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UNIDAD 3 Conteo de números ¿Es difícil recordar un número telefónico? La siguiente información es oficial del Ministerio de Transportes y Comunicaciones, que informa al público en general que a partir del sábado 5 de abril del 2008, se incrementa el número de dígitos de la numeración móvil, conforme al siguiente detalle:Para el departamento de Lima y provincia constitucional del Callao: 9 9 X X X X X X X Número telefónico móvil Algunas compañías de publicidad han descubierto que a muchas personas les resulta difícil recordar un largo número telefónico, así que han convertido los números en letras, para formar una palabra fácil de recordar. Así por ejemplo: El número: 783742639 por QUERICo EY El número: 995927378 por WYLY A PERU El número: 938424373 por ZEVICHE PE Estos códigos funcionan cuando marcas en tu celular. APreNDIZAjes esPerADos Comunicación matemática • Identificar los términos de una sucesión. • Determinar los elementos de la progresión aritmética. • Determinar los valores de las cifras de un nú- mero. Razonamiento y demostración • Determinar la fórmula del término enésimo en una P.A. • Diferenciar los casos del uso del principio de adición y multiplicación. Resolución de problemas • Usar la fórmula del término enésimo. • Determinar los términos de una sucesión • Determinar la cantidad de términos de una P.A. • Usar el principio de multiplicación de análisis combinatorio. • Determinar la cantidad de cifras en una suce- sión. 42 1 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Conteo de números En este capítulo aprenderemos: • A identificar los términos de una sucesión. • A determinar los elementos de la progresión aritmética. • A usar la fórmula del término enésimo. • A determinar los términos de una sucesión. • A determinar la cantidad de términos de una P.A. El calendario gregoriano El año solar, definido como el tiempo que tarda la tierra en dar una vuelta completa al Sol, (órbita com-pleta), presenta como grave dificultad el que no sea un número de días exacto, sino que es igual a 365 días y fracción. El calendario Juliano, establecido por Julio César, consideraba que el año duraba 364 días exactos. La diferencia con el año real era ajustada arbitrariamente por los sacerdotes paganos, opera- ción que se realizaba en medio de la pugna de quienes de algún modo se beneficiaban con las diferencias de fecha que ocasionaban estos ajustes. El papa Gregorio quiso barrer con estos desaguisados y encargó la creación del calendario que hoy sigue vigente y que lleva su nombre. El calendario gregoriano se utiliza como calendario oficial mundial. Sin embargo existen en uso otros, por ejemplo, el calendario chino y el islámico, que rigen la vida de millones de personas.. Papa Gregorio XIII, impulsó el uso del calendario que lleva su nombre en todo el mundo occidental. octubre 1582 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Como observas, en el calendario correspondiente a octubre de 1582, la suma de las fechas de los días de la penúltima semana es 147. • ¿Cuánto será la suma de las fechas de los días de la última semana? • ¿Qué relación tiene 17 con la suma de las fechas de los domingos de dicho mes? 1Conteo de números UNIDAD 3Central: 619-8100 43 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 Horizontales: 1. Suma de números pares menores que 8 4. Cuadrado de 9 5. Si: 7n + n = 51, el valor de "n" es: 6. Menor número de cuatro cifras diferentes 8. Sumar 143 y 192 9. Mayor número impar menor que 52 10. Una docena 11. Cuadrado de 3 12. Número de tres cifras cuya suma de cifras es 13. 14. Pasar de 33(5) a base diez 15. Potencia de 2 16. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 15 17. Valor de "n", si: n3 + n = 350 18. Cuadrado de 20, más una decena Verticales: 1. 5! + 3 2. La mayor solución de: x2 + x – 6 = 0 3. Pasar 26(7) a base diez 4. El doble del cuadrado de 20, más 33 6. Pasar 23(6) a base diez 7. Mayor número de tres cifras en base 3 10. Doce al cuadrado. 11. Mayor número de cuatro cifras diferentes 12. Cuadrado de 21 13. Cinco centenas 18. Cuadrado perfecto Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe44 Conceptos básicos Progresión aritmética En esta secuencia de números, la diferencia de dos términos consecutivos es constante. Ejemplos: • Sea la progresión aritmética: 3; 7; 11; 15; 19; ... determine sus elementos El primer término "a1" es 3 El segundo término "a2" es 7 El sexto término "a6" es 23 La razón de la P.A. es 4 • Determina "a + b + c", si los números: 12; ab; 22; cb; ... forman una progresión aritmética. 12 ; ab ; 22 ; cb 123 123 123 +r +r +r Así: 12 + 2r = 22, entonces: r = 5 Luego: ab = 12 + r = 17 y cb = 22 + r = 27 Entonces: a = 1; b = 7 y c = 2 ⇒ a + b + c = 10. Propiedades término enésimo En toda progresión aritmética, el lugar de cada término está relacionado con su valor. an = a1 + (n – 1)r Ejemplo: • Sea "an = 3n + 7" la relación que describe los términos de una progresión aritmética, hallar los cuatro primeros términos Cuando: n=1 ⇒ a1 = 3(1) + 7 = 10 Cuando: n=2 ⇒ a2 = 3(2) + 7 = 13 Cuando: n=3 ⇒ a3 = 3(3) + 7 = 16 Cuando: n=4 ⇒ a4 =3(4) + 7 = 19 La P.A. es 10; 13; 16; 19; ... Si el primer término de una P.A. es "a" y la razón es "r", los términos son: a; a + r; a + 2r; a + 3r; ... Cantidad de términos Se debe conocer el primer término "a1" y el último término "an", además de la razón "r". n = an – a1 r + 1 Ejemplo: • Determina la cantidad de términos de la siguiente P.A.: 3; 9; 15; 21; ... ...; 123. a1 = 3 an=123 r = 6 n = 123 – 3 6 + 1 = 21 términos 1Conteo de números UNIDAD 3Central: 619-8100 45 Así para determinar la cantidad de números de la serie natural: 7; 8; 9; 10; ...; 30 → n = 30 – 7 1 + 1 =22 Síntesis teórica CoNtEo DE NúMERoS I término enésimo Progresión aritmética Ley de formación Sucesiones numéricas • La sucesión: an = 2n 2 + 3 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 5 11 21 35 ... • La sucesión: an = 2 n – 2 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 0 2 6 14 ... Calcula un término:El término enésimo de: En la P.A.: an = 5n + 7 El vigésimo término es: a20 = 5(20) + 7 = 107 • La P.A.: 12; 17; 22; 27; ... La razón es 5 El primer término es 12 an = 12 + 5(n – 1) ⇒ an = 5n + 7 • La P.A.: 11; 17; 23; 29; ... La razón es 6 El primer término es 11 an = 11 + 6(n – 1) ⇒ an = 6n + 5 an = a1 + (n – 1)r "a1" es el primer término "r" es la razón • En la P.A.: 12; 17; 22; 27; ... La razón es 5 • En la P.A.: 12; 18; 24; 30; ... La razón es 6 Término enésimo La diferencia de dos términos consecutivos es constante Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe46 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Complete la progresión aritmética: 2; 7; 12; 17; ..........; ..........; ..........; ..........; 42 Luego identifica: • La razón de la P.A. es: • El quinto término de la P.A. es: • La cantidad de términos de la P.A. es: 2. En la siguiente progresión aritmética: 12; 19; ab; cd; ... El primer término es ............, la razón es ........ y además el cuarto término es ...... 3. Sea la progresión aritmética definida por la fór- mula: an = 6n + 7, luego: El "a6" es: ................. El "a8" es: ................. 4. En la progresión aritmética: 3; 7; 11; 15; ...; 31 Identifica: r = a1 = an = Luego, reemplaza en: n = an – a1 r + 1 5. Determina la cantidad de términos de la si- guiente P.A.: 5; 12; 19; 26; ......; 75 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 Aplicación cotidiana Milenka compra el primer día de cada mes dos o tres de los siguientes informati- vos, (considera que solo puede comprar el día que se publica): "Entérate" cada 6 días y tiene un costo de S/. 2,00 "Ganador" cada 8 días y tiene un costo de S/. 2,50 También el semanario "Perú-Ganador" que se publica los domingos y tiene un costo de S/. 4,00. Si el primero de este mes fue domingo; entonces: 1. Escribe los días de este mes, que compra "Perú-Ganador". • ¿Cuál es la razón de la progresión? 2. Escribe los días de este mes, que compra "Ganador". • ¿Qué tipo de progresión forman estos números? • ¿Cuál es la razón de la progresión? 3. ¿Cuántos diarios y qué inversión en ellos hace en el mes? Resolución de problemas 4. Hallar el trigésimo quinto término de la siguien- te progresión aritmética: 47; 51; 55;................... 5. Determina la razón de la siguiente progresión aritmética: 42(6); 51(6); 100(6); ... 6. Calcula "m + n + p", si los números: 15; mn; np; 39; ... son términos de una progre- sión aritmética. 7. Hallar "a + b + c + d", si los números: aa; b3; b8; c0d; ... forman una progresión aritmé- tica. 8. Si una progresión aritmética tiene 16 términos, hallar el quinto término, sabiendo que el prime- ro es 36 y el último 81. 9. ¿Cuántos numerales hay entre 120(5) y 135(7)? 1Conteo de números UNIDAD 3Central: 619-8100 47 10. Hallar la cantidad de términos que tiene la pro- gresión aritmética: m4; m7; ...; (m + 3)7 11. ¿Cuántos términos hay en la siguiente progre- sión aritmética? 33(n); 40(n); 45(n); ...; 216(n) 12. El primer y último término de una progresión aritmética son mm y 42m respectivamente. Si la razón es "m" y el número de términos es 51, hallar el término vigésimo octavo. 13. En la siguiente progresión aritmética creciente: aaa; ab4; ac1; ..., hallar el valor de "a + b + c". 14. Si se sabe que las medidas de los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética y que uno de ellos mide 20 grados sexagesimales, hallar el valor del mayor ángulo. 15. La suma del primer y cuarto término de una pro- gresión aritmética es 15 y la suma del quinto con el octavo término es 39. Hallar el primer término aumentado en la razón. 16. Si los términos de una progresión aritmética son: p + q; 4p – 3q; 5q + 3p, determinar la relación entre "p" y "q". ¡Tú puedes! 1. Hallar el número de términos en cada sucesión: A: 13; 16; 19; ...; 82 B: 27; 35; 43; ...; 347 C: 231; 232; 233; ...; 1 528 D: –26; –17; –8; ...; 3 304 E: –51; –46; –41; ...; 199 Hallar: A + B + C + D + E a) 1 785 b) 1 761 c) 1 782 d) 1 733 e) 1 735 2. En una progresión aritmética, la razón es el doble del primer término y el número de términos es el triple del primer término. Si el último excede al primero en 82 veces el primer término, encontrar el valor de la razón. a) 7 b) 14 c) 28 d) 21 e) 42 3. Calcular el número de términos de la siguiente progresión aritmética: 3; …...; 23; ……; 59 123 123 "n" términos "2n" términos a) 12 b) 15 c) 18 d) 17 e) 16 4. Hallar "a + n + b", si la siguiente progresión aritmética tiene 28 términos. aa(n); a(a + 1)(n); a(a + 2)(n); b0(n); ... ; 100(n) a) 13 b) 27 c) 24 d) 29 e) 31 5. Si los siguientes números forman una progresión aritmética: 54(n); 70(n); 88(n); …; 386(n), calcular el lugar que ocupa el término de la progresión que tiene la forma: kkk en base 10. a) 16 b) 28 c) 35 d) 20 e) 24 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe48 1. En una P.A de 48 términos, el primer término es 14 y el último 296. El término décimo cuarto es: 2. El tercer y noveno término de una progresión aritmética es respectivamente 6 y 30. Calcula el quinto término de ella. 3. En la siguiente progresión aritmética: 23n; 30n; 34n; ...;155n la cantidad de términos, es: 4. En una progresión aritmética, el tercer término es 3 y el séptimo término es 35, ¿cuál es la ra- zón de la progresión? 5. La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 21 y el producto del primer y segundo término es 35. Determina la razón de dicha progresión. 6. La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 18 y el producto entre el primer y tercer término es 20. Determina el primer término de dicha progresión. 7. Hallar la suma de los términos vigésimo cuarto y cuadragésimo segundo de la siguiente progre- sión aritmética: 81; 85; 89; ... 8. En la siguiente progresión aritmética: 3a; 39; b3; ...; ab3 la cantidad de términos es: 9. Hallar el número de términos de la siguiente pro- gresión aritmética: 2n+3; 2n+6; 3n+2; ...; 137 10. Si en la siguiente progresión aritmética se tiene: mm términos, hallar el valor de "m". mm; mm + m; mm + 2m; ...; 456 11. Calcula "n" para que los números: 10(n); 100(n); 150(n);……….. formen una progresión aritmética 12. La cantidad de números de tres cifras, que son múltiplos de 5, en la base 10, es: 13. Hallar "a", en la siguiente progresión aritmética que tiene 37 términos: 10a; 116; ...; a01 14. En una progresión aritmética de cinco términos, el primer término es 3 y su razón es 7. Calcular el valor del quinto término. 15. Calcular la razón de una progresión aritmética de 51 términos, si el último término excede al primero en 350. Practica en casa 18:10:45 2método combinatorio UNIDAD 3Central: 619-8100 49 método combinatorio En este capítulo aprenderemos: • A determinar los valores de las cifras de un número. • A diferenciar los casos del uso del principio de adición y multiplicación. • A usar el principio de multiplicación de análisis combinatorio. Las letras que no se utilizarán son Ch, Ll y la Ñ, además que se podrán hacer de tres colores. • ¿Cuántas placas diferentes se podrán obtener? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe50 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Horizontales: 1. Le falta 27 para media centena 4. 9 manos 6. Número par primo 7. Menor número par de cuatro cifras diferentes 8. Media centena 9. Cifra no significativa 10. Menor número de cuatro cifras significativas di- ferentes 12. Número no primo, no compuesto 14. La mitad de 9 centenas 16. Cuarta potencia de 5 19. Una mano 20. El doble de 144 22. Máximo número en un dado 23. Número capicúa de tres cifras 24. Le falta 23 para ser 40 Verticales: 1. Tres grupos de 7 2. Tres centenas 4. Cuadrado de 21 5. Media decena 6. Menor número de tres cifras pares diferentes 8. Pasar 203(5) a base diez 11. Menor número de cuatro cifras significativas pa- res diferentes 12. 5 + 5 × 28 13. Menor número de cuatro cifras diferentes 15. Media decena 17. Número par primo 18. 7 × 34 21. Número capicúa de dos cifras 23. Dos al cubo 2método combinatorio UNIDAD 3Central: 619-8100 51 Conceptos básicos Método combinatorio Es una teoría muy amplia que permite contar los diferentes casos o formas que se presentan en una activi- dad, en Aritmética usaremos los principios fundamentales de este método. Principios fundamentales De adición Cuando se debe escoger entre dos actividades, la cantidad de formas es la suma de cada una de ellas. A: "m" formas B: "n" formas A o B (escoger una de ellas) "m + n" Ejemplo: • Carlos tiene: Zapatillas: 4 pares diferentes Zapatos: 3 pares diferentes Sandalias: 2 pares diferentes ¿De cuántas formas diferentes puede escoger un par de calzados? "A" o "B" implica escoger uno de ellos. Como vemos no puede escoger un zapato con una zapatilla, entonces escogerá: Zapatilla o zapato o sandalias:4 + 3 + 2 = 9 casos diferentes De multiplicación Cuando se deben escoger dos actividades, la cantidad de formas es el producto de cada una de ellas. A: "m" formas B: "n" formas A y B (escoger ambas) "m . n" "A" y "B" implica que se escogerá ambos Ejemplo: • Milenka, alumna del colegio debe exponer y para ello se puede vestir con: Pantalón: azul, negro, blanco Blusa: rosada, blanca, amarilla, verde ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse para la exposición? Debe escoger un pantalón (3 casos) y una blusa (4 casos), ambos entonces: Pantalón y blusa: 3 × 4 = 12 combinaciones Aplicación en Aritmética Utilizaremos estos principios para determinar la cantidad de números, cuyas cifras tienen características especiales. Ejemplo: • ¿Cuántos números de tres cifras empiezan en cifra par y terminan en cifra impar? Sean los números abc donde: • "a" es par (2; 4; 6; 8) • "c" es impar (1; 3; 5; 7; 9) Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe52 • "b" no tiene restricción (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) Y como es necesario las tres cifras para formar el número (principio de multiplicación) a b c Tiene 4 valores Tiene 10 valores Tiene 5 valores La cantidad de números es: 4 × 10 × 5 = 200 Síntesis teórica CoNtEo DE NúMERoS II Método combinatorio Son abc a = 1; 2; 3; ...; 9 → 9 valores b = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores c = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores Son: 9×10×10 = 900 números ¿Cuántos números: (2a)a(4b)(c + 1)c existen? ¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras existen? ¿Cuántos números tienen tres cifras Son (2a)a(4b)(c + 1)c a = 1; 2; 3; 4 → 4 valores b = 0; 1; 2 → 3 valores c = 0; 1; 2; ...; 8 → 9 valores Son: 4×3×9 = 108 números Son abba a = 1; 2; 3; ...; 9 → 9 valores b = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores Son: 9 × 10 = 90 números Principio de adición Sean "A" y "B" dos actividades independientes A o B <> A + B Con 4 pares de zapatillas y 3 pares de zapatos, ¿de cuántas formas puedo esco- ger ambos? Se escogerá: zapato o zapatilla 3 + 4 = 7 Principio de multiplicación Con 4 pantalones y 3 blusas, ¿de cuántas formas puedo vestirme? Se escogerá: pantalón y blusa 4 × 3 = 12 formas Sean "A" y "B" dos actividades independientes A y B <> A × B 2método combinatorio UNIDAD 3Central: 619-8100 53 1. Si los valores de "a" son 2; 3 y 4, entonces los valores del número a3(a + 2) será: • Con: a = 2 → …………………………. • Con: a = 3 → …………………………. • Con: a = 4 → …………………………. 2. Determina el número a3 a 2 2 cuando: • a = 2 → …………………………. • a = 4 → …………………………. • a = 6 → …………………………. 3. ¿Cuántos números de la forma: ab b 3 (3a) existen? 4. Sean los números de la forma: (a + 1)b(2a)(4b) • Cuando "a" es 4 y "b" es 1 el número que se forma es: • Cuando "a" es 3 y "b" es 0 el número que se forma es: 5. Sea el número: ab(2a)(4b), para estar correcta- mente escrito los valores: • De "a" son:..................... • De "b" son:...................... Aplica lo comprendido 10 x 5 50 Resolución de problemas 4. ¿Cuántos números impares de tres cifras existen en el sistema decimal? 5. ¿Cuántos números de cuatro cifras pares existen en el sistema decimal? 6. ¿Cuántos números pares de tres cifras en el sis- tema decimal, no utilizan al 2 en su escritura? Aprende más Aplicación cotidiana A continuación se tiene un croquis de las avenidas principales de una ciudad AV. AREQUIPA AV. CAMINoS DEL INCA A V . A V IA C Ió N A V . S U C R E A V . B R A SI L C A LL E Po R TA PASAJE oLAyA AV. BENAVIDES AV. LARCo CASA • ¿De cuántas formas se puede llegar de la casa a la iglesia usando el camino más corto (sin salir del croquis)?, si: 1. Se utiliza solo dos avenidas 2. Solo se desplaza por las avenidas 3. Debemos ir a la iglesia utilizando solo tres avenidas Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe54 7. ¿Cuántos números de la forma: a(2b)b a 2 c existen? 8. Calcular cuántos números de tres cifras en el sis- tema decimal solo utilizan un 3 en su escritura. 9. Hallar cuántos números de tres cifras en el siste- ma decimal tienen dos cifras iguales. 10. Hallar cuántos números de tres cifras tienen por producto de cifras un número par, en el sistema decimal. 11. Hallar cuántos números de tres cifras tienen por producto de cifras cero, en el sistema decimal. 12. Hallar cuántos números de cuatro cifras tienen por lo menos una cifra par, pero no todas sus cifras pares, en el sistema decimal. 13. ¿Cuántos números de cuatro cifras tienen como suma de dígitos un número menor o igual a 33 en base 10? 14. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes existen en base 7? 15. ¿Cuántos números de cinco cifras de base 7 co- mienzan en 5 y terminan en 3? 16. ¿Cuántos números de quince cifras tienen como producto de cifras 15? ¡Tú puedes! 1. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los nueve dígitos no nulos del sistema decimal? a) 500 b) 450 c) 720 d) 729 e) 504 2. ¿Cuántos números de tres cifras en base 10 se podrían formar, si los dígitos son no nulos y pueden repetirse? a) 500 b) 450 c) 720 d) 729 e) 504 3. ¿Cuántos números de la forma abba en base 16, son tales que la suma de sus cifras es 46? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 4. ¿En qué sistema de numeración existen 56 números de la forma: aba? a) base 6 b) base 7 c) base 8 d) base 9 e) base 11 5. ¿En qué sistema de numeración hay 180 números de la forma: a(a – 2)b(2b – 1)c c 3 ? a) base 6 b) base 8 c) base 9 d) base 11 e) base 12 1. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema de- cimal, comienzan en cifra par y terminan en ci- fra impar? 2. ¿Cuántos números de tres cifras significativas se pueden escribir en el sistema decimal? 3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes en base 10, se pueden escribir utilizando solo las cifras 2; 3; 4; 5 y 6? 4. ¿Cuántos números de tres cifras existen en el sistema decimal, tal que el producto de sus ci- fras sea un número impar? Practica en casa 18:10:45 2método combinatorio UNIDAD 3Central: 619-8100 55 5. ¿Cuántos números de cuatro cifras en el sistema decimal, poseen por lo menos tres cifras 5 en su escritura? 6. ¿Cuántos números de cuatro cifras, todas distin- tas entre sí, existen en el sistema heptal? 7. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema de- cimal tienen por lo menos una cifra par y una cifra impar? 8. ¿Cuántos de los números de cinco cifras en el sistema heptal tienen la cifra central impar, además terminan en 2 o 5, la cifra de segundo orden no sea impar y las otras cifras sean signi- ficativas? 9. ¿Cuántos números de cuatro cifras en el sistema decimal comienzan en 7? 10. En el sistema de base 6, ¿cuántos números de cinco cifras comienzan en cifra impar, teniendo sus demás cifras pares? 11. ¿Cuántos números de cuatro cifras, todas impa- res y distintas entre sí, existen en el sistema de numeración undecimal? 12. ¿Cuántos números capicúas están comprendi- dos entre 200 y 650? 13. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema de numeración octal, utilizan la cifra 2 en su escri- tura? 14. ¿Cuántos números naturales de tres cifras del sistema decimal existen, que no utilizan la cifra 2 ni la cifra 3 en su escritura? 15. ¿Cuántos números de cinco cifras de base 7, co- mienzan en 4 y terminan en 6? 56 3 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Conteo de cifras En este capítulo aprenderemos: • A determinar los valores de las cifras de un número. • A determinar la fórmula del término enésimo en una P.A. • A diferenciar los casos del usodel principio de adición y multiplicación • A usar el principio de multiplicación de análisis combinatorio. Un monumento para hablar de Gauss En la universidad de Gotinga hay un monumento dedicado a Gauss...Vamos a dedicar un rato a conocer a uno de los mayores genios de la historia de las matemáticas: Gauss. Siendo niño calculó una suma de una forma ingeniosa. Explica el episodio y su relación con la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. También es el autor de una forma de construir, con regla y compás, un polígono regular de 17 lados. Su- poniendo que el lado de ese polígono es conocido, encuentra una fórmula para hallar su área en función (exclusivamente) de la longitud conocida del lado. Los números complejos, ¿qué clase de números son? Explica alguna aportación de Gauss al conocimiento de estos números. Como puedes imaginar, Gauss conoció a mucha gente a lo largo de su vida... Elabora una biografía suya De entre la gente que no conocía en persona y con la que mantenía correspondencia, había alguien que le enviaba las cartas firmadas con un seudónimo. ¿Quién era? ¿Por qué no mostraba su verdadera identidad? ¿Cómo lo supo Gauss? Recoge los principales datos biográficos de este personaje escondido. 3Conteo de cifras UNIDAD 3Central: 619-8100 57 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Horizontales: 1. Cuadrado de 11 4. Potencia de 2 de cuatro cifras 7. Mayor número de cinco cifras diferentes 9. Decena y media 10. Número capicúa de cuatro cifras 12. Número de tres cifras consecutivas 14. Nueve centenas 15. Número de cuatro cifras consecutivas decre- cientes 17. Múltiplo de 256 de cuatro cifras 18. Menor capicúa de dos cifras 19. Cuatro docenas 20. Número capicúa de cinco cifras 21. Cuarta potencia de 5 22. Cuadrado de 11 Verticales: 2. El número que sigue en: 16; 20; 24; .... 3. Capicúa de tres cifras 4. Cuadrado de 13 5. Cubo de 6 6. Suma desde el 1 hasta 9 7. Mayor número de tres cifras 8. La suma del 1 al 10 11. Menor número de tres cifras 13. Capicúa de cuatro cifras cuya suma de cifras es 16 15. Número capicúa de cuatro cifras 16. Cubo de 7 17. Menor número de tres cifras pares significativas 18. Múltiplo de 91 de tres cifras 20. Cinco quincenas Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe58 Conceptos básicos Progresión aritmética En esta secuencia de números la diferencia de dos términos consecutivos es constante. término enésimo En toda progresión aritmética, el lugar de cada término está relacionado con su valor. an = a1 + (n – 1)r Cantidad de términos Se debe conocer el primer término "a1" y el último término "an", además de la razón "r". n = an – a1 r + 1 Si el primer término de una P.A. es "a" y la razón es "r", los términos son: a; a + r; a + 2r; a + 3r; ... Principios fundamentales De adición Cuando se debe escoger entre dos actividades, la cantidad de formas es la suma de cada una de ellas. A: "m" formas B: "n" formas A o B (escoger una de ellas) "m + n" De multiplicación Cuando se deben escoger dos actividades, la cantidad de formas es el producto de cada una de ellas. A: "m" formas B: "n" formas A y B (escoger ambas) "m . n" Cantidad de cifras Cuando se escribe una secuencia se utiliza cierta cantidad de cifras, para determinar esa cantidad se debe conocer la cantidad de cifras de cada término. Ejemplo: • Determina la cantidad de cifras que se requieren para escribir los números de la sucesión: 2; 4; ...; 124; 126; 128 Agrupemos los números por la cantidad de sus cifras 2; ..................; 8; 10; .....................; 98; 100; .................; 128 1442443 144424443 144424443 8 – 2 2 + 1 = 4 #S 98 – 10 2 + 1 = 45 #s 128 – 100 2 + 1 = 15 #S La cantidad de cifras es: 4(1) + 45(2) + 15(3) = 139 cifras En la numeración de libros, a las cifras también se les llama tipos de imprenta. 3Conteo de cifras UNIDAD 3Central: 619-8100 59 NOTA: Para determinar la cantidad de cifras de la sucesión: 1; 2; 3; 4; ...; N Siendo el último número "N" de "k" cifras k(N + 1) – 111 ... 123 "k" cifras Esta fórmula se aplica solo cuando la serie empieza en 1 y la razón es 1. Síntesis teórica CoMPLEMENto DE CoNtEo DE NúMERoS Principios fundamentales Cantidad de cifrasProgresión aritmética 1; 3; 5; 7; ... ; 149 1; ..................; 9; 11; .....................; 99; 101; .................; 149 1442443 144424443 144424443 9 – 1 2 + 1 = 5 #S 99 – 11 2 + 1 = 45 #s 149 – 101 2 + 1 = 25 #S Cantidad de cifras: 5(1) + 45(2) + 25(3) = 170 cifras Nota: Cantidad de cifras K(N + 1) – 11 ... 111 14243 "K" cifras Sean "A" y "B" dos actividades independientes: A o B <> A + B Sean "A" y "B" dos actividades independientes: A y B <> A . B Término enésimo Cantidad de términos De adición De multiplicación ¿Cuántas cifras hay en la siguiente sucesión? an = a1 + (n – 1)r n = an – a1 r + 1 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe60 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Complete la progresión aritmética: 3; 7; 11; .... ; 35 Luego, la cantidad de números de dos cifras es: 2. ¿Cuántos números de la forma: (a + 2)(2a) b 3 b existen? • Valores de "a": • Valores de "b": 3. ¿Cuántos números de la forma: abba(5) existen? • Valores de "a": • Valores de "b": 4. Si escribimos: 001; 003; 005; ...; 017. Entonces: • La cantidad de números escritos es: • La cantidad de ceros que se utilizan es: 5. De la sucesión: 1; 2; 3; 4; ... ...; 999 • La cantidad de números de una cifra es: • La cantidad de números de dos cifras es: • La cantidad de números de tres cifras es: Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Para escribir los números: 12; 15; 18; ...; 99, ¿cuántas cifras se requieren? 2. ¿Cuántas cifras se requieren al escribir los nú- meros: 2; 6; 10; 14; ...; 50? 3. Para escribir: 001; 002; 003; ... ; 099, ¿cuántos ceros inútiles se escribieron? 4. En la siguiente progresión aritmética: 47; 51; 55; ... ¿cuántas cifras se usarán en los números de dos cifras? 5. ¿Cuántas cifras se necesitarán para escribir las páginas impares de un libro de 428 páginas? 6. En la numeración de las últimas 30 páginas de un libro se han empleado 107 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 7. Para numerar un libro de 2ab páginas se han empleado 6ab cifras. ¿Cuántas cifras se emplea- rán al numerar un libro de bab páginas? 8. En la numeración de las últimas 40 páginas de un libro se han empleado 147 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 9. En la numeración de las 5ab páginas de un libro se usan 15ab cifras. El valor de "a + b" es : 10. La cantidad de cifras que se emplearon al escri- bir la secuencia : 45 ; 46 ; 47 ; 48; ...; 218, es: 11. Si al numerar un libro se han empleado 1 830 cifras, entonces, la cantidad de páginas que ter- minan en la cifra 8, es: 12. La cantidad de cifras 5 que se usan al escribir todos los números naturales desde el 80 hasta 800, es: 13. ¿Cuántos números de la forma: (a + 2)b a 2 (b + 1) 13 existen? 14. ¿Cuántos números de la forma: (a + 2)(2a) b 3 b(8) existen? 15. Hallar cuántos numerales de la forma: (a – 2)(5 – b) a + 1 3 (b + 6)(2c – 5) 15 existen. 3Conteo de cifras UNIDAD 3Central: 619-8100 61 ¡Tú puedes! 1. ¿En qué sistema de numeración existen 175 números de la forma: 2(a + 1)(a – 1)b(4 – b)2c? a) base 6 b) base 7 c) base 8 d) base 9 e) base 10 2. ¿Cuántos números de la forma: (n + 5) n 2 m 3 m 2p 7 p existen en base 15? a) 75b) 150 c) 775 d) 1 125 e) 2 250 3. Un libro tiene entre 1 000 y 2 000 páginas y se han utilizado 81 tipos para numerar las 25 últimas páginas impares. Si la última página está numerada con número par, hallar la suma de las cifras de este número. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 12 4. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su enumeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utiliza- do en la enumeración de las hojas que quedaron? a) 1 444 b) 1 872 c) 2 772 d) 4 800 e) 5 400 5. ¿En qué sistema de numeración existen 55 numerales de tres cifras, cuya cifra central es la suma de sus cifras extremas? a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 10 Practica en casa 18:10:45 1. La cantidad de cifras que se usan al escribir los 724 primeros enteros positivos, es: 2. Para escribir los números: 6; 9; 12; 15; 18; ...; 99, ¿cuántas cifras se requieren? 3. Para escribir los números capicúas de cuatro ci- fras en base 10, ¿cuántas cifras se utilizarán? 4. ¿Cuántas cifras se requieren al escribir los nú- meros: 5; 10; 15; ...; 70? 5. ¿Cuántas cifras se requieren para escribir los nú- meros de cuatro cifras, las cuatro impares? 6. De los números que están comprendidos entre 200 y 500, ¿cuántas cifras se usarán en los nú- meros impares? 7. ¿Cuántos números de la forma: (a – 2)(2a)(4b)b(9) existen? 8. ¿Cuántos números de la forma: a(2a) b 3 cb (7) existen? 9. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes exis- ten en el sistema quinario? 10. De los números capicúas de tres cifras en base 10, ¿cuántos hay tal que la suma de sus cifras es par? 11. De los números de tres cifras, las tres cifras im- pares, ¿cuántas cifras se utilizan tales que sean diferentes? 12. De los números comprendidos entre 300 y 700, ¿cuántas cifras se utilizan? 13. Al escribir la secuencia: 1; 2; 3; ...; N, se han utilizado 963 cifras; entonces, el valor de "N", es: 14. Si al numerar las páginas de un libro se han em- pleado 1 476 cifras, entonces la cantidad de pá- ginas que tiene el libro, es: 15. La cantidad de cifras que se emplearon al nume- rar un libro de 428 páginas, es: 62 4 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 1. Dado el conjunto: A = {3 ; {2} ; {1 ; 2}} Coloque el valor de verdad en cada caso: I. 2 ∈ A II. {1} ⊂ A III. {3} ⊂ A IV. {1; 2} ∈ A V. {2} ⊂ A VI. f ∈ A 2. De los conjuntos "A" y B", se sabe que: n(A) = 30; n(B) = 18 y n(A ∪ B) = 40 hallar: n(A ∩ B). 3. Si se sabe que: n(A ∪ B) = 70; n(A – B) = 18 y n(A) = 41 hallar el valor de: n(A D B). 4. La suma de las cifras de un número de dos cifras es 11 y si al número se le suma 27, las cifras del número se invierten. Hallar el producto de las cifras del número. 5. La diferencia de las cifras de un número ab es 3. Si a este número se le agrega el doble del mis- mo pero con las cifras invertidas, resulta 102. Hallar "a + b" 6. Si a un número de tres cifras que empieza en 9, se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. La suma de las cifras de dicho número es: 7. Hallar el término de lugar 38 en la siguiente progresión aritmética: 17; 23; 29; …. 8. Una persona nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió "a + 2b" años. ¿Cuántos años cumplió en el año 1990, si además se sabe que nació en la segunda mitad del siglo pasado? 9. Se dispone de 5 frascos de témperas de diferen- tes colores, los cuales se combinarán para obte- ner colores distintos a los que se tiene original- mente. ¿Cuántos nuevos colores se obtendrán? 10. Entre dos secciones de 4to año del Colegio Tril- ce hay 65 alumnos entre hombres y mujeres. Se realizó una encuesta sobre la preferencia de programas de televisión, obteniéndose los si- guientes resultados: • A 17 hombres les gusta "Los Caballeros del Zodiaco". • A 16 hombres les gusta "Candy". • A 15 hombres y 18 mujeres no les gusta nin- guno de los dos programas. • A 15 personas les gusta los dos programas. • A 10 personas solo les gusta "Los Caballeros del Zodiaco". • Hay 36 hombres en el salón. Averiguar a cuántas mujeres les agrada solo "Candy". 11. ¿Cuál es el menor número capicúa del sistema de base 12 que se escribe con cinco cifras en el sistema de base 5? Dar como respuesta la suma de cifras del número expresado en base 10. 12. ¿Cuántos números se escriben con tres cifras tanto en base 6 como en base 9? 13. Hallar el término quincuagésimo en la siguiente progresión aritmética: 123n; 128n; 132n; ... 14. ¿Cuántos números de cuatro cifras mayores que 3 000 se pueden formar con las cifras: 0; 1; 3; 4; 5; 7; 8 y 9? 15. ¿Cuántos números de la forma: a(b + 2)(a – 1) b 2 c existen en el sistema de numeración nonario? repaso Aprende más 4repaso UNIDAD 3Central: 619-8100 63 ¡Tú puedes! 1. ¿Cuántas cifras tiene: 111 ... 1123 40 cifras (4)cuando se representa en el sistema octal? a) 21 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 2. ¿Cuántos números existen de la forma: (2a) b 3 (c + 1)(7)? a) 343 b) 252 c) 294 d) 280 e) 210 3. ¿Cuántos números de tres cifras en el sistema heptal, son impares y terminan en 2? a) 42 b) 21 c) 49 d) 20 e) 40 4. ¿En cuántos números de cuatro cifras, el producto de sus cifras es par? a) 7 200 b) 8 375 c) 7 500 d) 500 e) 625 5. En un autobús internacional viajan 32 pasajeros entre peruanos y extranjeros, de ellos 9 son mujeres y extranjeras, 6 niños extranjeros, 8 extranjeros de sexo masculino, 10 niños, 4 niñas extranjeras, 8 señoras y 7 señores. ¿Cuántas niñas peruanas hay en el autobús? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 1. Dado el conjunto: A = { x + 1 / x ∈ ; 4 < 2x+1 < 14} Indicar los enunciados verdaderos: I. La suma de sus elementos es 25. II. Tiene 31 subconjuntos propios. III. Su mayor elemento es 6. 2. Si: n[P(A)] = 128 y n[P(B)] = 32 ¿cuál de los enunciados nunca se cumple? I. A ∪ B tiene 12 elementos II. A ∩ B tiene 6 elementos III. A – B tiene 4 elementos 3. Si: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 8; 10} A ∩ B = {3; 5; 8} hallar: n(A D B) 4. Sean "A", "B" y "C" tres conjuntos, la intersec- ción de los tres tiene 5 elementos y la unión de los tres tiene 50 elementos. Si la unión de "A" y "B" tiene 35 elementos y se sabe que cada intersección de dos de ellos tiene 10 elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto "C"? 5. Se dieron tres exámenes para aprobar un curso y se observó lo siguiente: que el número de los que aprobaron los tres exámenes es igual al número de los que desaprobaron los tres exámenes e igual a 1/3 de los que aprobaron solo dos exámenes e igual a 1/5 de los que solo aprobaron un examen. ¿Qué porcentaje del total de los alumnos aproba- ron el curso, si para aprobarlo es necesario que aprueben por lo menos dos exámenes? 6. Dado: ab(c+3) = cab , además: a + b + c = 19, donde "b" y "c" son números pares, hallar "a . b . c". 7. Se tiene que: abcd(m+2) = (15/m)(6/m)(9/m)(7) hallar "a + b + c + d". 8. Hallar "a + b + m + n", si: a06(m)= b302(n) y a11(m) = b305(n) 9. ¿Cuántos tipos de imprenta se usan en la nume- ración de un libro de 111 ... 11014243 "n" cifras páginas? Practica en casa 18:10:45 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe64 10. ¿Cuántos términos hay en la siguiente progre- sión aritmética: 4a ; 49; b4; ... ; 6(a/2)(2b – 1)? 11. Señalar cuántos términos tiene la siguiente P.A.: 78 ; ab; ac; ... ; abc sabiendo además que: a + b + c = 19. 12. Calcular "a + b + n", en la siguiente P.A.: a3(n); a5(n); (a + 1)1(n); 4b(n); ... 13. ¿Cuántos números de cuatro cifras de la base quince terminan en 2; 4 ó 6? 14. ¿Cuántos números de cuatro cifras (sin conside- rar el cero) tienen sus cuatro cifras consecutivas?15. ¿Cuál es la base del sistema de numeración en el cual existen 20 números de tres cifras conse- cutivas crecientes?
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