06 - DiferençasFinitas

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1COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Se 
então esta expressão aplica-se para as funções 
Y1(x) = 1 e Y2(x) = x, no ponto x0 = 0.
⇒=−=⇒
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
h
be
h
a
b
a
h
11
1
0
.
0
11
y0
-h-1 1( )/h
Seja um função dada pelos valores nos pontos x0–h e x0.
y-h
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada de primeira ordem
X
y-h
y0
yh
Y
x0-h x0 x0+h
Função Y2(x) = xFunção Y1(x) = 1
y-h = Y2(-h) = -hy-h = Y1(-h) = 1
Y2’(0) = 1Y1’(0) = 0
0 = 1.a + 1.b 1 = -h.a + 0.b
y0 = Y2(0) = 0y0 = Y1(0) = 1
( )
0
0 y.by.a
dx
xdY
h += −
( )
h
yy
dx
xdY h−−=⇒ 00
2COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada de primeira ordem
Seja um função dada pelos valores nos pontos x0 e x0+h.
( )
hy.by.adx
xdY += 00Se 
então esta expressão aplica-se para as funções 
Y1(x) = 1 e Y2(x) = x, no ponto x0 = 0.
⇒=−=⇒
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
h
be
h
a
b
a
h
11
1
0
.
0
11
yh
h-1 1( )/hy0
X
y-h
y0
yh
Y
x0-h x0 x0+h
Função Y2(x) = xFunção Y1(x) = 1
y0 = Y2(0) = 0y0 = Y1(0) = 1
yh = Y2(h) = hyh = Y1(h) = 1
Y2’(0) = 1Y1’(0) = 0
0 = 1.a + 1.b 1 = 0.a + h.b
( )
h
yy
dx
xdY h 00 −=⇒
3COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
0 = h2.a + 0.b + h2.c
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada de primeira ordem
X
y-h
y0
yh
Y
x0-h x0 x0+h
então esta expressão aplica-se para as funções 
Y1(x) = 1, Y2(x) = x e Y3(x) = x2, no ponto x0 = 0.
⇒=
=−=⇒
⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
h
c
eb
h
a
c
b
a
hh
hh
.2
1
0,
.2
1
0
1
0
.
0
0
111
22
Seja um função dada pelos valores nos pontos x0–h, x0 e x0+h.
Se 
Função Y3(x) = x2Função Y2(x) = xFunção Y1(x) = 1
y-h = Y3(-h) = h2y-h = Y2(-h) = -hy-h = Y1(-h) = 1
y0 = Y3(0) = 0y0 = Y2(0) = 0y0 = Y1(0) = 1
yh = Y3(h) = h2yh = Y2(h) = hyh = Y1(h) = 1
Y3’(0) = 0Y2’(0) = 1Y1’(0) = 0
0 = 1.a + 1.b + 1.c 1 = -h.a + 0.b + h.c
( )/2.h-h
-1 1
y0y-h yh
h0
( )
hh y.cy.by.adx
xdY ++= − 00
( )
h
yy
dx
xdY hh
.2
0 −−=
4COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada de primeira ordem
Estimativa de erro
( )
2
62
620
0
2
00
0
3
0
2
0
000
00
h.y
h.yh.yy
h
h.yh.yh.yyy
h
yy
dx
xdY
"
'""
'
'""
'
h
−≈⇒
⇒−+−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−+−−
=−== −
ε
L
L
( )
2
62
620
0
2
00
0
0
3
0
2
0
00
00
h.y
h.yh.yy
h
yh.yh.yh.yy
h
yy
dx
xdY
"
'""
'
'""
'
h
≈⇒
⇒+++=
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++
=−==
ε
L
L
( )
6
.
6
.
.2
6
.
2
..
6
.
2
..
.2
0
2'"
0
2'"
0'
0
3'"
0
2"
0'
00
3"'
0
2"
0'
00
0
hyhyy
h
hyhyhyyhyhyhyy
h
yy
dx
xdY hh
≈⇒++=
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−+−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++
=−== −
εL
LL
5COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Seja um função dada pelos valores nos pontos (x0–hx, yj) e (x0, yj).
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada parcial de primeira ordem
( )
h
YY
dx
xdY h−−= 00( ) 00 .. ybyadx
xdY
h += −
X
y0
y0+hy
Y
xi-hx xi xi+hx
y0-hy
( ) ( ) ( )
x
jxjj
h
yhxfyxf
x
yxf ,,, 000 −−=∂
∂
( ) ( ) ( )jjxj yxfbyhxfax yxf ,.,., 000 +−=∂∂
X
yj
yj+hy
Y
x0-hx x0 x0+hx
yj-hy
( ) ( ) ( )000 ,.,., yxfbhyxfay yxf iyii +−=∂∂
( ) ( ) ( )
y
yiii
h
hyxfyxf
y
yxf −−=∂
∂ 000 ,,,
Seja um função dada pelos valores nos pontos (xi, y0–hy) e (xi, y0).
f(x0–hx, yj) f(x0+hx, yj)f(x0, yj)
f(x0, yj–hx)
f(x0, yj+hx)
f(x0, yj)
6COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Seja um função dada pelos valores nos pontos (x0, yj) e (x0+hx, yj).
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada parcial de primeira ordem
( )
h
YY
dx
xdY h 00 −=( ) hybyadx
xdY .. 00 +=
X
y0
y0+hy
Y
xi-hx xi xi+hx
y0-hy
( ) ( ) ( )
x
jjxj
h
yxfyhxf
x
yxf ,,, 000 −+=∂
∂
( ) ( ) ( )jxjj yhxfbyxfax yxf ,.,., 000 ++=∂∂
X
yj
yj+hy
Y
x0-hx x0 x0+hx
yj-hy
( ) ( ) ( )yiii hyxfbyxfay yxf ++=∂∂ 000 ,.,.,
( ) ( ) ( )
y
iyii
h
yxfhyxf
y
yxf 000 ,,, −+=∂
∂
Seja um função dada pelos valores nos pontos (xi, y0) e (xi, y0+hy).
f(x0–hx, yj) f(x0+hx, yj)f(x0, yj)
f(x0, yj–hy)
f(x0, yj+hy)
f(x0, yj)
7COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Seja um função dada pelos valores nos pontos (x0–hx, yj), (x0, yj) e (x0+hx, yj).
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada parcial de primeira ordem
X
y0
y0+hy
Y
xi-hx xi xi+hx
y0-hy
( ) ( ) ( )
x
jxjxj
h
yhxfyhxf
x
yxf
.2
,,, 000 −−+=∂
∂
( )
h
YY
dx
xdY hh
.2
0 −−=( ) hh ycybyadx
xdY ... 00 ++= −
( ) ( ) ( ) ( )jxjjxj yhxfcyxfbyhxfax yxf ,.,.,., 0000 +++−=∂∂
X
yj
yj+hy
Y
x0-hx x0 x0+hx
yj-hy
( ) ( ) ( ) ( )yiiyii hyxfcyxfbhyxfay yxf +++−=∂∂ 0000 ,.,.,.,
( ) ( ) ( )
y
yiyii
h
hyxfhyxf
y
yxf
.2
,,, 000 −−+=∂
∂
Seja um função dada pelos valores nos pontos (xi, y0–hy), (xi, y0) e (xi, y0+hy).
f(x0–hx, yj) f(x0+hx, yj)f(x0, yj)
f(x0, yj–hy)
f(x0, yj+hy)
f(x0, yj)
8COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada de segunda ordem
então esta expressão aplica-se para as funções 
Y1(x) = 1, Y2(x) = x e Y3(x) = x2, no ponto x0 = 0.
Seja um função dada pelos valores nos pontos x0-h, x0 e x0+h
Se 
Função Y3(x) = x2Função Y2(x) = xFunção Y1(x) = 1
y-h = Y3(-h) = h2y-h = Y2(-h) = -hy-h = Y1(-h) = 1
y0 = Y3(0) = 0y0 = Y2(0) = 0y0 = Y1(0) = 1
yh = Y3(h) = h2yh = Y2(h) = hyh = Y1(h) = 1
Y3”(0) = 2Y2”(0) = 0Y1”(0) = 0
0 = 1.a + 1.b + 1.c 0 = -h.a + 0.b + h.c 2 = h2.a + 0.b + h2.c
( )/h2-h
1 1
y0y-h yh
h-2
222
22
12,1
2
0
0
.
0
0
111
h
ce
h
b
h
a
c
b
a
hh
hh
=−==⇒
⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
( )
hh ycybyadx
xYd ... 02
0
2
++= −
( )
2
0
2
0
2 .2
h
yyy
dx
xdY hh +−=⇒ −
X
y-h
y0
yh
Y
x0-h x0 x0+h
9COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Seja um função dada pelos valores nos pontos (x0–hx, yj), (x0, yj) e (x0+hx, yj).
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada parcial de segunda ordem
( ) ( ) ( ) ( )
2
000
2
0
2 ,,.2,,
x
jxjxjxj
h
yhxfyxfyhxf
x
yxf ++−−=∂
∂
( )
22
0
2 .2
h
YYY
dx
xYd hhh +−= −( ) hh ycybyadx
xYd ... 02
0
2
++= −
( ) ( ) ( ) ( )jxjjxj yhxfcyxfbyhxfax yxf ,.,.,., 00020
2
+++−=∂
∂
( ) ( ) ( ) ( )yiiyii hyxfcyxfbhyxfay yxf +++−=∂∂ 0002 0
2
,.,.,.,
( ) ( ) ( ) ( )
2
000
2
0
2 ,,.2,,
y
yiiyii
h
hyxfyxfhyxf
y
yxf ++−−=∂
∂
Seja um função dada pelos valores nos pontos (xi, y0–hy), (xi, y0) e (xi, y0+hy).
X
y0
y0+hy
Y
xi-hx xi xi+hx
y0-hy
X
yj
yj+hy
Y
x0-hx x0 x0+hx
yj-hy
f(x0–hx, yj) f(x0+hx, yj)f(x0, yj)
f(x0, yj–hy)
f(x0, yj+hy)
f(x0, yj)
10COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
DIFERENÇAS FINITAS
Derivada de parcial de segunda ordem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−∂∂
∂+−∂
∂+−∂
∂+−∂
∂+−∂
∂+≅ 0000
2
2
02
00
2
2
02
00
2
0
00
0
00
00 22
1 yy.xx.
y.x
y,xF.yy.
y
y,xFxx.
x
y,xF.yy.
y
y,xFxx.
x
y,xFy,xFy,xF
( )
yx
h,hh,hh,hh,h
h.h.
ffff
y.x
,F yxyxyxyx
4
002 −−−− +−−=∂∂
∂
Somando as duas primeiras equações e 
subtraindo a soma duas últimas equações, 
encontra-se facilmente:
Seja umfunção dada pelos valores nos pontos (x0, y0), (x0+hX, y0+hy), 
(x0-hX, y0-hy), (x0+hX, y0-hy) e (x0-hX, y0+hy)
( )/4.hx.hy
-hx
-1
-1
f00
f-hx,-hy fhx,-hy
hx
0
-hy -hy
f-hx,hy fhx,hy
hy hy
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
yxyxyx,h,h h.h.y.x
,Fh.
y
,Fh.
x
,F.h.
y
,Fh.
x
,Fff
yx ∂∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−∂
∂−=−− 0000002
10000 22
2
2
2
2
2
00
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
yxyxyx,h,h h.h.y.x
,Fh.
y
,Fh.
x
,F.h.
y
,Fh.
x
,Fff
yx ∂∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂+= 000000
2
10000 22
2
2
2
2
2
00
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
yxyxyx,h,h h.h.y.x
,Fh.
y
,Fh.
x
,F.h.
y
,Fh.
x
,Fff
yx ∂∂
∂−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−∂
∂+=− 0000002
10000 22
2
2
2
2
2
00
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
yxyxyx,h,h h.h.y.x
,Fh.
y
,Fh.
x
,F.h.
y
,Fh.
x
,Fff
yx ∂∂
∂−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂−=− 0000002
10000 22
2
2
2
2
2
00
Para simplificação, considerou-se x0 = 0 e y0 = 0
X
y0-hy
y0
Y
x0-hx x0 x0+hx
F(x0,y0)
F(x0-hx,y0-hy)
F(x0+hx,y0+hy)F(x0-hx,y0+hy)
F(x0+hx,y0-hy)
f0,0
f-hx,hy
f-hx,-hy fhx,-hy
fhx,hyy0+hy