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∴ A Q 3 �* A \ 83 ���� � �8∞,83i ∪ R3,C∞� ����� � R0,C∞� �& �" �$ �� �� � � � $ " & �$ �� �� � � � $ Cálculo I - ����� �� � �� �� 12 3 Operações com Funções Tais como os números, que podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos para produzir outros números, assim também acontece com as funções. Dadas as funções � e � podemos ter as seguintes operações: a) Soma : ���� � �� C ����� � ���� C ���� ������ � ������⋂ ������ b) Subtração: ���� � �� 8 ����� � ���� 8 ���� ������ � ������⋂ ������ c) Multiplicação: ���� � ��.����� � ����. ���� ������ � ������⋂ ������ d) Divisão: ���� � ��/����� � m�b�n�b� ������ � ������⋂ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 e) Divisão: ���� � ��/����� � n�b�m�b� ������ � ������⋂ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 Graficamente, as ordenadas ���� são obtidas pela soma, diferença, multiplicação ou divisão das ordenadas ���� e ����. Exemplos Dadas duas funções � e �, encontre as funções: � � C � ; ;� � 8 � ; <� �. � ; ,� �/� ; '� �/� e determine seus domínios. 1) ���� � √5 8 � ' ���� � √� 8 3 Domínio de � : 5 8 � Q 0 ∴ � \ 5 ∴ ������ � �8∞, 5i Domínio de � : � 8 3 Q 0 ∴ � Q 3 ∴ ������ � R3,C∞� a) ���� � ���� C ���� � √5 8 � C √� 8 3 ������ � ������ ∩ ������ � R3 ,5i b) ���� � ���� 8 ���� � √5 8 � 8 √� 8 3 ������ � ������ ∩ ������ � R3 ,5i Cálculo I - ����� �� � �� �� 13 c) ���� � ����. ���� � √5 8 � .√� 8 3 � Y�5 8 ���� 8 3� ������ � ������ ∩ ������ � R3 ,5i d� ���� � ����/���� � √5 8 � √� 8 3 � q �5 8 ��� 8 3 ������ � ������ ∩ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ � 8 3 � 0 ∴ � � 3 ������ � ������ ∩ ������ 8 237 � �3 , 5i '� ���� � �������� � √� 8 3 √5 8 � � q �� 8 3�5 8 � ������ � ������ ∩ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ 5 8 � � 0 ∴ � � 5 ������ � ������ ∩ ������ 8 257 � R3 , 5� 2����� � √� 8 4 ���� � 12 � C 4 � 8 4 Q 0 ∴ � Q 4 ������ � R4,C∞� ������ � ! � ���� � √� 8 4 C e$� C 4 ������ � ������ ∩ ������ � R4,C∞� b� ���� � √� 8 4 8 e$� 8 4 ������ � ������ ∩ ������ � R4,C∞� Cálculo I - ����� �� � �� �� 14 c� ���� � r√� 8 ( s Ee$� 8 (F ������ � ������ ] ������ � R(�CS� ,� ���� � �������� � √� 8 ( 0 % � C ( ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 6 9 6�W� C ( � 6 9 � � 8: ������ � R(�CS� 8 28:7 � R(�CS�� pois -8 não está no intervalo R(�CS� '� ���� � �������� � 6�W� C ( √� 8 ( ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 6 9 √� 8 ( � 6 9 � � ( ������ � ������ ] ������ 8 2(7 � R(� CS� 8 2(7 � �(�CS� &����� � � 8 W ���� � �$8 0 ������ � ! ������ � ! � ���� � ���� C ���� � � 8 W C �$ 8 0 � �$C � 8 1 ������ � ������ ] ������ � ! ;� ���� � ���� 8 ���� � � 8 W 8 �$C 0 � 8�$C � 8 ( ������ � ������ ] ������ � ! <� ���� � ����� ���� � �� 8 W���$ 8 0� � �G8W�$8 � C W ������ � ������ ] ������ � ! ,� ���� � ����l���� � �� 8 W�l��$ 8 0� ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 6 9 �$ 8 0 � 6 9 Y�$ � 0 9 4�4 � 0 9 � � X0 ������ � ������ ] ������ 8 2X07 � ! 8 28078 207 '� ���� � ����l���� � ��$ 8 0�l�� 8 W� ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 6 9 � 8 W � 6 9 � � W ������ � ������ ] ������ 8 2W7 � ! 8 2W7 Cálculo I - ����� �� � �� �� 15 (����� � � C 0� 8 0 ���� � 0 � ������� � 8 0 ` 6 9 � ` 0 9 ������ � !8 207 ������� � ` 6 9 � ` 6 9 ������ � ! 8 267 � ���� � ���� C ���� � � C 0� 8 0 C 0 � � �$ C %� 8 0 �$8 � ������ � ������ ] ������ � ! 8 267 8 207 ;� ���� � ���� 8 ���� � � C 0� 8 0 8 0 � � �$C 0 �$8 � ������ � ������ ] ������ � ! 8 267 8 207 <� ���� � ����� ���� � =� C 0� 8 0> = 0 �> � � C 0 �$8 � ������ � ������ ] ������ � ! 8 267 8 207 ,� ���� � �������� � E� C 0� 8 0F E0�F � =� C 0� 8 0> � E � 0F � �$ C � � 8 0 ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � 0� � 6 � � � XS ������ � ������ ] ������ � ! 8 267 8 207 '� ���� � �������� � 0 �� C 0 � 8 0 � =0�> = � 8 0 � C 0> � � 8 0 �$ C � ������ � ������ ] ������ 8 2� 3 !4���� � 67 ���� � � C 0� 8 0 � 6 � � C 0 � 8 0 � 6 � � C 0 � 6 � � 80 ������ � ������ ] ������ 8 2807 � ! 8 267 8 207 8 2807 Cálculo I - ����� �� � �� �� 16 4 Função Composta � Sejam três conjuntos distintos �, � e � que entre eles existam as seguintes funções: �� � � � ' �� � � � Irá existir uma outra função � t � � � tal que ���� � ������� que é chamada de função composta de � e � denotada por �� u ������ Exemplo: Sejam três conjuntos � � 28&� 6 � 0� &7�� � 28W � 0 � & � v7 ' � � 2%W �0 � /� (/7 e as funções �� � � � tal que ���� � %� C 0 e �� � � � tal que ���� � �$ , conforme indicado no esquema abaixo. Para cada elemento de � existe um elemento em � tal que ���� � %� C 0 e para cada elemento de � existe um elemento de � tal que ���� � �$� Podemos concluir que existe uma função �� � � � definina por ���� � �������� ou seja: ���� � �r����s � r����s$ � �%� C 0�$ ou ���� � �r����s � ��%� C 0� � �%� C 0�$ ��&� � �r��8&�s � ��8W� � %W ��6� � �r��6�s � ��0� � 0 ��0� � �r��0�s � ��&� � / ��&� � �r��&�s � ��v� � (/ -3 0 1 3 -5 1 3 7 � -5 1 3 7 25 1 9 49 � � � � � -3 0 1 3 -5 1 3 7 25 1 9 49 � � � � � � Cálculo I - ����� �� � �� �� 17 Na função composta � u �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à imagem de � aplicamos a função � . Assim, o domínio de �� u ����� é o conjunto de todos os elementos � no domínio da função � tal que ���� esteja no domínio da função �. ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � Na função � u �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à imagem de � aplicamos a função �. Assim, o domínio de �� u ����� é o conjunto de todos os elementos � no domínio de � tal que ���� esteja no domínio de �. ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � É importante lembrar que as função � u � e � u � são geralmente diferentes. � Exemplos: 1) Dadas as funções ���� � �$ e ���� � √�, encontre a função indicada e seu domínio. ������ � ! o ������ � !g � R6�CS� ��� u ����� �� u ����� � �r����s � Y���� � Y�$ ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 ! | �% 3 R6�CS�7 � Como para todo � 3 ! , �$ 3 R6�CS� ����� u �� � 2� 3 !7 � ! ;� �� u ����� �� u ����� � �r����s � ������$ � r√�s$ ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 R6�CS� | √� 3 ! 7 � Como para todo � Q 6 , √� 3 ! ����� u �� � 2� 3 R6�CS�7� !C� <� �� u ����� � �r����s � r����s$ � ��$�$ � �B ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 ����� u �� � 2� 3 ! | �$ 3 !7 Como para todo � 3 ! , �$ 3 ! ����� u �� � 2� 3 !7 � ! ,� �� u ����� � �r����s � Y���� � w√� ����� u �� � 2� 3 ������ | ���� 3 ������7 � ����� u �� � 2� 3 R6�CS� | √� 3 R6�CS� 7