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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
Calculo I 
Professor: Claudia Salas 
Lista 5 
 
I. Determine a derivada das seguintes funções:
1. 
3
212
)(
2



x
xx
xf
 
2. 
x
xy
1
3 
 
3. 
xx
x
xf



1
12
)(
 
4. 
  12
45
)(
2 


xxx
x
xf
 
5. 
x
xx
x
xf
1
5
4
33
2
)(
2


 
6. 
1
1
)(



x
x
e
e
xf
 
7. 
xxxf 3
2
)( 
 
8. 
)1()( 2xexf x 
 
9.  
3
3
1
)(
x
x
xf


 
10. 
3)()( xxxxf 
 
11. 5 45 143)(   xxxf 
12. 
4 4 16
8
)(


x
xf
 
13. 
14.  3 4( ) 4 1 5 1f x x x    
15.  5 2( ) cos 7f x x 
16. 
xxxf 3cossin2)( 2 
 
17. 1
1( )
x
xf x e


 
18. 
21( ) x xf x e  
 
19. 
3( ) cos (sin( ))f x x
 
20. 
3 2 3( ) sin cos ( )f x x x 
 
21. 
3 2( ) tan
3
xf x x e x
x
 
 
22. 
2
2
1 cos
( )
1 cos
x
f x
x


 
23. 
( )
x x
x x
e e
f x
e e




 
24. 
xx
xxc
xf
cos
tantan
)(


, .Rc
 
25. 
26. 
27. 
2
( ) 2 tan
1
x
f x
x
 
  
 
 
28. 
29.    2 33 2( ) sin(2 )f x x x x  
30. 
2
2
1 sec
( )
sec 1
axf x e
x

 

 
33
22
)( 




 





 

x
x
x
x
xf
)(cossin 323 xxy 
2
2cos3sin
2cos3sin
17
2










xx
xx
y
 32tan xxy 
 
II. Resolver os seguintes problemas de aplicação da derivada. 
1. Ache a taxa média de variação de y em relação a x e a taxa instantânea de variação 
de y em relação a x no ponto extremo esquerdo do intervalo, nos seguintes funções 
abaixo. 
a) 
]5,3;3[;22  xy
 
b) 
]4,2;2[;23 2xy 
 
2. Um balonista deixa cair de um balão à 160 m acima do solo um saco de areia. 
Após t segundos, o saco de areia está à 
29,4160 t
metros do solo. 
a) Ache a velocidade do saco de areia em t =1. 
b) Com que velocidade o saco de areia atinge o solo? 
3. Um atleta percorre uma pista de 100m de modo que a distância s(t) percorrida após 
t segundos é dada por 
mttts 8
5
1
)( 2 
. Determine a velocidade do atleta. 
a) No início da corrida 
b) Quando t = 5 seg. 
c) Na reta final. 
4. Um balão esférico esta sendo inflado. Ache a taxa de variação da área S da 
superfície do balão em relação ao raio r. 
a) Para r arbitrário 
b) Para r=1 
5. Estima-se que , x meses a partir de agora, a populaçõa de uma certa comunidade 
será de P(x)= x
2 
+ 20x+ 8000. 
a) a que taxa a população estará variando em relação ao tempo 15 meses a partir 
de agora? 
b) De quanto a populaçõa variará durante o 16º mês? 
6. Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que sua distância 
s(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de vôo é dada por s(t) = 6 +2t + t
2
, 
na qual s(t) é contado em metros e t em segundos. Determine a velocidade do 
balão quando: 
a) t=1, t=4 e t= 8 
b) No instante em que o balão está a 50 metros do solo. 
 
7. O volume V (em m3) de água em um pequeno reservatório durante o degelo da 
primavera é dado por V = 5000 (t + 1)
2
 para t meses e 
30  t
. A taxa de variação 
do volume em relação ao tempo é a taxa de fluxo para o reservatório. Ache a taxa 
de fluxo nos instantes t= 0 e t= 2. Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11.250 
m
3 ? 
 
III. Resolva os itens abaixo 
 
a) Dado que 
(3) 1f  
 e 
'(3) 5f 
, ache uma equação para a reta tangente ao gráfico de 
( )y f x
, no ponto onde 
3x 
. 
b) Calcule a equação da reta tangente e a reta nornmal ao gráfico da função: 
 
 
2 5y x x 
 no ponto (1,-4). 
 
3 2 46y x
x
 
 no ponto (1,2). 
 
2 4y x x x  
 no ponto (0,4). 
c) Existe retas tangentes a curva 
y x
 paralela à reta 
8 4 1 0x y  
? Em que 
ponto(s) Dê as equações. 
d) Existe retas tangentes a curva 
y x
 perpendiculares à reta 
y x 
? Em que 
ponto(s) Dê as equações.