Aritmetica 3

Prévia do material em texto

UNIDAD 3
Conteo de números
¿Es difícil recordar un número telefónico?
La	siguiente	información	es	oficial	del	Ministerio	de	Transportes	y	Comunicaciones,	que	informa	al público en general que a partir del sábado 5 de abril del 2008, se incrementa el número de dígitos de la numeración móvil, conforme al siguiente detalle:Para	el	departamento	de	Lima	y	provincia	constitucional	del	Callao:
9 9 X X X X X X X
Número telefónico móvil
Algunas	compañías	de	publicidad	han	descubierto	que	a	muchas	personas	les	resulta	difícil	recordar	un	
largo número telefónico, así que han convertido los números en letras, para formar una palabra fácil de 
recordar.
Así por ejemplo:
El número: 783742639 por QUERICo EY
El número: 995927378 por WYLY A PERU
El número: 938424373 por ZEVICHE PE
Estos códigos funcionan cuando marcas en tu celular.
APreNDIZAjes esPerADos
Comunicación matemática
•	 Identificar	los	términos	de	una	sucesión.
•	 Determinar	 los	 elementos	 de	 la	 progresión	
aritmética.
•	 Determinar	los	valores	de	las	cifras	de	un	nú-
mero.
Razonamiento y demostración
•	 Determinar	la	fórmula	del	término	enésimo	en	
una P.A.
•	 Diferenciar	los	casos	del	uso	del	principio	de	
adición y multiplicación.
Resolución de problemas
•	 Usar	la	fórmula	del	término	enésimo.
•	 Determinar	los	términos	de	una	sucesión
•	 Determinar	 la	 cantidad	 de	 términos	 de	 una	
P.A.
•	 Usar	el	principio	de	multiplicación	de	análisis	
combinatorio.
•	 Determinar	la	cantidad	de	cifras	en	una	suce-
sión.
42
1 Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
Conteo de números
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	términos	de	una	sucesión.
•	 A	determinar	los	elementos	de	la	progresión	aritmética.
•	 A	usar	la	fórmula	del	término	enésimo.
•	 A	determinar	los	términos	de	una	sucesión.
•	 A	determinar	la	cantidad	de	términos	de	una	P.A.
El calendario gregoriano
El	año	solar,	definido	como	el	tiempo	que	tarda	la	tierra	en	dar	una	vuelta	completa	al	Sol,	(órbita	com-pleta), presenta como grave dificultad el que no sea un número de días exacto, sino que es igual a 365 días	y	fracción.	El	calendario	Juliano,	establecido	por	Julio	César,	consideraba	que	el	año	duraba	364	
días	exactos.	La	diferencia	con	el	año	real	era	ajustada	arbitrariamente	por	los	sacerdotes	paganos,	opera-
ción que se realizaba en medio de la pugna de quienes de algún modo se beneficiaban con las diferencias 
de fecha que ocasionaban estos ajustes. El papa Gregorio quiso barrer con estos desaguisados y encargó la 
creación del calendario que hoy sigue vigente y que lleva su nombre.
El calendario gregoriano se utiliza como calendario oficial mundial. Sin embargo existen en uso otros, por 
ejemplo, el calendario chino y el islámico, que rigen la vida de millones de personas..
Papa Gregorio XIII, impulsó el uso del calendario que lleva su 
nombre en todo el mundo occidental.
octubre 1582
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
Como	observas,	en	el	calendario	correspondiente	a	octubre	de	1582,	la	suma	de	las	fechas	de	los	días	de	
la penúltima semana es 147.
• ¿Cuánto	será	la	suma	de	las	fechas	de	los	días	de	la	última	semana?
• ¿Qué	relación	tiene	17	con	la	suma	de	las	fechas	de	los	domingos	de	dicho	mes?
1Conteo de números
UNIDAD 3Central: 619-8100 43
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4
5 6 7
8 9
10 11
12 13 14
16 17
18 15
Horizontales:
1. Suma de números pares menores que 8
4. Cuadrado	de	9
5. Si: 7n + n = 51, el valor de "n" es:
6. Menor número de cuatro cifras diferentes
8. Sumar 143 y 192
9. Mayor número impar menor que 52
10. Una docena
11. Cuadrado	de	3
12. Número de tres cifras cuya suma de cifras es 13.
14. Pasar de 33(5) a base diez
15. Potencia de 2
16. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 
15
17. Valor de "n", si: n3 + n = 350
18. Cuadrado	de	20,	más	una	decena
Verticales:
1. 5! + 3
2. La mayor solución de: x2 + x – 6 = 0
3. Pasar 26(7) a base diez
4. El doble del cuadrado de 20, más 33
6. Pasar 23(6) a base diez
7. Mayor número de tres cifras en base 3
10. Doce al cuadrado.
11. Mayor número de cuatro cifras diferentes
12. Cuadrado	de	21
13. Cinco	centenas
18. Cuadrado	perfecto
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe44
Conceptos básicos
Progresión aritmética
En esta secuencia de números, la diferencia de dos términos consecutivos es constante.
Ejemplos:
•	 Sea	la	progresión	aritmética:	3;	7;	11;	15;	19;	...	determine	sus	elementos
 El primer término "a1" es 3
 El segundo término "a2" es 7
 El sexto término "a6" es 23
 La razón de la P.A. es 4
•	 Determina	"a	+	b	+	c",	si	los	números:	12;	ab; 22; cb; ... forman una progresión aritmética.
 12 ; ab ; 22 ; cb	 	 	123		123		123
 +r +r +r
 Así: 12 + 2r = 22, entonces: r = 5
 Luego: ab = 12 + r = 17 y cb = 22 + r = 27
 Entonces: a = 1; b = 7 y c = 2 ⇒ a + b + c = 10.
Propiedades
 término enésimo
 En toda progresión aritmética, el lugar de cada término está relacionado con su valor.
 an = a1 + (n – 1)r
 Ejemplo:
•	 Sea	"an = 3n + 7" la relación que describe los 
términos de una progresión aritmética, hallar los 
cuatro primeros términos
	 Cuando:	n=1	⇒ a1 = 3(1) + 7 = 10
	 Cuando:	n=2	⇒ a2 = 3(2) + 7 = 13
	 Cuando:	n=3	⇒ a3 = 3(3) + 7 = 16
	 Cuando:	n=4	⇒ a4 =3(4) + 7 = 19
 La P.A. es 10; 13; 16; 19; ...
Si el primer término de 
una P.A. es "a" y la razón 
es "r", los términos son:
a; a + r; a + 2r; a + 3r; ...
 Cantidad de términos
 Se debe conocer el primer término "a1" y el último término "an", además de la razón "r".
 
n =
 
an – a1
r 
+ 1
 Ejemplo:
•	 Determina	la	cantidad	de	términos	de	la	siguiente	P.A.:	3;	9;	15;	21;	...	...;	123.
a1 = 3
an=123
r = 6
n = 123 – 3
6 
+ 1 = 21 términos
1Conteo de números
UNIDAD 3Central: 619-8100 45
Así para determinar la cantidad 
de números de la serie natural: 
7; 8; 9; 10; ...; 30
→ n = 30 – 7
1 
+ 1 =22
Síntesis teórica
 
CoNtEo DE NúMERoS I
término enésimo Progresión aritmética
Ley de formación
Sucesiones numéricas
•	 La	sucesión:	an = 2n
2 + 3
 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
 5 11 21 35 ...
•	 La	sucesión:	an = 2
n – 2
 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
 0 2 6 14 ...
Calcula	un	término:El término enésimo de:
En la P.A.: an = 5n + 7
El vigésimo término es:
a20 = 5(20) + 7 = 107
•	 La	P.A.:
12; 17; 22; 27; ...
La razón es 5
El primer término es 12
 an = 12 + 5(n – 1)
 ⇒ an = 5n + 7
•	 La	P.A.:
11; 17; 23; 29; ...
La razón es 6
El primer término es 11
 an = 11 + 6(n – 1)
 ⇒ an = 6n + 5
an = a1 + (n – 1)r
"a1" es el primer término
"r" es la razón
•	 En	la	P.A.:
 12; 17; 22; 27; ...
 La razón es 5
•	 En	la	P.A.:
 12; 18; 24; 30; ...
 La razón es 6
Término enésimo
La diferencia de dos 
términos consecutivos 
es constante
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe46
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Complete	la	progresión	aritmética:
 2; 7; 12; 17; ..........; ..........; ..........; ..........; 42
 Luego identifica:
•	 La	razón	de	la	P.A.	es:
•	 El	quinto	término	de	la	P.A.	es:
•	 La	cantidad	de	términos	de	la	P.A.	es:
2. En la siguiente progresión aritmética:
 12; 19; ab; cd; ...
 El primer término es ............, la razón es ........ 
y además el cuarto término es ......
3. Sea la progresión aritmética definida por la fór-
mula: an = 6n + 7, luego:
El "a6" es: ................. El "a8" es: .................
4. En la progresión aritmética: 3; 7; 11; 15; ...; 31
 Identifica:
r = a1 = an = 
 
Luego, reemplaza en: n = an – a1
r 
+ 1
5. Determina la cantidad de términos de la si-
guiente P.A.:
 5; 12; 19; 26; ......; 75
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
Aplicación cotidiana
Milenka compra el primer día de cada mes dos o tres de los siguientes informati-
vos, (considera que solo puede comprar el día que se publica):
"Entérate" cada 6 días y tiene un costo de S/. 2,00
"Ganador" cada 8 días y tiene un costo de S/. 2,50
También el semanario "Perú-Ganador" que se publica los domingos y tiene un 
costo de S/. 4,00.
Si el primero de este mes fue domingo; entonces:
1. Escribe los días de este mes, que compra "Perú-Ganador".
•	 ¿Cuál	es	la	razón	de	la	progresión?
2. Escribe los días de este mes, que compra "Ganador".
•	 ¿Qué	tipo	de	progresión	forman	estos	números?
•	 ¿Cuál	es	la	razón	de	la	progresión?
3. ¿Cuántos	diarios	y	qué	inversión	en	ellos	hace	en	el	mes?
Resolución de problemas
4. Hallar el trigésimo quinto término de la siguien-
te progresión aritmética: 47; 51; 55;...................
5. Determina la razón de la siguiente progresión 
aritmética: 42(6); 51(6); 100(6); ...
6. Calcula	 "m	 +	 n	 +	 p",	 si	 los	 números:	
15; mn; np; 39; ... son términos de una progre-
sión aritmética.
7. Hallar "a + b + c + d", si los números: aa; 
b3; b8; c0d; ... forman una progresión aritmé-
tica.
8. Si una progresión aritmética tiene 16 términos, 
hallar el quinto término, sabiendo que el prime-
ro es 36 y el último 81.
9. ¿Cuántos	numerales	hay	entre	120(5) y 135(7)?
1Conteo de números
UNIDAD 3Central: 619-8100 47
10. Hallar la cantidad de términos que tiene la pro-
gresión aritmética: m4; m7; ...; (m + 3)7
11. ¿Cuántos	 términos	hay	 en	 la	 siguiente	 progre-
sión	aritmética?
 33(n); 40(n); 45(n); ...; 216(n)
12. El primer y último término de una progresión 
aritmética son mm y 42m respectivamente. Si 
la razón es "m" y el número de términos es 51, 
hallar el término vigésimo octavo.
13. En la siguiente progresión aritmética creciente: 
aaa; ab4; ac1; ..., hallar el valor de "a + b + c".
14. Si se sabe que las medidas de los ángulos de 
un triángulo forman una progresión aritmética y 
que uno de ellos mide 20 grados sexagesimales, 
hallar el valor del mayor ángulo.
15. La suma del primer y cuarto término de una pro-
gresión aritmética es 15 y la suma del quinto 
con el octavo término es 39. Hallar el primer 
término aumentado en la razón.
16. Si los términos de una progresión aritmética 
son: p + q; 4p – 3q; 5q + 3p, determinar la 
relación entre "p" y "q".
¡Tú puedes!
1. Hallar el número de términos en cada sucesión:
A: 13; 16; 19; ...; 82 B: 27; 35; 43; ...; 347
C:	 231;	232;	233;	...;	1	528	 D:	 –26;	–17;	–8;	...;	3	304
E: –51; –46; –41; ...; 199
Hallar:	A	+	B	+	C	+	D	+	E
a) 1 785 b) 1 761 c) 1 782 d) 1 733 e) 1 735
2. En una progresión aritmética, la razón es el doble del primer término y el número de términos es el 
triple del primer término. Si el último excede al primero en 82 veces el primer término, encontrar el 
valor de la razón.
a) 7 b) 14 c) 28 d) 21 e) 42
3. Calcular	el	número	de	términos	de	la	siguiente	progresión	aritmética:
 3; …...; 23; ……; 59	 	 123	 	 123
 "n" términos "2n" términos
a) 12 b) 15 c) 18 d) 17 e) 16
4. Hallar "a + n + b", si la siguiente progresión aritmética tiene 28 términos.
 aa(n); a(a + 1)(n); a(a + 2)(n); b0(n); ... ; 100(n)
a) 13 b) 27 c) 24 d) 29 e) 31
5. Si los siguientes números forman una progresión aritmética: 54(n); 70(n); 88(n); …; 386(n), calcular el 
lugar que ocupa el término de la progresión que tiene la forma: kkk en base 10.
a) 16 b) 28 c) 35 d) 20 e) 24
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe48
1. En una P.A de 48 términos, el primer término es 
14 y el último 296. El término décimo cuarto es:
2. El tercer y noveno término de una progresión 
aritmética	es	respectivamente	6	y	30.	Calcula	el	
quinto término de ella.
3. En la siguiente progresión aritmética:
 23n; 30n; 34n; ...;155n
 la cantidad de términos, es:
4. En una progresión aritmética, el tercer término 
es 3 y el séptimo término es 35, ¿cuál es la ra-
zón	de	la	progresión?
5. La suma de los tres primeros términos de una 
progresión aritmética es 21 y el producto del 
primer y segundo término es 35. Determina la 
razón de dicha progresión.
6. La suma de los tres primeros términos de una 
progresión aritmética es 18 y el producto entre 
el primer y tercer término es 20. Determina el 
primer término de dicha progresión.
7. Hallar la suma de los términos vigésimo cuarto 
y cuadragésimo segundo de la siguiente progre-
sión aritmética: 81; 85; 89; ...
8. En la siguiente progresión aritmética:
 3a; 39; b3; ...; ab3
 la cantidad de términos es:
9. Hallar el número de términos de la siguiente pro-
gresión aritmética:
 2n+3; 2n+6; 3n+2; ...; 137
10. Si en la siguiente progresión aritmética se tiene: 
mm términos, hallar el valor de "m".
 mm; mm + m; mm + 2m; ...; 456
11. Calcula	"n"	para	que	los	números:
 10(n); 100(n); 150(n);………..
 formen una progresión aritmética
12. La cantidad de números de tres cifras, que son 
múltiplos de 5, en la base 10, es:
13. Hallar "a", en la siguiente progresión aritmética 
que tiene 37 términos: 10a; 116; ...; a01
14. En una progresión aritmética de cinco términos, 
el	primer	término	es	3	y	su	razón	es	7.	Calcular	
el valor del quinto término.
15. Calcular	la	razón	de	una	progresión	aritmética	
de 51 términos, si el último término excede al 
primero en 350.
Practica en casa
18:10:45
2método combinatorio
UNIDAD 3Central: 619-8100 49
método combinatorio
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	determinar	los	valores	de	las	cifras	de	un	número.
•	 A	diferenciar	los	casos	del	uso	del	principio	de	adición	y	multiplicación.
•	 A	usar	el	principio	de	multiplicación	de	análisis	combinatorio.
Las	letras	que	no	se	utilizarán	son	Ch,	Ll	y	la	Ñ,	además	que	se	podrán	hacer	de	tres	colores.
• 	 ¿Cuántas	placas	diferentes	se	podrán	obtener?
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe50
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 4 5 6
7 8
9 10 11
12 13
14 15 16 17 18
19 20 21 22
23 24
Horizontales:
1. Le falta 27 para media centena
4. 9 manos
6. Número par primo
7. Menor número par de cuatro cifras diferentes
8. Media centena
9. Cifra	no	significativa
10. Menor número de cuatro cifras significativas di-
ferentes
12. Número no primo, no compuesto
14. La mitad de 9 centenas
16. Cuarta	potencia	de	5
19. Una mano
20. El doble de 144
22. Máximo número en un dado
23. Número capicúa de tres cifras
24. Le falta 23 para ser 40
Verticales:
1. Tres grupos de 7
2. Tres centenas
4. Cuadrado	de	21
5. Media decena
6. Menor número de tres cifras pares diferentes
8. Pasar 203(5) a base diez
11. Menor número de cuatro cifras significativas pa-
res diferentes
12. 5 + 5 × 28
13. Menor número de cuatro cifras diferentes
15. Media decena
17. Número par primo
18. 7 × 34
21. Número capicúa de dos cifras
23. Dos al cubo
2método combinatorio
UNIDAD 3Central: 619-8100 51
Conceptos básicos
Método combinatorio
Es una teoría muy amplia que permite contar los diferentes casos o formas que se presentan en una activi-
dad, en Aritmética usaremos los principios fundamentales de este método.
Principios fundamentales
 De adición
	 Cuando	se	debe	escoger	entre	dos	actividades,	la	cantidad	de	formas	es	la	suma	de	cada	una	de	ellas.
A: "m" formas B: "n" formas
A o B (escoger una de ellas)
"m + n"
 Ejemplo:
•	 Carlos	tiene:
 Zapatillas: 4 pares diferentes
 Zapatos: 3 pares diferentes
 Sandalias: 2 pares diferentes
	 ¿De	cuántas	formas	diferentes	puede	escoger	un	par	de	calzados?
"A" o "B" 
implica 
escoger uno 
de ellos.
	 Como	vemos	no	puede	escoger	un	zapato	con	una	zapatilla,	entonces	escogerá:	Zapatilla	o	
zapato o sandalias:4 + 3 + 2 = 9 casos diferentes
 De multiplicación
	 Cuando	se	deben	escoger	dos	actividades,	la	cantidad	de	formas	es	
el producto de cada una de ellas.
A: "m" formas B: "n" formas
A y B (escoger ambas)
"m . n"
"A" y "B" 
implica que se 
escogerá ambos
Ejemplo:
•	 Milenka,	alumna	del	colegio	debe	exponer	y	para	ello	se	puede	vestir	con:
 Pantalón: azul, negro, blanco
 Blusa: rosada, blanca, amarilla, verde
	 ¿De	cuántas	formas	diferentes	puede	vestirse	para	la	exposición?
 Debe escoger un pantalón (3 casos) y una blusa (4 casos), ambos entonces:
 Pantalón y blusa: 3 × 4 = 12 combinaciones
Aplicación en Aritmética
Utilizaremos estos principios para determinar la cantidad de números, cuyas cifras tienen características 
especiales.
Ejemplo:
•	 ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	empiezan	en	cifra	par	y	terminan	en	cifra	impar?
 Sean los números abc donde:
•	 "a"	es	par	(2;	4;	6;	8)
•	 "c"	es	impar	(1;	3;	5;	7;	9)
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe52
•	 "b"	no	tiene	restricción	(0;	1;	2;	3;	4;	5;	6;	7;	8;	9)
 Y como es necesario las tres cifras para formar el número (principio de multiplicación)
a b c
Tiene 4 valores Tiene 10 valores Tiene 5 valores
 La cantidad de números es: 4 × 10 × 5 = 200
Síntesis teórica
CoNtEo DE NúMERoS II
Método combinatorio
Son abc
a = 1; 2; 3; ...; 9 → 9 valores
b = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores
c = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores
Son: 9×10×10 = 900 números
¿Cuántos	números:	
(2a)a(4b)(c + 1)c	existen?
¿Cuántos	números	capicúas	de	
cuatro	cifras	existen?
¿Cuántos	números	tienen	
tres cifras
Son (2a)a(4b)(c + 1)c
a = 1; 2; 3; 4 → 4 valores
b = 0; 1; 2 → 3 valores
c = 0; 1; 2; ...; 8 → 9 valores
Son: 4×3×9 = 108 números
Son abba
a = 1; 2; 3; ...; 9 → 9 valores
b = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores
Son: 9 × 10 = 90 números
Principio de adición
Sean "A" y "B" dos 
actividades independientes
A	o	B	<>	A	+	B
Con	4	pares	de	zapatillas	 y	3	pares	de	
zapatos, ¿de cuántas formas puedo esco-
ger	ambos?
Se escogerá: zapato o zapatilla
3 + 4 = 7
Principio de multiplicación
Con	4	pantalones	y	3	blusas,	¿de	cuántas	
formas	puedo	vestirme?
Se escogerá: pantalón y blusa
4 × 3 = 12 formas
Sean "A" y "B" dos 
actividades independientes
A	y	B	<>	A	×	B
2método combinatorio
UNIDAD 3Central: 619-8100 53
1. Si los valores de "a" son 2; 3 y 4, entonces los 
valores del número a3(a + 2) será:
•	 Con:	a	=	2	→ ………………………….
•	 Con:	a	=	3	→ ………………………….
•	 Con:	a	=	4	→ ………………………….
2. Determina el número a3
a
2
2
 
cuando:
•	 a	=	2	→ ………………………….
•	 a	=	4	→ ………………………….
•	 a	=	6	→ ………………………….
3. ¿Cuántos	 números	 de	 la	 forma:	 ab
b
3
(3a)
 
existen?
4. Sean los números de la forma: (a + 1)b(2a)(4b)
•	 Cuando	"a"	es	4	y	"b"	es	1	el	número	que	se	
forma es:
•	 Cuando	"a"	es	3	y	"b"	es	0	el	número	que	se	
forma es:
5. Sea el número: ab(2a)(4b), para estar correcta-
mente escrito los valores:
•	 De	"a"	son:.....................
•	 De	"b"	son:......................
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
Resolución de problemas
4. ¿Cuántos	números	impares	de	tres	cifras	existen	
en	el	sistema	decimal?
5. ¿Cuántos	números	de	cuatro	cifras	pares	existen	
en	el	sistema	decimal?
6. ¿Cuántos	números	pares	de	tres	cifras	en	el	sis-
tema	decimal,	no	utilizan	al	2	en	su	escritura?
Aprende más
Aplicación cotidiana
A continuación se tiene un croquis de las avenidas principales de una ciudad
AV.	AREQUIPA
AV.	CAMINoS	DEL	INCA
A
V
.	A
V
IA
C
Ió
N
A
V
.	S
U
C
R
E
A
V
.	B
R
A
SI
L
C
A
LL
E	
Po
R
TA
PASAJE	oLAyA
AV. BENAVIDES
AV.	LARCo
CASA
•	 ¿De	cuántas	formas	se	puede	llegar	de	la	casa	a	la	iglesia	usando	el	camino	más	corto	(sin	salir	del	
croquis)?,	si:
1. Se utiliza solo dos avenidas
2. Solo se desplaza por las avenidas
3. Debemos ir a la iglesia utilizando solo tres avenidas
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe54
7. ¿Cuántos	 números	 de	 la	 forma:	 a(2b)b
a
2
c 
existen?
8. Calcular	cuántos	números	de	tres	cifras	en	el	sis-
tema decimal solo utilizan un 3 en su escritura.
9. Hallar cuántos números de tres cifras en el siste-
ma decimal tienen dos cifras iguales.
10. Hallar cuántos números de tres cifras tienen por 
producto de cifras un número par, en el sistema 
decimal.
11. Hallar cuántos números de tres cifras tienen por 
producto de cifras cero, en el sistema decimal.
12. Hallar cuántos números de cuatro cifras tienen 
por lo menos una cifra par, pero no todas sus 
cifras pares, en el sistema decimal.
13. ¿Cuántos	números	de	cuatro	cifras	tienen	como	
suma de dígitos un número menor o igual a 33 
en	base	10?
14. ¿Cuántos	 números	 de	 cuatro	 cifras	 diferentes	
existen	en	base	7?
15. ¿Cuántos	números	de	cinco	cifras	de	base	7	co-
mienzan	en	5	y	terminan	en	3?
16. ¿Cuántos	números	de	quince	cifras	tienen	como	
producto	de	cifras	15?
¡Tú puedes!
1. ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	distintas	se	pueden	formar	con	los	nueve	dígitos	no	nulos	del	sistema	
decimal?
a) 500 b) 450 c) 720 d) 729 e) 504
2. ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	en	base	10	se	podrían	formar,	si	los	dígitos	son	no	nulos	y	pueden	
repetirse?
a) 500 b) 450 c) 720 d) 729 e) 504
3. ¿Cuántos	números	de	la	forma	abba	en	base	16,	son	tales	que	la	suma	de	sus	cifras	es	46?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
4. ¿En qué sistema de numeración existen 56 números de la forma: aba?
a) base 6 b) base 7 c) base 8 d) base 9 e) base 11
5. ¿En qué sistema de numeración hay 180 números de la forma: a(a – 2)b(2b – 1)c c
3
?
a) base 6 b) base 8 c) base 9 d) base 11 e) base 12
1. ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	del	sistema	de-
cimal, comienzan en cifra par y terminan en ci-
fra	impar?
2. ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	significativas	se	
pueden	escribir	en	el	sistema	decimal?
3. ¿Cuántos	 números	 de	 tres	 cifras	 diferentes	 en	
base 10, se pueden escribir utilizando solo las 
cifras	2;	3;	4;	5	y	6?
4. ¿Cuántos	 números	 de	 tres	 cifras	 existen	 en	 el	
sistema decimal, tal que el producto de sus ci-
fras	sea	un	número	impar?
Practica en casa
18:10:45
2método combinatorio
UNIDAD 3Central: 619-8100 55
5. ¿Cuántos	números	de	cuatro	cifras	en	el	sistema	
decimal, poseen por lo menos tres cifras 5 en 
su	escritura?
6. ¿Cuántos	números	de	cuatro	cifras,	todas	distin-
tas	entre	sí,	existen	en	el	sistema	heptal?
7. ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	del	sistema	de-
cimal tienen por lo menos una cifra par y una 
cifra	impar?
8. ¿Cuántos	 de	 los	 números	 de	 cinco	 cifras	 en	
el sistema heptal tienen la cifra central impar, 
además terminan en 2 o 5, la cifra de segundo 
orden no sea impar y las otras cifras sean signi-
ficativas?
9. ¿Cuántos	números	de	cuatro	cifras	en	el	sistema	
decimal	comienzan	en	7?
10. En el sistema de base 6, ¿cuántos números de 
cinco cifras comienzan en cifra impar, teniendo 
sus	demás	cifras	pares?
11. ¿Cuántos	números	de	cuatro	cifras,	todas	impa-
res y distintas entre sí, existen en el sistema de 
numeración	undecimal?
12. ¿Cuántos	 números	 capicúas	 están	 comprendi-
dos	entre	200	y	650?
13. ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	del	sistema	de	
numeración octal, utilizan la cifra 2 en su escri-
tura?
14. ¿Cuántos	 números	 naturales	 de	 tres	 cifras	 del	
sistema decimal existen, que no utilizan la cifra 
2	ni	la	cifra	3	en	su	escritura?
15. ¿Cuántos	números	de	cinco	cifras	de	base	7,	co-
mienzan	en	4	y	terminan	en	6?
56
3 Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
Conteo de cifras
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	determinar	los	valores	de	las	cifras	de	un	número.
•	 A	determinar	la	fórmula	del	término	enésimo	en	una	P.A.
•	 A	diferenciar	los	casos	del	usodel	principio	de	adición	y	multiplicación
•	 A	usar	el	principio	de	multiplicación	de	análisis	combinatorio.
Un monumento para hablar de Gauss
En la universidad de Gotinga hay un monumento dedicado a Gauss...Vamos a dedicar un rato a conocer a uno de los mayores genios de la historia de las matemáticas: Gauss.
Siendo	niño	calculó	una	suma	de	una	forma	ingeniosa.	Explica	el	episodio	y	su	relación	con	la	fórmula	de	
la suma de los términos de una progresión aritmética.
También es el autor de una forma de construir, con regla y compás, un polígono regular de 17 lados. Su-
poniendo que el lado de ese polígono es conocido, encuentra una fórmula para hallar su área en función 
(exclusivamente) de la longitud conocida del lado.
Los	números	complejos,	¿qué	clase	de	números	son?	Explica	alguna	aportación	de	Gauss	al	conocimiento	
de	estos	números.	Como	puedes	imaginar,	Gauss	conoció	a	mucha	gente	a	lo	largo	de	su	vida...
Elabora una biografía suya
De entre la gente que no conocía en persona y con la que mantenía correspondencia, había alguien que le 
enviaba	las	cartas	firmadas	con	un	seudónimo.	¿Quién	era?	¿Por	qué	no	mostraba	su	verdadera	identidad?	
¿Cómo	lo	supo	Gauss?	Recoge	los	principales	datos	biográficos	de	este	personaje	escondido.
3Conteo de cifras
UNIDAD 3Central: 619-8100 57
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5 6
7 8 9
10 11 12 13
14 15 16
17 18
19 20
21 22
Horizontales:
1. Cuadrado	de	11
4. Potencia de 2 de cuatro cifras
7. Mayor número de cinco cifras diferentes
9. Decena y media
10. Número capicúa de cuatro cifras
12. Número de tres cifras consecutivas
14. Nueve centenas
15. Número de cuatro cifras consecutivas decre-
cientes
17. Múltiplo de 256 de cuatro cifras
18. Menor capicúa de dos cifras
19. Cuatro	docenas
20. Número capicúa de cinco cifras
21. Cuarta	potencia	de	5
22. Cuadrado	de	11
Verticales:
2. El número que sigue en: 16; 20; 24; ....
3. Capicúa	de	tres	cifras
4. Cuadrado	de	13
5. Cubo	de	6
6. Suma desde el 1 hasta 9
7. Mayor número de tres cifras
8. La suma del 1 al 10
11. Menor número de tres cifras
13. Capicúa	de	cuatro	cifras	cuya	suma	de	cifras	es	
16
15. Número capicúa de cuatro cifras
16. Cubo	de	7
17. Menor número de tres cifras pares significativas
18. Múltiplo de 91 de tres cifras
20. Cinco	quincenas
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe58
Conceptos básicos
Progresión aritmética
En esta secuencia de números la diferencia de dos términos consecutivos es constante.
 término enésimo
 En toda progresión aritmética, el lugar de cada término está relacionado con su valor.
 an = a1 + (n – 1)r
 Cantidad de términos
Se debe conocer el primer término "a1" y el último 
término "an", además de la razón "r".
 
n =
 
an – a1
r 
+ 1
Si el primer término de una 
P.A. es "a" y la razón es "r", 
los términos son:
a; a + r; a + 2r; a + 3r; ...
Principios fundamentales
 De adición
	 Cuando	se	debe	escoger	entre	dos	actividades,	la	cantidad	de	formas	es	la	suma	de	cada	una	de	ellas.
A: "m" formas B: "n" formas
A o B (escoger una de ellas)
"m + n"
 De multiplicación
	 Cuando	se	deben	escoger	dos	actividades,	la	cantidad	de	formas	es	el	producto	de	cada	una	de	ellas.
A: "m" formas B: "n" formas
A y B (escoger ambas)
"m . n"
Cantidad de cifras
Cuando	se	escribe	una	secuencia	se	utiliza	cierta	cantidad	de	cifras,	para	determinar	esa	cantidad	se	debe	
conocer la cantidad de cifras de cada término.
 Ejemplo:
•	 Determina	la	cantidad	de	cifras	que	se	requieren	para	escribir	los	números	de	la	sucesión:
 2; 4; ...; 124; 126; 128
 Agrupemos los números por la cantidad de sus cifras
2; ..................; 8; 10; .....................; 98; 100; .................; 128
1442443 144424443 144424443
8 – 2
2
 + 1 = 4 #S
98 – 10
2
 + 1 = 45 #s 128 – 100
2
 + 1 = 15 #S
 La cantidad de cifras es: 4(1) + 45(2) + 15(3) = 139 cifras
En la 
numeración 
de libros, a las 
cifras también se 
les llama tipos 
de imprenta.
3Conteo de cifras
UNIDAD 3Central: 619-8100 59
NOTA:
Para determinar la cantidad de cifras de la sucesión: 
1; 2; 3; 4; ...; N
Siendo el último número "N" de "k" cifras
k(N + 1) – 111 ...
123
"k" cifras
Esta fórmula se 
aplica solo cuando 
la serie empieza en 
1 y la razón es 1.
Síntesis teórica
CoMPLEMENto DE CoNtEo DE NúMERoS
Principios fundamentales Cantidad de cifrasProgresión aritmética
1; 3; 5; 7; ... ; 149
1; ..................; 9; 11; .....................; 99; 101; .................; 149
1442443 144424443 144424443
9 – 1
2
 + 1 = 5 #S
99 – 11
2
 + 1 = 45 #s 149 – 101
2
 + 1 = 25 #S
Cantidad	de	cifras:
5(1) + 45(2) + 25(3) = 170 cifras
Nota:	Cantidad	de	cifras
K(N + 1) – 11 ... 111 14243
"K" cifras
Sean "A" y "B" 
dos actividades 
independientes:
A	o	B	<>	A	+	B
Sean "A" y "B" 
dos actividades 
independientes:
A	y	B	<>	A	.	B
Término enésimo Cantidad	de	términos De adición De multiplicación
¿Cuántas	cifras	
hay en la siguiente 
sucesión?
an = a1 + (n – 1)r n = 
an – a1
r
 + 1
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe60
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Complete	la	progresión	aritmética:
 3; 7; 11; .... ; 35
 Luego, la cantidad de números de dos cifras es:
2. ¿Cuántos	números	de	la	forma:	 (a + 2)(2a) b
3
b 
existen?
•	 Valores	de	"a":
•	 Valores	de	"b":
3. ¿Cuántos	números	de	la	forma:	abba(5)	existen?
•	 Valores	de	"a":
•	 Valores	de	"b":
4. Si escribimos: 001; 003; 005; ...; 017.
 Entonces:
•	 La	cantidad	de	números	escritos	es:
•	 La	cantidad	de	ceros	que	se	utilizan	es:
5. De la sucesión: 1; 2; 3; 4; ... ...; 999
•	 La	cantidad	de	números	de	una	cifra	es:
•	 La	cantidad	de	números	de	dos	cifras	es:
•	 La	cantidad	de	números	de	tres	cifras	es:
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Para escribir los números: 12; 15; 18; ...; 99, 
¿cuántas	cifras	se	requieren?
2. ¿Cuántas	cifras	 se	 requieren	al	escribir	 los	nú-
meros:	2;	6;	10;	14;	...;	50?
3. Para escribir: 001; 002; 003; ... ; 099, ¿cuántos 
ceros	inútiles	se	escribieron?
4. En la siguiente progresión aritmética: 
47; 51; 55; ... ¿cuántas cifras se usarán en los 
números	de	dos	cifras?
5. ¿Cuántas	 cifras	 se	necesitarán	para	escribir	 las	
páginas	impares	de	un	libro	de	428	páginas?
6. En la numeración de las últimas 30 páginas de 
un	libro	se	han	empleado	107	cifras.	¿Cuántas	
páginas	tiene	el	libro?
7. Para numerar un libro de 2ab páginas se han 
empleado 6ab	cifras.	¿Cuántas	cifras	se	emplea-
rán al numerar un libro de bab	páginas?
8. En la numeración de las últimas 40 páginas de 
un	libro	se	han	empleado	147	cifras.	¿Cuántas	
páginas	tiene	el	libro?
9. En la numeración de las 5ab páginas de un libro 
se usan 15ab cifras. El valor de "a + b" es :
10. La cantidad de cifras que se emplearon al escri-
bir la secuencia : 45 ; 46 ; 47 ; 48; ...; 218, es:
11. Si al numerar un libro se han empleado 1 830 
cifras, entonces, la cantidad de páginas que ter-
minan en la cifra 8, es:
12. La cantidad de cifras 5 que se usan al escribir 
todos los números naturales desde el 80 hasta 
800, es:
13. ¿Cuántos	números	de	la	forma:	
(a + 2)b a
2
(b + 1)
13 
existen?
14. ¿Cuántos	números	de	la	forma:	(a + 2)(2a) b
3
b(8) 
existen?
15. Hallar cuántos numerales de la forma:
(a – 2)(5 – b) a + 1
3
(b + 6)(2c – 5)
15 
existen.
3Conteo de cifras
UNIDAD 3Central: 619-8100 61
¡Tú puedes!
1. ¿En qué sistema de numeración existen 175 números de la forma: 2(a + 1)(a – 1)b(4 – b)2c?
a) base 6 b) base 7 c) base 8 d) base 9 e) base 10
2. ¿Cuántos	números	de	la	forma:
 
(n + 5) n
2
m
3
m 2p
7
p
 
existen	en	base	15?
a) 75b) 150 c) 775 d) 1 125 e) 2 250
3. Un libro tiene entre 1 000 y 2 000 páginas y se han utilizado 81 tipos para numerar las 25 últimas páginas 
impares. Si la última página está numerada con número par, hallar la suma de las cifras de este número.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 12
4. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que 
se	han	utilizado	en	su	enumeración,	ha	disminuido	en	361.	¿Cuántos	tipos	de	imprenta	se	han	utiliza-
do	en	la	enumeración	de	las	hojas	que	quedaron?
a) 1 444 b) 1 872 c) 2 772 d) 4 800 e) 5 400
5. ¿En qué sistema de numeración existen 55 numerales de tres cifras, cuya cifra central es la suma de 
sus	cifras	extremas?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 10
Practica en casa
18:10:45
1. La cantidad de cifras que se usan al escribir los 
724 primeros enteros positivos, es:
2. Para escribir los números: 6; 9; 12; 15; 
18;	...;	99,	¿cuántas	cifras	se	requieren?
3. Para escribir los números capicúas de cuatro ci-
fras	en	base	10,	¿cuántas	cifras	se	utilizarán?
4. ¿Cuántas	cifras	 se	 requieren	al	escribir	 los	nú-
meros:	5;	10;	15;	...;	70?
5. ¿Cuántas	cifras	se	requieren	para	escribir	los	nú-
meros	de	cuatro	cifras,	las	cuatro	impares?
6. De los números que están comprendidos entre 
200 y 500, ¿cuántas cifras se usarán en los nú-
meros	impares?
7. ¿Cuántos	números	de	la	forma:	(a – 2)(2a)(4b)b(9) 
existen?
8. ¿Cuántos	 números	 de	 la	 forma:	 a(2a) b
3
cb (7)
 
existen?
9. ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	diferentes	exis-
ten	en	el	sistema	quinario?
10. De los números capicúas de tres cifras en base 
10, ¿cuántos hay tal que la suma de sus cifras 
es	par?
11. De los números de tres cifras, las tres cifras im-
pares, ¿cuántas cifras se utilizan tales que sean 
diferentes?
12. De los números comprendidos entre 300 y 700, 
¿cuántas	cifras	se	utilizan?
13. Al escribir la secuencia: 1; 2; 3; ...; N, se han 
utilizado 963 cifras; entonces, el valor de "N", 
es:
14. Si al numerar las páginas de un libro se han em-
pleado 1 476 cifras, entonces la cantidad de pá-
ginas que tiene el libro, es:
15. La cantidad de cifras que se emplearon al nume-
rar un libro de 428 páginas, es:
62
4 Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
1. Dado el conjunto:
 A = {3 ; {2} ; {1 ; 2}}
	 Coloque	el	valor	de	verdad	en	cada	caso:
I. 2 ∈ A II. {1} ⊂ A III. {3} ⊂ A
IV. {1; 2} ∈ A V. {2} ⊂ A VI. f ∈ A
2. De los conjuntos "A" y B", se sabe que:
 n(A) = 30; n(B) = 18 y n(A ∪ B) = 40
 hallar: n(A ∩ B).
3. Si se sabe que:
 n(A ∪ B) = 70; n(A – B) = 18 y n(A) = 41
 hallar el valor de: n(A D B).
4. La suma de las cifras de un número de dos cifras 
es 11 y si al número se le suma 27, las cifras del 
número se invierten. Hallar el producto de las 
cifras del número.
5. La diferencia de las cifras de un número ab es 3. 
Si a este número se le agrega el doble del mis-
mo pero con las cifras invertidas, resulta 102. 
Hallar "a + b"
6. Si a un número de tres cifras que empieza en 9, 
se le suprime esta cifra, el número resultante es 
1/21 del número original. La suma de las cifras 
de dicho número es:
7. Hallar el término de lugar 38 en la siguiente 
progresión aritmética: 17; 23; 29; ….
8. Una	persona	nació	en	el	año	19aa	y	en	el	año	
19bb	 cumplió	 "a	+	 2b"	 años.	 ¿Cuántos	 años	
cumplió	en	el	año	1990,	si	además	se	sabe	que	
nació	en	la	segunda	mitad	del	siglo	pasado?
9. Se dispone de 5 frascos de témperas de diferen-
tes colores, los cuales se combinarán para obte-
ner colores distintos a los que se tiene original-
mente.	¿Cuántos	nuevos	colores	se	obtendrán?
10. Entre	dos	secciones	de	4to	año	del	Colegio	Tril-
ce hay 65 alumnos entre hombres y mujeres. 
Se realizó una encuesta sobre la preferencia de 
programas de televisión, obteniéndose los si-
guientes resultados:
•	 A	17	hombres	les	gusta	"Los	Caballeros	del	
Zodiaco".
•	 A	16	hombres	les	gusta	"Candy".
•	 A	15	hombres	y	18	mujeres	no	les	gusta	nin-
guno de los dos programas.
•	 A	15	personas	les	gusta	los	dos	programas.
•	 A	10	personas	solo	les	gusta	"Los	Caballeros	
del Zodiaco".
•	 Hay	36	hombres	en	el	salón.
 Averiguar a cuántas mujeres les agrada solo 
"Candy".
11. ¿Cuál	es	el	menor	número	capicúa	del	sistema	
de base 12 que se escribe con cinco cifras en el 
sistema	de	base	5?	Dar	como	respuesta	la	suma	
de cifras del número expresado en base 10.
12. ¿Cuántos	 números	 se	 escriben	 con	 tres	 cifras	
tanto	en	base	6	como	en	base	9?
13. Hallar el término quincuagésimo en la siguiente 
progresión aritmética: 123n; 128n; 132n; ...
14. ¿Cuántos	números	de	cuatro	cifras	mayores	que	
3 000 se pueden formar con las cifras: 0; 1; 3; 
4;	5;	7;	8	y	9?
15. ¿Cuántos	números	de	la	forma:	
a(b + 2)(a – 1) b
2
c
 
existen en el sistema de 
numeración	nonario?
repaso
Aprende más
4repaso
UNIDAD 3Central: 619-8100 63
¡Tú puedes!
1. ¿Cuántas	cifras	tiene: 111 ... 1123
40 cifras
(4)cuando	se	representa	en	el	sistema	octal?
a) 21 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31
2. ¿Cuántos	números	existen	de	la	forma:
 
(2a) b
3
(c + 1)(7)?
a) 343 b) 252 c) 294 d) 280 e) 210
3. ¿Cuántos	números	de	tres	cifras	en	el	sistema	heptal,	son	impares	y	terminan	en	2?
a) 42 b) 21 c) 49 d) 20 e) 40
4. ¿En	cuántos	números	de	cuatro	cifras,	el	producto	de	sus	cifras	es	par?
a) 7 200 b) 8 375 c) 7 500 d) 500 e) 625
5. En un autobús internacional viajan 32 pasajeros entre peruanos y extranjeros, de ellos 9 son mujeres 
y	extranjeras,	6	niños	extranjeros,	8	extranjeros	de	sexo	masculino,	10	niños,	4	niñas	extranjeras,	8	
señoras	y	7	señores.	¿Cuántas	niñas	peruanas	hay	en	el	autobús?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1. Dado el conjunto:
 A = { x + 1 / x ∈ ; 4 < 2x+1 < 14}
 Indicar los enunciados verdaderos:
I. La suma de sus elementos es 25.
II. Tiene 31 subconjuntos propios.
III. Su mayor elemento es 6.
2. Si:	n[P(A)]	=	128	y	n[P(B)] = 32
	 ¿cuál	de	los	enunciados	nunca	se	cumple?
I. A ∪ B tiene 12 elementos
II. A ∩ B tiene 6 elementos
III. A – B tiene 4 elementos
3. Si: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 8; 10}
 A ∩ B = {3; 5; 8}
 hallar: n(A D B)
4. Sean	"A",	"B"	y	"C"	tres	conjuntos,	la	intersec-
ción de los tres tiene 5 elementos y la unión de 
los tres tiene 50 elementos. Si la unión de "A" 
y "B" tiene 35 elementos y se sabe que cada 
intersección de dos de ellos tiene 10 elementos, 
¿cuántos	elementos	tiene	el	conjunto	"C"?
5. Se dieron tres exámenes para aprobar un curso y 
se observó lo siguiente: que el número de los que 
aprobaron los tres exámenes es igual al número 
de los que desaprobaron los tres exámenes e igual 
a 1/3 de los que aprobaron solo dos exámenes e 
igual a 1/5 de los que solo aprobaron un examen. 
¿Qué porcentaje del total de los alumnos aproba-
ron el curso, si para aprobarlo es necesario que 
aprueben	por	lo	menos	dos	exámenes?
6. Dado: ab(c+3) = cab , además: a + b + c = 19, 
donde "b" y "c" son números pares, hallar 
"a . b . c".
7. Se tiene que: abcd(m+2) = (15/m)(6/m)(9/m)(7)
 hallar "a + b + c + d".
8. Hallar "a + b + m + n", si:
a06(m)= b302(n) y a11(m) = b305(n)
9. ¿Cuántos	tipos	de	imprenta	se	usan	en	la	nume-
ración de un libro de 111 ... 11014243
"n" cifras 
páginas?
Practica en casa
18:10:45
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe64
10. ¿Cuántos	 términos	hay	 en	 la	 siguiente	 progre-
sión aritmética:
 4a ; 49; b4; ... ; 6(a/2)(2b – 1)?
11. Señalar	 cuántos	 términos	 tiene	 la	 siguiente	
P.A.:
78 ; ab; ac; ... ; abc
 sabiendo además que: a + b + c = 19.
12. Calcular	"a	+	b	+	n",	en	la	siguiente	P.A.:
 a3(n); a5(n); (a + 1)1(n); 4b(n); ...
13. ¿Cuántos	 números	 de	 cuatro	 cifras	 de	 la	 base	
quince	terminan	en	2;	4	ó	6?
14. ¿Cuántos	números	de	cuatro	cifras	(sin	conside-
rar	el	cero)	tienen	sus	cuatro	cifras	consecutivas?15. ¿Cuál	es	la	base	del	sistema	de	numeración	en	
el cual existen 20 números de tres cifras conse-
cutivas	crecientes?