja, um número crítico é um máximo ou mínimo relativo. 
 
 
Ponto de Máximo e Mínimo: 
 Seja f uma função derivável num intervalo (a,b) e c um ponto crítico de f neste intervalo, 
isto é, ( ) 0' =cf , com a<c<b. Se f admite a derivada ( )xf '' (a,b), temos: 
� Se ( ) 0'' <cf , ( )xf tem um valor de máximo relativo em c. 
� Se ( ) 0'' >cf , ( )xf tem um valor de mínimo relativo em c. 
 
 
 
Exemplo 33: 
 Encontre os máximos e os mínimos relativos de f(x) aplicando o critério da derivada segunda. 
a) 234 18163)( xxxxf +−= 
b) xxxf 3)( 2 −= 
c) 42)( −= xxf 
 
-1 0 1 2 3 4 5
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
(a)
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-2
0
2
4
6
8
10
(b)
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
(c)
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 26 
 
 
Máximo relativo e mínimo relativo ou máximo e mínimo local 
Seja c um número do domínio de uma função f . Então: 
� )(cf é um máximo relativo de f em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal 
que )()( xfcf ≥ para todo Ix∈ . 
� )(cf é um mínimo relativo de f em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal 
que )()( xfcf ≤ para todo Ix∈ . 
 
 
 
 
∗ máximos relativos: em c1 , 3c e no intervalo bxc <≤5 ; 
∗ mínimos relativos: em 2c , 4c e no intervalo bxc <≤5 ; 
∗ a e b não são máximos nem mínimos relativos. 
 
 
 
 
 
 
Se uma função f tem um máximo ou um mínimo relativo em um número c em um intervalo 
aberto, então, 0)( =′ cf ou )(cf ′ não existe. 
 
 
 
 
Exemplo 34: Verificar se a função 24 123)( xxxf −= tem máximos e mínimos relativos. 
 
• a função tem um máximo relativo em 01 =c , pois existe o intervalo )2,2( − tal que 
)()0( xff ≥ para todo )2,2( x −∈ ; 
• a função tem mínimos relativos em 22 −=c e 23 =c , pois )()2( xff ≤− para todo 
)0,2( x −∈ e )()2( xff ≤ para todo )2,0( x∈ . 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
5432 c c c c c 1 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 27 
 
 
Teste da derivada primeira 
 Seja c um número crítico de f e supõe-se f contínua em c e diferenciável em um intervalo 
aberto I contendo c, exceto possivelmente no próprio c. Então: 
• se f ′ passa de positiva para negativa em c, diz-se que )(cf é máximo relativo de f. 
• se f ′ passa de negativa para positiva em c, diz-se que )(cf é mínimo relativo de f. 
• se f ′ passa de positiva para positiva ou se passa de negativa para negativa em c, diz-se que 
)(cf não é extremo relativo de f (Swokowski, 1994). 
 
 
Exemplo 35: 
 As vendas semanais S de um produto durante uma campanha publicitária são dadas por 
200 
100
100
2
≤≤
+
= t,
t
t
S onde t é o número de semanas desde o início da campanha e S está em 
milhares de dólares. Qual é a venda semanal máxima? Em que semana isto ocorreu? 
 
 
 
 
 
 
 
� Concavidade e Pontos de inflexão 
 O sinal da derivada primeira é utilizado para determinar onde a função é crescente ou 
decrescente. De modo análogo, usa-se o sinal da derivada segunda para determinar onde a derivada 
primeira, f ′ é crescente e onde é decrescente. Então: 
• se 0)( >′′ xf em um intervalo aberto I, a )(xf ′ é crescente em I; isto é, o coeficiente angular 
da reta tangente ao gráfico de f aumenta com x . Diz-se que o gráfico é côncavo para cima. 
• se 0)( <′′ xf em um intervalo aberto I, então )(xf ′ é decrescente em I; isto é, o coeficiente 
angular da reta tangente ao gráfico de f decresce quando x cresce. Diz-se que o gráfico é côncavo 
para baixo. 
Se f for diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de f é 
• côncavo para cima em I se f ′é crescente em I. 
• côncavo para baixo em I se f ′é decrescente em I (Swokowski, 1994, p.244). 
 
 
 
 Teste da Concavidade 
� Se ( )( )0'' >xf para todo x ∈ (a,b),o gráfico de f é côncavo para cima em (a,b) 
� Se ( )( )0'' <xf para todo x ∈ (a,b), o gráfico de f é côncavo para baixo em (a,b) 
� Se c é ponto de inflexão e ( )( )0' =cf , então c é um ponto de inflexão horizontal de f . 
� Uma função ( )xf é côncava para baixo no intervalo (a,b), se ( )xf ' for decrescente neste 
intervalo. 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 28 
 
� Podem existir pontos no gráfico de uma função nos quais a concavidade muda de sentido. 
Esses pontos são chamados pontos de inflexão ( )( )0'' =xf . 
Exemplo 36: 
 Nas funções abaixo, determine os pontos de inflexão, se existirem, bem como os intervalos 
onde f(x) tem concavidade para cima ou para baixo. 
a) 67)( 3 +−= xxxf 
b) =)(xf 42
23
23
+−− x
xx
 
 
 
 
Exercícios de Aplicação 
 
1. Considera-se uma folha de papelão de dimensões 
8 cm e 15 cm, de forma retangular. Cortam-se de 
cada canto quatro quadrados iguais de medida x cm. 
Assim é construída uma caixa sem tampa (figura). 
Determine x para que haja volume máximo. 
 
 
2. Suponha que uma companhia constate que o faturamento gerado, quando são gastos x dólares em 
propaganda, seja dado por 202,0801000 xxR −+= nestas condições determine até quantos 
dólares investidos em propaganda esta função apresenta faturamento crescente. 
 
 
3. A função faturamento de uma firma que produz um único produto é x
x
xR −
+
−=
8
1600
200)( . 
Encontre o valor de x que resulta no faturamento máximo, onde � é a quantidade. 
 
 
4. (UFOP-MG) Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. 
-6 -4 -2 0 2 4 6
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
(a)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
(b)
 x x 
 x x 
 8-2x 
15-2x 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 29 
 
Suponhamos que, nesse dia, a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t, medido em 
horas, dada por 160)( 2 −+−= btttf , . Obtenha: 
a) O valor de b; 
b) A temperatura máxima atingida nesse dia; 
5. Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita 
pela função 242)( tttf −+= . Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo? 
 
 
6. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100 m2. A prefeitura exige que 
exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em cada lado. Encontre as dimensões 
do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. 
 
7. Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 
2500 m3. O material da base vai custar R$ 1200,00 por m2 e o material dos lados R$ 980,00 por 
m2. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo. 
 
 
 
8. De 1940 a 1991, o número r de homens para cada 100 mulheres nos Estados Unidos admite 
como modelo 84,1002295,0105,4 35 +−×= − ttr , onde t=0 corresponde a 1940. (Fonte: U.S. 
Bureau of the Census.) Determine o ano em que o número r foi mínimo. 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
1)� =
�
�
 cm 2) até 2.000 dólares 3) 32 
4) a) 28 e b) 36º 5) t=2 6) 104,3mx195,6m 
7) 15,98x9,78 8) 1981 
 
 
 
Outros exemplos de Aplicações: 
 
Exemplo 37: 
O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico à razão de 4,5 polegadas cúbicas 
por minuto. Ache a taxa de variação do raio quando este é de 2 polegadas. 





 = 3 
3
4
: rVlembrete
esfera
π . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 30 
 
 
 
 
 
Estudo e Construção do Gráfico de Uma Função Através da Derivada 
 
 
 
Através do estudo da derivada, podemos construir gráficos de funções determinando pontos 
fundamentais em seu comportamento, tais como, pontos de máximos ou mínimos relativos, 
intervalos de crescimento e/ou decrescimento, entre outros. 
 Já sabemos, através de estudo feito em sala de aula, alguns detalhes do comportamento das 
funções. Vale lembrar: 
 
• Analisar o conjunto domínio da função; 
 
• Determinar as intersecções com os eixos coordenados, quando possível. Com eixo x quando 
y=0, com eixo y quando x=0. 
 
• Determinar quando possível, intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximos 
e de mínimos relativos. 
)(xf é crescente quando 0)( ' >xf 
)(xf é decrescente quando 0)( ' <xf 
Pontos críticos quando ( )'f x =0 



=>
=<
c xem relativo mínimo de ponto 0)('' Se
c xem relativo máximo de ponto 0)('' Se
cf
cf
 
 
• Podem existir pontos no gráfico de uma função nos quais a concavidade muda de sentido. 
Esses pontos são chamados pontos de inflexão e ocorrem onde ( )'' 0f x = 
 
• Concavidade: 
O gráfico de uma função é côncavo para cima num intervalo (a,b), se )( ' xf for crescente 
neste intervalo, ou seja, se 0)( ' ' >xf . 
O gráfico de uma função é côncavo para baixo num intervalo (a,b), se )( ' xf for decrescente 
neste intervalo, ou seja, se 0)( ' ' <xf . 
 
• Quando necessário, determinar as assíntotas. 
 
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 31 
 
Exercícios Complementares 
 
 
1. Dê a derivada de 1ª ordem das seguintes funções: 
a) 3sen)( xxf = b) )1log()( 2 += xxf c) xxxf += 2)( 
d) ( ) 33sen2seccos xxy = e) xexf cos)( = f) )1cos()( 2 += xxf 
g) ( )xxf tg)( = h) 




 += xxf
2
ens3)(
π
 i) 2sen)( 2 ++= xxxf 
j) 




 +=
2
tg)(
π
xxf k) 
x
e
xf
x
cos
)(
12 +
= l) 
x
xf
1
)( = 
m) xxxxf sen3)( 3−= n) ( )225 3cot5 xgy = o) ( ) ( )522 313cos +⋅+= tety 
 
 
2. Determinar os números críticos das funções: 
a) 234)( 2 +−= xxxf 
b) 4202)( 23 +−+= tttts 
 
 
3. Determinar os intervalos onde a f é crescente ou decrescente, os extremos relativos de f e esboçar o 
gráfico das funções: 
a) 2475)( xxxf −−= 
b) 1202)( 23 +−+= xxxxf 
 
 
4. Determinar os extremos relativos de f, os pontos de inflexão, os intervalos onde a concavidade está para 
cima ou para baixo e esboçar o gráfico das funções: 
a) 12)( 23 ++−= xxxxf 
b) 643)( 34 +−= xxxf 
 
 
5. Observe os gráficos a seguir, após, complete:. 
 a) 
 
 
.).........1(−′′f .).........0(f ′ .).........0(f ′′ 
....).........1(f ′ ).........2(f ′ .).........2(f ′′ 
Para quais valores de x, 0)( ≥′ xf ?.................... 
Para quais valores de x, 0)( ≤′ xf ?.................... 
 
b) 
 
 
Para quais valores de x, 0)( ≥′ xf ?..................... 
Para quais valores de x, 0)( ≤′ xf ?...................... 
Para quais valores de x, 0)( >′′ xf ?...................... 
Para quais valores de x, 0 )( <′′ xf ?...................... 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 32 
 
 
 
6. Dê a derivada das seguintes funções até a ordem desejada. 
a) 25 83 xxy += ; y(v i) 
b) xy tg= ; y’’ 
c) xy sen= ; y(iv) 
d) 2
x
ey = y’’’ 
 
 
7. Determinar os coeficientes a e b de forma que a função baxxxf ++= 23)( tenha um extremo 
relativo no ponto (-2,1). 
 
 
8. Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. 
a) 844
3
5
4
1
)( 234 +−+−= xxxxxh 
b) 
4
4
)(
2 +
=
x
x
xf 
 
 
9. Nas funções abaixo, faça um esboço do gráfico através do estudo da derivada: 
a) ( ) 24 3 +−= xy 
b) xxxy +−= 23 2 
c) ( ) xxy 33 3 −−= 
 
 
10. Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de 
produção é dado por 601862 23 +++= xxxC , e o valor obtido na venda é dado por 21260xxV −=
, determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro CVL −= . 
 
 
11. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de cada 
caixa seja 2 m e o volume 3 m3. Para gastar a menor quantidade de material possível na 
fabricação das caixas, quais devem ser suas dimensões? 
 
 
12. Um fabricante de conservas usa latas cilíndricas cujos volumes são iguais a 500 cm3. Quais 
devem ser as dimensões (altura e raio das bases) mais econômicas das latas?, isto é, aqueles que 
dão a menor área da superfície (lembre-se que em um cilindro rhrArv πππ 22 e 22 +== ) 
 
 
13. Numa dada comunidade, certa epidemia alastra−se de tal forma que x meses após o seu inicio, P 
% da população estará infectada, onde P = 
22
2
)1(
30
x
x
+
. Em quantos meses o número de pessoas 
infectadas atingirá o máximo e que porcentagem da população este número representa? 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 33 
 
14. Os biólogos descobriram que a velocidade do sangue numa artéria está em função da distância do 
sangue ao eixo central da artéria. De acordo com a lei de Puiseuille, a velocidade (em 
centímetros por segundo) do sangue que está a r centímetros do eixo central da artéria é dada 
pela função ( ) ( )22 rRCrS −= , onde C é uma constante, e R é o raio da artéria. Supondo que para 
certa artéria C=1,76 x 105 e R=1,2 x 10-2 centímetros. 
a) Calcule a velocidade do sangue no eixo central da artéria. 
b) Calcule a velocidade do sangue no meio do caminho entre a parede da artéria e o eixo central. 
c) Calcular a taxa de variação da velocidade quando r= 3 x 10-2 
 
 
15. A voltagem em certo circuito elétrico é de 100 volts. Se a corrente (em ampères) é I e a 
resistência (em ohms) é R, então, pela lei de Ohm, 
R
I
100
= . Se R está aumentando, determinar a 
taxa instantânea de variação de I em relação a R em (i)qualquer resistência R; (ii) uma resistência 
de 20 ohms. 
 
 
16. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem 
concavidade voltada para cima ou para baixo. 
a) xxexf 32)( −= 
b) 91012103)( 234 ++−−= xxxxxf 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. 
a) 32 cos3)(' xxxf = b) 
10ln)1(
2
)('
2 +
=
x
x
xf 
c) 
xx
x
xf
+
+
=
22
12
)(' d) 
( ) ( )( )xxsenxxsenxx 2cotg2cos92cossec y' 333322 −= 
e) senxexf x .)(' cos−= f) ( )12)(' 2 +−= xxsenxf 
g) 
x
x
xf
2
sec
)('
2
= h) 




 += xxf
2
cos3)('
π 
i) 
2x
x
xcos)x('f
2 +
+= j) 




 +=
2
sec)(' 2
π
xxf 
k) ( )
x
senxxxe
xf
x
2
1
cos
cos2
)('
2
+
=
+
 l) 2
1
)('
x
xf −= 
m) xxsenxx
x
xf cos3
2
3
)(' 32 −−= n) ( ) ( )2222243 3cossec3cotg900' xxxy −= 
 o) ( ) ( ) ( )( )1313cos6' 2252 3 +−+= + tsentttey t 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 34 
 
2. a) 
8
3
=x ; b) 
3
5
=t e 2−=t ; 
 
3. a) 




−∞−=
8
7
,C e 




+∞−= ,
8
7
D ; máximo relativo é 
16
129
 em 
16
129
8
7
=





−f ; não há mínimo 
relativo; 
b) ( ] 




+∞∪−∞−= ,
3
5
2,C e 



−=
3
5
,2D ; máximo relativo é 29 em ( ) 292 =−f e mínimo relativo é 
27
548
− em 
27
548
3
5
−=





f . 
3. a) 
 
3. b) 
 
 
 
4. a) máximo relativo é 
27
31
 em 
27
31
3
1
=





f ; mínimo relativo é 1 em 1)1( =f ; ponto de inflexão:






27
29
,
3
2 ; 





+∞= ,
3
2
CC e 





∞−=
3
2
,CB ; 
b) não há máximo relativo; mínimo relativo é 5 em 5)1( =f ; pontos de inflexão: ( )6,0 e 





4,5;
3
2
; 
( ) ,
3
2
 e 0, 





+∞∞−=CC e 





=
3
2
,0CB . 
 
4. a) 
 
4. b) 
 
 
 
 
5. a) 0)1( =−′′f ; 0)0( =′f ; 0)0( >′′f → CC; 0)1( >′f → crescente; 0)2( =′f ; 0)2( <′′f → CB; 0)( >′ xf
→ [ ]2,0 ; 0)( <′ xf → ( ] [ )+∞∪−∞ ,20, ; 
b) 0)( >′ xf → ( ) ( ]3,00, ∪−∞ ; 0)( <′ xf → [ )+∞,3 ; 0)( >′′ xf → ( )0,−∞ ; 0)( <′′ xf → ( )+∞,0 ; 
 
 
6. a) 0; b) xx tgsec2 2 ; c) sen x; d) 2
x
e 
8
1 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 35 
 
7. 3 e 3 −== ba 
 
8. a) ∃/ ; ( )1279,1 b) ( )1;2 ; ( )1;2 −− 
 
9. 
 
10. 1000 
 
11. m
2
6
m
2
6
m2 ×× 
 
12. .# ≈ 4,3			�			% ≈ 8,60 
 
13. .7,5% em 1 mês 
14. .a) 25,34 cm/s , b) 19,008 cm/s, -10.560 
15. a).−
& 
'(
 b)−0,25 
16. .a) ;3/2=x (2/3, )∞+ c. para cima; ( ,∞− 2/3) c. para baixo 
 b) x=-1/3 (-1/3,284/81); x=2; (2,-51); (-∞,1/3) U (2, +∞) c. para cima; (-1/3,2) c. para baixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 36 
 
Tópico 07 - Regras de L’Hôpital 
 
Esta regra permite o cálculo de limites indeterminados do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
. 
Tal regra diz o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: O método também é válido para os limites laterais e para os limites no infinito. 
 
 
Exemplo 38: Determinar os limites utilizando as regras de L’Hôpital: 
a) 
1
2
lim
4 −→ xx e
x
 b) 
xx
e x
x 4
1
3
4
lim +
−
→
 c) =
+−
+−
→ 36254
20173
2
2
4
lim
tt
tt
t
 
d) =
−
−
→ 5
252
5
lim
x
x
X
 e ) =
−
−
→ 4
2
lim
4 x
x
x
 f) =
−
−
→ 2
42
2
lim
z
z
z
 
 
EXERCÍCIO - Determinar os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hôpital. 
a) 
2xx
4x4x
 lim
2
2
2x −−
+−
→
 b) 
xxx
xx
x 57
6
 lim
23
2
0 ++
+
→
 c) 
1x2x3x2x2
1x
 lim
2341x −+++
+
−→
 
d) 
3
3
22
55
 lim
x
x
x −
−
−∞→
 e) 
2
2
22
5
 lim
xx
xx
x −−
+−
+∞→
 f) 
2
 lim
x
e x
x +∞→
 
g) 
xe
x
xx cos
 lim
0 −→
 h) 
12
2
 lim
x
x
x −+∞→
 i) 
x
x
x
22
lim
0
−+
→
 
RESPOSTAS: 
a) 0 b) 5
6 c) 6
1− 
d) 2
5 e) - 2
1 ; f) ∞ 
g) 1 h) 1 i) 
4
2
 
 
 
Se )(xf e )(xg são funções deriváveis, tais que 
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
 é da forma: 
0
0
 ou 
∞
∞
, então, 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax →→
= , se existir o limite 
)('
)('
lim
xg
xf
ax→
. 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 37 
 
Tópico 08 - Incrementos e Diferenciais 
 
Até o momento analisou-se razão incremental e diferenciabilidade apenas de modo intuitivo. 
No entanto, é necessário trabalhar estes conceitos com uma nova representação (notação)que permite 
encarar diferencial 
dx
dy como o quociente, em lugar de um símbolo para expressar a derivada de y 
em relação a x . 
Sabe-se que a razão incremental é dada por: 
x
y
x
xfxxf
xf
xx ∆
∆
=
∆
−∆+
=′
→∆→∆ 00
lim
)()(
lim)( . 
Se f é diferenciável, a razão 
x
y
∆
∆ é o coeficiente angular da reta secante que passa por P e Q, 
e, quando x∆ tende para zero, é o coeficiente angular da reta tangente conforme gráfico a seguir. Isto 
é, )(xf
x
y
′≈
∆
∆
 se 0≈∆x . 
 
 
 
Com isso tem-se a fórmula de aproximação para y∆ : 
 
xxfy ∆′≈∆ )( se 0≈∆x , 
 
que será definida a seguir, como diferencial dy . 
 
 
Seja )(xfy = , f uma função diferenciávele x∆ o incremento de x . A diferencial dx da 
variável independente x é xdx ∆= . A diferencial dy da variável dependente y é xxfdy ∆′= )( , como 
xdx ∆= escreve-se dxxfdy )(′= . 
 
É importante reconhecer a diferença entre dy e y∆ . Para tal, observa-se os gráficos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 xx ∆+ 
)(xf 
)( xxf ∆+ 
)( xxf ∆+ 
)(xf 
 x 
 xx ∆+ 
)( xxf ∆+ 
)(xf 
 x 
 xx ∆+ 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 38 
 
Exemplo 39 - Uma placa circular dilata-se por efeito de aquecimento (mantendo-se circular) e o raio 
aumenta de cm10 para cm2,10 . Usar diferenciais para determinar o acréscimo aproximado da área da 
placa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aproximação linear 
Sabe-se que e reescreve-se como yxfxxf ∆+=∆+ )()( . Se dyy ≈∆ a função 
)(xfy = é diferenciável com x∆ sendo o incremento de x e obtém-se a fórmula de aproximação 
linear, dyxfxxf +≈∆+ )()( . 
Como dxxfdy )(′= reescreve-se a fórmula da aproximação linear como 
dxxfxfxxf )()()( ′+≈∆+ . 
 
 
 
Exemplo 40 - Determinar a 3,64 por aproximação linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)()( xfxxfy −∆+=∆
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 39 
 
 
Tópico 09 - Integrais 
 
 A parte do cálculo estudada até o momento está voltada para a determinação de retas 
tangentes e taxa de variação chamada de Cálculo diferencial. O próximo estudo foca encontrar áreas 
de regiões planas com contornos curvilíneos, chamado de Cálculo integral. Porém, os problemas que 
envolvem estes assuntos estão relacionados de tal forma que é difícil estabelecer as diferenças, por 
isso chama-se de Cálculo diferencial e integral. 
 
 
 Noção 
As áreas das figuras geométricas básicas, como triângulos, retângulos, círculos, etc., são 
definidas e calculadas usando fórmulas-padrão. Mas, quando são apresentados contornos curvilíneos, o 
cálculo é mais complicado e se faz necessário utilizar vários processos que envolvem limites. 
 
 
 
Existem dois métodos básicos para o cálculo de áreas de figuras com contornos curvilíneos – 
o método do retângulo e da antiderivada. 
 
 O método do retângulo para o cálculo de áreas consiste em: 
• dividir o intervalo [ ]b,a em n subintervalos iguais e em cada subintervalo construir um 
retângulo que se estende desde o eixo x até algum ponto sobre a curva )(xfy = ; 
 
• para cada n, a área total dos retângulos pode ser uma aproximação à área exata sob a curva 
no intervalo [ ]b,a e, fica evidente, quando n cresce, estas aproximações irão tender à área 
exata como um limite. 
 
 
 
 
Para o método do retângulo, chamado de método da exaustão, para cada problema, devem ser 
planejados procedimentos diferentes e especiais, pois falta uma solução geral, o que torna muito 
difícil a sua aplicação. 
 O método da antiderivada para o cálculo de áreas foi um enorme avanço, se comparado ao 
método dos retângulos, pois se obteve um método geral. 
Dada a função contínua f não-negativa no intervalo [ ]b,a da figura seguinte, achar a 
área entre o gráfico de f no intervalo [ ]b,a e o eixo x. 
 
)(xfy = 
 a 
 a 
)(xfy = )(xfy = 
 a b 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 40 
 
Newton e Leibniz descobriram, independentemente, o método para o cálculo de área de regiões 
planas com contornos curvilíneos denominado de método da antiderivação que consiste em reverter o 
processo de diferenciação, que será estudado a seguir. 
 
 
Antiderivadas e Integração Indefinida 
Uma função F é uma antiderivada de f em um intervalo I se )()(' xfxF = para todo x em I. 
 A operação é chamada de antidiferenciação, pois é a operação inversa da diferenciação. 
 
Por exemplo, 
Se 54)( 23 ++= xxxF então )(212)( 2' xfxxxF =+= , f é a derivada de F e F é a antiderivada de f. 
Se 174)( 23 −+= xxxG então )(212)( 2' xgxxxG =+= , g é a derivada de G e G é a antiderivada de g. 
Se 
2
3
4)( 23 −+= xxxH então )(212)( 2' xhxxxH =+= , h é a derivada de H e H é a antiderivada de h. 
 
Como )(xF e )(xG )(xH diferem por uma constante C então é possível afirmar que existe uma 
família de antiderivadas de xx 212 2 + da forma CxxxF ++= 234)( onde C é uma constante arbitrária. 
 
 
Teorema: Se f e g forem duas funções, tais que )()( '' xgxf = para todo x no intervalo I, então haverá 
uma constante C, tal que Cxgxf += )()( . 
Exemplo: Se 3)( xxf = então algumas antiderivadas de )(xf podem ser 4
4
1
x , 3
4
1 4 +x , Cx +4
4
1
. 
 
 
Teorema: Se F for uma antiderivada particular de f em um intervalo I, então: 
• toda antiderivada de f em I será dada por CxF +)( onde C é uma constante arbitrária e 
• todas as antiderivadas de f em I poderão ser obtidas atribuindo-se certos valores a C. 
 
 
Antidiferenciação 
É o processo que determina o conjunto de todas as antiderivadas de uma dada função. 
Representa-se pelo símbolo ∫ e escreve-se ∫ += CxFdx xf )()( onde, )()(' xfxF = e dxxfxFd )())(( = 
(segundo Leibniz). 
Então, ∫ += CxFxFd )())(( estabelece que a antidiferenciação da diferencial de uma função é a 
própria função mais uma constante arbitrária, ou seja, o símbolo de antidiferenciação ∫ significa a 
operação inversa da operação de diferenciação. 
 
Logo, ∫ dx xf )( é a integral indefinida onde, 
• ∫ é o sinal de integral, 
• )(xf é o integrando, 
• x é a variável de integração, 
• C é a constante de integração e, 
• o processo ∫ dx xf )( que determina CxF +)( é chamado de integração indefinida. 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 41 
 
Exemplo 41: 
a) ∫ += 5
5
4 C
x
dxx 
b) ∫ +−=
−
− 
2
2
3 C
t
dtt 
c) ∫ += cos Csenuduu 
 
 
 
Propriedades da Integral Indefinida 
 
As integrais indefinidas apresentam propriedades de grande validade para o cálculo de 
diferentes. Tais propriedades são apresentadas a seguir, supondo que g(x) e xf )( tenham 
antiderivadas em um intervalo I: 
 
• ∫∫ =⋅ dx xfCdx xfC )()( → Uma constante pode se mover através do sinal de integração. 
 
• [ ] ∫∫∫ +=+ dx xgdx xfdx xgxf )()()()( → Uma antiderivada de uma soma é a soma das 
antiderivadas. 
 
• [ ] ∫∫∫ −=− dx xgdx xfdx xgxf )()()()( → Uma antiderivada de uma diferença é a diferença das 
antiderivadas. 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: Como somando-se constantes arbitrárias resulta uma outra constante arbitrária, é 
possível integrar cada termo de uma soma, por exemplo, sem introduzir qualquer constante, e no 
final acrescentar uma constante arbitrária. 
 
 
 
Fórmulas de Integração: São obtidas diretamente de suas fórmulas de diferenciação 
 
 
 
Exemplo 42: Determine as seguintes integrais: 
 
a) ∫ =−+ dxxxx )2( 32 
 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 42 
 
b) ∫ =dxe x2 
 
 
 
 
c) ∫ =dxx2 
 
 
 
 
 
d) =++∫ dxxx )53( 2 
 
 
 
 
 
e) =+⋅∫ dxxxx )cossectgsec3( 2 
 
 
 
 
 
f) 
( )
=
+
∫ 21162x
dx
 
 
 
 
 
 
g) ∫ dxx3
1
 
 
 
 
 
 
h) ∫ dxx3 2 
 
 
 
 
 
i) ∫ dxx sec
x tg 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 43 
 
EXERCÍCIO – Calcule as integrais indefinidas: 
a) ∫ =dxx4 b) =∫ 3x
dx
 c) ( ) dxx 22 32∫ − 
d) =∫ xsen
dx
2
 e) =∫ dxx
x
seccos
sec2
 f) =




 +∫ dxxx 3
13 2 
g) =




 +−∫ dxxx
senx
e x
72
2
cos
2 h) =





+∫ dt
t
t 
1
9
3
2 i) =







−∫ dy
y
y 
2
1
2 
j) ∫=dxxx 3 k) ∫ =
−+
dx
x
xx
4
25 12
 l) =
+
∫ dxx
x
 
1
2
2
 
m) =∫ dxx
senx
 
cos 2
 n) =
−∫ dxx 1
9
2 o) ∫ =
+−+−
dx
x
xxxx
2
234 12698 
p) ∫ =⋅ dxxx tgcos q) ( )∫ =++++ dtttttt 543 r) =⋅∫ dx xx 22 cossec tg 
s) =∫ dxx.3 t) =∫ dxx .
2
 u) =





+−+∫ dx
xxx
.2
49
4
3
2 23
 
v) =





+∫ − dxxx 23
21
 w) ( ) =+−∫ dttt 349 2 x) ∫ =−
dx
x21
3
 
 
RESPOSTAS: 
a) c
x
+
5
5
 b) c
x2
1
2
+− c) cxx
x
++− 94
5
4 3
5
 
d) ( ) cx +− cot e) ( ) cx +sec f) cxx ++
3
||ln
5
)(33 5
 
g) c
x
xe x +−−
63
1
sec2 h) c
t
t +−
2
3 3 i) cyy +− 2
3
22 3 
j) c
x
+
9
2 2
9
 k) c
xx
x
++−
3
2
3
12
2
 l) c
x
x +−
1
 
m) ( ) cx +sec n) ( ) cxarcsen +3 o) c
x
xx
xx
+−−+−
1
||ln26
2
9
3
8 23
 
p) cx +− cos q) 
6
5
5
4
4
3
3
2
2
5
6
4
5
3
4
2
32 ttttt
++++ r) ( ) cx +tan 
s) c
x
+
2
3 2
 t) cx +ln2 u) cxxxx ++−+ 2
827
4
6
234
 
v) c
xx
++
3
2
2
3 33
2
 w) cttt ++− 323 23 x) ( ) cxarcsen +3 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 44 
 
Integração Por Substituição 
 
 
 Algumas integrais não podem ser resolvidas aplicando-se diretamente as fórmulas vistas 
anteriormente, assim, é necessário realizar uma mudança de variável de integração. Esta mudança de 
variável aproxima a integral que desejada a uma das fórmulas existentes na tabela. 
 A mudança de variável ou o método de substituição é utilizado quando é necessário aplicar a 
regra da cadeia usando a antidiferenciação. 
 Se F é uma antiderivada de f e g é uma função diferenciável, então a derivada de ))(( xgF pela 
regra da cadeia pode ser expressa por . 
 Na forma integral pode ser escrita como . 
 Sabendo que F é uma antiderivada de f tem-se . 
 Fazendo )(xgu = e )(xg
dx
du ′= ou dxxgdu ⋅′= )( e substituindo na fórmula anterior escreve-se
∫ += C F(u)du uf )( . Chamado de método da substituição de u. 
 
 
 
Exemplo 43 - Determine as integrais indefinidas abaixo: 
 
a) ( )∫ + dttsen 7 
 
 
 
 
b) dxe x∫ −142 
 
 
 
 
c) ∫ − 8)53( x
dx
 
 
 
 
 
 
d) ∫ + dxx
x
21
2
 
[ ] )())(())(( '' xgxgFxgF
dx
d
⋅=
CxgFdx xgxgF +=⋅∫ ))(()())(( ''
CxgFdx xgxgf +=⋅∫ ))(()())(( '
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 45 
 
EXERCÍCIO - Determine as integrais indefinidas abaixo: 
a) 
( )∫ + x
dx
34
 b) ∫ − x
dx
5
 c) )0(
ln
>
⋅∫ xxx
dx
 
d) dxe x∫ 2 e) dxe x∫ +32 f) dxxe senx∫ ⋅ cos 
g) dx
x
x
∫
+13
2
 h) dxxsenx∫ ⋅ cos i) ∫
+
dx
x
xln1
 
j) ( )∫ ⋅⋅+ dxxx 23
42 k) ( )∫ ⋅⋅+ dxxx
32 13 l) ∫ + dxx
x
32
4
2
 
m) dxxsen∫ + )9( n) dxx∫ − )8( 23 o) dxx∫ 5cos 
p) dx
x
e x
∫ q) ( )∫ − 5
3
1 8x
dx
 r) ( ) dttsent∫ ⋅+ cos1
9 
s) ∫ + θθ
θ
d
sen
3cos1
3
 t) ∫ dx
x
xcos
 
 
RESPOSTAS: 
a) cx ++ |34|ln
3
1
 b) cx +−− |5|ln c) cx +|ln|ln 
d) ce x +2
2
1
 e) ce x ++32
2
1
 f) ce xsen + 
g) ( ) cx ++ 211
3
2 3 h) c
xsen
+
2
2
 i) ( ) cx ++ 23ln1
3
2
 
j) 
( )
c
5
3x
52
+
+
 k) ( ) cx ++ 42 13
24
1
 l) ( ) cx ++ 32ln 2 
m) cx ++− )9cos( n) c
x
+
−
24
)8( 24
 o) cxsen +5
5
1
 
p) ce x +2 q) cx +




 −−
−4
8
3
1
4
3
 r) ( ) csent ++ 101
10
1
 
s) c++− |)3cos1(|ln
3
1
θ t) cxsen +2 
 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 46 
 
EXERCÍCIO Complementares 
 
1) Determinar os seguintes limites. 
a) 
25
5
lim
25 −
−
→ x
x
x
 b) 
2
72
3
lim +
−
→ x
x
x
 c) 
2
1
lim
x
ex
x
+
∞→
 d) 
ππ −→ x
x
x 2
cos
lim
2
 
 
2) Determine as integrais abaixo: 
a) dxx∫ + 1 b) ( )∫ − 275x
dx
 c) ∫ + dxe x 13
4
 
d) ∫ 




+++ dx
x
xx 4
1
25 4 e) dxxx∫ 3 4 f) ∫
−
dx
x
xx
2
3 2
 
g) ( )∫ + dxxx 21 h) i) ∫ xx
dx
ln
 
j) dx
x
xxxx
 
2
3
23
∫
−++
 k) 
( )
∫ dxx
xlncos
 l) ( )∫ dxxxtg 24 
m) 
( )
( )
dx
x
xsen
∫ + 3cos2
3
 n) ∫
− 32x
dx
 
 
3) Uma população tem, no instante inicial, 5.000 organismos. Decorridos t horas, ela cresce à taxa 
de tt 26150 −+ organismos por hora. Qual a população depois de uma hora? 
 
4) Dado que ∫ +−= 32)( 23 xxxf , determine )(xf 
 
 
RESPOSTAS: 
1) a)
10
1
 b) 
5
2
 c) ∞ d) -
2
1
 
2) a) ( ) c1
3
2 3 ++x ; b)
( )
c
x
+
−
−
755
1
 c) c
e x
+
+133
4
 d) cxxx
x
++++ 4||ln
9
5 2
5 9
 
e) c
x
+
10
33 10
; f) cx
x
+− ||ln2
2
2
 g) c
xxx
+++
23
2
4
234
 h) cxx +− 37
3
2
7
2
 i)
cx +|ln|ln ; j) cxxxx +−++ 2
1
2
3
2
5
2
3
2
5
2
||ln ; k) ( ) cxsen +ln l) cx +|sec|ln2 2 
m) ( ) cx ++− |3cos2|ln
3
1
 n) cxx +−+ 3ln 2 
3) 5153 organismos 
4) xxxf 26)( 2 −= 
( )∫ − dxxx 12
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 47 
 
FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO 
 
 
 
1) 0'yky =⇒= onde k é uma constante 
 
2) 1'yxy =⇒= 
 
3) 'uk'yuky ⋅=⇒⋅= onde k é uma constante 
 
4) ( ) 'uun'yuy 1nn ⋅⋅=⇒= − ( )0n ≠ 
 
5) 'v'u'yvuy +=⇒+= 
 
6) 'uv'vu'yvuy ⋅+⋅=⇒⋅= 
 
7) 
2v
'vu'uv
'y
v
u
y
⋅−⋅
=⇒= 
 
8) alna'u'y)a,a(ay uu ⋅⋅=⇒≠>= 10 
 
9) uu e'u'yey ⋅=⇒= 
 
10) 
u
'u
'yulny =⇒= 
 
11) 
alnu
'u
'yulogy a ⋅
=⇒= 
 
12) ucos'u'ysenuy ⋅=⇒= 
 
13) senu'u'yucosy ⋅−=⇒= 
 
14) usec'u'yu tgy 2⋅=⇒= 
 
15) useccos'u'yu gcoty 2⋅−=⇒= 
 
16) u tg usec'u'yusecy ⋅⋅=⇒= 
 
17) u gcotuseccos'u'yuseccosy ⋅⋅−=⇒= 
 
18) cosy arc u= 
2
'
'
1
u
y
u
−
⇒ =
−
 
 
19) seny arc u= 
2
'
'
1
u
y
u
⇒ =
−
 
 
20) tgy arc u= 
2
'
'
1
u
y
u
⇒ =
+
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 48 
 
Tabela de integrais imediatas 
1) ∫ += cudu 
2) ∫ += Cuu
du
||ln 
3) 1)- constante é ( 
1
1
≠+
+
=∫
+
nC
n
u
duu
n
n
 
4) ∫ += Ca
a
dua
u
u
ln
 
5) ∫ += Cedue uu 
6) ∫ +−= Cuudu cossen 
7) ∫ += Cuduu sen cos 
8) ∫ += Cuduu |sec|ln tg 
9) ∫ += Cuduu |sen|ln cotg 
10) ∫ ++= C|uuduu tgsec|ln sec 
11) ∫ +−= C|ucouduu tgseccos|ln seccos 
12) ∫ += Cuduu tg sec2 
13) ∫ +−= Cuduu cotg seccos 2 
14) ∫ +=⋅ Cuduuu sec tg sec 
15) ∫ +−=⋅ Cucoduuu ssec cotg seccos 
16) ∫ +=
−
C
a
u
ua
du
arcsen
22
 21) ∫ +−+=
−
Cauu
au
du 22
22
ln 
17) ∫ +=
+
C
a
u
aua
du
arctg
1
22
 22) ∫ +


 ++=
+
Cauu
au
du 22
22
ln 
18) ∫ +=
−
C
a
u
c
aauu
du
arcse
1
22
 23) ∫ ++−=− C
a
ua
u
duua
a
u
arcsen
22
 
2
2222 
19) ∫ +−
+
=
−
C
ua
ua
aua
du
ln
2
1
22
 24) ( )∫ +++++=+ Cuauauauduau 22
2
2222 ln
22
 
20) ∫ ++
−
=
−
C
au
au
aau
du
ln
2
1
22
 25) ∫ +


 −++−=− Cauu
a
au
u
duau 22
2
2222 ln
22
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 49 
 
Relações e Identidades Trigonométricas 
 
Através das relações e identidadestrigonométricas poderemos simplificar problemas, e escrever 
certas funções de formas diferentes, facilitando o trabalho com elas. 
 
 
t
t
t
cos
sen
tg = ( )
u
u
u
2tg1
tg2
2tg
−
= 
( )
vu
vu
vu
tgtg1
tgtg
tg
−
+
=+
 
( )
vu
vu
vu
tgtg1
tgtg
tg
+
−
=− 
t
t
sen
1
csc = 
t
t
cos
1
sec ==== 
t
t
t
sen
cos
cotg = 
t
t
tg
1
cotg = 
(((( )))) tt sensen −−−−====−−−− 
2
cos1
2
sen
uu −−−−
==== 2
cos1
2
cos
uu ++++
====
 
1cossen 22 ====++++ tt 
( ) uuu cossen22sen =
 
( ) =−= uuu 22 sencos2cos
1cos2sen21 22 −=−= uu 
tt 22 sectg1 =+ (((( )))) tt coscos ====−−−− 
( )
2
2cos1
sen 2
u
u
−
= 
u
u
u
uu
cos1
sen
sen
cos1
2
tg
+
=
−
= ( ) tt tgtg −=− tt 22 csccotg1 =+ 
( )
2
2cos1
cos 2
u
u
+
= 
(((( )))) vuvuvu sencoscossensen ++++====++++
 
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]vuvuvu −−−−++++++++==== sensen
2
1
cossen 
 
(((( )))) vuvuvu sencoscossensen −−−−====−−−−
 
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]vuvuvu −−−−−−−−++++==== sensen
2
1
sencos 
 ( ) vuvuvu sensencoscoscos −=+ (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]vuvuvu −−−−++++++++==== coscos
2
1
coscos 
 
(((( )))) vuvuvu sensencoscoscos ++++====−−−−
 
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]vuvuvu ++++−−−−−−−−==== coscos
2
1
sensen 
 
Valores Especiais de Funções Trigonométricas 
 
θθθθ (graus) θθθθ (radianos) senθθθθ cosθθθθ tgθθθθ cotgθθθθ secθθθθ cosecθθθθ 
0° 0 0 1 0 - 1 - 
30° 
6
π 
2
1 
2
3 
3
3 3 
3
32 2 
45° 
4
π 
2
2 
2
2 1 1 2 2 
60° 
3
π 
2
3 
2
1 3 
3
3 2 
3
32 
90° 
2
π 1 0 - 0 - 1 
180º ) 0 -1 0 - -1 - 
270º 
3)
2
 -1 0 - 1 - -1 
360º 2) 0 1 0 - 1 - 
 
Material organizado por Ana Paula Ern da Silva e Márcia Lourenço 50 
 
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Paulo (2000). 
 
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Administração e Contabilidade”, Bookman, Porto Alegre, (2000). 
 
HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. Cálculo um curso moderno e suas aplicações. 
Tradução de Pedro P. de Lima-e-Silva. 6a ed. Rio de Janeiro : Livros Técnicos e Científicos 
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LARSON, HORSTETLER e EDWARDS, “Cálculo com aplicações”, LTC editora, Rio de Janeiro 
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LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Tradução de Antonio Paques, Otilia 
Terezinha W. Paques, Sebastião Antonio José Filho. 2a ed. São Paulo : Editora Harper & Row do 
Brasil Ltda, 1977. 526p. v.1. 
 
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