Aula 06

Calculadoras

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ESTÁCIO EAD

Josimar Morais

25/10/2017

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
AULA 6 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Tema da Apresentação
FUNÇÃO LOGARÍTMICA – AULA 6
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Conteúdo Programático
1. Definição 
2. Propriedades
3. Representação gráfica
4. Equações logarítmicas
5. Inequações logarítmicas
6. Aplicações 
Tema da Apresentação
FUNÇÃO LOGARÍTMICA – AULA 6
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
LOGARITMO
	Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a. 
logb a = x  bx = a
 
 Onde 
		
		a é chamado de logaritmando
		b é chamado de base
		x é chamado de logaritmo de a na base b.
Tema da Apresentação
FUNÇÃO LOGARÍTMICA – AULA 6
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
 
EXEMPLOS
log2 16 = x ou seja 2x = 16. 
Temos 2x = 16  2x = 24  x = 4.
 
Assim, log2 16 = 4.
log7 1= x ou seja 7x = 1. 
Temos 7x = 1  7x = 70  x = 0. 
 
Assim, log7 1 = 0.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Propriedades dos Logaritmos
Para números reais positivos a, b e c, com b  1:
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLOS
log4 4 = 1
log6 1 = 0
log3 4 = log3 22 = 2 x log3 2
log2 32 = log2 25 = 5
 = 5
log5 (2 . 3) = log5 2 + log5 3
log9 (27/4) = log9 27  log9 4
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
MUDANÇA DE BASE
k, k  R+*, k  1
Propriedades operatórias: logaritmos na mesma base.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
OBSERVAÇÕES
(b) Sistema Decimal (base 10)	
(c) Sistema Neperiano (base e, onde e=2,718... )
(a) 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
MUDANÇA DE BASE - EXEMPLO
	Vamos determinar o log3 2 sabendo que o log 2 0,3 e 
 o log 3 0,48.
 
	
Agora observe o log64 32.
log64 32 = = 5/6
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Chama-se de função logarítmica toda função 
f : R+*  R tal que f (x) = logb x, com b  R+*, com b 1.
Exemplos: 
 
y = log3 x 
 
y = log0,2 x 
f(x) = log1/7 x
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO 
Veja:
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
DOMÍNIO DA FUNÇÃO - RESOLUÇÃO 
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO
	Seja f (x) = logb x. Vamos analisar dois casos. 
	Caso 1: b > 1
	Seja f (x) = log2 x
 
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Agora observe o gráfico da função exponencial f(x) = 2x . 
Se b > 1 a função f (x) = logb x é crescente. 
Isto é: 	logb x2 > logb x1  x2 > x1,  {x1, x2, b}  R+* e b > 1.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO
Caso 2: 0 < b < 1
Seja f (x) = log1/2 x
 
Tema da Apresentação
FUNÇÃO LOGARÍTMICA – AULA 6
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Agora observe o gráfico da função exponencial f(x) = (1/2)x . 
Se 0 < b < 1 a função f (x) = logb x é decrescente. 
Isto é: 	logb x2 > logb x1  x2 < x1,  {x1, x2, b}  R+* e 0 < b < 1.
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	Considere a função exponencial y = ax, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.
	Esta função é bijetora, pois:
 a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
 b) é sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
	Dessa forma, como a função exponencial é bijetora ela é inversível, ou seja, admite uma função inversa.
OBSERVAÇÕES
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
DETERMINANDO A INVERSA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Função y = ax , onde 0 < a < 1. 
	Permutando x por y, temos: 
	x = ay , ou ainda, y = logax
	Sendo as funções exponencial e logarítmica, inversa uma da outra, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.
	
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	Observe os gráficos das função exponencial (y = ax ) e logarítmica ( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a < 1. 
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Tipo1: 
	Se 0 < a  1 então 
 
	Exemplo:
	log3 (3 – 2x) = log3 (3x + 8)
	Temos então: 3 – 2x = 3x + 8 - Resolvendo a equação do primeiro grau encontramos x = -1, pois a condição é verificada. 
	3x + 8 > 0
	3(-1) + 8 = -3 + 8 = 5 > 0.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Tipo 2: 
Se 0 < a  1e R então 
 
Exemplo:
	log2 (x2 + x - 4) = 3
	Temos então: x2 + x - 4 = 23.
			 x2 + x - 4 = 8
			 x2 + x + 12 = 0 
	Resolvendo a equação do 2º grau encontraremos como raízes x1 = - 4 ou x2 = 3.
	A solução da equação logarítmica será S = {-4, 3}.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Tipo 3: Incógnita auxiliar
Faz-se uma mudança de incógnita.
Exemplo:
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Tipo 1: A base é maior que 1
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO 1
Resolvendo a inequação acima encontramos a seguinte resposta:
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EXEMPLO 2
Resolvendo a inequação acima encontramos a seguinte resposta:
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Tipo 2: A base está entre 0 e 1
Exemplo 1:
Tema da Apresentação
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Exemplo 2:
Tema da Apresentação
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Tipo 3: 
Vamos fazer:
 
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EXEMPLO 1
Resolva a inequação
Fazendo a interseção de (1) e (2) teremos como resposta:
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EXEMPLO 2
Resolva a inequação log2(2x – 1) < 4.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXERCÍCIOS
1. Determine o valor de x: 
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EXERCÍCIOS
2. Determine o valor de x: 
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EXERCÍCIOS
3. Determine o valor de x: 
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
APLICAÇÕES
	1. (FCM-MG) Observe parte de um diálogo ocorrido entre descendentes de pessoas que foram levadas da Terra para o planeta X e a tripulação da nave Voyager, na série
Jornada nas estrelas:” Quando chegamos aqui, éramos apenas 300 pessoas. Agora, após 400 anos, somos aproximadamente 100.000 pessoas”. Suponha que o número de pessoas nesse planeta, num tempo t, após a chegada de seus descendentes, seja dado por p(t)=p010kt, em que p0 é o número inicial de pessoas no planeta e k, uma constante. Determine o número aproximado de pessoas nesse planeta após 800 anos da data de chegada. (log3=0,48)
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESOLUÇÃO
Dados:
p(t)=p010kt
t=0
p0=300
p(t)=300.10kt
“Após 400 anos, somos aproximadamente 100.000 pessoas.”
t=400
p(400)=100.000
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RESOLUÇÃO
Determine o número aproximado de pessoas nesse planeta após 800 anos da data de chegada.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	2. (UNESP) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado, em milhares de reais, pela função L(x)=log10(100+x)+k, com k constante real.
(a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, determine k.
(b) determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais. 
APLICAÇÕES
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESOLUÇÃO
(a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, determine k.
Tema da Apresentação
FUNÇÃO LOGARÍTMICA – AULA 6
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESOLUÇÃO 
(b) determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais. 
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESUMINDO
Definição
Propriedades
Representação gráfica
Equações logarítmicas
Inequações logarítmicas
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Tema da Apresentação
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