Aula 5 Lista de Exercícios Resolução

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Centro Universitário Barriga Verde 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Projeto de Estradas 
Professora: Manuela Mateus De Bona Cargnin 
 
Lista de Exercícios – Curvas Circular Simples e com Transição 
 
1) Calcule os elementos notáveis da concordância horizontal utilizando curva circular com 
transição para os traçados com os dados descritos abaixo, considerando estaca inicial igual ao 
inicio da transição (PP=TS): 
 
a) I=55°, R=680m, LC=120m, PP=321+8,07 
- Ângulo Central da Espiral 
�� � ��2 ∙ � �
120
2 ∙ 680 � 0,088235��� 
- Ângulo Central da curva circular 
� � � � 2 ∙ �� � 55°00′00" ∙ �180° � 2 ∙ 0,088235 � 0,783461��� 
- Desenvolvimento da curva circular 
�� � � ∙ � � 0,783461 ∙ 680 � 532,75� 
Pontos notáveis: 
TS = PP = 321+8,07 (6428,07m) 
SC = TS + LC = 6428,07 + 120,00 = 6548,07m � 327+8,07 
CS = SC + DC = 6548,07 + 532,75 = 7080,82m � 354+0,82 
ST = CS + LC = 7080,82 + 120,00 = 7200,82m � 360+0,82 
 
b) I=12°, R=2100m, LC=100m, PP=1337+1,99 
- Ângulo Central da Espiral 
�� � ��2 ∙ � �
100
2 ∙ 2100 � 0,023810��� 
- Ângulo Central da curva circular 
� � � � 2 ∙ �� � 12°00′00" ∙ �180° � 2 ∙ 0,023810 � 0,161820��� 
- Desenvolvimento da curva circular 
�� � � ∙ � � 0,161820 ∙ 2100 � 339,82� 
Pontos notáveis: 
TS = PP = 1337+1,99 (26741,99m) 
SC = TS + LC = 26741,99 + 100,00 = 26841,99m � 1342+1,99 
CS = SC + DC = 26841,99 + 339,82 = 27181,81m � 1359+1,81 
ST = CS + LC = 27181,81 + 100,00 = 27281,81m � 1364+1,81 
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c) I=66°24’, R=830m, LC=100m, PP=446+16,04 
- Ângulo Central da Espiral 
�� � ��2 ∙ � �
100
2 ∙ 830 � 0,060241��� 
- Ângulo Central da curva circular 
� � � � 2 ∙ �� � 66°24′00" ∙ �180° � 2 ∙ 0,060241 � 1,038417��� 
- Desenvolvimento da curva circular 
�� � � ∙ � � 1,038417 ∙ 830 � 861,89� 
Pontos notáveis: 
TS = PP = 446+16,04 (8936,04m) 
SC = TS + LC = 8936,04 + 100,00 = 9036,04m � 451+16,04 
CS = SC + DC = 9036,04 + 861,89 = 9897,93m � 494+17,93 
ST = CS + LC = 9897,93 + 100,00 = 9997,93m � 499+17,93 
 
d) I=82°, R=600m, LC=120m, PP=728+4,33 
- Ângulo Central da Espiral 
�� � ��2 ∙ � �
120
2 ∙ 600 � 0,1��� 
- Ângulo Central da curva circular 
� � � � 2 ∙ �� � 82°00′00" ∙ �180° � 2 ∙ 0,1 � 1,231170��� 
- Desenvolvimento da curva circular 
�� � � ∙ � � 1,231170 ∙ 600 � 738,70� 
Pontos notáveis: 
TS = PP = 728+4,33 (14564,33m) 
SC = TS + LC = 14564,33 + 120,00 = 14684,33m � 734+4,33 
CS = SC + DC = 14684,33 + 738,70 = 15423,03m � 771+3,03 
ST = CS + LC = 15423,03 + 120,00 = 15523,03m � 777+3,03 
 
2) Calcular as estacas dos pontos notáveis das curvas e a estaca final do traçado (ponto B), 
sendo dados: 
- Estaca inicial do traçado (Ponto A) = 0+0,00 
- Raio da curva 1 = 300m (transição) 
- Raio da curva 2 = 600m (transição) 
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- Comprimento de transição adotado: LC1 = 200m e LC2 = 100m 
 
Coordenadas: 
Ponto Este (x) Norte (y) 
A 0 1000 
PI1 4000 7000 
PI2 7000 2000 
B 12000 0 
 
Cálculo dos comprimentos: 
� � � !" � !#$% & '" � '#$% 
�" � � 4000 � 0$% & 7000 � 1000$% � 7211,10� 
�% � � 7000 � 4000$% & 2000 � 7000$% � 5830,95� 
�( � � 12000 � 7000$% & 0 � 2000$% � 5385,16� 
 
Azimutes: 
�)�* � ��+,�- .∆!∆'. 
�)�*0123" � ��+,�- .40006000. � 33°41′24"	45					 → 			 780123" � �)�*0123" � 33°41′24"	 
�)�*23"123% � ��+,�- .30005000. � 30°57′50"	�5		 → 	7823"123% � 180° � 30°57′50" � 149°2′10" 
�)�*23%19 � ��+,�- .50002000. � 68°11′55"	�5					 → 	7823%19 � 180° � 68°11′55" � 111°48′5" 
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Deflexões: 
�23" � 7823"123% � 780123" � 149°2:10 � 33°41'24 � 115°20′46" 
�23% � 7823"123% � 7823%19 � 149°2:10 � 111°48′5" � 37°14′5" 
 
Curva 1: 
R1 = 300m 
LC1 = 100m (havia um erro com relação ao Lc e as respostas onde tirei o exercício, e eu não 
havia detectado porque não tinha resolvido o mesmo. Utilizar Lc = 100m) 
 
- Ângulo Central da Espiral 
�� � ��2 ∙ � �
100
2 ∙ 300 � 0,166667��� 
- Ângulo Central da curva circular 
� � � � 2 ∙ �� � 115°20′46" ∙ �180° � 2 ∙ 0,166667 � 1,679835��� 
- Desenvolvimento da curva circular 
�� � � ∙ � � 1,679835 ∙ 300 � 503,95� 
- Coordenadas cartesianas da espiral 
!� � �� ∙ ��3 ∙ <1 �
�+%
14 &
�+=
440 > 
'� � �� ∙ <1 � �+
%
10 &
�+=
216 > 
 
!�" � 100 ∙ 0,1666673 ∙ <1 �
0,166667%
14 &
0,166667=
440 > � 5,54� 
'�" � 100 ∙ <1 � 0,166667
%
10 &
0,166667=
216 > � 99,72� 
 
- Parâmetros do recuo da curva circular 
? � !� � � ∙ @1 � cos ��$ D 
E � '� � � ∙ FG- ��$ 
 
?" � 5,54 � 300 ∙ H1 � cos I0,166667 ∙ 180°� J K � 1,38� 
E" � 99,72 � 300 ∙ FG- I0,166667 ∙ 180°� J � 49,95m 
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- Tangente exterior 
MN" � E & ? & �$ ∙ tan I�2J � 49,95 & 1,38 & 300$ ∙ ,�- <
115°20′46"
2 > � 526,19� 
 
Curva 2: 
R2 = 600m 
LC2 = 100m 
 
- Ângulo Central da Espiral 
�� � ��2 ∙ � �
100
2 ∙ 600 � 0,083333��� 
- Ângulo Central da curva circular 
� � � � 2 ∙ �� � 37°14′5" ∙ �180° � 2 ∙ 0,083333 � 0,483202��� 
- Desenvolvimento da curva circular 
�� � � ∙ � � 0,483202 ∙ 600 � 289,92� 
- Coordenadas cartesianas da espiral 
!� � �� ∙ ��3 ∙ <1 �
�+%
14 &
�+=
440 > 
'� � �� ∙ <1 � �+
%
10 &
�+=
216 > 
 
!�% � 100 ∙ 0,0833333 ∙ <1 �
0,083333%
14 &
0,083333=
440 > � 2,78� 
'�% � 100 ∙ <1 � 0,083333
%
10 &
0,083333=
216 > � 99,93� 
 
- Parâmetros do recuo da curva circular 
? � !� � � ∙ @1 � cos ��$ D 
E � '� � � ∙ FG- ��$ 
 
?" � 2,78 � 600 ∙ H1 � cos I0,083333 ∙ 180°� J K � 0,70� 
E" � 99,93 � 600 ∙ FG- I0,083333 ∙ 180°� J � 49,99m 
 
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- Tangente exterior 
MN% � E & ? & �$ ∙ tan I�2J � 49,99 & 0,70 & 600$ ∙ ,�- <
37°14′5"
2 > � 252,35� 
 
Pontos Notáveis: 
 
PP = 0+0,00 
TS1 = PP + (d1 – TS1) = 0 + (7211,10 – 526,19) = 6684,91m � 334+4,91 
SC1 = TS1 + LC1 = 6684,91 + 100 = 6784,91m � 339+4,91 
CS1 = SC1 + DC1 = 6784,91 + 503,95 = 7288,86m � 364+8,86 
ST1 = CS1 + LC1 = 7288,86 + 100 = 7388,86m � 369+8,86 
TS2 = ST1 + (d2 – TS1– TS2) = 7388,86 + (5830,95 – 526,19 – 252,35) = 12441,27m � 622+1,27 
SC2 = TS2 + LC2 = 12441,27 + 100 = 12541,27m � 627+1,27 
CS2 = SC1 + DC2 = 12541,27 + 289,92 = 12831,19m � 641+11,19 
ST2 = CS2 + LC2 = 12831,19 + 100 = 12931,19m � 646+11,19 
 
3) (EXAME NACIONAL DE CURSOS-1997) No projeto básico de um trecho da BR-101, a 
primeira tangente fez uma deflexão à direita de 90º, com o objetivo de preservar uma área de 
mata Atlântica. Originou-se o PI-1, localizado na estaca 81 + 19,00. Para a concordância 
horizontal necessária a essa deflexão, usou-se uma curva circular de raio igual a 600,00 metros. 
Quais as estacas dos pontos notáveis da curva (PC e PT)? 
 
M � � ∙ tan I7R2 J � 600 ∙ ,�- <
90°00′00"
2 > � 600,00� 
� � 7R ∙ � ∙ �180° � 90°00′00" ∙ 600 ∙
�
180° � 942,48� 
 
Pontos Notáveis: 
 
PI1 = 81+19,00 = 1639,00m 
PC1 = PI1 – T = 1639,00 – 600,00 = 1039,00m � 51+19,00 
PT1 = PC1 – D = 1039,00 + 942,48 = 1981,48m � 99+1,48 
 
 
 
 
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4) Calcular a distância entre os pontosA e B pelos caminhos 1 e 2. 
 
 
Curva AB 
M09 � � ∙ tan I7R2 J � 1000 ∙ ,�- <
50°00′00"
2 > � 466,308� 
�09 � 7R ∙ � ∙ �180° � 50°00′00" ∙ 1000 ∙
�
180° � 872,664� 
 
Curva ab 
MST � � ∙ tan I7R2 J � 500 ∙ ,�- <
50°00′00"
2 > � 233,154� 
�ST � 7R ∙ � ∙ �180° � 50°00′00" ∙ 500 ∙
�
180° � 436,332� 
 
Caminho 1 = (TAB –Tab) + Dab + (TAB –Tab) 
(466,308 – 233,154) + 436,332 + (466,308 – 233,154) = 902,64m 
 
Caminho 2 = DAB = 872,66m 
 
5) Dado o alinhamento da figura, sendo o raio da curva 1 igual a 500 m e fixada a velocidade 
de projeto V=72 km/h, calcular as estacas dos pontos TS1, SC1, CS1, ST1, PC2, PT2 e estaca 
final do trecho, respeitando as seguintes condições: 
a) a curva 1 terá transições simétricas de comprimento LC, calculado para uma variação de 
aceleração centrífuga por unidade de tempo J=0,2 m/s3; 
b) a curva 2 será uma curva circular sem transições; 
c) entre o ST1 e o PC2 existe um trecho em tangente de comprimento 200 m; 
d) a curva 2 terá o maior raio possível, respeitadas as condições a, b e c. 
 
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Como o LC a se adotar deverá ser para uma variação de aceleração centrífuga por unidade de 
tempo J=0,2 m/s3, utilizaremos a fórmula de Barnett: 
U � V(� ∙ �� 		 ∴ 	 �� �
V(
� ∙ U �
X723,6Y
(
500 ∙ 0,2 � 80,00�		 
 
Curva 1: 
RC1 = 500m 
LC1 = 80m 
 
- Ângulo Central da Espiral	
�� � 	 ��2 ∙ � �
80
2 ∙ 500 � 0,08��� 
- Ângulo Central da curva circular 	
� � � � 2 ∙ �� � 24°00′00" ∙ �180° � 2 ∙ 0,08 � 0,258879��� 
- Desenvolvimento da curva circular 	
�� � � ∙ � � 0,258879 ∙ 500 � 129,440�	
- Coordenadas cartesianas da espiral 	
!� � �� ∙ ��3 ∙ <1 �
�+%
14 &
�+=
440 	> 
'� � �� ∙ <1 � �+
%
10 &
�+=
216 	> 
 
!�" � 80 ∙ 0,083 ∙ <1 �
0,08%
14 &
0,08=
440 	> � 2,132� 
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'�" � 80 ∙ <1 � 0,08
%
10 &
0,08=
216 	> � 79,949� 
 
- Parâmetros do recuo da curva circular 	
? � !� � � ∙ @1 � cos	 ��$	D 
E � '� � � ∙ FG-	 ��$ 
 
?" � 2,132 � 500 ∙ H1 � cos I0,08 ∙ 180°� J 	K � 0,533� 
E" � 79,949 � 500 ∙ FG- I0,08 ∙ 180°� J � 39,992m 
 
- Tangente exterior 	
MN" � E & ? & �$ ∙ tan I�2J � 39,992 & 0,533 & 500$ ∙ ,�- <
24°00′00"
2 > � 146,383� 
 
Pontos Notáveis Curva 1: 
PP = 0+0,00 
TS1 = PP + (dPP-PI1 – TS1) = 0,00 + (1000,00 – 146,383) = 853,617m � 42+13,617 
SC1 = TS1 + LC1 = 853,617 + 80,00 = 933,617m � 46+13,617 
CS1 = SC1 + DC1 = 933,617 + 129,440 = 1063,057m � 53+3,057 
ST1 = CS1 + LC1 = 1063,057 + 80,00 = 1143,057m � 57+3,617 
 
Curva 2: 
 
Para atender o item C, a tangente externa da curva 2 será: 
M% � �23"123% � MN" � 200 � 452,66 � 146,383 � 200 � 106,277� 
 
M � � ∙ tan I7R2 J 		 ∴ 		 �% �
M%
,�- X7R2 Y
� 106,277,�- I24°00′00"2 J
� 499,994� 
�% � 7R ∙ � ∙ �180° � 24°00′00" ∙ 499,994 ∙
�
180° � 209,437� 
 
 
 
 
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Pontos Notáveis Curva 2: 
 
PC2 = ST1 + 200,00 = 1143,057 + 200,00 = 1343,057m � 67+3,057 
Ou 
PC2 = ST1 + (dPI1-PI2 – TS1 – T 2) = 1143,057 + (452,66 – 146,383 – 106,277) = 1343,057m � 
67+3,057 
 
PT2 = PC2 + D2 = 1343,057 + 209,437 = 1552,494m � 77+12,494 
PF = PT2 + (dPI2-PF – T2) = 1552,494 + (1000,00 – 106,277) = 2446,217m � 122+6,217