MECÂNICA DOS FLUIDOS AULA 3

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Está%ca  dos  Fluidos
A	
   está'ca	
   dos	
   fluidos	
   estuda	
   o	
   fluido	
   quando	
   este	
   não	
   está	
   em	
  
movimento;	
  
Neste	
   caso	
   não	
   existe	
   tensões	
   de	
   cisalhamento,	
   pois	
   não	
   há	
  
velocidade;	
  
FLUIDO  EM  EQUILÍBRIO  ESTÁTICO
	
   Qualquer	
   força	
   entre	
   o	
   fluido	
   e	
   a	
   fronteira	
   deve	
   agir	
  
normal	
  (perpendicular)	
  em	
  relação	
  à	
  fronteira	
  ;	
  
	
   O	
   fluido	
   encontra-­‐se	
   em	
   repouso	
   com	
   relação	
   ao	
  
referencial	
  conectado	
  	
  ao	
  contorno	
  do	
  fluido;	
  
	
   Para	
   superGcies	
   curvas,	
   a	
   força	
   que	
   atua	
   em	
   qualquer	
  
ponto	
  é	
  normal	
  em	
  relação	
  à	
  superGcie	
  naquele	
  ponto.	
  	
  
Lei  de  Pascal  
A  pressão  atua  igualmente  em  todas  as  direções.  
•  Se	
  o	
  fluido	
  está	
  em	
  repouso,	
  	
  não	
  há	
  forças	
  de	
  cisalhamento	
  e	
  	
  
•  toda	
  força	
  está	
  agindo	
  normal	
  em	
  relação	
  a	
  superGcie	
  
UNIDADES	
  DE	
  PRESSÃO:	
  
1N/m²	
  =	
  1Pa	
  	
  
1kPa	
  =	
  1000Pa	
  =	
  10³Pa	
  	
  
1MPa	
  =	
  1000000Pa	
  =	
  106Pa	
  
Aplicação  da  lei  de  Pascal
 
	
  Principio	
  Pascal	
   “A	
  variação	
  de	
  pressão	
  sofrida	
  em	
  um	
  ponto	
  
de	
  um	
  fluido	
  em	
  equilíbrio	
  é	
  transmi'da	
  integralmente	
  a	
  todos	
  
os	
  pontos	
  do	
  fluido	
  e	
  às	
  paredes	
  que	
  o	
  delimita”.	
  
	
  
Este	
  princípio	
  tem	
  diversas	
  aplicações	
  em	
  nosso	
  co'diano.	
  Ele	
  
está	
  presente	
  na	
  prensa	
  hidráulica,	
  no	
  elevador	
  hidráulico,	
  no	
  
macaco	
  hidráulico,	
  freios	
  e	
  na	
  direção	
  hidráulica 
 
 
	
  
Elevador hidráulico. 
Lei  de  Pascal  :  Ilustrando  (BruneL)  
  
    
.
Exemplo
Teorema  de  Stevin
	
   Considere	
   um	
   elemento	
   de	
   fluido	
   cilíndrico	
   representado	
  
como	
   uma	
   coluna	
   ver'cal	
   	
   com	
   área	
   da	
   seção	
   transversal	
  
constante,	
  que	
  tem	
  a	
  mesma	
  massa	
  específica	
  	
  ρ	
  .	
  
	
  A	
  pressão	
  no	
  fundo	
  do	
  cilindro	
  é	
   	
  p1	
   	
   	
  agindo	
   	
  no	
  nível	
   	
  z1	
   	
  ,	
  e	
  
no	
  topo	
  	
  p2	
  	
  	
  no	
  nível	
  	
  z2	
  	
  .	
  
	
  O	
  fluido	
  está	
  em	
  repouso	
  e	
  em	
  equilíbrio,	
  assim,	
  o	
  somatório	
  
de	
  todas	
  as	
  forças	
  na	
  direção	
  ver'cal	
  é	
  igual	
  a	
  zero.	
  	
  
“A	
  diferença	
  de	
  pressão	
  entre	
  dois	
  pontos	
  de	
  um	
  fluido	
  é	
  igual	
  ao	
  produto	
  do	
  peso	
  específico	
  
pela	
  diferença	
  de	
  cotas	
  dos	
  dois	
  pontos”	
  
Note	
  que	
  o	
  volume	
  =área(A)*comprimento	
  do	
  cilindro(z2-­‐z1)	
  	
  
Variação  da  Pressão  Ver%calmente  num  Fluido  com  
Efeito  da  Gravidade
Tomando	
  como	
  posi'vo	
  	
  para	
  cima	
  (↑+),	
  no	
  estado	
  de	
  equilíbrio	
  
Em	
  um	
  fluido	
  sob	
  a	
  ação	
  da	
  gravidade	
  a	
  pressão	
  aumenta	
  com	
  o	
  
aumento	
  da	
  altura	
  	
  z	
  =	
  (	
  z	
  2	
  −	
  	
  z	
  1	
  )	
  .	
  
Igualdade  de  Pressão  num  Fluido  Está%co.
	
   A	
  pressão	
  na	
  direção	
  horizontal	
  é	
  constante.	
  
Seja	
  o	
  elemento	
  cilíndrico	
  horizontal	
  de	
  fluido	
  da	
  figura	
  abaixo,	
  com	
  uma	
  área	
  transversal	
  (A)	
  	
  
constante,	
  com	
  massa	
  específica	
  	
  ρ	
  	
  ,	
  pressão	
  	
  p1	
  	
  na	
  esquerda	
  e	
  pressão	
  	
  p2	
  	
  na	
  direita.	
  	
  
Como	
  o	
  fluido	
  está	
  em	
  equilíbrio	
  o	
  somatório	
  das	
  forças	
  agindo	
  	
  na	
  direção-­‐x	
  é	
  igual	
  a	
  zero.	
  
Observe	
  que	
  não	
  há	
  diferença	
  de	
  cotas	
  entre	
  os	
  pontos	
  E	
  e	
  D	
  
	
  	
  
pE	
  =	
  	
  pD	
  	
  ;	
  	
  	
  A	
  pressão	
  na	
  direção	
  horizontal	
  é	
  constante.	
  	
  
Pressão  em  reservatórios  de  diferentes  seções  
conectados  por  uma  tubulação
	
  Sabemos	
  que	
  as	
  pressões	
  no	
  mesmo	
  nível	
  são	
  iguais,	
  Então	
  a	
  
equação	
  para	
  uma	
  mudança	
  de	
  pressão	
  ver'cal	
  	
  
A	
  pressão	
  na	
  direção	
  horizontal	
  é	
  constante	
  também	
  para	
  reservatórios	
  conectados	
  
Equação  Geral  Para  Variação  de  Pressão  num  Fluido  Está%co  
	
   Considere	
  o	
  elemento	
  de	
  fluido	
  cilíndrico,	
  inclinado	
  com	
  ângulo	
  θ	
  	
  
em	
  relação	
  à	
  	
  ver'cal,	
  de	
  comprimento	
  	
  δs	
  	
  ,	
  seção	
  A	
  e	
  massa	
  
específica	
  constante	
  	
  ρ	
  	
  .	
  	
  
	
   A	
  pressão	
  	
  inferior	
  	
  	
  p	
  	
  está	
  agindo	
  na	
  altura	
  	
  z	
  	
  e	
  no	
  topo,	
  na	
  altura	
  	
  
z	
  +	
  δz	
  ,	
  atua	
  a	
  pressão	
  	
  p	
  +δp	
  	
  	
  	
  
	
   As	
  forças	
  agindo	
  no	
  elemento	
  são:	
  
Há	
  também	
  forças	
  agindo	
  nos	
  contornos	
  do	
  fluido,	
  atuando	
  normais	
  em	
  todos	
  os	
  lados	
  do	
  elemento.	
  
	
  	
  
Pelo	
  equilíbrio	
  do	
  elemento	
  a	
  resultante	
  das	
  forças	
  em	
  qualquer	
  direção	
  é	
  zero.	
  	
  
	
  
Resolvendo	
  as	
  forças	
  na	
  direção	
  ao	
  longo	
  o	
  eixo	
  central:	
  Observe	
  que	
  a	
  componente	
  no	
  eixo	
  central	
  
Wy	
  é	
  ob'da	
  por	
  cos(𝜽)=Wy/W;	
  e	
  W=mg=𝜌Vg  e  volume=A*𝛿s	
  Vg  e  volume=A*𝛿s	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Na	
  forma	
  diferencial:	
  
	
  	
  
Equação  Geral  Para  Variação  de  Pressão  num  Fluido  Está%co  
Equação  Geral  Para  Variação  de  Pressão  num  Fluido  Está%co  
Equação  Geral  Para  Variação  de  Pressão  num  Fluido  Está%co  
Aplicando  a  Fluidos  incompressíveis  
Para	
  fluidos	
  incompressíveis	
  a	
  massa	
  especifica	
  é	
  constante	
  e	
  a	
  integração	
  somente	
  dependente	
  da	
  altura	
  z.	
  
	
  
	
  considerando	
  fluido	
  com	
  massa	
  específica	
  constante	
  (ρ=cte)	
  ,	
  podemos	
  integrar	
  	
  
a	
  equação	
  
	
  	
  
obtendo-­‐se:	
  
Variação  da  Pressão  em  Fluidos  Compressíveis
	
   A	
  variação	
  da	
  pressão	
  está'ca	
  é	
  diferente	
  em	
  líquidos	
  e	
  gases.	
  	
  
	
   Os	
  gases	
  são	
  fluidos	
  compressíveis	
  já	
  que	
  apresentam	
  uma	
  variação	
  significa'va	
  da	
  massa	
  
específica	
  em	
  função	
  da	
  pressão	
  e	
  temperatura.	
  	
  
	
   Contudo,	
  a	
  	
  variação	
  de	
  pressão	
  de	
  uma	
  coluna	
  de	
  ar	
  com	
  centenas	
  de	
  metros	
  pode	
  ser	
  
considerada	
  desprezível.	
  	
  
	
   Nas	
  aplicações	
  de	
  Engenharia	
  as	
  alturas	
  ver'cais	
  das	
  tubulações	
  que	
  trabalham	
  com	
  líquidos	
  
representam	
  desníveis	
  energé'cos	
  significa'vos	
  que	
  devem	
  ser	
  vencidos	
  pelas	
  bombas.	
  
	
   	
  No	
  caso	
  de	
  sistemas	
  que	
  	
  trabalham	
  com	
  gases,	
  como	
  por	
  exemplo,	
  os	
  sistemas	
  de	
  ven'lação	
  
industrial,	
  a	
  energiadevido	
  as	
  alturas	
  ver'cais	
  dos	
  dutos	
  considera-­‐se	
  desprezível.	
  	
  
Para	
  fluidos	
  compressíveis	
  (gases)	
  a	
  massa	
  específica	
  depende	
  da	
  pressão	
  e	
  da	
  temperatura	
  (p,T).	
  	
  
	
   Quando	
  a	
  variação	
  da	
  altura	
  é	
  da	
  ordem	
  de	
  milhares	
  de	
  metros	
  devemos	
  considerar	
  a	
  variação	
  
da	
  massa	
  específica	
  nos	
  cálculos	
  da	
  variação	
  de	
  pressão.	
  No	
  caso	
  de	
  um	
  gás	
  perfeito	
  é	
  válida	
  a	
  
equação:	
  
	
   Aplicando	
  a	
  eq	
  da	
  está'ca	
  :	
  
Variação  da  Pressão  em  Fluidos  Compressíveis
Efeito	
  da	
  Variação	
  da	
  Pressão	
  com	
  a	
  Altura	
  	
  
Variação  da  Pressão  em  Fluidos  Compressíveis
Efeito	
  da	
  Variação	
  da	
  Pressão	
  com	
  a	
  Altura	
  
	
  
	
  
	
  
constante	
  
Separando	
  as	
  variáveis	
  dp	
  e	
  dz	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Integrando,	
  considerando	
  R	
  e	
  g	
  e	
  T=T0	
  constantes	
  
Medidas  de  Pressão  
Pressão  Atmosférica  -­‐  patm    
	
   1.	
  	
  A	
  pressão	
  atmosférica	
  varia	
  com	
  a	
  al'tude	
  e	
  as	
  condições	
  climatológicas	
  do	
  lugar.	
  	
  
	
   É	
  medida	
  em	
  relação	
  ao	
  vácuo	
  perfeito	
  por	
  	
  barômetros	
  sendo	
  registrada	
  nas	
  estações	
  
meteorológicas.	
  	
  	
  
	
   2.	
  	
  A	
  pressão	
  atmosférica	
  apresenta	
  uma	
  diminuição	
  com	
  a	
  al'tude	
  de	
  aproximadamente	
  
85mm	
  de	
  mercúrio	
  por	
  cada	
  1000m	
  de	
  al'tude.	
  	
  
	
   3.	
  	
  A	
  pressão	
  atmosférica	
  próxima	
  da	
  superGcie	
  terrestre	
  varia	
  normalmente	
  na	
  faixa	
  de	
  95	
  
kPa	
  a	
  105	
  kPa.	
  Ao	
  nível	
  do	
  mar	
  a	
  pressão	
  atmosférica	
  padrão	
  é	
  de	
  101,33kPa.	
  	
  
	
   •	
  	
  Equivalências	
  de	
  pressão	
  atmosférica:	
  101,33kPa	
  ≡	
  1	
  atm	
  ≡	
  760mmHg	
  ≡	
  10,36mH20	
  	
  
	
   	
  	
  
Medidas  de  Pressão  
Pressão  Absoluta-­‐  pman    
	
   A	
  	
  pressão	
  rela'va	
  (gauge)	
  é	
  medida	
  em	
  
relação	
  à	
  pressão	
  atmosférica.	
  
	
   	
  Representa	
  a	
  pressão	
  medida	
  pelos	
  
manômetros	
  (pman).	
  
	
   	
  Pode	
  ser	
  dada	
  	
  em	
  função	
  da	
  altura	
  ver'cal	
  
de	
  coluna	
  de	
  	
  um	
  fluido	
  de	
  massa	
  específica	
  	
  
ρ	
  .	
  	
  
	
   Esta	
  altura	
  ver'cal	
  é	
  conhecida	
  como	
  altura	
  
de	
  coluna	
  de	
  fluido.	
  	
  
	
   Se	
  a	
  pressão	
  é	
  expressa	
  em	
  altura,	
  a	
  massa	
  
específica	
  do	
  fluido	
  deve	
  ser	
  fornecida.	
  	
  
	
   	
  	
  
Medidas  de  Pressão  
Pressão  Absoluta  -­‐  pasb    
	
   A	
  pressão	
  medida	
  em	
  relação	
  ao	
  vácuo	
  
perfeito	
  é	
  conhecida	
  como	
  pressão	
  absoluta..	
  	
  
O	
  limite	
  inferior	
  de	
  qualquer	
  pressão	
  é	
  zero	
  -­‐	
  isto	
  é	
  o	
  vácuo	
  perfeito.	
  
	
  
Obs:	
  A	
  pressão	
  atmosférica	
  (Patm)	
  por	
  definição	
  é	
  uma	
  pressão	
  absoluta	
  já	
  que	
  é	
  
medida	
  em	
  relação	
  ao	
  vácuo	
  perfeito.	
  	
  
Medidas  de  Pressão
	
   	
  	
  
	
   1.	
  	
  Um	
  vácuo	
  perfeito	
  é	
  a	
  pressão	
  mais	
  baixa	
  possível.	
  Desta	
  forma	
  uma	
  pressão	
  absoluta	
  (pabs)	
  
será	
  sempre	
  posi'va.	
  	
  
	
   2.	
  	
  Uma	
  pressão	
  (rela'va)	
  que	
  está	
  por	
  cima	
  da	
  pressão	
  atmosférica	
  (patm)	
  é	
  posi'va	
  (+)	
  sendo	
  	
  
	
   medida	
  por	
  manômetros	
  (pman).	
  	
  
	
   3.	
  	
  Uma	
  pressão	
  (rela'va)	
  que	
  está	
  por	
  baixo	
  da	
  	
  pressão	
  atmosférica	
  (patm)	
  é	
  nega'va	
  (-­‐)	
  sendo	
  	
  
	
   medida	
  por	
  vacuômetros	
  (pvac).	
  	
  
	
   4.	
  	
  Manômetros	
  e	
  vacuômetros	
  medem	
  pressões	
  rela'vas.	
  	
  
	
   	
  	
  
Barômetros  
	
   Os	
  barômetros	
  são	
  disposi'vos	
  u'lizados	
  para	
  medir	
  a	
  pressão	
  
atmosférica.	
  Consistem	
  em	
  um	
  tubo	
  comprido	
  fechado	
  num	
  extremo	
  
e	
  que	
  inicialmente	
  está	
  cheio	
  de	
  mercúrio	
  (Hg).	
  
	
   	
  O	
  extremo	
  aberto	
  é	
  submerso	
  na	
  superGcie	
  de	
  um	
  reservatório	
  
cheio	
  de	
  mercúrio	
  e	
  se	
  deixa	
  até	
  que	
  alcance	
  o	
  equilíbrio	
  como	
  se	
  
observa	
  na	
  figura.	
  	
  
	
   Na	
  parte	
  superior	
  do	
  tubo	
  se	
  produz	
  um	
  vácuo	
  muito	
  próximo	
  do	
  
vácuo	
  perfeito	
  contendo	
  vapor	
  de	
  mercúrio	
  a	
  uma	
  pressão	
  (pv	
  	
  )	
  de	
  
somente	
  0,17	
  Pa	
  a	
  200C.	
  
	
   Escrevendo	
  a	
  equação	
  de	
  equilíbrio	
  para	
  o	
  ponto	
  "A"	
  onde	
  atua	
  a	
  
pressão	
  atmosférica	
  (patm)	
  	
  se	
  tem:	
  
	
   Sendo	
  a	
  pressão	
  de	
  vapor	
  muito	
  pequena	
  
​𝑝↓𝑎𝑡𝑚 = ​𝑝↓𝑣 + ​𝜌↓𝐻𝑔 𝑔ℎ	
  
​𝑝↓𝑎𝑡𝑚 = ​𝜌↓𝐻𝑔 𝑔ℎ	
  
Manômetro  piezométrico
​𝑝↓𝐴 = ​𝜌𝑔ℎ↓1 	
  
​𝑝↓𝐵 = ​𝜌𝑔ℎ↓2 	
  
Pressão	
  em	
  A	
  é	
  a	
  pressão	
  da	
  coluna	
  de	
  líquido	
  acima	
  de	
  A	
  
	
  
Pressão	
  em	
  B	
  é	
  a	
  pressão	
  da	
  coluna	
  de	
  líquido	
  acima	
  de	
  B	
  
	
  
Este	
  método	
  é	
  u'lizado	
  para	
  líquidos	
  e	
  somente	
  quando	
  a	
  
altura	
  do	
  líquido	
  pode	
  ser	
  medida	
  
​𝑝↓𝐴 = ​𝜌𝑔ℎ↓1 	
  
​𝑝↓𝐵 = ​𝜌𝑔ℎ↓2 	
  
O	
  manômetro	
  é	
  um	
  tubo	
  aberto	
  na	
  parte	
  superior,	
  conectado	
  no	
  
extremo	
  de	
  um	
  reservatório	
  contendo	
  líquido	
  com	
  uma	
  pressão	
  (mais	
  
alta	
  que	
  atmosférica)	
  a	
  ser	
  medida.	
  
	
  
Este	
  disposi'vo	
  é	
  conhecido	
  como	
  um	
  tubo	
  Piezométrico.	
  Como	
  o	
  
tubo	
  está	
  aberto	
  à	
  atmosfera	
  a	
  pressão	
  medida	
  é	
  rela'va	
  à	
  
atmosférica	
  denominada	
  pressão	
  rela'va.	
  	
  
Manômetro  em  “U”
Ø Com	
  um	
  tubo	
  em	
  	
  “U”	
  é	
  possível	
  medir	
  a	
  pressão	
  de	
  líquidos	
  e	
  gases	
  com	
  o	
  
mesmo	
  instrumento.	
  	
  
Ø O	
  manômetro	
  em	
  “U”	
  é	
  conectado	
  e	
  preenchido	
  com	
  um	
  fluido	
  chamado	
  	
  
fluido	
  manométrico.	
  O	
  fluido	
  cuja	
  pressão	
  será	
  medida	
  deve	
  ter	
  uma	
  massa	
  
específica	
  menor	
  que	
  a	
  do	
  fluido	
  manométrico.	
  	
  
Ø Os	
  fluidos	
  devem	
  ser	
  imiscíveis.	
  
Manômetro  em  “U”
Medição  da  Diferença  de  Pressão  -­‐  Manômetro  Tipo  “U”.
Medição	
  da	
  Diferença	
  de	
  Pressão	
  -­‐	
  Manômetro	
  inclinado.	
  
•  Se	
  a	
  pressão	
  medida	
  é	
  muita	
  pequena	
  então	
  uma	
  coluna	
  inclinada	
  fornece	
  uma	
  maneira	
  apropriada	
  	
  	
  de	
  obter	
  um	
  
movimento	
  maior	
  do	
  manômetro	
  (lido	
  mais	
  facilmente).	
  
•  	
  O	
  arranjo	
  do	
  manômetro	
  com	
  um	
  braço	
  inclinado	
  é	
  mostrado	
  na	
  figura.	
  
•  A	
  diferença	
  de	
  pressão	
  é	
  dada	
  pela	
  altura	
  quemuda	
  o	
  fluido	
  do	
  manômetro	
  (deslocamento	
  do	
  fluido	
  manométrico).	
  	
  
•  Considerando	
  para	
  a	
  leitura	
  uma	
  escala	
  ao	
  longo	
  da	
  linha	
  do	
  tubo	
  inclinado	
  a	
  diferença	
  de	
  pressão	
  é	
  então	
  dada	
  por	
  
OBS:	
  A	
  sensibilidade	
  da	
  mudança	
  de	
  pressão	
  pode	
  ser	
  aumentada	
  com	
  uma	
  maior	
  inclinação	
  do	
  braço	
  do	
  manômetro,	
  
alterna'vamente	
  a	
  massa	
  específica	
  do	
  fluido	
  manométrico	
  pode	
  ser	
  mudada.