ALGA1M143 1415 res exame n (4)

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2014/15
Resolução – Exame – 19-01-2015 – Duração 2h
1. Para cada a, b ∈ R, considere o sistema
 ax+ by = 0ay + bz = 0
ax+ bz = 0
nas incógnitas x, y, z.
(0, 5 val.) a) Diga, justificando, para que valores de a e b é que o sistema é possível.
O sistema dado é linear e homogéneo, logo, admite sempre a solução nula. Assim, o sistema é possível para todo a, b ∈ R.
(1 val.) b) Diga, justificando, para que valores de a e b é que o sistema tem uma e uma só solução.
O sistema linear e homogéneo tem 3 equações e 3 incógnitas. Portanto tem uma e uma só solução (a solução nula) se e
só se a matriz dos coeficientes tem determinante não nulo. Como
det
 a b 00 a b
a 0 b
 = ab(a+ b)
então o sistema tem uma e uma só solução se e só se (a, b) pertence ao conjunto {(a, b) ∈ R2 : a 6= 0, b 6= 0, a 6= −b}.
2. (1, 5 val.) Diga, justificando, se qualquer subespaço próprio de um endomorfismo injetivo está contido no contradomínio
desse endomorfismo.
A afirmação é verdadeira. Sendo f um endomorfismo injetivo de um espaço vetorial V e λ um valor próprio de f , então λ é
não nulo. Por definição de espaço próprio Eλ, como para qualquer v ∈ Eλ se tem f(v) = λv, temos que {λv : v ∈ Eλ} ⊆ Imf .
Como Imf é um subespaço vetorial de V , então é fechado para a multiplicação por escalar. Assim, se λv ∈ Imf com v ∈ Eλ
então também λ−1(λv) = v ∈ Imf . Portanto Eλ ⊆ Imf .
3. Considere o espaço vetorial real R3 munido das operações usuais e produto escalar usual. Sejam f e g os endomorfismos
de R3 definidos por:
f(x, y, z) = (z, x, y), (x, y, z) ∈ R3; g(1, 1, 1) = (1, 1, 1), g(1, 0, 1) = (0, 1, 1), g(1, 2, 0) = (2, 1, 0) .
(1 val.) (a) Sem determinar explicitamente g(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3, mostre que g é bijectiva.
Como (1, 1, 1), (0, 1, 1), (2, 1, 0) ∈ Im g, então G({(1, 1, 1), (0, 1, 1), (2, 1, 0)}) ⊆ Im g. Mas (1, 1, 1), (0, 1, 1), (2, 1, 0) são
linearmente independentes (basta verificar que det
 1 0 21 1 1
1 1 0
 6= 0), portanto geram R3, logo Im g = R3, isto é, g é
sobrejetivo. Como g é um endomorfismo de R3, segue que g também é injetivo, logo bijetivo.
(1 val.) (b) Determine g(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3.
Resolvendo o sistem linear em α, β, γ que se obtem da equação
(x, y, z) = α(1, 1, 1) + β(1, 0, 1) + γ(1, 2, 0),
obtemos (α, β, γ) = (−2x+ y + 2z, 2x− y − z, x− z), e portanto
(x, y, z) = (−2x+ y + 2z)(1, 1, 1) + (2x− y − z)(1, 0, 1) + (x− z)(2, 1, 0).
Logo,
g(x, y, z) = (−2x+ y + 2z)g(1, 1, 1) + (2x− y − z)g(1, 0, 1) + (x− z)g(1, 2, 0) = (y, x, z), (x, y, z) ∈ R3 .
(1 val.) (c) Determine um vetor próprio comum a f e a g.
Observando que f(1, 1, 1) = g(1, 1, 1) = (1, 1, 1) segue que (1, 1, 1) é um vetor próprio comum a f e a g (associado ao
valor próprio 1 de ambos os endomorfismos).
Nas alíneas que se seguem, considere h = f + f ◦ f .
(1 val.) (d) Mostre que Mbcbc(h) =
 0 1 11 0 1
1 1 0
.
Calculando A =Mbcbc(f) =
 0 0 11 0 0
0 1 0
 obtemos que Mbcbc(h) = A+A2 =
 0 1 11 0 1
1 1 0
.
(2 val.) (e) Averigue se existe uma base ortonormada B de R3 tal que
MB,B(h) =
 2 0 00 −1 0
0 0 −1
 .
Caso exista, indique uma tal base B.
Podemos começar por observar que, pelos dados da alínea anterior, a matriz Mbcbc(h), representando h relativamente a
uma base ortonormada de R3 (a base canónica), é simétrica. Logo, pelo Teorema espectral, obtemos que h é diagonalizável
e existe uma base ortonormada de R3 de vetores próprios de h. Como Mbcbc(h) =
 0 1 11 0 1
1 1 0
, temos que o polinómio
característico p de h é definido por p(α) = det
 −α 1 11 −α 1
1 1 −α
 = (2 − α)(−1 − α)2 e ficamos a saber que 2 e −1 são
realmente os valores próprios de h. Tem-se E2 =
(x, y, z) ∈ R3 :
 −2 1 11 −2 1
1 1 −2
 xy
z
 =
 00
0
 = G ({(1, 1, 1)})
e E−1 =
(x, y, z) ∈ R3 :
 1 1 11 1 1
1 1 1
 xy
z
 =
 00
0
 = G ({(1,−1, 0), (1, 0,−1)}). Juntando os elementos de uma
base ortonormada de cada um dos subespaços próprios, obtemos então uma base B de R3 que é ortonormada (porque uma
vez que Mbc,bc(h) é simétrica, vetores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais) tal que MB,B(h) = 2 0 00 −1 0
0 0 −1
 . Uma base ortonormada de E2 é por exemplo ( 1√3 (1, 1, 1)). Uma base ortonormada de E−1 é por exemplo(
1√
2
(1,−1, 0), 1√
6
(1, 1,−2)
)
. Então B =
(
1√
3
(1, 1, 1), 1√
2
(1,−1, 0), 1√
6
(1, 1,−2)
)
é uma base nas condições indicadas.
(1 val.) (f) Determine proj⊥E(x, y, z), onde E é o subespaço próprio de h associado ao valor próprio −1.
Usando o facto de
(
1√
2
(1,−1, 0), 1√
6
(1, 1,−2)
)
ser uma base ortonormada de E (visto na alínea anterior), obtemos então
que
proj⊥E(x, y, z) = α
1√
2
(1,−1, 0) + β 1√
6
(1, 1,−2),
onde α = (x, y, z)| 1√
2
(1,−1, 0) = 1√
2
(x− y) e β = (x, y, z)| 1√
6
(1, 1,−2) = 1√
6
(x+ y − 2z). Assim,
proj⊥E(x, y, z) =
1
3
(2x− y − z,−x+ 2y − z,−x− y + 2z) .
(2 val.) (g) Considere o espaço vectorial real V = L(R3,R3) dos endomorfismos lineares em R3 munido das operações usuais
(soma de funções e multiplicação de funções por reais) e os seguintes subespaços:
S1 = {L ∈ V : L ◦ f = f ◦ L}, S2 = {L ∈ V : L ◦ f = f ◦ L e L ◦ g = g ◦ L} .
Para i = 1, 2, determine uma base de Si e a dimensão de Si.
Seja L um endomorfismo de R3 e seja
 a b cd e f
g h i
 a matriz de L relativamente à base canónica de R3; comoMbcbc(f) = 0 0 11 0 0
0 1 0
, então
L ◦ f = f ◦ L⇔
 a b cd e f
g h i
 0 0 11 0 0
0 1 0
 =
 0 0 11 0 0
0 1 0
 a b cd e f
g h i
⇔ a = e = i, b = f = g, c = d = h .
Logo L ∈ S1 sse existem a, b, c ∈ R tais que
Mbc,bc(L) =
 a b cc a b
b c a
 = a
 1 0 00 1 0
0 0 1
+b
 0 1 00 0 1
1 0 0
+c
 0 0 11 0 0
0 1 0
 = aMbcbc(idR3)+bMbcbc(f ◦f)+cMbcbc(f)
ou seja, L ∈ S1 sse L é combinação linear de idR3 , f ◦f, f . Isto é, os endomorfismos idR3 , f ◦f, f geram S1 (e são linearmente
independentes). Portanto constituem uma base de S1 e S1 tem dimensão 3.
Para calcular uma base de S2 basta notar que Mbcbc(g) =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 e
 a b cc a b
b c a
 0 1 01 0 0
0 0 1
 =
 0 1 01 0 0
0 0 1
 a b cc a b
b c a
⇔ b = c .
Portanto,
Mbcbc(L) = a
 1 0 00 1 0
0 0 1
+b
 0 1 00 0 1
1 0 0
+b
 0 0 11 0 0
0 1 0
 = aMbcbc(idR3)+bMbcbc(f◦f+f) = aMbcbc(idR3)+bMbcbc(h) .
Isto é, os endomorfismos idR3 e h geram S2 (e são linearmente independentes). Portanto constituem uma base de S2 e S2
tem dimensão 2.