Aula 5 Dimensionamento à flexão simples de seções retangulares

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Dimensionamento à flexão 
simples de seções retangulares 
Disciplina: Concreto Estrutural I 
Prof. Daniel de Lima Araújo 
Escola de Engenharia Civil e Ambiental - UFG 
1. HIPÓTESES BÁSICAS 
2 
1. Hipóteses básicas 
 Permanece válida a hipótese de Bernoulli 
3 
cc
ct
bw
d
X
h
d’
c(X)
s = c(X)
Y
Z
As
L.N.
1. Hipóteses básicas 
 O encurtamento de ruptura do concreto até C50 
na flexão simples é de 3,5 %o. No entanto, o 
valor de cálculo da tensão limite de compressão, 
igual a 0,85 fcd no concreto até C50 é atingido 
para deformações a partir de 2%o. 
4 
 
cu 
X 
sd 
cd = 0,85 fcd 
Z 
Rcd 
Rsd 
c2 = 0,2% 
1. Hipóteses básicas 
 Para que não haja deformações excessivas para 
a peça fletida, o alongamento máximo permitido 
ao aço é de 1 %. 
 Despreza-se, a favor da segurança, a resistência 
à tração. 
 O valor de cálculo da tensão no aço corresponde 
à deformação s no diagrama tensão x 
deformação do aço. 
5 
1. Hipóteses básicas 
 Simplificação na relação tensão x deformação 
permitida pela NBR 6118:2014. 
6 
 
X 
cd = cfcd 
Z 
Rcd 
Rsd 
cd = 0,85 fcd 
Z 
Rcd 
Rsd 
X 
1. Hipóteses básicas 
 No caso de flexão simples, os domínios definidos 
pela NBR 6118:2014 que fornecem as possíveis 
configurações de colapso ficam reduzidos aos 
domínios 2, 3 e 4. 
7 
2. LIMITES ENTRE OS 
DOMÍNIOS 
8 
Fronteira entre os domínios 3 e 4 
(fck  50 MPa) 
9 
 
cd = 0,35 % 
bw 
d 
X 
h 
d’ 
sd = yd 
Md 
L.N. 
As 
d 
 
 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
yd0035,0
0035,0
d
x

 (1) 
Fronteira entre os domínios 3 e 4 
 (fck  50 MPa) 
10 
cd = 0,35%
X
sd = yd
cd = 0,85 fcd
Z
Rcd
Rsd
 = 0,2%
cd = 0,85 fcd
Rcd
Rsd
0,8 X
Z
 
 
Resultante de cálculo no concreto. 
x8,0bf85,0R wcdcd 
 (2) 
Equilíbrio de momentos em relação à armadura 
)x4,0d(RM cdd 
 (3) 
Fronteira entre os domínios 3 e 4 
 (fck  50 MPa) 
11 
Substituindo-se a expressão (2) em (3) chega-se à 
)4,01(68,0
dbf
M
2
wcd
d  (4) 
que, em conjunto com a expressão (1) chega-se a, 












ydyd
2
wcd
0035,0
0014,0
1
0035,0
00238,0
dbf
Md
 (5) 
Os valores da expressão (5) podem ser tabelados, uma vez que a 
deformação de escoamento depende unicamente do aço, 
s
yd
yd
E
f
 , 
s
yk
yd
f
f


 
Fronteira entre os domínios 3 e 4 
 (fck  50 MPa) 
12 
Tabela 1 
VALORES LIMITES ENTRE OS DOMÍNIOS 3 E 4 
Aço fyk (MPa) yd (%) L (DOM. 3 e 4) L (DOM. 3 e 4) 
CA-25 
250 0,1035 0,772 0,363 
CA-32 320 0,1325 0,725 0,350 
CA-40 400 0,1656 0,679 0,336 
CA-50 500 0,2070 0,628 0,320 
CA-60 600 0,2484 0,585 0,305 
 
Fronteira entre os domínios 3 e 4 
13 
A fim de se melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de 
apoio das vigas e se preservar a capacidade de rotação das peças, a 
NBR 6118:2014 recomenda que se garanta os seguintes limites para a 
posição da linha neutra no estado limite último: 
 
45,0
d
x para concretos com fck  50 MPa 
 
35,0
d
x para concretos com 50 MPa < fck  90 MPa 
Dessa forma, para os casos correntes de detalhamento, não se 
permite o dimensionamento de seções superarmadas, ou seja, no 
domínio 4. 
Fronteira entre os domínios 3 e 4 
14 
A limitação em relação à posição da linha neutra pode ser escrita em 
termos do coeficiente adimensional , obtido da equação (4), ou do 
coeficiente  que define o braço de alavanca (  = z / d ). 
 para fck  50 MPa 45,0
d
x => 251,0 L e
 
82,0 L (6.a) 
 para fck  50 MPa 35,0
d
x => 205,0 L e
 
86,0 L (6.b) 




 4,01
d
d4,0d
d
x4,0d
d
z 
Vê-se então que os valores das expressões (6) predominam sobre os da 
Tabela (1). 
Fronteira entre os domínios 2 e 3 
 (fck  50 MPa) 
15 
cd = 0,35 %
bw
d
X
h
d’
sd = 1 %
Md
L.N.
As
 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
27
7
010,00035,0
0035,0
d
x


 (7) 
Fronteira entre os domínios 2 e 3 
 (fck  50 MPa) 
16 
Resultante de cálculo no concreto 
x8,0bf85,0R wcdcd 
 (8) 
Equilíbrio de momentos em relação à armadura 
)4,01(68,0
dbf
Md
2
wcd
 (9) 
Substituindo-se a expressão (7) em (9), 
158,0
 (10) 
Fronteira entre os domínios 2 e 3 
 (fck  50 MPa) 
17 
Assim, 
para 
158,0
 Dom. 2 
para 












ydyd 0035,0
0014,0
1
0035,0
00238,0
158,0 Dom. 3 
para 












ydyd 0035,0
0014,0
1
0035,0
00238,0
 Dom. 4 
Fronteira entre os domínios 2 e 3 
 (fck  50 MPa) 
18 
ou em função da posição da linha neutra, 
para 
27
7
 Dom. 2 
para 
yd0035,0
0035,0
27
7

 Dom. 3 
para 
yd0035,0
0035,0

 Dom. 4 
Muitas vezes é comum se comparar não os valores de do coeficiente , 
mas a própria altura útil da peça. 
wcdL
lim
bf
Md1
dd

 (11) 
com L estabelecido em (6). 
 
Fronteira entre os domínios 2 e 3 
 Roteiro para dimensionamento 
 O primeiro passo do dimensionamento de seções 
retangulares de concreto armado consiste em se determinar 
o domínio em correspondente às dimensões estimadas para 
a seção e para o momento fletor de dimensionamento Md. 
Para tanto, calcula-se o coeficiente  e compara-se com os 
limites estabelecidos para os domínios. O mesmo pode ser 
feito utilizando-se os dados relativos à altura útil da seção. 
 
19 
3. DIMENSIONAMENTO 
20 
Domínios 3 e 4 (fck  50 MPa) 
21 
cd = 0,35%
X
0  sd  
cd = 0,85 fcd
Rcd
Rsd
0,8 X
Z
bw
dh
d’
Md
As
 
. 
x8,0bf85,0R wcdcd 
 (12) 
sdsd AsR 
 (13) 
Equilíbrio de momentos em relação à armadura: 
 x4,0dRzRM cdcdd 
 (14) 
Domínios 3 e 4 (fck  50 MPa) 
22 
Adotando-se, 
 4,01
 (15) 
tem-se 
dRM cdd 
 (16) 
Substituindo-se a expressão (12) em (14) e rearranjando-se os termos 
chega-se à equação do 2o grau, 
0
dbf68,0
M
d
x
d
x
4,0
2
wcd
d
2











 (17) 
que resolvida fornece a raiz 







68,0
6,1
1125,1 (18) 
Domínios 3 e 4 (fck  50 MPa) 
23 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
cdsd
x
xd


 (19) 
Conhecido sd, é possível se determinar o valor da tensão na armadura sd 
em função do tipo de aço. Conhecida a tensão na armadura, é possível se 
resolver a equação de equilíbrio em forças igualando-se as expressões 
(12) e (13): 
x8,0bf85,0A wcdssd 
 (20) 
Domínios 3 e 4 (fck  50 MPa) 
24 
A expressão (20) pode ser reescrita nas formas (21) e (22) para fornecer 
a área de aço procurada: 
para o domínio 4
sd
d
sd
wcd
s
d
Mxbf68,0
A



 (21) 
para o domínio 3
yd
d
yd
wcd
s
fd
M
f
xbf68,0
A

 (22) 
Cabe lembrar que o dimensionamento no domínio 4 é geralmente evitado. 
 
EXEMPLO 
Revisão 
Verificação do exemplo 
Domínio 2 (fck  50 MPa) 
25 
sd = 1,0%
X
0  cd  
cd = 0,85  fcd
Rcd
Rsd
0,8 X
Z
bw
dh
d’
Md
As
 
 
Neste caso a tensão máximano concreto é menor que 0,35%, e, portanto, não 
vale o diagrama parábola-retângulo, o que pode ser corrigido pela introdução 
do coeficiente . 
Domínio 2 (fck  50 MPa) 
26 
A distribuição de tensões no concreto obedece à mesma configuração 
já estudada para os domínios 3 e 4. Logo, a posição da linha neutra pode ser 
obtida pela expressão (23), afetada do coeficiente . 









68,0
6,1
1125,1 (23) 
Nesse caso a deformação final na armadura é conhecida, logo: 
ydsd f
 
Assim: 
yd
d
yd
wcd
s
fd
M
f
xbf68,0
A



 , =1 - 0,4 (24) 
Domínio 2 (fck  50 MPa) 
27 
 Valores do coeficiente  
a) Caso em que 0,2 % < c
max  0,35% 
 










max
c3
002,0
125,1 (25) 
Domínio 2 (fck  50 MPa) 
28 
 Valores do coeficiente  
b) Caso em que c
max  0,2% 
 







 



002,03
1
1
002,0
25,1
max
c
max
c (26) 
EXEMPLO Verificação do exemplo 
4. ARMADURA MÍNIMA DE 
TRAÇÃO 
29 
Armadura mínima de tração 
30 
A armadura longitudinal mínima de tração em vigas é aquela 
determinada pelo dimensionamento da seção para um momento fletor 
mínimo dado pela expressão (27). 
sup,ctkomínd
fW8,0M 
 (27) 
Onde, 
Wo - é o módulo de resistência da seção transversal bruta de 
concreto, relativo à fibra mais tracionada; 
fck,sup - é o valor superior da resistência característica do concreto 
à tração. 
Armadura mínima de tração 
31 
O dimensionamento para Mdmín pode ser considerado atendido se forem 
respeitadas as taxas mínimas de armadura apresentadas na Tabela 2. 
Tabela 2 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas. (NBR 6118)