Para resolver essa questão, precisamos entender as condições dadas sobre a matriz \( A \) e as progressões. 1. Matriz A: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & a & 5 \\ a & b & c \\ C & 12 & x + 5 \end{bmatrix} \] 2. Progressão Aritmética (PA): As duas primeiras linhas formam uma PA. Isso significa que a média dos elementos da primeira e da segunda linha deve ser igual ao elemento do meio da segunda linha. Assim, temos: \[ 2a = 1 + b \quad \Rightarrow \quad b = 2a - 1 \] 3. Progressão Geométrica (PG): As duas primeiras colunas formam uma PG. Isso significa que o quadrado do elemento do meio deve ser igual ao produto dos elementos da primeira e da terceira linha: \[ a^2 = 1 \cdot C \quad \Rightarrow \quad C = a^2 \] 4. Determinante: Precisamos calcular o determinante da matriz \( A \) e igualá-lo a 18. O determinante de uma matriz \( 3 \times 3 \) é dado por: \[ \text{det}(A) = 1(b(x + 5) - c \cdot 12) - a( a(x + 5) - c \cdot 5) + 5(a \cdot 12 - b \cdot C) \] Substituindo \( b \) e \( C \): \[ \text{det}(A) = 1((2a - 1)(x + 5) - c \cdot 12) - a(a(x + 5) - c \cdot 5) + 5(a \cdot 12 - (2a - 1)(a^2)) \] Para simplificar, precisamos de mais informações sobre \( c \) e \( x \). No entanto, sabemos que o determinante deve ser igual a 18. 5. Alternativas: As opções para \( x \) são: A - 1, B - 2, C - 3, D - 4, E - 5. Para determinar o valor de \( x \), você precisaria calcular o determinante com as substituições feitas e igualar a 18. Como não temos os valores exatos de \( a \) e \( c \), não podemos calcular diretamente. Entretanto, se você seguir o processo e testar cada valor de \( x \) nas opções, você encontrará a resposta correta. Se precisar de mais ajuda com os cálculos, estou aqui!