C) MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

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C) MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO 
AUTORES
WALDEMAR ANTÔNIO DA ROCHA DE SOUZA 
KLEOMARA GOMES CERQUINHO
122
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
Introdução
A Matemática Aplicada à Administração é a primeira disciplina 
do grupo das disciplinas de Administração Financeira que você está 
encontrando no curso de Administração.
Sua finalidade é proporcionar conhecimentos elementares de 
matemática para que o aluno possa acompanhar com maior facilidade 
as demais disciplinas do grupo financeiro do curso de administração.
Na primeira unidade, estarão os tópicos básicos de matemática 
que formam a parte instrumental da disciplina; na segunda unidade, 
você encontrará a teoria dos conjuntos, base fundamental para o 
estudo das outras unidades da disciplina; na terceira unidade, você 
irá visualizar as funções e representações gráficas que trabalham 
com as definições, possibilitando apresentar os principais elementos 
e os critérios de representações gráficas de funções; na quarta 
unidade, apresentaremos as funções e curvas usuais, crescentes, 
decrescentes e inversas. Com elas mostraremos como representar, 
funcionalmente, os principais tipos de funções e curvas, com ênfase nos 
mais usuais; na quinta unidade, apresentaremos as funções e curvas 
exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, as quais formam 
base importante da análise matemática em casos concretos; na sexta 
unidade, apresentaremos os limites e continuidade de funções que 
servem para aplicação em diversos problemas matemáticos; na sétima 
unidade, veremos as derivadas e diferenciais que possibilitam diversas 
abordagens e análises aprofundadas de situações em Administração; na 
oitava unidade, com as regras de derivação e derivadas de funções 
mostraremos a utilização de problemas e casos reais em Administração; 
na nona unidade, serão identificados os máximos e mínimos de 
funções; e na décima unidade, mostraremos casos práticos de 
matemática aplicada em administração que encerram esta disciplina.
Palavras dos autores
Prezados estudantes,
Chegamos a mais uma etapa, e estamos novamente construindo, 
com este caderno, novos conhecimentos no curso de graduação em 
Administração. Nele apresentaremos alguns conceitos e um corpo de 
definições da disciplina Matemática Aplicada à Administração.
Mas por que estudar Matemática? A Matemática disponibiliza um 
imenso instrumental analítico para diversas áreas do conhecimento. Em 
Administração, conforme será visto ao longo do curso, a Matemática 
(a Matemática Aplicada à Administração aí inclusa) possibilita várias 
abordagens práticas para a correta interpretação e o amplo entendimento 
das situações práticas das empresas e mercados.
Conjuntos: união – junção 
de dois ou mais conjuntos; 
interseção – dizer que um 
elemento está na interseção 
de dos ou mais conjuntos 
significa dizer que este 
elemento está em todos estes 
conjuntos; complementação 
– a operação de pegar 
elementos que estão em um 
conjunto mais não estão em 
outro; produto cartesiano – 
elementos formado por pares 
ou coordenadas, onde cada 
coordenada pertence ao seu 
respectivo conjunto.
123
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
Como realizar essas abordagens? Antes de elas acontecerem, 
você, aluno, terá que aprender a Matemática de forma ativa, com lápis 
e papel na mão, fazendo e refazendo os exercícios relacionados aos 
conceitos matemáticos aqui apresentados, repetindo-os até o completo 
entendimento deles. Depois, serão mostrados, a você, conceitos 
matemáticos, os quais oportunizarão abordar assunto administrativos 
de forma mais adequada, mais científica.
Deseja-se que todos aproveitem ao máximo a atual oportunidade 
de aprender essas importantes e estratégicas práticas operacionais.
Quaisquer que forem as dúvidas sobre os conteúdos (conceitos) 
e exercícios a serem feitos, neste caderno, por favor, procure-nos. As 
dúvidas devem ser postadas no ambiente.
Bom estudo.
Waldemar Antonio da Rocha de Souza 
Kleomara Cerquinho 
Orientações para estudo
Este é seu caderno de Matemática Aplicada à Administração. 
Nele você encontrará assuntos pertinentes aos princípios matemáticos 
que nortearão a seqüência de disciplinas do grupo financeiro do curso.
Procure sempre fazer a leitura deste material acompanhado de 
livros de matemática, pois sempre há necessidade de que você reveja 
conceitos (pré-requisitos) para que consiga entender os conteúdos que 
serão abordados em cada unidade deste caderno. 
As dúvidas, assim mesmo, poderão ocorrer ao longo do uso deste 
caderno. Se eles ocorrerem, elas devem ser colocadas, primeiro, para os 
aos tutores presenciais – no pólo, conforme os horários pré-definidos 
– e, depois, a distância – pelas formas usuais que você já vem utilizando 
no AVEA. E, como dissemos anteriormente, neste último caso elas 
deverão postadas no ambiente.
Após a leitura de cada unidade, façam as atividades constantes na 
coluna de indexação. Se houver dúvidas para a realização das mesmas 
ajam como recomendamos quando falamos sobre as dúvidas em relação 
à leitura.
Para um melhor aproveitamento deste caderno, sugerimos ao 
aluno, abaixo, roteiro de estudo:
a) Primeiro, faça a leitura de cada unidade individualmente;
b) Depois, exponha ao tutor-presencial o seu entendimento e 
dúvidas;
c) Tendo entendido o conteúdo da unidade, passe às atividades.
Para os trabalhos em grupo, há necessidade de reunião entre 
colegas de equipe e tutor presencial para realizar a atividade proposta; 
124
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
Para os trabalhos individuais, após realizar os itens “a” e “b”, 
leia e elabore a atividade proposta.
Atenção: algumas palavras ou expressões serão apresentadas, 
no texto em azul. Elas estão explicadas na coluna ao lado do texto 
correspondente.
Bom estudo.
Ementa 
Tópicos elementares. Conjuntos. Funções e gráficos. Curvas 
exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Limites e continuidade. 
Derivadas e diferenciais. Máximos e mínimos. Aplicações à 
administração.
Objetivos de ensino-aprendizagem
1. Capacitar o aluno para o acompanhamento das outras disciplinas 
do grupo de financeiro do Curso de Administração.
2. Elaborar mapas conceituais;
3. Refazer os mapas conceituais após realizar as demonstrações 
matemáticas.
Tópicos básicos de 
Matemática
1
Síntese: 
Nesta unidade, apresentamos os fundamentos matemáticos, as definições e os 
conceitos básicos da disciplina, os quais formam o arcabouço instrumental das 
análises e abordagens que serão introduzidas no decorrer do curso.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
126
1.1 Números reais
A representação das variáveis matemáticas utiliza diversas 
simbologias para expressar algumas características particulares. Dessa 
forma, temos que, para os números naturais, formados pelos números 
inteiros e positivos:
N = { 1, 2, 3, ...}
No entanto, o conjunto dos números inteiros inclui os valores 
negativos, positivos e nulos (zero):
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Quanto aos números racionais, esses formam o conjunto dado 
pelas frações da forma p/q, onde p e q pertencem a Z e q ≠ 0:
Q = { p/q; p e q são elementos de Z e q ≠ 0 }
Existem alguns números que possuem propriedades distintas, 
como, p.ex: 2 , e (base neperiana = 2, 718281), logaritmos, dentre 
outros. Esses são denominados números irracionais.
Em sendo assim temos: o conjunto dos números reais (ℜ) 
engloba os números naturais, inteiros, racionais e irracionais, sendo 
denominado matematicamente de corpo ordenado completo:
ℜ = conjunto que contém N, Z, Q e os irracionais= 
{ } 3, ,e,, 2, ,,3, ,2, 1, 0, 1,- ,,2- ,3 -, ,-2, ,-e, 3,- ,
Tendo mostrado a classificação dos números reais, mostraremos 
agora como os racionais podem se transformar em inteiros e vice-versa, 
e assim por diante.
1.2 Transformações 
Transformações: são modalidades de expressões algébricas, 
denominadas através de uma ou mais formas. Exemplos:
4/5 = 0,8 1/3 = 0,3333 0,525252...= 52/99 0,32444... = 
73/225
Como se transformafrações em números decimais? Dividindo-
se de modo usual o numerador pelo denominador, trans forma-se as 
frações em números decimais. Caso a divisão não seja exata, o resultado 
adota o critério de aproximação usual. Exemplos:
8/3 = 2, 6667 10/13 = 0, 769231 15/35 = 0, 428571 1/20 
= 0, 05
Vejamos, agora, como acontece a transformação dos números 
decimais em frações. Para transformar números decimais em números 
fracionários podemos utilizar o seguinte raciocínio: observando que 
os números estão escritos na base 10, multiplicamos o valor x a ser 
transformado sucessivamente pelas potências positivas da base 10 
até obtermos dois números com as partes decimais idênticas. Por 
Conjunto dos números 
reais – o conjunto 
formado pelos números 
racionais e irracionais.
Logaritmos – função 
definida por uma 
igualdade exponencial.
Unidade 1
127
subtração eliminamos as partes decimais obtendo o número escri to na 
forma fracionária. Exemplo: transformar em número fracionário: 23, 
453434... 
Temos que:
x = 23,453434...
l0x = 234,53434...
100x = 2.345,34343434...
1.000x = = 23.453,434343...
10.000x == 234.534,3434...
Note que as equações de 100x e 10.000x têm a mesma parte 
periódica 0, 343434... . Assim, subtraindo estas duas equações, obtemos:
10.000x == 234.534,3434
- 100x =2.345,3434
9.900x == 234.534 -2.345
9.900x =232.189 → x = 232.189 / 9.900 .
Para a determinação das geratrizes das dízimas periódicas temos 
as seguintes regras: 
Regra 1 - A geratriz de uma dízima periódica simples (DPS, de 
parte inteira nula) é uma fração que tem para numerador o período 
e para denominador um número formado por tantos noves quantos 
forem os algarismos do período. 
Esquematicamente, DPS = P.P. / 9...9 (p.p.)
Exemplo: 0, 525252... = 52 / 99
Regra 2 - A geratriz de uma dízima periódica composta (parte 
inteira nula) é uma fração que tem para numerador a dife rença entre 
o número formado pela parte não periódica (p.n.p.), acompanhada de 
um período (p.p) e a parte não periódica (p.n.p.); e, para denominador, 
um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do 
período (p.p.), seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da 
parte não periódica (p.n.p.).
Esquematicamente teremos a seguinte fração:
.)..(
)0(
.).(
)9(
.)..(.)..)(..(
pnp
K
pp
K
pnppppnp
↓↓
−
Exemplo: 225
73
900
292
900
3232432444,0  
Observa-se que as dízimas periódicas de período 9 não têm 
geratrizes no sentido acima. Neste caso procedemos, por definição, 
como segue:
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
128
0, 999... = 1 e 
25
161
100
64444,6439999,6  
Note que no nosso primeiro exemplo para converter o número 
x= 23, 453434... em fração, poderíamos também proceder da seguinte 
forma:  453434,02323,453434 x . Assim na dízima 0, 453434..., 
temos que 
9900
4489
9900
45-4534 0,453434 K . 
Assim,
.
9900
232189
9900
4489990023
9900
448923 453434,023  Kx 
1.3 Cálculo do valor de expressões numéricas 
Cálculo do valor de expressões numéricas são expressões 
numéricas, maneiras de descrever diversas operações entre os números 
reais, explicitados de forma inteira, fracionária ou irracional, as quais 
são redutíveis a um valor ou solução final única. Exemplos:
1) 39,1021,36,133,21-3,44 3,21 - 0,4) 3 ( 4  
2) 354,2
1000
2354
10
107
100
227,100,22 4 0,3)-(11 0,22  
 
1.4 Cálculo de porcentagem
As porcentagens servem para facilitar a expressão de taxas, 
relativizações, impactos cruzados, além de ajudarem as transformações 
algébricas dos algarismos. São expressas em percentuais, sendo o 
símbolo delas %. Exemplos: 
1) 10% de 29 + 4,2% de 17 = 614,3714,09,217042,0291,017
100
2,429
100
10
 
2) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,76 = 88401,076,2034,045,18053,0  
3) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432 = 122,68517432036,025,143904,0  
 
1.5 Potenciação
As potenciações são expressões onde um valor ou expressão 
algébrica serve de base, e o outro de expoente. Exemplos:
1) an = a . a . a . ... a (n vezes) 
2) a0 = 1 
3) a1 = a 
4) n
n
a
a 1=− , a ≠ 0
5) an . am = an+m 
6) an : am = a n-m, a ≠ 0 
Porcentagem – relação de 
proporção com uma parte 
inteira.
Potenciação – operação 
de multiplicação 
sucessiva pelo mesmo 
número.
Valor de expressões 
numéricas – valor 
calculado com as devidas 
operações da expressão.
Unidade 1
129
7) (am)n = amn 
 8) n
nn
b
a
b
a
=




 , b ≠ 0
 
 1.6 Equações do 1º e 2º graus
Elas são formas de expressões, relações algébricas entre variáveis 
reais. Dividem-se em equações do 1º e do 2º graus, dependendo da 
potência do termo avaliado, denominado por x; se a potência for 1 
(um) a equação será do primeiro grau, se for 2 (dois) será do segundo. 
Conceitualmente:
Equações do 1º grau: forma geral: Ax = B, com A ≠ 0, solução: 
x = B / A (observar que a potência de x é igual a 1 – um ). 
Exemplos:
1) 2
4
884 ==⇒= xx 
2) 
2
3
1
2
4
3
2
1
4
3
4
3
2
1
=×==⇒= xx 
3) 42469153915399
9
5
3
1



 xxxxxxxx 
Equações do 2º grau: forma geral: Ax2 + Bx + C = 0, com A ≠ 0, 
B ≠ 0 e C ≠ 0 (observar que a potência do primeiro x é igual a 2 – dois). 
A Solução Geral é dada por: 
A
ACBBx
2
42 
 
Se Δ = B2 -4AC > 0, a equação tem duas raízes reais distintas: 
A
Bx
2
∆+−
= e 
A
Bx
2
∆−−
=
Se Δ = B2 -4AC = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais: 
A
Bx
2
−
=
Se Δ = B2 -4AC < 0, a equação não tem raízes reais.
Exemplo:
x2 -7x + 12 = 0 → A= 1, B= -7 e C = 12 → Δ = B2 -4AC = 1 
 
Assim, ⇒±=±=∆±−=
2
17
2
17
2A
Bx x = 4 e x = 3 
 
Equações do 1º e 2º graus 
– expressões de igualdade 
com polinômios de 1º e 2º 
graus para encontrar o valor 
da variável em questão.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
130
1.7 Inequações do 1º e 2º grau 
As inequações são expressões algébricas onde a relação entre os 
termos se exprimem pelas desigualdades >, ≥, < e ≤ . Formas gerais:
Inequações do 1º grau: Ax ≥ B → x ≥ B/A se A >0; x ≤ B/A 
se A < 0
Ax ≤ B → x ≤ B/A se A >0; x ≥ B/A se A < 0.
Exemplos: 
4x ≥ 8 → x ≥ 8/4 = 2 → x ≥ 2
10 x ≤ 40 → x ≤ 40/10 = 4 → x ≤ 4
Inequações do 2º grau: Ax2 + Bx + C ≥ 0, solucionamos 
através da mesma metodologia para as equações do 2º grau, utilizando 
o estudo do sinal. As inequações são representadas pelas desigualdades: 
>, <, ≥ ou ≤. A solução será um intervalo do conjunto dos números 
reais, ℜ∣ ∣.
Exemplo: 
x2 – 3x +6 > 0 → x2 – 3x +6 = 0 de forma similar a uma 
equação de 2º grau: x´= 1, x´´ = 2 . Como desejamos os valores 
para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do 
gráfico e ver para quais valores de x isso ocorre:
 
Vemos que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e 
x>2, sendo então o conjunto solução {x €ℜ|x<1 ou x>2}.
1.8 Sistemas de equações do 1º grau
Estes sistemas servem para a resolução de problemas que 
apresentam duas incógnitas, com dois termos desconhecidos. Quando 
assim, utilizamos um sistema de equações:
Ax + By = C e Dx + Ey = F
A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par 
ordenado (x, y) de números reais que satisfaz as duas equações acima. 
Existem três métodos para solucionar o sistema: adição, substituição e 
comparação.
1.8.1 Método da adição 
Como construirmos este método? Eliminamos uma das variáveis, 
através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com 
uma variável. Exemplo: x+y=12 e x-y=4:
Função: constante, 
linear, valor absoluto, 
quadrática, polinomial, 
racional e de potência 
simples – são tipos 
especiais mais comuns 
de funções.
Inequações do 1º e 2º 
grau – são expressões 
com polinômios de 1º 
e 2º graus contendo 
desigualdades.
Sistemas de equações do 
1º grau – conjunto de duas 
ou mais equações do 1 grau.
Unidade 1
131
Notamos que as duas equações possuem termos opostos (ye -y); 
Basta somar as duas equações, obtendo: 2x =16 e então, x = 8 ; e
Substituir o valor encontrado para x em uma das equações;
y = 12-x=12 – 8 = 4; o par ordenado (x, y) = (8, 4) é a solução 
do sistema. 
1.8.2 Método da substituição 
 Este método consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando 
seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substituí-la na 
outra. No exemplo anterior, escolhemos uma das variáveis na primeira 
equação, para determinarmos o seu valor: x+y=12 → x=12-y:
Substituimos na outra equação: (12-y) - y = 4 → 12-2y = 4 → 
-2y = -8 → y=4 ;
Substituindo o valor encontrado em uma das equações: x+4=12 
→ x=12-4 x=8.
A solução do sistema será: S = {(8,4)}.
1.8.3 Método da comparação
Este método consiste em compararmos as duas equações 
do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas 
equações: No exemplo anterior, comparamos as duas equações: x = 12 
- y e x = 4 + y → 12 – y = 4 + y → y = 8/2 → y = 4 → x = 12 – 4 
→ x = 
Solução: (x, y) = (8, 4).
1.9 Logaritmos 
Definição de logaritmo: Seja a > 0, a ≠1 e x > 0. O número real 
y tal que ay = x denomina-se logaritmo de x na base a e escreve-se: y 
= logax . 
Em termos simplificados, o logaritmo de um número N, na base 
b, é o número x ao qual devemos elevar a base b para obtermos N. 
Exemplos: 
log24= 2 → 2
2 = 4 ; log1010 = 1 → 10
1 = 10 ; log5125 = 3 → 5
3 = 125
Em particular, se a = 10, dizemos que y é o logaritmo decimal de 
x e, neste caso, escrevemos: 
y = log x. 
Os logaritmos decimais podem ser calculados com o auxílio de 
uma TÁBUA DE LOGARITMOS, que em geral contém as necessárias 
instruções para os cálculos a serem realizados. Diversas máquinas 
eletrônicas permitem a obtenção direta dos logaritmos decimais. 
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
132
Quando a = e (e = 2, 718281), dizemos que y é o logaritmo natural de 
x e escrevemos: 
y = ln x
O cálculo dos logaritmos naturais pode ser feito com o auxílio 
de uma TÁBUA DE LOGARITMOS NATURAIS ou a partir dos 
logaritmos decimais por mudança de base, ou ainda com o emprego de 
uma máquina calculadora.
Mudança de base: 
b
x
x
a
a
b log
log
log =
Propriedades dos logaritmos:
loga1 = 0
logaa = 1
Logaritmo do produto: loga (x1.x2) = loga x1 + loga x2
Logaritmo do quociente: loga (x1/x2) = loga x1 – loga x2
Logaritmo de uma potência: xnx a
n
a loglog ⋅= , onde a > 0, a ≠1.
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta unidade.
Teoria dos conjuntos
2
Síntese:
Mostramos, nesta unidade, os conceitos, notações principais, propriedades e operações 
da teoria dos conjuntos.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
134
2.1 Conceito e notações 
Notações se constituem em um conjunto (ou coleção), o qual é 
formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação básica 
entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Quando um 
objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos 
que x pertence a A e escrevemos Ax ∈ . Se, porém, x não é um dos 
elementos do conjunto A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos 
Ax ∉ . Exemplos:
1. Seja A o conjunto dos triângulos retângulos. O conjunto A está 
bem definido: um objeto x pertence a A quando é um triângulo e, além 
disso, um dos seus ângulos é reto. Se x não for um triângulo, ou se x 
for um triângulo que não possui ângulo reto, então x não pertence a A;
2. B = { 1, 0, 2, 3} → B é o conjunto cujos elementos são os 
números 1, 0, 2 e 3;
3. C = { 4 } → C é o conjunto cujo único elemento é o número 4.
2.2 Subconjuntos 
Expliquemos o que sejam os subconjuntos. Por exemplo, dados 
dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo 
elemento de A é elemento de B. Utiliza-se a notação A C B (A está 
contido em B), e indica que A é um subconjunto de B. Se A não é 
subconjunto de B, escrevemos: BA ⊄ . Exemplos:
Se A={1, 2, 3} e B={0, 1, 2, 4, 3}, então A C B, pois todo ele-
mento de A é elemento de B. Por outro lado, se A ={2, 4, 5} e B={1, 
4, 5}, então BA ⊄ pois A∈2 e B∉2 .
 
2.3 Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando A e B têm os mesmos 
elementos. Assim, os conjuntos: 
•	 A ={2, 2, 4, 3} e B={2, 4, 3} são iguais; 
•	 A = {0, 1} e B = {0, 2} são distintos, pois não têm os mesmos 
elementos; 
•	 A ={4, 5, 6} e B={4, 6, 5} são iguais. 
2.4 Propriedades definidoras de conjuntos 
As propriedades definidoras de conjuntos se constituem em um 
símbolo que representa indistintamente qualquer um dos ele mentos de 
um conjunto, recebendo o nome de variável no conjunto. Assim, se 
A é o conjunto A ={2, 3, 4, 5}, a notação Ax ∈ significa que x pode 
assumir qualquer dos valores 2, 3, 4 ou 5. Portanto, x é uma variável 
em A.
Igualdade de conjuntos 
– dois conjuntos são iguais 
se um conjunto contém o 
outro e vice-versa.
Subconjunto – uma parte 
contida em um conjunto 
maior.
Unidade 2
135
Os elementos de um conjunto A, que satisfazem a uma dada 
pro priedade, constituem um subconjunto de A, definido por esta 
propriedade. Por exemplo, seja A={2,3,4,5,6}; o conjunto B={2,4,6} é 
o subconjunto de A constituído pelos elementos de A que são números 
pares. Então, podemos escrever que: B={ |Ax ∈ x é par} (B é o 
conjunto dos elementos x pertencentes a A tais que x é par). O fato 
“x é par” foi a propriedade utilizada para explicitar os elementos do 
subconjunto B. Por outro lado, ao definirmos D ={ |Ax ∈ x < 0 } → 
D = { }= Φ → conjunto vazio; inexiste elemento de A que tenha 
essa propriedade. 
2.5 Operações com conjuntos 
Sejam A e B subconjuntos de um mesmo conjunto E. Definimos 
a seguir as principais operações entre eles:
2.5.1 União 
A união ou reunião de A e B é o conjunto dos elementos de E, 
que pertencem a A ou a B. A união de A e B será indicada pela notação 
A U B (A união B). Assim, 
A U B= { |Ex ∈ Ax ∈ ou Bx ∈ }
Nas figuras abaixo, a parte hachurada representa a reunião dos 
conjuntos A e B. 
Exemplo: A={4,5,3}; B={0,3,1} → A U B={4, 5, 3, 0,1I}
2.5.2. Propriedades: 
1) A U B=B U A (comutativa) 
2) (A U B) U C = A U (B U C) (associativa) 
3) A U A =A 
4) A U Φ =A 
5) A U E=E, se EA ⊂ . 
2.6 Intersecção 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto dos elementos de 
E, que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos. A intersecção 
de A e B será indicada pela notação: A ∩B (A intersecção B ou A inter 
B). Assim: 
A ∩ B= { |Ex ∈ Ax ∈ e Bx ∈ }.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
136
Nas figuras abaixo, a parte hachurada (sombreada) é a intersecção 
dos conjuntos A e B. 
 A A B 
 B A∩ B = { } 
 
Exemplo: A = {3,4,5,6} e B ={2, 4, 0, 6}. Portanto, A∩B={4,6}. 
Propriedades: 
1) A ∩ B=B ∩ A (comutativa) 
2) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativa) 
3) A ∩ A =A 
4) A ∩ Φ =A 
5) A ∩ E= A, se EA ⊂
6) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (distributiva)
7) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) (A ∩ C) (distributiva)
2.7 Diferença 
A diferença A - B é o conjunto dos elementos de E, que pertencem 
a A e não pertencem a B, ou seja: 
A-B= { |Ex ∈ Ax ∈ e Bx ∉ }.
Nas figuras seguintes a parte hachurada indica a diferença de A e 
B: 
Exemplo: A = {4, 5, 3, 1} e B = {4, 2, 1} → A – B = {5, 3}.
2.8 Complementação
Se A está contido em B, a diferença B - A recebe o nome de 
complementar de A em relação a B. Anotação CBA indica o comple-
mentar de A em relação a B. Assim:
CBA = B - A = { |Ex ∈ Ax ∉ e Bx ∈ }.
Na figura abaixo a parte hachurada representa CBA:
 
 
Unidade 2
137
Exemplo: A = {4, 5, 6} e B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7} → CBA = {0, 
1, 2, 7}.
Propriedades: se EA ⊂ , temos que:
1) CA ∩A = Φ
2) CΦ =E
3) ( CA) U A = E
4) (CE) = Φ
5) C (CA) = A
6) C (A ∩B) = (CA) U (C B) (Primeira Lei de Morgan)
7) C (A U B) = (CA) ∩ (CB) (Segunda Lei de Morgan)
2.9 Produto cartesiano 
Sejam A e B dois conjuntos formadospor (a, b), onde a € A e b 
€ B, os quais são denominados de par ordenado. O conjunto de todos 
os pares ordenados (a, b) recebe o nome de produto cartesiano de A e 
B, sendo indicado pela notação: A x B (A cartesiano B ou A vezes B). 
Assim:
A x B = { (a,b) | a € A e b € B }.
Exemplo: A = {0, 1}, B = {3, 4} → A x B = {(0,3), (0,4), (1,3), (1,4)}.
2.10 Conjuntos numéricos importantes 
•	 Conjunto dos números inteiros naturais: N = { 1, 2, 3, ...} 
•	 Conjunto dos números inteiros relativos: Z = { ..., -3, -2, -1, 
0, 1, 2, 3, ...}
•	 Conjunto dos números racionais: Q = { p/q; p e q são 
elementos de Z e q ≠ 0 }
•	 Conjunto dos números reais: ℜ = conjunto que contém N, Z, 
Q e os irracionais.
2.11 Subconjuntos da reta 
Dentre os subconjuntos da reta, alguns merecem uma 
consideração especial. Sejam a e b dois números reais, com a < b, e 
consideremos os seguintes intervalos: 
[a, b] = {x € R | a ≤ x ≤ b }, intervalo fechado de extremos a e b:
 “/////////////, 
 a b 
]a, b[={X € R | a<x<b}, intervalo aberto de extremos a e b:
 O////////////’O 
 a b 
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
138
[a, b [ = {x € R | a ≤ x < b}, intervalo semi-aberto à direita, de 
extremos a e b:
 ( ////////////O • 
 a b 
] a, b] = {x € R | a < x ≤ b}, intervalo semi-aberto à esquerda, 
de extremos a e b:
0’/////////////1
 a b
Adicionalmente, temos: 
{x € R | x ≥ a} → [a, +∞[ ; 
{x € R | x> a} → ]a, +∞[ ;
{x € R | x ≤ a} → ]-∞, a] ; 
{x € R | x < a} → ]-∞, a[ ; 
R → ] -∞, -∞[.
2.12 Aplicações 
O uso de conjuntos, de suas propriedades e operações, serve para 
diversas análises de situações práticas em Administração. 
Exemplo: Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 
200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos 
entrevistados: 
•	 20 responderam que consumiam os três produtos; 30 disseram 
que consumiam os produtos P1 e P2, 50 os produtos P2 e P3, 
60 os produtos P1 e P3, 120 o produto P1, 75 o produto P2. 
•	 Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo 
menos um dos produtos, pergunta-se: a) quantas consumiam 
somente o produto P3? b) quantas consumiam pelo menos 
dois dos produtos?
Solução: considera-se que o número de pessoas que consumem 
os três produtos é n(A∩B∩C) = 20; 
O número de pessoas que consumem os produtos P1 e P2 é 
n(A∩B) = 30; 
O número de pessoas que consumem os produtos P2 e P3 é 
n(B∩C) = 50; 
O número de pessoas que consumem os produtos P1 e P3 é 
n(A∩C)=60; 
O número de pessoas que consumem o produto P1 é n(A) = 120; 
O número de pessoas que consumem o produto P2 é n(B) = 75, 
onde A,B e C = conj. Dos consumidores de P1, P2 e P3 respectivamente, 
temos então: 
Unidade 2
139
i. número total de consumidores é n(AUBUC)=200. Temos a 
regra:
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C). 
Assim,
200=120+75+n(C)-30-60-50+20. 
Então 200=75+n(C), e daí n(C)=125 é o número de pessoas que 
consomem o produto P3.
O número de pessoas que consomem pelo menos dois dos 
produtos é = n(A∩B) + n(A∩C) + n(B∩C) - 2*n(A∩B∩C) = 30 + 60 
+ 50 - 2*20 = 140 - 40 = 100.
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta unidade.
Funções e representações 
gráficas
3
Síntese:
Apresentamos, aqui, as definições, os principais elementos e critérios para a 
representação gráfica de funções, os quais formam base importante da metodologia 
descritiva da disciplina, com diversos usos para a caracterização de problemas práticos.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
142
3.1 Conceito 
Uma função f: A → B consta de três partes: um conjunto A, 
chamado o domínio da função (ou o conjunto onde a função é definida); 
um conjunto B, chamado o contradomínio da função, ou o conjunto 
onde a função toma valores; e uma regra que permite associar, de modo 
bem determinado, a cada elemento x € A, um único elemento f(x) € B, 
chamado o valor que a função assume em x (ou no ponto x). Usa-se a 
notação x → f (x) para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x). 
Exemplo:
Seja A o intervalo [0, 10] e consideremos a correspondência x → 
x2, isto é, a correspondência que associa a todo ponto x € A o número 
real y = x2. Fica assim definida em A a função f tal que f(x) = x2, isto 
é, tal que o valor de f num ponto x qualquer de A é x2. Deste modo, 
f (0) = 02 = 0; f (5) = 52= 25; f (10) = 102 = 100.
3.2 Principais funções elementares 
Relacionamos abaixo algumas funções básicas e os seus domínios, 
observando a forte participação do conjunto ℜ como domínio das 
funções:
f (x) A 
(conjunto domínio) 
x  
1/x { x €  | x ≠ 0 } 
a, a≠ 0 
(f.constante) 
{ x €  | x = a } 
1 / (x+1) { x €  | x ≠ -1 } 
Raiz (x)  
1/Raiz(x+1) { x €  | x ≠ -1 } 
xa., a≠ 0  
Ax  
Ax + B 
(f.linear afim) 
 
 
Unidade 3 
Funções e 
representações 
gráficas 
 
Unidade 3 
Funções e 
representaç
ões gráficas 
 
3.2.1 Funções do 1º e 2º graus 
As funções do primeiro grau associam ao domínio um conjunto 
de correspondência cujo expoente é unitário. Exemplos:
f(x) = x
f(x) = x + 4 → Forma Geral: ax + b , onde a, b ≠ 0
f(x) = 3x + 10
Unidade 2
143
As funções do segundo grau associam ao domínio um conjunto 
de correspondência cujo expoente é igual a dois. Exemplos:
f(x) = x2
f(x) = x2 + 4 → forma geral: ax2 + b , onde a, b ≠ 0
f(x) = 3x2 + 10
 
3.2.2 Função racional e função potência
Função racional: é uma razão de polinômios. Para uma simples 
variável x, uma função racional é, portanto
onde P e Q são polinômios, tendo x como indeterminado e 
0)( ≠xQ para todo x no domínio da função. Exemplos:
P(x) = x; Q(x) = x+3 → f(x) = x / (x+3), com x ≠ -3
P(x) = 2x2; Q(x) = x3 + 3x - 4 → f(x) = 2x2 / (x3 + 3x - 4), com x ≠ 1
3.2.3 Função potência 
Fórmula geral: f(x) = a x b, onde a, b ≠ 0. Para diferentes valores 
de a e b, temos que:
a b f(x)
1 1 x
2 2 2x2
3 3 3x3
1 2 x2
1 3 x3
3.3 Igualdade de funções 
Sejam duas funções de x, f(x) e g(x), ambas com o mesmo domínio. 
As duas funções se dizem iguais quando em todo o ponto do domínio 
de f e g, no conjunto x existir uma única correspondência tal que f(x) = 
g(x), para todo e qualquer x. 
Ainda, podemos definir: sejam f e g duas funções definidas, 
respectivamente em A1 e A2. Dizemos que f e g são iguais quando A1 = 
A2 e f(x) = g(x), para todo x € A1. 
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta unidade.
Função racional e 
potência – função racional 
é a divisão de duas funções 
e a função potência é 
quando tomamos potências 
de uma certa base.
Igualdade de funções 
– duas funções são iguais 
se seus domínios forem 
iguais e se assumem os 
mesmos valores para os 
correspondentes pontos 
do domínio.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
144
Exemplos: 
•	As funções f, definida em [0, 10] e tal que f(x) = x2, e g, definida 
em [0, 5] e tal que g(x) = x2, são distintas, pois A1 ≠ A2; 
•	As funções f, definida em [-100, 100] e tal que f(x) = x3, e g, 
definida em [-100, 100] e tal que g(x) = x3, são iguais, pois A1 = A2.
3.4 Operações com funções 
As funções são submetidas às operações algébricas usuais, a saber, 
soma, subtração, produto e quociente. Sejam f e g funções definidas 
num mesmo conjunto D, então temos que:
Soma: a função s definida em D e tal que s(x) =f(x) + g(x) recebe 
o nome de função soma de f e g. Exemplo:
•	Se f(x) = x2 e g(x) = 2x + 1, com x € ℜ, então a função s defi-
nida em ℜ e tal que s(x) = x2 + 2x + 1 é a soma de f e g. 
Produto: a função p definida em D e tal que p (x) = f(x) . g(x) é a 
função produto de f e g. Exemplo :
•	Sejam as funções f(x) = x e g(x) = 3x2 + 4 com x € ℜ; a função 
p definida em ℜ e tal que p(x) = x(3x2 + 4) = 3x3 + 4x é o produto 
de f e g. 
Quociente: se g(x) ≠ 0, para todo x € D, a função q definida em 
D e tal que q(x)=f(x)/g(x) é o quociente de f e g. Exemplo:
•	Sejam f(x) = x2 e g(x) = x2 + 1, com x € ℜ. A função definidaem ℜ é tal que q (x) = x2 / (x2 +1) é o quociente das funções f e g. 
3.5 Domínio de funções 
Vimos que ao definir uma função começamos por mencionar 
explicitamente o seu domínio D, pois este procedimento faz parte da 
definição da função. Consideremos agora a correspondência x → y = 
1/x, que pode definir funções distintas dependendo do subconjunto D 
fixado. 
Por exemplo, se D = [1, 5] tal correspondência define em D a 
função f tal que f(x) = 1/x. Se D = [3, 10] a correspondência x → y 
= 1/x define, em D, a função g tal que g(x) = 1/x e, de acordo com 
a definição de igualdade de funções, f ≠ g, pois seus domínios são 
distintos. 
Ao mencionarmos a função f definida por uma correspondência 
do tipo x → y = 1/x sem que o conjunto D seja fixado explicitamente, x 
fica estabelecido que estaremos nos referindo à função f, cujo domínio 
D é o conjunto de todos os números reais x tais que y = 1/x é também 
x um número real. No caso D ={ x € ℜ | x ≠ 0}. Em vista desta 
convenção, vamos referir-nos à função f acima como função dada por 
y = 1/x. 
Domínio de funções – 
conjunto onde é possível 
determinar a função.
Unidade 4
145
Como outro exemplo, a função dada por xy = é a função f 
definida no intervalo [0, + ∞ [ e tal que xxf =)( . 
3.6 Representação gráfica de funções 
 
Seja f uma função definida num subconjunto D da 
reta. O conjunto dos pontos (x, y) do plano em que x € 
D e y = f(x) constitui a repre sentação gráfica da função f.
Uma representação gráfica aproximada da função f pode ser 
conseguida marcando-se no plano xy um conjunto de pontos (x, y) 
em que x € D e y = f(x). Para isto, construímos uma tabela (x, y), 
atribuindo a x valores convenientes. Exemplos:
 
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
146
3.7 Aplicações 
O gasto estimado (em bilhões de dólares) por firmas em 
equipamentos e serviços de segurança de computadores de 1987 a 1993 
é dado na tabela a seguir. Os números incluem gastos para a proteção 
contra criminosos de computador, que roubam, apagam, ou alteram 
dados, juntamente com proteção contra incêndios, falhas elétricas e 
desastres naturais. 
Ano Gasto
1987 0,49
1988 0,59
1989 0,66
1990 0,73
1991 0,81
1992 0,93
1993 1,02
Um modelo matemático fornecendo uma aproximação do gasto 
no período em questão é dado por: 
S(t) = 0,0864t + 0,4879
onde t é medido em anos, com t = 0 correspondendo a 1987. 
a) Assumindo que a tendência tenha se mantido, qual foi o gasto 
em equipamentos e serviços de segurança de computadores em 1995 
(t = 8)? 
b) Qual é a taxa de crescimento da despesa anual do período em 
questão? 
Solução:
a) O gasto estimado em 1995 é de S (8) = 0,0864(8) + 0,4879 
≈ 1,1791
ou seja, aproximadamente $ 1,18 bilhão. 
b) A função S é linear, e assim concluímos que o crescimento 
anual nas despesas é dado pela declividade da reta representada por S, 
que é de aproximadamente $ 0,09 bilhão por ano. 
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta unidade.
Funções e curvas usuais, 
crescentes, decrescentes e 
inversas
4
Síntese:
Nesta unidade, introduzimos os conceitos e critérios comuns para a representação 
funcional dos principais tipos de funções e curvas, bem como os critérios de avaliação 
evolutiva: crescimento, decrescimento e inversão de funções.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
148
4.1 Função constante: y = k 
Seja k um número real qualquer. A função f definida em ℜ e dada 
por y = k recebe o nome de função constante. O gráfico da função 
constante, y = k, é a reta paralela ao eixo x de equação y = k. 
 
4.2 Função linear: y = Ax 
A função f definida em ℜ e dada por y = Ax, onde A é um número 
real não nulo, recebe o nome de função linear. O gráfico de y = Ax 
é uma reta inclinada em relação ao eixo x que passa pelo ponto (0,0). 
Exemplos:
 
4.3 Função linear afim:
 
Seja a função: y = Ax + B. 
A função f definida em ℜ e 
dada por y = Ax + B, em que A 
e B são números reais não nulos, 
denomina-se função linear afim. 
Seu gráfico é uma reta inclinada 
em relação ao eixo x que passa 
pelo ponto (0, B). 
Unidade 4
149
Observações 
(1) Se B = 0, a função linear afim se reduz à função linear y = Ax. 
(2) Se A = 0, a função linear afim se reduz à função constante y = B. 
(3) Se A = 0 e B = 0, a função linear afim se reduz à função 
constante y = 0. 
4.4 Função valor absoluto 
A função f, definida em ℜ, e dada por y = | x |, recebe o nome 
de função valor absoluto ou função módulo. Considerando que:
| x | = x se x ≥ 0
| x | = -x se x < 0
resulta que o gráfico de y = | x | é formado por duas semi-retas 
que partem da origem, conforme a figura seguinte:
 
Exemplo:
 
4.5 Função quadrática 
Seja a função: y = Ax2 + Bx + C 
Sejam A, B e C números reais quaisquer com A ≠ 0. A função 
f definida em ℜ e dada por y = Ax2 + Bx + C recebe o nome de 
função quadrática. Exemplo:
 
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
150
4.6 Função polinomial 
Sejam A0, A1 , ... , An-l, An números reais quaisquer com A ≠ 0. A 
função f definida em ℜ e dada por: 
y = A0xn + A1xn-1 + ... + A n-1 x + An
onde n é um inteiro não negativo e recebe o nome de função 
polinômio de grau n. Exemplo:
 
 4.7 Função racional 
Seja a função: y = P / Q 
Sejam P e Q dois polinômios. Seja D o conjunto dos números 
reais x para os quais Q(x)≠0. A função f, definida em D, e dada 
por )(
)(
xQ
xPy  recebe o nome de função racional. Exemplo: 
4
34
2 


x
xy 
4.8 Função de potência simples 
Seja a função: 
Sejam m e n números inteiros positivos. À função dada por 
 mnn
m
xxy  daremos o nome de função potência de expoente 
racional positivo. Se m ou n forem negativos, chamamos de função 
potência de expoente racional negativo. Exemplos:
1) 3
1
xy = → expoente racional positivo, domínio é o conjunto ℜ;
2) expoente racional negativo, domínio é o conjunto {x € ℜ | x 
≠ 0}.
4.9 Composição de funções usuais
Sejam u e v duas funções com u definida em D1 e v em D2 e 
suponhamos que u(x) € D2, qualquer que seja x € D1. Podemos, então, 
considerar a função h, definida em D1, e tal que h (x) = v(u(x)) para todo 
x € D1. A função h assim definida recebe o nome de composta das 
funções v e u. 
Unidade 4
151
Exemplos: consideremos as funções u(x) = x2 + 1 com x € ℜ e 
xxv =)( com x ≥0. Neste caso temos: D1 = ℜ e D2 = { x € ℜ I | x ≥ 
0}. Como u(x)=x2 + 1, então u(x) ≥ 1 qualquer que seja x € ℜ resulta 
que u(x) € D2. A função h definida em ℜ é tal que a composta de v e u 
será dada por:
1)())(()( 2 +=== xxuxuvxh )
Composição de Funções 
Y u (x) y (u(x))
x2 x2-1 (x2-1)2
x-2 x2-1 (x2-1)-2
x1/2 2x-1 (2x-1)1/2
2x x+1 2x+2
Log (x) x-1 Log (x-1)
Tabela de exemplos
4.10 Função crescente, decrescente e inversa 
Seja I um intervalo qualquer da reta e f uma função definida em 
I. Sejam x1 e x2, com x1 < x2, dois pontos quaisquer de I.
f é crescente em I quando f(x1) < f(x2);
f é decrescente em I quando f(x1) > f(x2);
f é não-decrescente em I quando f(x1) ≤ f (x2);
f é não-crescente em I quando f(x1) ≥ f(x2).
Exemplos:
y = x2 → é decrescente no intervalo ]-∞, 0] e crescente no intervalo 
[0, +∞ [.
xy = → é crescente no intervalo [0, +∞ [.
4.11 Função inversa
Seja u uma função definida num 
intervalo I, crescente ou decrescente 
em I. 
Seja B={ u (x) € ℜ | x € I }. 
A função v definida em B e tal que 
v(u(x)) = x recebe o nome de inversa 
de u. 
A expressão que define em B a 
função v pode ser obtida isolando-se 
a variável x na expressão que define 
em I a função u. Exemplo ao lado: 
Função crescente – 
função onde seus valores 
aumentam conforme 
aumentam os pontos no 
domínio.
Função decrescente - 
função onde seus valores 
diminuem conforme 
aumentam os pontos no 
domínio.
Função inversa – 
funções que quando 
compostas com a função 
principal dão a função 
identidade.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
152
4.12 Aplicações 
As funções de demanda/oferta por certa marca de aparelho 
celular são dadas por 
p = d(x) = -0,01x2 – 0,2x + 8 - demandap = s(x) = 0,01x2 + 0,1x + 3 - oferta
onde p é expresso em reais e x é medido em milhares. Determinar 
a quantidade e o preço de equilíbrio.
Solução: igualando as duas equações, temos que 
x = -25 ou 
x = 10 → x = 10.000 unidades de aparelho celular;
substituindo em p(x) → p(10) = R$ 5 por aparelho celular. Gráfico: 
 
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta 
unidade.
Funções e curvas exponenciais e 
logarítmicas
5
Síntese:
Nesta unidade, apresentamos nesta unidade conceitos principais aspectos e critérios 
para a representação gráfica de funções e curvas exponenciais e logarítmicas, as quais 
formam base importante da análise matemática, com diversos usos para a identificação 
de casos concretos.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
154
5.1 Função exponencial 
Seja a um número real positivo, a ≠ 1. A função dada por y=ax 
com x € R, recebe o nome de função exponencial de base a. 
 
 
Observações:
1. A função dada por y=ax assume somente valores positivos. 
2. Se a > 1, y=ax cresce com x e se a < 1, y=ax decresce quando 
x cresce. 
3. Se x = 0, y = a0 = 1.
5.2 Função logaritmo
Seja a um número real positivo, a ≠ 1. Se x é um número real 
positivo existe um único número real y tal que ay = x. O número y assim 
obtido recebe o nome de logaritmo de x na base a, e escrevemos: y = logax 
e recebe o nome de função logaritmo de base a. Exemplo:
 
Observações:
1. y = loga 1 = 0, isto é, o gráfico de y = logax intercepta o eixo x, 
no ponto de abscissa x = 1. 
2.Se a > l, então, logax > 0 para x > l e logax < 0 para 0<x<1. 
3. Se a < l, então, logax < 0 para x > l e logax > 0 para 0<x<1. 
Unidade 5
155
Em particular, se a = 10, a função dada por y = log10 x é chamada 
função logaritmo decimal e será indica da simplesmente por y = log x. 
Se a = e ( ≈ 2,7), escrevemos y=lnx, para indicar a função logaritmo na 
base e, ou seja, para indicar a função logaritmo natural. 
 
5.3 Aplicações 
Existem diversos usos de funções logarítmicas e exponenciais em 
Administração, em particular em Administração Financeira. Exemplos:
Juros compostos continuamente: A = Pert, onde
• A = montante acumulado ao final de t anos;
• P = principal;
• r = taxa de juros anual continuamente composta
• t = tempo em anos.
Exemplos: 
1. Calcule o montante acumulado após 3 anos de R$ 1.000,00, 
investidos à taxa de 8%, composta continuamente. 
Solução:
P = R$ 1.000,00, r = 0,08 e t = 3 → A = 1000 e (0,08)(3) = R$ 1.271,25
2. A Companhia de Investimento Blakely possui um edifício 
comercial localizado na área comercial de uma cidade. Como resultado 
do contínuo sucesso de um programa de reestruturação urbana, os 
negócios locais estão crescendo espantosamente. O valor de mercado 
da propriedade de Blakely é de 
2000.300)(
t
etV =
onde V(t) é medido em dólares e t é o tempo em anos contado 
do presente em diante. Se a taxa de inflação continuamente composta, 
esperada para os próximos 10 anos, é de 9%, encontre uma expressão 
para o valor presente do preço de mercado da propriedade, válido para 
os próximos 10 anos. Obter P(7), P(8) e P(9) e interprete os resultados. 
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
156
Solução: usando a Fórmula P = Ae-rt com A = V(t) e r = 0,09, 
temos que o valor presente de mercado da para um período de t anos, 
contados a partir de hoje, é
P(t) = V(t)e-0,09t = 300.000e -0,09t+Raiz(t) /2
Fazendo t = 7, 8 e 9, respectivamente, temos que 
P(7) = 599.837; P(8) = $ 600.640 P(9) = $ 598.115 à parece cair 
após crescimento.
Limites e continuidade de funções
6
Síntese:
Apresentaremos, nesta unidade, as definições, conceitos, características principais dos 
usos e aplicações de limites e análise da continuidade de funções, os quais possuem 
caráter determinante para aplicação em diversos problemas e situações concretas 
administrativas.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
158
6.1 Limite da função no ponto 
Desejamos descrever o comportamento dos valores de uma 
função f nas proximi dades de um ponto b. Diremos que f está definida 
à direita de b se estiver definida num intervalo ] b, c [ ; do mesmo modo 
diremos que f está definida à esquerda de b quando estiver definida num 
intervalo ]a, b [ .
1º caso: Limite 
finito: seja f a função 
cujo gráfico está na 
figura abaixo, definida à 
direita e à esquerda de b. 
Observemos que, 
quando x assume valores 
que se aproximam do ponto b, pela direita, isto é, por valores maiores 
que b, os correspondentes valores f(x) se aproximam do número L1. 
Para descrever este comporta mento dizemos que o limite lateral direito 
de f, no ponto b, é o número L1 e escrevemos: 
 
lim f(x) = L1 
x → b+ 
(limite de f(x) para x tendendo a b pela direita igual a L1).
Observemos, por outro lado, que quando x assume valores que 
se aproximam de b pela esquerda, isto é, por valores menores que b, os 
correspondentes valores f(x) se aproximam do número L2.· De novo, 
para descrevermos este comportamento dos valores f(x), dizemos que 
o limite lateral esquerdo de f, no ponto b, é o número L2 e escrevemos: 
lim f(x) = L2 
x → b-
(limite de f(x) para x tendendo a b pela esquerda, igual a L2).
No presente caso, os limites laterais L1 e L2 não são iguais. No 
próximo exemplo, os limites laterais existem e são iguais, e daí diz-se 
que o limite de f é quando x se aproxima de b, ou seja, Lxfbx =→ )(lim .
 
Limite da função 
no ponto – idéia de 
aproximação da função 
quando se aproximam 
pontos no domínio.
Unidade 6
159
6.2 Limite infinito 
Podemos utilizar as definições e conceitos vistos anteriormente 
para definir o limite infinito ∞=→ )(lim xfbx , quando ao x se aproximar 
de b. f(x) assume valores cada vez maiores.
6.3 Limite da soma, produto e quociente
Suponha que c é uma constante, e os limites )(lim xfbx→ e 
)(lim xgbx→ existem. Então:
1. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf bxbxbx →→→ +=+
2. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf bxbxbx →→→ −=−
3. )(lim)(lim xfcxfc bxbx →→ ⋅=⋅
4. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf bxbxbx →→→ ⋅=⋅
5.
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
bx
bx
bx
→
→
→ = , se 0)(lim ≠→ xgbx .
6.4 Teorema da permanência do sinal 
Se )()( xgxf ≤ quando x está próximo de b, e os limites 
)(lim xfbx→ e )(lim xgbx→ existem, então )(lim)(lim xgxf bxbx →→ ≤ .
6.5 Continuidade e descontinuidade de funções: definição 
Uma função f é contínua no ponto x = b se as seguintes condições 
são satisfeitas:
• f(b) está definido;
• )(lim xfbx→ existe ;
• )()(lim bfxfbx =→
Portanto, uma função f é contínua, no ponto x = b, se o limite de 
f, naquele ponto existe e é igual a f(b). Geometricamente, f é contínua 
no ponto x = b se a proximidade de x a b implica a proximidade de 
f(x) e f(b). Se f não é contínua em x=b, dizemos que f é descontínua em 
x=b. Se f é contínua num intervalo, será contínua em todos os pontos 
daquele intervalo. 
Exemplos:
1) f(x) = x + 2 → contínua
2) f(x) = -1, se x , 0 e 1 se x ≥ 0 → descontínua em 0
Continuidade e 
descontinuidade de 
funções - uma função f é 
contínua num ponto b, se 
possui limite igual a f(b) 
quando x tende a b. A função 
é descontínua caso contrário.
Limite infinito 
– a função cresce 
ou decresce 
indefinidamente 
quando no domínio 
aproximamos de um 
certo ponto.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
160
6.6 Emprego de limites no traçado de gráficos de funções 
Os limites são utilizados para se analisar e estudar os intervalos 
e pontos onde possam existir descontinuidades das funções, como 
no exemplo 2 acima. Nos pontos onde o limite da função inexiste, a 
função será descontínua, o que serve para avaliar pontos de ruptura, 
situações críticas, dentre outros aspectos.
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta unidade.
Derivadas e diferenciais
7
Síntese:
Nesta unidade, descrevemos as principais características, conceitos, variações dos 
usos e aplicações de derivadas e diferenciais de funções que possibilitam diversas 
abordagens e análises aprofundadas de situações em Administração.MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
162
7.1 Taxa média de variação
Seja f uma função definida num conjunto D; sejam xo e xo+Δx dois 
pontos de D. Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo+Δx 
sofrendo uma variação dx, o correspondente valor da função passa de 
f(x0) para o valor f(x0 + dx) sofrendo, portanto, uma variação 
dy =f(x0 + dx) - f(x0)
conforme a figura ao lado:
 
O quociente 
dx
xfdxxf
dx
dy )()( 00  recebe o nome de taxa média 
de variação da função quando x passa do valor xo para o valor xo+dx e 
expressa a variação média sofrida pelos valores da função entre estes 
dois pontos.
7.2 Derivada da função num ponto 
Seja f uma função definida num intervalo aberto ]a, b[ e xo um 
ponto deste intervalo. O limite, então será 
0
000
0
)()(lim)()(lim
0 xx
xfxf
dx
xfdxxf
xxdx 



 
quando existe, i.e., quando é um número real, recebe o nome de 
derivada da função f no ponto xo. Neste caso, dizemos também que f 
é derivável no ponto xo , e o limite é denotado por )( 0
' xf ou 
dx
xdf )( 0 . 
Pela noção de limite, diz-se que a derivada )( 0
' xf é a taxa instantânea 
de variação da função em 0xx = .
A definição anterior nos conduz a uma importante interpretação 
do significado da derivada de uma função num ponto, de que a derivada 
)( 0
' xf é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
))(,( 00 xfxP  :
Derivada – é a 
aproximação por 
limites dos quocientes 
de Newton da função. 
Também pode ser o 
limite das taxas de 
variação.
Tangente - função 
trigonométrica 
fundamental.
Unidade 7
163
Observemos, também, que a variação dy da função, entre os 
pontos xo e xo+dx dada aproximadamente por f´(xo) dx, para pequenas 
variações dx.
Exemplo: seja y = f(x) = x2 e x0=2. A taxa de variação média 
entre os pontos 2 e 2 + dx é dada por:
  dx
dx
dxdx
dx
dx
dx
fdxf
dx
dy






 4422)2()2(
222
 .
Assim, a derivada da função no ponto x0=2 é taxa de variação 
instantânea em x0=2 dada por:
44lim)2()2(lim)2( 00
' 

  dxdx
fdxff dxdx .
7.3 Função derivada
Seja f uma função derivável em todo ponto x de um intervalo 
aberto I. A função que a todo x associa o número f´(x) recebe o nome 
de função derivada de f em I . A derivada também pode ser escrita como 
dx
xdf )(
 .
Exemplo: Se 2)( xxf = , temos que:
 
.22lim2lim
lim)()(lim)(
0
2
0
22
00
'
xdxx
dx
dxxdx
dx
xdxx
dx
xfdxxfxf
dxdx
dxdx









 
Portanto, f é derivável em todo ponto x € ℜ e a derivada f´(x) = 2x.
7.4 Derivadas das funções usuais
o Função constante: y = k → y´ = 0
Exemplo: y = 5 → y´ = 0
o Função linear: y = Ax → y´ = A
Exemplo: y = 9x → y´= 9
o Função linear afim: y = Ax + B → y´ = A
Exemplo: y = 5x + 9 → y´ = 5
o Função quadrática: y = Ax2 + Bx + C → y´ = 2Ax + B
Exemplo: y = 5x2 + 9x + 7 → y´= 10x + 9
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
164
o Função exponencial: y = ex → y´= ex
Exemplo: y = 5ex → y` = 5ex
o Função: y = xn → y´ = n.x n-1, n> 0
Exemplo: y = x5 → y´ =5x4
o Função: y = Axn → y´ = n . A . xn-1
Exemplo: y = 2x3 → y´ = 6x2
o Função: nxy
1
= → 
n nxn
y
1
' 1
−⋅
= , x ≠ 0
Exemplo: 3
1
xy = → 
3
23 2
'
3
1
3
1
xx
y
⋅
=
⋅
= .
7.5 Diferenciabilidade e continuidade 
Se f é derivável num ponto x0, então, f é contínua em x0; a recíproca 
não é verdadeira, ou seja, nem toda função contínua é derivável .
Exemplo: A função modular definida por f(x)=|x| é contínua 
em todo número x real. Porém sua derivada lateral, à direita, no ponto 
x=0, é igual a +1, ou seja, temos que para valores de x maiores que 0, 
|x|=x e daí,
1lim||lim|0|||lim
0
)0()(lim 0000 ===
−
=
−
−
++++ →→→→ x
x
x
x
x
x
x
fxf
xxxx
A derivada lateral, à esquerda, no ponto x = 0, é igual a -1, ou seja, 
temos que para valores de x menores que 0, |x|= -x e daí,
1lim||lim|0|||lim
0
)0()(lim 0000 −=
−
==
−
=
−
−
−−−− →→→→ x
x
x
x
x
x
x
fxf
xxxx
Isto significa que tais derivadas laterais em x=0 são diferentes, 
portanto a função f(x)=|x| não é derivável em x=0. Para todo x não 
nulo, as derivadas laterais à esquerda e à direita coincidem, e f(x)=|x| é 
derivável nestes pontos. Abaixo o gráfico da função modular:
Unidade 7
165
7.6 Aplicações 
Existem diversas aplicações dos conceitos de derivadas e 
diferenciais apresentados.
Exemplo 1: As perdas (em R$ milhões) em razão de empréstimos 
mal administrados feitos pelo Banco PBR, principalmente aos setores 
da agricultura, imobiliário, transportes e telecomunicações, podem ser 
estimadas pela seguinte função:
A = f(t) = - t2 + 10 t + 30 ( 0 ≤ t ≤ 10)
onde t é o tempo em anos (t=0 corresponde ao início de 1994). 
A que velocidade se acumulavam os prejuízos, no início de 1997? E no 
início de 1999? A que velocidade os prejuízos se acumulavam no início 
de 2001? Interpretar os resultados.
Solução:
A taxa de variação dos prejuízos é dada por: f´(t) = -2t + 10 
[derivada de f(t)]
• Em 1997 → t = 3 → f´(3) = 4 → R$ 4 milhões por ano
• Em 1999 → t = 5 → f´(5) = 0 → zero de prejuízos no ano
• Em 2001 → t = 7 → f´(7) = - 4 → - R$ 4 milhões por ano
Conclusão: os prejuízos decrescerão à taxa de R$ 4 milhões por 
ano.
Exemplo 2: Custo de produção de pranchas: o custo total C(x) 
(em dólares) que a Companhia Aloha tem ao fabricar x pranchas de 
surfe por dia é dado por 
C(x)=-l0x2 +300x+130 (0≤ x ≤15).
Calcular C´(x). Qual é a taxa de variação do custo total quando o 
nível de produção é de dez pranchas por dia? Qual é o custo médio que 
a Aloha tem ao fabricar dez pranchas de surfe por dia?
Solução:
C´(x) = -20x + 300 ; C´(10) = 100 
C(x)médio = C(x)/x = (- l0x2 + 300 + 130)/x ; C(10)médio=57.
Exemplo 3: O efeito da publicidade nas vendas: o lucro trimestral 
(em milhares de dólares) da Cunninghan Realty é dado por 
307
3
)(
2
 xxxP , (0 ≤ x ≤ 50), 
 
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
166
onde x (em milhares de dólares) é a quantidade de dinheiro que a 
Cunninghan gasta em publici dade por trimestre.
Calcular P’(x). Qual é a taxa de variação do lucro trimestral da 
Cunninghan se a quantia que ela gasta em publicidade é de $ 10.000/
trimestre (x = 10) e de $ 30.000/trimestre (x = 30)? 
Solução:
7
3
2)(' += xxP : P´(10) = $ 13.667 / trimestre ; P´(30) = $ 27.000
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta unidade.
Regras de derivação e 
derivadas de funções
8
Síntese:
Apresentamos, nesta unidade, os conceitos, características, casos especiais das regras 
de derivação e derivadas de funções, metodologia de ampla utilização na abordagem 
de problemas e casos reais em Administração.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
168
8.1 Regras de derivação
Explicitaremos a seguir as principais regras para a derivação de 
funções, supondo que u e v são funções deriváveis num ponto x:
• Derivada da soma: (u + v)´ = u´ + v´ 
Exemplo: y = x4 + x3 → y´ = 4x3 + 3x2
• Derivada do produto: (uv)´ = uv´ + u´v
Exemplo: y = xex → y´ = xex + ex
• Derivada do produto de uma constante por uma função: 
y=Au(x) → y´= A u´ (x)
Exemplo: y = 5x3 → y´ = 15x2
• Derivada da potência inteira positiva de uma função:
y = (u(x))n → y´= n (u(x))n-1u´(x), n inteiro, positivo
Exemplo: y = (x2-4x)3 → y´= 6(x2-4x)2(x-2)
• Derivada da potência fracionária: y = xm/n → 
1' −= n
m
x
n
my 
Exemplo: y = x3/4 →
4
4
1
4
1
'
4
3
4
3
4
3
xx
xy ===
−
.
• Derivada do quociente: 1
''
)(
)(
)(
1






nn xv
xnv
xv
 .
Exemplo: 72 )5(
1
+
=
x
y → 8282
'
)5(
14
)5(
)2(7





x
x
x
xy .
• Derivada do quociente (razão de funções): 2
'''
v
vuuv
v
u ⋅−⋅
=




 
 Exemplo: 
x
xy
−
=
1
 → 22 )1(
1
)1(
)1(1)1(
xx
xxy
−
=
−
−⋅−⋅−
= .
• Regra de derivação das funções compostas (Regra da Cadeia): 
y = v(u(x)) → y´= v´(u(x)).u´(x)
Exemplo: y = (x/3 + 1)4 → y´ = 4(x/3 + 1)33
Aplicações da regra de derivação das funções compostas:
• Derivada da função: y = eu(x) → y´= eu(x).u´(x)
Exemplo: y = e-x3 → y´= -3e-x3 x2
• Derivada da função: y = au(x) → y´= au(x) u´(x) . ln a
Exemplo: y = 3x2 → y´ = (2 ln 3) x 3x2 
• Derivada da função: y = ln (u(x)) → y´ = u´(x)_
 u(x)
Exemplo: y = ln(x3) → y´= 3/x
• Derivada da função: y = loga (u(x)) → y´ = u´(x) 
 u(x) . ln a
Exemplo: y = log2 x
3 → y´= 3 
 x2 ln2
Unidade 8
169
• Derivada da função: y = (u(x))α → y´ = α(u(x))α-1u´(x)
Exemplo: y = (ln x)4 → y´= 4(ln x)3
 x
8.2 Tabela de derivação 
1. 0)( c
dx
d
 
2.   )()( ' xfcxfc
dx
d
 
3.   )()()()( '' xgxfxgxf
dx
d
 
4.   )()()()( '' xgxfxgxf
dx
d
 )())(())(( '' xgxgfxgf
dx
d
 
5.   )()()()()()( '' xgxfxgxfxgxf
dx
d
 (Regra do Produto) 
6. 2
''
)(
)()()()(
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
d 






 (Regra do Quociente) 
7. )())(())(( '' xgxgfxgf
dx
d
 (Regra da Cadeia) 
8.   1 nn xnx
dx
d
 (Regra da Potência) 
9. xx ee
dx
d
)( 
10. aaa
dx
d xx ln)(  
11. 
x
x
dx
d 1)(ln  , onde x>0 
12. 
ax
x
dx
d
a ln
1)(log

 , onde x>0 
13. )cos())(( xxsen
dx
d
 
14. )())(cos( xsenx
dx
d
 
15. )(sec))(( 2 xxtg
dx
d
 
16. )(cot)sec(cos))sec((cos xgxx
dx
d
 
17. )()sec())(sec( xtgxx
dx
d
 
18. )(seccos))((cot 2 xxg
dx
d
 
Unidade 8 
Regras de 
derivação e 
derivadas de 
funções 
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
170
8.3 Derivadas sucessivas 
Seja f´ a função derivada de uma função f, num intervalo aberto I. 
Se f é derivável em I, podemos considerar a função f´´, derivada de f´ em 
I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I. De modo 
análogo, podemos definir as derivadas terceira, quarta, etc., de f em I. 
A derivada de ordem n será indicada por uma das notações: 
)(xf n ou 
n
n
dx
xfd )(
 . Em geral, a derivada de ordem n da função 
f(x) será dada por '1 ))(()( xfxf nn −= .
Exemplo: Considere a função 752)( 234 +−++= xxxxxf
, definida para todo x real. Vamos encontrar as derivadas até quarta 
ordem da função f(x):
24)(
1224)(
21212)(
5264)(
)4(
'''
2''
23'




xf
xxf
xxxf
xxxxf
 
8.4 Aplicações práticas
1. Seja CT(x) = 1000 + 3x + 1/20x2 a função custo total associada 
à produção de um bem, e na qual x representa a quantidade produzida. 
Determinar: 
a) a função custo marginal CMg(x) = dCT(x)/dx; 
b) o custo marginal ao nível de 20 unidades; 
c) Caso existam, os valores de x para os quais o CMg é zero. 
Solução:
a) CMg(x) = 3 + x/10
b) CMg(20) = 5
c) Inexiste x>0 tal que CMg(x) = 0
2. Se x = 10 – 0,2p é a função de demanda de um bem, onde x é 
a quantidade demandada e p o preço, determinar: 
a) a função receita total, RT(x); 
b) a função receita marginal RMg(x); 
c) a receita marginal no ponto x = 8 unidades. 
Solução:
a) RT(x) = p.x = 10-x2
 0,2
b) RMg(x) = 10 – 2x
 0,2
c) RMg(10) = - 50
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta unidade.
Derivadas sucessivas – 
para achar uma derivada 
de ordem n, basta 
derivar a derivada de 
ordem n-1.
Funções de receita: total, 
média, marginal - funções 
que avaliam o faturamento 
total, médio e de unidades 
adicionais produzidas.
Máximos e mínimos
9
Síntese:
Mostramos, nesta unidade, os conceitos e definições, assim como as metodologias 
para a identificação de pontos de máximo e mínimo de funções, a caracterização de 
curvaturas e pontos de inflexão, para a aplicabilidade em situações da Administração.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
172
9.1 Máximos e mínimos absolutos e relativos 
Seja f uma função definida num conjunto D e x0 um ponto de D.
Máximos e mínimos relativos: diremos que x0 é um ponto de 
máximo relativo, ou simplesmente um ponto de máximo (P.M.) de f 
quando existir um intervalo aberto I centrado em x0 e tal que:
f(x) ≤ f(x0), para todo x € I ∩D → f(x0) é o valor máximo de f
Nas mesmas condições se:
f(x) ≥ f(x0), para todo x € I ∩D → f(x0) é o valor mínimo de f
Diremos que x0 é um ponto de mínimo relativo, ou simplesmente 
um ponto de mínimo (P.m.) de f.
Máximos e mínimos absolutos: 
Se x0 é um ponto de D tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x € D, x0 é 
um ponto de máximo absoluto (P.M.A.) de f (valor máximo absoluto 
de f).
Do mesmo modo, se f(x) ≥ f(x0) para todo x € D, x0 é um ponto 
de mínimo absoluto (P.m.A.) de f (valor mínimo absoluto de f).
Gráfico:
 
Na função cujo gráfico está acima, temos que:
x1, x3 e x5 → pontos de máximo
x2, x4 e x6 → pontos de mínimo
x5 → máximo absoluto
x2 → mínimo absoluto
9.2 Determinação de máximos e mínimos, crescimento e 
decrescimento de funções 
Seja f uma função definida num intervalo fechado [a, b]. Se f é 
derivável no intervalo aberto ]a, b[, então existe um ponto θ € ]a, b[ tal 
que:
f(b) – f(a) = f´ (θ) (b-a)
Determinação de 
máximos e mínimos – 
método que utilizam as 
informações das derivadas 
de 1ª e 2ª ordem da função.
Máximos e mínimos 
absolutos e relativos 
– valores extremos da 
função.
Unidade 8
173
Ainda, temos que, se f´(x) > 0 para todo x € ]a, b[, então f é 
estritamente crescente (E.C.) em ]a, b[. Similarmente, se f´(x) < 0 para 
todo x € ]a, b[, então f é estritamente decrescente (E.D.) em ]a, b[.
Decorre então o critério para a localização de pontos de máximo 
ou mínimo:
Critério do P.M. de f: se
a) f´(x) > 0, para todo x € ]a, c[;
b) f´(x) < 0, para todo x € ]c, b[;
c) f é contínua em c, 
então c é o P.M. de f.
Gráfico:
Critério do P.m. de f: se
a) f´(x) < 0, para todo x € ]a, c[;
b) f´(x) > 0, para todo x € ]c, b[;
c) f é contínua em c, 
então c é o P.m. de f.
Gráfico:
Exemplos: 
1. y = x2, x € R → y ´= 2x → y´ > 0, se x>0; y´<0, se x< 0 → P.m.: x=0 → y = 0 
(valor mínimo)
2. y = -x2 + 4x, x € ℜ → y´= -2x+4 → y´ > 0, se x<2; y´<0, se x>2 → P.M.: x=2 → y=4
(valor máximo)
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
174
9.3 Concavidade e pontos de inflexão 
Seja f uma função derivável num ponto x0. Seja
T(x) = f(x0) + f´( x0)(x- x0)
A equação da reta tangente ao gráfico f no ponto P = (x0, f(x0)). 
Definições:
• Concavidade voltada para cima (C.V.C.):
Diremos que f tem concavidade voltada para cima (C.V.C.) em 
x0 quando existe um intervalo aberto I centrado em x0 e tal que 
f(x) > T(x) para todo x € I, x ≠ x0, 
isto é, o gráfico de f está “acima” da tangente para todo x€I, x ≠ x0.
Gráfico:
• Concavidade voltada para baixo (C.V.B):
Diremos que f tem concavidade voltada para baixo (C.V.B.) 
em x0 quando existe um intervalo aberto I centrado em x0 e tal que 
f(x) < T(x) para todo x € I, x ≠ x0, 
isto é, o gráfico de f está “abaixo” da tangente para todo x € I, x 
≠ x0.
Gráfico:
Concavidade – aparência 
do gráfico da função 
medido pela segunda 
derivada.
Unidade 8
175
• Ponto de inflexão (P.I): 
Se f tem concavidades de nomes distintos nos intervalos ]a, c[ e ]
c, d[ e é contínua no ponto c, dizemos que c é um ponto de inflexão 
(P.I.) de f.
Gráfico:
9.4 Critérios para a pesquisa de máximos e mínimos e 
representação gráfica 
Critério geral: 
Passo 1 – determinação dos candidatos, isto é, dos possíveis 
pontos de máximo ou de mínimo: determinar x0 tal que f´( x0) = 0 ; 
Passo 2 – classificação dos candidatos: 
i. f´´( x0) >0 → x0 é P.m. de f ;
ii. f´´ (x0) < 0 → x0 é P.M. de f.
Representação gráfica: para a representação gráfica de uma 
função f sugerimos o seguinte roteiro, que facilitará bastante o esboço 
do gráfico de f :
1. o domínio de f (caso ele não venha especificado); 
2. os intervalos da reta nos quais f é estritamente crescente (E.C.) 
e aqueles nos quais f é estritamente decrescente (E.D.); 
3. os pontos de máximo (P.M.) e os pontos de mínimo (p.m.) de f, 
caso existam, e os respectivos valores máximose mínimos; 
4. os intervalos da reta nos quais f tem concavidade voltada para 
cima (C.V.C.) e aqueles nos quais f tem concavidade voltada para baixo 
(C.V.B.); 
5. os pontos de inflexão (p.I.), caso existam, e os respectivos 
valores de f; 
6. os limites laterais de f nos pontos de descontinuidade, caso tais 
pontos existam; 
7. os limites para x → +∞ e x → -∞, caso isto seja possível no 
domínio de f .
Vá ao ambiente virtual 
e realize as atividades 
referentes a esta unidade.
Ponto de inflexão – 
ponto onde muda a 
concavidade da função.
Casos práticos de matemática 
aplicada em administração
10
Síntese:
Utilizamos, nesta unidade, os principais conceitos, definições e metodologias 
apresentados nas demais unidades do curso na análise de problemas e casos reais em 
Administração.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
178
1. Preço-oferta: suponha que a quantidade x dos pneus Super 
Titan colocados à venda por semana pela Companhia Super Titan está 
relacionada com o preço de venda unitário pela equação: 
p – 1/2x2 =48
onde x está medido em milhares e p em dólares. Com que rapidez 
a oferta semanal dos pneus Super Titan colocados à venda no mercado 
varia quando x = 6, p = 66 e, o preço por pneu diminui a uma razão de 
$ 3/semana? 
Solução: De p – 1/2x2 =48 → )48(2  px  
)48(2
1


pdp
dx
 
Como dp = -$3/semana e p = 66 → dx =- 0,5 (a variação será de -0,5 na 
quantidade de pneus por cada -$3 no preço por semana).
2. Preço-demanda: a equação de demanda para certa marca de 
CDs de áudio é:
100x2 + 9 p2 = 3600
onde x representa o número (em milhares) de pacotes de 10 CDs, 
demandado semanalmente quando o preço unitário é de $ p. Com que 
rapidez a quantidade demandada aumenta quando o preço unitário do 
pacote de 10 CDs é de $ 14, e o preço de venda do pacote diminui a 
uma razão de $ 0,15 por semana? 
Solução: resolvendo a equação para x quando p = 14: x ≈ 60 
unidades
100
93600100
9
2p
p
dp
dx


 → dp = -0,15→ dx = 0,29 (a variação será de 
+0,29 na quantidade de CDs para cada -$0,15 no preço por 
semana).
3. Efeito do preço na oferta: suponha que o preço por atacado 
p de certa marca de ovos (preço da caixa em dólares) está relacionado 
com a oferta semanal x (milhares de caixas) pela equação:
625p2 - x2 =100
Se no início de certa semana 25.000 caixas de ovos são oferecidas, 
e se o preço está caindo a uma razão de 2 centavos/caixa/semana, com 
que razão a oferta está diminuindo?
Unidade 10
179
Solução:
x = 25(25.000 caixas) → p = $ 1,08 ; temos que 
100625
625
2 

p
p
dp
dx
 
substituindo, dp = - 0,02 → dx = -0,54=-540 caixas / semana.
4. Taxa de variação: um estudo elaborado pela Associação 
Nacional de Agências Imobiliárias estima que o número de novas 
construções na região sudeste, N(t) (em milhões), nos próximos 5 anos 
está relacionado com a taxa de financiamento r(t) (por cento ao ano) 
através da equação: 
9N2 + r = 36.
Qual a taxa de variação no tempo do número de novas construções 
quando a taxa de financiamento é de 11 % ao ano e aumenta à razão de 
1,5% ao ano? 
Solução:
São dados que r = 11 e dr/dt=1,5 em certo instante de tempo e 
nos é pedido determinar dN /dt . Inicialmente, substituindo r = 11 na 
equação dada, encontramos 
9N2 +11=36 → N2 = 25/ 9
ou seja, N = 5/3 (não consideramos a raiz negativa). 
Em seguida, diferenciando ambos os lados da equação dada 
implicitamente com relação a t, obtemos
dt
d
dt
dr
dt
Nd )36()9( 2
 ,e daí, 
018 
dt
dr
dt
dNN 
Então, substituindo N = 5/3 e dr/dt = 1,5 nesta equação obtemos 
18 (5/3)dN/dt + 1,5 = 0 
Resolvendo esta equação para dN/dt encontramos: 
dN/dt = 1,5/30 ≈ -0,05
No instante considerado, as novas construções estão diminuindo 
a uma razão de 50.000 unidades por ano.
5. A função lucro da Empresa Softmaster é dada por:
P(x) = -0,02x2 + 300x- 200.000 reais, onde x é o número de 
programas aplicativos Softmaster, modelo F produzidos. Encontre 
onde a função P é crescente e onde é decrescente. 
Função lucro – função que 
calcula o lucro de acordo 
com certas variáveis.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO- Referências
180
Solução:
 A derivada P´da função P é :
 
P’(x) = -0,04x+ 300 = -0,04(x-7500)
logo, P’(x) = 0 quando x = 7500. Além disso, P’(x) > 0 para x 
no intervalo (0, 7500), e P’(x) < 0 para x no intervalo (7500, ∞). Isto 
significa que a função lucro P é crescente em (0, 7500) e decrescente 
em (7500, ∞). No gráfico abaixo, verificamos que a função lucro é 
crescente em (0, 7500) e decrescente em (7500, ∞):
 
Referências
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron 
Books, 1999. v.1.
FIGUEIREDO, D.G. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1974.
GOLDSTEIN, L.J.; LAY, D.C.; SCHNEIDER, D.I. Matemática 
aplicada. Porto Alegre: Bookman, 2000.
HOFFMAN, L.D.; BRADLEY, G.L. Cálculo – um curso moderno e 
suas aplicações. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999.
LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. 
São Paulo: Harbra, 1988.
LIMA, E.L. Curso de análise I. Rio de Janeiro: Instituto de Nacional 
de Matemática Pura e Aplicada, 2007.
_____. Curso de análise II. Rio de Janeiro: Instituto de Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2007.
_____. Elementos de topologia geral. Rio de Janeiro: Ao Livro 
Técnico, 1976.
_____. Logaritmos. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 
1996.
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO- Currículo
181
MORETTIN, P.A.; BUSSAB, W.O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções 
de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
RUDIN, W. Princípios de análise matemática. Rio de Janeiro: Ao 
Livro Técnico, 1971.
SILVA, S. Medeiros da. Matemática para os cursos de Economia, 
Administração e Ciências Contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
v.1.
TAN, S.T. Matemática aplicada à Administração e Economia. São 
Paulo: Pioneira, 2001.
THOMAS, B.G. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2002. v.1.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS. Pró-reitoria de 
Ensino de Graduação. Centro de Educação a Distância. Guia de 
referência para produção de material didático em educação a 
distância. Organizado por Zeina Rebouças Corrêa Thomé. Manaus: 
EDUA, 2007.
WEBER, J.E. Matemática para Economia e Administração. São 
Paulo: Harbra, 1986.
Currículo dos autores
Waldemar Antonio da Rocha de Souza é doutorando em Economia 
Aplicada pela UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO – Piracicaba 
(SP), Mestre em Economia pela ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
EM ECONOMIA DA FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS - Rio de 
Janeiro (RJ), ambas as instituições com grau de avaliação 6 (seis) pela 
CAPES, no triênio 2007-2010. Professor concursado da Universidade 
Federal do Amazonas (UFAM), na área de concentração de Finanças, 
com ênfase em Análise Financeira e Métodos Quantitativos Financeiros. 
Desenvolve pesquisas da tese doutoral na área de mercados futuros 
de commodities agrícolas, com ênfase na produção de soja no centro-
oeste brasileiro, focando a formação de “discovery prices” nas diversas 
regiões produtoras e o uso de contratos futuros. Foi assessor da 
Presidência do Banco do Brasil, em Brasília (DF), atuando na área de 
estudos econômicos, possuindo larga experiência na área financeira e 
no mercado de capitais do País e do exterior, participando de relevantes 
operações do mercado financeiro brasileiro, além de estágios e visitas 
técnicas em instituições financeiras norte-americanas. Fundador, líder 
e pesquisador do NUFEO - GRUPO DE ESTUDO DE FINANÇAS 
E ESTRATÉGIAS OPERACIONAIS, da UFAM. Atuou como 
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO - Currículo 
182
pesquisador-visitante no Departamento de Economia, Administração e 
Sociologia e no Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada 
(CEPEA), da USP/ESALQ, efetuando análises e estudos na área de 
mercados futuros de commodities agrícolas. Fundador e Pesquisador do 
CEBPSAM - GRUPO DE PESQUISAS DA SOJA NA AMAZÔNIA, 
destinado a estudos e análises da cadeia produtiva da soja na Amazônia 
brasileira. Áreas de interesse: Finanças Empíricas, EconometriaFinanceira, Derivativos, Corporate Finance, Análise Financeira.
Kleomara Gomes Cerquinho é graduada em Administração pela 
Universidade Federal do Amazonas, UFAM, Manaus, e em Direito pela 
Universidade Paulista; mestre em Administração pela Universidade 
Federal de Santa Catarina, UFSC, Florianópolis, Brasil; possui mestrado 
profissionalizante em Gestão Empresarial (Fundação Getúlio Vargas 
- RJ, FGV-RJ, Rio de Janeiro, Brasil); especialização em Produção em 
Material Didático para Educação a Distância (Universidade Federal 
do Amazonas, Manaus, Brasil); é professora assistente na UFAM 
(graduação e pós-graduação); tem artigos completos publicados 
em periódicos (A Consultoria e os Consultores Dogberts. Cadernos 
EBAP., 2000), capítulos de livros publicados (Hidrovia:investimentos 
em infra-estrutura no Estado do Amazonas In: Estudos de Transporte 
e Logística na Amazônia.1 ed.Manaus : Novo Tempo, 2006, v.1, p. 136-
144) e artigos em jornal de notícias (A consultoria e os consultores 
Dogberts. A Gazeta Mercantil -AM. Manaus, p.2 - 2, 1999).