Resumo sobre Integrais(TFC pt 1 e 2,integral definida e indefinida)

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Propriedades da integral definida, Teorema
Fundamental do Ca´lculo e Integral Indefinida
Quando definimos a integral definida
∫ b
a
f(x) dx, implicitamente assumimos que a <
b. Mas a definic¸a˜o como o limite de soma de Riemann faz sentido mesmo que a > b.
Observe que se invertermos a e b, enta˜o 4x mudara´ de b− a
n
para
a− b
n
· Portanto,
∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx.
Se a = b, enta˜o 4x = 0 e ∫ a
a
f(x) dx = 0.
Vamos desenvolver agora algumas propriedades ba´sicas das integrais que nos ajudara˜o
a calcular as integrais de uma forma mais simples.
Propriedades da Integral: Sejam f , g func¸o˜es integra´veis em [a, b] e C uma constante.
1)
∫ b
a
C dx = C(b− a).
2)
∫ b
a
[
f(x) + g(x)
]
dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx.
3)
∫ b
a
Cf(x) dx = C
∫ b
a
f(x) dx.
4)
∫ b
a
[
f(x)− g(x)] dx = ∫ b
a
f(x) dx−
∫ b
a
g(x) dx.
Observac¸a˜o 1. Se C > 0 e a < b a propriedade 1) e´ natural pois
∫ b
a
C dx = C(b− a) =
a´rea do retaˆngulo de base ba e altura C.
1
Observac¸a˜o 2. As propriedades 2, 3 e 4 seguem da definic¸a˜o de integral e das pro-
priedades de limite, por exemplo:∫ b
a
[
f(x) + g(x)
]
dx = lim
max4x→0
n∑
k=1
[
f(ξk) + g(ξk)
]
4xk
= lim
max4x→0
[ n∑
k=1
f(ξk)4 xk +
n∑
k=1
g(ξk)4 xk
]
= lim
max4x→0
n∑
k=1
f(ξk)4 xk
+ lim
max4x→0
n∑
k=1
g(ξk)4 xk =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx.
Exemplo 1: Use as propriedades das integrais para calcular
∫ 1
0
(4− 3x2) dx.
Soluc¸a˜o:
Usando as propriedades 2 e 3 das integrais, temos∫ 1
0
(4− 3x2) dx =
∫ 1
0
4 dx−
∫ 1
0
3x2 dx = 4
∫ 1
0
dx− 3
∫ 1
0
x2 dx
Sabemos da propriedade 1 que∫ 1
0
4 dx = 4(1− 0) = 4
e sabemos que ∫ 1
0
x2 dx =
1
3
·
Logo ∫ 1
0
(4− 3x2) dx = 4
∫ 1
0
dx− 3
∫ 1
0
x2 dx = 4− 3 · 1
3
= 3.
Exemplo 2: Calcule
∫ 1
0
(5x3 − 4x2 + 3) dx.
Soluc¸a˜o:
Pelas propriedades:∫ 1
0
(5x3 − 4x2 + 3) dx =
∫ 1
0
5x3 dx−
∫ 1
0
4x2 dx+
∫ 1
0
3 dx
= 5
∫ 1
0
x3 dx− 4
∫ 1
0
x2 dx+ 3 = 5 · 1
4
− 4 · 1
3
+ 3 =
15− 16 + 36
12
=
35
12
·
A propriedade a seguir estabelece como combinar integrais da mesma func¸a˜o em
intervalos adjacentes:
5)
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx.
2
Isso na˜o e´ fa´cil de ser provado em geral, mas o caso onde f(x) ≥ 0 e a < c < b
a propriedade acima pode ser vista a partir da interpretac¸a˜o geome´trica: a a´rea sob
y = f(x) de a ate´ c mais a a´rea de c ate´ b e´ igual a` a´rea total de a ate´ b.
Exemplo 3: Se
∫ 10
0
f(x) dx = 17 e
∫ 8
0
f(x) dx = 12, ache
∫ 10
8
f(x) dx.
Soluc¸a˜o:
Pela propriedade 5 temos:∫ 8
0
f(x) dx+
∫ 10
8
f(x) dx =
∫ 10
0
f(x) dx
logo
∫ 10
8
f(x) dx = 17− 12 = 5.
Observe que as Propriedades 1 - 5 sa˜o verdadeiras se a < b, a = b ou a > b. As
propriedades a seguir, nas quais comparamos os tamanhos de func¸o˜es e os de integrais
sa˜o verdadeiras somente se a ≤ b.
Propriedades Comparativas da Integral: Sejam f , g func¸o˜es integra´veis em [a, b].
6) Se f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, enta˜o
∫ b
a
f(x) dx ≥ 0.
7) Se f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, enta˜o
∫ b
a
f(x) dx ≥
∫ b
a
g(x) dx.
8) Se m ≤ f(x) ≤M para a ≤ x ≤ b, enta˜o
m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤M(b− a).
9)
∣∣∣∣ ∫ b
a
f(x) dx
∣∣∣∣≤ ∫ b
a
|f(x)| dx.
3
A propriedade 8 esta´ ilustrada na figura abaixo para o caso onde f(x) ≥ 0. Se f for
cont´ınua poderemos tomar m e M como o mı´nimo e o ma´ximo de f no intervalo [a, b].
Nesse caso, a propriedade 8 estabelece que a a´rea sob o gra´fico de f e´ maior que a a´rea
do retaˆngulo com altura m e menor que a a´rea do retaˆngulo com altura M .
Exemplo 4: Use as propriedades das integrais para verificar a seguinte desigualdade sem
calcular a integral.
2 ≤
∫ 1
−1
√
1 + x2 dx ≤ 2
√
2
Soluc¸a˜o:
Observe que
1 ≤
√
1 + x2 ≤
√
2.
Escolhendo m = 1 e M = 2 pela propriedade 8 temos que
1
(
1− (−1))≤ ∫ 1
−1
√
1 + x2 dx ≤
√
2
(
1− (−1))
⇒ 2 ≤
∫ 1
−1
√
1 + x2 dx ≤ 2
√
2.
O Teorema Fundamental do Ca´lculo
O Teorema Fundamental do Ca´lculo e´ inquestionavelmente o mais importante do
Ca´lculo e realmente e´ um dos grandes feitos da mente humana.
O Teorema Fundamental do Ca´lculo estabelece uma conexa˜o entre os dois ramos
do ca´lculo: o ca´lculo diferencial e o ca´lculo integral. O ca´lculo diferencial surgiu do
problema da tangente, enquanto o ca´lculo integral surgiu de um problema aparentemente
na˜o relacionado, o problema da a´rea. Newton descobriu que esses dois problemas esta˜o de
fato estreitamente relacionados. Ele percebeu que a diferenciac¸a˜o e a integrac¸a˜o possuem
uma relac¸a˜o inversa.
4
A primeira parte do Teorema Fundamental do Ca´lculo lida com func¸o˜es da forma
g(x) =
∫ x
a
f(t) dt
onde f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e x varia entre a e b. Observe que g depende
somente de x, que aparece como a varia´vel superior do limite na integral. Se x for um
nu´mero fixado, enta˜o a integral
∫ x
a
f(t) dt e´ um nu´mero definido. Se variarmos x, o
nu´mero
∫ x
a
f(t) dt, tambe´m varia e define uma func¸a˜o de x denotada por g(x).
Exemplo 5: Se f e´ a func¸a˜o mostrada no gra´fico e g(x) =
∫ x
0
f(t) dt, ache os valores de
g(0), g(1), g(2), g(3) e g(4).
Soluc¸a˜o:
g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 4 e g(4) = 3.
Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1. Se f for cont´ınua em [a, b], enta˜o a
func¸a˜o g definida por
g(x) =
∫ x
a
f(t) dt, a ≤ x ≤ b
e´ cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b) e g′(x) = f(x).
Podemos escrever o Teorema Fundamental do Ca´lculo - parte 1 como
d
dx
∫ x
a
f(t) dt = f(x).
Exemplo 6: Ache a derivada da func¸a˜o g(x) =
∫ x
0
√
1 + t2 dt.
Soluc¸a˜o:
Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1:
g′(x) =
√
1 + x2.
5
Exemplo 7: Ache
d
dx
∫ x4
1
sec t dt.
Soluc¸a˜o:
Seja f(x) = x4 enta˜o
g
(
f(x)
)
= g(x4) =
∫ x4
1
sec t dt, onde g(z) =
∫ z
1
sec t dt.
Pela regra da cadeia
d
dx
[
g
(
f(x)
)]
= g′
(
f(x)
)·f ′(x) = (sec x4) 4x3 = 4x3 sec x4.
Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2. Se f for integra´vel em [a, b], enta˜o∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
onde F e´ qualquer antiderivada de f , isto e´, uma func¸a˜o tal que F ′ = f .
Observac¸a˜o 3. Se F e´ uma antiderivada de f , enta˜o G(x) = F (x) + C tambe´m e´ uma
antiderivada de f , pois G′(x) = F ′(x) = f(x). E assim,∫ b
a
f(x) dx = G(b)−G(a) = F (b) + C − F (a)− C = F (b)− F (a)
logo, podemos escolher qualquer antiderivada de f , para calcularmos a integral.
Observac¸a˜o 4. Podemos denotar o Teorema Fundamental do Ca´lculo - parte 2 da forma∫ b
a
F ′(x) dx = F (b)− F (a).
Exemplo 8: Calcule
∫ 4
2
(x3 − 6x2 + 9x+ 1) dx.
Soluc¸a˜o:
Uma antiderivada para a func¸a˜o f(x) = x3−6x2+9x+1 e´ F (x) = x
4
4
−6 x
3
3
+9
x2
2
+x,
enta˜o pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo:∫ 4
2
(x3 − 6x2 + 9x+ 1) dx = F (4)− F (2) = 12− 8 = 4.
6
Exemplo 9: Calcule
∫ 1
−1
(x4/3 + 4x1/3) dx.
Soluc¸a˜o:
Uma antiderivada para a func¸a˜o f(x) = x4/3 +4x1/3 e´ F (x) =
3
7
x7/3 +3x4/3, enta˜o
pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo:∫ 1
−1
(x4/3 + 4x1/3) dx =
[
3
7
x7/3 + 3x4/3
]1
−1
=
3
7
+ 3 +
3
7
− 3 = 6
7
·
Observac¸a˜o 5. Se n e´ uma constante diferente de 1 enta˜o uma antiderivada para a
func¸a˜o f(x) = xn e´ F (x) =
xn+1
n+ 1
·
Exemplo 10: Calcule
∫ 1
−1
ex dx.
Soluc¸a˜o:
Uma antiderivada para a func¸a˜o f(x) = ex e´ F (x) = ex, enta˜o∫ 1
−1
ex dx = ex
∣∣∣1
−1
= e− e−1 = e− 1
e
·
Exemplo 11:Encontre o valor da a´rea da regia˜o limitada pela func¸a˜o y = sen x e o
eixo das abscissas no intervalo [0, pi].
Soluc¸a˜o:
Como sen x e´ uma func¸a˜o cont´ınua e positiva no intervalo [0, pi], a a´rea procurada
coincide com a seguinte integral:
A =
∫ pi
0
sen x dx = −cos x
∣∣∣pi
0
= 1 + 1 = 2.
7
Exemplo 12: O que esta´ errado no seguinte ca´lculo?∫ 3
−1
1
x2
dx =
x−1
−1
]3
−1
= −1
3
− 1 = −4
3
·
Para comec¸ar notamos que esse ca´lculo deve estar errado, pois a resposta e´ negativa,
mas f(x) =
1
x2
≥ 0 e a propriedade 6 das integrais estabelece que
∫ b
a
f(x) dx ≥ 0 quando
f ≥ 0. O Teorema Fundamental do Ca´lculo aplica-se a uma func¸a˜o integra´vel. Ele na˜o
pode ser aplicado aqui, pois f(x) =
1
x2
na˜o e´ integra´vel em [−1, 3]. Portanto,
∫ 3
−1
1
x2
dx
na˜o pode ser calculada pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo.
Integrais Indefinidas
Precisamos de uma notac¸a˜o conveniente para as antiderivadas que as torne fa´ceis
de serem trabalhadas. Em virtude da relac¸a˜o dada pelo Teorema Fundamental entre as
antiderivadas e as integrais, a notac¸a˜o
∫
f(x) dx e´ tradicionalmente usada para uma
antiderivada de f e e´ chamada integral indefinida. Assim∫
f(x) dx = F (x) significa F ′(x) = f(x).
Por exemplo, podemos escrever∫
sec2 x dx = tg x+ C pois
d
dx
(tg x+ C) = sec2 x.
Precisamos fazer uma distinc¸a˜o cuidadosa entre integrais definidas e indefinidas. Uma
integral definida
∫ b
a
f(x) dx e´ um nu´mero. Uma integral indefinida
∫
f(x) dx e´ uma
func¸a˜o mais uma constante arbitra´ria.
Exemplo 13: Ache a integral indefinida
∫
(10x4 − 2 sec2 x) dx
Soluc¸a˜o:
Usando as propriedades das integrais tem-se:∫
(10x4 − 2 sec2 x) dx = 10
∫
x4 dx− 2
∫
sec2 x dx
= 10
x5
5
− 2 tg x+ C = 2x5 − 2 tg x+ C.
8