Tema 9 Coeficiente de variação e propriedades

Prévia do material em texto

Coefi ciente de variação e propriedades
José Tadeu de Almeida
Introdução
Na Estatística Descritiva, temos medidas de dispersão destinadas a analisar a variabilidade 
de um conjunto de dados. Dentre estes indicadores, podemos destacar a variância, o desvio padrão 
e o coefi ciente de variação. Enquanto os dois primeiros índices são absolutos, o coefi ciente de 
variação é uma medida relativa, isto é, possui uma natureza dependente de outras variáveis. 
Saiba que o coefi ciente de variação é um importante instrumento de cálculo para compreen-
dermos a dispersão de um conjunto de dados em torno de sua média, percebendo se ela é mais 
ou menos intensa. Esse indicador é útil, ainda, para realizarmos exercícios de análise comparativa 
entre diferentes conjuntos de dados com diferentes medidas de dispersão, permitindo assim uma 
padronização de informações.
Objetivos de aprendizagem
A fi nal desta aula, você será capaz de:
 • identifi car os coefi cientes de variação e entender suas propriedades.
1 Coefi ciente de variação
Lembre-se dos conceitos de desvio padrão e média, pois o coefi ciente de variação possui 
relação direta com eles. A média X é uma medida de tendência central, ou seja, é um valor que 
indica a posição em torno da qual uma série de dados se distribui. Ela é dada por:
( )1
n
ii
x
X
n
== ∑
Essa média é formada pela soma dos valores dos n elementos que compõem um con-
junto (do primeiro dado, i=1, até o último, n), divididos pelo número total de elementos (BUSSAB; 
MORETTIN, 2010).
Figura 1 – Variação de um conjunto de dados
Fonte: VAlex / Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
Sendo a média um indicador de tendência central, ela demonstra o valor em tor-
no do qual se distribuem os dados. Para o caso proposto, a divisão entre a soma 
dos valores dos elementos e o número total de elementos, estamos utilizando a 
média aritmética.
O desviopadrão, por sua vez, é uma medida de dispersão que analisa o grau de variação 
de uma série de dados em torno da média, sendo calculado a partir da raiz quadrada da variân-
cia. A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios (CRESPO, 2005), que são dados 
pela fórmula: 
( )2n i2 i 1 x Xix Xis
n
i 1=i 1
x X−x X
=
∑
Em outras palavras, a variância demonstra a dispersão total de um conjunto de dados a partir 
de cada desvio ( ix Xix Xix X−x X ) em relação à média, elevado ao quadrado. Caso somássemos apenas a 
distância entre cada dado xi e a média, obteríamos zero.
FIQUE ATENTO!
Devemos analisar a dispersão de dados ao elevarmos os desvios ao quadrado. 
Caso isso não seja feito, estaremos medindo apenas as distâncias entre os dados 
da variável e a média!
Para visualizarmos melhor a magnitude da dispersão dos dados, recorremos à fórmula do 
desviopadrão, que é calculado a partir da seguinte equação:
( )222 2 1
n
ii
x Xix Xis ss s2s s2
n
=
x X−x X
= =s s= =s ss s= =s s ∑
Grave bem: o desvio padrão permite ao pesquisador analisar se uma determinada distribui-
ção de dados possui maior ou menor variabilidade (CRESPO, 2005). De acordo com a média, distri-
buições podem ser mais ou menos dispersas. Entretanto, ainda que seja uma importante medida 
de dispersão, o desviopadrão possui algumas limitações: 
 • esta medida é afetada signifi cativamente por valores extremos, muito afastados da 
média e isolados, conhecidos como outliers;
 • o desviopadrão e a média não permitem, isoladamente, verifi car se a distribuição dos 
dados é mais ou menos uniforme;
 • também não permitem a análise comparativa, pois são dados em função de cada vari-
ável separada (um conjunto de dados em metros tem um desvio padrão com notação 
diferente de um conjunto de dados em quilômetros, por exemplo).
SAIBA MAIS!
Outliers são pontos que se afastam muito dos valores médios de uma distribuição 
de dados, comprometendo o cálculo da média e do desvio padrão. Imagine uma 
distribuição N = {5, 6, 7, 8, 9, 175}. Se usarmos os cinco primeiros dados, a média 
será igual a 7. Com os seis dados, a média será igual a 35. Logo, o dado “175” é visto 
como um outlier.
Assim, notamos que o desviopadrão não é uma ferramenta precisa para uma comparação 
de dispersões de dados com diferentes grandezas (CRESPO, 2005). Se uma distribuição tem um 
desvio padrão igual a 5, para uma média de 300, percebemos que os dados são pouco dispersos. 
Mas o mesmo desvio para uma média igual a 6 demonstra uma dispersão signifi cativa.
FIQUE ATENTO!
Ainda que não expressemos o desviopadrão em relação a uma ordem de grandeza 
(como em: “o desvio padrão é igual a 6 m/s”), não se esqueça de que ele está ex-
presso em relação à notação proposta pelo problema analisado. Logo, se as gran-
dezas ou variáveis forem diferentes, não poderemos comparar os desvios-padrões 
com precisão.
Da mesma forma, você deve ter em conta que determinadas dispersões são mais ou menos 
homogêneas em relação à média. Observe!
Figura 2 – Dispersão de um conjunto de dados A
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Y
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
No caso da imagem, você pode perceber que os dados estão razoavelmente dispersos em 
relação à média, no par ordenado (X.Y) = (2,2). Agora, compare com outra distribuição:
Figura 3 – Dispersão de um conjunto de dados B
1,2
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
x
1
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
Y
2,4 2,6
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Aqui, você pode perceber que a dispersão dos dados é bem menor, situando-se entre 1,5 e 
2,4, para ambas as variáveis (X,Y). Nesse caso, como não há notações em relação aos dados da 
variável, podemos comparar os desviospadrões. 
E quando os dados são expressos em grandezas diferentes? Imagine que a primeira distri-
buição é dada em centímetros, ao passo que a segunda está em quilômetros. Para superar essas 
limitações, podemos padronizar o desviopadrão, de modo a criar uma medida de dispersão que 
possa aplicar-se a conjuntos de dados com diferentes médias e desvios. Essa medida é o coefi -
ciente de variação, também conhecido como coefi ciente de variação de Pearson, calculado por 
meio da fórmula:
( )
( )
2
2 1
1
n
ii
n
ii
x Xix Xi
snCV
Xx
n
=
=
x X−x X
= == =
∑
∑
EXEMPLO
Imagine a distribuição A = {10, 12, 14, 20}. A média dessa distribuição é dada por
( )1 10 12 14 20 14
4
n
ii
x
X
n
= 10 12 14 20+ + +10 12 14 20= = == = == = =∑
Já o desviopadrão é dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2(2 2 2 2( )2 2 2 2) (2 2 2 2( )2 2 2 2) (2 2 2 2( )2 2 2 2)22 2 1 2 10 14 12 14 14 14 20 14)10 14 12 14 14 14 20 14) (10 14 12 14 14 14 20 14( )10 14 12 14 14 14 20 14) (10 14 12 14 14 14 20 14( )10 14 12 14 14 14 20 14) (10 14 12 14 14 14 20 14(
2 2 2 210 14 12 14 14 14 20 142 2 2 2(2 2 2 2(10 14 12 14 14 14 20 14(2 2 2 2( )2 2 2 2)10 14 12 14 14 14 20 14)2 2 2 2) (2 2 2 2(10 14 12 14 14 14 20 14(2 2 2 2( )2 2 2 2)10 14 12 14 14 14 20 14)2 2 2 2) (2 2 2 2(10 14 12 14 14 14 20 14(2 2 2 2(
3,74
4
n
ii
x Xix Xis ss s2s s2
n
=
x X−x X 10 14 12 14 14 14 20 14− + − + − + −10 14 12 14 14 14 20 14)10 14 12 14 14 14 20 14)− + − + − + −)10 14 12 14 14 14 20 14) (10 14 12 14 14 14 20 14(− + − + − + −(10 14 12 14 14 14 20 14( )10 14 12 14 14 14 20 14)− + − + − + −)10 14 12 14 14 14 20 14) (10 14 12 14 14 14 20 14(− + − + − + −(10 14 12 14 14 14 20 14( )10 14 12 14 14 14 20 14)− + − + − + −)10 14 12 14 14 14 20 14) (10 14 12 14 14 14 20 14(− + − + − + −(10 14 12 14 14 14 20 14(
= = = =
(
= = = =
( )
= = = =
) (
= = = =
( )
= = = =
) (
= = = =
( )
= = = =
) (
= = = =
( )
= = = =
)
= = = == = = == = = == = = == = = == = = == = = =2= = = =2s s= = = =s ss s= = = =s s ∑
Assim, o coefi ciente de variação é dado por:
3,74
0,267
14
sCV
X
= = == = == = =
Podemos verifi car que a distribuiçãoA é 26,7% dispersa em relação à média.
Entenda que o coefi ciente de variação permite a comparação de duas ou mais séries de valo-
res, tratando-se de uma medida universal. Expresso em porcentagem, ou como um valor real maior 
que zero, é possível, com esse índice, avaliar a dispersão ou a variabilidade de um conjunto de dado 
mesmo que as variáveis estejam expressas em unidades diferentes. (MILONE; ANGELINI, 1993).
EXEMPLO
Vamos considerar os seguintes conjuntos: A1= (1, 2, 3, 3); e A2 = (1, 5, 10, 13). 
Para encontrarmos o coefi ciente de variação para ambos, devemos, antes, obter o 
desvio padrão e a média. Utilizando as expressões estudadas, temos: 1 0,83s = e 
1 2,25X = . Para o segundo conjunto, temos 2 4,60s = e 2 7,25X = . Assim, calculamos 
o coefi ciente de variação por meio da fórmula ( )100sCV
X
= ×= ×= × .
Então, 
( ) ( )11 1 1(1 1 1( )1 1 1)1 1 1(1 1 1( )1 1 1)
1
0,83
100   100 36,8 ;1 1 1100   100 36,8 ;1 1 1)1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1) (1 1 1(100   100 36,8 ;(1 1 1( )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)2,251 1 12,251 1 11 1 1100   100 36,8 ;1 1 12,251 1 1100   100 36,8 ;1 1 1
SCV CV CV % (CV CV CV % ( )CV CV CV % ) (CV CV CV % ( )CV CV CV % )1CV CV CV % 11 1 1CV CV CV % 1 1 1(1 1 1(CV CV CV % (1 1 1(
0,83CV CV CV % 0,83100   100 36,8 ;CV CV CV % 100   100 36,8 ;)100   100 36,8 ;)CV CV CV % )100   100 36,8 ;) (100   100 36,8 ;(CV CV CV % (100   100 36,8 ;( )100   100 36,8 ;)CV CV CV % )100   100 36,8 ;)1 1 1100   100 36,8 ;1 1 1CV CV CV % 1 1 1100   100 36,8 ;1 1 1)1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)CV CV CV % )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1) (1 1 1(100   100 36,8 ;(1 1 1(CV CV CV % (1 1 1(100   100 36,8 ;(1 1 1( )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)CV CV CV % )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)
0,83
100   100 36,8 ;
0,83CV CV CV % 0,83100   100 36,8 ;0,83SCV CV CV % S
x
CV CV CV % = × = = × = =CV CV CV % CV CV CV % = × = = × = =CV CV CV % (CV CV CV % (= × = = × = =(CV CV CV % (1CV CV CV % 1= × = = × = =1CV CV CV % 11 1 1CV CV CV % 1 1 1= × = = × = =1 1 1CV CV CV % 1 1 11 1 1CV CV CV % 1 1 1= × = = × = =1 1 1CV CV CV % 1 1 1(1 1 1(CV CV CV % (1 1 1(= × = = × = =(1 1 1(CV CV CV % (1 1 1(100   100 36,8 ;CV CV CV % 100   100 36,8 ;= × = = × = =100   100 36,8 ;CV CV CV % 100   100 36,8 ;)100   100 36,8 ;)CV CV CV % )100   100 36,8 ;)= × = = × = =)100   100 36,8 ;)CV CV CV % )100   100 36,8 ;)100   100 36,8 ;CV CV CV % 100   100 36,8 ;= × = = × = =100   100 36,8 ;CV CV CV % 100   100 36,8 ;(100   100 36,8 ;(CV CV CV % (100   100 36,8 ;(= × = = × = =(100   100 36,8 ;(CV CV CV % (100   100 36,8 ;( )100   100 36,8 ;)CV CV CV % )100   100 36,8 ;)= × = = × = =)100   100 36,8 ;)CV CV CV % )100   100 36,8 ;)1 1 1100   100 36,8 ;1 1 1CV CV CV % 1 1 1100   100 36,8 ;1 1 1= × = = × = =1 1 1100   100 36,8 ;1 1 1CV CV CV % 1 1 1100   100 36,8 ;1 1 1)1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)CV CV CV % )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)= × = = × = =)1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)CV CV CV % )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1) (1 1 1(100   100 36,8 ;(1 1 1(CV CV CV % (1 1 1(100   100 36,8 ;(1 1 1(= × = = × = =(1 1 1(100   100 36,8 ;(1 1 1(CV CV CV % (1 1 1(100   100 36,8 ;(1 1 1( )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)CV CV CV % )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)= × = = × = =)1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)CV CV CV % )1 1 1)100   100 36,8 ;)1 1 1)
( ) ( )22 2(2 2( )2 2)
2
4,60
100   100 63,5 .(100   100 63,5 .(100   100 63,5 .)100   100 63,5 .)2 2100   100 63,5 .2 2)2 2)100   100 63,5 .)2 2) 7,25
100   100 63,5 .
7,25
100   100 63,5 .
SCV CV % (CV CV % ( )CV CV % ) (CV CV % ( )CV CV % )2CV CV % 22 2CV CV % 2 2(2 2(CV CV % (2 2(
4,60CV CV % 4,60100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .)100   100 63,5 .)CV CV % )100   100 63,5 .) (100   100 63,5 .(CV CV % (100   100 63,5 .(100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .)100   100 63,5 .)CV CV % )100   100 63,5 .)2 2100   100 63,5 .2 2CV CV % 2 2100   100 63,5 .2 2)2 2)100   100 63,5 .)2 2)CV CV % )2 2)100   100 63,5 .)2 2)
4,60
100   100 63,5 .
4,60CV CV % 4,60100   100 63,5 .4,60SCV CV % S
x
CV CV % = × = = × =CV CV % CV CV % = × = = × =CV CV % (CV CV % (= × = = × =(CV CV % (2CV CV % 2= × = = × =2CV CV % 22 2CV CV % 2 2= × = = × =2 2CV CV % 2 22 2CV CV % 2 2= × = = × =2 2CV CV % 2 2(2 2(CV CV % (2 2(= × = = × =(2 2(CV CV % (2 2(100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .= × = = × =100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .)100   100 63,5 .)CV CV % )100   100 63,5 .)= × = = × =)100   100 63,5 .)CV CV % )100   100 63,5 .)100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .= × = = × =100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .= × = = × =100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .(100   100 63,5 .(CV CV % (100   100 63,5 .(= × = = × =(100   100 63,5 .(CV CV % (100   100 63,5 .(100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .= × = = × =100   100 63,5 .CV CV % 100   100 63,5 .)100   100 63,5 .)CV CV % )100   100 63,5 .)= × = = × =)100   100 63,5 .)CV CV % )100   100 63,5 .)2 2100   100 63,5 .2 2CV CV % 2 2100   100 63,5 .2 2= × = = × =2 2100   100 63,5 .2 2CV CV % 2 2100   100 63,5 .2 2)2 2)100   100 63,5 .)2 2)CV CV % )2 2)100   100 63,5 .)2 2)= × = = × =)2 2)100   100 63,5 .)2 2)CV CV % )2 2)100   100 63,5 .)2 2)
Como o conjunto 2 apresenta um maior coefi ciente de variação, os dados prove-
nientes dele são mais dispersos em torno da média.
Nas próximas páginas, discutiremos as propriedades do coefi ciente de variação!
2 Propriedades do coefi ciente de variação
Em relação à média, citamos duas propriedades. A primeira é que, quando dividimos ou mul-
tiplicamos os valores de uma variável N por uma constante k, a média dessa variável será multipli-
cada pela constante, conforme a fórmula Z kXZ kX=Z kX . Imagine a distribuição X = {4, 5, 9}. Sua média é 
igual a 6. Se multiplicarmos esses valores por 4, obteremos a distribuição Z = {16, 20, 36}, de média 
igual a 24, ou 4 x 6.
A segunda propriedade da média é que, quando adicionamos ou subtraímos os dados de 
uma variável a um valor constante, a média também será acrescida ou subtraída dessa cons-
tante. Para a mesma distribuição X mencionada anteriormente, se acrescentarmos a constante 
k = 4, obteremos a distribuição Z = {8, 9, 13}, com média igual a 10, ou seja, Z k XZ k X= +Z k X (MILONE; 
ANGELINI, 1993).
Quanto ao desvio padrão, citamos duas propriedades. Quando multiplicamos ou dividimos o 
desvio padrão de uma variável X por uma constante k, ele também é multiplicado ou dividido por 
essa constante. Por exemplo, temos a distribuição X= {5, 7, 12}, com desvio padrão igual a 3,605 
(aqui você deverá utilizar a equação do desvio padrão). Se multiplicarmos os valores da distribui-
ção por 2, teremos a distribuição Z = {10, 14, 24}, cujo desvio padrão é igual a 7,21, ou seja, o dobro 
da anterior.
A segunda propriedade do desvio padrão é que quando acrescentamos ou subtraímos um 
valor constante de uma variável, ele permanecerá o mesmo, pois é nulo o desvio padrão de um 
valor constante. Como a média é o próprio valor constante ix , a equação ( )
2
ix Xix Xix X−x X será igual a zero 
(CRESPO, 2005).
Passemos agora à análise do coefi ciente de variação!A primeira interpretação que podemos 
efetuar é que, uma vez que o coefi ciente de variação é uma medida de análise da variabilidade dos 
dados em relação à média, quanto maior for o coefi ciente de variação, mais heterogênea será a 
dispersão dos dados. Se o valor de CV = 1, a dispersão equivale a 100% da média, indicando uma 
alta variabilidade (PIMENTEL-GOMES, 2009).
SAIBA MAIS!
No texto de Edimar Almeida da Cruz et al, encontramos um exemplo de aplicação 
dos conceitos relacionados ao coefi ciente de variação. Confi ra: <http://www.
conhecer.org.br/enciclop/2012a/agrarias/coefi ciente.pdf>.
A segunda propriedade é que o coefi ciente de variação é adimensional e esta é uma carac-
terística importante. Uma vez que o desvio padrão é sensível à unidade de medida do conjunto de 
dados, impedindo análises comparativas, o coefi ciente de variação é uma medida adimensional. 
Setemos o mesmo coefi ciente de variação para dois conjuntos, um com desvio padrão 1 100s =
e outro com 2 18s = , podemos comparar a dispersão dos dados independente da grandeza que 
caracteriza o conjunto de dados (MILONE; ANGELINI, 1993).
Destacamos, ainda, que ao convertermos o coefi ciente de variação em uma porcentagem, 
veremos o percentual que o desvio padrão é maior ou menor que a própria média. Podemos, como 
decorrência, estabelecer algumas identidades a respeito do coeficiente de variação e do grau de 
dispersão de um conjunto de dados, de acordo com a tabela a seguir. 
Tabela 1 – Classificação do coeficiente de variação em função da dispersão dos dados
Coeficiente de variação Classificação do coeficiente quanto à dispersão da variável
Entre 0% e 10% Baixo
Entre 10 e 20% Médio
Entre 20 e 30% Alto
Acima de 30% Muito alto
Fonte: adaptada de PIMENTEL-GOMES, 2009.
Desse modo, podemos, com auxílio do coeficiente de variação, analisar se uma distribuição 
de dados é mais ou menos homogênea em relação à sua média.
Fechamento
Chegamos ao final deste conteúdo!
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer o coeficiente de variação e sua expressão algébrica;
 • calcular o coeficiente de variação associado a diferentes distribuições de dados;
 • realizar análises comparativas, a partir de propriedades determinadas.
Referências
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro. Estatística Básica. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
CRESPO, Antonio. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2005.
CRUZ, Edimar Almeida et al. Coeficiente de variação como medida de precisão em experimentos 
com tomate em ambiente protegido. Enciclopédia Biosfera. Goiânia, v. 8, n. 14, 2012. Disponível 
em: <http://www.conhecer.org.br/enciclop/2012a/agrarias/coeficiente.pdf>. Acesso em: 14 mar. 
2017.
MILONE, Giuseppe; ANGELINI, Flávio. Estatística geral. São Paulo: Atlas, 1993.
PIMENTEL-GOMES, Frederico. Curso de Estatística Experimental. 15. ed. Piracicaba: FEALQ, 2009.