equaçoeos diferenciais resoluçoes

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Equações diferenciais 
Resolver as equações diferenciais com as condições dadas a seguir: 
a) 𝑓´(𝑥) = √3𝑥 + 2 
3
 com 𝑓(2) = 9 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥. √𝑥2 + 5 com 𝑦 = 12 𝑠𝑒 𝑥 = 2 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥3 − 3𝑥 com 𝑓(0) = 5 
d) 𝑓´(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 2 com 𝑓(0) = 3 
e) 𝑓´´(𝑥) = 16 cos(2𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) com 𝑓(0) = −2 e 𝑓´(0) = 4 
Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) = ∫ √3𝑥 + 2
3
𝑑𝑥 = ∫(3𝑥 + 2)
1
3 𝑑𝑥 
𝑢 = 3𝑥 + 2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3
 
= ∫ 𝑢
1
3 .
𝑑𝑢
3
=
1
3
. ∫ 𝑢
1
3 𝑑𝑢 =
1
3
 .
𝑢
4
3
4
3
+ 𝐶 =
1
3
.
3
4
. 𝑢
4
3 + 𝐶 =
1
4
. 𝑢
4
3 + 𝐶 =
1
4
. (3𝑥 + 2)
4
3 + 𝐶 
𝑓(𝑥) =
(3𝑥 + 2)
4
3
4
+ 𝐶 
Usando a condição 𝑓(2) = 9 ou seja quando 𝑥 = 2 → 𝑓(𝑥) = 9 na equação acima, vem: 
9 =
(3.2 + 2)
4
3
4
+ 𝐶 
9 . 4 = (8)
4
3 + 4. 𝐶 
36 = 8√8
3
+ 4. 𝐶 
36 − 8 . 2 = 4. 𝐶 
𝐶 = 5 
Então 𝑓(𝑥) =
(3𝑥+2)
4
3
4
+ 5 
 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥. √𝑥2 + 5 com 𝑦 = 12 𝑠𝑒 𝑥 = 2 
𝑑𝑦 = 𝑥. √𝑥2 + 5 𝑑𝑥 integrando ambos os lados da igualdade vem: 
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥. √𝑥2 + 5 𝑑𝑥 
𝑦 = ∫ √𝑥2 + 5 . 𝑥 𝑑𝑥 (1) 
Usando a variável auxiliar u, vem: 𝑢 = 𝑥2 + 5 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 
𝑑𝑢
2
= 𝑥 𝑑𝑥 
 
Substituindo na equação (1), resulta: 
 𝑦 = ∫ 𝑢
1
2.
𝑑𝑢
2
=
1
2
. ∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
1
2
.
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶 =
1
2
.
2
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 =
1
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 
Voltando a variável x, tem-se: 
𝑦 =
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 + 𝐶 (2) 
Usando a condição 𝑦 = 12 𝑠𝑒 𝑥 = 2, resulta: 
12 =
1
3
. (22 + 5)
3
2 + 𝐶 
12 . 3 = 9
3
2 + 3 . 𝐶 
36 = 9√9 + 3 . 𝐶 
36 − 9 . 3 = 3. 𝐶 
9 = 3 . 𝐶 
𝐶 = 3 
Levando o valor da constante a equação (2) tem-se: 
𝑦 =
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 + 3 
 
 
 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥3 − 3𝑥 com 𝑓(0) = 5 
𝑑𝑦 = (𝑥3 − 3𝑥)𝑑𝑥 
Integrando ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥3 − 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
𝑦 =
𝑥4
4
−
3𝑥2
2
+ 𝐶 (1) 
Usando a condição 𝑓(0) = 5 na equação (1), resulta: 
5 =
04
4
−
3 . 02
2
+ 𝐶 
Então 𝐶 = 5 e 𝑦 =
𝑥4
4
−
3𝑥2
2
+ 5 
 
 
 
 
d) 𝑓´(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 2 com 𝑓(0) = 3 
Integrando vem : 
∫ 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(5𝑥2 + 3𝑥 + 2)𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) =
5𝑥3
3
+
3𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝐶 
E usando a condição: 𝑓(0) = 3 tem-se: 
3 =
5 .03
3
+
3 .02
2
+ 2 . 0 + 𝐶 resultando 𝐶 = 3 
 A solução é: 𝑓(𝑥) =
5𝑥3
3
+
3𝑥2
2
+ 2𝑥 + 3 
 
e) 𝑓´´(𝑥) = 16 cos(2𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) com 𝑓(0) = −2 e 𝑓´(0) = 4 
Neste caso, surge uma segunda derivada, indicando que é necessário empregar o 
procedimento duas vezes. 
∫ 𝑓´´(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(16 cos(2𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝑥 
∫ 𝑓´´(𝑥) 𝑑𝑥 =
16
2
∫ cos(2𝑥) . 2 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
𝑓´(𝑥) = 8 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 3 cos(𝑥) + 𝐶1 
Usando a condição 𝑓´(0) = 4 vem: 4 = 8 𝑠𝑒𝑛(2.0) + 3 cos(0) + 𝐶1 
Ou 4 = 8 . 0 + 3 . 1 + 𝐶1 resultando 𝐶1 = 1 
Resultando para a primeira derivada 𝑓´(𝑥) = 8 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 3 cos(𝑥) + 1 
Integrando pela segunda vez tem-se: 
∫ 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(8 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 3 cos(𝑥) + 1)𝑑𝑥 
∫ 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 =
8
2
∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 2𝑑𝑥 + 3 ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = −4. cos(2𝑥) + 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 + 𝐶2 
Usando a condição 𝑓(0) = −2 resulta: 
−2 = −4. cos(2 . 0) + 3 𝑠𝑒𝑛(0) + 0 + 𝐶2 
−2 = −4 . 1 + 3 . 0 + 0 + 𝐶2 ou 𝐶2 = 2 
A solução da equação diferencial com as condições dadas é: 
𝑓(𝑥) = −4. cos(2𝑥) + 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 + 2