Tema 8 medidas de dispersao desvio medio, desvio padra

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Medidas de dispersão: 
desvio médio e desvio padrão
Rafael Botelho Barbosa
Introdução
Na análise de uma série de dados, é importante saber como eles variam. Para isso, nesta 
aula, conheceremos as medidas de dispersão, que dividem-se em absolutas e relativas. Concen-
traremos nossos esforços nas medidas absolutas, que são a amplitude total, a variância e os 
desvios médio e padrão.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conceituar e calcular as medidas de dispersão absolutas.
1 Medidas de dispersão
Às vezes, é importante verificar se um determinado conjunto de dados é mais ou menos 
disperso. Observe!
Figura 1 – Dispersão de dois conjuntos de dados
30
25
15
5
0
10
20
0 5 10 20 302515
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Perceba que os dados do conjunto 1 (quadrados) são menos dispersos em relação aos do 
conjunto 2 (losangos). Segundo Crespo (2005, p. 109), dispersão ou variabilidade seria “a maior 
ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central 
tomado como referência”. Na maioria dos casos, o valor de referência utilizado é a média aritmética. 
FIQUE ATENTO!
A média é dada pela soma das observações dividida pelo número de observações.
2 Amplitude total
Ainda conforme Crespo (2005, p. 109), amplitude total corresponde à “diferença entre o maior 
e o menor valor observado”, o que nos permite calcular a dimensão da variação das observações. 
O cálculo da amplitude total é dado por:
AT = Nº maior – Nº menor
Quando um conjunto de dados é muito disperso, a amplitude total é grande, uma vez que as 
observações possuem valores distantes entre si. Tenha em mente que o cálculo da amplitude 
pode ser realizado para dados agrupados (em classes ou por frequências), ou não agrupados. 
3 Dados agrupados
Os dados podem ser agrupados com ou sem intervalos de classes. Os dados agrupados sem 
intervalos de classes são expressos em função de algo, ou de um valor. Nesses casos podemos 
fazer o agrupamento de acordo com o número de observações de cada elemento (frequência). Já 
os dados agrupados em classes são aqueles contidos em uma faixa de valores. 
EXEMPLO
Considere que as notas de Matemática dos estudantes do oitavo ano de uma esco-
la X estejam agrupadas por frequência. 
Tabela 1 – Notas de alunos
Notas Frequência
0 1
3 4
5 8
6 5
9 2
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
A amplitude desse conjunto de dados é dada por AT = 9 – 0 = 9.
Entenda que quando os dados estão agrupados em classes, cada classe possui a sua amplitude.
EXEMPLO
Considere que as notas de vinte alunos em uma prova estão na tabela a seguir:
Tabela 2 – Frequência por intervalos de notas
Notas Frequência
0,0 ˫ 5,0 7
5,0 ˫ 6,5 8
6,5 ˫ 9,0 3
9,0 ˫ 10,0 2
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
O operador ˫ indica que o intervalo é fechado à esquerda, ou seja, em cada classe 
composta por valores entre zero e 5,0, por exemplo, estão incluídos todos os núme-
ros reais maiores ou iguais a zero e menores que 5,0. As amplitudes das classes 
(C1, C2...) são dadas pelas diferenças entre os valores extremos de cada classe. 
Assim, temos: AC1 = 5,0 – 0 = 5,0, AC2 = 6,5 - 5,0 = 1,5. 
4 Dados não agrupados
Quando os dados não estão agrupados, devemos subtrair o menor valor da série de dados 
do maior. Haverá apenas uma amplitude. Por exemplo, no conjunto de dados (1, 2, 3, 4, 5), qual é a 
amplitude total? AT = 5 – 1 = 4.
A amplitude total é uma medida de dispersão pouco precisa, pois é fortemente influenciada 
por valores extremos (outliers). Estes valores podem surgir por vários motivos, prejudicando a 
análise da dispersão dos dados (CRESPO, 2005). 
5 Desvio médio
Um desvio é a diferença entre um valor observado e um valor tomado como referência. O des-
vio médio é, portanto, a diferença entre um valor observado e a média aritmética dos dados. Assim, 
temos uma expressão para os desvios (Di) de um conjunto, no qual cada elemento Xi representa 
um valor observado, sendo X é a sua média:
Di = Xi – X
Observe os valores dos desvios para o conjunto de dados abaixo, em que a média X é igual a 7.
Tabela 3 – Desvios médios
Xi Xi – X
4 –3
8 1
7 0
9 2
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Conforme Stevenson (2007), é necessário considerar o fato de que a soma dos desvios (posi-
tivos e negativos), em relação à média, é por defi nição igual a zero.
( )i i(i i(D = X –X = 0(D = X –X = 0( )D = X –X = 0)i iD = X –X = 0i i(i i(D = X –X = 0(i i(∑ ∑i i∑ ∑i iD = X –X = 0∑ ∑D = X –X = 0i iD = X –X = 0i i∑ ∑i iD = X –X = 0i i 
Para a última tabela, temos:
id = –3 +1+ 0 + 2 = 0id = –3 +1+ 0 + 2 = 0i∑ 
No entanto, para obtermos o desvio médio, precisamos considerar os valores absolutos 
(módulos) dos desvios. Assim: 
iX –XiX –XiDM =
n
∑
 
Por exemplo, no conjunto de dados F = {1,2,3,4,5}, a média é dada por 
1+ 2 + 3 + 4 +5X = = 3X = = 31+ 2 + 3 + 4 +5X = = 31+ 2 + 3 + 4 +5
5
. 
O desvio médio é dado por:
iX –XiX –Xi 1–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–31–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–31–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–31–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–31–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–31–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–31–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–31–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–31–3 + 2–3 + 3–3 + 4 –3 + 5–3 2 +1+ 0 +1+ 2
DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2DM = = = = 1,2
i
DM = = = = 1,2
i 2 +1+ 0 +1+ 2
DM = = = = 1,2
2 +1+ 0 +1+ 2
n 5 5
DM = = = = 1,2
n 5 5
DM = = = = 1,2
∑
SAIBA MAIS!
O tópico IV do “Levantamento do perfi l antropométrico da população brasileira usuária 
do transporte aéreo nacional – Projeto Conhecer”, da Agência Nacional de Aviação Civil 
(ANAC), aborda a aplicação dos conceitos de medidas de dispersão. Acesse:<http://
www2.anac.gov.br/arquivos/pdf/Relatorio_Final_Projeto_Conhecer.pdf.>.
6 Variância
Como você pôde ver, a amplitude total não é uma medida precisa da variabilidade de um 
conjunto de dados, pois ela é sensível a valores extremos. Assim, precisamos de indicadores que 
avaliem de forma mais efi caz a totalidade da dispersão de um conjunto de dados. 
Um desses indicadores é a variância, medida de dispersão utilizada para avaliar a “distância” 
dos dados de um conjunto em relação à sua média, dada por X. Pela fórmula do desvio médio, 
observamos que a soma dos desvios será sempre igual a zero. Se elevarmos o valor dos desvios 
ao quadrado, podemos estimar a totalidade dos desvios de um conjunto. A fórmula da variância, 
que representa a média dos quadrados dos desvios, é:
( )
( )2n ii=1 x –Xix –XiVar X =(Var X =( )Var X =)
n
∑
Assim, a variância Var(X), de notação σ² consiste em uma somatória dos quadrados dos des-
vios ix –Xix –Xi , do primeiro ao último dado (i = 1, 2, 3...n), dividido pelo número de dados. 
Imagine que, enquanto em treinamento, um regimento de infantaria consome alguns quilos 
de alimento por dia. Em sete dias, foram 105 quilos, conforme tabela a seguir.
Tabela 4 – Alimentação por dia (em kg)
Domingo 10
Segunda 12
Terça 18
Quarta 25
Quinta 19
Sexta 11
Sábado 10
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Sabemos que a média do peso diário de é dada pela razão X = 105/7 = 15. Já a variância 
desse conjunto é dada por:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
σ
∑
2n
ii=12
2 2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2)
x –15ix –15i
= Var X =(= Var X =( )= Var X =)
7
10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1)10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1) (10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15+ 19–15 + 11–15 + 10–1( )10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1) (10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1( )10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1) (10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1( )10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1) (10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1( )10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1) (10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1( )10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1) (10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1(2 2 2 2 2 2 210–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–12 2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2 2(10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1(2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2)10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1)2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2(10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1(2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2)10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1)2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2(10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1(2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2)10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1)2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2(10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1(2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2)10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1)2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2(10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1(2 2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2 2)10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1)2 2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2 2(10–15 + 12–15 + 18–15 + 25–15 + 19–15 + 11–15 + 10–1(2 2 2 2 2 2 2( 52 2 2 2 2 2 252 2 2 2 2 2 2
=
7
25 + 9 + 9 +100 +16 +16 + 25 200
= 28,57.= 28,57.= == 28,57.= == == 28,57.= =
25 + 9 + 9 +100 +16 +16 + 25 200
= 28,57.
25 + 9 + 9 +100 +16 +16 + 25 200
7 7
= 28,57.
7 7
= 28,57.
Desenvolvendo a fórmula da variância, obtemos:
( )
( )
σ ∑
n 2
i2 2(2 2( )2 2)2 2(2 2( )2 2) ∑2 2∑ i2 2i2 2i=12 2
X
2 2
X
2 2= Var X = –X(= Var X = –X( )= Var X = –X)= Var X = –X∑= Var X = –X∑2 2= Var X = –X2 2(2 2(= Var X = –X(2 2( )2 2)= Var X = –X)2 2)2 2= Var X = –X2 2(2 2(= Var X = –X(2 2( )2 2)= Var X = –X)2 2) ∑2 2∑= Var X = –X∑2 2∑ i2 2i= Var X = –Xi2 2ii=1= Var X = –Xi=12 2i=12 2= Var X = –X2 2i=12 2
n 
Em alguns casos, a utilização dessa fórmula facilita o cálculo. Destacamos algumas proprie-
dades da variância abaixo. Acompanhe!
 • Ela sempre terá valores positivos ou, nulos, pois consiste em uma operação que verifi ca 
a média dos quadrados dos desvios.
 • A variância de uma série X, multiplicada por uma constante c, tem o mesmo valor dessa 
constante ao quadrado multiplicando a variância de X:
( ) ( ) ( )
n n2 2n n2 2n n
2 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X(Var cX = – cX = c –X = c Var X( )Var cX = – cX = c –X = c Var X)Var cX = – cX = c –X = c Var X(Var cX = – cX = c –X = c Var X( )Var cX = – cX = c –X = c Var X) (Var cX = – cX = c –X = c Var X(2 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1(i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1( )i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1)n n(n n( )n n)
 ( ( ) )2 2 2 2(2 2( (2 2( )2 2) )2 2)n n2 2n n n n2 2n ncx x cx x(cx x( (cx x( ) ) i i i i2 2 2 2 2 2)2 2 2) )2 2 2)i i2 2 2i i i i2 2 2i i(i i(2 2 2(i i( (i i(2 2 2(i i(i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i icx x cx x(cx x( (cx x(i icx xi i i icx xi i(i i(cx x(i i( (i i(cx x(i i(i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i(i i(2 2 2(i i(cx x(i i(2 2 2(i i( (i i(2 2 2(i i(cx x(i i(2 2 2(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X Var cX = – cX = c –X = c Var XVar cX = – cX = c –X = c Var X Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2 2 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2(2 2 2(Var cX = – cX = c –X = c Var X(2 2 2( (2 2 2(Var cX = – cX = c –X = c Var X(2 2 2( )2 2 2)Var cX = – cX = c –X = c Var X)2 2 2) )2 2 2)Var cX = – cX = c –X = c Var X)2 2 2)i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i i i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i i(i i(2 2 2(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i i(2 2 2(i i( (i i(2 2 2(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i i(2 2 2(i i(i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1 i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=12 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2 2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i
 
 
 ) ) )
 )cx x cx x cx x
 cx x(cx x( (cx x( (cx x(
 (cx x(
 
Var cX = – cX = c –X = c Var X
 
Var cX = – cX = c –X = c Var X
n n n n
Var cX = – cX = c –X = c Var X Var cX = – cX = c –X = c Var X
 
Var cX = – cX = c –X = c Var X Var cX = – cX = c –X = c Var X
 
 
 
 n n n n
 
n n n n
∑ ∑(∑ ∑( )∑ ∑)
n n
∑ ∑
n n(n n(∑ ∑(
n n( )n n)∑ ∑)
n n)2 2∑ ∑2 2
n n2 2n n∑ ∑
n n2 2n n
i i∑ ∑i i)i i)∑ ∑)i i) (i i(∑ ∑(i i( )i i)∑ ∑)i i)2i i2∑ ∑2i i2i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1∑ ∑i=1 i=1(i=1 i=1(∑ ∑(i=1 i=1( i ii=1 i=1i i∑ ∑i ii=1 i=1i i)i i)i=1 i=1)i i)∑ ∑)i i)i=1 i=1)i i) (i i(i=1 i=1(i i(∑ ∑(i i(i=1 i=1(i i( )i i)i=1 i=1)i i)∑ ∑)i i)i=1 i=1)i i)2i i2i=1 i=12i i2∑ ∑2i i2i=1 i=12i i2i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i icx x∑ ∑cx x)cx x)∑ ∑)cx x) (cx x(∑ ∑(cx x( )cx x)∑ ∑)cx x)2cx x2∑ ∑2cx x2i icx xi i∑ ∑i icx xi i)i i)cx x)i i)∑ ∑)i i)cx x)i i)i icx xi i∑ ∑i icx xi i(i i(cx x(i i(∑ ∑(i i(cx x(i i( )i i)cx x)i i)∑ ∑)i i)cx x)i i)2i i2cx x2i i2∑ ∑2i i2cx x2i i2i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i icx xi i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var X∑ ∑Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1∑ ∑i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1(i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1(∑ ∑(i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1( )i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1)∑ ∑)i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1) (i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1(∑ ∑(i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1( )i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1)∑ ∑)i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1)i ii=1 i=1i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi ii=1 i=1i i∑ ∑i ii=1 i=1i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi ii=1 i=1i i)i i)i=1 i=1)i i)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i i)i=1 i=1)i i)∑ ∑)i i)i=1 i=1)i i)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i i)i=1 i=1)i i) (i i(i=1 i=1(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i i(i=1 i=1(i i(∑ ∑(i i(i=1 i=1(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i i(i=1 i=1(i i( )i i)i=1 i=1)i i)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i i)i=1 i=1)i i)∑ ∑)i i)i=1 i=1)i i)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i i)i=1 i=1)i i) 2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2∑ ∑2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i
 ∑ ∑ 2 2 2 2∑ ∑2 2 2 2
n n2 2n n n n2 2n n∑ ∑
n n2 2n n n n2 2n ncx x cx x∑ ∑cx x cx xi i2 2 2i i i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i i i i2 2 2i ii i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i icx x cx x∑ ∑cx x cx xi icx xi i i icx xi i∑ ∑i icx xi i i icx xi ii i2 2 2i icx xi i2 2 2i i i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i i i2 2 2i icx xi i2 2 2i ii=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1 i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1∑ ∑i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1 i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=12 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2 2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2∑ ∑2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2 2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2ii2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i icx x
 cx x
 
cx x cx x∑ ∑cx x cx x cx x cx x
Imagine o conjunto O = {1,3,5}. Sua variância é igual a 4. Se multiplicamos esses dados por 3, 
obteremos o conjunto P ={3,9,15}, cuja variância será igual a 36, ou seja, 3² x 4.
 • Se uma série de dados tem valor constante, a variância será igual a zero. No caso do 
conjunto V= {1,1,1}, a média é igual a 1 e a variância é dada por (0+0+0)/3=0.
 • Seja a variável Z = X + k, em que k é um valor constante. Quando adicionamos ou sub-
traímos um valor constante (k) a todos os valores de uma variável X, a variância per-
manece a mesma, pois a variância de um valor constante é igual a zero, de modo que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X(Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X( )Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X) (Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X( )Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X) (Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X( )Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X) (Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X(Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X)Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X) (Var Z = Var X + Var k = Var X + 0 = Var X(
Imagine o conjunto M = {3,5,7}. Sua variância é igual a 4. Adicionemos então a constante k = 2 
aos dados do conjunto, obtendo assim o conjunto I = {5,7,9}. A variância desse conjunto é dada por:
Var(I) = Var(M) + Var (k) = 4 + 0 = 4.
Entenda que a efi cácia da variância como estimador da variabilidade de um conjunto de 
dados é infl uenciada diretamente pelo número de elementos que compõem esse conjunto. Se ele 
representar uma amostra, ou seja, um subconjunto fi nito de uma população com um número de 
elementos menor que a população, há um risco de que a variância não apresente um valor preciso.
Assim, para que se obtenha uma medida mais exata da variância para uma amostra, deve-
mos empregar um operador que corrija o valor da variância (BUSSAB; MORETTIN, 2010). Estamos 
falando do fator de correção de Bessel, dado pela razão n/n-1: 
( ) ( )
σ
∑ ∑(∑ ∑(
2 22 2(2 2( )2 2)n nn n(n n( )n n)n n∑ ∑n n∑ ∑(∑ ∑(n n(∑ ∑( )∑ ∑)n n)∑ ∑)
2 2n n2 2
∑ ∑
2 2
∑ ∑
n n
∑ ∑
2 2
∑ ∑i i(i i(∑ ∑i i∑ ∑)∑ ∑)i i)∑ ∑)i=1 i=1∑ ∑i=1 i=1∑ ∑(∑ ∑(i=1 i=1(∑ ∑( )∑ ∑)i=1 i=1)∑ ∑)i ii=1 i=1i i∑ ∑i i∑ ∑i=1 i=1∑ ∑i i∑ ∑)∑ ∑)i i)∑ ∑)i=1 i=1)∑ ∑)i i)∑ ∑)2
n-1
x –X x –X(x –X x –X(∑ ∑x –X x –X∑ ∑)∑ ∑)x –X x –X)∑ ∑)n nx –X x –Xn n∑ ∑n n∑ ∑x –X x –X∑ ∑n n∑ ∑)∑ ∑)n n)∑ ∑)x –X x –X)∑ ∑)n n)∑ ∑)i ix –X x –Xi i(i i(x –X x –X(i i(∑ ∑i i∑ ∑x –X x –X∑ ∑i i∑ ∑)∑ ∑)i i)∑ ∑)x –X x –X)∑ ∑)i i)∑ ∑)∑ ∑i i∑ ∑n∑ ∑i i∑ ∑∑ ∑i=1 i=1∑ ∑n∑ ∑i=1 i=1∑ ∑∑ ∑i i∑ ∑i=1 i=1∑ ∑i i∑ ∑n∑ ∑i i∑ ∑i=1 i=1∑ ∑i i∑ ∑∑ ∑x –X x –X∑ ∑n∑ ∑x –X x –X∑ ∑∑ ∑i i∑ ∑x –X x –X∑ ∑i i∑ ∑n∑ ∑i i∑ ∑x –X x –X∑ ∑i i∑ ∑= x =(= x =( )= x =)= x == x =∑ ∑= x =∑ ∑i=1 i=1= x =i=1 i=1(i=1 i=1(= x =(i=1 i=1( )i=1 i=1)= x =)i=1 i=1)∑ ∑i=1 i=1∑ ∑= x =∑ ∑i=1 i=1∑ ∑(∑ ∑(i=1 i=1(∑ ∑(= x =(∑ ∑(i=1 i=1(∑ ∑( )∑ ∑)i=1 i=1)∑ ∑)= x =)∑ ∑)i=1 i=1)∑ ∑)
n n–1 n–1
 
SAIBA MAIS!
O fator de correção deve ser utilizado quando um conjunto de dados contém um 
número razoavelmente pequeno de elementos, ou quando se tratar de uma amostra 
de população. Assim, poderemos estimar a dispersão de um conjunto de dados de 
maneira mais precisa e correta.
Imagine o conjunto A = {4,5}. A variância é dada por Var(A) = 0,25. Mas empregando-se o fator 
de correção, temos que Var(A’) = 0,5. Por outro lado, quando o conjunto contém um grande número 
de elementos (em geral, n>30), não há grande diferença entre σ2 e σ2n-1, de modo que o fator de 
correção tem pouca relevância. Porém, ele deve ser utilizado para o cálculo da variância quando o 
conjunto é formado por uma amostra de dados.
7 Desvio padrão
O desvio padrão é um importante indicador, pois permite verifi car se os dados são mais ou 
menos dispersos em relação à média. Sua notação é dada por:
( ) = Var X( = Var X( = Var X = Var X2 = Var X2σ
Como a variância é um valor elevado ao quadrado, sua interpretação pode ser dúbia, depen-
dendo da variável em uso. Logo, o desvio padrão corrige essa imprecisão fazendo os dados da 
variável “retornarem” à unidade original. 
FIQUE ATENTO!
Se medirmos a altura de um grupo de pessoas, a variância seria dada em centíme-
tros quadrados, que seriam condizentes com a área dos indivíduos, não sua altura. 
As propriedades do desvio padrão são bastante semelhantes às da variância. Se multiplicar-
mos os valores de uma variável por uma constante c, por exemplo, seu desvio padrão fi ca multipli-
cado por essa constante:
( ) ( ) ( )
n n2 2n n2 2n n
2 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X(Var cX = – cX = c –X = c Var X( )Var cX = – cX = c –X = c Var X)Var cX = – cX = c –X = c Var X(Var cX = – cX = c –X = c Var X( )Var cX = – cX = c –X = c Var X) (Var cX = – cX = c –X = c Var X(2 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1(i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1( )i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1)n n(n n( )n n)
 ( ( ) )2 2 2 2(2 2( (2 2( )2 2) )2 2)n n2 2n n n n2 2n ncx x cx x(cx x( (cx x( ) ) i i i i2 2 2 2 2 2)2 2 2) )2 2 2)i i2 2 2i i i i2 2 2i i(i i(2 2 2(i i( (i i(2 2 2(i i(i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i icx x cx x(cx x( (cx x(i icx xi i i icx xi i(i i(cx x(i i( (i i(cx x(i i(i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i(i i(2 2 2(i i(cx x(i i(2 2 2(i i( (i i(2 2 2(i i(cx x(i i(2 2 2(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X Var cX = – cX = c –X = c Var XVar cX = – cX = c –X = c Var X Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2 2 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2(2 2 2(Var cX = – cX = c –X = c Var X(2 2 2( (2 2 2(Var cX = – cX = c –X = c Var X(2 2 2( )2 2 2)Var cX = – cX = c –X = c Var X)2 2 2) )2 2 2)Var cX = – cX = c –X = c Var X)2 2 2)i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i i i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i i(i i(2 2 2(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i i(2 2 2(i i( (i i(2 2 2(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i i(2 2 2(i i(i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1 i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=12 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2 2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i
 
 
 ) ) )
 )cx x cx x cx x
 cx x(cx x( (cx x( (cx x(
 (cx x(
 
Var cX = – cX = c –X = c Var X
 
Var cX = – cX = c –X = c Var X
n n n n
Var cX = – cX = c –X = c Var X Var cX = – cX = c –X = c Var X
 
Var cX = – cX = c –X = c Var X Var cX = – cX = c –X = c Var X
 
 
 
 n n n n
 
n n n n
∑ ∑(∑ ∑( )∑ ∑)
n n
∑ ∑
n n(n n(∑ ∑(
n n( )n n)∑ ∑)
n n)2 2∑ ∑2 2
n n2 2n n∑ ∑
n n2 2n n
i i∑ ∑i i)i i)∑ ∑)i i) (i i(∑ ∑(i i( )i i)∑ ∑)i i)2i i2∑ ∑2i i2i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1∑ ∑i=1 i=1(i=1 i=1(∑ ∑(i=1 i=1( i ii=1 i=1i i∑ ∑i ii=1 i=1i i)i i)i=1 i=1)i i)∑ ∑)i i)i=1 i=1)i i) (i i(i=1 i=1(i i(∑ ∑(i i(i=1 i=1(i i( )i i)i=1 i=1)i i)∑ ∑)i i)i=1 i=1)i i)2i i2i=1 i=12i i2∑ ∑2i i2i=1 i=12i i2i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i icx x∑ ∑cx x)cx x)∑ ∑)cx x) (cx x(∑ ∑(cx x( )cx x)∑ ∑)cx x)2cx x2∑ ∑2cx x2i icx xi i∑ ∑i icx xi i)i i)cx x)i i)∑ ∑)i i)cx x)i i)i icx xi i∑ ∑i icx xi i(i i(cx x(i i(∑ ∑(i i(cx x(i i( )i i)cx x)i i)∑ ∑)i i)cx x)i i)2i i2cx x2i i2∑ ∑2i i2cx x2i i2i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i icxxi i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var X∑ ∑Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1∑ ∑i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1(i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1(∑ ∑(i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1( )i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1)∑ ∑)i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1) (i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1(∑ ∑(i=1 i=1(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i=1 i=1( )i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1)∑ ∑)i=1 i=1)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i=1 i=1)i ii=1 i=1i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi ii=1 i=1i i∑ ∑i ii=1 i=1i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi ii=1 i=1i i)i i)i=1 i=1)i i)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i i)i=1 i=1)i i)∑ ∑)i i)i=1 i=1)i i)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i i)i=1 i=1)i i) (i i(i=1 i=1(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i i(i=1 i=1(i i(∑ ∑(i i(i=1 i=1(i i(Var cX = – cX = c –X = c Var X(i i(i=1 i=1(i i( )i i)i=1 i=1)i i)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i i)i=1 i=1)i i)∑ ∑)i i)i=1 i=1)i i)Var cX = – cX = c –X = c Var X)i i)i=1 i=1)i i) 2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2∑ ∑2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i
 ∑ ∑ 2 2 2 2∑ ∑2 2 2 2
n n2 2n n n n2 2n n∑ ∑
n n2 2n n n n2 2n ncx x cx x∑ ∑cx x cx xi i2 2 2i i i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i i i i2 2 2i ii i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i icx x cx x∑ ∑cx x cx xi icx xi i i icx xi i∑ ∑i icx xi i i icx xi ii i2 2 2i icx xi i2 2 2i i i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i icx xi i2 2 2i i i i2 2 2i icx xi i2 2 2i ii=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1 i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1∑ ∑i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=1 i=1 i=1Var cX = – cX = c –X = c Var Xi=1 i=12 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2 2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2∑ ∑2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2 2 2 2i=1 i=12 2 2Var cX = – cX = c –X = c Var X2 2 2i=1 i=12 2 2i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i∑ ∑i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i i i i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i iVar cX = – cX = c –X = c Var Xi i2 2 2i ii=1 i=1i i2 2 2i icx x
 cx x
 
cx x cx x∑ ∑cx x cx x cx x cx x
O desvio padrão será ( ) = Var X( = Var X( = Var X = Var X2 = Var X2σ , logo, ( ) ( )σ σ(σ σ( )σ σ)σ σ(σ σ( )σ σ)σ σ2 = c Var X = c x Var X = c x( = c Var X = c x Var X = c x( ) = c Var X = c x Var X = c x) = c Var X = c x Var X = c x( = c Var X = c x Var X = c x( ) = c Var X = c x Var X = c x) = c Var X = c x Var X = c xσ σ = c Var X = c x Var X = c xσ σ(σ σ( = c Var X = c x Var X = c x(σ σ( )σ σ) = c Var X = c x Var X = c x)σ σ)σ σ = c Var X = c x Var X = c xσ σ(σ σ( = c Var X = c x Var X = c x(σ σ( )σ σ) = c Var X = c x Var X = c x)σ σ)σ σ = c Var X = c x Var X = c xσ σ2 = c Var X = c x Var X = c x22 = c Var X = c x Var X = c x2σ σ2σ σ = c Var X = c x Var X = c xσ σ2σ σ2 = c Var X = c x Var X = c x2σ σ2σ σ = c Var X = c x Var X = c xσ σ2σ σ .
Uma segunda propriedade reside no fato de que, se acrescentarmos um valor constante aos 
dados de uma variável X, o desvio padrão se manterá constante (uma vez que o desvio padrão de 
uma constante é igual a zero). Como desdobramento, quanto mais o desvio tender a zero, menor 
será a dispersão dos dados em torno da média. 
Para o exemplo anterior, em que mencionamos a alimentação dos soldados, o desvio padrão 
é dado por 2 = 28,57 = 5,35 = 28,57 = 5,35 = 28,57 = 5,352 = 28,57 = 5,352σ . 
FIQUE ATENTO!
Em uma distribuição de dados conhecida por uma distribuição normal, a maioria dos 
dados encontra-se dentro dos limites de um desvio padrão. Por exemplo, citando a ali-
mentação dos soldados novamente, observamos que a maioria dos dados se encontra 
em torno da média, com mais ou menos um desvio padrão, ou seja, 15 ± 5,35 kg ao dia.
Fechamento 
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • entender o que são medidas de dispersão;
 • conhecer os conceitos de algumas medidas de dispersão;
 • saber como são feitos os cálculos dessas medidas.
Referências
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística Básica. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
BRASIL. Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC). Levantamento do perfi l antropométrico da popu-
lação brasileira usuária do transporte aéreo nacional – Projeto Conhecer. Disponível em: <www2.
anac.gov.br/arquivos/pdf/Relatorio_Final_Projeto_Conhecer.pdf>. Acesso em: 21 mar. 2017.
CRESPO, Antônio. Estatística Fácil. 18. ed. São Paulo: Saraiva, 2005.
STEVENSON, William. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 2007.