Dimensionamento a Flexão Simples

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1 Dimensionamento a Flexão Simples 
 
No item 17.2.2 da NBR-6118/14 – Hipóteses básicas, recomenda as seguintes hipóteses para 
o dimensionamento em concreto armado, com armaduras passivas: 
 
a) a seções transversais se mantém planas após a deformação; 
b) a deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma 
do concreto e em seu entorno, quando houver a necessidade de armadura dupla; 
c) a distribuição de tensões no concreto é feita de acordo com o diagrama de parábola-
retângulo, com tensão de pico igual a αc.fcd. Esse diagrama pode ser substituído pelo 
retângulo de profundidade y=λx, onde o parâmetro λ pode ser tomado igual a: 
 
- λ=0,8, para fck≤ 50 MPa; 
- λ=0,8-(fck-50)/400, para fck > 50 MPa 
 
- αc.fcd 
- αc = 0,85, para fck≤ 50 MPa; 
- αc = 0,85*(1-(fck-50)/200), para fck > 50 MPa 
 
Desta forma, obtemos: 
 
fck (MPa) λ αc 
≤ 50 0,8000 0,8500 
55 0,7875 0,8287 
60 0,7750 0,8075 
65 0,7625 0,7862 
70 0,7500 0,7650 
75 0,7375 0,7437 
80 0,7250 0,7225 
85 0,7125 0,7012 
90 0,7000 0,6800 
 
 
1.1 Modelo de Flexão– Formulação geral sendo y=λx e αc 
 
 
 
Equilíbrio 
 
Forças 
 
 Rsd = Rcd ou αc.bw.λ.x.fcd = As.σsd Eq.1 
 
Momentos ( Mu - Momento Ultimo ou Mr - Momento Resistente) 
 
 Mu = Rsd (d - 0,5.λ.x) ou Mu=Rcd (d - 0,5.λ.x) Eq.2 
 
 Mu = As.fyd (d-0,5.λx) ou Mu = αc.bw.λ.x.fcd (d - 0,5.λ.x) Eq.3 
 
Onde: 
 
x altura da linha neutra; 
λ profundidade da linha neutra conforme fck; 
αc efeito Rüsch para cada fck; 
d altura útil; 
As área de aço; 
σsd tensão atuante no aço; 
Rsd força de tração no aço; 
bw largura da peça e/ou elemento; 
Rcd esforço resistente de cálculo no concreto; 
fcd tensão máxima de cálculo do concreto; 
 
Isolando X: �� � α�. �� . 	. 
. ���. 
� � 0,5. 	. 
� 
 
	. 
. 
� � 0,5. 	. 
� � ��
α�. ��. ���� 
 �. 	. 
. �0,5. 	�. 
� � ��
0,85. ��. ���� 
 �. 	. 
 � 0,5. 	�. 
� � ��
α�. ��. ����					 . 
�1� 
 0,5. 	�. 
� � �. 	. 
 + ��
α�. ��. ���� 
 
Resolvendo Equação de 2° grau: 
 
a= 0,5.λ² 
b= -d.λ 
c= 
��
αc.��.���� 
 � �� ± √�� � 4!�2! 
 
 � d. λ ± %��λ� � 4.0,5. 	�. ��
α�. �� . ����2.0,5. 	� 
 
 � d. λ ± %��λ� � 2.��. 	
�α�. �� . ���1,0. 	� 
 
 
 � d. λ ± %��λ� � 2.��. 	
�α�. �� . ���	� 
 
 � d. λ	� ±
%��λ� � 2.��. 	�α�. �. ���	� 
 
Retirando o d²λ² de dentro da raiz: 
 
 � d	 ± 1	�&'1 � 2.��α�. �� . ��. ���( . d�. 	� 
 
 � d	 ± d. λ	� &1 � 2.��α�. �� . ����� 
 
 � d	 ± d	&1 � 2.��α�. ��. ����� 
 
 
 
 
Isolando �) 
′ � d	 +1 + 1&1 � ��0,5. α�. ��. �����, 
 
 
′′ � d	 +1 � 1&1 � ��0,5. α�. ��. �����, 
 
 
Utilizando a opção válida x'', pois apresenta resultados dentro da seção calculada. 
 
 
 � d	 -1 � +&1 � ��0,5. α�. �� . �����,. 												Eq. 4 
 
Utilizando a Equação 3: 
12 � ��34567 .
�80,5.	.9� Eq.5 
 
1.2 Modelo de Flexão - Dimensionamento - Para fck ≤≤≤≤ 50 MPa, λ=0,8 e αc=0,85 
 
 
Equilíbrio λ=0,8 e αc=0,85 
 
Forças para 
 
 Rsd = Rcd ou 0,68.bw.x.fcd = As.σsd Eq.1 
 
 
Momentos ( Mu - Momento Ultimo ou Mr - Momento Resistente) 
 
 Mu = Rsd (d - 0,4x) ou Mu=Rcd (d - 0,4x) Eq.2 
 
 Mu = As.fyd (d-0,4x) ou Mu = 0,68.bw.x.fcd (d - 0,4x) Eq.3 
 
Onde: 
 
x altura da linha neutra em cm; 
d altura útil em cm; 
As área de aço cm²; 
σsd tensão atuante no aço em kN/cm²; 
Rsd força de tração no aço em kN; 
bw largura da peça e/ou elemento em cm; 
Rcd esforço resistente de cálculo no concreto em kN; 
fcd tensão máxima de cálculo do concreto em kN/cm²; 
 
Substituindo λ=0,8 e αc=0,85, obtemos: 
 
 
 � d0,8 -1 � +&1 � ��0,5.0,85. ��. �����,. 
 
 = 1,25. � -1 � +&1 � ��0,425. �� . �����,. 													Eq. 4 
 
Substituindo λ=0,8 e αc=0,85na Equação5: 
 12 = ��34567 .
�8:,;.:,<.=� 
 
 12 = ��34567 .
�8:,>.=� Eq.5 
Verificação: 
 
Sendo: 
Rsd = Rcd e 0,68.b.x.fcd = As.σsd Eq. 1 
 
Isolando o X, obtemos: 
 = ?@.A@�
:,B<.C.���
 Eq.6 
 
Obtemos o Mu ou Mr (Momento resistente): 
Mu = 0,68.b.x.fcd (d - 0,4x) Eq.3 
 
Domínios de Deformação 
Domínio 2a 
 
0,002
=
0,01
� � 
�
 
 
0,002
� � 
� = 0,01
 
 
0,002� � 0,002
 = 0,01
 
 
0,002� = 0,012
 
 
0,002
0,012
� = 
 
 
0,167� = 
 - 
 = 0,167� 
ou 
9
�
= 0,167 
 
 
Domínio 2b 
 
 
0,0035
=
0,01
� � 
�
 
0,0035
� � 
� = 0,01
 
0,0035� � 0,0035
 = 0,01
 
0,0035� = 0,0135
 
0,0035
0,0135
� = 
 
0,259� = 
 - 
 = 0,259� ou 
�
= 0,259 
 
 
Domínio 3 
 
 
εyd =
fyd
Es
 
fyd resistência de cálculo do aço fyd = LMN
OP
 
Es Modulo de elasticidade do aço Es= 21000 kN/cm² ou 210 GPa 
ᵞs Coeficiente de ponderação do aço = 1,15 
Para aço CA-25 
fyk = 25 kN/cm² 
 
εyd =
25/1,15
21000
= 0,00103 
 
Para aço CA-50 
fyk = 50 kN/cm² 
 
εyd =
50/1,15
21000
= 0,00207 
Para aço CA-60 
fyk = 60 kN/cm² 
 
εyd =
60/1,15
21000
= 0,00248 
 
 
Por semelhança de triângulos, determina-se os limites dos domínios de deformação, separados 
por tipo de aço. 
Para aço CA-25 
 
 
0,0035
=
0,00103
� � 
�
 
0,0035
� � 
� = 0,00103
 
0,0035� � 0,0035
 = 0,00103
 
0,0035� = 0,00453
 
0,0035
0,00453
� = 
 
0,772� = 
 
 = 0772� ou 
�
= 0,772 
Para aço CA-50 
 
0,0035
=
0,00207
� � 
�
 
0,0035
� � 
� = 0,00207
 
0,0035� � 0,0035
 = 0,00207
 
0,0035� = 0,00557
 
0,0035
0,00557
� = 
 
0,628� = 
 
 = 0,628� ou 
�
= 0,628 
Para aço CA-60 
 
 
0,0035
=
0,00248
� � 
�
 
0,0035
� � 
� = 0,00248
 
0,0035� � 0,0035
 = 0,00248
 
0,0035� = 0,00598
 
0,0035
0,00598
� = 
 
0,585� = 
 
 = 0,585� ou 
�
= 0,585 
Domínio 4 
 
 
Domínio 4a 
 
 
Domínio 5 
 
 
 
 
 
Fonte: Investigação de novas metodologias para o ensino de engenharia de estruturas utilizando 
recursos de multimídia interativa. Projeto Fapesp. 
 
Site http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/