Síntese do item 4.2 do LARSON - Distribuição Binomial.

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João Victor Ferraz Aguiar Costa
Síntese 10
Síntese do item 4.2 do LARSON - Distribuição Binomial.
A síntese deve conter:
· As características de uma distribuição Binomial.
É aplicada em casos de experimentos repetidos, onde existem dois possíveis resultados: cara ou coroa, sucesso ou fracasso, item defeituoso ou item não defeituoso, e muitos outros possíveis pares. A probabilidade de cada resultado pode ser calculada utilizando a regra da multiplicação, talvez com o uso do diagrama de árvore, porém é muito mais simples e eficiente utilizar uma equação generalizada.
· A fórmula da distribuição.
· O uso da fórmula com um exemplo resolvido.
Suponhamos que em uma linha de produção são fabricadas lâmpadas incandescentes. E elas são embaladas de forma que cada embalagem contenha 10 unidades de lâmpadas. Um Green Belt sabe que a probabilidade de uma lâmpada sair de sua linha de produção com defeito é de 5%. E ele deseja calcular a probabilidade de uma mesma embalagem conter 3 unidades de lâmpadas com defeito. Para ajudarmos a este profissional, você, como entendedor de probabilidade e estatística que é, irá aplicar a seguinte equação da distribuição binomial:
k = 3
 n = 10
 P = 0,05
 Q = 1 - P = 0,95
   É muito importante observar que utilizamos em ‘P’ a probabilidade de sucesso, e isso não deve ser confundido com a probabilidade de a lâmpada não ser defeituosa. Mas sim a probabilidade de ocorrer o evento em que estamos focados. Ou seja, é a probabilidade de ocorrer um defeito. Aplicando esses valores e conceitos na equação apresentada, temos:
O Green Belt pôde então chegar à conclusão de que a probabilidade de existir uma caixa com 3 lâmpadas defeituosas é de 1,05%
· A explicação de como consultar uma tabela para encontrar uma probabilidade binomial.
· A representação gráfica de uma distribuição binomial. Comentar sobre a forma do gráfico.
Y=10
X= 4
Z=1
· Fórmula do Valor esperado, variância e desvio padrão na distribuição binomial. Mostre um exemplo resolvido.
Valor esperado
Variância 
Desvio padrão 
Em uma escola, a direção decidiu observar a quantidade de alunos que apresentam todas as notas acima da média em todas as disciplinas. Para analisar melhor, a diretora Ana resolveu montar uma tabela com a quantidade de notas “azuis” em uma amostra de quatro turmas ao longo de um ano. Observe a seguir a tabela organizada pela diretora:
Antes de calcular a variância, é necessário verificar a média aritmética (x) da quantidade de alunos acima da média em cada turma:
6° ano → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
                  4               4
7° ano → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
                  4               4
8° ano → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
                    4              4
9° ano → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
                  4               4
Para calcular a variância da quantidade de alunos acima da média em cada turma, utilizamos uma amostra, por isso empregamos a fórmula da variância amostral:
Var. amostral = (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²
                       n – 1
6° ano → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
                          4 – 1
Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
           3
Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
         3
Var = 13,00
         3
Var = 4,33
7° ano → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
                    4 – 1
Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
          3
Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
         3
Var = 24,00
         3
Var = 8,00
8° ano → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
                    4 – 1
Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
        3
Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
         3
Var = 20,74
         3
Var = 6,91
9° ano → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
                      4 – 1
Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
         3
Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
           3
Var = 41,00
         3
Var = 13,66
Conhecida a variância de cada turma, vamos calcular agora o desvio padrão:
	6° ano
dp = √var
dp = √4,33
​dp ≈ 2,08
	7° ano
dp = √var
dp = √8,00
​dp ≈ 2,83
	8° ano
dp = √var
dp = √6,91
​dp ≈ 2,63
	9° ano
dp = √var
dp = √13,66
​dp ≈ 3,70
Para concluir sua análise, a diretora pode apresentar os seguintes valores que indicam a quantidade média de alunos acima da média por turma pesquisada:
6° ano: 7,50 ± 2,08 alunos acima da média por bimestre;
7° ano: 8,00 ± 2,83 alunos acima da média por bimestre;
8° ano: 8,75 ± 2,63 alunos acima da média por bimestre;
9° ano: 8,50 ± 3,70 alunos acima da média por bimestre;