Prova 4 Calculo 1 - Integral

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Ca´lculo I
Prova 4 (21/12/2012)
(1) (2 pontos) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [−r, r]. Prove que∫ r
−r
f(x)dx = 0 se f for ı´mpar em [−r, r].
(2) Seja f(x) =
∫ asen(x)
0 sen(θ)dθ, x ∈ [−1, 1].
(1 ponto) a) Escreva f como uma composic¸a˜o de func¸o˜es
envolvendo F (y) =
∫ y
0 sen(θ)dθ.
(1 ponto) b) Explique por que f e´ deriva´vel.
(1 ponto) c) Determine f ′.
(1 ponto) d) Determine g′ para g(x) =
∫ asen(x)
x
sen(θ)dθ,
x ∈ [−1, 1].
(3) (2 pontos) Encontre a func¸a˜o y = f(x) definida em R+ que
satisfaz a equac¸a˜o diferencial y
′′
= ( 1
x
+ 2x)y′ e as condic¸o˜es
y(1) = −1,y′(1) = −2.
(4) Sejam f e g func¸o˜es deriva´veis tais que f ′(x) = g(x) e g′(x) = −f(x)
para todo x ∈ R.
(1 ponto) a) Prove que y = (f(x)− sen(x))2+(g(x)− cos(x))2, x ∈ R,
e´ uma func¸a˜o constante.
(1 ponto) b) Prove que se ainda f(0) = 0 e g(0) = 1, enta˜o
f e´ a func¸a˜o seno e g e´ a func¸a˜o co-seno.
(5) (2 pontos) Determine a a´rea entre os gra´ficos das func¸o˜es f(x) =
x(x−1)(x+1)+1 e g(x) = −x(x−1)(x−5)+1 no intervalo [0, 2].
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