Aula 3 - Introdução à Matrizes

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AULA 3 – INTRODUÇÃO À MATRIZES 	
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  PROF. MAYK COELHO	
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ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 3 
 
	
   	
   	
  
PROF. DR. MAYK COELHO 	
   
Propriedades básicas de Matrizes 
Alguns conceitos aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de 
problemas, sendo essenciais, não apenas pela ordenação e simplificação 
mas também por fornecer novos métodos de resolução. Alguns destes 
conceitos é o que chamamos de matrizes. Mas o que são matrizes? 
Chamamos de matrizes qualquer coleção de elementos dispostos em linhas 
e colunas em formato retangular. Por exemplo, ao recolhermos os dados 
referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos 
dispô-los em uma tabela conforme abaixo: 
Table	
  1:	
  Informações	
  pessoais	
  
 Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) 
Pessoa 1 
Pessoa 2 
Pessoa 3 
Pessoa 4 
1,70 
1,75 
1,60 
1,81 
70 
60 
52 
72 
23 
45 
25 
30 
 
Introdução à Matrizes 
Os antigos chineses já sabiam das 
vantagens de manipulações de matrizes 
ao lidar com sistemas de equações 
lineares, eles deram o primeiro passo 
ao que poderia ser chamada de teoria 
de matrizes. Porém, no ano de 213 aC 
o imperador Shih Hoang-ti ordenou 
que “ todos os livros fossem 
queimados e todos os estudantes 
fossem enterrados”. Presume-se que o 
imperador quisesse todo o 
conhecimento e registro escrito para 
poder manter a salvo seu regime. A 
ordem foi cumprida e nunca se saberá 
o quanto de conhecimento foi perdido. 
O livro “Nove capítulos sobre 
aritmética” foi elaborado com base em 
vestígios do que sobreviveu. 
Mais de um milênio se passou antes 
que algum progresso fosse 
documentado. A Taboa de contagem 
chinesa com suas aplicações que 
envolvem manipulação de matriz para 
resolver sistemas lineares finalmente 
encontrou seu caminho para o Japão. 
Seki Kowa (1642-1708), considerado 
um dos maiores matemáticos do pais, 
levou adiante os princípios chineses 
envolvendo "regra prática" para 
métodos de eliminação de arranjos de 
números. 
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Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas da tabela acima, 
obtemos uma matriz de dados: 1,70 70 231,75 60 451,60 52 251,81 72 30 
Observe que para um problema em que o número de dados seja grande, esta 
disposição ordenada de informações em forma de matriz torna-se 
extremamente indispensável, pois torna possível a referencia a uma certa 
informação indicando a linha e a coluna na qual esta se encontra. 
Neste texto será dada uma abordagem a teoria de matrizes com base no que 
já foi apresentado sobre vetores, pois veremos que compartilham muitas 
propriedades. 
Um outro exemplo poderia ser o de uma tabela de um campeonato: 
Table	
  2:	
  Tabela	
  de	
  campeonato	
  
 Vitorias Empates Derrotas 
Time A 
Time B 
Time C 
Time D 
5 
4 
2 
0 
0 
1 
1 
0 
1 
1 
3 
6 
 
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas da tabela acima, 
obtemos uma matriz de dados: 5 0 14 1 12 1 30 0 6 
Observe que uma matriz não é uma tabela, mas sim o conjunto de dados, ou 
informações contidas nesta tabela. Em ambos exemplos acima temos 
matrizes de dados dispostos em 4 linhas e 3 colunas, para isso iremos dizer 
que são matrizes de ordem 4×3. Existem matrizes de outras ordens, por 
exemplo as matrizes abaixo: 
𝐴 = 3𝑥 2𝑥! + 𝑦𝑦 − 7 4 ,𝐵 = 𝐿 𝐸𝐼 𝐴𝑁 𝑅 ,𝐶 = 3 7 𝜋 0 ,𝐷 = 37𝜋0 ,𝐸 = 1 
Denotamos respectivamente por 𝐴!×!,𝐵!×!,𝐶!×!,𝐷!×!,𝐸!×!. 
Em particular, matrizes com o mesmo número de linhas e colunas, assim 
como a matriz 𝐴, são chamadas de matrizes quadradas. Matrizes com 
apenas uma linha, ou apenas uma coluna, assim como as matrizes 𝐶 e 𝐷 
Sua compreensão das operações 
elementares utilizadas no processo de 
eliminação chinesa levou-o a formular 
o conceito do que hoje chamamos o 
determinante. Ao formular suas ideias 
sobre a solução de sistemas lineares, 
Seki Kowa antecipou os conceitos 
fundamentais das operações de matriz 
que formam hoje a base para a álgebra 
matricial. No entanto, não há nenhuma 
evidência de que ele desenvolveu suas 
operações de matriz para realmente 
construir uma álgebra de matrizes. 
A partir de meados dos anos 1600 a 
meados de 1800, enquanto a Europa 
foi a floração em desenvolvimento 
matemático, o estudo da manipulação 
de matriz foi dedicada exclusivamente 
à teoria dos determinantes. 
Curiosamente, álgebra matricial não 
evoluiu junto com o estudo de 
determinantes. 
Foi só com o trabalho do matemático 
britânico Arthur Cayley (1821 - 1895) 
que as matrizes foram apontadas como 
uma entidade separada, distinta da 
noção de um determinante e as 
operações algébricas entre matrizes 
foram definidas. Em um documento de 
1855, Cayley introduziu pela primeira 
vez suas ideias, principalmente para 
simplificar a notação. Finalmente, em 
1857, Cayley expandiu suas ideias 
originais e escreveu um memorando 
sobre a Teoria de Matrizes. Este lançou 
as bases para a moderna teoria e é 
geralmente creditado por ser o 
nascimento dos temas de análise 
matricial e álgebra linear. Como as 
ideias sobre determinantes precederam 
os conceitos de álgebra matricial por 
pelo menos dois séculos, Morris Kline 
em seu livro “Matemática através da 
antiguidade aos tempos modernos” diz 
que “A teoria da matriz foi bem 
desenvolvida antes mesmo de ser 
criada.” E de fato, pois imediatamente 
após a publicação do livro de 
memórias de Cayley, a teoria matricial 
e álgebra linear praticamente 
explodiram e rapidamente evoluiu para 
uma disciplina que agora ocupa uma 
posição central em matemática 
aplicada. 
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respectivamente, são chamadas de matriz linha e 
matriz coluna respectivamente. Matrizes com apenas 
uma linha e uma coluna, assim como a matriz 𝐸 são 
chamadas de matriz escalar. 
A representação geral de uma matriz pode ser feita da 
seguinte forma: 
 
onde 𝑎!" é o termo situado na i-ésima linha e j-ésima 
coluna. 
Por exemplo, o termo 𝑎!" da matriz de dados da 
Tabela 1 é 45, já da matriz de dados da Tabela 2 é 1. 
 
Alguns tipos especiais de Matrizes 
Iremos dar destaque a outros tipos de matrizes que 
serão utilizados no decorrer do curso: 
Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada cujos termos 𝑎!" são iguais a zero para todo 𝑖 ≠ 𝑗, ou seja, os 
elementos fora da “diagonal” são nulos. 
Exemplos: 
𝐴 = 3 00 7 ,𝐵 = 4 0 00 0 00 0 9 ,𝐶 =
𝑎 00 𝑏 0 00 00 00 0 𝑐 00 𝑑 
Matriz Identidade Quadrada: É uma matriz diagonal, 
cujos elementos 𝑎!! = 1. 
Exemplos: 
𝐴 = 1 00 1 ,𝐵 = 1 0 00 1 00 0 1 ,𝐶 =
1 00 1 0 00 00 00 0 1 00 1 
Matriz Triangular Superior: É uma matriz quadrada 
cujos elementos abaixo da diagonal são todos nulos, 
ou seja, 𝑎!" = 0 para 𝑖 > 𝑗. 
 
 
Exemplos: 
𝐴 = 3 30 7 ,𝐵 = 4 2 00 1 10 0 9 ,𝐶 =
𝑎 𝑏0 𝑒 𝑐 𝑑𝑓 𝑔0 00 0 ℎ 𝑟0 𝑠 
Matriz Triangular Inferior: É uma matriz quadrada 
cujos elementos acima da diagonal são todos nulos, ou 
seja, 𝑎!" = 0 para 𝑖 < 𝑗. 
Exemplos: 
𝐴 = 3 02 7 ,𝐵 = 4 0 01 0 02 0 9 ,𝐶 =
𝑎 0𝑏 𝑐 0 00 0𝑑 𝑒𝑔 ℎ 𝑓 0𝑟 𝑠 
Matriz Simétrica: É uma matriz quadrada cujo 
elemento 𝑎!" = 𝑎!". 
Exemplos: 
𝐴 = 3 11 7 ,𝐵 = 4 1 21 0 32 3 9 ,𝐶 =
𝑎 𝑏𝑏 𝑒 𝑐 𝑑𝑓 𝑔𝑐 𝑓𝑑 𝑔 ℎ 𝑟𝑟 𝑠 
 
Operações com Matrizes 
Ao utilizarmos matrizes, surge naturalmente a 
necessidade de efetuarmos operações. Mas como? 
Observe que podemos interpretar as linhas de uma 
matriz 𝐴!×! como sendo vetores em ℝ!. De mesmo 
modo, podemos interpretar as colunas de uma matriz 𝐴!×! como sendo vetores em ℝ!. 
Observe ainda que as matrizes 𝐶 e 𝐷 podem 
representar o mesmo vetor
em ℝ!, porém não podem 
ser consideradas iguais pois apresentam formatos 
diferentes, ou melhor, ordens diferentes. Dizemos 
então que as matrizes 𝐶 e 𝐷 estão em espaços 
diferentes, ou seja, 𝐶 ∈ ℝ!×! e 𝐷 ∈ ℝ!×!. 
De modo geral, dizemos que o conjunto ℝ!×! é o 
conjunto de todas as matrizes 𝐴!×!. 
Assim como feito com vetores, podemos igualar e 
operar matrizes que estejam em um mesmo espaço, 
deste modo, se iremos olhar as linhas ou colunas de 
uma matriz como sendo vetores, é natural que a 
𝐴!×! = !𝑎!!𝑎!"⋮ 𝑎!" … 𝑎!!𝑎!! … 𝑎!!⋮ ⋱ ⋮𝑎!! 𝑎!! … 𝑎!"! = !𝑎!"!!×! 
Observe que toda matriz 
diagonal é também simétrica, 
triangular inferior e superior. 
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igualdade de matrizes e as operações entre elas sejam oriundas das feitas com vetores. 
Deste modo, duas 𝐴!×! = 𝑎!" !×! e 𝐵!×! = 𝑏!" !×! são ditas iguais se 𝑚 = 𝑝 e 𝑛 = 𝑠, ou seja, forem de 
mesma ordem, e além disso seus termos correspondentes 𝑎!" e 𝑏!" forem iguais para cada 𝑖 e 𝑗. 
 
Exemplo 1: 3! log 11 5 = 9 0𝑠𝑒𝑛  90! 5 
Exemplo 2: As matrizes abaixo são iguais se e somente se 𝑥 = 2 e 𝑦 = 3. 𝐴 = 𝑥 − 2 6𝑥 + 𝑦 −1 e 𝐵 = 0 𝑦 + 35 𝑦 − 2𝑥 
 
Soma de Matrizes 
Podemos ainda somar matrizes assim como fazemos com vetores, somando termos correspondentes, ou seja, a 
soma de duas matrizes de mesma ordem 𝐴!×! = 𝑎!" !×! e 𝐵!×! = 𝑏!" !×! é uma matriz 𝑚×𝑛 que 
chamaremos de 𝐴 + 𝐵, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de 𝐴 e 𝐵. 
 
ou seja, se 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 então 𝑐!" = 𝑎!" + 𝑏!". 
Exemplo 1: 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑘 + 𝑙 𝑝 𝑞𝑟 𝑠 𝑡𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑎 + 𝑙 𝑏 + 𝑝 𝑐 + 𝑞𝑑 + 𝑟 𝑒 + 𝑠 𝑓 + 𝑡𝑔 + 𝑥 ℎ + 𝑦 𝑟 + 𝑧 
 
Exemplo 2: 1 −14 02 5 + 1 4−2 51 0 = 2 32 53 5
 
 
 
 
 
𝐴!×! = 𝐵!×!  ⟺ 𝑚 = 𝑝, 𝑛 = 𝑠  𝑒  𝑎!" = 𝑏!" 	
  
𝐴 + 𝐵 = !𝑎!" + 𝑏!"!𝑚×𝑛 	
  
Table	
  3:	
  Produção	
  de	
  grãos	
  (toneladas)	
  durante	
  o	
  primeiro	
  ano	
  
 Soja Feijão Arroz Milho 
Região A 5000 50 200 0 
Região B 2000 100 300 300 
Região C 2000 100 600 600 
 
Se quisermos montar uma tabela com a produção por produto 
e por região nos dois anos conjuntamente, teremos que somar 
os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores: 
!3000 200 400700 350 7001000 100 500 600100800! + !5000 50 2002000 100 3002000 100 600 0300600!= !8000 250 6002700 450 10003000 200 1100 6004001400!	
  
Table	
  5:	
  Produção	
  em	
  grãos	
  (toneladas	
  )	
  durante	
  os	
  dois	
  anos	
  
 Soja Feijão Arroz Milho 
Região A 8000 250 600 600 
Região B 2700 450 1000 400 
Região C 3000 200 1100 1400 
	
  
Exemplo 3: Considere as tabelas que descrevem 
a produção de grãos em dois anos consecutivos: 
Table	
  4:	
  Produção	
  de	
  grãos	
  (toneladas)	
  durante	
  o	
  primeiro	
  ano	
  
 Soja Feijão Arroz Milho 
Região A 3000 200 400 600 
Região B 700 350 700 100 
Região C 1000 100 500 800 
	
  
Não podemos fazer o mesmo 
com os dados das Tabelas 1 
e 2, pois mesmo que as 
matrizes de dados sejam de 
mesma ordem, não faz 
sentido algum a tabela com 
os dados desta soma. 
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Propriedades da Soma: 
Dadas matrizes 𝐴,𝐵 e 𝐶 de mesma ordem 𝑚×𝑛 temos: 
i) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴; 
ii) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶; 
iii) 𝐴 + 𝟎 = 𝐴, onde 𝟎 representa a matriz nula de 
ordem 𝑚×𝑛. 
Da mesma forma que podemos multiplicar um vetor por 
um escalar podemos multiplicar uma matriz por um 
escalar, multiplicando todos os termos desta matriz por 
este escalar. Isto mantem a coerência com a observação 
das linhas ou colunas como vetores. Além disso, 
observando o último exemplo, podemos considerar que 
devido a incentivos para o aumento de produção fosse 
previsto para a safra do terceiro ano o triplo da produção 
do primeiro, assim teríamos a seguinte matriz de 
produção: 
3 3000 200 400700 350 7001000 100 500 600100800 = 9000 600 1200 18002100 1050 2100 3003000 300 1500 2400 
Deste modo, acabamos de efetuar um produto de uma 
matriz por um escalar. Vejamos a definição formal a 
seguir: 
Seja 𝐴!×! = 𝑎!" !×! e 𝑘 um escalar, então definimos 
uma nova matriz da seguinte forma: 
 
 
Exemplo: −2 1 152 −3 = −2 −30−4 6 
Propriedades do Produto por Escalar 
Dadas 𝐴 e 𝐵 matrizes de mesma ordem e escalares 𝑘, 𝑘! e 𝑘!, temos: 
i) 𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵; 
ii) 𝑘! + 𝑘! 𝐴 = 𝑘!𝐴 + 𝑘!𝐴; 
iii) 0𝐴 = 𝟎; 
iv) 𝑘! 𝑘!𝐴 = 𝑘!𝑘! 𝐴. 
As vezes é conveniente considerarmos as linhas de uma 
matriz como sendo as colunas de uma outra matriz, 
assim, dada uma matriz 𝐴 = 𝑎!" !×! podemos obter 
uma outra matriz 𝐵 = 𝑏!" !×! cujas linhas são as 
colunas de 𝐴, isto é, 𝑏!" = 𝑎!". Denotamos 𝐵 = 𝐴′ a 
matriz transposta de 𝐴. 
Exemplo: Se 𝐴 = 2 31 04 5 então 𝐴! = 2 1 43 0 5 . 
Propriedades de transposição de matrizes 
i) Uma matriz é simétrica se e somente se ela for 
igual a sua transposta, ou seja, 𝐴 = 𝐴′; 
ii) A transposta da transposta de uma matriz é ela 
mesma, ou seja, 𝐴!! = 𝐴; 
iii) A transposta da soma é a soma das 
transpostas, ou seja, 𝐴 + 𝐵 ! = 𝐴! + 𝐵′; 
iv) 𝑘𝐴 ! = 𝑘𝐴! 
Produto de Matrizes 
Quando trabalhamos com vetores vimos que não fazia 
sentido algum o produto entre vetores como se fazia o 
produto entre escalares, no entanto, definimos um outro 
tipo de produto, o produto escalar. Para matriz não será 
diferente, visto que iremos olhar as linhas, ou colunas, de 
uma matriz como sendo vetores, o produto entre duas 
matrizes pode ser definido utilizando o produto escalar 
entre as linhas, ou entre as colunas, ou entre colunas e 
linhas, ou entre linhas e colunas de duas matrizes dadas. 
Nesta primeira parte do curso iremos trabalhar com esta 
última ideia, fazendo o produto escalar das linhas de uma 
matriz com as colunas de outra, mas não se assuste, este é 
o produto matricial que você aprende no ensino médio, 
mas como será feito? 
O produto escalar entre dois vetores é feito entre vetores 
com o mesmo número de coordenadas, deste modo, como 
iremos fazer entre linhas e colunas, este produto só será 
definido se o número de colunas de uma matriz for igual 
ao número de linhas da outra. 
Para melhor entender, sejam duas matrizes 𝐴!×! =𝑎!" !×! e 𝐵!×! = 𝑏!" !×! e denotamos por 𝐴! a linha 𝑟 de 𝐴 e 𝐵! a coluna 𝑠 de 𝐵. Podemos definir uma matriz 𝐶 = 𝑐!" !×! tal que 𝑐!" seja formado pelo produto 
escalar entre a linha 𝑟 de 𝐴 e a coluna 𝑠 de 𝐵, ou seja: 
 
𝑘𝐴!×! = !𝑘𝑎!"!!×! 
𝑐!" = 𝐴! .𝐵! 	
  
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Dizemos que 𝐶 = 𝐴𝐵 e terá o mesmo número de linhas de 𝐴 e o mesmo número de colunas de 𝐵.
Em alguns livros você encontrará ainda a seguinte formação para cada elemento da matriz 𝐶: 
𝑐!" = 𝑎!"𝑏!" = 𝑎!!𝑏!! + 𝑎!!𝑏!! +⋯+ 𝑎!"𝑏!"!!!! 
A visão por produto escalar entre as linhas de 𝐴 e as colunas de 𝐵 nos trará alguns benefícios mais adiante. 
 
Exemplo 1: Sendo 𝐴 = 1 32 03 2 !×! ,  𝐷 = 2 2 01 3 1 !×! e 𝐵 = 3 0 2 1−1 1 3 1 !×!encontrar 𝐴𝐵,𝐵𝐴,𝐵𝐷,𝐷𝐵,𝐴𝐷 e 𝐷𝐴. 
𝐴.𝐵 = 𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵!𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵!𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵! 𝐴!.𝐵! 
𝐴.𝐵 = 1 ∗ 3 + 3 ∗ (−1) 1 ∗ 0 + 3 ∗ 1 1 ∗ 2 + 3 ∗ 3 1 ∗ 1 + 3 ∗ 12 ∗ 3 + 0 ∗ (−1) 2 ∗ 0 + 0 ∗ 1 2 ∗ 2 + 0 ∗ 3 2 ∗ 1 + 0 ∗ 13 ∗ 3 + 2 ∗ (−1) 3 ∗ 0 + 2 ∗ 1 3 ∗ 2 + 2 ∗ 3 3 ∗ 1 + 2 ∗ 1 
ou seja 
𝐴.𝐵 = 0 3 11 46 0 4 27 2 12 5 !×! 
Observe que definindo o produto desta forma, não é 
possível fazer o produto 𝐵.𝐴, visto que 𝐵!.𝐴! = 3, 0, 2, 1 . 1, 2, 3= 3 ∗ 1+ 0 ∗ 2+ 2 ∗ 3+ 1 ∗? 
Ou seja, o número de colunas de 𝐵 é diferente do número 
de linhas de 𝐴. O mesmo se conclui de 𝐵𝐷 e 𝐷𝐵. 
Logo, mesmo que 𝐴𝐵 esteja definido, nem
sempre 
teremos definido 𝐵𝐴 e além disso, pode ocorrer o fato de 
nem podermos fazer a multiplicação entre as matrizes. 
Já com as matrizes 𝐴𝐷 e 𝐷𝐴 temos o seguinte: 
𝐴𝐷 = 1 ∗ 2 + 3 ∗ 1 1 ∗ 2 + 3 ∗ 3 1 ∗ 0 + 3 ∗ 12 ∗ 2 + 0 ∗ 1 2 ∗ 2 + 0 ∗ 3 2 ∗ 0 + 0 ∗ 13 ∗ 2 + 2 ∗ 1 3 ∗ 2 + 2 ∗ 3 3 ∗ 0 + 2 ∗ 1 = 5 11 34 4 08 12 2 !×! 𝐷𝐴 = 2 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 0 ∗ 3 2 ∗ 3 + 2 ∗ 0 + 0 ∗ 21 ∗ 1 + 3 ∗ 2 + 1 ∗ 3 1 ∗ 3 + 3 ∗ 0 + 1 ∗ 2 = 6 610 5 !×! 
Observe que ambos produtos estão definidos, porém 𝐴𝐷 ≠ 𝐷𝐴 visto que são de ordens diferentes. Logo, 
mesmo que seja possível fazer 𝐴𝐷 e 𝐷𝐴 estas podem ser 
diferentes. 
Exemplo 2: Podemos ver agora um exemplo prático 
deste uso de produto matricial. Suponhamos que a 
seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A, 
B e C, obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. 
 A B C 
Alimento I 4 3 0 
Alimento II 5 0 1 
Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do 
alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de 
vitamina? Podemos representar o consumo dos alimentos 
pela matriz consumo: 5 2 . 
A multiplicação da matriz consumo pela matriz de 
vitaminas nos dá a resposta desejada: 5 2 4 3 05 0 1 = 30 15 2 
Logo, serão inseridas 30 unidades de vitamina A, 15 de 
B e 2 de C. 
Ainda com os dados anteriores, se o custo dos alimentos 
depender somente de seu conteúdo vitamínico e 
soubermos que os preços por unidade de vitamina A, B e 
C são respectivamente 1.5, 3 e 5 u.m., quanto 
pagaríamos pela porção de alimento indicada 
anteriormente? 
Para isso temos outro produto matricial: 
30 15 2 1.535 = 100 
ou seja, pagaríamos 100 u.m. 
As	
  ideias	
  deste	
  exemplo	
  serão	
  
bem	
  úteis	
  mais	
  adiante	
  
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Propriedades de Produto Matricial 
Sendo 𝐴,𝐵 e 𝐶 matrizes, desde que sejam possíveis as operações, são válidas as seguintes propriedades: 
i) Em geral 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 ( podendo mesmo um dos membros estar definido e o outro não; 
ii) 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴; 
iii) 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶; 
iv) 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶; 
v) 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶); 
vi) 𝐴𝐵 ! = 𝐵′𝐴′ (observe a ordem); 
vii) 𝟎𝐴 = 𝐴𝟎 = 𝟎. 
 
Observe ainda que é possível obtermos 𝐴𝐵 = 𝟎 sem que 𝐴 ou 𝐵 sejam nulas, veja o exemplo: 𝐴 = 1 −1 1−3 2 −1−2 1 0  𝑒  𝐵 = 1 2 32 4 61 2 3 
Temos que: 𝐴𝐵 = 0 0 00 0 00 0 0 e 𝐵𝐴 = −11 6 −1−22 12 −2−11 6 −1 
 
Isso acontece no produto 𝐴𝐵 pois os vetores linhas de 𝐴 são perpendiculares aos vetores coluna de 𝐵. 
 
 
 
	
  
Bibliografia 
Boldrini, J.L, Costa, S.R, Figueiredo, V.L, Wetzler, H.G: Álgebra Linear, 1980 – Ed. 3 pág. 1 – 11. 
Anton H. E C. Rorres: Álgebra Linear com Aplicações Bookman, 2001 - Ed. 8 pág. 49 - 53 
A. Steinbruch e P. Winterle: Álgebra Linear Pearson, 2002 – Ed. 2 pág. 369 - 404