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Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções 1. INTRODUÇÃO Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico apresentam comportamento linear, diferentes experimentadores poderão traçar diferentes retas, encontrando diferentes valores para os coeficientes linear e/ou angular. Um método para determinar a reta correta é dado pelo método dos mínimos quadrados. Este método consiste em determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b da equação da reta: y = a.x + b. Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a caracterizam. Sabe-se que numa relação linear é muito simples o processo de se determinar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e angular), portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta, pode-se linearizá-lo através de uma mudança de variáveis, transformando em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para isso, um certo grau de familiaridade com as representações gráficas das principais funções matemáticas é recomendável, pois deve-se ter uma noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a indicada pela seqüência de pontos experimentais no gráfico. Nesta aula vamos analisar os dois casos mais freqüentes: a relação tipo potência e do tipo exponencial. 2. OBJETIVOS x Determinar os coeficientes angular e linear da equação da reta, y = a.x + b, através do método dos mínimos quadrados; x Aplicar métodos de linearização de funções não lineares: tipo potência: y = a.xn e exponencial: y = a.eb.x. 3. TEORIA 3.1. O Método dos Mínimos Quadrados (ou Regressão Linear) O ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados é importante, pois ao contrário do método gráfico, é independente da avaliação do experimentador. Este método consiste em minimizar o erro quadrático médio (S) das medidas. Considere então um conjunto de N medidas (xi, yi), com i assumindo valores inteiros desde 1 até N. S é definido como: ܵ = ο ݅ܵ = ሺݕ െ ݕ݅ሻ2ܰ݅=1ܰ݅=1 (1) onde y é o valor da curva ajustada (y = a.x+b). O objetivo é somar os ο ݅ܵ das N medidas e traçar uma reta que torne a soma dos ο ݅ܵ mínima. Matematicamente isso corresponde a ߲߲ܵܽ = 0 e ߲߲ܾܵ = 0. É razoável acreditar que para que isso aconteça a reta desejada deve passar entre todos os pontos experimentais. Destas duas expressões extraímos os valores dos parâmetros a e b. O resultado é: ܽ = ܰσ ݔ݅ݕ݅ െ σ ݔ݅ܰ݅=1ܰ݅=1 σ ݕ݅ܰ݅=1ܰσ ݔ݅2 െ ሺσ ݔ݅ܰ݅=1 ሻ2ܰ݅=1 (2) ܾ = σ ݔ݅2 σ ݕ݅ܰ݅=1 െ σ ݔ݅ݕ݅ܰ݅=1ܰ݅=1 σ ݔ݅ܰ݅=1ܰσ ݔ݅2 െ ሺσ ݔ݅ܰ݅=1 ሻ2ܰ݅=1 (3) onde usou-se a notação de somatório: σ ݔ݅ = ݔ1 +ܰ݅=1 ݔ2 + ڮ + ݔܰ . Æ Exemplo de Determinação dos Coeficientes Angular e Linear Considere uma medida de movimento retilíneo uniforme (MRU) efetuado por um carrinho no laboratório. Foram medidos tanto sua posição x (em metros) quanto o tempo t (em segundos) e os resultados estão conforme a tabela 1. Construa o gráfico que representa o movimento e determine a velocidade e a posição inicial do carrinho usando o método dos mínimos quadrados. Tabela 1. Valores experimentais da posição de um carrinho em função do tempo. X - tempo (s) Y - posição (m) 0,100 0,51 0,200 0,59 0,300 0,72 0,400 0,80 0,500 0,92 Para usarmos o método dos mínimos quadrados, sugere-se a construção de uma tabela, conforme indicado abaixo, lembrando que aqui o eixo x corresponde ao tempo t e o eixo y, à posição x: Tabela 2. Tabela contendo os valores de x, y, x.y e x2, e suas respectivas somatórias. x(s) y(m) x.y x2 0,100 0,51 0,051 0,0100 0,200 0,59 0,120 0,0400 0,300 0,72 0,220 0,0900 0,400 0,80 0,320 0,1600 0,500 0,92 0,460 0,2500 Ȉ[� ����� Ȉ\� ����� Ȉ[�\� ����� Ȉ[2 = 0,55 Com esses resultados, basta substituir os valores nas fórmulas para a e b, e lembrar que neste caso temos N = 5 medidas: ܽ = 5 × 1,17 െ 1,50 × 3,54 5 × 0,55 െ (1,50)2 = 5,85 െ 5,312,75 െ 2,25 = 0,540,50 = 1,08 ܾ = 0,55 × 3,54 െ 1,17 × 1,50 5 × 0,55 െ (1,50)2 = 1,95 െ 1,762,75 െ 2,25 = 0,190,50 = 0,38 Portanto, temos que y = 1,08.x + 0,38 e se substituirmos os valores de x da tabela 1 na função obtemos os seguintes valores de y: Tabela 3. Valor da posição de um carrinho estimado através do método dos mínimos quadrados em função do tempo. X - tempo (s) Y - posição (m) (método dos mínimos quadrados) 0,100 0,49 0,200 0,60 0,300 0,70 0,400 0,81 0,500 0,92 Fazendo o gráfico dos resultados da tabela 1 com a tabela 3 temos: 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 'y = 0,29 m P os iç ão ( m ) Tempo (s) dados experimentais método dos mínimos quadrados x 0 = 0,38 m 'x = 0,30 s logo: v = 0,29/0,30 = 0,97 m/s Figura 1. Evolução da posição do móvel em função do tempo. Observe que o valor da velocidade calculado pelos dados da tabela 1 é igual a 0,97 m/s enquanto que para a curva determinada pelo método dos mínimos quadrados é de 1,08 m/s, ou seja, este é o valor mais próximo do valor real da velocidade do carrinho.
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