Aula 5- Retas

Prévia do material em texto

DESENHO TÉCNICO - IT 459
Prof. D.sc. Luciano Muniz Abreu
Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Instituto de Tecnologia
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Geometria Descritiva
O Ponto
A Reta
O Plano
Métodos Auxiliares
O MÉTODO DE MONGE
GEOMETRIA DESCRITIVA
ESTUDO DA RETA
(i) uma reta é constituída de infinitos pontos;
(ii) dois pontos são suficientes para determinar uma 
reta.
Da primeira afirmativa conclui-se que:
A projeção de uma reta nada mais é do que a 
projeção dos seus infinitos pontos.
Da segunda, que:
Se dois pontos são suficientes para determinar uma 
reta, suas projeções determinam as projeções desta 
reta.
ESTUDO DA RETA
A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das 
projeções de todos os seus pontos sobre este plano.
(A)
(B)
(C)
(D)
A
B
C
D
ESTUDO DA RETA 
³$�SURMHomR�GH�XPD�UHWD�VREUH�XP�SODQR�p�R�OXJDU�GDV�SURMHo}HV�GH�
WRGRV�RV�VHXV�SRQWRV�VREUH�HVWH�SODQR´�
(S)
(C)
(D)
(B)
(A)
A
B
D
C
(D)
!"#$"%&'(&)(*'&'+('+(,'%*'+(&"(-)*"(,)-,)%&#./0"-)+("'(,0"%'1('+(,2+(&"+(
,)-,)%&#./0"-)+(&3'(0/4"-(5(,-'6)73'('-*'4'%"0(&"(-)*"8(9+*"+(,)-,)%&#./0"-)+(
:'-;";(/;(,0"%'((,)-,)%&#./0"-("'(,0"%'(S </)(2('(,0"%'(,-'6)*"%*)(&"(-)*"8((=+(
,2+(&"+(,)-,)%&#./0"-)+()+*3'(%"(#%*)-+)73'(&'+(&'#+(,0"%'+()("(,-'6)73'(&"(-)*"(
>?!@(2(,'-*"%*'()+*"(#%*)-+)73'8((
( ) 
Baixando, de todos 
os pontos da reta, 
perpendiculares ao 
plano, os pés das 
perpendiculares dão 
lugar `a projeção 
ortogonal da reta.
ESTUDO DA RETA
Se dois pontos são suficientes para determinar uma reta. 
Logo, suas projeções determinam a projeção desta reta.
P a r a o b t e r a s 
projeções de um 
segmento de reta, 
b a s t a u n i r a s 
p r o j e ç õ e s d o s 
(pontos localizados 
em) seus extremos.
(A)
(B)
A
B
(r)
r
Num sistema de projeção ortogonal uma reta pode ocupar 
quatro posições distintas em relação a qualquer 
plano:
(i) paralela ao plano;
(ii) perpendicular ao plano;
(iii) contida no plano; 
(iv) inclinada (oblíqua) em relação ao plano.
ESTUDO DA RETA
ESTUDO DA RETA
(i) Paralela ao plano.
A reta e sua projeção são paralelas e, portanto, a 
projeção de um segmento tem o tamanho do próprio 
segmento - verdadeira grandeza (VG).
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.26: Posic¸o˜es relativas entre reta e plano.
A reta, sua projec¸a˜o e as projetantes de seus pontos esta˜o contidas em um plano que e´
perpendicular ao plano sobre o qual se projetou a reta.
Considere a reta (r) e as projetantes de dois de seus pontos distintos. Observe a figura 1.27 Em relac¸a˜o
a um plano de projec¸a˜o (por exemplo, o plano horizontal):
1. A reta e uma das projetantes definem um plano.
2. As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
3. As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m
sera´.
Figura 1.27: A reta e uma das projetantes definem um plano.
As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m sera´.
22 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
ESTUDO DA RETA
(ii) Perpendicular ao plano.
A projeção da reta fica reduzida a um ponto.
A projeção de uma reta 
sobre um plano só deixa de 
ser uma reta quando esta 
lhe for perpendicular.
Neste caso, a projeção da 
reta se reduz a um ponto, 
porque as projetantes de 
todos os seus pontos se 
confundem com a própria 
reta.
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.26: Posic¸o˜es relativas entre reta e plano.
A reta, sua projec¸a˜o e as projetantes de seus pontos esta˜o contidas em um plano que e´
perpendicular ao plano sobre o qual se projetou a reta.
Considere a reta (r) e as projetantes de dois de seus pontos distintos. Observe a figura 1.27 Em relac¸a˜o
a um plano de projec¸a˜o (por exemplo, o plano horizontal):
1. A reta e uma das projetantes definem um plano.
2. As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
3. As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m
sera´.
Figura 1.27: A reta e uma das projetantes definem um plano.
As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m sera´.
22 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
ESTUDO DA RETA
(iii) Contida no plano.
A reta coincide com sua projeção.
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.26: Posic¸o˜es relativas entre reta e plano.
A reta, sua projec¸a˜o e as projetantes de seus pontos esta˜o contidas em um plano que e´
perpendicular ao plano sobre o qual se projetou a reta.
Considere a reta (r) e as projetantes de dois de seus pontos distintos. Observe a figura 1.27 Em relac¸a˜o
a um plano de projec¸a˜o (por exemplo, o plano horizontal):
1. A reta e uma das projetantes definem um plano.
2. As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
3. As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m
sera´.
Figura 1.27: A reta e uma das projetantes definem um plano.
As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m sera´.
22 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
ESTUDO DA RETA
(iv) Oblíqua em relação ao no plano. 
Neste caso, a projeção de um segmento é sempre 
menor que ele próprio.
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.26: Posic¸o˜es relativas entre reta e plano.
A reta, sua projec¸a˜o e as projetantes de seus pontos esta˜o contidas em um plano que e´
perpendicular ao plano sobre o qual se projetou a reta.
Considere a reta (r) e as projetantes de dois de seus pontos distintos. Observe a figura 1.27 Em relac¸a˜o
a um plano de projec¸a˜o (por exemplo, o plano horizontal):
1. A reta e uma das projetantes definem um plano.
2. As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
3. As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m
sera´.
Figura 1.27: A reta e uma das projetantes definem um plano.
As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m sera´.
22 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
ESTUDO DA RETA
ESTUDO DA RETA 
(S)
(A)
(B)
(B4)
(B3)
(B2)
(B1)
A=B B1 B2B3 B4
‡ !"#$%&'(%)*+$",-"
&'$.)/0$",)"1%-"')+-"
2$3')"1%"&4-*$"5-'(-"#$%"-"
(*#4(*-/0$",)2+-")%"')4-/0$"
-$"&4-*$6""
‡ 7%-"')+-"&$,)"&-22-'""
&$'"+$,$2"$2"5-4$')28",)"
9)'$":')+-"$'+$;$*-4"-$"
&4-*$<"-+="$"4(%(+)"%>?(%$"
(;1-4"-$"#$%&'(%)*+$"
5)',-,)('$ ,-"')+-":')+-"
&-'-4)4-"-$"&4-*$<6"
O c o m p r i m e n t o d a 
projeção de uma reta 
sobre o plano varia com a 
inc l inação desta em 
relação ao plano.
Uma reta pode passar por 
todos os valores, de zero 
(reta ortogonal ao plano) 
até o limite máximo igual 
ao comprimento verdadeiro 
da reta (reta paralela ao 
plano).
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
(M) 
(s) 
(r) 
(D)
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&2-%3%&4&
(")$&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6073$0)-&$&(")$&*(+&"')8&'9)3$:$&0-&
./$0-&*D+,&$&(")$&*'+&)"%&0"')"&./$0-&$."0$'&3%&.-0)-&*1+5&&
;-02/39<'"&73"&-&.-0)-&*1+&"&$&(")$&*(+&:"=90"%&-&./$0-&�D+&"&$&
(")$&*'+&$&"/"&0>-&."()"02"5&&RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES 
*(+&"&*'+&'>-&(")$'&
("?"('$'&-3&0>-&
2-./$0$("',&-&73"&&
'9@09=92$&73"&0>-&
."()"02"%&-3&0>-&
"')>-&.-'929-0$:$'&0-&
%"'%-&./$0-5
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
(M) 
(s) 
(r) 
(D)
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&2-%3%&4&
(")$&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6073$0)-&$&(")$&*(+&"')8&'9)3$:$&0-&
./$0-&*D+,&$&(")$&*'+&)"%&0"')"&./$0-&$."0$'&3%&.-0)-&*1+5&&
;-02/39<'"&73"&-&.-0)-&*1+&"&$&(")$&*(+&:"=90"%&-&./$0-&�D+&"&$&
(")$&*'+&$&"/"&0>-&."()"02"5&&
RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES 
*(+&"&*'+&'>-&(")$'&
("?"('$'&-3&0>-&
2-./$0$("',&-&73"&&
'9@09=92$&73"&0>-&
."()"02"%&-3&0>-&
"')>-&.-'929-0$:$'&0-&
%"'%-&./$0-5
Sejam as retas (r) e (s), o 
plano ( ) e o ponto (M), 
comum `a reta (s) e ao plano 
( ). Enquanto a reta (r) está 
situada no plano ( ), a reta (s) 
tem neste plano apenas um 
ponto (M).
Conclui-se que o ponto (M) e a 
reta (r) definem o plano ( ) e a 
reta (s) a ele não pertence. 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
(M) 
(s) 
(r) 
(D)
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&2-%3%&4&
(")$&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6073$0)-&$&(")$&*(+&"')8&'9)3$:$&0-&
./$0-&*D+,&$&(")$&*'+&)"%&0"')"&./$0-&$."0$'&3%&.-0)-&*1+5&&
;-02/39<'"&73"&-&.-0)-&*1+&"&$&(")$&*(+&:"=90"%&-&./$0-&�D+&"&$&
(")$&*'+&$&"/"&0>-&."()"02"5&&
RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES 
*(+&"&*'+&'>-&(")$'&
("?"('$'&-3&0>-&
2-./$0$("',&-&73"&&
'9@09=92$&73"&0>-&
."()"02"%&-3&0>-&
"')>-&.-'929-0$:$'&0-&
%"'%-&./$0-5
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
(M) 
(s) 
(r) 
(D)
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&2-%3%&4&
(")$&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6073$0)-&$&(")$&*(+&"')8&'9)3$:$&0-&
./$0-&*D+,&$&(")$&*'+&)"%&0"')"&./$0-&$."0$'&3%&.-0)-&*1+5&&
;-02/39<'"&73"&-&.-0)-&*1+&"&$&(")$&*(+&:"=90"%&-&./$0-&�D+&"&$&
(")$&*'+&$&"/"&0>-&."()"02"5&&
RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES 
*(+&"&*'+&'>-&(")$'&
("?"('$'&-3&0>-&
2-./$0$("',&-&73"&&
'9@09=92$&73"&0>-&
."()"02"%&-3&0>-&
"')>-&.-'929-0$:$'&0-&
%"'%-&./$0-5
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
(M) 
(s) 
(r) 
(D)
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&2-%3%&4&
(")$&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6073$0)-&$&(")$&*(+&"')8&'9)3$:$&0-&
./$0-&*D+,&$&(")$&*'+&)"%&0"')"&./$0-&$."0$'&3%&.-0)-&*1+5&&
;-02/39<'"&73"&-&.-0)-&*1+&"&$&(")$&*(+&:"=90"%&-&./$0-&�D+&"&$&
(")$&*'+&$&"/"&0>-&."()"02"5&&
RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES 
*(+&"&*'+&'>-&(")$'&
("?"('$'&-3&0>-&
2-./$0$("',&-&73"&&
'9@09=92$&73"&0>-&
."()"02"%&-3&0>-&
"')>-&.-'929-0$:$'&0-&
%"'%-&./$0-5
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
(M) 
(s) 
(r) 
(D)
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&2-%3%&4&
(")$&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6073$0)-&$&(")$&*(+&"')8&'9)3$:$&0-&
./$0-&*D+,&$&(")$&*'+&)"%&0"')"&./$0-&$."0$'&3%&.-0)-&*1+5&&
;-02/39<'"&73"&-&.-0)-&*1+&"&$&(")$&*(+&:"=90"%&-&./$0-&�D+&"&$&
(")$&*'+&$&"/"&0>-&."()"02"5&&
RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES 
*(+&"&*'+&'>-&(")$'&
("?"('$'&-3&0>-&
2-./$0$("',&-&73"&&
'9@09=92$&73"&0>-&
."()"02"%&-3&0>-&
"')>-&.-'929-0$:$'&0-&
%"'%-&./$0-5
(r) e (s) são retas reversas 
ou não coplanares, o que 
s i g n i fi c a q u e n ã o 
pertencem ou não estão 
posicionadas no mesmo 
plano. 
ESTUDO DA RETAPOSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
RETAS COPLANARES 
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&
2-%3%&4'&(")$'&*(+&"&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6'&(")$'&*(+&"&
*'+&."()"02"%&$-&%"'%-&./$0-5&&
�U��H��V��VmR�GLWDV�´FRSODQDUHVµ��´SRLV�GHILQHP�XP�SODQR�
(D)
(M) (s) 
(r) 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
RETAS COPLANARES 
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&
2-%3%&4'&(")$'&*(+&"&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6'&(")$'&*(+&"&
*'+&."()"02"%&$-&%"'%-&./$0-5&&
�U��H��V��VmR�GLWDV�´FRSODQDUHVµ��´SRLV�GHILQHP�XP�SODQR�
(D)
(M) (s) 
(r) 
Sejam as retas (r) e (s), o plano ( ) e o ponto (M), comum `as 
retas (r) e (s) e ao plano ( ). As retas (r) e (s) pertencem ao 
mesmo plano.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
(M) 
(s) 
(r) 
(D)
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&2-%3%&4&
(")$&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6073$0)-&$&(")$&*(+&"')8&'9)3$:$&0-&
./$0-&*D+,&$&(")$&*'+&)"%&0"')"&./$0-&$."0$'&3%&.-0)-&*1+5&&
;-02/39<'"&73"&-&.-0)-&*1+&"&$&(")$&*(+&:"=90"%&-&./$0-&�D+&"&$&
(")$&*'+&$&"/"&0>-&."()"02"5&&
RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES 
*(+&"&*'+&'>-&(")$'&
("?"('$'&-3&0>-&
2-./$0$("',&-&73"&&
'9@09=92$&73"&0>-&
."()"02"%&-3&0>-&
"')>-&.-'929-0$:$'&0-&
%"'%-&./$0-5
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
(M) 
(s) 
(r) 
(D)
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&2-%3%&4&
(")$&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6073$0)-&$&(")$&*(+&"')8&'9)3$:$&0-&
./$0-&*D+,&$&(")$&*'+&)"%&0"')"&./$0-&$."0$'&3%&.-0)-&*1+5&&
;-02/39<'"&73"&-&.-0)-&*1+&"&$&(")$&*(+&:"=90"%&-&./$0-&�D+&"&$&
(")$&*'+&$&"/"&0>-&."()"02"5&&
RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES 
*(+&"&*'+&'>-&(")$'&
("?"('$'&-3&0>-&
2-./$0$("',&-&73"&&
'9@09=92$&73"&0>-&
."()"02"%&-3&0>-&
"')>-&.-'929-0$:$'&0-&
%"'%-&./$0-5
(r) e (s) são ditas coplanares, pois definem um plano. 
ESTUDO DA RETAPOSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
RETAS COPLANARES 
!"#$%&$'&(")$'&*(+&"&*'+,&-&./$0-&*D+&"&-&.-0)-&*1+,&
2-%3%&4'&(")$'&*(+&"&*'+&"&$-&./$0-&*D+5&&6'&(")$'&*(+&"&
*'+&."()"02"%&$-&%"'%-&./$0-5&&
�U��H��V��VmR�GLWDV�´FRSODQDUHVµ��´SRLV�GHILQHP�XP�SODQR�
(D)
(M) (s) 
(r) 
(D)
(M) (s) 
(r) 
(r1) 
(s1) 
‡ !"#$"%%&#'&()**+(*%&'+(*,%-*&*,(-*+.%&(&#'+/*0/*."#'"*&/*
$"/0/*,1-2
‡ 3+%+4&4+()*+(*%&'+(*,%5-*&*,(5-*(6"*.+%+4&4+(7*#6"*+8/9'9#8"*."#'"*
$"/0/2
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
RETAS COPLANARES 
- Concorrentes: as retas (r) e (s) apresentam um ponto 
em comum (M);
- Paralelas: as retas (r1) e (s1) são paralelas, não 
admitindo ponto comum. 
ESTUDO DA RETA
DETERMINAÇÃO DE UMA RETA 
A
B
$¶
%¶
!"#$%&%#'"()*+#)#,%-./0%#&"#1$)#("2)#3%#"-,)/%#4.5)#6"$#&"2"($.3)&)#71)3&%#-0%#
5%38"5.&)-#)-#,(%9"/:"-#&"-2)#("2)#-%6("#%-#&%.-#,*)3%-#%(2%'%3).-#&"#;%3'"<###
="9)$#%-#,*)3%-#>S?#"#>S·���SHUSHQGLFXODUHV�H�$%�H�$·%·�UHVSHFWLYDPHQWH�DV�SURMHo}HV�GD�UHWD�
>@?>A?+#519)#,%-./0%#71"("$%-#&"2"($.3)(<##B%(#@A#4)CD-"#,)--)(#1$#,*)3%#,"(,"35.51*)(#)%#
,*)3%#>S���R�PHVPR�VH�DSOLFD�FRP�$·%·�HP�UHODomR�D��S·����&DGD�XP�GRV�SODQRV��TXH�VmR�RV�SODQRV�
,(%9"2)32"-#&)#("2)#3%-#("-,"52.E%-#,*)3%-#&"#,(%9"/0%+#&"E"#5%32"(#)#("2)#&%#"-,)/%+#71"#
-"(F#"320%#)#.32"(-"/0%#&"-2"-#G#,*)3%-#,(%9"2)32"-<###
(A)
A
$¶
%¶
(S¶�
(B)
B
(S)
DETERMINAÇÃO DE UMA RETA 
A
B
$¶
%¶
!"#$%&%#'"()*+#)#,%-./0%#&"#1$)#("2)#3%#"-,)/%#4.5)#6"$#&"2"($.3)&)#71)3&%#-0%#
5%38"5.&)-#)-#,(%9"/:"-#&"-2)#("2)#-%6("#%-#&%.-#,*)3%-#%(2%'%3).-#&"#;%3'"<###
="9)$#%-#,*)3%-#>S?#"#>S·���SHUSHQGLFXODUHV�H�$%�H�$·%·�UHVSHFWLYDPHQWH�DV�SURMHo}HV�GD�UHWD�
>@?>A?+#519)#,%-./0%#71"("$%-#&"2"($.3)(<##B%(#@A#4)CD-"#,)--)(#1$#,*)3%#,"(,"35.51*)(#)%#
,*)3%#>S���R�PHVPR�VH�DSOLFD�FRP�$·%·�HP�UHODomR�D��S·����&DGD�XP�GRV�SODQRV��TXH�VmR�RV�SODQRV�
,(%9"2)32"-#&)#("2)#3%-#("-,"52.E%-#,*)3%-#&"#,(%9"/0%+#&"E"#5%32"(#)#("2)#&%#"-,)/%+#71"#
-"(F#"320%#)#.32"(-"/0%#&"-2"-#G#,*)3%-#,(%9"2)32"-<###
(A)
A
$¶
%¶
(S¶�
(B)
B
(S)
De modo geral, a posição de uma reta no espaço fica 
bem determinada quando são conhecidas as projeções 
desta reta sobre os dois planos ortogonais de Monge.
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Figura 1.26: Posic¸o˜es relativas entre reta e plano.
A reta, sua projec¸a˜o e as projetantes de seus pontos esta˜o contidas em um plano que e´
perpendicular ao plano sobre o qual se projetou a reta.
Considere a reta (r) e as projetantes de dois de seus pontos distintos. Observe a figura 1.27 Em relac¸a˜o
a um plano de projec¸a˜o (por exemplo, o plano horizontal):
1. A reta e uma das projetantes definem um plano.
2. As duas projetantes definem o mesmo plano(sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
3. As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m
sera´.
Figura 1.27: A reta e uma das projetantes definem um plano.
As duas projetantes definem o mesmo plano (sa˜o paralelas e esta˜o apoiadas na reta).
As projetantes sa˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o; logo, o plano por elas formado tambe´m sera´.
22 A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES DAS RETAS EM RELAÇÃO AOS PLANOS 
DE PROJEÇÃO
Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar 
varias posições, posições essas que determinam nomes 
e propriedades particulares.
ESTUDO DA RETA
No sistema de dupla projeção mongeano, um segmento 
que pertence a uma determinada reta-suporte pode estar 
posicionado/classificado da seguinte maneira:
I. oblíquo aos dois planos de projeção. 
II. paralelo ao plano horizontal;
III. paralelo ao plano vertical;
IV. paralelo aos dois planos de projeção;
V. perpendicular ao plano horizontal;
VI. perpendicular ao plano vertical.
Vejam que não foi mencionado retas perpendiculares 
aos dois planos de projeção. Por quê? 
ESTUDO DA RETA
Porque não há retas nesta posição!!!
No Sistema Mongeano, toda reta perpendicular a um 
plano de projeção será obrigatoriamente paralela ao 
outro, já que os planos de projeção são perpendiculares 
entre si.
1.2. AULA 02 - O ESTUDO DA RETA
Toda reta perpendicular a um plano de projec¸a˜o e´ paralela ao outro, mas nem toda reta
paralela a um plano de projec¸a˜o e´ perpendicular ao outro.
Os planos de projec¸a˜o sa˜o perpendiculares entre si. Na figura 1.28 a reta (r) e´ perpendicular a um
destes planos e sera´ paralela ao outro.
Figura 1.28: Reta perpendicular ao plano de projec¸a˜o.
Ja´ na figura 1.29 a reta e´ paralela a um deles e na˜o e´ perpendicular ao outro.
Figura 1.29: Reta paralela ao plano de projec¸a˜o.
Pertineˆncia de ponto na reta
Se a reta na˜o tem as duas projec¸o˜es perpendiculares a` linha de terra, para que um ponto
pertenc¸a a ela e´ necessa´rio e suficiente que suas projec¸o˜es estejam sobre as projec¸o˜es de
mesmo nome da reta (figura 1.30).
A.L. Bordignon, C.A. Pessanha e I.S. Onofre
Geometria Descritiva UFF
23
ESTUDO DA RETA
RETA GENÉRICA (ou QUALQUER)
!
"#!
!
!
!
$%&%! '%(! )(*+%! ,-+./(%/&.-+.! 0123! 45,-6%!5&! *.7&.-+%! 8! %9:;45%! ,! 5&!
<:,-%3!*5,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!-.*+.!<:,-%!8!%5+/%!*.7&.-+%3!&.-%/!45.!%!*.7&.-+%!
45.!:@.!6.5!%/(7.&A!
B5&!*(*+.&,!6.!65<:,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!<%6.&%*!+,&98&!C%-C:5(/!45.D!
!
0EF2!!GH!!IGHJ!
!
0K#2!!GLHL!!IGHJ!
!
M&!C,*%*!<,/+(C5:,/.*!<%6.&%*!+./D!
!
0KN2!!GH!O!GLHL!!
!
!"#$%$&'()$*&(*+*,)-$.$-/,0)$1'$('&&)!
!
! P.=,!IGHJ!5&!*.7&.-+%!<./+.-C.-+.!,!5&,!/.+,!I<JA!
! B,*!'(75/,*!K",!.!93!%9*./),&%*!45.D!
!
É a reta oblíqua aos dois planos de projeção.
Sua é pura é caracterizada por possuir ambas as projeções 
oblíquas `a linha de terra. 
!
"#!
!
!
!
$%&'!!()*+!,!()-+!
!
! ./!01232!4156708915:227/32;!1!5<61!43=<!2<5!4<54<>=708915!?!97>@1!=<!6<551!
<;!><261!03>=7AB3;!6</C2<D!
!
! $%%'!!)E+!Ł!)F+;!38!17>=1D!
!
! $%G'!!E!Ł!EH!Ł!F!Ł!FH!
!
! I/1!5<61!03/!<2612!015106<5:267012!J!0@1/1=1!reta de perfil. 
!
"#$!%!&'()!*+,-./)!0!,123)!4'!('&&)!
*2!K7L8512!%M!1!<!N!/32651/!J48512!=<!5<612!3N9:O812!?!97>@1!=<!6<551P!
!
!
ESTUDO DA RETA
Propriedades da reta GENÉRICA:
1. Nenhuma projeção da reta genérica tem projeções em 
VG; 
2. Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao 
longo do segmento;
3. O segmento é obliquo ao PV e ao PH;
4. A reta possui as projeções inclinadas (oblíquas) em 
relação `a linha de terra e, normalmente, traços vertical e 
horizontal.
!
"#!
!
!
!
$%&%! '%(! )(*+%! ,-+./(%/&.-+.! 0123! 45,-6%!5&! *.7&.-+%! 8! %9:;45%! ,! 5&!
<:,-%3!*5,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!-.*+.!<:,-%!8!%5+/%!*.7&.-+%3!&.-%/!45.!%!*.7&.-+%!
45.!:@.!6.5!%/(7.&A!
B5&!*(*+.&,!6.!65<:,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!<%6.&%*!+,&98&!C%-C:5(/!45.D!
!
0EF2!!GH!!IGHJ!
!
0K#2!!GLHL!!IGHJ!
!
M&!C,*%*!<,/+(C5:,/.*!<%6.&%*!+./D!
!
0KN2!!GH!O!GLHL!!
!
!"#$%$&'()$*&(*+*,)-$.$-/,0)$1'$('&&)!
!
! P.=,!IGHJ!5&!*.7&.-+%!<./+.-C.-+.!,!5&,!/.+,!I<JA!
! B,*!'(75/,*!K",!.!93!%9*./),&%*!45.D!
!
!
"#!
!
!
!
$%&'!!()*+!,!()-+!
!
! ./!01232!4156708915:227/32;!1!5<61!43=<!2<5!4<54<>=708915!?!97>@1!=<!6<551!
<;!><261!03>=7AB3;!6</C2<D!
!
! $%%'!!)E+!Ł!)F+;!38!17>=1D!
!
! $%G'!!E!Ł!EH!Ł!F!Ł!FH!
!
! I/1!5<61!03/!<2612!015106<5:267012!J!0@1/1=1!reta de perfil. 
!
"#$!%!&'()!*+,-./)!0!,123)!4'!('&&)!
*2!K7L8512!%M!1!<!N!/32651/!J48512!=<!5<612!3N9:O812!?!97>@1!=<!6<551P!
!
!
ESTUDO DA RETA
TRAÇOS DE RETAS 
Chama-se “traço de uma reta sobre um plano” o ponto 
em que essa reta fura ou atravessa este plano.
Conclui-se então que quando uma reta for paralela a um 
plano, não terá traço sobre esse plano. 
O traço sobre o plano vertical é o “traço vertical” (V). De 
modo idêntico, o traço horizontal (H) é o traço sobre o 
plano horizontal.
O estudo descritivo dos traços das retas é útil na resolução de problemas em que a reta 
(segmento) possui pontos localizados em vários diedros. Neste sentido, seu estudo não 
terá aplicação durante este curso de desenho técnico. 
ESTUDO DA RETA
(V)
(H)
ESTUDO DA RETA
Retas segundo o paralelismo em relação aos planos de projeção.
RETA HORIZONTAL (ou DE NÍVEL)
!
"#!
!
!
!
! $%&!'()&!*+%!(,)&,!*&'&*)('-,).*&,!/!*0&%&1&!reta horizontal. 
!
!
"#$!%&'(!)(%(*&*(!(+!)*(,+!-&%'./(*!0&!)%+1&23+!4S56!!!
! !
2(3&!4567!8%!,(9%(:)+!;(')(:*(:)(!&!8%&!'()&!4<7=!
! >?,('@&A,(!:&,!<.98'&,!BC&!(!?!D8(E!
!
&7 )+1+,!+,!,(8,!;+:)+,!;+,,8(%!+!%(,%+!&<&,)&%(:)+E!
!
FGBH!!I457!J!I467!
!
?7 ,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!(,)N!(%!@('1&1(.'&!9'&:1(O&E!FPH!
!
FGCH!!5Q6Q!J!4567!
!
*7 ,8&!;'+3(KL+!0+'.O+:)&M!/!;&'&M(M&!R!M.:0&!1(!)(''&!(!:L+!(,)N!(%!ST!
;+'D8(!&,!*+)&,!1(!,(8,!;+:)+,!,L+!1.<('(:)(,!FU"HE!
!
!!!!!!FG"H!!O457!z!O467!
!
17 +! V:98M+!D8(! &! '()&A,8;+')(! 1(! 4567! <&O! *+%!+! ;M&:+! 0+'.O+:)&M! 1(!
;'+3(KL+!4S7!/!+!%(,%+!D8(!&!,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!<&O!*+%!&!M.:0&!1(!
)(''&E!
!
!!!!!FGWH!!‘!4567X!4S7!J!‘!5Q6QX!YZ!
É a reta paralela ao plano de projeção horizontal e 
oblíqua ao vertical. 
ESTUDO DA RETA
Sua épura é caracterizada por possuir a projeção 
vertical paralela `a linha de terra e a projeção 
horizontal oblíqua a essa mesma linha.!
"#!
!
!
!
! $%&!'()&!*+%!(,)&,!*&'&*)('-,).*&,!/!*0&%&1&!reta horizontal. 
!
!
"#$!%&'(!)(%(*&*(!(+!)*(,+!-&%'./(*!0&!)%+1&23+!4S56!!!
! !
2(3&!4567!8%!,(9%(:)+!;(')(:*(:)(!&!8%&!'()&!4<7=!
! >?,('@&A,(!:&,!<.98'&,!BC&!(!?!D8(E!
!
&7 )+1+,!+,!,(8,!;+:)+,!;+,,8(%!+!%(,%+!&<&,)&%(:)+E!
!
FGBH!!I457!J!I467!
!
?7 ,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!(,)N!(%!@('1&1(.'&!9'&:1(O&E!FPH!
!
FGCH!!5Q6Q!J!4567!
!
*7 ,8&!;'+3(KL+!0+'.O+:)&M!/!;&'&M(M&!R!M.:0&!1(!)(''&!(!:L+!(,)N!(%!ST!
;+'D8(!&,!*+)&,!1(!,(8,!;+:)+,!,L+!1.<('(:)(,!FU"HE!
!
!!!!!!FG"H!!O457!z!O467!
!
17 +! V:98M+!D8(! &! '()&A,8;+')(! 1(! 4567! <&O! *+%!+! ;M&:+! 0+'.O+:)&M! 1(!
;'+3(KL+!4S7!/!+!%(,%+!D8(!&!,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!<&O!*+%!&!M.:0&!1(!
)(''&E!
!
!!!!!FGWH!!‘!4567X!4S7!J!‘!5Q6QX!YZ!
!
"#!
!
!
!
! $%&!'()&!*+%!(,)&,!*&'&*)('-,).*&,!/!*0&%&1&!reta horizontal. 
!
!
"#$!%&'(!)(%(*&*(!(+!)*(,+!-&%'./(*!0&!)%+1&23+!4S56!!!
! !
2(3&!4567!8%!,(9%(:)+!;(')(:*(:)(!&!8%&!'()&!4<7=!
! >?,('@&A,(!:&,!<.98'&,!BC&!(!?!D8(E!
!
&7 )+1+,!+,!,(8,!;+:)+,!;+,,8(%!+!%(,%+!&<&,)&%(:)+E!
!
FGBH!!I457!J!I467!
!
?7 ,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!(,)N!(%!@('1&1(.'&!9'&:1(O&E!FPH!
!
FGCH!!5Q6Q!J!4567!
!
*7 ,8&!;'+3(KL+!0+'.O+:)&M!/!;&'&M(M&!R!M.:0&!1(!)(''&!(!:L+!(,)N!(%!ST!
;+'D8(!&,!*+)&,!1(!,(8,!;+:)+,!,L+!1.<('(:)(,!FU"HE!
!
!!!!!!FG"H!!O457!z!O467!
!
17 +! V:98M+!D8(! &! '()&A,8;+')(! 1(! 4567!<&O! *+%!+! ;M&:+! 0+'.O+:)&M! 1(!
;'+3(KL+!4S7!/!+!%(,%+!D8(!&!,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!<&O!*+%!&!M.:0&!1(!
)(''&E!
!
!!!!!FGWH!!‘!4567X!4S7!J!‘!5Q6QX!YZ!
Propriedades da reta HORIZONTAL:
1. Por ser paralela ao PH e oblíqua ao PV, a sua projeção 
horizontal está em VG e é oblíqua `a LT; 
2. Sendo oblíqua ao PV e paralelo ao PH, sua projeção 
vertical é paralela `a LT. Tem, portanto, cota constante.
ESTUDO DA RETA
!
"#!
!
!
!
! $%&!'()&!*+%!(,)&,!*&'&*)('-,).*&,!/!*0&%&1&!reta horizontal. 
!
!
"#$!%&'(!)(%(*&*(!(+!)*(,+!-&%'./(*!0&!)%+1&23+!4S56!!!
! !
2(3&!4567!8%!,(9%(:)+!;(')(:*(:)(!&!8%&!'()&!4<7=!
! >?,('@&A,(!:&,!<.98'&,!BC&!(!?!D8(E!
!
&7 )+1+,!+,!,(8,!;+:)+,!;+,,8(%!+!%(,%+!&<&,)&%(:)+E!
!
FGBH!!I457!J!I467!
!
?7 ,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!(,)N!(%!@('1&1(.'&!9'&:1(O&E!FPH!
!
FGCH!!5Q6Q!J!4567!
!
*7 ,8&!;'+3(KL+!0+'.O+:)&M!/!;&'&M(M&!R!M.:0&!1(!)(''&!(!:L+!(,)N!(%!ST!
;+'D8(!&,!*+)&,!1(!,(8,!;+:)+,!,L+!1.<('(:)(,!FU"HE!
!
!!!!!!FG"H!!O457!z!O467!
!
17 +! V:98M+!D8(! &! '()&A,8;+')(! 1(! 4567! <&O! *+%!+! ;M&:+! 0+'.O+:)&M! 1(!
;'+3(KL+!4S7!/!+!%(,%+!D8(!&!,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!<&O!*+%!&!M.:0&!1(!
)(''&E!
!
!!!!!FGWH!!‘!4567X!4S7!J!‘!5Q6QX!YZ!
!
"#!
!
!
!
! $%&!'()&!*+%!(,)&,!*&'&*)('-,).*&,!/!*0&%&1&!reta horizontal. 
!
!
"#$!%&'(!)(%(*&*(!(+!)*(,+!-&%'./(*!0&!)%+1&23+!4S56!!!
! !
2(3&!4567!8%!,(9%(:)+!;(')(:*(:)(!&!8%&!'()&!4<7=!
! >?,('@&A,(!:&,!<.98'&,!BC&!(!?!D8(E!
!
&7 )+1+,!+,!,(8,!;+:)+,!;+,,8(%!+!%(,%+!&<&,)&%(:)+E!
!
FGBH!!I457!J!I467!
!
?7 ,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!(,)N!(%!@('1&1(.'&!9'&:1(O&E!FPH!
!
FGCH!!5Q6Q!J!4567!
!
*7 ,8&!;'+3(KL+!0+'.O+:)&M!/!;&'&M(M&!R!M.:0&!1(!)(''&!(!:L+!(,)N!(%!ST!
;+'D8(!&,!*+)&,!1(!,(8,!;+:)+,!,L+!1.<('(:)(,!FU"HE!
!
!!!!!!FG"H!!O457!z!O467!
!
17 +! V:98M+!D8(! &! '()&A,8;+')(! 1(! 4567! <&O! *+%!+! ;M&:+! 0+'.O+:)&M! 1(!
;'+3(KL+!4S7!/!+!%(,%+!D8(!&!,8&!;'+3(KL+!@(').*&M!<&O!*+%!&!M.:0&!1(!
)(''&E!
!
!!!!!FGWH!!‘!4567X!4S7!J!‘!5Q6QX!YZ!
VG
ESTUDO DA RETA
RETA FRONTAL (ou DE FRENTE)
É a reta paralela ao plano de projeção vertical e 
oblíqua ao horizontal. !
"#!
!
!
!
!$%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta frontal ou reta de 
frente. 
!
!"#"$%&'"()*+,-'"'(."/(0."1*'2(."/%"1$(3%45(!
!
23%! ,.,)(%&! 1(! 1345&! 4'+6(78+! +')+9+:&5;! <3&:1+! 3%&! '()&! /! +=5-<3&;!
,.%35)&:(&%(:)(;!&+,!1+.,!45&:+,!1(!4'+6(78+;!(%!'(5&78+!>!5.:0&!1(!)(''&;!(,)&!'()&!
4+1(!(,)&'?!
!
@!A!+')+9+:&5!!+3!
!
@@!A!+=5-<3&!!
!
2&,! B.93'&,! C"&! (! =;! +=,('D&%+,! <3(;! (%! &%=+,! +,! *&,+,;! )(%E,(!
+='.9&)+'.&%(:)(?!
!
FGHI!!JKLM!!JKNM!
!
FGOI!!PKLM!!PKNM!
!
!
"#!
!
!
!
!$%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta frontal ou reta de 
frente. 
!
!"#"$%&'"()*+,-'"'(."/(0."1*'2(."/%"1$(3%45(!
!
23%! ,.,)(%&! 1(! 1345&! 4'+6(78+! +')+9+:&5;! <3&:1+! 3%&! '()&! /! +=5-<3&;!
,.%35)&:(&%(:)(;!&+,!1+.,!45&:+,!1(!4'+6(78+;!(%!'(5&78+!>!5.:0&!1(!)(''&;!(,)&!'()&!
4+1(!(,)&'?!
!
@!A!+')+9+:&5!!+3!
!
@@!A!+=5-<3&!!
!
2&,! B.93'&,! C"&! (! =;! +=,('D&%+,! <3(;! (%! &%=+,! +,! *&,+,;! )(%E,(!
+='.9&)+'.&%(:)(?!
!
FGHI!!JKLM!!JKNM!
!
FGOI!!PKLM!!PKNM!
!
ESTUDO DA RETA
Sua épura é caracterizada por possuir a projeção 
horizontal paralela `a linha de terra e a projeção 
vertical oblíqua a essa mesma linha.
!
"#!
!
!
!
!$%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta frontal ou reta de 
frente. 
!
!"#"$%&'"()*+,-'"'(."/(0."1*'2(."/%"1$(3%45(!
!
23%! ,.,)(%&! 1(! 1345&! 4'+6(78+! +')+9+:&5;! <3&:1+! 3%&! '()&! /! +=5-<3&;!
,.%35)&:(&%(:)(;!&+,!1+.,!45&:+,!1(!4'+6(78+;!(%!'(5&78+!>!5.:0&!1(!)(''&;!(,)&!'()&!
4+1(!(,)&'?!
!
@!A!+')+9+:&5!!+3!
!
@@!A!+=5-<3&!!
!
2&,! B.93'&,! C"&! (! =;! +=,('D&%+,! <3(;! (%! &%=+,! +,! *&,+,;! )(%E,(!
+='.9&)+'.&%(:)(?!
!
FGHI!!JKLM!!JKNM!
!
FGOI!!PKLM!!PKNM!
!
!
"#!
!
!
!
!$%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta frontal ou reta de 
frente. 
!
!"#"$%&'"()*+,-'"'(."/(0."1*'2(."/%"1$(3%45(!
!
23%! ,.,)(%&! 1(! 1345&! 4'+6(78+! +')+9+:&5;! <3&:1+! 3%&! '()&! /! +=5-<3&;!
,.%35)&:(&%(:)(;!&+,!1+.,!45&:+,!1(!4'+6(78+;!(%!'(5&78+!>!5.:0&!1(!)(''&;!(,)&!'()&!
4+1(!(,)&'?!
!
@!A!+')+9+:&5!!+3!
!
@@!A!+=5-<3&!!
!
2&,! B.93'&,! C"&! (! =;! +=,('D&%+,! <3(;! (%! &%=+,! +,! *&,+,;! )(%E,(!
+='.9&)+'.&%(:)(?!
!
FGHI!!JKLM!!JKNM!
!
FGOI!!PKLM!!PKNM!
!
ESTUDO DA RETA
Propriedades da reta FRONTAL:
1. Por ser oblíqua ao PH, mas paralela ao PV, a sua 
projeção horizontal será paralela `a LT (afastamentos 
constantes); 
2. Sendo paralela ao PV, a sua projeção vertical estará 
em VG e é oblíqua `a LT. 
!
"#!
!
!
!
!$%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta frontal ou reta de 
frente. 
!
!"#"$%&'"()*+,-'"'(."/(0."1*'2(."/%"1$(3%45(!
!
23%! ,.,)(%&! 1(! 1345&! 4'+6(78+! +')+9+:&5;! <3&:1+! 3%&! '()&! /! +=5-<3&;!
,.%35)&:(&%(:)(;!&+,!1+.,!45&:+,!1(!4'+6(78+;!(%!'(5&78+!>!5.:0&!1(!)(''&;!(,)&!'()&!
4+1(!(,)&'?!
!
@!A!+')+9+:&5!!+3!
!
@@!A!+=5-<3&!!
!
2&,! B.93'&,! C"&! (! =;! +=,('D&%+,! <3(;! (%! &%=+,! +,! *&,+,;! )(%E,(!
+='.9&)+'.&%(:)(?!
!
FGHI!!JKLM!!JKNM!
!
FGOI!!PKLM!!PKNM!
!
VG
!
"#!
!
!
!
!$%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta frontal ou reta de 
frente. 
!
!"#"$%&'"()*+,-'"'(."/(0."1*'2(."/%"1$(3%45(!
!
23%! ,.,)(%&! 1(! 1345&! 4'+6(78+! +')+9+:&5;! <3&:1+! 3%&! '()&! /! +=5-<3&;!
,.%35)&:(&%(:)(;!&+,!1+.,!45&:+,!1(!4'+6(78+;!(%!'(5&78+!>!5.:0&!1(!)(''&;!(,)&!'()&!
4+1(!(,)&'?!
!
@!A!+')+9+:&5!!+3!
!
@@!A!+=5-<3&!!
!
2&,! B.93'&,! C"&! (! =;! +=,('D&%+,! <3(;! (%! &%=+,! +,! *&,+,;! )(%E,(!
+='.9&)+'.&%(:)(?!
!
FGHI!!JKLM!!JKNM!
!
FGOI!!PKLM!!PKNM!
!
ESTUDO DA RETA
RETA FRONTOHORIZONTAL (ou PARALELA `A LT)
É a reta paralela simultaneamente aos planos de 
projeção horizontal e vertical. 
!
"#!
!
!
$%&'(!)*+,!-(!.%/(%012!3%!4%1'!3%!%514%(63'3%.!)*,!%!)+,!%!)S,!%!)S7,!2.!
326.! 89'02! 3%! 842&%:;2! 32! .6.1%('! %(! 1%9'<! =! >2(8241'(%012! 3'.! 842&%:?%.! 32!
.%/(%012!)*+,@!%(!>'3'!-(!3%.1%.!>'.2.@!.%4A!B6.12!'!.%/-64<!
!
"#$!%!&'()!!*)&)+'+)!),-!.,/-!*+)0,-!.'!*&,1'23,!
!
! $%&'!)*+,!-(!.%/(%012!8%41%0>%01%!'!-('!4%1'!)9,<!
C%.1'!82.6:;2!2.!'D'.1'(%012.!3%!)*,!%!3%!)+,!.;2!6/-'6.!'..6(!>2(2!.;2!6/-'6.!'.!
.-'.!>21'.<!=!.%/(%012!E!1'(FE(!8'4'9%92!G!960H'!3%!1%44'!%!'(F'.!'.!842&%:?%.!!
1'(FE(!2!.;2!)D6/.<!#I'!%!F,<!
!
!
J2/2@!1%4%(2.K!
!
!
LMN!!O)*,!P!O)+,!
!
!
LQIN!!R)*,!P!R)+,!
!
LQQN!!*+!P!*7+7!P!)*+,!
!
S23%(2.!>20>9-64@!%01;2@!T-%K!
!
456789! 5:6! ;<=6! >! ?6;6@<@6! 69A! 89BA! ?@679A! 8<! ?;9C<DE9! >! ?6;6@<@6!
=6:F>:!G!@B7H6!8<!=<;;6!<!6:F6A!6A!?;9C<DI<A!8<!J56@J5<;!8<!A<5A!A<K:<7=9AL!
!
"#!
!
!
$%&'(!)*+,!-(!.%/(%012!3%!4%1'!3%!%514%(63'3%.!)*,!%!)+,!%!)S,!%!)S7,!2.!
326.! 89'02! 3%! 842&%:;2! 32! .6.1%('! %(! 1%9'<! =! >2(8241'(%012! 3'.! 842&%:?%.! 32!
.%/(%012!)*+,@!%(!>'3'!-(!3%.1%.!>'.2.@!.%4A!B6.12!'!.%/-64<!
!
"#$!%!&'()!!*)&)+'+)!),-!.,/-!*+)0,-!.'!*&,1'23,!
!
! $%&'!)*+,!-(!.%/(%012!8%41%0>%01%!'!-('!4%1'!)9,<!
C%.1'!82.6:;2!2.!'D'.1'(%012.!3%!)*,!%!3%!)+,!.;2!6/-'6.!'..6(!>2(2!.;2!6/-'6.!'.!
.-'.!>21'.<!=!.%/(%012!E!1'(FE(!8'4'9%92!G!960H'!3%!1%44'!%!'(F'.!'.!842&%:?%.!!
1'(FE(!2!.;2!)D6/.<!#I'!%!F,<!
!
!
J2/2@!1%4%(2.K!
!
!
LMN!!O)*,!P!O)+,!
!
!
LQIN!!R)*,!P!R)+,!
!
LQQN!!*+!P!*7+7!P!)*+,!
!
S23%(2.!>20>9-64@!%01;2@!T-%K!
!
456789! 5:6! ;<=6! >! ?6;6@<@6! 69A! 89BA! ?@679A! 8<! ?;9C<DE9! >! ?6;6@<@6!
=6:F>:!G!@B7H6!8<!=<;;6!<!6:F6A!6A!?;9C<DI<A!8<!J56@J5<;!8<!A<5A!A<K:<7=9AL!
VG
VG
Sua épura é caracterizada por possuir ambas as 
projeções paralelas `a linha de terra. Qualquer das 
projeções (que são iguais) representa a VG. 
ESTUDO DA RETA
!
"#!
!
!
$%&'(!)*+,!-(!.%/(%012!3%!4%1'!3%!%514%(63'3%.!)*,!%!)+,!%!)S,!%!)S7,!2.!326.! 89'02! 3%! 842&%:;2! 32! .6.1%('! %(! 1%9'<! =! >2(8241'(%012! 3'.! 842&%:?%.! 32!
.%/(%012!)*+,@!%(!>'3'!-(!3%.1%.!>'.2.@!.%4A!B6.12!'!.%/-64<!
!
"#$!%!&'()!!*)&)+'+)!),-!.,/-!*+)0,-!.'!*&,1'23,!
!
! $%&'!)*+,!-(!.%/(%012!8%41%0>%01%!'!-('!4%1'!)9,<!
C%.1'!82.6:;2!2.!'D'.1'(%012.!3%!)*,!%!3%!)+,!.;2!6/-'6.!'..6(!>2(2!.;2!6/-'6.!'.!
.-'.!>21'.<!=!.%/(%012!E!1'(FE(!8'4'9%92!G!960H'!3%!1%44'!%!'(F'.!'.!842&%:?%.!!
1'(FE(!2!.;2!)D6/.<!#I'!%!F,<!
!
!
J2/2@!1%4%(2.K!
!
!
LMN!!O)*,!P!O)+,!
!
!
LQIN!!R)*,!P!R)+,!
!
LQQN!!*+!P!*7+7!P!)*+,!
!
S23%(2.!>20>9-64@!%01;2@!T-%K!
!
456789! 5:6! ;<=6! >! ?6;6@<@6! 69A! 89BA! ?@679A! 8<! ?;9C<DE9! >! ?6;6@<@6!
=6:F>:!G!@B7H6!8<!=<;;6!<!6:F6A!6A!?;9C<DI<A!8<!J56@J5<;!8<!A<5A!A<K:<7=9AL!
VG
VG
!
"#!
!
!
$%&'(!)*+,!-(!.%/(%012!3%!4%1'!3%!%514%(63'3%.!)*,!%!)+,!%!)S,!%!)S7,!2.!
326.! 89'02! 3%! 842&%:;2! 32! .6.1%('! %(! 1%9'<! =! >2(8241'(%012! 3'.! 842&%:?%.! 32!
.%/(%012!)*+,@!%(!>'3'!-(!3%.1%.!>'.2.@!.%4A!B6.12!'!.%/-64<!
!
"#$!%!&'()!!*)&)+'+)!),-!.,/-!*+)0,-!.'!*&,1'23,!
!
! $%&'!)*+,!-(!.%/(%012!8%41%0>%01%!'!-('!4%1'!)9,<!
C%.1'!82.6:;2!2.!'D'.1'(%012.!3%!)*,!%!3%!)+,!.;2!6/-'6.!'..6(!>2(2!.;2!6/-'6.!'.!
.-'.!>21'.<!=!.%/(%012!E!1'(FE(!8'4'9%92!G!960H'!3%!1%44'!%!'(F'.!'.!842&%:?%.!!
1'(FE(!2!.;2!)D6/.<!#I'!%!F,<!
!
!
J2/2@!1%4%(2.K!
!
!
LMN!!O)*,!P!O)+,!
!
!
LQIN!!R)*,!P!R)+,!
!
LQQN!!*+!P!*7+7!P!)*+,!
!
S23%(2.!>20>9-64@!%01;2@!T-%K!
!
456789! 5:6! ;<=6! >! ?6;6@<@6! 69A! 89BA! ?@679A! 8<! ?;9C<DE9! >! ?6;6@<@6!
=6:F>:!G!@B7H6!8<!=<;;6!<!6:F6A!6A!?;9C<DI<A!8<!J56@J5<;!8<!A<5A!A<K:<7=9AL!
ESTUDO DA RETA
Propriedades da reta FRONTOHORIZONTAL:
1. Por ser paralela ao PH, sua projeção horizontal está em 
VG; 
2. Por ser paralela ao PV, a sua projeção vertical também 
estará em VG;
3. Sendo paralela ao PV e ao PH, também será `a LT.
!
"#!
!
!
$%&'(!)*+,!-(!.%/(%012!3%!4%1'!3%!%514%(63'3%.!)*,!%!)+,!%!)S,!%!)S7,!2.!
326.! 89'02! 3%! 842&%:;2! 32! .6.1%('! %(! 1%9'<! =! >2(8241'(%012! 3'.! 842&%:?%.! 32!
.%/(%012!)*+,@!%(!>'3'!-(!3%.1%.!>'.2.@!.%4A!B6.12!'!.%/-64<!
!
"#$!%!&'()!!*)&)+'+)!),-!.,/-!*+)0,-!.'!*&,1'23,!
!
! $%&'!)*+,!-(!.%/(%012!8%41%0>%01%!'!-('!4%1'!)9,<!
C%.1'!82.6:;2!2.!'D'.1'(%012.!3%!)*,!%!3%!)+,!.;2!6/-'6.!'..6(!>2(2!.;2!6/-'6.!'.!
.-'.!>21'.<!=!.%/(%012!E!1'(FE(!8'4'9%92!G!960H'!3%!1%44'!%!'(F'.!'.!842&%:?%.!!
1'(FE(!2!.;2!)D6/.<!#I'!%!F,<!
!
!
J2/2@!1%4%(2.K!
!
!
LMN!!O)*,!P!O)+,!
!
!
LQIN!!R)*,!P!R)+,!
!
LQQN!!*+!P!*7+7!P!)*+,!
!
S23%(2.!>20>9-64@!%01;2@!T-%K!
!
456789! 5:6! ;<=6! >! ?6;6@<@6! 69A! 89BA! ?@679A! 8<! ?;9C<DE9! >! ?6;6@<@6!
=6:F>:!G!@B7H6!8<!=<;;6!<!6:F6A!6A!?;9C<DI<A!8<!J56@J5<;!8<!A<5A!A<K:<7=9AL!
VG
VG
Retas segundo o perpendicularismo em relação aos planos de 
projeção.
RETA VERTICAL 
ESTUDO DA RETA
!
"#!
!
!"#$%&'% (!$)#$%*!+!"'",-%.% "/01!%&'% ('++!2% -3,% -'4$'0(,-%&'%5,$*+/$'0(,-%
/46!/-%!,%&,%-'4$'0(,%+'!"2%,6%-'7!2%!$)!-%'-(3,%'$%8'+&!&'/+!%4+!0&'9!:%
%
! $%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta paralela à linha de 
terra !+2!reta fronto-horizontal. 
%
;:<%=%>?@A%%B?>B?CDEFGHA>%A%GI%DJK%BHACJK%D?%B>JL?MNJ%
!
! 32&41+!2%&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!56&4+!1(!5'+7(89+:!,2&!5'+7(89+!
+')+;+4&6!4(,)(!56&4+!,(!'(12<!&!2%!5+4)+=!>2%!,.,)(%&!1(!1256&!5'+7(89+!
+')+;+4&6:!,(!&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!1+,!56&4+,!1(!5'+7(89+:!/:!(4)9+!
4(*(,,&'.&%(4)(!5&'&6(6&!&+!+2)'+=!
!
! >(,)&,!*+41.8?(,!&!'()&!5+1(!(,)&'@!
!
A!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!E(').*&6%CSFD%
!
!!!!!!!!!!! AA!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!E(').*&6!CSFD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!
!
G%!&%H+,!+,!*&,+,!)I%B,(@!
!
JKLM!!!!!N!COD!P!N!CQD!
%
;:<:O% >?@A% B?>B?CDEFGHA>% AJ% BHACJ% PJ>EQJC@AH% D?%
B>JL?MNJ%RSS%
! !
R(7&!COQD!2%!,(;%(4)+!5(')(4*(4)(!&!2%&!'()&!CED!
SH,('E&B,(!4&,!T.;2'&,!UKB&!(!H!V2(@!
!
!
É a reta perpendicular ao plano de projeção 
horizontal. 
!
"#!
!
!"#$%&'% (!$)#$%*!+!"'",-%.% "/01!%&'% ('++!2% -3,% -'4$'0(,-%&'%5,$*+/$'0(,-%
/46!/-%!,%&,%-'4$'0(,%+'!"2%,6%-'7!2%!$)!-%'-(3,%'$%8'+&!&'/+!%4+!0&'9!:%
%
! $%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta paralela à linha de 
terra !+2!reta fronto-horizontal. 
%
;:<%=%>?@A%%B?>B?CDEFGHA>%A%GI%DJK%BHACJK%D?%B>JL?MNJ%
!
! 32&41+!2%&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!56&4+!1(!5'+7(89+:!,2&!5'+7(89+!
+')+;+4&6!4(,)(!56&4+!,(!'(12<!&!2%!5+4)+=!>2%!,.,)(%&!1(!1256&!5'+7(89+!
+')+;+4&6:!,(!&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!1+,!56&4+,!1(!5'+7(89+:!/:!(4)9+!
4(*(,,&'.&%(4)(!5&'&6(6&!&+!+2)'+=!
!
! >(,)&,!*+41.8?(,!&!'()&!5+1(!(,)&'@!
!
A!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!E(').*&6%CSFD%
!
!!!!!!!!!!! AA!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!E(').*&6!CSFD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!
!
G%!&%H+,!+,!*&,+,!)I%B,(@!
!
JKLM!!!!!N!COD!P!N!CQD!
%
;:<:O% >?@A% B?>B?CDEFGHA>% AJ% BHACJ% PJ>EQJC@AH% D?%
B>JL?MNJ%RSS%
! !
R(7&!COQD!2%!,(;%(4)+!5(')(4*(4)(!&!2%&!'()&!CED!
SH,('E&B,(!4&,!T.;2'&,!UKB&!(!H!V2(@!
!
!
Sua épura é caracterizada por possuir a projeção 
horizontal reduzida a um ponto (chamada projeção 
pontual) e a vertical perpendicular `a LT, e que 
representa a VG.
ESTUDO DA RETA
!
"#!
!
!"#$%&'% (!$)#$%*!+!"'",-%.% "/01!%&'% ('++!2% -3,% -'4$'0(,-%&'%5,$*+/$'0(,-%
/46!/-%!,%&,%-'4$'0(,%+'!"2%,6%-'7!2%!$)!-%'-(3,%'$%8'+&!&'/+!%4+!0&'9!:%
%
! $%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta paralela à linha de 
terra !+2!reta fronto-horizontal. 
%
;:<%=%>?@A%%B?>B?CDEFGHA>%A%GI%DJK%BHACJK%D?%B>JL?MNJ%
!
! 32&41+!2%&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!56&4+!1(!5'+7(89+:!,2&!5'+7(89+!
+')+;+4&6!4(,)(!56&4+!,(!'(12<!&!2%!5+4)+=!>2%!,.,)(%&!1(!1256&!5'+7(89+!
+')+;+4&6:!,(!&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!1+,!56&4+,!1(!5'+7(89+:!/:!(4)9+!
4(*(,,&'.&%(4)(!5&'&6(6&!&+!+2)'+=!
!
! >(,)&,!*+41.8?(,!&!'()&!5+1(!(,)&'@!
!
A!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!E(').*&6%CSFD%
!
!!!!!!!!!!! AA!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!E(').*&6!CSFD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!
!
G%!&%H+,!+,!*&,+,!)I%B,(@!
!
JKLM!!!!!N!COD!P!N!CQD!
%
;:<:O% >?@A% B?>B?CDEFGHA>% AJ% BHACJ% PJ>EQJC@AH% D?%
B>JL?MNJ%RSS%
! !
R(7&!COQD!2%!,(;%(4)+!5(')(4*(4)(!&!2%&!'()&!CED!
SH,('E&B,(!4&,!T.;2'&,!UKB&!(!H!V2(@!
!
!
!
"#!
!
!"#$%&'% (!$)#$%*!+!"'",-%.% "/01!%&'% ('++!2% -3,% -'4$'0(,-%&'%5,$*+/$'0(,-%
/46!/-%!,%&,%-'4$'0(,%+'!"2%,6%-'7!2%!$)!-%'-(3,%'$%8'+&!&'/+!%4+!0&'9!:%
%
! $%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta paralela à linha de 
terra !+2!reta fronto-horizontal. 
%
;:<%=%>?@A%%B?>B?CDEFGHA>%A%GI%DJK%BHACJK%D?%B>JL?MNJ%
!
! 32&41+!2%&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!56&4+!1(!5'+7(89+:!,2&!5'+7(89+!
+')+;+4&6!4(,)(!56&4+!,(!'(12<!&!2%!5+4)+=!>2%!,.,)(%&!1(!1256&!5'+7(89+!
+')+;+4&6:!,(!&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!1+,!56&4+,!1(!5'+7(89+:!/:!(4)9+!
4(*(,,&'.&%(4)(!5&'&6(6&!&+!+2)'+=!
!
! >(,)&,!*+41.8?(,!&!'()&!5+1(!(,)&'@!
!
A!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!E(').*&6%CSFD%
!
!!!!!!!!!!! AA!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!E(').*&6!CSFD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!
!
G%!&%H+,!+,!*&,+,!)I%B,(@!
!
JKLM!!!!!N!COD!P!N!CQD!
%
;:<:O% >?@A% B?>B?CDEFGHA>% AJ% BHACJ% PJ>EQJC@AH% D?%
B>JL?MNJ%RSS%
! !
R(7&!COQD!2%!,(;%(4)+!5(')(4*(4)(!&!2%&!'()&!CED!
SH,('E&B,(!4&,!T.;2'&,!UKB&!(!H!V2(@!
!
!
VG
Propriedades da reta VERTICAL:
1. Por ser perpendicular ao PH, a sua projeção 
horizontal estará reduzida a um ponto; 
2. Sendo paralela ao PV, a sua projeção vertical estará 
em VG e é perpendicular `a LT;
ESTUDO DA RETA
!
"#!
!
!"#$%&'% (!$)#$%*!+!"'",-%.% "/01!%&'% ('++!2% -3,% -'4$'0(,-%&'%5,$*+/$'0(,-%
/46!/-%!,%&,%-'4$'0(,%+'!"2%,6%-'7!2%!$)!-%'-(3,%'$%8'+&!&'/+!%4+!0&'9!:%
%
! $%&! '()&! *+%! (,)&,! *&'&*)('-,).*&,! /! *0&%&1&! reta paralela à linha de 
terra !+2!reta fronto-horizontal. 
%
;:<%=%>?@A%%B?>B?CDEFGHA>%A%GI%DJK%BHACJK%D?%B>JL?MNJ%!
! 32&41+!2%&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!56&4+!1(!5'+7(89+:!,2&!5'+7(89+!
+')+;+4&6!4(,)(!56&4+!,(!'(12<!&!2%!5+4)+=!>2%!,.,)(%&!1(!1256&!5'+7(89+!
+')+;+4&6:!,(!&!'()&!/!5('5(41.*26&'!&!2%!1+,!56&4+,!1(!5'+7(89+:!/:!(4)9+!
4(*(,,&'.&%(4)(!5&'&6(6&!&+!+2)'+=!
!
! >(,)&,!*+41.8?(,!&!'()&!5+1(!(,)&'@!
!
A!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!E(').*&6%CSFD%
!
!!!!!!!!!!! AA!B!5('5(41.*26&'!&+!56&4+!E(').*&6!CSFD!(!5&'&6(6+!&+!56&4+!0+'.<+4)&6!CSD!
!
G%!&%H+,!+,!*&,+,!)I%B,(@!
!
JKLM!!!!!N!COD!P!N!CQD!
%
;:<:O% >?@A% B?>B?CDEFGHA>% AJ% BHACJ% PJ>EQJC@AH% D?%
B>JL?MNJ%RSS%
! !
R(7&!COQD!2%!,(;%(4)+!5(')(4*(4)(!&!2%&!'()&!CED!
SH,('E&B,(!4&,!T.;2'&,!UKB&!(!H!V2(@!
!
!
VG
ESTUDO DA RETA
RETA DE TOPO 
Inversamente `a reta vertical, a reta de topo é a 
perpendicular ao plano de projeção vertical. !
"#!
!
!
!
$% &'$!()*+,-.*!/,)012$3!412$!),5'615$!$!'7!(*80*9!
!
:;"<!!!=>!{!?>!
!
@% 0*5*&!*&!&,'&!(*80*&!(*&&',7!$!7,&7$!2*0$9!
!
:;#<!!6!A=%!B!6!A?%!
!
2% &'$!()*+,-.*!C*)16*80$3!,&0D!,7!/,)5$5,1)$!E)$85,6$9!
!
:;F<!!!=?!B!A=?%!
!
G,&0,!2$&*!(*5,7*&!2*823'1)H!,80.*H!I',9!
!
"#$%&'!#($!)*+$!,!-*)-*%&./#0$)!$'!-0$%'!1*)+./$0!&*!-)'2*34'!5S67!,8!
%*/*99$).$(*%+*8!!-$)$0*0'!$'!-0$%'!:').;'%+$0!5S7!*!$.%&$<!
!
$7 9#$!-)'2*34'!1*)+./$0!=./$!)*&#;.&$!$!#(!-'%+'>!
!
?7 $! -)'2*34'! :').;'%+$0! &*! @#$0@#*)! &*! 9*#9! 9*A(*%+'9! ,8!
+$(?,(! #(! 9*A(*%+'8! -*)-*%&./#0$)! B! 0.%:$! &*! +*))$! /#2'!
/'(-).(*%+'!*9+C!*(!1*)&$&*.)$!A)$%&*;$D!
!
J7$!),0$!2*7!,&0$&!2$)$20,)K&012$&!L!2C$7$5$!reta de topo.!
!
!
EDF!G!HIJK!LKHKMIMK!K!NO!PQR!LMKSQR!PI!LHQTIUVQ!
!
!
"#!
!
!
!
$% &'$!()*+,-.*!/,)012$3!412$!),5'615$!$!'7!(*80*9!
!
:;"<!!!=>!{!?>!
!
@% 0*5*&!*&!&,'&!(*80*&!(*&&',7!$!7,&7$!2*0$9!
!
:;#<!!6!A=%!B!6!A?%!
!
2% &'$!()*+,-.*!C*)16*80$3!,&0D!,7!/,)5$5,1)$!E)$85,6$9!
!
:;F<!!!=?!B!A=?%!
!
G,&0,!2$&*!(*5,7*&!2*823'1)H!,80.*H!I',9!
!
"#$%&'!#($!)*+$!,!-*)-*%&./#0$)!$'!-0$%'!1*)+./$0!&*!-)'2*34'!5S67!,8!
%*/*99$).$(*%+*8!!-$)$0*0'!$'!-0$%'!:').;'%+$0!5S7!*!$.%&$<!
!
$7 9#$!-)'2*34'!1*)+./$0!=./$!)*&#;.&$!$!#(!-'%+'>!
!
?7 $! -)'2*34'! :').;'%+$0! &*! @#$0@#*)! &*! 9*#9! 9*A(*%+'9! ,8!
+$(?,(! #(! 9*A(*%+'8! -*)-*%&./#0$)! B! 0.%:$! &*! +*))$! /#2'!
/'(-).(*%+'!*9+C!*(!1*)&$&*.)$!A)$%&*;$D!
!
J7$!),0$!2*7!,&0$&!2$)$20,)K&012$&!L!2C$7$5$!reta de topo.!
!
!
EDF!G!HIJK!LKHKMIMK!K!NO!PQR!LMKSQR!PI!LHQTIUVQ!
!
Sua épura é caracterizada por possuir a projeção 
vertical reduzida a um ponto e a horizontal 
perpendicular `a LT, e que representa a VG.
ESTUDO DA RETA
!
"#!
!
!
!
$% &'$!()*+,-.*!/,)012$3!412$!),5'615$!$!'7!(*80*9!
!
:;"<!!!=>!{!?>!
!
@% 0*5*&!*&!&,'&!(*80*&!(*&&',7!$!7,&7$!2*0$9!
!
:;#<!!6!A=%!B!6!A?%!
!
2% &'$!()*+,-.*!C*)16*80$3!,&0D!,7!/,)5$5,1)$!E)$85,6$9!
!
:;F<!!!=?!B!A=?%!
!
G,&0,!2$&*!(*5,7*&!2*823'1)H!,80.*H!I',9!
!
"#$%&'!#($!)*+$!,!-*)-*%&./#0$)!$'!-0$%'!1*)+./$0!&*!-)'2*34'!5S67!,8!
%*/*99$).$(*%+*8!!-$)$0*0'!$'!-0$%'!:').;'%+$0!5S7!*!$.%&$<!
!
$7 9#$!-)'2*34'!1*)+./$0!=./$!)*&#;.&$!$!#(!-'%+'>!
!
?7 $! -)'2*34'! :').;'%+$0! &*! @#$0@#*)! &*! 9*#9! 9*A(*%+'9! ,8!
+$(?,(! #(! 9*A(*%+'8! -*)-*%&./#0$)! B! 0.%:$! &*! +*))$! /#2'!
/'(-).(*%+'!*9+C!*(!1*)&$&*.)$!A)$%&*;$D!
!
J7$!),0$!2*7!,&0$&!2$)$20,)K&012$&!L!2C$7$5$!reta de topo.!
!
!
EDF!G!HIJK!LKHKMIMK!K!NO!PQR!LMKSQR!PI!LHQTIUVQ!
!
!
"#!
!
!
!
$% &'$!()*+,-.*!/,)012$3!412$!),5'615$!$!'7!(*80*9!
!
:;"<!!!=>!{!?>!
!
@% 0*5*&!*&!&,'&!(*80*&!(*&&',7!$!7,&7$!2*0$9!
!
:;#<!!6!A=%!B!6!A?%!
!
2% &'$!()*+,-.*!C*)16*80$3!,&0D!,7!/,)5$5,1)$!E)$85,6$9!
!
:;F<!!!=?!B!A=?%!
!
G,&0,!2$&*!(*5,7*&!2*823'1)H!,80.*H!I',9!
!
"#$%&'!#($!)*+$!,!-*)-*%&./#0$)!$'!-0$%'!1*)+./$0!&*!-)'2*34'!5S67!,8!
%*/*99$).$(*%+*8!!-$)$0*0'!$'!-0$%'!:').;'%+$0!5S7!*!$.%&$<!
!
$7 9#$!-)'2*34'!1*)+./$0!=./$!)*&#;.&$!$!#(!-'%+'>!
!
?7 $! -)'2*34'! :').;'%+$0! &*! @#$0@#*)! &*! 9*#9! 9*A(*%+'9! ,8!
+$(?,(! #(! 9*A(*%+'8! -*)-*%&./#0$)! B! 0.%:$! &*! +*))$! /#2'!
/'(-).(*%+'!*9+C!*(!1*)&$&*.)$!A)$%&*;$D!
!
J7$!),0$!2*7!,&0$&!2$)$20,)K&012$&!L!2C$7$5$!reta de topo.!
!
!
EDF!G!HIJK!LKHKMIMK!K!NO!PQR!LMKSQR!PI!LHQTIUVQ!
!
VG
ESTUDO DA RETA
!
"#!
!
!
!
$% &'$!()*+,-.*!/,)012$3!412$!),5'615$!$!'7!(*80*9!
!
:;"<!!!=>!{!?>!
!
@% 0*5*&!*&!&,'&!(*80*&!(*&&',7!$!7,&7$!2*0$9!
!
:;#<!!6!A=%!B!6!A?%!
!
2% &'$!()*+,-.*!C*)16*80$3!,&0D!,7!/,)5$5,1)$!E)$85,6$9!
!
:;F<!!!=?!B!A=?%!
!
G,&0,!2$&*!(*5,7*&!2*823'1)H!,80.*H!I',9!
!
"#$%&'!#($!)*+$!,!-*)-*%&./#0$)!$'!-0$%'!1*)+./$0!&*!-)'2*34'!5S67!,8!
%*/*99$).$(*%+*8!!-$)$0*0'!$'!-0$%'!:').;'%+$0!5S7!*!$.%&$<!
!
$7 9#$!-)'2*34'!1*)+./$0!=./$!)*&#;.&$!$!#(!-'%+'>!
!
?7 $! -)'2*34'! :').;'%+$0! &*! @#$0@#*)! &*! 9*#9! 9*A(*%+'9! ,8!
+$(?,(! #(! 9*A(*%+'8! -*)-*%&./#0$)! B! 0.%:$! &*! +*))$! /#2'!
/'(-).(*%+'!*9+C!*(!1*)&$&*.)$!A)$%&*;$D!
!
J7$!),0$!2*7!,&0$&!2$)$20,)K&012$&!L!2C$7$5$!reta de topo.!
!
!
EDF!G!HIJK!LKHKMIMK!K!NO!PQR!LMKSQR!PI!LHQTIUVQ!
!
VG
Propriedades da reta DE TOPO:
1. Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal 
estará em VG e é perpendicular `a LT; 
2. Sendo perpendicular ao PV, a sua projeção vertical 
estará reduzida a um ponto;
ESTUDO DA RETA
É uma reta oblíqua aos dois planos de projeção numa 
posição particular: perpendicular (ou ortogonal) `a LT.
RETA DE PERFIL
!
"#!
!
!
!
$%&%! '%(! )(*+%! ,-+./(%/&.-+.! 0123! 45,-6%!5&! *.7&.-+%! 8! %9:;45%! ,! 5&!
<:,-%3!*5,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!-.*+.!<:,-%!8!%5+/%!*.7&.-+%3!&.-%/!45.!%!*.7&.-+%!
45.!:@.!6.5!%/(7.&A!
B5&!*(*+.&,!6.!65<:,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!<%6.&%*!+,&98&!C%-C:5(/!45.D!
!
0EF2!!GH!!IGHJ!
!
0K#2!!GLHL!!IGHJ!
!
M&!C,*%*!<,/+(C5:,/.*!<%6.&%*!+./D!
!
0KN2!!GH!O!GLHL!!
!
!"#$%$&'()$*&(*+*,)-$.$-/,0)$1'$('&&)!
!
! P.=,!IGHJ!5&!*.7&.-+%!<./+.-C.-+.!,!5&,!/.+,!I<JA!
! B,*!'(75/,*!K",!.!93!%9*./),&%*!45.D!
!
!
"#!
!
!
!
$%&'!!()*+!,!()-+!
!
! ./!01232!4156708915:227/32;!1!5<61!43=<!2<5!4<54<>=708915!?!97>@1!=<!6<551!
<;!><261!03>=7AB3;!6</C2<D!
!
! $%%'!!)E+!Ł!)F+;!38!17>=1D!
!
! $%G'!!E!Ł!EH!Ł!F!Ł!FH!
!
! I/1!5<61!03/!<2612!015106<5:267012!J!0@1/1=1!reta de perfil. 
!
"#$!%!&'()!*+,-./)!0!,123)!4'!('&&)!
*2!K7L8512!%M!1!<!N!/32651/!J48512!=<!5<612!3N9:O812!?!97>@1!=<!6<551P!
!
!
ESTUDO DA RETA
Sua épura é caracterizada por possuir ambas as 
projeções (vertical e horizontal) perpendiculares `a LT, 
não estando, nenhuma delas, em VG. !
"#!
!
!
!
$%&'!!()*+!,!()-+!
!
! ./!01232!4156708915:227/32;!1!5<61!43=<!2<5!4<54<>=708915!?!97>@1!=<!6<551!
<;!><261!03>=7AB3;!6</C2<D!
!
! $%%'!!)E+!Ł!)F+;!38!17>=1D!
!
! $%G'!!E!Ł!EH!Ł!F!Ł!FH!
!
! I/1!5<61!03/!<2612!015106<5:267012!J!0@1/1=1!reta de perfil. 
!
"#$!%!&'()!*+,-./)!0!,123)!4'!('&&)!
*2!K7L8512!%M!1!<!N!/32651/!J48512!=<!5<612!3N9:O812!?!97>@1!=<!6<551P!
!
!
!
"#!
!
!
!
$%&%! '%(! )(*+%! ,-+./(%/&.-+.! 0123! 45,-6%!5&! *.7&.-+%! 8! %9:;45%! ,! 5&!
<:,-%3!*5,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!-.*+.!<:,-%!8!%5+/%!*.7&.-+%3!&.-%/!45.!%!*.7&.-+%!
45.!:@.!6.5!%/(7.&A!
B5&!*(*+.&,!6.!65<:,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!<%6.&%*!+,&98&!C%-C:5(/!45.D!
!
0EF2!!GH!!IGHJ!
!
0K#2!!GLHL!!IGHJ!
!
M&!C,*%*!<,/+(C5:,/.*!<%6.&%*!+./D!
!
0KN2!!GH!O!GLHL!!
!
!"#$%$&'()$*&(*+*,)-$.$-/,0)$1'$('&&)!
!
! P.=,!IGHJ!5&!*.7&.-+%!<./+.-C.-+.!,!5&,!/.+,!I<JA!
! B,*!'(75/,*!K",!.!93!%9*./),&%*!45.D!
!
ESTUDO DA RETA
Propriedades da reta DE PERFIL:
1. As projeções horizontal e vertical não estão em VG; 
2. As projeções horizontal e vertical são perpendiculares `a 
LT;
!
"#!
!
!
!
$%&'!!()*+!,!()-+!
!
! ./!01232!4156708915:227/32;!1!5<61!43=<!2<5!4<54<>=708915!?!97>@1!=<!6<551!
<;!><261!03>=7AB3;!6</C2<D!
!
! $%%'!!)E+!Ł!)F+;!38!17>=1D!
!
! $%G'!!E!Ł!EH!Ł!F!Ł!FH!
!
! I/1!5<61!03/!<2612!015106<5:267012!J!0@1/1=1!reta de perfil.!
"#$!%!&'()!*+,-./)!0!,123)!4'!('&&)!
*2!K7L8512!%M!1!<!N!/32651/!J48512!=<!5<612!3N9:O812!?!97>@1!=<!6<551P!
!
!
TRAÇOS DE RETA DE PERFIL
POSIÇÕES DA RETA 
PASSO 2 
!"#$%&'()
* +,-,./0#,.#1(231423#5#
6,-757,8-5#9-5:7,;5#75#-,+5#
1(3143
* 5+-56<0#7/#=-/>/:95.,:+/#
0?=,-8/-#75#-,+5#1(231423#
=/7,./0#7,-865-#/#+-5@/#6,-+8A5>#
�9� 9·�GD�UHWD��$��%�
$¶¶
%¶¶�
$¶
%¶
+¶ 9
A1 B1
A
9¶ �9�
B
ESTUDO DA RETA - Plano Lateral
!
"#!
!
!
!
$%&%! '%(! )(*+%! ,-+./(%/&.-+.! 0123! 45,-6%!5&! *.7&.-+%! 8! %9:;45%! ,! 5&!
<:,-%3!*5,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!-.*+.!<:,-%!8!%5+/%!*.7&.-+%3!&.-%/!45.!%!*.7&.-+%!
45.!:@.!6.5!%/(7.&A!
B5&!*(*+.&,!6.!65<:,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!<%6.&%*!+,&98&!C%-C:5(/!45.D!
!
0EF2!!GH!!IGHJ!
!
0K#2!!GLHL!!IGHJ!
!
M&!C,*%*!<,/+(C5:,/.*!<%6.&%*!+./D!
!
0KN2!!GH!O!GLHL!!
!
!"#$%$&'()$*&(*+*,)-$.$-/,0)$1'$('&&)!
!
! P.=,!IGHJ!5&!*.7&.-+%!<./+.-C.-+.!,!5&,!/.+,!I<JA!
! B,*!'(75/,*!K",!.!93!%9*./),&%*!45.D!
!
Plano Lateral
ESTUDO DA RETA
A reta de perfil, também pode passar pela linha de terra.
!
"#!
!
!
!
$%&%! '%(! )(*+%! ,-+./(%/&.-+.! 0123! 45,-6%!5&! *.7&.-+%! 8! %9:;45%! ,! 5&!
<:,-%3!*5,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!-.*+.!<:,-%!8!%5+/%!*.7&.-+%3!&.-%/!45.!%!*.7&.-+%!
45.!:@.!6.5!%/(7.&A!
B5&!*(*+.&,!6.!65<:,!</%=.>?%!%/+%7%-,:!<%6.&%*!+,&98&!C%-C:5(/!45.D!
!
0EF2!!GH!!IGHJ!
!
0K#2!!GLHL!!IGHJ!
!
M&!C,*%*!<,/+(C5:,/.*!<%6.&%*!+./D!
!
0KN2!!GH!O!GLHL!!
!
!"#$%$&'()$*&(*+*,)-$.$-/,0)$1'$('&&)!
!
! P.=,!IGHJ!5&!*.7&.-+%!<./+.-C.-+.!,!5&,!/.+,!I<JA!
! B,*!'(75/,*!K",!.!93!%9*./),&%*!45.D!
!
(A)
B’
A’
(B)
A épura terá configuração semelhante, mas a 
determinação de seu posicionamento passando pela LT só 
será possível com a recuperação do traço da reta.
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES DAS RETAS
Assim como analisado para o ponto, a reta pode estar 
contida dentro de qualquer dos semiplanos ou em 
coincidência com a LT.
No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das 
projeções sobre a LT.
No segundo caso, ambas as projeções coincidem 
com aquela linha.
RETA SITUADA NO SPVS
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES DA RETA 
!""#$%&'$'%()(*#"(+'%,(-(%'%,').'/%0".(%-0.(%,'+0%0".(-%&').#+(%
.'+(%+0).-'%+0%12(*120-%+'"%"0$#,*()'"%'2%0$%&'#)&#+3)&#(%&'$%(%
456%%7'%,-#$0#-'%&("'/%(%-0.(%,'""2#-8%"0$,-0%2$(%+("%,-'90:;0"%
"'<-0%(%456%%7'%"0=2)+'%&("'/%($<("%("%,-'90:;0"%&'#)&#+0$%&'$%
(120*(%&'$%(%456%%
A B
�$� $¶
�%� %¶
Reta situada no (S¶S)
!%-0.(%&'#)&#+0%&'$%(%"2(%,->,-#(%
,-'90:?'%@0-.#&(*6%%7(%A,2-(/%(%
,-'90:?'%@0-.#&(*%(,(-0&0%(&#$(
+(%45%0%(%,-'90:?'%B'-#C').(*%
"'<-0%(%456
�$� $¶
(S¶S)
�%� %¶
A
B
(S¶I)
(SA)
(SP)
A reta coincide com a sua 
própria projeção vertical. Na 
épura, a projeção vertical 
aparece acima da LT e a 
projeção horizontal sobre a LT.
POSIÇÕES DA RETA 
!""#$%&'$'%()(*#"(+'%,(-(%'%,').'/%0".(%-0.(%,'+0%0".(-%&').#+(%
.'+(%+0).-'%+0%12(*120-%+'"%"0$#,*()'"%'2%0$%&'#)&#+3)&#(%&'$%(%
456%%7'%,-#$0#-'%&("'/%(%-0.(%,'""2#-8%"0$,-0%2$(%+("%,-'90:;0"%
"'<-0%(%456%%7'%"0=2)+'%&("'/%($<("%("%,-'90:;0"%&'#)&#+0$%&'$%
(120*(%&'$%(%456%%
A B
�$� $¶
�%� %¶
Reta situada no (S¶S)
!%-0.(%&'#)&#+0%&'$%(%"2(%,->,-#(%
,-'90:?'%@0-.#&(*6%%7(%A,2-(/%(%
,-'90:?'%@0-.#&(*%(,(-0&0%(&#$(
+(%45%0%(%,-'90:?'%B'-#C').(*%
"'<-0%(%456
�$� $¶
(S¶S)
�%� %¶
A
B
(S¶I)
(SA)
(SP)
RETA SITUADA NO SPVI
POSIÇÕES DA RETA 
Reta situada no (S¶I)
(S¶S)
(S¶I)
(SA)
(SP)
�$�� �$¶
�%�� �%¶
A
B
A B
�$�� �$¶
�%�� �%¶
!"#$%&"'()*')+$"'(,"&"-.&"/#0/#)&"
/#(1$23("4$#%)'&56""7&"8/.#&9"&"
/#(1$23("4$#%)'&5"&/&#$'$"&:&);(
+&"<="$"&"/#(1$23(">(#)?(*%&5"
-(:#$"&"<=6
A reta coincide com a sua 
própria projeção vertical. Na 
épura, a projeção vertical 
aparece abaixo da LT e a 
projeção horizontal sobre a LT.
POSIÇÕES DA RETA 
Reta situada no (S¶I)
(S¶S)
(S¶I)
(SA)
(SP)
�$�� �$¶
�%�� �%¶
A
B
A B
�$�� �$¶
�%�� �%¶
!"#$%&"'()*')+$"'(,"&"-.&"/#0/#)&"
/#(1$23("4$#%)'&56""7&"8/.#&9"&"
/#(1$23("4$#%)'&5"&/&#$'$"&:&);(
+&"<="$"&"/#(1$23(">(#)?(*%&5"
-(:#$"&"<=6
ESTUDO DA RETA
RETA SITUADA NO SPHAPOSIÇÕES DA RETA 
Reta situada no (SA )
(SP)
(S¶S)
(SA)
(A) = A
(B) = B%¶
$¶
(S¶I) !"#$%&"'()*')+$"'(,"&"-.&"/#0/#)&"
/#(1$23("4(#)5(*%&67""8&"9/.#&:"&"
/#(1$23(";$#%)'&6"+&"#$%&"&/&#$'$"
-(<#$"&"=>:"$*?.&*%("&"-.&"&"
/#(1$23("4(#)5(*%&6"/(-)')(*&@-$"
&<&)A( +&"=>7
$¶ %¶
(A) = A
(B) = B
A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. 
Na épura, a projeção vertical aparece sobre da LT e a 
projeção horizontal posiciona-se abaixo da LT.
POSIÇÕES DA RETA 
Reta situada no (SA )
(SP)
(S¶S)
(SA)
(A) = A
(B) = B%¶
$¶
(S¶I) !"#$%&"'()*')+$"'(,"&"-.&"/#0/#)&"
/#(1$23("4(#)5(*%&67""8&"9/.#&:"&"
/#(1$23(";$#%)'&6"+&"#$%&"&/&#$'$"
-(<#$"&"=>:"$*?.&*%("&"-.&"&"
/#(1$23("4(#)5(*%&6"/(-)')(*&@-$"
&<&)A( +&"=>7
$¶ %¶
(A) = A
(B) = B
ESTUDO DA RETA
ESTUDO DA RETA
RETA SITUADA NO SPHP
A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. 
Na épura, a projeção vertical aparece sobre da LT e a 
projeção horizontal posiciona-se acima da LT.
POSIÇÕES DA RETA 
Reta situada no (SP )
A reta coincide com a sua própria 
projeção horizontal. Na épura, a 
projeção vertical da reta aparece sobre 
a LT, enquanto a sua a projeção 
horizontal posiciona-se acima da LT.
(SP)
(S¶S)
(S¶I)
%¶
(A) = A
(B) = B (SA)
$¶
%¶$¶
(B) = B
(A) = A
POSIÇÕES DA RETA 
Reta situada no (SP )
A reta coincide com a sua própria 
projeção horizontal. Na épura, a 
projeção vertical da reta aparece sobre 
a LT, enquanto a sua a projeção 
horizontal posiciona-se acima da LT.
(SP)
(S¶S)
(S¶I)
%¶
(A) = A
(B) = B (SA)
$¶
%¶$¶
(B) = B
(A) = A
RETA SITUADA SOBRE A LINHA DE TERRA
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES DA RETA 
Reta situada sobre a LINHA DE TERRA SS¶
�%� % %¶�$� $ $¶
(S¶I)
(SA)�$� $ $¶
�%� % %¶
(SP)
(S¶S)
POSIÇÕES DA RETA 
Reta situada sobre a LINHA DE TERRA SS¶
�%� % %¶�$� $ $¶
(S¶I)
(SA)�$� $ $¶
�%� % %¶
(SP)
(S¶S)
A reta coincide com suas próprias projeções horizontal 
e vertical. Na épura, todas as projeções encontram-se 
sobre a linha de terra.
ESTUDO DA RETA
OUTRAS POSIÇÕES POSSÍVEIS
Nas últimas retas contidas nos planos de projeção só 
consideramos retas oblíquas ao plano contrário ao que se 
situa. 
Elas, porém , podem ocupar qualquer posição particular 
como nos exemplificam as figuras subsequentes.
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES DA RETA 
Outros exemplos:
(SP)
(S¶S)
(SA)
U¶
(S¶I)
(r)
Reta (r) de topo no (SA)
RETA DE TOPO NO SPHA
(S¶S)
(u)
(S¶I)
(SA)(SP)
u
POSIÇÕES DA RETA 
Outros exemplos:
Reta (u) vertical no (S¶S)
RETA DE VERTICAL NO SPVS
POSIÇÕES DA RETA 
Outros exemplos:
Reta (m) frontohorizontal no (SP)
(SP)
(S¶S)
(S¶I)
%¶ (SA)
$¶
RETA DE FRONTOHORIZONTAL NO SPHP