Máquinas de Fluxo - Antonio Kozlik Junior

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MÁQUINAS DE FLUXO 
 
 
 
 
 
 
 
Antônio Kozlik Júnior 
2010 
Índice 
1. Equações fundamentais e triângulos 3 
2. Alturas de queda e elevação, potências e rotação 22 
3. Grandezas de funcionamento 35 
4. Labirintos 52 
5. Caixas espirais 59 
6. Cavitação 66 
7. Semelhança 82 
 3 
1. Conceito 
Toda máquina que transforma energia hidráulica (Eh) em trabalho mecânico (Tm) 
ou Tm em Eh
Essas máquinas trabalham com fluidos incompressíveis como a água, óleos, etc 
e dependendo da transformação de energia elas são chamadas de TURBINA e 
BOMBA. 
, com variação pouco sensível do peso específico (volume específico) do 
fluido em escoamento, denominados de MÁQUINA HIDRÁULICA. 
No caso particular de fluido que pode variar o volume específico como gás (ar), 
até o limite inferior a 1000 mm de coluna de água, de diferença de pressão 
desenvolvida pela máquina, denominamos VENTILADOR, e neste caso é considerado 
como máquina hidráulica. No entanto, se a compressão é grande, não se pode 
desprezar a variação do volume específico do gás, e assim a máquina (compressor) 
deve ser denominada como máquina térmica. 
 
2. Classificação 
As máquinas hidráulicas se apresentam em grupos de máquinas constituídos de 
MOTORES GERADORES. 
No primeiro grupo a transformação ocorre da energia hidráulica (Eh) para 
trabalho mecânico (Tm) e nele se enquadram as TURBINAS. O segundo, ao contrário, 
transforma o trabalho mecânico (Tm) em energia hidráulica (Eh
Como exemplo apresentamos um grupo de máquinas de uma instalação de 
bombeamento. 
) e neste grupo estão as 
BOMBAS e VENTILADORES. 
 
 
Figura 2.1 – Grupo de máquinas. 
Neste grupo o motor elétrico é o MOTOR que transforma a energia elétrica em 
trabalho mecânico e a bomba é o GERADOR que transforma o trabalho mecânico em 
energia hidráulica. 
Segundo a equação de Bernoulli as máquinas hidráulicas se classificam em: 
 
-MÁQUINAS DE DESLOCAMENTO 
-TURBOMÁQUINAS 
T
M G
(Motor elétrico) (Bomba)
Ee Eh
 4 
As máquinas de deslocamento, de acordo com o movimento do órgão 
responsável pela transformação de energias, subdividem-se em: 
 
- ALTERNATIVAS 
- ROTATIVAS 
-MISTAS 
 
A esta classe de máquinas pertencem tipos importantes utilizados em 
transmissões e controles hidropneumáticos. 
As turbomáquinas subdividem-se, de acordo com a direção principal do 
escoamento em: 
- RADIAIS 
- AXIAIS 
- DIAGONAIS 
- TANGENCIAIS 
 
Os quatro rotores a seguir exemplificam os tipos segundo a direção principal do 
escoamento: 
 
Rotor radial 
 
Rotor diagonal 
 
Rotor axial 
 
Rotor tangencial 
 5 
Outra maneira, freqüentemente usada, para classificar as turbomáquinas é de 
acordo com a transformação de energias, em: 
 
- REAÇÃO 
- AÇÃO 
 
Nas turbomáquinas de AÇÃO toda energia do fluido é transformada em energia 
cinética, antes da transformação em trabalho mecânico processado pela máquina. Nas 
de REAÇÃO tanto a energia cinética como a de pressão são transformadas em 
trabalho mecânico e vice-versa. 
As turbomáquinas de Ação do grupo MOTORA largamente utilizadas são as 
turbinas Pelton (tangencial) e Michell (duplo efeito radial). Não existe aplicação prática 
de turbomáquinas de Ação do grupo GERADORA. 
As de Reação do grupo MOTORA mais empregadas atualmente, são as turbinas 
Francis (radial ou diagonal), Kaplan e Hélice (axiais) e do grupo GERADORA as 
bombas e ventiladores (radiais, diagonais e axiais). 
 
3. Equações Fundamentais 
3.1. Equação Geral 
A equação de EULER desempenha um papel fundamental no estudo das 
máquinas de fluxo. Constitui, pois, a equação básica para o desenvolvimento das 
bombas, ventiladores e turbinas. Ela expressa intercâmbio de energia entre o rotor e 
fluido (fluido e rotor). 
Consideraremos um rotor de bomba centrífuga de infinitas pás de espessura 
infinitesimal, no qual escoa um fluido incompressível, sem atrito, e de forma isenta de 
choque na entrada. 
 
Figura 3.1 Rotor radial de bomba 
 
Aplicando o princípio das quantidades de movimentos a linha de corrente “LL”de 
vazão dQ, escoando pelo rotor com uma mudança de direção das velocidades de C4 e 
C5
 
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜌𝜌 (𝐶𝐶5 − 𝐶𝐶4) , teremos: 
 
E considerando os momentos em relação ao eixo do rotor. 
 
 6 
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜌𝜌 (𝐿𝐿5𝐶𝐶5 − 𝐿𝐿4𝐶𝐶4) 
 
Sendo 
 
dM – momento resultante em relação ao eixo da máquina de todas as forças as 
atuantes no motor 
L4 L5 – braços de momentos das velocidades C4 e C5
 
𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝜌𝜌 (𝐿𝐿5𝐶𝐶5 − 𝐿𝐿4𝐶𝐶4) 
 resultam integrando a 
expressão acima o momento de EULER. 
 
Retirando da figura 3.2 os braços em função dos raios, obtemos: 
 
𝐿𝐿4 = 𝑟𝑟4 cos𝛼𝛼4 e 𝐿𝐿5 = 𝑟𝑟5 cos𝛼𝛼5 
 
 
Figura 3.2 Rotor radial de bomba 
 
e substituindo, vem: 
 
𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝜌𝜌 (𝑟𝑟5𝐶𝐶5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼5 − 𝑟𝑟4𝐶𝐶4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼4) 
 
Como P = M𝜔𝜔: 
 
𝑃𝑃 = 𝑑𝑑𝜔𝜔 = 𝑑𝑑 𝜌𝜌 𝜔𝜔(𝑟𝑟5𝐶𝐶5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼5 − 𝑟𝑟4𝐶𝐶4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼4) 
 
Onde 𝜔𝜔 = (2𝜋𝜋n)/60 velocidade angular do rotor 
 
 7 
Chamando 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ altura teórica infinita que o rotor com infinitas pás (linhas de 
corrente iguais), transfere ao fluido e “Q”a vazão por unidade de peso que escoa pela 
bomba, esta transmitirá ao fluido uma potência: 
 
𝑃𝑃 = 𝑑𝑑𝑄𝑄𝐻𝐻𝑡𝑡∞ 
 
Como as expressões anteriores representam a mesma potência trasmitida ao 
fluido, podemos iguala-las: 
 
𝑑𝑑𝑄𝑄𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 𝑑𝑑𝜌𝜌𝜔𝜔(𝑟𝑟5𝐶𝐶5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼5 − 𝑟𝑟4𝐶𝐶4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼4) 
 
e considerando que: 
𝑄𝑄 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 
𝑈𝑈4 = 𝑟𝑟4𝜔𝜔 
𝑈𝑈5 = 𝑟𝑟5𝜔𝜔 
𝐶𝐶𝑢𝑢4 = 𝐶𝐶4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼4 
𝐶𝐶𝑢𝑢5 = 𝐶𝐶5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼5 
 
Resulta substituindo e simplificando: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 1𝜌𝜌 (𝑈𝑈5𝐶𝐶𝑢𝑢5 − 𝑈𝑈4𝐶𝐶𝑢𝑢4) 
 
Finalmente, como o escoamento através de um rotor de turbina tem sentido 
contrário ao da bomba, resulta: 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = ± 1𝜌𝜌 (𝑈𝑈5𝐶𝐶𝑢𝑢5 − 𝑈𝑈4𝐶𝐶𝑢𝑢4) (E.F.G.) 
 
Sendo o sinal “+”para máquinas geradoras e o sinal “-“ para motoras. Esta última 
expressão é chamada de equação de EULER ou Equação Fundamental Geral válida 
para máquinas radiais e axiais. 
A equação fundamental para máquinas axiais é um caso particular da E.F.G.: 
 
Para axiais: 𝑈𝑈4 = 𝑈𝑈5 = 𝑈𝑈 
Resulta: 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 𝑈𝑈𝜌𝜌 (𝐶𝐶𝑢𝑢5 − 𝐶𝐶𝑢𝑢4) 
 
3.2. Equação em função das velocidades U, W e C 
Do triângulo de velocidade de entrada de um rotor de turbina, deduz-se da 
trigonometria que: 
 
𝑊𝑊42 = 𝑈𝑈42 + 𝐶𝐶42 − 2𝑈𝑈4𝐶𝐶4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼4 
 
Como: 𝐶𝐶𝑢𝑢4 = 𝐶𝐶4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼4 
 
 8 
Vem: 𝑊𝑊42 = 𝐶𝐶42 − 2𝑈𝑈4𝐶𝐶𝑢𝑢4 
 
 
Figura 3.3 Triângulo 
 
Ou 𝑈𝑈4𝐶𝐶𝑢𝑢4 = 12 (𝑈𝑈42 + 𝐶𝐶42 − 𝑊𝑊42) 
 
Da mesma maneira para saída: 
 
𝑈𝑈5𝐶𝐶𝑢𝑢5 = 12 (𝑈𝑈52 + 𝐶𝐶52 − 𝑊𝑊52) 
 
Substituindo na equação de EULER, teremos: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 12𝜌𝜌 (𝑈𝑈52 + 𝐶𝐶52 −𝑊𝑊52 − 𝑈𝑈42 − 𝐶𝐶42 + 𝑊𝑊42) 
 
E finalmente a Equação de EULER ou Equação Fundamental Geral em função 
das velocidades dos triângulos de entrada e saída do rotor: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = ±(𝑈𝑈52− 𝑈𝑈422𝜌𝜌 + 𝐶𝐶52− 𝐶𝐶422𝜌𝜌 + 𝑊𝑊42− 𝑊𝑊522𝜌𝜌 ) (1.4) 
 
Valendo o sinal “+”para geradores e p “-“para motores. 
A altura teórica infinita também pode ser definida pela equação de Bernoulli: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = ±(𝑝𝑝5 − 𝑝𝑝4𝑄𝑄 + 𝐶𝐶52 − 𝐶𝐶422𝜌𝜌 + 𝑍𝑍5 − 𝑍𝑍4) 
 
Supondo que 𝑍𝑍5 − 𝑍𝑍4 = 0, resulta: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = ±(𝑝𝑝5−𝑝𝑝4𝑄𝑄 + 𝐶𝐶52− 𝐶𝐶422𝜌𝜌 ) (1.5) 
 
Comparando as equações 1.4 e 1.5 resulta: 
a ALTURADE PRESSÃO desenvolvida pelo rotor: 
 
∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 = ± �𝑝𝑝5 − 𝑝𝑝4𝑄𝑄 � = ±(𝑈𝑈52 − 𝑈𝑈422𝜌𝜌 + 𝑊𝑊42 − 𝑊𝑊522𝜌𝜌 ) 
 9 
e ALTURA DINÂMICA: 
∆𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = ±(𝐶𝐶52 − 𝐶𝐶422𝜌𝜌 ) 
 
4. Conceitos de ação e reação 
É possível a interpretação dos conceitos de AÇÃO e REAÇÃO, em função da 
expressão da altura de pressão: 
 
a – motores: 
∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 = 𝑝𝑝4− 𝑝𝑝5𝑄𝑄 = 0 a máquina é de ação ou pressão constante 
 
∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 = 𝑝𝑝4− 𝑝𝑝5𝑄𝑄 > 0 a máquina é de reação 
 
b – geradores: 
∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 = 𝑝𝑝5− 𝑝𝑝4𝑄𝑄 = 0 a máquina é de ação, sem aplicação prática 
∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 = 𝑝𝑝5− 𝑝𝑝4𝑄𝑄 > 0 a máquina é de reação abrangendo, todas as aplicações 
práticas existentes. 
 
5. Equações simplificadas 
No dimensionamento das turbomáquinas o projetista procura sempre obter a 
máxima transformação de energias, e para isto é necessário considerar: 
 
a-motores: 
𝐶𝐶𝑢𝑢5 = 0 (condição imposta pelo projetista) 
 
Esta condição representa que o escoamento na saída da máquina não tem 
componente transversal, mas somente na direção do eixo. Com esta condição, resulta 
a equação simplificada: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 1𝜌𝜌 𝐶𝐶𝑢𝑢4𝑈𝑈4 
 
b-geradores: 
 
𝐶𝐶𝑢𝑢4 = 0 (condição devida ao próprio contorno da máquina) 
 
Neste caso o escoamento entra no rotor sempre na direção radial e esta 
situação só se modificará com a adição de um sistema de aletas na entrada do rotor 
que causará a alteração na direção da velocidade absoluta na entrada. Desta forma 
fica reduzida a: 
 10 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 1𝜌𝜌 𝐶𝐶𝑢𝑢5𝑈𝑈5 
 
 
 
6. Equações para condições reais de escoamento 
6.1. Introdução 
Das condições impostas para a determinação das Equações Fundamentais 
Gerais no item 1 deste capítulo, é considerado através do rendimento hidráulico que 
permite avaliar a perda de pressão na troca de energias pelo rotor. Além do atrito, o 
efeito produzido pelo número finito de pás, também, deve ser levado em conta na 
correção das equações. 
O escoamento para um número infinito de pás conduziu as igualdades 
 
𝛽𝛽3 = 𝛽𝛽4 na entrada do rotor, e 
𝛽𝛽5 = 𝛽𝛽6 na saída do rotor 
 
O fluxo ao passar pelo canal é desviado pela pá, esse desvio está representado 
na figura 6.1 pela curvatura da pá ou pela variação da direção das velocidades relativas 
dos triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor. 
Na fig 6.1 o desvio “∆”é a diferença entre as componentes das velocidades 
absolutas na direção tangencial na entrada e saída do rotor 
 
∆ = 𝑓𝑓(𝐶𝐶𝑢𝑢4 = 𝐶𝐶𝑢𝑢5) 
 
Como 𝐻𝐻𝑡𝑡 é função da variação entre as componentes 𝐶𝐶𝑢𝑢4 e 𝐶𝐶𝑢𝑢5, concluímos que 
o desvio é diretamente proporcional a altura teórica infinita desenvolvida pelo rotor, 
conforme a E.F.G. 
 
 11 
Figura 6.1 – Representação do desvio do fluxo 
 
Assim analisaremos as alterações produzidas pelo número finito de pás sobre o 
desvio do fluxo “∆” considerando, separadamente um escoamento ideal (sem atrito) e 
com atrito. 
 
6.2. Escoamento ideal 
Esta análise será feita apenas para o fluxo em um rotor axial figura 6.2 por 
serem os efeitos idênticos aos dos radiais. 
O escoamento ao passar pelo rotor axial provoca uma diferença de pressões 
entre os lados da pá. Na entrada, devido a essa diferença de pressões, o resultado é a 
mudança de direção de 𝑊𝑊3 para 𝑊𝑊4 (𝛽𝛽3< 𝛽𝛽4), não ocasionando choque no bordo de 
ataque da pá. Na saída, devido à diferença de pressão e as conseqüentes diferenças 
de velocidades, aparece o movimento relativo dentro do canal, resultando a mudança 
de direção das velocidades 𝑊𝑊5 para 𝑊𝑊6 (𝛽𝛽5 < 𝛽𝛽6). 
Desta forma, o desvio provocado pela mudança de direções 𝑊𝑊3 𝑒𝑒 𝑊𝑊6 é menor 
que o desvio entre as velocidades 𝑊𝑊4 e 𝑊𝑊5 
∆36< ∆45 
 
 
 
(ed) = extra dorso da pá (lado de maior pressão) 
(d) = dorso da pá (lado de menor pressão) 
 
Assim, o número finito de pás com um escoamento ideal causará uma redução 
do desvio da corrente e, portanto, uma redução na altura teórica 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 < 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ 
 
Esta conclusão vale tanto para turbinas como para bombas, pois o 
comportamento do fluxo é o mesmo nos dois casos. 
 
 12 
6.3. Influência da viscosidade 
Como a direção do escoamento na entrada é rigidamente predeterminada e, 
portanto, a altura teórica de acordo com a Equação Fundamental, depende somente da 
velocidade do fluxo de saída, um ângulo de entrada não adequado alterará somente as 
condições de entrada do fluxo sem choque. 
Assim, o efeito da viscosidade não modificará sensivelmente o fluxo de entrada 
em turbinas e bombas, com exceção dos rotores com pás bem distanciadas. 
A análise do escoamento na saída do rotor indica a formação de espaços mortos 
devidos ao deslocamento da camada limite na parte convexa da pá. Estes espaços 
mortos e a espessura finita das pás provocam um estrangulamento da seção no canal 
do rotor, conforme figura 6.3.1 
 
Figura 6.3.1 – Fluxo com atrito em rotor axial de turbina. 
 
Devido ao estrangulamento da seção, a velocidade 𝑊𝑊5 sofrerá um acréscimo 
passando para 𝑊𝑊5 ′ com conseqüente aumento das componentes 𝐶𝐶𝑚𝑚5 e 𝑊𝑊𝑢𝑢5. Após a 
saída cessa a influência do fluido sobre o rotor, permanecendo constante a 
componente 𝑊𝑊𝑢𝑢5′ igual a 𝑊𝑊𝑢𝑢6 e a componente 𝐶𝐶𝑚𝑚5′ é diminuída em função do 
alargamento da seção “6”, passando para 𝐶𝐶𝑚𝑚6. 
Desta forma, o ângulo do fluxo na saída se reduz, resultando um desvio maior e, 
portanto, um aumento da altura teórica para turbinas. 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 > 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ 
 
E para bombas o efeito do deslocamento da camada limite é mais acentuado, 
devido ao fluxo desacelerado nos canais do rotor, figura 6.3.2, o que produz espaços 
mortos mais extensos, resultando alterações idênticas ao rotor de turbina. 
 
 13 
 
Fig. 6.3.2 – Fluxo com atrito em rotor axial de bomba. 
 
O desvio para bombas fica reduzido e, portanto, resulta uma diminuição da 
altura teórica 
6.4. Efeito Final 
Para um escoamento real deveremos considerar essas alterações dos desvios 
simultaneamente. No caso das turbinas essas alterações são praticamente iguais e de 
efeitos contrários, o que tornam aproximadamente iguais as alturas 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 = 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 1𝜌𝜌𝐶𝐶𝑢𝑢4𝑈𝑈4 
 
Em rotores com pás distanciadas deve-se considerar no projeto um 
sobreângulo, que corrige a falta de orientação do fluxo. Nas bombas os dois desvios 
diminuem a altura teórica, provocando uma dupla redução na altura teórica 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 ≪ 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ 
 
sendo 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 = 1𝜌𝜌 𝐶𝐶𝑢𝑢6𝑈𝑈5 e 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 1𝜌𝜌 𝐶𝐶𝑢𝑢5𝑈𝑈5 
 
Na prática, para geradores, a obtenção de 𝐻𝐻𝑡𝑡 é feita em função de um fator “a” 
(a>1) que leva em consideração as alterações citadas. Assim, as alturas teóricas, estão 
ligadas pela relação 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 𝑎𝑎𝐻𝐻𝑡𝑡 
 
 14 
6.5. Correção de 𝑯𝑯𝒕𝒕∞ para 𝑯𝑯𝒕𝒕 
O processo empregado na prática para o cálculo da influência do número finito 
de pás é o método de Pfleider. Este método calcula o fator “a” através da seguinte 
equação 
𝑎𝑎 = 1 + 2 𝜑𝜑′
𝑍𝑍
 11(𝑟𝑟4𝑟𝑟5)2 
 
Onde 
 
𝑟𝑟4 raio de entrada do rotor 
𝑟𝑟5 raio de saída do rotor 
Z número de pás 
𝜑𝜑′ coeficiente empírico, experimental, variável com 𝛽𝛽5. 
 
 
Esse coeficiente pode ser obtido na tabela seguinte: 
 
 
 
 
Valores de ϕ' 
β5 20 em graus 3 5 0 5 0 
Bombas c/aletas 0,76 ,80 ,81 ,85 ,90 ,94 
Bombas s/aletas 0,86 ,90 ,91 ,95 ,00 ,04 
 
Observa-se na tabela que o valor de 𝜑𝜑′ depende da existência ou não do 
sistema de aletas ajustáveis. Para bombas com pás radiais, adota-se 𝑟𝑟5 = 2𝑟𝑟4, 
transformando a equação em 
 
𝑎𝑎 = 1 + 83 𝜑𝜑′𝑍𝑍 
 
equação válida para as pás radiais com 𝑟𝑟4 𝑟𝑟5�≥ 0,5. 
 
7. Triângulos para número finito de pás. 
Como a redução da altura teórica somente ocorre nas bombas, apresentaremos 
os triângulos para este caso. 
 
 15 
7.1. Aresta de sucção. 
Uma eventual alteração na entrada é praticamente desprezível, e considerando 
que geralmente 𝐶𝐶𝑢𝑢4 = 0. A influência na entrada não afeta a altura teórica. O triângulo 
na figura 7.6.1 considera apenas a espessura das pás 
 
Figura 7.6.1 – Triângulo de velocidade de bombas para n° finito de pás 
 
7.2. Aresta de pressão. 
O triângulo de velocidades resultante de um escoamento congruente com pá 
AB5 da figura 7.6.2, se transforma no triângulo de velocidades AB5’. Os vértices “5” e 
“5’” dos triângulos situam-se em uma paralela a 𝑈𝑈5, porque, a componente meridiana 
𝐶𝐶𝑚𝑚5 permanece igual. A redução na altura teórica em bombas aparece devido à 
redução da componente da velocidade absoluta na direção tangencial, expressa por: 
 
∆𝐶𝐶𝑢𝑢 = 𝐶𝐶𝑢𝑢5 − 𝐶𝐶𝑢𝑢6 
 
Ainda deve ser considerado que os canais, devido a espessura das pás, sofrem 
um estreitamento provocando um aumento da velocidade meridiana dentro do canal do 
rotor, portanto, logo após o rotor esta velocidade sofrerá uma diminuição, função de 
não mais existir a influência da espessura das pás, resultando 𝐶𝐶𝑚𝑚6 < 𝐶𝐶𝑚𝑚5. 
 16 
 
Figura 7.6.2 – Triângulos para bombas com número finito e infinito de pás. 
 
8. Equação fundamental adimensional. 
Conforme analisamos anteriormente, para motores o número “finito” de pás não 
influem diretamente sobre a energia por unidade de massa aproveitada pelo rotor, já 
para geradores existe essa influência, portanto: 
 
Para motores: 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 𝐻𝐻𝑡𝑡 
Para geradores: 𝐻𝐻𝑡𝑡∞ = 𝑎𝑎𝐻𝐻𝑡𝑡 
 
Sendo 𝐻𝐻𝑡𝑡 a altura teórica transmitida ou absorvida pelo rotor com um número 
finito de pás. 
Assim podemos escrever: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 = 1𝜌𝜌 𝐶𝐶𝑢𝑢4𝑈𝑈4 (motores) 
 
Para transformarmos a Equação Fundamental Simplificada em Equação 
Fundamental Adimensional substituiremos as velocidades e suas componentes por 
coeficientes de velocidades conforme definimos em outro capítulo: 
 
𝑈𝑈� = 𝑈𝑈
�2𝜌𝜌𝐻𝐻 e 𝐶𝐶𝑢𝑢��� = 𝐶𝐶𝑢𝑢�2𝜌𝜌𝐻𝐻 
 
Com este conceito de coeficiente de velocidade e sabendo-se que: 
 
𝜂𝜂⊾ = 𝐻𝐻𝑡𝑡 𝐻𝐻� (motores) ou 𝐻𝐻𝑡𝑡 = 𝜂𝜂⊾𝐻𝐻 
𝐶𝐶𝑢𝑢4 = 𝐶𝐶𝑢𝑢4����� �2𝜌𝜌𝐻𝐻 𝑈𝑈4 = 𝑈𝑈4����2𝜌𝜌𝐻𝐻 
Resulta: 
𝜂𝜂⊾𝐻𝐻 = 1𝜌𝜌 𝐶𝐶𝑢𝑢4�����𝑈𝑈4���2𝜌𝜌𝐻𝐻 
Finalmente obtemos a equação fundamental adimensional: 
 17 
 
𝜂𝜂⊾ = 𝐶𝐶𝑢𝑢4�����𝑈𝑈�42 (motores) 
 
para geradores do mesmo modo, obtemos: 
 
𝑎𝑎
𝜂𝜂⊾
= 2𝐶𝐶�̅�𝑢5𝑈𝑈5��� (geradores) 
 
9. Grau de reação 
Como as turbomáquinas são classificadas como de AÇÃO e REAÇÃO é 
importante o estabelecimento de um número adimensional representativo do tipo de 
máquina segundo esta classificação. 
Este número é chamado de Grau de Reação e representa a maneira como as 
energias são transformadas pelo rotor. 
Por definição: 
 
𝜌𝜌𝑡𝑡 = ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝐻𝐻𝑡𝑡 (motores) 
 
𝜌𝜌𝑡𝑡∞ = ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝐻𝐻𝑡𝑡∞ (geradores) 
 
Impondo as hipóteses para motores: 
 
- Canais do rotor de seção constante (𝐶𝐶𝑚𝑚4 = 𝐶𝐶𝑚𝑚5) 
- Máxima transformação de energia (𝐶𝐶𝑢𝑢5 = 0) 
 
Teremos os triângulos de entrada e saída do rotor: 
 
 (entrada) (saída) 
Figura 9.1 Triângulo de velocidades de turbina. 
 
Como a Altura Teórica pode ser escrita da forma abaixo: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 = ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 + ∆𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 
 
e substituindo a Altura Teórica na expressão do Grau de Reação, obtemos: 
 
 18 
𝜌𝜌𝑡𝑡 = ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡𝐻𝐻𝑡𝑡 = 𝐻𝐻𝑡𝑡 − ∆𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐻𝐻𝑡𝑡 = 1 − ∆𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐻𝐻𝑡𝑡 
 
sendo: 
 
∆𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶42 − 𝐶𝐶522𝜌𝜌 = 𝐶𝐶𝑢𝑢42 + 𝐶𝐶𝑚𝑚42 − 𝐶𝐶𝑚𝑚522𝜌𝜌 = 𝐶𝐶𝑢𝑢422𝜌𝜌 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 = 1𝜌𝜌 𝐶𝐶𝑢𝑢4𝑈𝑈4 
Resulta para motores: 
 
𝜌𝜌𝑡𝑡 = 1 − 𝐶𝐶𝑢𝑢42𝑈𝑈4 ou 𝜌𝜌𝑡𝑡 = 1 − 𝐶𝐶𝑢𝑢4�����2 𝑈𝑈4���� 
 
da mesma forma chegaríamos para bombas a: 
 
𝜌𝜌𝑡𝑡∞ = 1 − 𝐶𝐶𝑢𝑢52𝑈𝑈5 ou 𝜌𝜌𝑡𝑡∞ = 1 − 𝐶𝐶𝑢𝑢5�����2 𝑈𝑈5���� 
 
Através da relação que define o grau de reação também podemos concluir. 
1-Se ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 = 0 o grau de reação é zero e a máquina é de ação. 
2-Se 0 < ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡 ≤ 𝐻𝐻𝑡𝑡 o grau de reação esta compreendido entre 0 e 1 a máquina 
é de reação. 
 
10. Tipos de pás de geradores radiais 
As pás com simples curvatura de geradores radiais em função do ângulo de 
saída podem ser: 
 
a- Pás curvadas para trás, quando 𝛽𝛽5 < 90° 
b- Pás radiais, quando 𝛽𝛽5 = 90° 
c- Pás curvadas para frente, quando 𝛽𝛽5 > 90° 
 
Na figura 10.1 representamos quatro pás enquadradas nos três casos 
mencionados: 
 19 
 
Figura 10.1 Tipos de pás 
 
Notamos nos triângulos de saída da figura 10.1 que a velocidade absoluta “𝐶𝐶5” 
cresce da pá “a” para a pá “c”, aumento que produz como conseqüência uma 
diminuição do rendimento total do gerador: 
 
𝜂𝜂𝑡𝑡𝑎𝑎 > 𝜂𝜂𝑡𝑡𝑡𝑡 > 𝜂𝜂𝑡𝑡𝑐𝑐 
 
11. Exercícios 
 
1-A fim de se estudar a viabilidade da utilização de uma turbina em outra queda, 
pede-se a determinação da altura de queda e da vazão da mesma, conhecendo-se 
apenas os seguintes dados: 
-potência eficaz 889CV 
-rendimento total: 0,90 
-rendimento hidráulico:0,94 
-altura do rotor na entrada: 0,112 m 
-rotação:300 rpm 
-ângulo formado pelas vel. Tangencial e absoluta na linha de corrente média na 
entrada: 45° 
-coef. De estrangulamento na entrada: 0,90 
Com a fórmula da potência obtemos a relação entre a vazão e a altura: 
 
 20 
889 = 𝑑𝑑𝑄𝑄1000𝐻𝐻75 0,90 
Resultando 
𝑑𝑑𝐻𝐻 = 74,08 
 
A equação fundamental para turbinas é: 
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 = (1 𝜌𝜌)𝑈𝑈4𝐶𝐶4⁄ 
 
Substituindo 𝐻𝐻𝑡𝑡 = 𝜂𝜂⊾𝐻𝐻, teremos: 
 
𝐻𝐻𝜂𝜂⊾ = (1 𝜌𝜌)𝑈𝑈4𝐶𝐶𝑢𝑢4⁄ 
 
No triângulo de entrada, obtemos a relação: 
 
𝐶𝐶𝑚𝑚4 = 𝐶𝐶𝑢𝑢4𝑡𝑡𝜌𝜌𝛼𝛼4 
 
Como 𝛼𝛼4 = 45° 𝑡𝑡𝜌𝜌45° = 1, resulta: 𝐶𝐶𝑚𝑚4 = 𝐶𝐶𝑢𝑢4 
𝐶𝐶𝑚𝑚4 pode ser obtido pela equação da continuidade: 
 
𝑑𝑑 = 𝜋𝜋𝑡𝑡4𝐷𝐷4𝐶𝐶𝑚𝑚4𝜏𝜏4 
 
Como: 𝐶𝐶𝑢𝑢4 = 𝐶𝐶𝑚𝑚4 = 𝑑𝑑/(𝜋𝜋𝑡𝑡4𝐷𝐷4𝜏𝜏4) e 𝑈𝑈4 = (𝜋𝜋𝐷𝐷4𝑑𝑑)/60 
 
Substituindo em 𝐻𝐻𝜂𝜂⊾ = (1 𝜌𝜌)𝑈𝑈4𝐶𝐶𝑢𝑢4⁄ , resulta: 
 
𝐻𝐻 = 1
𝜂𝜂⊾𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑60𝑡𝑡4𝜏𝜏4 
 
𝐻𝐻 = 5,38𝑑𝑑 
 
Resolvendo o sistema de equações: 
𝑑𝑑𝐻𝐻 = 74,08 
𝐻𝐻 = 5,38𝑑𝑑 
Resulta: 
𝑑𝑑5,38𝑑𝑑 = 74,08 
𝑑𝑑 = 3,71 𝑚𝑚3/𝑐𝑐 e 𝐻𝐻 = 74,083,71 = 19,97 mca 
 
 
2- O cálculo do rotor de uma bomba para ser completado, depende apenas da 
determinação da altura da pá na saída do mesmo. 
Os valores já conhecidos são: 
 
-vazão: 0,23 𝑚𝑚3/𝑐𝑐 
- diâmetro do rotor na entrada: 190 mm 
- diâmetro do rotor na saída: 380 mm 
 21 
- ângulos construtivos da pá na linha corrente média, respectivamente na 
entrada e na saída: 24° 𝑒𝑒 32° 
- altura da pá na entrada do rotor: 56 mm 
- coef. De estrangulação na entrada e saída do rotor: 0,90 
- altura teórica infinita desenvolvida pelo rotor: 22 mca 
Pede-se calcular o valor faltante. 
Resp. 𝑡𝑡5 = 0,01 m 
 
3- Conhecendo- se os dados do rotor, abaixo relacionados, de uma turbina 
Francis, pede-se determinar a vazão e a altura de queda. 
- rendimento total e hidráulico: 0,79 e 0,81 
- potência eficaz: 26CV 
- diâmetro do rotor na entrada:0,40 m 
- altura do rotor na entrada: 0,07m 
- coef. De estrangulamento na entrada e saída 1 
- dados na linha de corrente média: 
- relação na entrada, entre as velocidades tangencial e meridiana: 2,5 
- ângulo construtivo da pá na entrada: 90° 
 
Resp. 𝑑𝑑 = 0,29 𝑚𝑚3/𝑐𝑐 e 𝐻𝐻 = 8,52 mca22 
12. Introdução 
É de fundamental importância para o dimensionamento e estudo do 
comportamento das Máquinas Hidráulicas o conhecimento das grandezas 
que intervém no seu funcionamento. 
Assim, podemos dizer que essas máquinas têm seu funcionamento 
definido através de três grandezas distintas, consideradas como 
características fundamentais das Máquinas Hidráulicas: 
 
H – Altura de queda ou elevação [m.c.a.] 
Q – Vazão [m3/s] 
N – Rotação da máquina [rpm] 
 
As duas primeiras tem uma conceituação, toda ela, calçada nos 
princípios da Mecânica dos Fluidos, e a última é decorrente dos princípios da 
Física aplicados ao estudo das M.H.. 
Além das grandezas fundamentais, são importantes as grandezas 
derivadas, como a potência hidráulica, potência eficaz e os coeficientes 
adimensionais básicos para os dimensionamentos. 
Em decorrência do exposto, procuraremos conceituar analiticamente 
as grandezas citadas, menos os coeficientes adimensionais que serão 
estudados em outros capítulos do programa. 
 
13. Altura de queda 
A conceituação da altura de queda de um aproveitamento 
hidroelétrico, figura 13.1, composto de turbina de reação e demais 
equipamentos complementares, é feita através do balanço de energias 
(Bernoulli) entre as seções de entrada e saída da máquina. Convém notar 
que a seção de saída “s” foi considerada no canal de fuga, ficando o tubo de 
sucção como parte integrante da máquina, por se tratar de elemento que 
participa da transformação de energia. 
Assim, a altura de queda é definida como a diferença de energias, por 
unidade de massa, entre as seções de entrada “e” e saída “s” da máquina. 
Aplicando Bernoulli para ambas as seções “e” e “s”, e adotando como 
referência o nível de jusante, obtém-se: 
 
Seção “e”: 
 
He =
pe
γ
± ae +
Ve
2
2g
+ Ze 
 
Seção “s”: 
 
Hs =
ps
γ
+
Vs
2
2g
+ Zs 
 
 23 
 
 
Figura 13.1 – Aproveitamento hidroelétrico de uma turbina de reação. 
 
Onde: 
 
 
He, Hs - energias por unidade de massa na entrada e saída da 
máquina; 
 
 
pe
γ - altura de pressão obtida no manômetro de mola, na seção “e”; 
 
 
ps
γ - altura de pressão na superfície livre do canal de fuga, na seção 
“s”; 
 
 
Ve
2
2g - altura de velocidade na seção “e”; 
 
 
Vs
2
2g - altura de velocidade na seção “s”; 
 
 
ae - correção da leitura do manômetro, relativa a distância do 
instrumento ao centro da seção “e”. O sinal da correção depende da posição 
do manômetro. 
 
 
Ze, Zs - altura de posição das seções “e” e “s” relativas ao nível de 
referência. 
 
Efetuando o balanço de energias, obtém-se: 
 
 24 
 
He − Hs =
pe − ps( )
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ Ze ± ae − Zs 
 
Como na seção “s” a pressão atuante é igual à pressão atmosférica, 
 
ps γ = pa γ e, como as pressões consideradas são relativas, a altura de 
pressão na saída é igual a zero. Nesta mesma seção, 
 
Zs = 0 , pois 
consideramos o ponto da seção no nível jusante. 
 
Resulta, então: 
 
He − Hs =
pe
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ Ze ± ae 
 
A diferença “
 
He − Hs” é conhecida como altura de queda para turbinas 
de reação, sob a qual a máquina trabalha: 
 
 
H =
pe
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ Ze ± ae (2.1) 
 
ou 
 
 
H =
pe
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ y (2.2) 
 
 
y = Ze ± ae é a altura medida desde o nível de jusante até o eixo do 
manômetro. 
Convém ressaltar que a Eq. 2.2 permite a obtenção da altura de queda 
de instalações em funcionamento. 
Na Fig. 13.1, representamos graficamente a altura de queda (Eq. 2.1 
ou Eq. 2.2) com todas as suas parcelas. Essa maneira de determinação de 
“H”, é chamada de processo “manométrico” por alguns autores. 
Por outro lado, é necessário o conhecimento da altura de queda para 
projetarmos a turbina, e neste caso, é feito em função da altura bruta e das 
perdas de carga contínuas e localizadas na tubulação forçada: 
 
 
H = Hb − hpe −
Vs
2
2g
 (2.3) 
 
onde: 
 
 
Hb - altura bruta ou desnível geométrico entre os níveis de montante 
(na barragem) e jusante (no canal de fuga) obtida no local da queda; 
 
 
hpe - perda de carga (contínua e localizada) até a seção de entrada da 
turbina, determinada por equação de perda em função do comprimento, 
diâmetro e velocidade (adequada) na tubulação forçada. 
 
 25 
 
Vs
2
2g
 - altura de velocidade no canal de fuga. 
 
Como, às vezes, não se conhece a priori o valor de 
 
Vs
2 2g e, como ele 
é pequeno relativamente à altura bruta, é considerado igual a zero. Assim, a 
Eq. 2.3 passa à forma: 
 
 
H = Hb − hpe (2.4) 
 
Este processo de cálculo de “H” é denominado de “Analítico” e sua 
representação gráfica consta na Figura 13.1. 
Da mesma maneira que obtivemos a altura de queda para a máquina 
de reação, vamos determinar “H” para uma usina de alta queda equipada 
com turbina de ação, Figura 13.2. 
 
 
 
Figura 13.2 – Usina hidroelétrica com turbina de ação . 
 
Aplicando Bernoulli nas seções de entrada “e” e saída “s”, obtemos as 
alturas correspondentes: 
 
 
He =
pe
γ
± ae +
Ve
2
2g
+ Ze 
 
e 
 
 
Hs =
ps
γ
+
Vs
2
2g
+ Zs 
 
 26 
Neste caso a seção de saída “s” é considerada no ponto em que o jato 
(bipartido) – após transferir sua energia para o rotor – é desviado e, por 
gravidade, chega ao canal de fuga. 
A diferença entre as energias nas seções “e” e “s” fornece a altura de 
queda: 
 
 
He − Hs =
pe − ps( )
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ Ze ± ae − Zs 
 
Analisando a equação acima e a Figura 13.2, podemos dizer que: 
 
 
ps
γ
=
pa
γ
= 0 (o jato está em contato com a atmosfera) 
 
 
Vs
2
2g
= 0 (altura de velocidade pequena relativamente à altura de 
pressão na entrada da turbina). 
 
 
Ze = Zs (caso particular em que as duas seções se situam na mesma 
posição) 
 
Desta forma, resulta a altura de queda para a usina da Figura 13.2: 
 
 
H =
pe
γ
+
Ve
2
2g
± ae (2.5) 
 
14. Altura de elevação 
Para estabelecermos o conceito de altura de elevação, 
consideraremos uma instalação de bombeamento com bomba “não afogada”, 
isto é, ela estará instalada em um ponto acima do nível de montante 
(aspiração), Figura 14.1. 
Nessas instalações, a seção de saída está localizada na flange de 
saída e, a de entrada, na flange de entrada da bomba, deixando o tubo de 
sucção de pertencer à máquina. Desta forma as perdas de carga da 
tubulação de sucção não são consideradas como perdas internas da bomba, 
contrariamente ao que ocorre com as turbinas. Assim, a bomba somente terá 
a responsabilidade de fornecer energia para vencer essas perdas. 
Uma vez definidas as posições da entrada e saída, a altura de 
elevação vale a diferença entre as alturas nestas seções: 
 
 
H = He − Hs 
 
Aplicando Bernoulli na entrada e saída, obtemos: 
 
 
He =
pe
γ
± ae +
Ve
2
2g
+ Ze 
 27 
 
 
Hs =
ps
γ
± as +
Vs
2
2g
+ Zs 
 
 
Figura 14.1 – Instalação de bombeamento com bomba “não afogada”. 
 
teremos: 
 
 
H =
pe − ps( )
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ Ze ± ae( )− Zs ± as( ) (3.1) 
 
onde: 
 
 
H - altura de elevação da bomba [m.c.a.] 
 
 
p γ - altura de pressão manométrica [m.c.a.] 
 
 
V 2 2g - altura de velocidade [m.c.a.] 
 
 
Z - altura geométrica [m] 
 
 
a – altura de instalação do instrumento [m] 
 
“s” – índice representativo da entrada 
 
“e” – índice representativo da saída 
 
 28 
Os sinais (
 
± ) da correção “a” da leitura de altura de pressão 
dependem da posição do instrumento de medida,relativamente ao centro da 
seção. 
Quando, nas instalações de bombeamento, o tubo de ligação do 
vacuômetro contiver apenas “ar”, a correção “as
 
” do vacuômetro será igual a 
zero. Isto pode ser conseguido através da abertura da torneira de três vias 
instalada no medidor, que deixará entrar ar neste tubo. Assim, a Eq. 3.1 pode 
ser escrita: 
 
H =
pe − ps( )
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ y (3.2) 
 
sendo 
 
y = Ze ± ae( )− Zs, para 
 
as = 0, a distância entre o centro do 
manômetro e o centro da seção de entrada da bomba. Como foi considerado 
para turbinas, este processo de obtenção da altura é chamado de 
“manométrico”. 
Pelo exposto, vimos que essas grandezas são determinadas através 
da medição na instalação em operação, porém na escolha da máquina ou 
projeto, não dispomos da instalação e a altura de elevação é obtida em 
função da altura estática ou bruta mais as perdas de carga nas tubulações de 
sucção e recalque: 
 
 
H = Hest + hps + hpe (3.3) 
 
onde: 
 
 
Hest - altura estática de sucção, é a distância entre os reservatórios de 
sucção (NM) e elevação (NJ); 
 
 
hp - perda de carga contínua e localizada na tubulação de 
sucção/recalque, obtida pela equação universal de perdas em função da 
vazão e comprimento das tubulações. 
 
As vezes, é necessária a determinação da altura do centro da seção 
de entrada da bomba até o nível de aspiração. Da figura 14.1 retiramos essa 
altura: 
 
 
hs = Hs − hps (3.4) 
 
onde: 
 
 
hs - altura estática de sucção [m] 
 
 
Hs - altura manométrica de sucção [m.c.a.] 
 
 
hps - perda de carga na tubulação de sucção [m.c.a.] 
 
 29 
As equações Eq. 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 estão graficamente representadas 
na figura 14.1. 
Veremos agora a altura de elevação para uma instalação de 
bombeamento com bomba “afogada”, figura 14.2. 
Aplicando Bernoulli nas seções de saída e entrada da bomba, 
obtemos por diferença a altura de elevação: 
 
 
H =
pe − ps( )
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ Ze ± ae( )− Zs ± as( )
 
 
 
 
Figura 14.2 – Instalação de bombeamento com bomba “afogada” 
 
Convém frisar que, neste caso, apresentamos uma instalação cuja 
pressão na entrada é positiva, no entanto, ela poderá ser tanto positiva como 
negativa, dependendo da contrapressão sobre a bomba e a perda de carga 
na tubulação de sucção. 
Considerando que a pressão na entrada é positiva, conforme mostra a 
figura 14.2, a correção “as
Levando em conta essa correção, o nível de referência passando pelo 
centro da seção de entrada (
” será diferente de zero. 
 
Zs = 0), e a figura 14.2, escrevemos: 
 
 
H =
pe − ps( )
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ y 
 
sendo 
 
y = Ze ± ae( )− ±as( ), valor que dependerá da posição dos 
instrumentos de medida de pressão. No caso os dois são manômetros. Os 
dois procedimentos utilizados para a definição da altura de elevação são 
 30 
chamados de “manométrico” para as Eqs. 3.1 e 3.2, e “analítico” para as Eqs. 
3.3 e 3.4. 
 
15. Vazão 
A altura de queda ou elevação e a “vazão” são as principais grandezas 
fundamentais no processo de transformação de energias das Máquinas 
Hidráulicas. A Mecânica dos Fluidos define a vazão como o volume de fluido, 
na unidade de tempo, que passa através de uma seção transversal da 
máquina: 
 
 
Q =
Ve
t
 (4.1) 
 
onde: 
 
 
Q - vazão [m3
 
/s] 
 
Ve - volume escoado [m
3
 
] 
t – tempo [s] 
 
A vazão é determinada com base no princípio da conservação de 
massa: 
 
 
dQ = V ⋅ dA = K (4.2) 
 
Considerando que o movimento através da máquina é permanente e a 
incompressibilidade do fluido, resulta a fórmula prática da Equação da 
Continuidade: 
 
 
Q = V ⋅ A = K (4.3) 
 
Onde: 
 
 
A - área da seção transversal ao escoamento 
 
V – velocidade média normal à seção considerada 
 
A Eq. 4.3 é aplicável à seções com superfícies planas na entrada e 
saída das máquinas e também para não planas no seu interior. 
 
16. Potências 
Sabemos da física que potência é o trabalho realizado por uma força, 
na unidade de tempo, sendo as mais importantes para as Máquinas 
Hidráulicas a: 
 
 31 
• Potência hidráulica e 
• Potência eficaz 
 
Aplicando o conceito físico, definimos que a potência hidráulica é o 
produto do peso do fluido que escoa pela máquina, na unidade de tempo (
 
Q⋅ γ ), pela altura de queda ou elevação. 
Assim, podemos escrever: 
 
 
Ph = Q⋅ γ ⋅ H [Kgm/s] (5.1) 
 
Usualmente, obtemos essa potência em cv ou KW, dividindo a Eq. 5.1 
respectivamente por 75 ou 102. 
É natural que ocorram perdas hidráulicas no interior das M.H. e perdas 
mecânicas originadas pelo atrito mecânico que ocorrem externamente entre 
as suas partes fixas e girantes. 
Assim, nem toda a energia cedida ou recebida pelo fluido pode ser 
transformada em trabalho mecânico no eixo da máquina. 
Desta forma a potência eficaz é assim escrita: 
 
 
Pef = Ph ± P (5.2) 
 
onde: 
 
 
Pef - potência eficaz no eixo da máquina 
 
 
Ph - potência hidráulica 
 
 
P - potência perdida 
 
O sinal “+” é válido para geradores e “-“ para motores. 
Sendo a determinação destas perdas bastante difícil, é usual adotar-se 
uma outra grandeza denominada rendimento total, a qual permite avaliar 
essas perdas: 
 
 
Ph = Pef ⋅ ηt
±1 (5.3) 
 
Onde: 
 
 
ηt - rendimento total 
 
O duplo sinal do expoente, nesta expressão, tem o mesmo significado, 
refere-se à aplicação do rendimento para máquinas motoras (-) e para 
geradoras (+), o que adoraremos em toda a matéria. 
Essas perdas e rendimentos serão objeto de estudo mais detalhado 
em outro capítulo do programa. 
 
 32 
17. Rotação 
Para máquinas geradoras (bombas e ventiladores), a rotação é 
fornecida pelo motor de acionamento, o qual, se for elétrico, opera sempre 
com rotações pré-estabelecidas (assíncronas). No caso das máquinas 
motoras (turbinas), correntemente são acopladas a alternadores que devem 
trabalhar com rotações síncronas. 
Essa rotação síncrona é determinada pela equação: 
 
 
f =
n⋅ np( )
60
 np →número de PARES de pólos do alternador (5.4) 
Onde: 
 
 
f - freqüência da rede 
] 
 
 
np - número de pares de pólos do alternador 
 
 
n - rotação 
 
Em geral para os nossos sistemas interligados de energia elétrica, a 
freqüência é de 60c/s, resultando: 
 
 
n =
3600
np
 (5.5) 
 
Por outro lado, a potência pode ser expressa em função da rotação: 
 
 
P =
1
9,55
 
 
 
 
 
 ⋅ Mt ⋅ n 
 
onde: 
 
 
Mt - momento torçor no eixo da máquina 
 
 
1
9,55
 - constante de conversão da rotação de rad/s para rpm 
 
como: 
 
Mt = F ⋅ b 
 
resulta: 
 
P =
1
9,55
 
 
 
 
 
 ⋅ F ⋅ b⋅ n 
 
sendo: 
 
 
F - força aplicada ao rotor 
 
 33 
 
b - braço de alavanca do momento torçor 
 
Considerando que para uma determinada queda, a potência e, 
conseqüentemente, a força aplicada ao rotor são constantes, resultando o 
seguinte: 
 
 
b⋅ n = K 
 
Analisando essa constância, concluímos que a rotação é inversamente 
proporcional ao tamanho da máquina, definindo-a como grandeza 
fundamental para a escolha da máquina. Tendo em vista essa dependência, 
a máquina de alta rotação exige alternador, ou motor acionador, menores e 
mais econômicos. Porém, com o aumento da rotação poderão surgir 
problemas mecânicos no funcionamento das turbomáquinas. 
 
18. Exercício 
Solicita-se a determinação do desnível entre o nível de aspiração e o 
do reservatório elevado, e o afogamento necessário da bomba para vazão de 
0,020 m3/s, conhecendo-se os seguintes dados: 
1. Altura de pressão na saída da bomba: +40 m.c.a. 
2. Altura de pressão na entrada da bomba: +2 m.c.a. 
3. Diâmetro na sucção: 0,1 m 
4. Diâmetro do recalque: 0,075 m 
5. Perda de carga na sucção: 1,22 m.c.a. 
6. Perda de carga no recalque: 4,00 m.c.a. 
 
 
Hest = 39,22 − 4,00 −1,22 = 34 m 
 
A determinação do afogamento é feita em função da altura estática de 
sucção hs
 
 (Eq. 3.4): 
 
hs= Hs − hps 
 
Como a altura manométrica de sucção é obtida pela soma da altura de 
pressão mais a altura de velocidade na entrada da bomba, obtemos: 
 
 
Hs =
ps
γ
+
Vs
2
2g
+ Zs + as = 2,00 + 0,33+ 0,3 = 2,63 m.c.a. 
 
e 
 
 
hs = 2,63 +1,22 = 3,85 m.c.a. 
 
7. Croqui da instalação: 
 
 34 
 
 
Aplicando Bernoulli ou a Eq. 3.2: 
 
 
H =
pe − ps( )
γ
+
Ve
2 −Vs
2( )
2g
+ y 
 
Calculamos as várias parcelas da equação: 
 
 
Vs =
0,020
As
= 2,55 m s → 
Vs
2
2g
= 0,33 m.c.a. 
 
 
Ve =
0,020
Ae
= 4,54 m s → 
Ve
2
2g
=1,05 m.c.a. 
 
 
y = Ze ± ae( )− Zs ± as( ) 
 
 
y = 0,50 ± 0,30( )− 0 ± 0,30( ) = 0,50 m 
 
Substituindo os valores obtidos na Eq. 3.2, resulta: 
 
 
H = 40 − 2 +1,05 − 0,33+ 0,50 = 39,22 m.c.a. 
 
Em função de H e das perdas de carga na sucção e recalque 
calculamos pela Eq. 3.3 a altura estática pedida: 
 
 
H = Hest + hpe + hps 
 
 
H = 34 +1,22 + 4,00 = 39,22 m 
35 
 
19 – Grandezas de funcionamento 
 
𝐻𝐻 = 3,50 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 e 𝑄𝑄 = 2,25 𝑚𝑚3/𝑠𝑠 
20 – TIPO DE INSTALAÇÃO 
 
 A adoção da instalação de turbine depende do estudo de viabilidade entre a 
caixa espiral ou caixa aberta
 
. Até 4,0 m, para pequenas turbinas é viável a 
instalação com caixa aberta. 
21 – POTÊNCIAS 
 
21.1 – POTÊNCIAS HIDRAULICA 
𝑃𝑃ℎ = (𝑄𝑄. 𝛾𝛾.𝐻𝐻)75 = (2,25.1000.3,50)75 = 105 𝐶𝐶𝐶𝐶 
21.2 – POTÊNCIA NO EIXO 
 O rendimento total, para turbinas pequenas, deve ser adotado entre os 
valores de 0,75 e 0,85, e o rendimento mecânico entre 0,87 e 0,96. 
Adotaremos: 
𝜂𝜂𝑡𝑡 = 0,81 e 𝜂𝜂𝑚𝑚 = 0,90 
𝜂𝜂ℎ = 𝜂𝜂𝑡𝑡𝜂𝜂𝑚𝑚 = 0,810,90 = 0,90 
𝑃𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝜂𝜂𝑡𝑡 .𝑃𝑃ℎ 
36 
 
Assim resulta: 
𝑃𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0,81.105 = 85,05 𝐶𝐶𝐶𝐶 
22 – ESCOLHA DO TIPO 
 
Altitude de instalação: 750 m 
Temperatura da água: 25 ᵒ C 
Altura barométrica hb = 10 − 0,0012. HL hb = 10 − 0,0012.750 = 9,1 mca 
hv 
Com base na expressão acima organizamos a tabela que permitirá a escolha da 
turbina: 
obtido do gráfico de altura de vaporização e peso específico da água hv = 0,28 
𝑛𝑛𝑠𝑠 = 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒1/2𝐻𝐻5/4 .𝑛𝑛 
𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚 = 4,768. 10−12.𝑛𝑛𝑠𝑠4 − 9,46. 10−9.𝑛𝑛𝑠𝑠3 + 7,593. 10−6.𝑛𝑛𝑠𝑠2 − 1,555. 10−3.𝑛𝑛𝑠𝑠 + 0,165 hsm áx = hb − hv − σlim . H = 8,82 − σlim . 3,5 
n
H
P
n efs ⋅= 45
21
 
𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚 = 4,768. 10−12.𝑛𝑛𝑠𝑠4 − 9,46. 10−9.𝑛𝑛𝑠𝑠3 + 7,593. 10−6.𝑛𝑛𝑠𝑠2 − 1,555. 10−3.𝑛𝑛𝑠𝑠 + 0,165 
 
n n σs hlim 
rpm 
smax 
- - m 
400 770 0,827 5,9 
360 693 0,685 6,4 
300 577 0,507 7,0 
240 462 0,352 7,5 
 
Segundo G. Hutarew a faixa de melhor rendimento está entre ns de 500 a 600 para 
turbinas axiais. 
37 
 
 
Escolhemos então a de ns
Em função do gráfico de Meerwarth intitulado “Alturas máximas de quedas nominais 
de turbinas Kaplan (Hélice) e número de pás” do F.G.T. obtemos: 
= 577 com rotação de n = 300 rpm, uma vez que as 
alturas de sucção resultaram maiores que a altura de queda, portanto sem 
problemas de cavitação. 
Z=6 
23 – ROTAÇÃO UNITÁRIA 
𝑛𝑛1 = 𝑛𝑛
√𝐻𝐻
= 300
�3,5 = 160,36 
24 – VAZÃO UNITÁRIA 
𝑄𝑄1 = 𝑄𝑄
√𝐻𝐻
= 2,25
�3,5 = 1,20 
 
25 – COEFICIENTES DE VELOCIDADES 
 
Com o ns = 577 no gráfico de Quantz/Meerwarth intitulado “Elementos para pré-
dimensionamento de turbinas Francis e Kaplan” do F.G.T obtemos: 
𝑈𝑈𝑒𝑒 = 1,719; 
𝑈𝑈𝑙𝑙 = 0,690 
𝐶𝐶𝑚𝑚4 = 0,530; 
𝐶𝐶𝑚𝑚2 = 0,304; 
 
38 
 
26 – DIÂMETRO EXTERNO 
 
𝐷𝐷𝑒𝑒 = 84,6.𝑈𝑈𝑒𝑒
𝑛𝑛1 = 84,6. 1,719160,36 = 0,906 𝑚𝑚 
27 – DIÂMETRO INTERNO 
 
𝐷𝐷𝑙𝑙 = �𝑈𝑈𝑙𝑙
𝑈𝑈𝑒𝑒
� .𝐷𝐷𝑒𝑒 = �0,6901,719� . 0,906 = 0,364 𝑚𝑚 
28 – ALTURA DO SISTEMA DIRETOR 
 
𝑏𝑏2 = 0,072.𝑄𝑄1
𝐶𝐶𝑚𝑚2.𝐷𝐷𝑒𝑒 = 0,072. 1,20,304.0,906 = 0,314 𝑚𝑚 
29 – DIÂMETROS E COEFICIENTES DE VELOCIDADES 
INTERMEDIÁRIOS 
 
Para a determinação dos diâmetros intermediários adotamos quatro turbinas 
parciais, resultando a vazão: 
𝑞𝑞 = 𝑄𝑄4 = 2,254 = 0,56 𝑚𝑚3/𝑠𝑠 
A velocidade meridional sem considerar as espessuras das pás será: 
𝐶𝐶𝑚𝑚4 = 4. 𝑄𝑄𝜋𝜋. (𝐷𝐷𝑒𝑒2 − 𝐷𝐷𝑙𝑙2) = 4. 2,25𝜋𝜋. (0,9062 − 0,3642) = 4,15 𝑚𝑚/𝑠𝑠 
𝐶𝐶𝑚𝑚4 = 𝐶𝐶𝑚𝑚4��2.𝑔𝑔.𝐻𝐻� = 4,15��2.9,81.3,50� = 0,501 
Para o cálculo dos diâmetros intermediários, utilizamos a equação da continuidade: 
𝐷𝐷𝑛𝑛+1 = �𝐷𝐷𝑛𝑛2 − 4. 𝑞𝑞𝜋𝜋.𝐶𝐶𝑚𝑚4 
Aplicando a equação, resulta: 
39 
 
𝐷𝐷1 = 0,906 𝐷𝐷𝑚𝑚 = 0,691 𝐷𝐷2 = 0,552 
 
Com diâmetros e a equação abaixo, são calculados os coeficientes de velocidades: 
𝑈𝑈 = 𝜋𝜋.𝐷𝐷.𝑛𝑛60. ��2.𝑔𝑔.𝐻𝐻� 
𝑈𝑈1(𝐷𝐷1) = 1,527 𝑈𝑈𝑚𝑚(𝐷𝐷𝑚𝑚 ) = 1,309 𝑈𝑈2(𝐷𝐷2) = 1,046 
 
40 
 
 
30 – TRIANGULOS DE VELOCIDADES 
 
Considerando Cm4 = 0,531 e ηh
 
ηh = 2⋅ u ⋅ ∆c u
=0,90 obtemos os elementos do triângulos de 
velocidades: 
 
 
u =
π⋅ D⋅ n
60 
𝜃𝜃 = �10° = 𝐷𝐷𝑒𝑒5° = 𝐷𝐷𝑙𝑙0° = 𝐷𝐷𝑚𝑚 � 
∆𝐶𝐶�̅�𝑢 = 𝜂𝜂ℎ2.𝑈𝑈� 
𝛽𝛽∞ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑡𝑡𝑔𝑔 � 𝐶𝐶𝑚𝑚4
𝑈𝑈� −
∆𝐶𝐶�̅�𝑢2 − (𝐶𝐶𝑚𝑚4, 𝑡𝑡𝑔𝑔(𝜃𝜃)� 
𝑊𝑊∞ = 𝐶𝐶𝑚𝑚4𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝛽𝛽∞) 
 
 e 1 m 2 i 
D (m) 0,907 0,806 0,691 0,552 0,364 
U (-) 1,719 1,527 1,309 1,046 0,690 
ΔCu (-) /2 0,131 0,147 0,172 0,215 0,326 
β∞ (º) 19,6 21,7 25,0 31,2 47,8 
W (-) ∞ 1,584 1,435 1,254 1,025 0,700 
 
41 
 
 
42 
 
 
31 – ELEMENTOS DA PÁ 
 
Hipótese de cálculo: 
Essas hipóteses permitem obter um formato de pá mais adequado e elementos da 
pá variando de forma contínua da secção “e” até “i”. 
a – li = 0,56.le (adotar no intervalo 0,50 a 0,65) 
b- (te/le) = 0,95 (obtido no gráfico abaixo em função do ns=577) 
43 
 
 
𝑚𝑚 − 𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 0,039 𝑚𝑚 e 𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 0,019 𝑚𝑚 
Essas espessuras podem ser obtidas de três maneiras: 
c.1 – Por cálculo através da Resistência dos Materiais 
c.2 – Através de bibliografia especializada 
c.3 – Por comparação com outros projetos 
d – Adotar variação exponencial de ymáx
e – Adotar a variação linear de “l”: 
𝑙𝑙 = 𝐾𝐾1 + 𝐾𝐾2.𝐷𝐷 
: 
𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐾𝐾3. 𝑒𝑒𝐾𝐾4.𝐷𝐷 
Obtenção das constantes das equações adotadas: 
𝑡𝑡𝑒𝑒 = 𝜋𝜋.𝐷𝐷𝑍𝑍 = 0,475 𝑚𝑚 
𝑙𝑙𝑒𝑒 = 𝑡𝑡𝑒𝑒/0,95 = 0,500 𝑚𝑚 
𝐾𝐾2 = (𝑙𝑙𝑒𝑒 − 𝑙𝑙𝑙𝑙)/(𝐷𝐷𝑒𝑒 − 𝐷𝐷𝑙𝑙) = 0,4052 
𝐾𝐾1 = 𝑙𝑙𝑒𝑒 − 𝐾𝐾2.𝐷𝐷𝑒𝑒 = 0,1325 
𝐾𝐾4 = ( ln⁡(𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑒𝑒 ) − ln⁡(𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑒𝑒 ))/(𝐷𝐷𝑒𝑒 − 𝐷𝐷𝑙𝑙) = −1,3243 
𝐾𝐾3 = 𝑒𝑒( ln⁡(𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑒𝑒 )−𝐾𝐾4.𝐷𝐷𝑒𝑒) = 0,0651 
 
44 
 
 
Seções e 1 m 2 i 
D (m) 0,907 0,806 0,691 0,552 0,364 
𝐵𝐵′ = 𝜂𝜂ℎ/(𝑈𝑈�.𝑊𝑊�∞) ( - ) 0,331 0,411 0,548 0,839 1,863 
𝑡𝑡 = 𝜋𝜋.𝐷𝐷/𝑍𝑍 ( - ) 0,475 0,422 0,362 0,289 0,191 
𝑙𝑙 = 𝐾𝐾1 + 𝐾𝐾2.𝐷𝐷 (m) 0,500 0,459 0,412 0,356 0,280 
t/l ( - ) 0,950 0,920 0,877 0,812 0,681 
𝐶𝐶𝑠𝑠 = 𝐵𝐵′. 𝑡𝑡/𝑙𝑙 ( - ) 0,314 0,378 0,481 0,682 1,270 
Perfil (escolhido) 587 587 587 624 624 
𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐾𝐾3. 𝑒𝑒𝐾𝐾4.𝐷𝐷 (m) 0,019 0,022 0,025 0,030 0,039 
𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥/𝑙𝑙 0,038 0,048 0,061 0,084 0,139 
𝑒𝑒 = (𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥/𝑙𝑙)/(𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥/𝑙𝑙𝑥𝑥) 0,580 0,733 0,947 0,563 0,881 
𝛿𝛿 = 𝐶𝐶𝑠𝑠 − 𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑦𝑦𝑚𝑚á𝑥𝑥 𝑙𝑙⁄ )/0,092 1,4 1,6 2,0 3,7 7,7 
𝛽𝛽 = 𝛽𝛽∞ − 𝛿𝛿 18,1 20,1 23,0 27,5 41,5 
𝑙𝑙′ = 𝑙𝑙. cos⁡(𝛽𝛽) 0,475 0,431 0,380 0,3160,210 
𝜃𝜃 2⁄ = 114,591. 𝑙𝑙′/2.𝐷𝐷 30,0 30,6 31,5 32,8 33,0 
 
 
45 
 
32 – GRÁFICO DE VERIFICAÇÃO 
O objetivo deste gráfico é verificar se os valores calculados da pá variam de forma 
contínua relativamente às seções. 
 
33 – ANGULOS DAS ALETAS AJUSTAVEIS 
 
33.1 – Entrada 
O ângulo de entrada pode assumir valores diferentes dependendo do tipo de 
instalação e forma da aleta. 
a – Instalação com caixa espiral: 
 αe é função dos dados da caixa espiral 
46 
 
b – Instalação com caixa aberta: 
b.1 – αe
b.2 – α
 é igual a 90ᵒ (escoamento sem perda). 
e
Neste dimensionamento adotaremos a solução b.2 α
 depende do ângulo de saída da aleta e seu eixo é retilíneo (escoamento 
com perda). 
e
33.2 – Saída 
 será determinado no desenho 
do sistema diretor. 
O ângulo de saída depende do momento de velocidade do rotor: 
𝐾𝐾𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡 = 60.𝑔𝑔.𝐻𝐻. 𝜂𝜂ℎ(2.𝜋𝜋. 𝑛𝑛) = 0,984 𝑚𝑚2/𝑠𝑠 
𝑡𝑡𝑔𝑔(𝛼𝛼𝑠𝑠) = 𝑄𝑄(2.𝜋𝜋. 𝑏𝑏2.𝐾𝐾𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡 . 0,95) = 1,16 ∴ 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 50° 
 
34 – DIMENSOES DAS SEÇÕES DA PÁ 
 
𝑦𝑦𝑥𝑥á = 𝑒𝑒. 𝑙𝑙𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥á. (𝑦𝑦𝑥𝑥𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑥𝑥𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙⁄ ) 
Exemplo para o ponto x = 30 na seção “e”: 
𝑥𝑥𝑒𝑒 = 0,30.0,500 = 0,150 𝑚𝑚 
𝑦𝑦𝑒𝑒 = 0,580.0,500.6,55/100 = 0,019 𝑚𝑚 
Seção “e” GO 587: 
x (mm) 0 50 150 250 350 450 500 
y (mm) 2 12 19 18 13 7 3 
 
Seção “1” GO 587: 
x (mm) 0 46 138 229 321 413 459 
y (mm) 2 14 22 20 15 8 3 
 
Seção “m” GO 587: 
x (mm) 0 41 124 206 289 371 412 
y (mm) 2 16 25 24 17 9 4 
 
47 
 
Seção “2” GO 587: 
x (mm) 0 36 107 178 249 320 356 
y (mm) 8 24 30 27 18 7 1 
 
Seção “i” GO 587: 
x (mm) 0 28 84 140 196 252 280 
y (mm) 10 31 39 34 23 9 1 
 
 
48 
 
35 – GABARITOS DOS PERFIS DAS PÁS 
Escala 1:x 
 
 
49 
 
 
36 – PROJEÇÃO E VISTA LATERAL DO ROTOR 
 
Escala 1:x 
 
37 – SISTEMA DIRETOR – ALETAS AJUSTÁVEIS 
 
37.1 – Aletas Ajustáveis 
Para máquinas pequenas (Hélice ou Kaplan) adotar preliminarmente: 
𝑎𝑎1𝑑𝑑 𝐷𝐷𝑒𝑒⁄ = 0,75 𝑚𝑚 0,85 
50 
 
 
Em função do recobrimento das aletas, resultou 22ᵒ30’ entre aletas e: 
𝑍𝑍𝑚𝑚𝑙𝑙𝑒𝑒𝑡𝑡𝑚𝑚𝑠𝑠 = 360 22⁄ °30′ = 16 
37.2 – Perfil da aleta 
 
51 
 
38 – PLANO MERIDIANO ESQUEMÁTICO DA TURBINA 
 
As dimensões com foram obtidas através da comparação com outros projetos 
semelhantes. 
 
 52 
39. LABIRINTOS 
39.1. INTRODUÇÃO 
No capítulo referente a perdas vimos que existe na máquina hidráulica 
uma fuga de fluido, devida a diferença de pressões entre a entrada e saída do 
rotor. Essa fuga ocorre através dos labirintos, que são os espaços mínimos 
entre o rotor e as pastes fixas da máquina. A função dos labirintos é minimizar 
a fuga de fluido e impedir o atrito sólido entre as partes fixas e rotor. 
O escoamento na entrada (3) ou na saída (6) do rotor, conforme seja 
turbina ou bomba, perde uma parcela de vazão que divide-se em duas partes 
𝑞𝑞𝑖𝑖 e 𝑞𝑞𝑒𝑒 . A parcela 𝑞𝑞𝑒𝑒 passa pelo labirinto “𝐿𝐿𝑎𝑎𝑒𝑒 ” para fora da máquina. Essa 
parcela 𝑞𝑞𝑒𝑒 poderá ser muito pequena, dependendo do tipo de labirinto situado 
entre o eixo e a caixa da máquina (engaxetamento e selo mecânico). A outra 
parcela 𝑞𝑞𝑖𝑖 , para turbinas, passa pelo labirinto “𝐿𝐿𝑎𝑎𝑖𝑖 ” escoando para o tubo de 
sucção, sem participar da troca de energias. Para bombas 𝑞𝑞𝑖𝑖 recircula entre a 
saída e entrada do rotor, passando pelo labirinto “𝐿𝐿𝑎𝑎𝑖𝑖 ”. Na figura 39.1 
mostramos os labirintos e as direções das parcelas de fuga de fluido. 
 
 
Figura 39.1 – Labirintos 
 
39.2. FORMAS DE LABIRINTOS 
 
Existem várias formas de labirintos, dependendo da pressão e natureza 
do líquido com que a máquina vai trabalhar. 
Os labirintos são formados por anéis de desgaste renováveis, alojados 
na parte fixa da máquina ou no rotor ou em ambos. Esses anéis permitem 
diminuir a folga e substituição deles quando gastos, sem que esse desgaste 
afete diretamente as partes fixas e móveis (rotor) da máquina. Os anéis de 
desgaste são, normalmente, de materiais menos resistentes que o da máquina. 
Na figura 39.2 apresentamos alguns labirintos com os anéis de desgaste 
 
 53 
 
 
Figura 39.2 – Formas de labirintos com anéis de desgaste. 
 54 
 
39.3. CÁLCULO DA FUGA 
Como a parcela da vazão de fuga 𝑞𝑞𝑒𝑒 é muito pequena ou nula, a fuga de 
fluido será determinada através de expressão semelhante a dos medidores de 
vazão. 
 
𝑞𝑞𝑖𝑖 = 𝜀𝜀 .𝜋𝜋 .𝐷𝐷 . 𝑒𝑒 .�2 . 𝑔𝑔 .∆𝐻𝐻𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 (3.1) 
 
Onde, 
𝑞𝑞𝑖𝑖 - vazão que recircula na bomba ou a vazão perdida na turbina; 
 
𝜀𝜀 - coeficiente empírico função do número de Reynolds e da forma do 
labirinto; 
 
D - diâmetro do labirinto 
 
e - vão do labirinto; 
 
∆𝐻𝐻𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 - diferença de altura de pressão atuante sobre o labirinto 
 
O valor de 𝜀𝜀 pode ser obtido, para labirintos lisos, pela expressão 
 
𝜀𝜀 = 1
�0,02 .𝐿𝐿𝑎𝑎 𝑒𝑒⁄ + 1,5 (3.2) 
 
Onde 𝐿𝐿𝑎𝑎 é o comprimento do labirinto. 
 
O valor do vão “e” deve ser menor possível, a fim de permitir uma 
estanqueidade, e maior que os possíveis deslocamentos do eixo, segundo 
dados experimentais, podemos adotar 
 
𝑒𝑒 = (0,5 𝑎𝑎 1,5).𝐷𝐷 1000⁄ 
 
Onde D deve ser considerado em mm. 
 
Na figura 39.3 mostramos o vão e o comprimento do labirinto 
 
 
Figura 39.3 – Vão e comprimento do labirinto 
 
 55 
A diferença de altura de pressão atuante sobre o labirinto depende da 
altura de pressão entre a entrada e saída da máquina 
 
∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = ±𝑈𝑈52 − 𝑈𝑈42 + 𝑊𝑊42 − 𝑊𝑊522 .𝑔𝑔 
 
Valendo o sinal (+) para bombas e (-) para turbinas, menos a altura de 
energia, provocada pela rotação do fluido contido entre o rotor e a parte fixa da 
máquina. Neste local o fluido tem junto ao rotor e a parte fixa da máquin. Neste 
local o fluido tem junto ao rotor a mesma velocidade tangencial, e junto a parte 
fixa a velocidade tangencial é nula. Assim, para efeito de cálculo o fluido tem 
em termos médios, a velocidade tangencial 𝑈𝑈 2⁄ , resultando 
 
∆ℎ = ±(ℎ5 − ℎ4) = ± [(𝑈𝑈5 2⁄ )2 − (𝑈𝑈5 2⁄ )2] 2𝑔𝑔⁄ = ±(𝑈𝑈52 − 𝑈𝑈42)/8𝑔𝑔 
 
A diferença entre as alturas de pressão ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 e ∆ℎ é que atuará sobre o 
labirinto 
 
∆𝐻𝐻𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 = ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ± (ℎ5 − ℎ4) 
 
Valendo (-) para bombas e (+) para turbinas. 
 
Uma vez conhecidos todos os elementos da Eq. 3.1, podemos 
determinar a vazão de fuga 𝑞𝑞𝑖𝑖 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
40. EXERCÍCIOS 
4.1 – Determinar a vazão de fuga e o rendimento volumétrico de uma 
turbina que opera com 12 m.c.a de queda e vazão de 0,665 𝑟𝑟3/𝑒𝑒, conhecendo-
se os seguintes dados: 
 
- velocidade tangencial na entrada do rotor: 11,95 m/s; 
 
- velocidade tangencial na saída do rotor: 9,05 m/s; 
 
- velocidade relativa na entrada do rotor: 4,46 m/s; 
 
- velocidade relativa na saída do rotor: 10,20 m/s 
 
 
 
O vão é obtido em função dos dados experimentais: 
 
𝑒𝑒 = (0,5 𝑎𝑎 1,5).𝐷𝐷 1000⁄ 
 
Adotaremos para o diâmetro médio de 370 mm 
 
𝑒𝑒 = 1,5 . 370/1000 = 0,555 mm 
 
O comprimento do labirinto é a soma dos comprimentos parciais: 
 
𝐿𝐿𝑎𝑎 = 10 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 𝑟𝑟𝑟𝑟 
 
Com os calores de “e” e “𝐿𝐿𝑎𝑎 ” obtemos através da Eq. 3.2 o coeficiente 
empírico: 
 
𝜀𝜀 = 1
�0,02 . 35 0,555⁄ + 1,5 = 0,602 
 
A altura de pressão remanescente atuante sobre o labirinto é obtida pela 
expressão: 
 
∆𝐻𝐻𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 = ∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ± (ℎ5 − ℎ4) (1) 
 
Onde 
 57 
 
∆𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = (11,952 − 9,052)19,62 + 10,22 − 4,46219,62 = 7,393 𝑟𝑟. 𝑐𝑐.𝑎𝑎. 
E (ℎ4 − ℎ5) = 11,952− 9,05278,48 = 0,776𝑟𝑟. 𝑐𝑐.𝑎𝑎. 
 
Substituindo os valores calculados na equação (1) obtemos: 
 
∆𝐻𝐻𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 = 7,393 − 0,776 = 6,617 𝑟𝑟. 𝑐𝑐.𝑎𝑎. 
 
A vazão de fuga é determinada pela Eq.3.1: 
 
𝑞𝑞𝑖𝑖 = 0,602 .𝑝𝑝 .0,37 . 0,555 . 10−3 .�2𝑔𝑔 .6.617 = 0,0034 𝑟𝑟3/𝑒𝑒 
 
Com a vazão de fuga o rendimento volumétrico pode ser obtido 
 
𝑛𝑛𝑣𝑣 = 𝑄𝑄 − 𝑞𝑞𝑖𝑖𝑄𝑄 = 0,665 − 0,00340,665 = 0,99 
 58 
 
4.2 – Determinar para a bomba, com os dados abaixo relacionados a 
vazão de fuga e o rendimento volumétrico. 
 
- rotação: 3.450; 
 
-diâmetro de entrada do rotor: 110 mm; 
 
-diâmetro de saída do rotor: 220 mm; 
 
-altura do rotor na saída: 8,5 mm; 
 
-vazão: 0,025 𝑟𝑟3/𝑒𝑒; 
 
-rendimento hidráulico: 0,8; 
 
-adotar para o vão o valor médio; 
 
-desprezar a espessura das pás do rotor; 
 
-canais do rotor de seção constante; 
 
-croqui do labirinto; 
 
 
 
 59 
41. INTRODUÇÃO 
A condição básica do escoamento é a distribuição uniforme da vazão em 
toda a circunferência de entrada e saída do sistema diretor. Esta distribuição é 
obtida através da caixa espiral. O cálculo da caixa espiral devido as forças 
centrífugas e Bernoulli, deve ser feito com base numa velocidade média não 
constante para todas as seções da espiral. Assim, a velocidade média 
diminuirá com o aumento da seção da caixa espiral, desde que a condição 
básica seja mantida. 
Como existe, simetria do fluxo em relação ao eixo na entrada ou saída 
do rotor, também na caixa espiral esta condição deverá permanecer. Este 
raciocínio conduz, para cada ponto da caixa espiral, que a equação do vórtice 
vale: Vu . r = K (1.1) 
 
Ou seja, que o produto da componente tangencial da velocidade pelo 
raio é constante. 
A caixa é utilizada na maioria das máquinas hidráulicas, com exceção 
das turbinas de baixa queda em que é possível sua instalação em caixa aberta 
e em bombas e ventiladores axiais. 
O procedimento a seguir vale para bombas, turbinas e ventiladores. 
 
42. EQUAÇÃO GERAL 
Consideraremos o corte segundo um plano meridiano localizado sob um 
ângulo qualquer θ em relação ao início da caixa espiral de uma bomba, 
conforme figura 42.1a. 
 
Figura 42.1 - Planos de bomba 
 
No plano meridiano, figura 42.1b, consideraremos a área elementar 
 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 
Onde: 
bes
dr – altura da área elementar correspondente a uma pequena variação 
do raio r 
 – largura da caixa espiral 
 60 
Nesta área elementar a velocidade perpendicular é de acordo coma 
Equação 1.1. 
𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝐾𝐾𝑑𝑑 
E assim poderemos escrever a vazão elementar que passa pela área 
elementar considerada: 
 
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒 ∙ 𝐾𝐾 ∙ �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 � 
 
A vazão parcial correspondente ao ângulo θ passará entre os limites r’’ e 
R e será obtida pela integração entre esses limites. 
 
𝑑𝑑𝜃𝜃 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑞𝑞𝑅𝑅𝑑𝑑" = 𝐾𝐾 ∫ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒𝑅𝑅𝑑𝑑" ∙ (𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑) (2.1) 
 
Como existe uma proporcionalidade entra a vazão qualquer e seu 
ângulo θ definidor da posição da seção, podemos escrever: 
 
𝑑𝑑𝜃𝜃 = ( 𝜃𝜃360°) ∙ 𝑑𝑑 (2.2) 
 
Onde Q é a vazão total que passa pela caixa espiral e θ o ângulo 
medido em graus. Igualando-se as equações 2.1 e 2.2, obtemos 
 
𝜃𝜃 = 360° 𝐾𝐾
𝑑𝑑
∫ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑅𝑅
𝑑𝑑" ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.3) 
 
A equação 2.3 define a variação de θ em função de r, ou seja, a forma 
da caixa espiral, uma vez escolhida a variação de bes em função de r. Para as 
máquinas sem aletas, caso comum dos bombas, a determinação do vórtice K, 
considerando α4 e α5 = 90o
 
𝐾𝐾 = 𝑑𝑑5 ∙ 𝐶𝐶𝑢𝑢6 , é feita pela expressão: 
 
E substituindo Cu6
 
𝐻𝐻𝑡𝑡 = (1/𝑔𝑔) ∙ 𝐶𝐶𝑢𝑢6 ∙ 𝑈𝑈5 , obtido pela equação fundamental 
 
Resulta 
𝐾𝐾 = 9,55𝑔𝑔 ∙ 𝐻𝐻𝑡𝑡/𝑛𝑛 
 
Para o caso em que existe o sistema diretor com aletas entre a caixa 
espiral de seção circular e o rotor, o cálculo de K é feito em função da 
velocidade na entrada ou saída da caixa espiral. Esta velocidade para 
máquinas de um estágio vale aproximadamente: 
 
𝐶𝐶𝐸𝐸 = 0,10 𝑎𝑎 0,20 . (2𝑔𝑔𝐻𝐻)1/2 para bombas centrífugas, 
𝐶𝐶𝐸𝐸 = 0,15 𝑎𝑎 0,25. (2𝑔𝑔𝐻𝐻)1/2 Para turbinas, 
 
Valores que crescem com a vazão Q. Com esta velocidade e 
considerando que na maior seção da caixa espiral (θ = 360 o), podemos 
 61 
escrever 2.ρe360 = DE’, sendo ρe o raio da seção nesta posição e DE’ o seu 
diâmetro, figura 42.2, impondo valores para DE’, através de cálculo iterativo 
obteremos o valor de DE
 
’ que permitirá o cálculo de K. 
Figura 42.2 – Caixa espiral de bomba no plano normal 
Supondo a velocidade CE atuante no ponto 4 da caixa espiral da figura 
42.2, e impondo um valor de DE’ entre r” e DE, como primeira tentativa, pode-
se comprovar a condição 2.ρe360 = DE
 
’, através da equação que será deduzida 
no item a seguir. 
43. CAIXA ESPIRAL COM SEÇÃO CIRCULAR 
Este formato der seção é muito utilizado para turbinas e bombas. Para a 
aplicação da equação 2.3 é necessário o estabelecimento da variação de bes
 
 
em função de r. Através da figura 43.1.1 definimos esta variação. 
Figura 43.1.1 – Caixa espiral com seção circular 
 62 
ρe2 = (bes2 )2 + (r − x)2 
Ou bes = 2 ∙ [ρe2 − (r − x)2]1/2 
 
Considerando que o limite inferior da caixa espiral é o ponto mais 
próximo do eixo e substituindo-se a expressão de bes
 
θ = 360° �KQ� . 2� [re2 − (r − x)2]12. drrx+rx−r 
 na equação 2.3, 
obtemos: 
 
Resolvendo a integral, resulta: 
 
θ = 720° �KQ� . π[x − (x2 − ρe2) (2.4) 
 
Como x = r” + ρe
 
 a equação 2.4 passa a ser escrita da seguinte forma: 
θ = 720° �KQ� . π{r" + ρe − [r"(r" + 2ρe)]1/2} (2.5) 
 
No dimensionamento é preferível a determinação do raio ρe. Assim, é 
conveniente isolar da equação 2.5 ρe
ρe = �θ°B� + [2. r"(θ°/B)].1/2 (2.6) 
, passando a equação para a seguinte 
forma: 
 
Sendo 
 B = 720°. π. K/Q (turbinas) 
 
O valor de B é obtido em função de Q = 2.π.r5.b5.Cm5 e K = r5.Cu5
 B = 360°. Cu5b5. Cm5 
 para 
bombas: 
 
A equação 2.6 para θ = 360º permite obter o raio da seção máxima da 
caixa espiral: 
 
ρe360 = � Q2.π.K� + [r". Q/(π. K)]1/2 (2.7) 
 
44. CAIXA ESPIRAL COM SEÇÃO RETANGULAR 
Este formato de seção é largamente utilizado em caixas espirais de 
ventiladores, onde a largura bes é constante. Esta constância pouco influi no 
rendimento da máquina, devido a acomodação do fluido, no caso ar ou gás, na 
 63 
seção retangular. Normalmente para redução de tamanho da máquina (rotor + 
caixa espiral) usa-se bes = 3 a 5.b5
 
. Apresentaremos na figura 44.2.1 os tipos 
comuns de seções de caixa espiral. 
Figura 44.2.1 – Diferentes tipos de seções de caixa espiral 
 
O tipo “c” é uma caixa espiral denominada de interna, ocupando menor 
espaço possível, o seu dimensionamento além das equações que será 
desenvolvida a seguir, necessita de outras condições que não serão 
apresentadas aqui. 
Considerando bes = constante, Q = 2.π.r5.b5.Cm5 e K = r5.Cu6
 
𝜃𝜃° = 2.𝜋𝜋. 𝑑𝑑5. 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒 .𝐶𝐶𝑢𝑢62.𝜋𝜋. 𝑑𝑑5. 𝑏𝑏5.𝐶𝐶𝑚𝑚5 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑" 
 a equação 
2.3 é escrita da seguinte forma: 
 
Simplificando, e integrando, obtemos 
 
𝜃𝜃° = 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒 .𝐶𝐶𝑢𝑢6
𝑏𝑏5.𝐶𝐶𝑚𝑚5 . ln𝑅𝑅/𝑑𝑑" 
Ou 
𝑒𝑒
𝑏𝑏5.𝐶𝐶𝑚𝑚5
𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒 .𝐶𝐶𝑢𝑢6.𝜃𝜃° = 𝑅𝑅/𝑑𝑑" 
 
Fazendo: 𝜃𝜃° = 2.𝜋𝜋. 𝑖𝑖
𝑁𝑁
 
 
Sendo “N” o número adotado de seções da caixa espiral e “i” um número 
que varia de 0 a N. Determinando a velocidade Cm5 em função da vazão, Cu6
 
 
através da Equação Fundamental e adotando um número “N” de seções, 
podemos obter o contorno externo da caixa espiral pela equação: 
𝑅𝑅 = 𝑑𝑑". 𝑒𝑒� 𝑏𝑏5𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒�.�𝐶𝐶𝑚𝑚5𝐶𝐶𝑢𝑢6 �.(2.𝜋𝜋 . 𝑖𝑖𝑁𝑁) (2.8) 
 
 6445. EXERCÍCIOS 
Determinar os raios das seções da caixa espiral de uma turbina Francis 
com as seguintes características: 
- altura de queda: 6,0 mca; 
- raio inicial da caixa espiral: 0,155m; 
- vazão: 0,070 m3
Inicialmente calcularemos a velocidade na entrada do injetor da caixa 
espiral, adotando um coeficiente da velocidade teórica de 0,205. 
/s. 
 
𝐶𝐶𝐸𝐸 = 0,205(2.𝑔𝑔.𝐻𝐻)1/2 = 0,205(2.9,81.6)1/2 = 2,22 𝑚𝑚/𝑒𝑒 
 
Com a velocidade CE
 
𝐷𝐷𝐸𝐸 = ( 4.𝑑𝑑𝑥𝑥.𝐶𝐶𝐶𝐶)1/2 = �4 × 0,07𝜋𝜋 × 2,22� = 0,20𝑚𝑚 
 determinamos o diâmetro de entrada do injetor. 
 
Para o cálculo do diâmetro de entrada da caixa espiral impomos as 
seguintes condições: 
- a velocidade no ponto 4 da figura 2.2 é igual a CE
- o valor inicial de D
; 
E’ deve ser adotado entre valores de r” e DE
Utilizando a Equação 2.6 e as expressões B = 720º.π.K/Q e K = (r”+ 
D
. 
E’), obtemos por cálculo iterativo o valor de DE
D
’: 
E K ’ B (1) (2) ρ 2ρe e 
0,16 0,6993 22,596 0,0159 0,0702 0,0861 0,172 
0,17 0,7215 23,314 0,0154 0,0691 0,0845 0,169 
0,169 0,7193 23,242 0,0155 0,0693 0,0848 0,169 
- (1)= θo
- (2)= (2.π. θ
/B 
o/B)
Obtido a condição D
1/2 
E’= 2. ρe
θ
 = 0,169 m, podemos calcular os raios 
da caixa espiral para qualquer valor de θ. 
θo o (2.r”. θ/23,242 o/23,242) ρ1/2 e 
90 0,0039 0,0346 0,0385 
180 0,0077 0,0490 0,0567 
270 0,0116 0,0600 0,0716 
360 0,0155 0,0693 0,0848 
 
Determinar o contorno da caixa espiral de seção retangular para um 
rotor de ventilador com as seguintes características: 
- altura do rotor na saída (b5
- componente da velocidade absoluta na direção tangencial logo após a 
saída do rotor (C
): 18 mm; 
u6
- largura da caixa espiral (b
): 82,7 m/s ; 
es
- raio inicial da caixa espiral: 340 mm; 
): 100 mm (valor adotado); 
- velocidade meridional na saída do rotor (Cm5): 35,0 m/s. 
 65 
Aplicando a equação 2.8 e considerando N = 8, resulta: 
 
𝑅𝑅 = 𝑑𝑑". 𝑒𝑒2𝜋𝜋� 𝑖𝑖𝑁𝑁�� 𝑏𝑏5𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒�(𝐶𝐶𝑚𝑚5𝐶𝐶𝑢𝑢6 ) 
 
Substituindo os valores dados na equação acima, obtemos: 
 
𝑅𝑅/𝑑𝑑" = 𝑒𝑒0,0598𝑖𝑖 = 1,0616𝑖𝑖 
 
Com esta expressão determinamos os raios que definem o contorno da 
caixa espiral: 
 
Pontos (i) θo R/r” (graus) R (mm) 
0 0 1,000 340 
2 90 1,127 383 
4 180 1,270 431 
6 270 1,432 486 
8 360 1,614 549 
 
 66 
46. INTRODUÇÃO 
O funcionamento das bombas e turbinas, de acordo com as 
especificações de projeto ou exigências da instalação, depende principalmente 
das condições de sucção. Essas condições podem provocar o fenômeno 
denominado cavitação. Segundo Bernoulli, a ocorrência do fenômeno é 
freqüente em locais de alta velocidade. Portanto, pode ocorrer cavitação em 
pontos localizados, independentemente das condições de sucção. 
Este fenômeno consiste na formação de bolhas de vapor e gases, em 
regiões de mínima pressão no interior de uma máquina hidráulica. As bolhas 
aparecem no escoamento quando é atingida a pressão de vaporização do 
líquido na temperatura do escoamento, o decréscimo desta “pressão mínima” 
favorece o aumento do volume das bolhas, provocando a diminuição da 
eficiência hidráulica. Quando essas bolhas alcançam regiões de mais elevada 
pressão elas condensam violentamente, liberando o espaço ocupado pelas 
bolhas onde o líquido é impelido por sua pressão, produzindo exagerados 
choques. 
 
47. ALTURA DE SUCÇÃO 
Nas instalações de bombas e turbinas duas alturas de sucção podem 
ser definidas: altura estática de sucção válida para bombas e turbinas. Ela 
representa a diferença entre um ponto do rotor (normatizado pela ABNT, fig. 
47.1) e o nível de aspiração, para bombas ou de jusante para turbinas. A outra 
é a altura manométrica de sucção, somente para bombas, definida como a 
energia total relativa que atua na entrada da bomba, medida em metros de 
coluna líquida. 
A ABNT, a fim de evitar questionamentos entre compradores e 
fabricantes de máquinas hidráulicas, estabeleceu através de normas como 
deve ser medida essa altura estática de sucção. 
A figura 47.1 apresenta varias posições de máquinas e a respectiva 
altura estática de sucção. 
 67 
 
Figura 47.1 – Alturas estáticas de sucção 
 
Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2 da figura 47.2, obtemos: 
 
p2/ ϒ + V2/2g + Z2 = p1/ ϒ + V2/2g + Z1 – h
 
ps 
E considerando: 
 
 
Figura 47.2 – Bomba não afogada 
 
Z1 = - hs
h
 (altura estática de sucção) 
ps = perda de carga na sucção 
 68 
Z2
V
 = 0; 
1
2/2g = 0 e p1
Resulta p
/ϒ = 0. 
2/ϒ + V22/2g = -hs – h
Conforme definição anterior, podemos escrever a altura manométrica de 
sucção: 
ps 
 
 Hs = p2/ϒ + Vs2
 
/2g (processo manométrico) 
Ou Hs = - (hs + hps
 
) (processo analítico) 
Para instalação com bomba afogada: 
 
 
Figura 47.3 – Bomba afogada 
 
p2/ϒ + V22/2g + Z2 = p1/ϒ + V12/2g + Z1 - h
 
ps 
Considerando: 
 Z2 = 0; p1/ϒ = 0; V12/2g = 0 e Z1 = h
 
s 
resulta 
 p2/ϒ + Vs2/2g = - hs - h
 
ps 
ficando definida a altura manométrica de sucção pelos dois processos: 
Hs = p2/ ϒ + V22
H
/2g (manométrico) 
s = hs-hps
Nas duas instalações das figuras 47.2 e 47.3 ficou bem evidenciado a 
importância da altura estática de sucção (h
 (analítico) 
s), a qual permite a determinação de 
Hs pelo processo analítico, e define a posição de instalação da bomba, 
relativamente ao nível de aspiração (montante). Tanto para bombas como para 
 69 
turbinas o hs
 
 define a posição de instalação das máquinas, o que resulta a 
importância desta grandeza. 
48. COEFICIENTE DE CAVITAÇÃO E NPSH 
Considerando a instalação da figura 47.1 para estabelecermos a energia 
disponível absoluta. Essa energia é representada pela energia total absoluta 
acima da pressão de vaporização na entrada da bomba. Com o objetivo do não 
atendimento da pressão mínima, é necessário que a energia disponível seja 
maior do que a correspondente a de energia de vaporização hv = pv
 
/ ϒ: 
 Hsd > h
 
v 
Pela definição a energia relativa na entrada será, então: 
Hsd = p2/ ϒ + V22/2g - pv
 
/ ϒ (3.1) 
Aplicando Bernoulli entre os pontos (1) e (2) da figura 47.1 resulta: 
 
p2/ ϒ + V22/2g + Z2 = p1/ ϒ + V12/2g + Z1 - hps
 
 (3.2) 
Para que as alturas de energias sejam absolutas é necessário que: 
 p1/ ϒ = pb/ ϒ = h
 
b 
Combinando as equações (3.1) e (3.2) e considerando que: 
 V12
Z
/2g = 0; 
2
Z
 = 0; 
1 = - h
Resulta: 
ps 
 
 Hsd = hb – hv – hs – hps
 
 (3.3) 
Onde: 
Hsd
h
 – energia disponível absoluta na entrada da bomba acima da 
pressão de vaporização; 
b
 
 - altura barométrica local; 
hg
H
 – altura medida no barômetro em mm de Hg; 
L – altitude local no nível de jusante/montante; 
 70 
hv
h
 – altura de vaporização obtida em função da temperatura do líquido 
bombeado; 
s
h
 – altura estática de sucção; 
ps 
 
– perda de carga na tubulação de sucção. 
Definindo σlim = Hsd / H como coeficiente de cavitação de THOMA, e 
ainda considerando que para a mínima energia disponível acima de hv
 
, a altura 
manométrica deverá assumir um valor limite, a equação para bombas, será: 
Hslim = hb – hV – σ lim
 
.H (3.4) 
É de uso corrente o NPSH (Net Positive Suction Head), ele representa a 
energia disponível absoluta na entrada da bomba acima da pressão de 
vaporização. 
Como Hsd e o NPSH definem a mesma energia disponível acima de hv
 
, 
podemos escrever: 
Hsd = NPSH e σlim
A expressão para bombas se transforma em: 
= NPSH/H 
Hslim = hb – hv
 
 – NPSH (3.5) 
A condição para que a bomba funcione livre de cavitação é necessárioque, para uma determinada vazão: 
 
NPSHd 
 
≥ NPSH 
Sendo: 
 
NPSH = energia disponível absoluta requerida pela bomba; 
NPSHd
NPSH
 = energia disponível absoluta fornecida pela instalação. 
d = hb – hv– hs – hps 
 
 (3.6) 
No cálculo do NPSHd
Considerando que H
 deve-se considerar o sinal correspondente da 
altura de sucção, como positivo (+) abaixo e como negativo (-) acima do nível 
de aspiração. 
s = hs + hps
 
 a equação (3.5) passa a ser escrita sob 
a forma: 
Hslim = hb – hv – hps
 
 – NPSH (3.7) 
Para turbinas a altura manométrica máxima de sucção é igual a altura 
estática máxima de sucção, porque as perdas de carga na sucção são da 
inteira responsabilidade da turbina, resultando a equação para este tipo de 
máquina: 
 
hslim = hb – hV –σ lim
 
.H (3.8) 
 71 
A determinação do coeficiente σ e do NPSH, teoricamente não é 
precisa, porque depende de vários fatores de difícil obtenção, isto fez com que 
pesquisadores e fabricantes obtivessem σ e NPSH através de experimentos e 
testes em modelos reduzidos. Adota-se normalmente σ lim
Para turbinas o aspecto da curva obtida, é: 
 e NPSH de 15 a 30% 
maior do que o correspondente a queda pré-fixada nas grandezas 
consideradas nos testes. 
 
Figura 48.1 – Curva de η t
 
 = f ( σ ) 
σ i
 σ
 = Coeficiente início de cavitação 
c
 
 = Coeficiente crítico de cavitação 
Os valores de σ lim recomendados para turbinas FRANCIS e HÉLICE 
(KPLAN) podem ser obtidos de gráficos ou fórmulas, apresentaremos apenas a 
fórmula de MEERWARTH, válida para ns
σ
 de 160 a 800: 
lim = 4,678E-12.ns4 – 9,460E-9.ns3 + 7,593E-6.ns2 – 1,555E-3.ns
 
 + 
0,165 
Para bombas a curva resultante do teste tem o mesmo aspecto da curva 
para turbinas: 
 
Figura 48.2 – Curva de H = f (NPSH) 
 
 72 
Os valores do NPSH são obtidos nas curvas características da bomba 
fornecidas pelo fabricante da turbomáquina, conforme curva da figura 49.4. 
Como NPSH é igual a σ lim
a) Bombas radiais e axiais: 
.H, pode-se também obter o seu valor através 
de fórmulas empíricas em função da rotação específica referida a potência: 
STEPANOFF : NPSH = 2,20.E-4.ns4/3
ESCHER-WISS: NPSH = 2,16.E-4.n
.H 
s
4/3
b) Bombas axiais: 
.H 
STANDARDS OF HIDRAULIC INSTITUTE 
 NPSH = 2,05.E-4. ns4/3
 
.H 
As equações 3.7 e 3.8 permitem a determinação da posição da 
turbomáquina, relativamente ao nível de aspiração (montante) para bomba e ao 
jusante para turbina. 
Analisando a Eq. 3.7 é possível concluir: 
hslim = hb – (hV + hps
Quando h
 + NPSH) 
b> (hV + hps
Resulta h
 + NPSH) 
slim
 
> 0 
O que indica que a bomba poderá produzir uma depressão equivalente a 
diferença entre hb e (hV + hps
 h
 + NPSH). Neste caso a bomba deverá ser 
instalada, com uma altura máxima, acima do nível do reservatório de aspiração 
e, quando: 
b< (hV + hps
resulta: h
 + NPSH) 
slim
isto indica que a bomba somente poderá operar com uma determinada 
contrapressão equivalente a diferença entre (h
< 0 
V + hps + NPSH) e hb
Da mesma forma a Eq. 3.8 determina a posição da turbina em relação 
ao nível de jusante, sua analise definirá as duas posições possíveis: 
. Nesta 
situação a bomba deverá ser instalada, com uma altura mínima, abaixo do 
nível do reservatório de aspiração. 
 
 hslim = hb – (hV +σ lim
 
.H) 
quando hb> (hV + σ lim
resulta h
.H) 
slim
 
> 0 
o que significa que a turbina devera ser instalada, com uma altura 
máxima, acima do nível de de jusante e quando 
 hb< (hV + σ lim
resulta h
.H) 
slim
 
< 0 
 73 
Indicando que a turbina deverá ser instalada, com uma altura mínima, 
abaixo do nível de jusante, provocando na saída da turbina uma contrapressão 
que elevará a pressão neste local. 
 
49. EFEITOS DA CAVITAÇÃO 
A implosão das bolhas poderá causar sérias erosões no metal 
(EROSÃO CAVITAL), ruído, vibrações e a queda brusca das grandezas 
características de funcionamento da máquina. Com a diminuição da pressão no 
interior da máquina o coeficiente de cavitação “σ” ten de a zero, fazendo com 
que as bolhas de vapor cresçam formando eventualmente nuvens de bolhas. 
Isto afeta o desempenho hidráulico, o rendimento cai e quando a extensão da 
cavitação é grande a queda é violenta, esse ponto é freqüentemente chamado 
de “COLAPSO”, conforme figura 49.1. 
 
Figura 49.1 – Curva de η t
 
 = f ( σ ) 
Funcionando a máquina sob tais condições (abaixo de σ I
Uma das maneiras de se avaliar a extensão da cavitação nas máquinas, 
é medindo os pesos perdidos por erosão cavital. 
), próximo das 
zonas de implosão o metal é submetido a grandes choques, provocando a 
erosão no rotor. Esta erosão é agravada simultaneamente por efeitos 
eletroquímicos. 
O gráfico a seguir mostra a evolução dos pesos perdidos em função do 
tempo em que a máquina foi submetida à cavitação: 
 
 74 
Figura 49.2 – Evolução de pesos perdidos na cavitação 
 
No tempo de incubação a perda de peso é pequena, acentuando 
rapidamente com o desprendimento de pedaços de metal. 
Para um desempenho econômico das bombas e turbinas, elas devem 
operar o mais próximo possível do ponto de cavitação, mais sem correr o risco 
de queda do rendimento ou erosão cavital. 
Eventualmente, as máquinas podem ser forçadas a operar com 
cavitação, neste caso é usual construir o rotor com materiais resistentes como 
aço puro ou ligas de alumínio e bronze. 
A erosão poderá ocorrer também em máquinas hidráulicas que operam 
com óleo, sistemas de força e válvulas, porém não com tão graves efeitos 
como na água. 
Na temperatura e pressão normal a água contém 2% de ar e o óleo 
10%. A presença de ar nas bolhas tende a amortecer os choques provocados 
pela cavitação, razão pela qual no óleo os efeitos são amortecidos. 
O efeito da cavitação nas características de funcionamento das bombas 
pode ser visualizado através da curva do rotor de uma bomba centrífuga, com 
rotação constante, figura 49.3. 
 
 
Figura 49.3 – Curva característica H = f (Q) 
 
Na curva observa-se que, com a abertura progressiva do registro no 
recalque, e a bomba funcionando com valores não adequados de hs ou hps ou 
hv
Finalmente, apresentamos na figura abaixo as curvas características de 
uma bomba, na qual podemos ver que ela requer “X” metros de energia 
absoluta NPSH acima de h
, a altura de elevação nos pontos críticos A ou B ou C, começa a diminuir e 
em seguida cai bruscamente. Neste ponto a vazão deixaria de aumentar, nem 
com maior abertura do registro. Nas bombas diagonais e axiais a queda de 
altura de elevação não é tão brusca como nas bombas radiais. Além da queda 
brusca da altura de elevação e diminuição da vazão, o rendimento também 
sofre uma queda. 
v
 
 a fim de operar livre de cavitação, com uma 
determinada vazão “Q”. 
 75 
 
Figura 49.4 – Característica de bomba 
 
50. CASOS TÍPICOS DE INSTALAÇÕES 
A. Turbina não afogada hslim
 
> 0 
Figura 50.1 – Turbina instalada acima do nível de jusante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. Turbina afogada hslim< 0 
 76 
 
Figura 50.2 – Turbina instalada abaixo do nível de jusante 
 
C. Bomba não afogada (reservatório aberto) hslim
 
> 0 
Figura 50.3 – Bomba instalada acima do nível de aspiração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D. Bomba afogada (reservatório aberto) hslim< 0 
 77 
 
Figura 50.4 – Bomba instalada abaixo do nível de aspiração 
 
E. Bomba não afogada (reservatório fechado) hslim
 
> 0 
Figura 50.5 – Bomba instalada acima do nível de aspiração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F. Bomba afogada (reservatório fechado) hslim< 0 
 78 
 
Figura 50.6 – Bomba instalada abaixo do nível