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Cálculo I - ����� �� � �� �� 1 Capítulo 2- Funções � �������� O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra �,�,�,... Definição: Dado dois conjuntos não vazios � e � e uma lei � que associa a cada elemento � de � um único elemento � de �, dizemos que � é uma função de � em �. � • Indica-se que � é uma função de � em � pela notação �: � → � • O conjunto � é denominado domínio da função � e é formado pelos elementos � que possuem correspondência em � pela função �, ou seja, existe � pertencente a � tal que � � ����. Denota-se �,�����) • O conjunto de � é chamado de contradomínio da função � . Denota-se ��,�������) • O elemento � de �, associado ao elemento � de � é chamado de imagem de � pela função �. Indica-se que � é imagem de � pela notação � � ����. • O conjunto de todos os elementos � de � que são imagens dos elementos � de � é chamado conjunto imagem ou simplesmente imagem da função � . Denota-se �� , �����. Para toda função ����� ⊂ �. • Um elemento típico � do ������ é chamado variável independente e um elemento típico � da ����� é chamado variável dependente. • O conceito de função tem grande generalidade, pois os elementos do domínio e da imagem podem ser de qualquer natureza. • As variáveis � e � podem representar quantidades numéricas. Porém � não representa uma quantidade, � estabelece uma lei de associação entre � e �. • Quando a função � é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos � e �, convenciona-se que � e � são subconjuntos de ! e diz-se que a função � é uma função real de variável real. � Cálculo I - ����� �� � �� �� 2 Exemplos 1) Seja � uma função que calcula a área de um círculo: a) Encontre a equação que representa a função � Sabemos que a área de um círculo depende do tamanho do raio do círculo. Para cada valor de raio arbitrado obteremos um resultado para a área. Assim a área “é uma função do raio”. Se chamarmos o raio do círculo de "�" e a área de "�", a área do círculo pode ser expressa em função de um raio genérico � pela equação: � � ���� � # �$ b) Identifique a variável independente e a variável dependente da função �. A área do círculo, variável �, depende do valor arbitrado para o raio, variável �. Então A é a variável dependente e � a variável independente. c) Calcule a área do círculo quando � � % � � � & ' � � (. Estamos querendo saber o valor da variável dependente � para valores específicos de �. Basta substituir � na equação pelo valor desejado. � � ���� � # �$ � )* +,� � � % � � � ��%� � #�%�$ � ( # *� � �*+�, ,'- ,' .�' � � � ���� � # �$ � )* +,� � � &� � � ��&� � #�&�$ � / # *� � �*+�, ,'- ,' .�' � � � ���� � # �$ � )* +,� � � (� � � ��(� � #�(�$ � 01 # *� � �*+�, ,'- ,' .�' � d) Encontre o domínio da função �. O domínio da função é o conjunto de todos os valores possíveis de serem atribuidos para a variável independente (raio �) de tal forma que seja possível calcular através da função � a variável dependente (área do círculo �). Como não é possível traçar um círculo de raio igual a zero ou negativo, os valores possíveis de serem atribuídos para o raio só poderão ser números reais maiores do que zero, assim: ��� ��� � 2� 3 !|� 5 67 e) Encontre o conjunto imagem da função �. O conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores que a variável dependente (área do círculo) pode ter quando a função for aplicada a todos os elementos do domínio (raio �). Como � 5 6� então � � # �$ sempre será um número real maior do que zero. �� ��� � 2� 3 !|� 5 67 Cálculo I - ����� �� � �� �� 3 2) Dada a função �� ! � ! , definida pela equação � � &�$ 8 ( . Identifique as variáveis dependente e independente e calcule os itens abaixo: Para obtermos o valor de � temos que arbitrar valores para �. Ou seja, � depende de �. Isto significa que � é uma função de � e o nome desta função é �. Assim, � é a variável dependente e � é a variável independente: � � ���� � &�$ 8 ( � � � ��8(� ��8(� significa que queremos saber o valor da variável dependente � quando � é igual a -4. Temos que substituir � por -4. � � ���� � &�$8 ( 9 ��8(� � &�8(�$ 8 ( � (: 8 ( � (( ;� ��0� ��0� � &�0�$ 8 ( � & 8 ( � 80 <� � =0&> � =0&> � & = 0 &> $ 8 ( � 0& 8 ( � 8 00 & ,� �� ? � ��?� � &�?�$ 8 ( � &?$ 8 ( '� �� @ � ��@� � &�@�$ 8 ( � &@$8 ( �� ��A$� ��A$� � & �A$�$ 8 ( � & AB8 ( �� ��� 8 �� ��� 8 �� � &�� 8 ��$ 8 ( � &��$ 8 % � � C �$� 8 ( � &�$8 1 � � C &�$ 8 ( �� ��0� 8 ��6� ��0� 8 ��6� � �&�0�$ 8 (� 8 �&�6�$ 8 (� � & 8 ( 8 6 C ( � & �� ������ � ���� �� � � &�$8 ( & $8 ( D� � E� F � E� F � & E � F $8 ( � &� $ $ 8 ( � &�$8 ( $ $ � Cálculo I - ����� �� � �� �� 4 3) Dado o conjunto � � 28%�80� 6� 0� %7 , determinar o conjunto-imagem da função �� � � !, definida pela equação � � �G � � � � � � � � � Para cada valor � do domínio, ������ � H8%� 80� 6� 0� %I� foram determinados os valores correspondentes � pela função �� � � ����� A imagem da função é o conjunto dos valores que � assume para todos os valores � do domínio, então ����� � 28:�80� 6� 0� :7 � 4) Seja � uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Gabriela, Mário, Marlene e Vítor e determine o Domínio, o Contradomínio e a Imagem da função. � � � � � � � � � ������ � 2 J�-K� L ;��' �M.����M � '+'� N� ��7� ����� � 2 J�L� M� N7� � 5) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula o quadrado de um número. Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função � como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de � e a variável dependente de �, a função � pode ser representada pela equação: � � �$� Como para qualquer valor de � 3 !, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de �, tem-se: ������ � 2!7 � Se � O 6 então � � �$ 5 6; se � � 6 então � � 6 e se � 5 6 então � 5 6 . Portanto, � poderá ser zero ou um número positivo, assim: ����� � 2� P !| � Q 67 � R6�CS�� � � 8% � 8 0 � � 6 � � 0 � � % � � � �8%� � 8: � � � �80� � 80 � � � �6� � 6 � � � �0� � 0 � � � �%� � : x3 x3 x3 x3 x3 � � J�-K � � L ;��' � � M.��� � � M � '+' � � NT �� � � ��J�-K� � J � � ��L ;��' � � L � � ��M.���� � M � � ��M � '+'� � M � � ��NT ��� � N � � � � Cálculo I - ����� �� � �� �� 5 6) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula a área de um quadrado. Chamando o comprimento do lado do quadrado de � e sua área de �, podemos calcular a área de uma seção quadrada como �� � � �$. Assim, a função � pode ser representada pela equação � � ���� � �$� Só é possível calcular a área � de um quadrado se o tamanho de seus lados for maior do que zero ������ � 2� P !| � 5 67 � �6�CS� � Como � é sempre maior do que zero, a área � calculada pela equação � � �$ será sempre um número maior do que zero ����� � 2� P !| � 5 67 � �6�CS�� Observe que a função �, que calcula o quadrado de um número, e a função � , que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação � � �$ , porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes. OBS: Duas funções � e U são iguais se elas têm o mesmo domínio e se ��V� � U�V� paratodo V do domínio. � � 7) Dada a função �� ! � !, definida pela equação ���� � �$ 8 :� C 0W. Pede-se: � Os valores da imagem da função quando � � 6� Queremos saber o valor que será encontrado pela função � (valor da variável dependente) quando for atribuído o valor zero para a variável independente �, ou seja, queremos saber o valor de ��6�� ��6� � 6$ 8 :�6 C 0W � 0W ;� Os valores de � para os quais a imagem da função é nula Queremos saber qual o valor de � quando ���� � 6 ���� � �$8 :� C 0W � 6� � � 8�8:�X Y�8:�$8 (�0�0W% � : X √1( 8 16 % � : X % % � � � W �* � � &� � <� Os valores de � para os quais a imagem da função é igual a 3, ou seja, ���� � & � � ���� � �$ 8 :� C 0W � & � �$8 :� C 0% � 6 � � � 8�8:� X Y�8:�$ 8 (�0�0%% � : X √1( 8 (: % � : X √01 % � : X ( % � � � 1 �* � � %� � � Cálculo I - ����� �� � �� �� 6 8) Encontre o domínio das funções reais indicadas abaixo: � ���� � √&� 8 % C √8� C (� Devemos ter simultaneamente: &� 8 % Q 6 9 � Q %& �[0��8� C ( Q 6 9 �� \ ( �[%�� ������ � [0 ] [% 9������� � ^� 3 !4 $G \ � \ (_� � ;� ���� � √� C % √8� C ( � Devemos ter simultaneamente: � C % Q 6 9 � Q 8% �[0�� 8� C ( 5 6 9 �� O ( �[%�� ������ � [0 ] [% 9 ������ � 2� 3 !4 8 % \ � O (7� � <� � � %* C * * C %� Devemos ter simultaneamente: * ` 6 �[0�� * C % ` 6 9 �* ` 8% �[%�� ������ � [0 ] [%� 9 ������ � ! 8 267 8 28%7� � ,� �� � � √& C %G C √% 8 W � Como o argumento da raiz cúbica pode ser qualquer número real, temos apenas a restrição do argumento da raiz quadrada, ou seja: % 8 W Q 6 9 W \ % 9 \ %W� ������� � ^ 3 !4 \ $a_� � '� ��A� � √A 8 0C A C 0A 8 %� Devemos ter simultaneamente: A 8 0 Q 6 9 A Q 0 �[0�� A 8 % ` 6 9 �A ` % �[%�� ������ � [0 ] [%�9 ������ � 2A 3 !4A Q 0 ' A ` %7� � Cálculo I - ����� �� � �� �� 7 9) Encontre o domínio e a imagem das funções reais indicadas abaixo. � � � �$ C &�� Substituindo � por qualquer número real obteremos para � um valor real. Portanto� ������ � ! ' ����� � ! � � ;� ���� � �� 8 %� A expressão bbc$ somente terá sentido se � 8 % ` 6, ou seja, � ` % Logo������� � !8 2%7���������� � 2� 3 !|� ` %7� Para determinar a imagem a função, devemos investigar quais os valores que a imagem � pode ter. Isolando � tem-se: � � �� 8 % 9 �� 8 %� � � 9 �� 8 � � %� 9 � � %� � 8 0� A expressão $ddce somente terá sentido se � 8 0 ` 6, ou, � ` 0. Portanto, não existe � 3 ������| � � 0� Logo, ����� � !8 207 ou ����� � 2� 3 !|� ` 07 � <� � � 0�� A expressão eb somente terá sentido se � ` 6, logo ������ � !f� �*������� � ! 8 267 Como não existe � 3 ! tal que a expressão eb se anule, ����� � !f� � ,� ���� � √&� 8 %� A expressão √&� 8 % somente terá sentido se &� 8 % Q 6, ou seja, � Q $G. Logo, ������ � ^� 3 !| � Q $G_�� Como a raiz quadrada de um número é sempre maior ou igual a zero, ����� � !g� � � � Cálculo I - ����� �� � �� �� 8 � � ����� �� ������ O gráfico de uma função � é o conjunto de todos os pares ordenados ��� �� no plano �� tal que � pertence ao ������ e � pertence a ������ Assim, o gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados ��� �����, pois � � ����� Costuma-se dizer que uma função real a uma variável real gera uma curva em ℜ2. Como não é possível a representação de todos os pontos ��� �����, podemos escolher alguns valores de � pertencentes ao ������ para calcular as correspondentes imagens ����. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o chamado gráfico de dispersão. Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma curva, obtendo o gráfico da função. � Análise de gráficos Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem. O domínio de uma função é o conjunto das abscissas � dos pontos do gráfico. A imagem da função é o conjunto das ordenadas � dos pontos do gráfico. Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do domínio encontra a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em mais de um ponto não é função. Os valores de � para os quais ���� � 6 chamam-se zeros da função f ou raízes da equação ���� � 6� Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Exemplos: 1) Esboce o gráfico da função � dada pela equação � � �G Inicialmente, construímos uma tabela na qual arbitramos alguns valores para � 3 ������ e calculamos os valores correspondentes de � � ����. Como ������ � ! podemos escolher valores positivos, negativos e o valor nulo para �. A seguir, localizamos os pares ordenados ��� ����� no sistema cartesiano bi- dimensional, obtendo o gráfico de dispersão. Quanto mais pontos forem calculados, melhor será a representação da função. Finalmente, unimos estes pontos, com retas ou curvas suaves, obtendo o esboço do gráfico da função. Devemos também observar o comportamento da função quando a variável independente é muito pequena ou muito grande. No exemplo � � �G� se � tender a um número muito pequeno, � � 8S� � � �G assume valores bem pequenos, � � 8S. Se � tender a um número muito grande, � � CS� � � �G assume valores muito grandes, � � CS. Essas informações permitem a representação do comportamento da função em pontos distantes dos pontos da tabela. Cálculo I - ����� �� � �� �� 9 ���� �� �� ����������������� �� �������������� � � � � � 2) Esboce o gráfico das funções indicadas � � � √� ������ � R0,C∞� , ����� � R0,C∞�, ������ → C∞ ������� � √� → C∞�� � ���� �� �� ����������������� �� �������������� � � � ;� ��*� � 2*$ ���� � �8∞,C∞� ����� � R0,C∞� �*� 2*$� ��� �� ��� �� �� �� �� �� �� �� �� � � ����� ��� ���� !��� ��� ���� !��� �� ��� !�� �� ��� !�� �� ��� !�� �� � � ����� �� ��� !�� �� ��� !�� "� ��� !�� #� ��# !$� Cálculo I - ����� �� � �� �� 10 <� ���� � �� 8 1�$ ���� � �8∞,C∞� ����� � R0,C∞� ��� �� 8 1�$ � ��� #� ��� "� �� �� �� �� �� �� $� "� ,� h��� � √9 8 � 9 8 � Q 0 ∴ � \ 9 ��h� � �8∞, 9i ���h� � R0,C∞� ��� √9 8 � � ��%� &� �'� "� �� $� &� �� #� �� '� �� � � Y4 8 $ 4 8 $ Q 0 ∴ $ \ 4 ∴ Y $ \ √4 ∴ | | \ 2 ∴ 82 \ \ 2 ���� � R82 ,2i ����� � R0,2i � � √4 8 $ � ��� ����� ���'� ���&� ��� ��'$� �� ����� �� ��'$� ��'� ���&� �� ����� Cálculo I - ����� �� � �� �� 11 �� ���� � ^� C 1 -' � Q 01 -' � O 0 ���� � �8∞,C∞� ����� � R1,C∞� �� O 0� ����� � 1� � �� Q 0� ����� � � C 1� �$� �� � �� �� ��� �� � �� �� ��� �� � �� $� �� ���� � Y�$ 8 1 �$8 1 Q 0 ∴ �$ Q 1 ∴ |�| Q 1 ∴ � Q 1 �* � \ 81 ���� � �8∞ , 1i ∪ R1,C∞� ����� � R0,C∞� ��� Y�$ 8 1 � �$� ���$� ��� ��'$� ��� ����� �� �� �� ����� �� ��'$� $� ���$� �� ���� � ^2� 8 1 -' � ` 20 -' � � 2 ���� � ! ����� � ! 8 237 �� ` 2� ����� � 2� 81� � �� � 2� ���� � 0�� ��� �&� � �� �� ��� �$� � � ��� ��� � � ��� �� � � ���##� ��#�� � � ������ $���� � � �$� &� � � � �� ��A� � YA$ 8 9 A$ 8 9 Q 0 ∴ A$ Q 9 ∴ YA$ Q √9 |A| Q 3∴ A Q 3 �* A \ 83 ���� � �8∞,83i ∪ R3,C∞� ����� � R0,C∞� �& �" �$ �� �� � � � $ " & �$ �� �� � � � $ Cálculo I - ����� �� � �� �� 12 3 Operações com Funções Tais como os números, que podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos para produzir outros números, assim também acontece com as funções. Dadas as funções � e � podemos ter as seguintes operações: a) Soma : ���� � �� C ����� � ���� C ���� ������ � ������⋂ ������ b) Subtração: ���� � �� 8 ����� � ���� 8 ���� ������ � ������⋂ ������ c) Multiplicação: ���� � ��.����� � ����. ���� ������ � ������⋂ ������ d) Divisão: ���� � ��/����� � m�b�n�b� ������ � ������⋂ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 e) Divisão: ���� � ��/����� � n�b�m�b� ������ � ������⋂ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 Graficamente, as ordenadas ���� são obtidas pela soma, diferença, multiplicação ou divisão das ordenadas ���� e ����. Exemplos Dadas duas funções � e �, encontre as funções: � � C � ; ;� � 8 � ; <� �. � ; ,� �/� ; '� �/� e determine seus domínios. 1) ���� � √5 8 � ' ���� � √� 8 3 Domínio de � : 5 8 � Q 0 ∴ � \ 5 ∴ ������ � �8∞, 5i Domínio de � : � 8 3 Q 0 ∴ � Q 3 ∴ ������ � R3,C∞� a) ���� � ���� C ���� � √5 8 � C √� 8 3 ������ � ������ ∩ ������ � R3 ,5i b) ���� � ���� 8 ���� � √5 8 � 8 √� 8 3 ������ � ������ ∩ ������ � R3 ,5i Cálculo I - ����� �� � �� �� 13 c) ���� � ����. ���� � √5 8 � .√� 8 3 � Y�5 8 ���� 8 3� ������ � ������ ∩ ������ � R3 ,5i d� ���� � ����/���� � √5 8 � √� 8 3 � q �5 8 ��� 8 3 ������ � ������ ∩ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ � 8 3 � 0 ∴ � � 3 ������ � ������ ∩ ������ 8 237 � �3 , 5i '� ���� � �������� � √� 8 3 √5 8 � � q �� 8 3�5 8 � ������ � ������ ∩ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ 5 8 � � 0 ∴ � � 5 ������ � ������ ∩ ������ 8 257 � R3 , 5� 2����� � √� 8 4 ���� � 12 � C 4 � 8 4 Q 0 ∴ � Q 4 ������ � R4,C∞� ������ � ! � ���� � √� 8 4 C e$� C 4 ������ � ������ ∩ ������ � R4,C∞� b� ���� � √� 8 4 8 e$� 8 4 ������ � ������ ∩ ������ � R4,C∞� Cálculo I - ����� �� � �� �� 14 c� ���� � r√� 8 ( s Ee$� 8 (F ������ � ������ ] ������ � R(�CS� ,� ���� � �������� � √� 8 ( 0 % � C ( ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 6 9 6�W� C ( � 6 9 � � 8: ������ � R(�CS� 8 28:7 � R(�CS�� pois -8 não está no intervalo R(�CS� '� ���� � �������� � 6�W� C ( √� 8 ( ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 6 9 √� 8 ( � 6 9 � � ( ������ � ������ ] ������ 8 2(7 � R(� CS� 8 2(7 � �(�CS� &����� � � 8 W ���� � �$8 0 ������ � ! ������ � ! � ���� � ���� C ���� � � 8 W C �$ 8 0 � �$C � 8 1 ������ � ������ ] ������ � ! ;� ���� � ���� 8 ���� � � 8 W 8 �$C 0 � 8�$C � 8 ( ������ � ������ ] ������ � ! <� ���� � ����� ���� � �� 8 W���$ 8 0� � �G8W�$8 � C W ������ � ������ ] ������ � ! ,� ���� � ����l���� � �� 8 W�l��$ 8 0� ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 6 9 �$ 8 0 � 6 9 Y�$ � 0 9 4�4 � 0 9 � � X0 ������ � ������ ] ������ 8 2X07 � ! 8 28078 207 '� ���� � ����l���� � ��$ 8 0�l�� 8 W� ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 6 9 � 8 W � 6 9 � � W ������ � ������ ] ������ 8 2W7 � ! 8 2W7 Cálculo I - ����� �� � �� �� 15 (����� � � C 0� 8 0 ���� � 0 � ������� � 8 0 ` 6 9 � ` 0 9 ������ � !8 207 ������� � ` 6 9 � ` 6 9 ������ � ! 8 267 � ���� � ���� C ���� � � C 0� 8 0 C 0 � � �$ C %� 8 0 �$8 � ������ � ������ ] ������ � ! 8 267 8 207 ;� ���� � ���� 8 ���� � � C 0� 8 0 8 0 � � �$C 0 �$8 � ������ � ������ ] ������ � ! 8 267 8 207 <� ���� � ����� ���� � =� C 0� 8 0> = 0 �> � � C 0 �$8 � ������ � ������ ] ������ � ! 8 267 8 207 ,� ���� � �������� � E� C 0� 8 0F E0�F � =� C 0� 8 0> � E � 0F � �$ C � � 8 0 ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 0� � 6 � � � XS ������ � ������ ] ������ � ! 8 267 8 207 '� ���� � �������� � 0 �� C 0 � 8 0 � =0�> = � 8 0 � C 0> � � 8 0 �$ C � ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � � C 0� 8 0 � 6 � � C 0 � 8 0 � 6 � � C 0 � 6 � � 80 ������ � ������ ] ������ 8 2807 � ! 8 267 8 207 8 2807 Cálculo I - ����� �� � �� �� 16 4 Função Composta � Sejam três conjuntos distintos �, � e � que entre eles existam as seguintes funções: �� � � � ' �� � � � Irá existir uma outra função � t � � � tal que ���� � ������� que é chamada de função composta de � e � denotada por �� u ������ Exemplo: Sejam três conjuntos � � 28&� 6 � 0� &7�� � 28W � 0 � & � v7 ' � � 2%W �0 � /� (/7 e as funções �� � � � tal que ���� � %� C 0 e �� � � � tal que ���� � �$ , conforme indicado no esquema abaixo. Para cada elemento de � existe um elemento em � tal que ���� � %� C 0 e para cada elemento de � existe um elemento de � tal que ���� � �$� Podemos concluir que existe uma função �� � � � definina por ���� � �������� ou seja: ���� � �r����s � r����s$ � �%� C 0�$ ou ���� � �r����s � ��%� C 0� � �%� C 0�$ ��&� � �r��8&�s � ��8W� � %W ��6� � �r��6�s � ��0� � 0 ��0� � �r��0�s � ��&� � / ��&� � �r��&�s � ��v� � (/ -3 0 1 3 -5 1 3 7 � -5 1 3 7 25 1 9 49 � � � � � -3 0 1 3 -5 1 3 7 25 1 9 49 � � � � � � Cálculo I - ����� �� � �� �� 17 Na função composta � u �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à imagem de � aplicamos a função � . Assim, o domínio de �� u ����� é o conjunto de todos os elementos � no domínio da função � tal que ���� esteja no domínio da função �. ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � Na função � u �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à imagem de � aplicamos a função �. Assim, o domínio de �� u ����� é o conjunto de todos os elementos � no domínio de � tal que ���� esteja no domínio de �. ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � É importante lembrar que as função � u � e � u � são geralmente diferentes. � Exemplos: 1) Dadas as funções ���� � �$ e ���� � √�, encontre a função indicada e seu domínio. ������ � ! o ������ � !g � R6�CS� ��� u ����� �� u ����� � �r����s � Y���� � Y�$ ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 ! | �% 3 R6�CS�7 � Como para todo � 3 ! , �$ 3 R6�CS� ����� u �� � 2� 3 !7 � ! ;� �� u ����� �� u ����� � �r����s � ������$ � r√�s$ ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 R6�CS� | √� 3 ! 7 � Como para todo � Q 6 , √� 3 ! ����� u �� � 2� 3 R6�CS�7� !C� <� �� u ����� � �r����s � r����s$ � ��$�$ � �B ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 ����� u �� � 2� 3 ! | �$ 3 !7 Como para todo � 3 ! , �$ 3 ! ����� u �� � 2� 3 !7 � ! ,� �� u ����� � �r����s � Y���� � w√� ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 R6�CS� | √� 3 R6�CS� 7� Como para todo � Q 6, √� Q 6 ����� u �� � 2� 3 R6�CS�7 � !g � Cálculo I - ����� �� � �� �� 18 2) Dadas as funções ���� � √� e ���� � �$ 8 0, encontre a função indicada e seu domínio. ������ � !g � R6�CS� o ������ � ! � � u � � �r����s � Y���� � Y�$8 0 ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 ! | � �$8 0� 3 R6�CS�7 � O domínio é todo � 3 ! com a restrição de (�$ 8 0� Q 6 �$8 0 Q 6 9 �$ Q 0 9 Y�$ Q 0 9 |�| Q 0 9 � Q 0 �* � \ 80 ����� u �� � 2� 3 ! | � Q 0 �* � \ 807 � �8S� 80ij R0�CS� ;� � u � � �r����s � ������$ 8 0 � r√�s$ 8 0 ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 R6�CS� | √� 3 !7 � Como para todo � Q 6, √� Q 6 ����� u �� � 2� 3 R6�CS�7 � !g� <� � u � � �r����s � Y���� � w√� ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 R6�CS� | √� 3 R6�CS�7 � Como para todo � Q 6, √� Q 6 ����� u �� � 2� 3 R6�CS�7 � !g ,� � u � � �r����s � ������$ 8 0 � ��$8 0�$ 8 0 ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 ! | ��$8 0� 3 !7 � Como para todo � 3 !, ��$ 8 0� 3 ! ����� u �� � 2� 3 !7 � !� � Cálculo I - ����� �� � �� �� 19 3) Dadas as funções ���� � √� 8 % e ���� � �$8 %, encontre a função indicada e seu domínio. ������ � R%�CS�o ������ � ! � � u � � �r����s � Y���� 8 % � Y�$8 %8 % � Y�$8 ( ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 ! | ��$8 %� 3 R%�CS�7 � O domínio é todo � 3 ! com a restrição de (�$ 8 %� Q % �$8 % Q % 9 �$8 % 8 % Q 6 9 �$ Q ( 9 |�| Q % 9 � Q % �* � \ 8% ����� u �� � 2� 3 ! | � Q % �* � \ 8%7 � �8S�8%i j R%�CS� ;� � u � � �r����s � r����s$ 8 % � r√� 8 %s$ 8 % ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 R%�CS� | √� 8 % 3 !7 � O domínio é todo � Q % com a restrição de √� 8 % 3 ! Para √� 8 % ser número real, devemos ter: � 8 % Q 6 9 � Q % ����� u �� � 2� 3 R%�CS� | � 3 R%�CS� 7 � ����� u �� � 2� 3 R%�CS�7 � � <� � u � � �r����s � Y���� 8 % � w√� 8 % 8 % ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 R%�CS� | √� 8 % 3 R%�CS�7 � O domínio é todo � Q % com a restrição de √� 8 % Q % √� 8 % Q % 9 � 8 % Q ( 9 � Q 1 ����� u �� � 2� 3 R%�CS� | � 3 R1�CS�7 � ����� u �� � R%�CS� k R1�CS� ����� u �� � R1�CS� ,� � u � � �r����s � r����s$8 % � ��$8 %�$ 8 % ����� u �� � 2� 3 ������ |���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 ! |��$8 %� 3 !7 � Como para todo � 3 !, ��$ 8 %� 3 ! ����� u �� � 2� 3 !7 � !� Cálculo I - ����� �� � �� �� 20 4) Dadas as funções ���� � 0 8 �G e ���� � eb encontre a função indicada e seu domínio. ������ � !o ������ � !8 267 � !f � � u � � �r����s � 0���� � 0 0 8 �G ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 ! | �08 �G� 3 !f7 � O domínio é todo � 3 ! com a restrição de �08 �&� 3 !f r0 8 �&s 3 !f 9 0 8 �& ` 6 9 �G ` 0 9 � ` 0 ����� u �� � 2� 3 ! | � ` 07 � ! 8 207 � ;� � u � � �r����s � 0���� � 0 0 � � � ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 !f | 0� 3 !f7 � Como para todo � ` 6 , 0l� ` 6 ����� u �� � 2� 3 !f7 � ! 8 267 � � 5) Considere uma placa metálica de seção quadrada que, devido à variação térmica, os comprimentos de seus lados aumentam com a temperatura de acordo com a equação x � 6�0 C 06, onde x é o comprimento do lado do quadrado (em <�) e é a temperatura (em �y ). Qual a área da placa quando a temperatura for de 0 �y , 10 �y , 20 �y e 30 �y ? O comprimento x dos lados da placa depende da temperatura de acordo com a equação: x � 6�0 C 06 9 x � �� �� o comprimento do lado é função da temperatura A área da placa � depende do comprimento de seus lados de acordo com a equação: � � x$ 9 � � ��x� � a área é função do comprimento. � � ��x� � �r�� �s � �� u ��� � � � x $ � ��� ��$ � �6�0 C 06�$ Quando � 6 �y � � � �6�0� 6 C 06�$ � �06�$ � 066 <�$ Quando � 06 �y � � � �6�0 �06 C 06�$ � �00�$ � 0%0 <�$ Quando � %6 �y � � � �6�0 �%6 C 06�$ � �0%�$ � 0(( <�$ Quando � &6 �y � � � �6�0 �&6 C 06�$ � �0&�$ � 01/ <�$ �
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