Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Professor: Gabriela Faria Barcelos Gibim
EXERCÍCIOS: Derivação Implícita, Derivadas das funções logarítmicas, Taxas Relacionadas e Valores Máximos e Mínimos
Determine a derivada y’ das curvas dadas implicitamente por:
Derive as funções:
O modelo 
mede a percentagem do nível de oxigênio em uma lagoa; t é o tempo em semanas, após o lançamento de detritos orgânicos na lagoa. Ache a taxa de variação de N em relação a t quando: 
a) t = 0,5 b) t = 2 c) t = 8. 
Determine a taxa de variação do volume V de uma esfera em relação ao seu raio r para: 
a) r arbitrário b) r = 1 m
Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área A da superfície da mancha em relação ao raio r do círculo para: 
a) r arbitrário b) r = 200 m
Despejam-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro de base igual à altura. Quando a altura do monte é de 3 m, a taxa de variação com que a areia é despejada é de 0,01 m³/ min. Qual a taxa de variação da altura do monte quando esta for de 3 m? 
Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número n de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por 
.
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia?
Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por 
Determinar: 
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento. 
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.
Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l = 2 + t², onde a variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado quando t = 2. 
 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
 Para as funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, encontre os valores mínimos e máximos locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão:
 
Respostas:
...
a) 
 b) 
 c) 
...
Aprox. 0,0014m/min.
a) 48 pessoas/dia, b) dn/dt (8) = 0. Logo a epidemia está controlada. C) aprox. 43 pessoas
c) saiu 38750 litros de água
48 unidades de área / unidade de tempo
 
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