Matéria 10 TEMAS - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

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ESTATÍSTICA
Ana Laura Bertelli Grams
O que é estatística
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer os conceitos básicos relacionados à estatística.
 � Identificar as aplicações da estatística em situações cotidianas e no 
seu trabalho profissional.
 � Explicar os passos e os resultados.
Introdução
O uso da estatística está relacionado com a necessidade de organização 
dos seres humanos, seja no estudo das populações (demografia), nas 
tomadas de decisões nos setores econômicos (economia), no controle 
de qualidade e monitoramento de resultados em um processo produtivo 
(engenharia), na previsão de fenômenos futuros evidenciados em situa-
ções anteriores (administração), além de diversas outras áreas. Podemos 
dizer que o objetivo do estudo da estatística é descobrir como obter 
dados úteis para análise e o que fazer com eles.
Neste capítulo, você reconhecerá elementos básicos da estatística, 
explorará exemplos que ilustram aplicações da estatística em variadas 
áreas do conhecimento e, ainda, distinguirá as fases do método estatístico.
Conceitos básicos da estatística
Toda evolução humana dá-se em virtude de descobertas e invenções, que 
podem ser criadas ou adaptadas para contribuir e descomplicar a vida do 
homem, seja na área da saúde, engenharia, economia, comunicação, entre 
outras. Essa evolução se deve em grande parte à análise de dados coletados 
nas mais diversas áreas. E, coletar e analisar tais dados são funções da esta-
tística, embasando decisões, planejamentos, sabendo como obter dados úteis 
e, principalmente, o que fazer com eles.
A coleta, organização, interpretação e análise dos dados de nada adiantam se não 
afetarem uma tomada de decisão.
 � O controle de qualidade de uma indústria de airbags necessita deter-
minar a eficácia dos sistemas produzidos. Se a indústria testar todos os 
airbags, sua produção nunca chegaria ao mercado e seria uma indústria 
de testes, não de produtos. Sendo assim, o controle é realizado em parte 
do estoque produzido.
 � Baseado em suas vendas anteriores, um empresário precisa decidir a 
quantidade de produto que deve estocar para o mês seguinte. 
 � A estimativa do valor do dólar no mercado é feita a partir de análi-
ses preliminares de fatos recorrentes da economia e consequências 
subsequentes. 
 � O resultado de uma eleição é pressuposto minutos após encerrar o 
período de votação, e essa é uma conjectura fundamentada em apenas 
3 ou 4% dos eleitores entrevistados no dia da eleição, depois de votarem 
— esse fato é popularmente chamado de pesquisa de “boca de urna”.
 � Uma empresa faz uso de informações sobre seus clientes para gerenciar 
seu negócio. Ela conhece seu cliente por meio de pesquisas anuais 
relativas a hábitos, estilos de vida, gostos particulares, entre outros, 
permitindo, assim, tomar decisões sobre campanhas de marketing, 
maneiras de abordagem, tipos de produtos a manter em estoque, e 
assim por diante.
Em cada um dos casos anteriores, podemos perceber a importância de 
estimar, observar fenômenos e gerar dados. Todas essas informações, obtidas 
por meio de métodos estatísticos, proporcionam uma tomada científica de 
decisões, fundamentadas e que melhor garantem os resultados esperados.
O que é estatística2
A estatística pode ser definida como um ramo da matemática aplicada que estuda 
maneiras de coletar, organizar, analisar, interpretar e chegar a conclusões ou anteci-
pações sobre eventos ou populações, a partir da investigação e de considerações de 
uma parte do todo.
A estatística se divide em três grandes áreas (MILONE, 2006):
 � estatística descritiva;
 � inferência estatística;
 � estatística probabilística.
A estatística descritiva se responsabiliza pela descrição dos dados, ou 
seja, a coleta, a apresentação (seja ela por meio de gráficos, tabelas ou números) 
e a organização dos dados de modo que sejam fáceis de serem interpretados. 
Um exemplo de apresentação numérica da estatística descritiva é a MÉDIA, a qual é 
tomada a partir de um conjunto de dados e calculada com a finalidade de facilitar a 
interpretação do tomador de decisões. A média é uma medida de tendência central, 
considerada como um ponto de equilíbrio do conjunto. Por isso, seu uso é tão habitual 
na interpretação e compreensão dos fenômenos estudados.
Os gráficos (Figura 1) e quadros (Quadro 1) também são bons exemplos 
da estatística descritiva, que buscam sintetizar e apresentar dados de maneira 
compreensível. 
3O que é estatística
Figura 1. Gráfico em linha — vendas de uma loja de calçados durante o ano de 2017.
Fábrica de calçados Maria Valentina
R$14.000,00
R$12.000,00
R$10.000,00
R$8.000,00
R$6.000,00
R$4.000,00
R$2.000,00
R$–
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
Notas Frequência Frequência relativa
5 6 30,0%
6 4 20,0%
7 4 20,0%
8 3 15,0%
9 2 10,0%
10 1 5,0%
Total 20 100,0%
Quadro 1. Distribuição de frequência das notas de Estatística de 20 estudantes
A estatística inferencial, ou inferência estatística, é a utilização dos 
dados obtidos por meio da estatística descritiva, isto é, a interpretação, seja 
ela uma estimativa ou uma hipótese sobre eventos prováveis, fundamentada 
em características dos dados.
A análise da possibilidade de um evento ocorrer e o seu grau de incerteza 
são a finalidade da estatística probabilística. Consequentemente, a inferência 
estatística utiliza-se da teoria da probabilidade para interpretar e concluir a 
possibilidade da ocorrência de um fenômeno.
O que é estatística4
Na estatística descritiva, alguns termos, como dado, conjunto de dados, 
variáveis, dados quantitativos e qualitativos, são bastante comuns. Veja, a 
seguir, o que eles significam.
 � Dado: são informações (fatos ou números) obtidas a partir da coleta, 
geralmente sintetizados por meio de gráficos, tabelas, medidas centrais, 
etc., a fim de serem interpretados. Sem os dados não há análise ou 
interpretação de fenômenos, assim, eles podem ser qualificados como 
a matéria-prima para o processo de todos os métodos estatísticos.
 � Conjunto de dados: são todos os dados coletados, ou seja, o conjunto 
de informações obtidas de elementos. Essas informações caracterizam 
ou descrevem todos os elementos qualitativa ou quantitativamente de 
um grupo.
 � Dados quantitativos: informações numéricas que quantificam algo. 
Sendo assim, seus valores são sempre expressos por números. Os da-
dos quantitativos podem ser discretos (provenientes de contagem, ou 
seja, apenas números inteiros) ou contínuos (provenientes de medida, 
expressos por um número real, inteiro ou não).
 � Dados qualitativos: informações não numéricas que identificam uma 
característica dos elementos investigados. Os dados qualitativos podem 
ser as respostas de nomes, locais, incidência ou não de uma doença (em 
geral, respostas como sim ou não), cor de pele, entre outras.
 � Variáveis: são os atributos que originam os dados. São chamados assim 
(variáveis) porque exprimem um grau de variabilidade. Por exemplo, a 
cor da pele é a variável, alternando entre branca, negra, amarela, etc. 
Outros exemplos de variáveis são a quantidade de filhos, a altura, o peso, 
a idade. Assim como os dados, as variáveis também são classificadas 
em quantitativas e qualitativas.
Na estatística inferencial e probabilística, surgem, também, outros termos 
comuns, como os seguintes.
 � População: é o conjunto de todos os elementos, apresentando pelo 
menos uma característica em comum, que representam o universo que 
será observado no estudo em questão.
 � Amostra: é uma fração da população, a qual será representada. A amostra 
é sempre um subconjunto finito de elementos selecionados do conjunto 
maior: a população. Na estatística, existem técnicas de amostragem, ou seja, 
maneiras para eleger os elementos a serem estudados e compor a amostra.
5O que é estatística
Aplicações da estatística
Os conhecimentos básicos da estatística são úteis não apenas para cientistaspesquisadores, mas muito válidos para as pessoas em geral manterem-se 
bem-informadas e não serem enganadas ou iludidas por números, gráficos e 
tabelas capazes de persuadir seus leitores.
Todos os dias, os jornais impressos, televisivos ou periódicos científicos 
apresentam fatos e resumos estatísticos para auxiliar na interpretação de 
tendências sociais ou econômicas, por exemplo, baseadas na geração de dados 
coletados sobre a atualidade. Frequentemente nos deparamos com pesquisa-
dores coletando dados sobre nossas opiniões e estilos de vida das pessoas, a 
fim de inferir sobre a população em questão. Com os dados, é possível criar 
campanhas de marketing direcionadas para os consumidores de determinado 
produto ou, mesmo, elaborar políticas públicas que melhoram a qualidade de 
vida das pessoas.
Huff (2016, p. 7) destaca, em seu livro intitulado Como mentir com a Estatística, que:
[...] a Estatística possui uma linguagem secreta que geralmente sensa-
cionaliza e confunde as pessoas afirmando supersimplificar e apelando 
para uma cultura “baseada em fatos”. É fato que os métodos estatístico 
relatam os dados das tendências sociais e econômicas, da “opinião”, 
das condições de mercado e dos negócios e também dos censos. Mas 
sem narradores honestos com as palavras ou sem compreensão, e sem 
leitores que saibam o que significam, o resultado só poderá ser o ab-
surdo semântico.
As aplicações da estatística são inúmeras, desde os conceitos mais bási-
cos de interpretação de notícias de jornais para um leigo leitor até testes de 
hipóteses, regressões e controles estatísticos de qualidade. Buscamos alguns 
exemplos para elucidar o quanto a estatística está presente nas mais diversas 
áreas do conhecimento.
O que é estatística6
O estatístico da Universidade Federal de Santa Catarina, Marcelo Menezes Reis, busca 
emergir o senso crítico das pessoas em relação à estatística. Veja no link a seguir.
https://goo.gl/PiZsJJ
Estatística na engenharia
As engenharias civil, mecânica, de produção, entre outras, utilizam-se da 
estatística para melhorar processos e tirar conclusões na presença de variabi-
lidade. Quando se realiza medições (coleta de dados) repetidamente, pode-se 
perceber uma variação a cada ocorrência e, no caso de uma produção em 
série, por exemplo, isso pode representar um problema. É necessário analisar o 
percentual de falhas e verificar ele é significativo para uma tomada de decisões. 
Além disso, saber o que concluir de uma amostra de dados que é altamente 
exposta a variações a cada medição, se é possível confiar nestes dados — a 
projeção de resultados e conclusões seguros são feitas por meio da estatística.
Outro caso do uso da estatística que pode ser comum na engenharia é o 
estudo da capacidade de rodovias em determinada região, influenciando dire-
tamente na abrangência da obra civil a ser realizada. Esse estudo é submetido 
a um modelo de deslocamento que planeja o sistema de transporte, baseado 
no número de moradores daquela região, na quantidade de veículos de cada 
moradia e na quantidade de itinerários disponíveis.
Estatística na economia
O futuro da economia seguidamente é previsto por estudiosos, sendo esta 
previsão seguida devotadamente por empreendedores e investidores que 
desejam alavancar seus negócios. Por exemplo, como é possível prever a 
situação econômica de um país ou o comportamento das taxas de juros após 
decisões importantes, como as eleições presidenciais? Estatísticos e econo-
mistas utilizam-se de informações e indicadores, como valores de produção, 
que permitem a criação de modelos para taxas de inflação e desemprego ou 
inclinação da manufatura.
7O que é estatística
Estatística na saúde
A tomada de decisões por políticas públicas de controle de doenças, de cam-
panhas de vacinação e a incidência de epidemias são alguns exemplos da 
aplicação da estatística na área da saúde. Especialmente processos de serviços 
hospitalares podem ser resolvidos por meio da aplicação de modelos estatísticos 
e probabilidade, contribuindo para a melhoria no atendimento dos pacientes. 
A variação de atendimentos em uma unidade de emergência influencia dire-
tamente na capacidade de leitos e organização do número de funcionários. 
E, ainda, dados dos pacientes internados analisados diariamente auxiliam na 
evolução de uma doença ou na cura dela, e, quando comparados e relacionados 
com uma amostra maior de pacientes, podem originar estudos de prevenção.
Estatística no marketing
A análise de dados do seu perfil a partir de uma rede social ou de pesquisas 
de opinião é muito utilizada para encontrar padrões de comportamento e 
influenciar o consumidor em decisões de compras ou de uso de serviços. As 
análises dos padrões de comportamento podem ser vendidas para indústrias a 
fim de basearem a quantidade da sua produção nas intenções de consumo de 
uma determinada população. As estratégias de marketing de qualquer empresa 
podem ser baseadas em resultados estatísticos das promoções realizadas e, 
até mesmo, no público-alvo de cada negócio. 
Estatística na informática
Exemplo da aplicação da estatística na informática são a análise de desempenho 
dos sistemas computacionais e o uso de banco de dados para desenvolvimento 
de softwares e aplicativos das mais diversas áreas. Ao programar, simulam-se 
situações reais, as quais costumam dispor de variabilidade, ou seja, não são 
previsíveis. É nesses casos que observamos a presença da estatística, ao inserir 
a aleatoriedade nos sistemas de simulações reais.
Estatística na administração e nas finanças
Tomar decisões no ramo das finanças e da administração é determinante para 
a maioria das tarefas exigidas. Sabendo que a estatística é a área que fornece 
mecanismos de coleta, análise e interpretação de dados para embasar um feito, 
fica evidente sua utilidade para facilitar as ações nessas áreas.
O que é estatística8
Um exemplo são as recomendações de investimentos financeiros feitas por 
analistas, os quais avaliam uma situação passada, ou a variabilidade de preços, 
perdas e ganhos, e comparam todos os dados com fatos que influenciam essas 
variáveis. Essa busca de dados, a análise e as comparações das informações 
são objetivos da estatística. 
Ainda nessas áreas, uma empresa que adota metas precisa estabelecê-las de 
acordo com padrões do próprio empreendimento, de vendas, compras, lucros, 
entre outros. A partir da análise dessas informações é que se determina quais 
das metas serão de curto, médio ou longo prazo, a fim de que sejam atingíveis 
ou, mesmo, possibilitem a superação (ANDERSON, 2008).
Passos e resultados
Todo estudo estatístico depende de um planejamento detalhado, e cada etapa 
se submete à determinação da etapa anterior. Resumidamente, as etapas deste 
estudo são demonstradas na Figura 2.
Figura 2. Ciclo das etapas de um estudo estatístico.
Problema
Variável
Tomada de
decisão
relacionada ao
problema
Interpretação Coleta dedados
Organização
dos dados
9O que é estatística
O esquema está apresentado como um ciclo, pois percebemos que, ao gerar 
um conhecimento referente ao problema inicial, é possível que se originem 
novos problemas, motivados por fatos novos que, antes da coleta de informa-
ções, eram desconhecidos.
Cada etapa do esquema anterior apresenta fases importantes que precisam 
ser definidas e dependem da origem do problema.
1. Definir o problema: a definição do problema deve ser o primeiro passo 
para qualquer pesquisa. Na prática, definir o problema é transformar o tema 
da pesquisa em uma pergunta que deverá ser respondida ao final de todo o 
processo que segue.
2. Planejar a coleta de dados: a coleta de dados será determinada pelo tipo 
de pesquisa — em função do problema de pesquisa, devemos planejar se 
esta será de caráter experimental ou de levantamento (BARBETTA; REIS; 
BORNIA, 2008).
A pesquisa experimental tem a característica de manipular os elementos 
para avaliar os efeitos. Por exemplo, qual a reação de um medicamento em 
um grupo de animais,ou quais os efeitos em um traço de concreto quando 
utilizados aditivos especiais, ou qual a resistência de uma peça de automóvel 
quando exposta a altas temperaturas, etc. Neste tipo de pesquisa, a coleta de 
dados é feita exclusivamente após a realização dos experimentos. 
A pesquisa de levantamento é aquela que gera dados a partir da obser-
vação (ou da medida) das características dos elementos em questão — por 
exemplo, a contagem nos censos demográficos, as pesquisas de intenções de 
votos, uma anamnese a fim de prescrever diagnóstico de um paciente, etc. Nas 
pesquisas de levantamento, os dados são coletados por meio de instrumentos 
que os mensuram. 
Quando as variáveis analisadas são quantitativas, os instrumentos são 
geralmente definidos pela norma de unidades padrão, como termômetros para 
medir temperaturas, réguas e trenas que medem altura ou comprimentos e a 
própria contagem numérica (conjunto dos números naturais) para determinar 
quantidades.
Já quando as variáveis são qualitativas, é necessária a elaboração de um 
questionário como instrumento de pesquisa. Nele, devem conter as questões 
que avaliam cada variável, como estado civil, intenção de voto a partir das 
seguintes opções, escolaridade, etc.
O que é estatística10
Ainda no planejamento de coleta de dados, é necessário delinear como 
os elementos pesquisados serão selecionados de modo que a amostra seja 
imparcial e que represente fielmente a população. Ou seja, é preciso definir 
as técnicas de amostragem quando a pesquisa não é realizada com todos os 
elementos da população, mas, sim, com uma amostra.
Dois fatores tornam a aleatorização imparcial. Primeiro, ninguém consegue prever o 
resultado da seleção da amostra antes que ele de fato ocorra. Segundo, o conjunto de 
resultados subjacente deve ser igualmente provável (SHARPE; VEAUX; VELLEMAN, 2011).
3. Organização, apresentação e análise dos dados: com os dados coletados, 
temos o que chamamos de dados brutos da pesquisa. A partir deles, é pre-
ciso organizá-los e apresentá-los de maneira adequada para análise e futura 
conclusão.
A organização deve ser feita mediante critérios de classificação, sejam em 
ordem alfabética nos dados qualitativos ou crescente para dados quantitativos, 
por exemplo. A disposição dos dados de maneira adequada facilita a análise e 
inibe que o erro aconteça ou que algum dado não seja considerado.
Depois de organizados, os dados são apresentados em tabelas, gráficos ou 
histogramas, a fim de ficarem mais evidentes para análise.
Os dados quantitativos, além de serem analisados a partir de tabelas e 
gráficos, permitem-nos analisar por meio de medidas descritivas que cons-
tituem uma síntese das características analisadas. Algumas dessas medidas 
são as médias e as medidas de dispersão.
Essas medidas são uma maneira generalizada de notarmos o conjunto de 
elementos como um todo, classificando-os descritivamente quando possível.
4. Os resultados: após conhecer todas as características dos dados, a partir 
da análise, faz-se as conclusões sobre a população, ou seja, o todo considerado 
na pesquisa. Por meio da estatística inferencial, é possível fazer deduções e 
previsões relevantes, com o intuito de responder o problema inicial da pesquisa.
11O que é estatística
ANDERSON, D. R. Estatística aplicada à administração e economia. 2. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2008.
BARBETTA, P. A.; REIS, M. M. R.; BORNIA, A. C. B. Estatística para cursos de engenharia e 
informática. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
HUFF, D. Como mentir com estatística. Rio de Janeiro: Intrínseca, 2016.
MILONE, G. Estatística: geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learnig, 2006.
SHARPE, N. R.; VEAUX, R. D.; VELLEMAN, P. F. Estatística aplicada: administração, economia 
e negócios. Porto Alegre: Bookman, 2011.
Leituras recomendadas
BECKER, J. L. Estatística básica: transformando dados em informação. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
NAVIDI, W. Probabilidade e estatística para ciências exatas. Porto Alegre: AMGH, 2012.
O que é estatística12
Conteúdo:
BIOESTATÍSTICA
Juliane Silveira 
Freire da Silva
Revisão técnica:
Rute Henrique da Silva Ferreira
Licenciada em Matemática 
Mestre em Educação Matemática 
Doutora em Sensoriamento Remoto 
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin CRB-10/2147
P228b Parenti, Tatiane.
Bioestatística / Tatiane Parenti, Juliane Silveira Freire da 
Silva, Jamur Silveira; [revisão técnica : Rute Henrique da Silva 
Ferreira ]. – Porto Alegre: SAGAH, 2018.
207 p. il. ; 22,5 cm
ISBN 978-85-9502-362-8
1. Bioestatística. I. Silva, Juliane Silveira Freire da. II. Silveira, 
Jamur. III.Título.
CDU 311
Bioestatistica_LIVRO.indb 2 13/03/2018 09:16:30
Organização de dados: 
tabelas e gráficos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer por que os dados devem ser organizados em estatística.
 � Identificar os principais tipos de tabelas e gráficos.
 � Selecionar o tipo de gráfico mais adequado para cada tipo de situação.
Introdução
Neste capítulo, vamos calcular e aplicar métodos estatísticos à análise 
de dados. A partir daí, construir e analisar tabelas e gráficos utilizando 
as normas científicas.
Por que organizamos os dados em estatística?
Quando estamos coletando os dados, essa coleta ocorre de forma aleatória 
e, durante esse processo, não temos a capacidade de organizá-los e também 
não temos condições de tomar alguma decisão com base na coleta, sem o 
tratamento desses dados.
Por esse motivo, precisamos começar a analisar os dados coletados e, de 
alguma forma, resumi-los para podermos visualizar os resultados de forma 
organizada, iniciando, assim, a análise descritiva dos dados. 
Primeiramente, resumimos em tabelas de distribuição de frequências e 
depois podemos fazer gráficos, o que visualmente é melhor para representar 
os dados (Figura 1). A análise descritiva dos dados ainda dispõe de outras 
técnicas além dessas, mas, neste capítulo, atentaremos para a análise de tabelas 
e gráficos.
Bioestatistica_LIVRO.indb 99 13/03/2018 09:16:40
Figura 1. Exemplo de diferentes tipos de gráficos.
Fonte: Araujo (2011).
Título do grá�co Título do grá�co
Título do grá�co
Título do grá�co
Série 1 (linha esquerda)
Série 1 Série 2
Série 3
18
16
14
12
10
45
10,00
9,00
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
40
35
30
25
20
15
10
5
7
6
5
4
3
2
1
0
8
6
4
2
Série 4
Série 1 Série 2
Série 3 Série 4
Série 2 (linha direita)
Categoria E, 1
Categoria A, 5
Categoria D, 2
Categoria C, 3
Categoria B, 4 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov DezJan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Sobre a coleta de dados, é importante estarmos sempre atentos à forma como coleta-
mos os dados. Precisamos, antes de qualquer coleta, estabelecer a metodologia para 
a escolha das unidades amostrais. Muitas vezes, quando coletamos dados, estamos 
interessados em poder fazer inferência para o restante da população (extrapolar para 
toda a população). Somente quando temos uma amostra probabilística – ou seja, 
os elementos da população são escolhidos por sorteio aleatório – que poderemos 
realizar inferências. Caso a amostra não seja probabilística, poderemos apenas fazer 
uma análise descritiva dos dados e o resultado dessa análise dirá respeito somente à 
amostra pesquisada.
Organização de dados: tabelas e gráficos100
Bioestatistica_LIVRO.indb 100 13/03/2018 09:16:40
Tipos de tabelas e gráficos
Existem tabelas que são para dados qualitativos, que também chamamos 
de tabelas para dados categóricos (Tabela 1). São tabelas simples em que se 
anota a frequência que cada uma das opções de resposta aparece na amostra. 
Sexo F Fr
Masculino 63 52,5
Feminino 57 47,5
Total 120 100,0
Tabela 1. Exemplo de tabela com dados qualitativos.
Conforme verificado na Tabela 1, a coluna f (frequência simples absoluta) 
é resultado da contagem da frequência quecada uma das palavras apareceu na 
amostra. Ou seja, havia 63 pessoas do sexo masculino e 57 do sexo feminino 
na amostra.
Para calcularmos a coluna fr, precisamos ver quanto cada uma das fre-
quências tem de proporção no total da amostra. Podemos resolver isso por 
regra de três.
120
63
100%
x 120 ∙ x = 63 ∙ 100 x =
63∙100
120 = 52,5%
Podemos representar essa tabela com um gráfico de setores, também 
conhecido como gráfico de pizza, conforme a Figura 2.
101Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 101 13/03/2018 09:16:40
Figura 2. Gráfico de setores (pizza).
47,5
52,5
Masculino Feminino
Observe que em tabelas para dados de uma variável qualitativa nominal, 
devemos ordenar do mais frequente para o menos frequente. Já quando temos 
uma variável qualitativa ordinal, precisamos respeitar a ordem em que a 
variável é apresentada (Tabela 2).
Satisfação F fr
Muito satisfeito 12 13,3
Satisfeito 14 15,6
Indiferente 21 23,3
Insatisfeito 19 21,1
Muito insatisfeito 24 26,7
Total 90 100
Tabela 2. Exemplo de tabela com dados qualitativos ordinais sobre a satisfação com o 
atendimento recebido em uma Unidade de Pronto Atendimento (UPA) de Porto Alegre, 
RS.
Para representarmos essa tabela, podemos fazer um gráfico de colunas, 
conforme a Figura 3.
Organização de dados: tabelas e gráficos102
Bioestatistica_LIVRO.indb 102 13/03/2018 09:16:40
Figura 3. Exemplo de gráfico de colunas.
30,0
25,0
20,0
15,0 13,3
Muito
satisfeito
Muito
insatisfeito
Satisfeito InsatisfeitoIndiferente
15,6
23,3
26,7
21,1
10,0
5,0
0,0
Podemos também utilizar as tabelas para representar dados quantitativos. 
Nesse caso, podemos ter tabelas por ponto e tabelas por intervalos (também 
chamadas de tabelas por classes). Variáveis quantitativas discretas costumam 
gerar tabelas de distribuição de frequência por ponto (Tabela 3).
Número de filhos F fr
0 12 15,0
1 11 13,8
2 23 28,8
3 19 23,8
4 9 11,3
5 6 7,5
Total 80 100
Tabela 3. Exemplo de tabela quantitativa sobre o número de filhos por família.
103Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 103 13/03/2018 09:16:40
Também podemos representar esses dados com um gráfico de colunas, 
conforme a Figura 4.
Figura 4. Gráfico de colunas sobre o número de filhos por família.
30,0
35,0
25,0
20,0
15,0
15,0 13,8
28,8
23,8
11,3
7,5
543210
10,0
5,0
0,0
Já as variáveis quantitativas geram tabelas de distribuição de frequências 
por intervalos (Tabela 4).
Faixa F Fr
15|---25 9 14,5
25|---35 12 19,4
35|---45 22 35,5
45|---55 11 17,7
55|---65 8 12,9
Total 62 100,0
Tabela 4. Exemplo de tabela com variáveis quantitativas sobre a faixa etária.
Organização de dados: tabelas e gráficos104
Bioestatistica_LIVRO.indb 104 13/03/2018 09:16:40
Para representarmos essa tabela, precisamos nos dar conta de um fato: 
entre as faixas, não existe um intervalo numérico, pois chegamos ao limite 
de um número e na faixa seguinte já iniciamos com ele. Assim, não podemos 
representar nenhum espaço no eixo do gráfico quando temos um gráfico de 
colunas. Nesse caso, as colunas estão grudadas umas às outras, e chamamos 
esse gráfico de histograma (Figura 5).
Figura 5. Exemplo de gráfico histograma. 
30,0
35,0
25,0
20,0
15,0
14,5
15| ---25 25| ---35 35| ---45 45| ---55 55| ---65
19,4
35,5
17,7
12,9
10,0
5,0
0,0
Quando temos uma variável quantitativa discreta, pode ser que também precisemos 
fazer intervalos para melhor representar os dados. Caso existam mais de 10 opções de 
resposta, já podemos montar os intervalos para poder representar melhor esses dados.
105Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 105 13/03/2018 09:16:40
Podemos ainda acrescentar mais colunas a essas tabelas que representam 
dados quantitativos para utilizarmos para fins de análise (Tabela 5). As co-
lunas que necessariamente precisam aparecer em uma tabela de distribuição 
de frequências, além da primeira coluna que representa as opções de resposta 
dos dados coletados, são:
 � f → frequência simples absoluta (resulta da contagem na amostra).
 � fr → frequência simples relativa (resulta da regra de três vista ante-
riormente no capítulo).
 � F → frequência acumulada absoluta (resulta somando a coluna f).
 � Fr → frequência acumulada relativa (resulta somando a coluna fr).
 � x’ → ponto médio do intervalo, no caso da tabela de intervalos.
Faixa f fr F Fr
15|---25 9 14,5 9 14,5 (15+25)/2=20
25|---35 12 19,4 9+12=21 33,9 (25+35)/2=30
35|---45 22 35,5 21+22=43 69,4 (35+45)/2=40
45|---55 11 17,7 43+11=54 87,1 (45+55)/2=50
55|---65 8 12,9 54+8=62 100,0 (55+65)/2=60
Total 62 100,0 - - -
Tabela 5. Exemplo de tabela de faixa etária com demais colunas.
Sobre a nomenclatura para a tabela de distribuição de frequências por intervalos, a 
barra na vertical (|) indica que o número ao seu lado está contido no intervalo. Quando 
temos o traço na horizontal, chegamos muito próximo ao número que está ao seu 
lado, mas não chegamos até ele. Por exemplo:
15|---25 → o número 15 está contido nesse intervalo, mas o número 25 não.
15---|25 → o número 15 não está contido nesse intervalo e o número 25 sim.
15---25 → o número 15 não está contido nesse intervalo e o número 25 também não.
15|---|25 → o número 15 está contido nesse intervalo e o número 25 também.
Organização de dados: tabelas e gráficos106
Bioestatistica_LIVRO.indb 106 13/03/2018 09:16:41
Agora, qual gráfico escolher?
Além dos gráficos apresentados aqui, temos uma grande quantidade de gráficos. 
Os mais básicos para a análise descritiva de dados são os de setores e os de 
barras ou colunas, mas não são somente esses que podemos utilizar.
Quando tivermos uma variável qualitativa, tanto nominal quanto ordinal, 
podemos representar esses dados com um gráfico de setores, de colunas ou 
barras (Figura 6).
Figura 6. Exemplo de dados representados em um gráfico de setores.
Dois Irmãos
7%
Campo Bom
10%
São Leopoldo
15%
Porto Alegre
32%
Canoas
20%
Novo
Hamburgo
16%
Para os mesmos dados, poderíamos representar em um gráfico de colunas 
e de barras (Figuras 7 e 8).
107Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 107 13/03/2018 09:16:41
Figura 7. Exemplo de gráfico de colunas utilizando os dados da Figura 6.
30,0
35,0 32,2
20,0
15,6 15,6
10,0
6,7
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
Dois
Irmãos
Campo 
Bom
São 
Leopoldo
Porto 
Alegre
Canoas Novo
Hamburgo
Figura 8. Exemplo de gráfico de barras utilizando os dados da Figura 6.
Porto Alegre
Canoas
Novo Hamburgo
São Leopoldo
Campo Bom
Dois Irmãos
32,2
20,0
15,6
15,6
10,0
6,7
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0
Agora, para as variáveis quantitativas para tabelas de distribuição de fre-
quências simples ou por intervalos, podemos ter gráficos de colunas para 
representar as variáveis quantitativas discretas, conforme mostra a Figura 9. 
Organização de dados: tabelas e gráficos108
Bioestatistica_LIVRO.indb 108 13/03/2018 09:16:41
Para os dados de variáveis quantitativas representadas em tabelas de distri-
buição de frequências por intervalos, representamos graficamente com um 
histograma, conforme mostra a Figura 10.
Figura 9. Exemplo de gráfico de colunas com variáveis quantitativas discretas.
35,0
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
0 1 2 3 4
15,0 13,8
28,8
23,8
11,3
Figura 10. Exemplo de histograma.
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
0|---10 10|---20 20|---30 30|---40 40|---50
25,6
24,4
17,4
22,1
10,5
109Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 109 13/03/2018 09:16:41
Além desses gráficos, podemos citar ainda o gráfico de dispersão, que é 
utilizado em análise de correlação e regressão, quando temos duas variáveis 
e verificamos a relação entre elas. Imaginemos duasvariáveis, peso e altura. 
Podemos, com o gráfico de dispersão (Figura 11), verificar a relação entre 
elas. Cada um dos pontos representa um par de valores (peso no eixo y e 
altura no eixo x).
Figura 11. Exemplo de diagrama de dispersão.
Pe
so
Altura
110
100
90
80
70
60
50
40
150 160 170 180 190 200
O gráfico de linhas é utilizado quando desejamos representar uma variável 
quantitativa ao longo do tempo (Figura 12). O eixo x sempre será o tempo. 
Imaginemos acompanhar a evolução do número de nascidos vivos em uma 
pequena maternidade ao longo dos anos.
Organização de dados: tabelas e gráficos110
Bioestatistica_LIVRO.indb 110 13/03/2018 09:16:41
Figura 12. Exemplo de gráfico de linhas.
1260
1250
1240
1230
1220
1210
1200
1190
1180
1170
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Nestes endereços eletrônicos, você pode aprender a fazer gráficos utilizando o Excel:
https://goo.gl/4mQZ0m
https://goo.gl/Ek3Ydy
111Organização de dados: tabelas e gráficos
Bioestatistica_LIVRO.indb 111 13/03/2018 09:16:41
Considere os dados referentes a uma pesquisa com 20 famílias de um bairro pequeno, 
onde foi perguntado quantas vezes o chefe da família procurou o médico no ano 
anterior. As respostas da coleta são as seguintes:
1 4 2 0 2
2 2 3 0 4
5 0 1 1 3
3 1 4 2 5
Para representarmos esses dados, o primeiro passo é a montagem da tabela de 
distribuição de frequências. Precisamos contar quantas vezes cada um dos números 
apareceu e então fazer os seus percentuais.
nº de visitas f fr
0 3 15
1 4 20
2 5 25
3 3 15
4 3 15
5 2 10
total 20 100
A segunda maneira de representarmos esses dados seria por meio de um gráfico.
30,0
25,0
25,0
20,0
20,0
15,0
15,0 15,015,0
10,0
10,0
5,0
0,0
0 1 2 3 4 5
Concluímos então que o número mais frequente de visitas é igual a 2, representando 
25%. Ou seja, mais da metade dos chefes de família foi, no máximo, até duas vezes a 
uma consulta com um médico no último ano.
Organização de dados: tabelas e gráficos112
Bioestatistica_LIVRO.indb 112 13/03/2018 09:16:41
ARAUJO, A. Gráficos: modelos prontos. 04 fev. 2011. Disponível em: <http://geomor-
fologiacesc.blogspot.com.br/2011/02/graficos-modelos-prontos.html>. Acesso em: 
26 out. 2017.
Leituras recomendadas
CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed, 
2007.
FREUND, J. E. Estatística aplicada economicamente. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Referência
Organização de dados: tabelas e gráficos113
Bioestatistica_LIVRO.indb 114 13/03/2018 09:16:42
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
ESTATÍSTICA
Ana Laura Bertelli Grams
Medidas de posição: 
média, mediana e moda
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Calcular as medidas de posição: média, mediana e moda.
 � Escolher a medida de posição mais adequada.
 � Aplicar as medidas estatísticas a partir das definições.
Introdução
Após a coleta e organização dos dados de uma pesquisa, é fundamental 
que se faça a análise para futura tomada de decisão. A análise mais trivial 
de um conjunto de dados é feita por meio de medidas de posição.
Neste capítulo, você reconhecerá as medidas de posição central, 
chamadas média, mediana e moda, identificando suas definições, caracte-
rísticas e aplicações em conjuntos numéricos agrupados e não agrupados.
Medidas de posição: média, mediana e moda
Para análise das variáveis qualitativas, precisamos nos restringir apenas à sua 
distribuição de frequências, enquanto que, em sua análise, as variáveis quan-
titativas permitem que algumas medidas que descrevem suas características 
sejam manipuladas e praticadas (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2008). As 
medidas que estudaremos agora serão medidas de posição central.
As medidas estatísticas informam características importantes da amostra, 
que geralmente são um rol com muitos dados difíceis de serem analisados 
quando apresentados todos juntos. Por isso, buscamos algumas medidas que 
os descrevem. As medidas de posição mais utilizadas são as de tendência 
central: média, mediana e moda. 
Essas medidas são chamadas de medidas de tendência central, pois cada 
uma delas tende a se dispor em torno dos valores que ocupam as posições 
centrais de um rol de dados. Além delas, temos as medidas de posição chamadas 
separatrizes, que são: quartil, decil e percentil. 
Média
A média é definida como o centro de massa, ou o ponto de equilíbrio, do 
conjunto (MILONE, 2006). Entre as principais médias, destacamos a média 
aritmética.
A média aritmética é calculada por meio da soma dos dados (quantitativos) 
do conjunto e da divisão da soma pela quantidade de dados do conjunto:
x– =
∑i =1 xi
n
n
onde xi representa os dados em questão (na posição 1 até n-ésima), e n a 
quantidade de dados do conjunto.
Características da média
1. A média é afetada por todos os elementos do conjunto (para o seu 
cálculo, é preciso somar todos eles). Como consequência, ela se altera 
a cada mudança dos elementos do conjunto, e, ainda, valores de extre-
mos, muito altos ou muito baixos, tendem a aumentá-la ou diminuí-la, 
respectivamente, de maneira bastante significativa.
Sendo 30, 32, 44, 82 e 97 dados de uma amostra qualquer, sua média é obtida com 
x– = 30 + 32 + 44 + 82 + 97
5
= 57. Se qualquer dado for afetado por alguma mudança, 
a média também será afetada, especialmente se os extremos se alterarem:
2, 32, 44, 82, 97 →x– = 2 + 32 + 44 + 82 + 97
5
= 51,4 ou ainda: 30, 32, 44, 82 e 250 
→x– = 30 + 32 + 44 + 82 + 250
5
= 87,6.
Medidas de posição: média, mediana e moda2
2. A média apresenta propriedades algébricas de manipulação, que são:
somando-se uma constante a todos os dados da amostra, a média é
aumentada da mesma constante.
A média dos valores 41, 75 e 64 é 41 + 75 + 64
3
= 60. Ao somarmos a constante 5 aos 
dados, temos 46, 80, 69, e a média dos novos valores é 46 + 80 + 69
3
= 65.
3. O valor da média estará sempre entre o maior e o menor valor do conjunto 
de dados e pode não corresponder a algum valor do próprio conjunto.
Como, no conjunto anterior (41, 75, 64), a média é igual a 60, sendo assim, 41 < x– < 
75 e, ainda, não é igual a nenhum dado do conjunto.
Média de dados agrupados
O conceito de média e suas características mantém-se para qualquer conjunto 
de dados. Contudo, o processo do cálculo pode variar, dependendo de como 
esses dados estão apresentados. O caso mais simples para encontrar o valor 
da média é em um rol de dados simplesmente ordenados (ou não), em que 
basta aplicarmos a equação que a define. Já em dados que são apresentados 
em uma distribuição de frequência, precisamos de uma etapa anterior, para 
então aplicarmos a mesma fórmula.
Considere a tabela de distribuição de frequência no Quadro 1, relativa 
ao número de acidentes ocorridos com 30 motociclistas em uma empresa de 
entrega rápida.
3Medidas de posição: média, mediana e moda
Número de acidentes (variável) Número de motociclistas 
(frequência)
1 13
2 5
3 9
4 1
5 2
Quadro 1. Número de acidentes com 10 motoristas de mototáxi
As frequências dos acidentes indicam a intensidade deles, facilitando a 
apresentação das variáveis. Contudo, para o cálculo da média, precisamos ficar 
atentos a elas e não nos esquecer de que cada variável tem a sua quantidade 
indicada na coluna ao lado. O cálculo da média de acidentes por motociclista 
deve ser feito da seguinte maneira:
x– =
(13 ∙ 1) + (5 ∙ 2) + (9 ∙ 3) + (1 ∙ 4) + (2 ∙ 5)
13 + 5 + 9 + 1 + 2 = 2,133
onde cada acidente é multiplicado pela frequência em que ocorreram e a 
soma deles dividida pelo total de motociclistas na empresa.
De maneira geral, a média em uma distribuição de frequência é calculada 
pela lei:
x– =
∑ (xi · fi )
∑ fi
Ou seja, o somatório doproduto entre a variável (xi) e a sua frequência 
correspondente a ( fi), divido pelo somatório das frequências (∑ fi ).
Média de dados agrupados com intervalos de classe
Além do formato do Quadro 1 para apresentação dos dados, podemos, ainda, 
expressá-los por meio de intervalos de classe, que se trata do agrupamento 
dos valores em intervalos. Essa prática é comumente utilizada em variáveis 
contínuas e quando cada valor tem uma baixa frequência, resultando, assim, 
em uma tabela com muitas linhas, que se torna inconveniente para análise. O 
Medidas de posição: média, mediana e moda4
Quadro 2 mostra um exemplo de distribuição de frequência com intervalos 
de classe.
Estatura (variável) Número de alunos (frequência)
160 ⊢ 165 5
165 ⊢ 170 20
170 ⊢ 175 11
175 ⊢ 180 1
180 ⊢ 185 3
Quadro 2. Estatura (em cm) de 50 alunos de uma classe
Por característica das distribuições de frequência com dados agrupados, 
ocultamos algumas informações anteriormente tidas nos dados brutos. Perceba 
que a tabela nos indica que cinco estudantes apresentam estatura entre 160 
cm e 165 cm, porém não nos orienta para a altura exata de cada um deles.
Para cálculo da média de dados apresentados dessa forma, precisamos assumir 
um único valor para esses intervalos de classe. Fizemos isso por meio do cálculo 
da própria média das classes. Para o exemplo anterior, teremos o Quadro 3.
Estatura 
(variável)
xi (média das 
classes)
Número de 
alunos (fi)
xi ∙ fi
160 ⊢ 165 160 + 165
2
= 162,5
5 812,5
165 ⊢ 170 167,5 20 3350
170 ⊢ 175 172,5 11 1897,5
175 ⊢ 180 177,5 1 177,5
180 ⊢ 185 182,5 3 547,5
6785
Quadro 3. Estatura (em cm) de 50 alunos de uma classe — inserção das colunas xi e xi ∙ fi 
para cálculo da média
5Medidas de posição: média, mediana e moda
Note que, no Quadro 3, inserimos, além da média das classes, uma coluna 
com a multiplicação entre a variável e a frequência. Isso pode facilitar no 
cálculo da média. Contudo, é o mesmo que aplicarmos a seguinte lei:
x– =
∑ (xi · fi )
∑ fi
x– =
812,5 + 3350 + 1897,5 + 177,5 + 547,5
40 = = 169,63 cm
6785
40
Concluímos, assim, que a média das estaturas entre os 40 alunos pesqui-
sados é 169,63 cm.
Mediana
Outra medida de centro bastante utilizada é a mediana. Seu conceito é dado 
por: o valor que se encontra no centro de uma série ordenada de números. 
Ou seja, é o dado que divide o conjunto ordenado em dois subconjuntos de 
mesmo número de elementos (CRESPO, 2002).
A posição da mediana é encontrada por n + 12 . Em um conjunto de dados 
não agrupados, como 8, 5, 14, 9, 56, 32, 23, no qual temos n = 7 dados, a 
posição da mediana é dada por 82 = 4, ou seja, na quarta posição. Contudo, 
antes de localizarmos o dado que se encontra na quarta posição, é preciso 
ordená-los segundo um critério preestabelecido, de ordem crescente, por 
exemplo. Sendo assim, temos 5, 8, 9, 14, 23, 32, 56, onde constatamos que a 
mediana é igual a 14.
Em casos em que a quantidade de dados é par, teremos dois termos no 
centro da série. Assim, precisamos encontrar o ponto médio dos dois valores 
para determinarmos a mediana. Na série 2, 5, 8, 9, 14, 23, 32, 56, o quarto e 
o quinto termos são que dividem a série em dois subconjuntos com o mesmo 
número de elementos. Dessa forma, a mediana dessa é dada por 9 + 142 = 11,5.
Perceba que a mediana, além de uma medida de tendência central, também é con-
siderada separatriz, pois divide o conjunto de dados em duas partes com iguais 
quantidades de elementos.
Medidas de posição: média, mediana e moda6
As separatrizes separam o conjunto de dados em grupos com o mesmo número de 
valores, os quartis dividem o conjunto em 4 (quatro) partes iguais, os decis em 10 (dez) 
e os percentis em 100 (cem).
Moda
A moda é geralmente a medida de tendência central mais simples de ser 
informada, pois exige apenas a observação dos dados existentes. Definimos 
moda como o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de 
dados. Ou seja, é o valor mais comum dentre todos do conjunto.
No exemplo 2, 5, 8, 9, 14, 23, 32, 56, temos um conjunto em que todos os 
elementos têm a mesma frequência. Isso implica em um conjunto amodal, ou 
sem moda. Já a série de dados 2, 5, 8, 8, 8, 9, 9 14, 23, 32, 56 tem moda igual 
a 8, e a série 2, 5, 8, 8, 8, 9, 9 14, 23, 32, 56, 56, 56 tem duas modas: 8 e 56. 
Neste último caso, chamamos o conjunto de bimodal.
Escolha da medida de posição mais adequada
A escolha entre a média, a mediana e a moda depende dos fatores que elas 
afetam. É necessário conhecer suas propriedades com a finalidade de adequar 
a melhor medida a cada caso em estudo.
Uma das características da média é sua sensibilidade a valores muito altos 
ou muito baixos do conjunto de dados, pois é uma medida que reflete cada 
valor do conjunto. Sendo assim, uma análise possível é: quando os valores 
extremos do conjunto de dados são consideravelmente dispersos dos de-
mais, a média não é uma medida de posição indicada para análise, pois 
ela não representa adequadamente a maioria dos dados do conjunto.
Por outro lado, a mediana é, de fato, insensível aos valores extremos do 
conjunto, podendo estes se alterarem, e, mesmo assim, a mediana se manter. 
Portanto, no caso citado, a indicação é a utilização da mediana como medida 
de posição mais adequada.
Em contrapartida, a média é mais prática de ser calculada, visto que, para 
encontrar a mediana, é imprescindível a ordenação dos dados, o que acarreta 
7Medidas de posição: média, mediana e moda
em grande dificuldade quando o conjunto apresenta grande quantidade de 
dados, sobretudo quando não se utiliza de recursos tecnológicos para tal.
A moda é geralmente um ponto isolado, mas de maior peso no conjunto de 
elementos. Sua característica é vantajosa sobre as demais, pois é sempre um valor 
típico, o qual tem maior quantidade de valores concentrados no mesmo ponto.
Quando temos dados qualitativos, não podemos aplicar as medidas de posição média 
e mediana, por motivos óbvios. Em contrapartida, a moda é uma medida de posição 
que pode ser obtida mesmo em conjuntos de dados qualitativos.
Aplicação a partir das definições
Nesta etapa de estudo, aplicaremos os conceitos estudados anteriormente em 
alguns exemplos de atividades, a fim de utilizar as ferramentas estatísticas 
para o desenvolvimento do raciocínio lógico, enquanto descobrimos a melhor 
maneira para encontrar as soluções. 
Em um conjunto com 15 dados, a média aritmética é igual a 9. Depois de uma vistoria 
detalhada nos dados, descobriu-se que alguns eram inconsistentes e precisavam 
ser desconsiderados. Assim, os números 34, 27, 14 foram retirados. Qual será a nova 
média do conjunto?
Solução:
Temos que o primeiro conjunto tinha média igual a:
x– =
x1 + ... x15
15 = 9
Assim, a soma de todos os 15 elementos do conjunto de dados é dada por:
x1 + ... x15 = 9 · 15 = 135
Medidas de posição: média, mediana e moda8
Com a retirada de três elementos, passamos a ter 12 dados, e sua soma representada 
por:
x1 + ... x12 = 135 – 34 – 27 – 14 = 60
Aplicando a definição de média, temos:
x– =
x1 + ... x12
12
60 = 5
12
=
Aplicou-se uma prova para 80 alunos da turma da disciplina de Estatística. Porém, 
como o espaço físico era pequeno, dividiu-se a turma em duas partes, que realizaram 
a prova em dias diferentes. No primeiro dia, 35 alunos realizaram a avaliação, e a média 
desse grupo foi 9,0. No segundo dia, aplicou-se a prova para os demais, que obtiveram 
média igual a 7,0. Qual foi a média da turma toda? 
Solução:
Podemos representar a média da turma do primeiro dia como:
x— =
x1 + ... x35
35 = 91
bem como a média da segunda turma é:
x— =
x1 + ... x45
45 = 72
x1 + ... x35 = 9 · 35 = 315
x1 + ... x45 = 7 · 45 = 315
x1 + ... x80 = 315 + 315 = 630
Portanto, a média final é igual a:
x— =
x1 + ... x80
80 = 7,87f
630
80
=
9Medidas de posição: média, mediana e moda
Uma loja de roupas está promovendo um bazar de suas peças e fez a seguinte 
promoção:
 � 2 blusas custam R$ 89,00 cada;
 � 4 blusas custam R$ 68,00cada;
 � 6 blusas custam R$ 57,00 cada.
Qual é o preço médio das blusas desta loja no seu bazar?
Solução:
Os valores expostos na promoção nos fornecem a seguinte relação:
x– =
(2 · 89,00) + (4 · 68,00) + (6 · 57,00)
12 = = 66,00
792
12
Concluímos, assim, que o preço médio de cada blusa é igual a R$ 66,00.
Os próximos exemplos da aplicação da média são exercícios adaptados de 
concursos de vestibular, que mostram variações no raciocínio utilizado para 
empregar o cálculo da média.
(FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 dados, sendo esses números inteiros 
distintos, estritamente positivos, é igual a 16. O maior valor existente entre esses 
dados é igual a:
a) 16
b) 20
c) 50
d) 70
e) 100
Solução:
Como indicado, o conjunto tem cinco elementos. Assim, da mesma maneira das 
soluções anteriores, temos:
x– =
x1 + ... x5
5 = 16
Medidas de posição: média, mediana e moda10
Portanto, a soma de todos os 5 elementos do conjunto de dados é dada por:
x1 + ... x5 = 16 · 5 = 80
Então, para descobrirmos o maior valor possível entre os 5 dados, assumiremos os 
4 outros valores como os menores possíveis, ou seja:
1 + 2 + 3 + 4 + x = 80
Sendo assim, o maior valor possível do conjunto de dados é:
x = 80 – 1 – 2 – 3 – 4
x = 70
Resposta: letra D.
(FUVEST) Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 
a 100, e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que 
8 alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, 
enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o 
professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 
pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou 
a ser 80, e a dos reprovados, 68,8.
a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco 
pontos extras.
b) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, 
atingiram nota para a aprovação?
Solução:
a) Com os dados informados no problema, temos:
x– reprovados =
x1 + ... x8
8 = 65
x– aprovados =
x1 + ... x12
12 = 77
x– total =
(x1 + ... x8) + (x1 + ... x12)
20 =
520 + 924
20
= 72,2
A média das notas da classe antes da atribuição dos cinco pontos extras era de 72,2.
11Medidas de posição: média, mediana e moda
b) A nova média de toda a turma, após a atribuição dos cinco pontos por aluno, é:
x1 + ... x5 = 16 · 5 = 80
x– = 520 + 924 + (5 · 20)
20
=
1544
20
= 77,2
Com a atribuição dos cinco pontos, é possível que alguma quantidade de alunos tenha 
sido aprovada — chamemos essa quantidade de A. Sendo assim, a nova quantidade 
de alunos aprovados é 12 + A, e de alunos reprovados, 8 – A.
Temos, do enunciado, que a nova média dos aprovados é 80, e dos reprovados, 
68,8. Então:
77,2 = (12 + A) 80 + (8 – A) 68,8
20
Resolvendo a equação, temos que A = 3.
Assim, 3 alunos foram aprovados após a atribuição dos 5 pontos.
BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística para cursos de engenharia e infor-
mática. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
MILONE, G. Estatística: geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
Leitura recomendada
BECKER, J. L. Estatística básica: transformando dados em informação. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
Medidas de posição: média, mediana e moda12
Conteúdo:
Assimetria
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, aprofundaremos nosso conhecimento sobre a assimetria. Para isso, verificare-
mos quais as situações em que, utilizando-nos de uma distribuição de dados, é possível identificar 
se há uma tendência de distribuição de dados ao longo da média, ou se o conjunto possui alguma 
desigualdade. Assim, entenderemos o conceito e as características das distribuições simétricas 
e assimétricas. 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • identificar os tipos de assimetria baseados na posição relativa entre a média e a 
mediana.
1 Conceito de assimetria
Quando pensamos em assimetria, normalmente, estamos considerando uma desigualdade, 
uma discrepância, uma tendência. Já a simetria, por sua vez, pressupõe uma organização de ele-
mentos que segue uma ordem, uma coincidência de informações (CRESPO, 2005). Além disso, 
na Estatística, quando analisamos uma distribuição de dados associada a uma amostra ou a 
uma população, é comum efetuarmos alguns cálculos denominados medidas de posição, como 
a média (que denota o ponto equidistante entre os dois extremos de uma distribuição), a mediana 
(que divide os dados do conjunto em duas partes iguais) e a moda (o elemento que se repete com 
maior frequência). 
Deste modo, quando analisamos graficamente esta distribuição, verificamos se ela é simé-
trica, ou seja, igualmente distribuída em relação à média, ou assimétrica, quando há uma diferença 
em relação à distribuição de dados em torno da média. Assim, quanto maior for esta diferença, 
pode-se dizer que a distribuição é mais assimétrica (CRESPO, 2005).
Para entender melhor o conceito de assimetria, tomemos um exemplo. Um aluno, ao anali-
sar um conjunto de dados, constrói um histograma - uma representação gráfica em colunas, em 
que o eixo horizontal apresenta as classes (intervalos de valores) e o eixo vertical apresenta as 
frequências (o número de vezes em que se visualizou um certo dado) - verificando como se dá a 
distribuição dos valores para uma característica de interesse. 
Figura 1 – HistogramaHistograma
Classe
Fr
eq
uê
nc
ia
1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
0
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
No exemplo, vimos que a distribuição dos dados é simétrica, pois, em cinco classes, há o 
mesmo número de dados distribuídos em torno da média. Mas, como verifi car a simetria de uma 
distribuição de dados de um conjunto, ou de uma amostra de várias classes? Nestes casos, utili-
zamos o primeiro Coefi ciente de Assimetria de Pearson (Ap), um valor adimensional que permite a 
verifi cação da assimetria, conforme a equação:
=
X Mo-X Mo-
Ap
s
Em que:
Ap = coefi ciente de assimetria;
S = desvio padrão, que é dado pela equação 
( )22 1
n
ii
x Xix Xi
n
=
x X−x X∑
 cujo quadrado corresponde 
à variância; 
O somatório ( )∑
n 2
i
i=1
x X−x X−ix Xi mostra os quadrados dos desvios, ou seja, as diferenças de cada dado 
xi, sendo i =1, 2, 3... até o último dado, n, em relação à média;
x = média das observações, dada pela fórmula ni=1 /∑
 
iX x n
nX x nn /X x n/X x n=X x n=∑X x n∑ iX x ni ;
Mo = Moda, ou seja, o elemento que apresenta maior frequência;
= n – número de observações.
Caso um conjunto de dados não possua moda, utilizamos o segundo coefi ciente de assime-
tria de Pearson dado por:
( )3× −(× −(
=
X Md× −X Md× −
Ap
s
Em que Md representa a mediana, o valor que separa os 50% menores dos 50% maiores 
valores.
2 Tipos de assimetria
Uma distribuição de frequências pode ser classifi cada como simétrica, assimétrica posi-
tiva ou assimétrica negativa, em função de como os dados e frequências são distribuídos 
(CRESPO, 2005).
FIQUE ATENTO!
A distribuição simétrica não é preferível à distribuição assimétrica, ou seja, não há 
um critério de qualidade em relação à simetria de um conjunto de dados, uma vez 
que as características de interesse devem ser fi xadas pelo pesquisador.
Quando o Coefi ciente de Assimetria de Pearson é igual a zero, observamos que a média é 
igual a moda, logo, o ponto que contém a maior frequência corresponde à média, e a distribuição 
é perfeitamente simétrica. Na fi gura anterior, temos um exemplo de distribuição simétrica, uma 
vez que a moda, a mediana e a média são iguais e estão na terceira classe. Assim, há o mesmo 
número de dados à esquerda e à direita desta classe.
Caso haja uma tendência de acumulação das frequências à esquerda ou à direita da moda, 
observaremos que esta distribuição possui uma assimetria. Trata-se do chamado “encauda-
mento” (CRESPO,2005).
3 Distribuições simétricas - características
A distribuição simétrica ocorre quando uma amostra possui uma característica de interesse 
que tenha valores igualmente dispostos em torno da moda e da média. Para Stevenson (2001, 
p. 48) a distribuição é simétrica quando “a metade esquerda é a imagem refl exa da metade direita”. 
A fi gura a seguir representa uma distribuição simétrica.
Figura 2 – Distribuição simétrica
-3 -25 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Em uma distribuição de frequências, a chamada ‘curva normal’ possui uma distri-
buição simétrica, sendo que cerca de 95% dos dados encontra-se em uma distân-
cia inferior a dois desviospadrões em relação à média.
A distribuição simétrica possui as seguintes características:
 • x Md Mox Md Mox Md Mo= =x Md Mo , ou seja, a média, mediana e moda se equivalem;
 • Ap = 0, o coefi ciente de assimetria é nulo;
 • metade do gráfi co é a imagem-espelho da outra.
Portanto, há uma pequena probabilidade de visualização de frequências baixas ou altas nas 
primeiras e últimas classes destas distribuições, fazendo com que este tipo de distribuição tenha 
a forma de um “sino”.
EXEMPLO
Calculemos o coefi ciente de assimetria do conjunto de dados A = {1,2,2,3,3,3,4,4,5}. 
Primeiro, precisamos obter a média, que é dada por:
( )1 2 2 3 3 3 4 4 5/ 3(/ 3( )/ 3)1 2 2 3 3 3 4 4 5/ 31 2 2 3 3 3 4 4 5
9
/ 3
9
/ 3
1 2 2 3 3 3 4 4 5+ + + + + + + +1 2 2 3 3 3 4 4 51 2 2 3 3 3 4 4 5
/ 3
1 2 2 3 3 3 4 4 5+ + + + + + + +1 2 2 3 3 3 4 4 5
/ 3
1 2 2 3 3 3 4 4 5
/ 3= = =/ 3(/ 3(= = =(/ 3( )/ 3)= = =)/ 3)/ 3= = =/ 3∑ iX x n/ 3X x n/ 3X x n/ 3X x n/ 3= = =X x n= = =/ 3= = =/ 3X x n/ 3= = =/ 3X x n= = =X x n= = =∑X x n∑= = =∑= = =X x n= = =∑= = =iX x ni= = =i= = =X x n= = =i= = =nX x nnX x ni=1
A moda é o elemento com a maior repetição: Mo 3Mo 3=Mo 3
A variância desta amostra é dada por:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)
2 2 2 2(2 2 2( )2 2 2) (2 2 2( )2 2 2)2 1
1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 21 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2(
4 3 4 3 5 3)4 3 4 3 5 3) (4 3 4 3 5 3( )4 3 4 3 5 3) (4 3 4 3 5 3(2 2 24 3 4 3 5 32 2 2(2 2 2(4 3 4 3 5 3(2 2 2( )2 2 2)4 3 4 3 5 3)2 2 2) (2 2 2(4 3 4 3 5 3(2 2 2( 12 1,500
1 9 1 8
=
1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3− + − + − + − + − + −1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(
+ − + − + −(+ − + − + −(4 3 4 3 5 3+ − + − + −4 3 4 3 5 3)4 3 4 3 5 3)+ − + − + −)4 3 4 3 5 3) (4 3 4 3 5 3(+ − + − + −(4 3 4 3 5 3( )4 3 4 3 5 3)+ − + − + −)4 3 4 3 5 3) (4 3 4 3 5 3(+ − + − + −(4 3 4 3 5 3(
= = = == = = =
(
= = = =
( )
= = = =
) (
= = = =
( )
= = = =
) (
= = = =
( )
= = = =
)
= = = == = = =
− −1 9 1 8− −1 9 1 8
∑k ii x X−x X−ix Xis
n
Deste modo, temos que o desvio padrão amostral é dado pors 2 1,500 1,225= == =2= =2 1,500 1,225= =1,500 1,225 
Assim, o coefi ciente de assimetria é 
3 3
1,225
− −3 3− −3 3
= = == = == = =
X Mo− −X Mo− −Ap
s . Logo, a distribuição de fre-
quências associado ao conjunto A é simétrica.
SAIBA MAIS!
Na Estatística, as distribuições simétricas associadas a uma curva normal são 
muito utilizadas para a formulação de Testes de Hipóteses. Esses testes procuram 
validar o comportamento de características de uma população a partir de uma 
amostra representativa da mesma.
4 Distribuições assimétricas positivas
A distribuição assimétrica positiva é conhecida pelo nome de distribuição assimétrica à 
direita, devido ao fato de a assimetria ser visualizada na parte direita do gráfi co. Na fi gura a seguir, 
a distribuição possui um encaudamento (distorção) à direita, indicando que há pequenas probabi-
lidades de ocorrência de valores mais altos em uma distribuição de dados associada a esta curva.
Figura 3 – Distribuição assimétrica positiva
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
A distribuição assimétrica positiva possui as seguintes características:
 • Mo Md xMo Md xMo Md x< <Mo Md x , ou seja, a moda é menor que a mediana, que é menor que a média;
 • Ap > 0, ou seja, o coefi ciente de assimetria é maior do que zero;
 • o gráfi co não cria imagem-espelho entre as metades.
EXEMPLO
Vamos calcular o coefi ciente de assimetria do conjunto de dados de uma amostra 
dado por: 
B = {1,1,1,2,2,5,16}. 
A média é dada por 
( )1 1 1 2 2 5 16/ 4(/ 4( )/ 4)
7
1 1 1 2 2 5 16+ + + + + +1 1 1 2 2 5 16
/ 4= = =/ 4/ 4= = =/ 4∑ iX x n/ 4X x n/ 4X x n/ 4X x n/ 4X x n= = =X x n= = =/ 4= = =/ 4X x n/ 4= = =/ 4= = =X x n= = =∑X x n∑= = =∑= = =X x n= = =∑= = =iX x ni= = =i= = =X x n= = =i= = =nX x nnX x ni=1
A moda é o elemento que apresenta a maior repetição, logo Mo 1Mo 1=Mo 1 
A variância amostral é dada por
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)
2 2
2 1
1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 21 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 42 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2(
16 4 180 30
1 7 1 6
=
1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4− + − + − + − + − + −1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 42 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(
+ −(+ −(16 4+ −16 4
= = = == = = == = = == = = =
− −1 7 1 6− −1 7 1 6
∑k ii x X−x X−ix Xis
n
Como a variância é igual a 30, o desviopadrão associado a esta amostra é
2 30 5,477= == =30 5,477= =30 5,477s
Assim, o coefi ciente de assimetria é
4 1 0,548
5,477
− −4 1− −4 1
= = == = == = =
X Mo− −X Mo− −Ap
s
Como o valor é maior que zero, temos que a distribuição é assimétrica positiva.
Para descobrir o sinal da assimetria (negativa ou positiva), apenas, não é necessário o cálculo 
do Coefi ciente de Assimetria, basta observar o sinal da diferença entre a Moda e a Média, uma vez 
que o Desvio Padrão é sempre maior ou igual a zero. 
Na Demografi a, área que estuda o comportamento da população sob uma perspectiva esta-
tística, podemos encontrar exemplos de distribuições assimétricas. Em muitos países em desen-
volvimento, de menor nível de renda, costuma-se observar um predomínio de habitantes de menor 
idade, uma vez que a baixa expectativa de vida e o crescimento populacional recente fazem com 
que a porcentagem de idosos nestes grupos seja pequena (CARVALHO, 2004). Assim, quando dis-
tribuímos os dados por faixas etárias, percebemos uma participação muito grande de indivíduos 
com idade inferior à média.
FIQUE ATENTO!
Valores extremamente desassociados a uma distribuição de frequências, ou seja, 
atípicos, são denominados outliers. Eles prejudicam a análise estatística, pois inter-
ferem no cálculo da média e dos coefi cientes de dispersão e assimetria. 
5 Distribuições assimétricas negativas
A distribuição assimétrica negativa recebe a denominação de distribuição assimétrica à 
esquerda, pois o “encaudamento” (distorção) está presente na parte esquerda do gráfi co. Uma 
distribuição assimétrica negativa pode ser evidenciada quando há dados que estejam mais asso-
ciados a um limite inferior, relacionado a classes ou intervalos de classes mais baixos (classes 1, 
2, 3...) para uma característica de interesse, de maneira que poucos valores sejam pertencentes a 
estas classes.
Figura 4 – Distribuição assimétrica negativa
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Fonte: elaboradapelo autor, 2016.
A distribuição assimétrica negativa caracteriza-se por:
 • x Md Mox Md Mox Md Mo< <x Md Mo , ou seja, a média é menor que a mediana, que é menor que a moda;
 • Ap < 0, o coefi ciente de assimetria é menor que zero;
 • o gráfi co não cria imagem-espelho entre as metades.
Por exemplo, no conjunto de dados: C = {1,1,2,3,4,4,4}, a média é dada por
n
i=1
( )1 1 2 3 4 4 4/ 2,714(/ 2,714( )/ 2,714)1 1 2 3 4 4 4/ 2,7141 1 2 3 4 4 4
7
/ 2,714
7
/ 2,714
1 1 2 3 4 4 4+ + + + + +1 1 2 3 4 4 4
/ 2,714= = =/ 2,714/ 2,714= = =/ 2,714∑ iX x nnX x nn / 2,714X x n/ 2,714X x n/ 2,714X x n/ 2,714X x n= = =X x n= = =/ 2,714= = =/ 2,714X x n/ 2,714= = =/ 2,714= = =X x n= = =∑X x n∑= = =∑= = =X x n= = =∑= = =iX x ni= = =i= = =X x n= = =i= = =
A moda é 4=Mo
A variância da amostra é
( )22 1
1
==
−
∑k ii x X−x X−ix Xis
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)
2
1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 21 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,7142 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2(
4 2,714
7 1
1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714− + − + − + − + − + −1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(
+ −(+ −(4 2,714+ −4 2,714
=
7 1−7 1
11,429
6
=
( )22 1 11,429 1,904
1 6
== = == = == = =
−
∑k ii x X−x X−ix Xis
n
Logo, o desvio padrão amostral é 2 1,904 1,38= == =2= =2 1,904 1,38= =1,904 1,38s . Assim, temos que o coefi ciente de assi-
metria é 
2,714 4 0,932
1,38
− −2,714 4− −2,714 4
= = = −= = = −= = = −
X Mo− −X Mo− −Ap
s . Como Ap é menor que zero, a distribuição é assimé-
trica negativa. Aqui, da mesma forma que no exemplo anterior, não é necessário o cálculo do 
Coeficiente de Assimetria para saber o sinal da assimetria, pois como a Média (2,714) é menor que 
a Moda (4), a assimetria é negativa.
Para sabermos se uma distribuição é pouco ou muito assimétrica, com base na análise do 
coefi ciente de assimetria de Pearson, temos de tomar o módulo, que representa os valores abso-
lutos, de tal coefi ciente. Assim, temos que, caso o valor, em módulo, para o coefi ciente seja inferior 
a 1, a distribuição é pouco assimétrica. No entanto, quando o valor é superior a 1, a distribuição é 
muito assimétrica.
SAIBA MAIS!
Conheça exemplos de distribuições simétricas e assimétricas no estudo do Instituto 
Brasileiro de Geografi a e Estatística (IBGE) sobre a população brasileira. Acesse:
http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/imprensa/ppts/00000014425
608112013563329137649.pdf .
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • entender o que são distribuições simétricas e assimétricas;
 • conhecer o Coefi ciente de Assimetria de Pearson;
 • conhecer a classifi cação das distribuições assimétricas.
Referências
CARVALHO, José Alberto Magno. Crescimento populacional e estrutura demográfica no Brasil. 
Texto para Discussão. n. 227, Cedeplar/UFMG, 2004. Disponível em: <http://cedeplar.face.ufmg.
br/pesquisas/td/TD%20227.pdf>. Acesso em: 17 fev 2017.
CRESPO, Antonio. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2005.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE). Projeção da população por sexo 
e idade: Brasil 2000-2060. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/
imprensa/ppts/00000014425608112013563329137649.pdf.>.Acesso em: 13 fev. 2017.
STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Editora Harbra, 2001.
Medidas de posição: separatrizes
Rafael Botelho Barbosa
Introdução 
As medidas de posição têm por finalidade representar um conjunto de dados por meio de um 
valor. Nesta aula, conheceremos as medidas de posição chamadas separatrizes, bem como suas 
principais classificações.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • identificar as medidas separatrizes.
Bons estudos!
1 Medidas de posição
Por meio da análise das medidas de posição, conseguimos verificar como é a distribuição de 
um determinado conjunto de dados. Estas medidas são divididas em medidas de tendência e sepa-
ratrizes. Nesta aula, aprofundaremos nosso conhecimento sobre as separatrizes. Acompanhe!
2 Separatrizes 
As separatrizes são medidas de posição que separam um conjunto de dados em “n” partes. 
Cada uma destas partes deve conter a mesma quantidade de dados. Assim, caso façamos uma 
divisão de um conjunto de 40 dados em 4 partes, cada parte terá 10 dados. 
FIQUE ATENTO!
A mediana é uma das separatrizes, visto que separa um conjunto de dados em duas 
partes com exatamente a mesma quantidade de dados.
A classificação e nomenclatura das separatrizes dão-se com base no número de divisões fei-
tas. As separatrizes mais conhecidas são: quartil (divisão de um conjunto de dados em 4 partes), 
decil (divisão em 10 partes) e percentil (divisão em 100 partes).
SAIBA MAIS!
Na seção 4 (p. 109) do texto “Estatística aplicada à educação”, do Ministério da 
Educação, você pode aprofundar seus conhecimentos sobre o tema desta aula. 
Acesse: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/profunc/estatistica.pdf>. 
2.1 Quartil
No quartil, a série de dados será dividida em quatro partes iguais (cada parte contém a 
mesma quantidade de dados). Temos, então, 3 quartis denominados 1 2 3Q ,Q ,Q . Assim, podemos 
dizer que 25% dos dados estão presentes dentro de cada quartil; e que 50% dos dados situam-se 
até o valor do quartil 2Q (note que o quartil 2Q é a mediana); 75% dos dados situam-se até o valor 
do quartil 3Q . Stevenson (2001, p. 22) afirma que 
os quartis dividem conjuntos ordenados em 4 partes iguais: 25% dos valores serão inferio-
res ao primeiro quartil ( 1Q ), 50% serão inferiores ao segundo quartil ( 2Q mediana= ), 75% 
serão inferiores ao terceiro quartil ( 3Q ) e 25% serão superiores ao terceiro quartil.
De acordo com Crespo (2005), os quartis são valores (o valor de um quartil pode não coincidir 
com um valor observado) que dividem o conjunto de dados em quatro partes iguais, conforme 
figura a seguir. 
Figura 1 – Representação das divisões dos quartis
Q1 Q2 Q3
0% 25% 50% 75% 100%
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
Os quartis podem ser calculados como:
 • dados não agrupados: quando os dados não estão agrupados em classes (interva-
los de valores). Nestes casos, devemos utilizar a expressão i ii
k f
Q
4
= ∑ para calcular 
os quartis;
EXEMPLO
Considerando os dados (2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 9), temos que ( )1
1 10
Q = =2,5
4
; 2Q , que é a me-
diana, é dado pela média dos elementos centrais, logo vale 5,5; e ( )3
3 10
Q 7,5
4
= = ; assim, 
podemos dizer que: o quartil 1 ocupa a posição 2,5, ou seja, ele é o valor 2,5 (média de 2 
e 3); o quartil 2 é 5,5; o quartil 3 ocupa a posição 7,5, é o valor 6 (média de 6 e 6).
 • dados agrupados com intervalos de classes: quando os dados estão agrupados em 
classes, devemos utilizar a expressão 
( )i *
i i *
k f
F ant h
4
Q LI
f
 
− 
 = +
∑
 Em que:
iQ - quartil i;
iLI - limite inferior da classe que contém o quartil em análise;
k - número do quartil (quartil 1, 2, ou 3);
if
4
∑ - somatório das frequências dividido por 4;
( )F ant - frequência acumulada da classe anterior àquela que estamos analisando;
*h - intervalo ou amplitude da classe que estamos analisando;
*f
 - frequência da classe que estamos analisando.
EXEMPLO
Considere as classes apresentadas na tabela a seguir.
Tabela 1 – Classes
Classe Frequência simples Frequência acumulada
[150,154) 4 4
[154,158) 9 13
[158,162) 11 24
[162,166) 8 32
[166,170) 5 37
[170,174) 3 40
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
Assim, calculamos os quartis.
Quartil 1: 
1x40 10
4
= . Então, 10 dados são inferiores ou iguais ao quartil 1. 
Logo, ele está na classe [154, 158). Assim, 1
1x40 4Q 154 4 156,66
4 9
  = + − =    
 ; 
EXEMPLO
 Quartil 2: 
2x40 20
4
= . Então, 20 dados são inferiores ou iguais ao quartil 2. 
Logo, ele está na classe [158, 162). Assim, 2
2x40 4Q 158 13 160,54
4 11
  = + − =    
 ;
Quartil 3 
3x40 30
4
= . Então, os dados são inferiores ou iguais ao quartil 3. 
Logo, ele está na classe [162, 166). Assim, 
3
3x40 4Q 162 24 165
4 8
  = + − =    
 ;
Assim encontramos todos os quartis para o caso em questão.
Atente para as expressões utilizadas para calcular os quartis para dados agrupados em clas-
ses e para dados não agrupados. Você irá notar que nos tópicos a seguir, faremos apenas algumas 
reformulações destas expressões.
2.2 Decil
 Os decis dividem um conjunto de dados em 10 partes iguais. Deste modo, podemos dizer 
que 10% dos dados são inferiores ou iguais ao primeiro decil 1D , 20% dos dados são inferiores ou 
iguais ao segundo decil 2D e assim por diante, até chegar ao último decil. 
Figura 2 – Representação das divisões dos decis
D1 D2 D9
0% 10% 20% 90% 100%. . .
. . .
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
O decil 5 equivale à mediana, visto que 50% dos dados são menores ou iguais a ele.
Agora, vejamos os cálculos para dados não agrupados ou agrupados em classes.
 • Dados não agrupados: quando os dados não estão agrupados em classes, usamos 
a expressão
i i
i
k f
D
10
= ∑
 • Dados agrupados com intervalos de classes: quando os dados estão agrupados em 
classes, devemos utilizar
( )i *
i i *
k f
F ant h
10
D LI
f
 
− 
 = +
∑
Em que:
iD - decil i;
iLI - limite inferior da classe que contém o decil em análise;
 k - número do decil (1, 2, 3, ...9);
if
10
∑ - somatório das frequências dividido por 10;
( )F ant - frequência acumulada da classe anterior àquela que estamos analisando;
*h - intervalo ou amplitude da classe que estamos analisando;
*f - frequência da classe que estamos analisando.
Para exemplificar o cálculo, considere o seguinte conjunto de dados: 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 
8, 9, 9, 9, 10, 11, 12,12, 13, 14, 15. Quais seriam, então, os três primeiros decis? Note que temos 
20 dados, logo, o primeiro decil é o valor que ocupa a posição 1 x 20 2ª posição
10
= , que é o 3. O 
segundo decil é o valor que ocupa a posição 2x20 4ºposição
10
= , que é 5. O terceiro decil é o valor 
que ocupa a posição 3x20 6ºposição
10
= 
203x 6ºposição
2
= , que é 6. 
Os cálculos dos decis seguem a mesma linha de raciocínio dos quartis, sendo necessário 
apenas fazer as devidas adaptações.
2.3 Percentil 
O percentil divide um conjunto de dados em 100 partes iguais. Desta forma, o percen-
til 1P indica que 1% dos dados são inferiores ou iguais a ele. O percentil 2P ilustra que 2% dos 
dados são inferiores ou iguais a ele; o 3P indica que 3% dos dados são inferiores ou iguais a ele; e 
assim sucessivamente.
Figura 3 – Representação das divisões dos percentis
P1 P2 P98
0% 1% 2% 98% 100%. . .
. . .
99%
P99
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
Os percentis também são calculados a partir de dados não agrupados e agrupados 
em classes. 
 • Dados não agrupados: quando os dados não estão agrupados em classes, usamos 
a expressão
i i
i
k f
P
100
= ∑
 • Dados agrupados com intervalos de classes: quando os dados estão agrupados em 
classes, usamos
( )i *
i i *
k f
F ant h
100
P LI
f
 
− 
 = +
∑
Em que:
iP - percentil i;
iLI - limite inferior da classe que contém o percentil em análise;
k - número do percentil (1, 2, 3, ...99);
if
100
∑ - somatório das frequências dividido por