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Funções - Profª Rita CC

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∴ 			A Q 3		�*		A \ 83 
 ���� � �8∞,83i ∪ R3,C∞�			����� � R0,C∞� 
 
�&
�"
�$
��
��
�
�
�
$
"
&
�$ �� �� � � � $
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 12 
 
3 Operações com Funções 
 
Tais como os números, que podem ser somados, subtraídos, multiplicados e 
divididos para produzir outros números, assim também acontece com as funções. 
 
Dadas as funções �	e � podemos ter as seguintes operações: 
 
a) Soma : ���� � �� C ����� � ���� C ����								������ � ������⋂ 	������ 
b) Subtração: ���� � �� 8 ����� � ���� 8 ����							������ � ������⋂ 	������ 
c) Multiplicação: ���� � ��.����� � ����. ����															������ � ������⋂ 	������ 
d) Divisão: ���� � ��/����� � m�b�n�b� 															������ � ������⋂ 	������ 8	 2� ∈ !|���� � 07 
e) Divisão: ���� � ��/����� � n�b�m�b� 															������ � ������⋂ 	������ 8	 2� ∈ !|���� � 07 
 
Graficamente, as ordenadas ���� são obtidas pela soma, diferença, multiplicação ou 
divisão das ordenadas	���� e ����. 
 
 
Exemplos 
 
Dadas duas funções � e �, encontre as funções: 
�	� C �	; 		;�	� 8 �	; <�	�. �	; 	,�		�/�	;	 '�	�/� e determine seus domínios. 
 
1) ���� � √5 8 �				'			���� � √� 8 3 
 
Domínio de �	: 5 8 � Q 0		 ∴ 		� \ 5		 ∴ 				������ � �8∞, 5i 
Domínio de � : � 8 3 Q 0		 ∴ 		� Q 3		 ∴ 			������ � R3,C∞� 
 
a) ���� � ���� C ���� � √5 8 �		 	C √� 8 3 
 ������ � ������ ∩ ������ � R3	,5i 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ���� � ���� 8 ���� � √5 8 �		 8 √� 8 3 
 ������ � ������ ∩ ������ � R3	,5i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 13 
 
c) ���� � ����. ���� � √5 8 �		.√� 8 3 � Y�5 8 ���� 8 3� 
 ������ � ������ ∩ ������ � R3	,5i 
 
 
 
 
 
 
 
d�	���� � ����/���� � √5 8 �		√� 8 3 		� q
�5 8 ��� 8 3 
 ������ � ������ ∩ ������ 8	2� ∈ !|���� � 07 
 ���� � 0				 ∴ 			� 8 3 � 0		 ∴ 		� � 3 
 ������ � ������ ∩ ������ 8	237 � �3	, 5i 
 
 
 
 
'�	���� � �������� � √� 8 3		√5 8 � � q
�� 8 3�5 8 � 		 
 ������ � ������ ∩ ������ 8	2� ∈ !|���� � 07 
 ���� � 0				 ∴ 			5 8 � � 0		 ∴ 		� � 5 
 ������ � ������ ∩ ������ 8	257 � R3	, 5� 
 
 
 
 
2����� � √� 8 4												���� � 12 � C 4 � 8 4 Q 0					 ∴ 					� Q 4						 
 ������ � R4,C∞�						������ � !	 
 
 
 
�	���� � √� 8 4 C e$� C 4											 			������ � ������ ∩ ������ � 	 R4,C∞� 
 
 b�	���� � √� 8 4 8 e$� 8 4											 			������ � ������ ∩ ������ � 	 R4,C∞� 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 14 
 
 c�	���� � r√� 8 (	s Ee$� 8 (F											 			������ � ������ ] ������ � 	 R(�CS� 
 
 
	,�	���� � �������� �
√� 8 (
0
% � C (
	 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 6		 9 			6�W� C ( � 6			 9 			� � 8:		 
			������ � 	 R(�CS� 8 28:7 � R(�CS�� pois -8 não está no intervalo R(�CS� 
 
'�	���� � �������� �
6�W� C (
√� 8 ( 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 6		 9 			√� 8 ( � 6				 9 		� � ( 
������ � ������ ] ������ 8 2(7 � R(� CS� 8 2(7 � �(�CS� 
 
 
&����� � � 8 W										���� � �$8 0			 
 
		������ � !					������ � !	 
 
�	���� � ���� C ���� � � 8 W C �$ 8 0 � �$C � 8 1 
						������ � ������ ] ������ � 	! 
 
;�	���� � ���� 8 ���� � � 8 W 8 �$C 0 � 8�$C � 8 ( 
						������ � ������ ] ������ � 	! 
 
<�	���� � ����� ���� � �� 8 W���$ 8 0� � �G8W�$8 � C W 
						������ � ������ ] ������ � 	! 
 
,�	���� � ����l���� � �� 8 W�l��$ 8 0� 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 6			 9 		�$ 8 0 � 6		 9 				Y�$ � 0						 9 						 4�4 � 0			 9 			� � X0 
			������ � ������ ] ������ 8 2X07 � 	! 8 28078 207 
 
'�	���� � ����l���� � ��$ 8 0�l�� 8 W� 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 6			 9 		� 8 W � 6		 9 				� � W 
			������ � ������ ] ������ 8 2W7 � 	! 8 2W7 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 15 
 
(����� � � C 0� 8 0 															���� �
0
� 
 
�������					� 8 0 ` 6					 9 					� ` 0			 9 				������ � !8 207	 
�������					� ` 6									 9 								� ` 6				 9		 ������ � ! 8 267 
 
 
�	���� � ���� C ���� � � C 0� 8 0 C		
0
� �
�$ C %� 8 0
�$8 � 				 
			������ � ������ ] ������ � 	! 8 267 8 207 
 
 
;�	���� � ���� 8 ���� � � C 0� 8 0 8		
0
� �
�$C 0
�$8 �				 
			������ � ������ ] ������ � 	! 8 267 8 207 
 
 
<�	���� � ����� ���� � =� C 0� 8 0>	=
0
�> �
� C 0
�$8 � 				 
			������ � ������ ] ������ � 	! 8 267 8 207 
 
 
,�	���� � �������� �
E� C 0� 8 0F
E0�F
� =� C 0� 8 0> � E
�
0F �
�$ C �
� 8 0 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 0� � 	6 � � � XS				 
			������ � ������ ] ������ � 	! 8 267 8 207 
 
 
'�	���� � �������� �
0
�� C 0
� 8 0
�	=0�> =
� 8 0
� C 0> 	�
� 8 0
�$ C � 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � � C 0� 8 0 � 6		 �				
� C 0
� 8 0 � 6		 � 	� C 0 � 6				� � 80 
			������ � ������ ] ������ 8 2807 � 	! 8 267 8 207 8 2807 
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 16 
 
4 Função Composta 
�
Sejam três conjuntos distintos �, � e � que entre eles existam as seguintes funções: �� � � �								'								�� � � � 
Irá existir uma outra função � t � � � tal que ���� � ������� que é chamada de 
função composta de �	 e � denotada por �� u ������ 
 
Exemplo: 
Sejam três conjuntos � � 28&� 6	� 0� &7�� � 28W	� 0	� &	� v7		'		� � 2%W	�0	� /� (/7	e as funções 
�� � � � tal que ���� � %� C 0 e �� � � � tal que ���� � �$ , conforme indicado no 
esquema abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada elemento de � existe um elemento em � tal que ���� � %� C 0 e para cada 
elemento de � existe um elemento de � tal que ���� � �$� 
Podemos concluir que existe uma função �� � � � definina por ���� � �������� ou seja: 
���� � �r����s � r����s$ � �%� C 0�$ ou ���� � �r����s � ��%� C 0� � �%� C 0�$ 
 
 
 
 
 
 
 
 
��&� � �r��8&�s � ��8W� � %W 
��6� � �r��6�s � ��0� � 0 
��0� � �r��0�s � ��&� � / 
��&� � �r��&�s � ��v� � (/ 
 
-3 
0 
1 
3 
-5 
1 
3 
7 
� 
-5 
1 
3 
7 
25 
1 
9 
49 
� 
� � � � 
-3 
0 
1 
3 
-5 
1 
3 
7 
25 
1 
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49 
� � 
� � � 
� 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 17 
 
Na função composta � u �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou 
seja, à imagem de � aplicamos a função � . Assim, o domínio de �� u ����� é o 
conjunto de todos os elementos � no domínio da função � tal que ���� esteja no 
domínio da função �. ����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
Na função � u �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à 
imagem de � aplicamos a função �. Assim, o domínio de �� u ����� é o conjunto de 
todos os elementos � no domínio de � tal que ���� esteja no domínio de �. 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
É importante lembrar que as função � u � e � u � são geralmente diferentes. 
�
Exemplos: 
1) Dadas as funções ���� � �$ e ���� � √�, encontre a função indicada e seu 
domínio. 
������ � !		o 			������ � !g � R6�CS�				 
��� u ����� 
�� u ����� � �r����s � Y���� � Y�$ 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 !	|	�% 3 R6�CS�7		�
Como para todo	� 3 !	, �$ 3 R6�CS�	 
����� u �� � 		 2� 3 !7 � 	!	 
;�	�� u ����� 
�� u ����� � �r����s � ������$ � r√�s$ 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 R6�CS�	|	√� 3 !	7		�
Como para todo � Q 6	, √� 3 ! 
����� u �� � 2� 3 R6�CS�7� 		!C�
<�	�� u ����� � �r����s � r����s$ � ��$�$ � �B 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7	 
����� u �� � 2� 3 !	|	�$ 3 !7	 
Como para todo � 3 !	, �$ 3 ! 
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