CVGA - Aulas 01 a 10 e revisao

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 1: VETORES: DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES.
VETORES-AULA 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
Vetores – Definição e Conceito
. Eixo.Reta Orientada.Segmento Orientado.
. Segmento Nulo. Segmentos Opostos.
. Medida de um Segmento. Direção e Sentido.
. Segmentos Equipolentes- Propriedades da Equipolência.
. Vetor.
. Vetores Iguais. Vetor Nulo. Vetores Opostos.
. Vetor Unitário.
. Versor.
. Vetores Colineares. Vetores Coplanares.
. Exemplos de Vetores.
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VETORES - DEFINIÇÃO E CONCEITO
EIX0
Uma reta pode ser percorrida por um ponto em dois
sentidos distintos.
(r)
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA ORIENTADA - EIXO
Uma reta r é dita orientada quando se fixa nela um 
sentido de percurso, considerado positivo e indicado por 
uma seta e o sentido oposto considerado negativo.
Toda reta orientada é denominada EIXO.
r
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
SEGMENTO ORIENTADO
É o segmento determinado por um par ordenado de 
pontos onde o primeiro é chamado ORIGEM do segmento e o 
segundo chamado EXTREMIDADE.
Ele é representado por AB sendo A a origem e B a 
extremidade. 
A seta caracteriza o sentido do segmento.
B
A 
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
SEGMENTO NULO.
É aquele cuja extremidade coincide com a origem.
SEGMENTOS OPOSTOS
Se AB é um segmento orientado, seu oposto será
indicado por BA.
A
B
B
A
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
MEDIDA DE UM SEGMENTO
É um número real,não negativo, associado a cada 
segmento orientado, considerando uma unidade de 
comprimento pré fixada.
A medida do segmento orientado é o seu COMPRIMENTO 
ou MÓDULO. O comprimento do segmento AB é indicado por 
AB.
Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero.
Observe que: AB = BA
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Dizemos que dois segmentos orientados não nulos
AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses
segmentos são paralelas ou coincidentes.
Só podemos comparar os sentidos de dois
segmentos orientados se eles têm mesma direção. Se
estes segmentos são opostos, têm sentidos contrários.
DIREÇÃO E SENTIDO
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
SEGMENTOS EQUIPOLENTES
Suponha que os segmentos AB e CD não pertencem a
mesma reta.
Para que AB seja equipolente a CD é preciso que
AB//CD (AB seja paralelo a CD), formando assim um
paralelogramo.
B D
A C
Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
A equipolência dos segmentos AB e CD é
representada por: AB ~ CD
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
A relação de equipolência goza das seguintes
propriedades:
1. AB ~ AB (REFLEXIVA)
2. AB ~ CD , CD ~ AB (SIMÉTRICA)
3. AB ~ CD e CD ~ EF , AB ~ EF (TRANSITIVA)
4. Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe
um único ponto D, tal que AB ~ CD
PROPRIEDADES DA EQUIPOLÊNCIA
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VETOR
Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos
orientados.
Portanto, o vetor determinado por um segmento
orientado AB é o conjunto de todos os segmentos
orientados equipolentes a AB.
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Se indicarmos com v este conjunto, simbolicamente 
podemos escrever: 
v = {XY/XY ~AB} 
v é o conjunto dos segmentos orientado XY tais que 
XY é equipolente a AB. 
O vetor determinado por AB é indicado por AB ou B-A 
ou v. 
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VETORES IGUAIS
Dois vetores AB e CD são iguais, se e somente se, AB ~ CD.
VETOR NULO
O vetor nulo ou vetor zero é indicado por 0 .
VETORES OPOSTOS
Se v = AB , o vetor BA é o oposto de AB e se indica por 
– AB ou – v .
VETOR UNITÁRIO
É um vetor que tem módulo igual a 1, ou seja: Ι v Ι = 1.
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VERSOR
O versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de 
mesma direção e mesmo sentido de v ....
O vetor u1 é o versor de v pois é unitário e tem a mesma 
direção e o mesmo sentido de v.
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VETORES COLINEARES
Dois vetores u e v são ditos colineares se tiverem a 
mesma direção, ou seja, se pertencerem a uma mesma reta 
ou a retas paralelas. 
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VETORES COPLANARES
São vetores não nulos que estão contidos num mesmo 
plano. Dois vetores são sempre coplanares. Três vetores 
poderão ou não ser coplanares.
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
EXEMPLOS DE VETORES
1.Se A=(0,1) e B=(5,3) então o vetor AB =(5 – 0, 3 – 1) =
(5 ,2)
2.Se A=(2, -1) e B=(1,1) então o vetor BA =(2 – 1, -1 – 1) =
(1 ,- 2)
3.Se A=(6, 3) e B=(0,-4) então o vetor AB =(0 – 6, - 4 – 3)
= ( - 6 ,- 7)
Vetor AB = B – A
Vetor BA = A – B
VETORES - AULA 1
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Resumindo
Na aula de hoje estudamos:
. A noção de eixo, reta orientada.
. Os diversos tipos de segmentos.
. A noção de vetor.
. Os tipos de vetores.
. O conceito de versor.
. Os vetores colineares e os vetores coplanares.
. E fizemos alguns exercícios.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Aula 2: OPERAÇÕES COM VETORES
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
Conteúdo Programático desta aula
- Operações com Vetores
. Igualdade de Vetores
. Adição de Vetores
. Propriedades da Adição de Vetores
. Adição Geométrica de Vetores
. Diferença Geométrica entre Vetores
. Propriedades da Multiplicação de um escalar por um vetor
. Exercícios
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
OPERAÇÕES COM VETORES
IGUALDADE DE VETORES
Sejam dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Estes
vetores serão iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.
Ex: Seja u = (x+5, 2) e v = (7, y). Supondo u = v, temos:
x + 5 = 7 -> x = 7 – 5 -> x = 2
2 = y -> y = 2
Logo, x = 2 e y = 2 para u = v.
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ADIÇÃO DE VETORES
Dados dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Para
somarmos u + v, devemos somar suas coordenadas
correspondentes, ou seja, u + v = (x1 + x2 , y1 + y2).
Seja u = (3, -5) e v = (-1, 2). 
Temos que:
u + v = (3 + (-1), -5 + 2) = (2 , -3)
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE VETORES
Dados dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Temos as
seguintes propriedades quanto a adição:
1. Comutatividade: u + v = v + u
2. Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w)
3. Elemento neutro: u+0 = 0+u = u
4. Simetria (vetor oposto): v + -(v) = 0
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
u = (3,5)
v = (-1,4)
u + v= (2,9)Y
X
ADIÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES
Considere os vetores u=(3,5) v=(-1,4). Observe que:
u + v = (2 , 9) 
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
u = (3,5)
v = (-1,4)
u + v = (2,9)Y
X
- v = (1,- 4)
DIFERENÇA GEOMÉTRICA ENTRE DOIS VETORES
Considere os vetores u=(3,5) e v=(-1,4). 
Temos que: u – v = (4,1) 
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Considere um vetor u = (x1,y1) e um escalar k ≠ 0.
Para multiplicarmos o vetor u por um número, devemos
multiplicar cada uma de suas coordenadas por este
número, ou seja, k.u = k (x1, y1) = (k.x1 , k.y1).
Sejau = (-1, 3) e k = 2. Temos que:
k. u = 2.u= 2.(-1,3) = (-2 , 6)
OBS: Se k<0, teremos o sentido contrário de u.
MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR UM VETOR
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Dado um vetor u = (x1, y1) e um escalar k≠0. Temos as
seguintes propriedades para o produto k.u:
1.Associativa: k1.(k2.u) = (k1.k2).u
2.Distributividade em relação à adição de escalares: 
(k1+k2).u = k1u + k2.u
3.Distributividade em relação a adição de vetores: k.(u+v) 
= k.u + k.v
4.Identidade: 1.u = (1.x1 , 1.x2)= (x1,x2)= u
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR UM 
VETOR
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
EXERCÍCIOS
1.Considere os vetores u=(-1,4) , v=(2,-5) e w=(-3,-2) ,
determine:
a) u - v
b) v + w
c) 2v + w – 3u
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2.Sendo dados os pontos A=(-1,2) , B=(0,-4) , C=(-2,-2) e
D=(3,6), calcule:
a) AB – CD
b) 2AC + 3DA
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3.Dados A=(11,-6) , B=(0,2) e C=(-3,1) calcular o vetor 
2AB + 4BC – CA.
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
4.Dados A=(3,5) e B=(12,17), determinar o ponto C tal 
que AC = ¼ AB .
OPERAÇÕES COM VETORES-AULA 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Resumindo
Na aula de hoje estudamos:
. As operações com vetores
- Igualdade entre vetores
- Adição entre vetores
- Propriedades da Adição
- Adição e Diferença Geométrica entre Vetores
- Propriedades da Multiplicação
- Exercícios
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 3: Representação de Vetores no R² e no R³
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
. Decomposição de Vetores em R².
. Combinação Linear de Vetores em R².
. Base Ortonormal.Base Canônica.
. Expressão Analítica de um vetor representado na Base
Canônica.
. Vetores em R³
. Operações com Vetores em R³. Propriedades.
. Paralelismo de Vetores.
. Exercícios. 
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Sejam dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2), não
colineares. Qualquer vetor w coplanar aos dois vetores,
pode se escrito através da decomposição de u e v.
Isto significa que podemos escolher dois escalares k1
e k2 de tal forma que:
w = k1.u + k2.v
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM R2
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VISÃO GEOMÉTRICA: w = k1.u + k2.v
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM R2
u
v
k1.u
k2.v
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
VISÃO GEOMÉTRICA: w = k1.u + k2.v
k1>0 e k2>0
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM R2
W
u
k1.u k2.u
v

REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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Quando w for representado por : w = k1.u + k2.v,
dizemos que w é uma COMBINAÇÃO LINEAR de u e v.
Neste caso, o par u e v (não colineares) é denominado
BASE DO PLANO.
Assim sendo, qualquer par de vetores não colineares
{u,v} podem constituir uma base no plano.
COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES EM R2
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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VISÃO GEOMÉTRICA: w = k1.u + k2.v
COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES EM R2
u v
k1.u k2.u
{u, v} é uma base - geram 
qualquer vetor do plano
W

REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Observações
As bases mais utilizadas são as chamadas BASES
ORTONORMAIS.
Uma base {e1, e2} é denominada ORTONORMAL
quando e1 for ortogonal a e2, e1e2, sendo |e1| =1 e
|e2| =1.
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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e2
e1
k1.e1
k2.e2
VISÃO GEOMÉTRICA: {e1, e2} base ortonormal
COMBINAÇÃO LINEAR VETORES EM R2
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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Dentre todas as bases ortonormais no plano a mais
usada é a base canônica representada pelos vetores {i, j}
onde i=(1,0) e j= (0,1).
Assim sendo a base canônica no plano é {(1,0) ,
(0,1)}.
BASE CANÔNICA
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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i =(1,0)
j = (0,1)
x.i
y.j
VISÃO GEOMÉTRICA: { i, j } base canônica.
BASE CANÔNICA
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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Dada a base canônica representada pelos vetores {i, j}
onde i=(1,0) e j = (0,1) podemos estabelecer uma
correspondência biunívoca entre os vetores do plano e as
ordenadas (x,y).
Podemos assim escrever:
u = (x,y)
como
u = x.i + y.j = x.(1,0) + y.(0,1) = (x.1+y.0,x.0+y.1) = (x,y)
EXPRESSÃO ANALÍTICA DE UM VETOR REPRESENTADO NA BASE 
CANÔNICA
EXPRESSÃO ANALÍTICA DE UM VETOR REPRESENTADO NA BASE 
CANÔNICA
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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EXEMPLOS:
1. u = 3i + 2j = 3.(1,0) + 2.(0,1) = (3,2)
2.v = -5i - 0j = -5.(1,0) - 0.(0,1) = (-5,0)
3.w = i + j = 1.(1,0) + 1.(0,1) = (1,1)
4.v = - i + 2j = -1.(1,0) + 2(0,1) = (-1,2)
5. w =-7j = 0.(1,0) -7.(0,1) = (0,-7)
6. u =(1/3)i = 1/3.(1,0) + 0.(0,1) = (1/3, 0)
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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A maior parte dos conceitos estudados em R2 para
vetores são válidos em R3.
O conjunto R3 = {(x,y,z) | x,y,z  R}
No R2, dois pontos determinam um segmento orientado.
O conjunto destes segmentos equipolentes é
representado por um vetor v = (x,y,z).
VETORES EM R3
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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EXEMPLO
Dados dois pontos A(-1,4,2) e B(0,-2,1). Temos os
vetores:
• AB = B – A = (0, -2, 1) – (-1,4,2) = (1,-6,-1)
• BA = A – B = (-1,4,2) – (0,-2,1) = (-1,6,1)
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Dados dois vetores u = (x1, y1,z1) e v = (x2, y2, z2). Temos
as seguintes propriedade:
1.Comutatividade: u + v = v + u
2.Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w)
3.Elemento neutro: u+0 = 0+u = u
4.Dado um escalar k não nulo,
temos k.u = k (x1, y1,z1) =(k.x1, k.y1 , k.z1) 
OPERAÇÕES COM VETORES EM R3
PROPRIEDADES
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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A BASE CANÔNICA EM R3 É 
FORMADA PELOS VETORES: 
i = (1 , 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
v = x.i + y.j + z.k = (x,y,z)
(EXPRESSÃO ANALÍTICA)
Base canônica em R3 : {i, j, k}
Y
X
Z
i
j
k
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
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Exemplos de Vetores no R³
1. v = 2 i – 3 j + 5 k
2. w = -4 j – 2 k
3. u = - k
4. (2 , -1 , 3)
5. (0 , 2 , 6)
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
PARALELISMO DE VETORES EM R3
Exemplo: Seja o vetor v iguala:
• v = (2,3,4) e u =(6,9,12).Temos v = 3 .u. Logo, v // u;
• v = (1,1,1) e u =(7,7,7). Temos v = 7.u. Logo, v // u;
•v = (8,-6,12) e u =(4,-3,6). Temos v = (1/2). u. Logo,
v // u; 
•v = (0,0,0) e u =(4,7,-1). Temos v = 0.u. Logo, v // u;
CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE VETORES EM R³: v = k. u
REPRESENTAÇÃO DE VETORES NO R² E NO R³-AULA 3
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Resumindo:
Na aula de hoje estudamos:
. A decomposição e a combinação linear de vetores em R².
. As bases ortonormal e canônica.
. A expressão analítica de um vetor na base canônica.
. Os vetores no R³ e suas propriedades.
. O paralelismo de vetores no R³
. Exercícios.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
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Conteúdo Programático desta aula
. Produto Escalar
. Módulo.Versor.
. Propriedades do Produto Escalar.
. Propriedades do Produto Vetorial.
. Interpretação Geométrica.
. Produto Misto.
. Propriedades do Produto Misto.
. Interpretação Geométrica.
. Exercícios.
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Dados dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2), o produto
escalar dos vetores u e v é representado por u . V e
calculado pela expressão
u . v = x1.x2 + y1.y2
que representa um número real.
PRODUTO ESCALAR
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
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Exemplo:
Calcule o produto escalar de :
1.u=(-2,3) e v=(1,0). Temos
u.v= -2.1 + 3.0 = -2 + 0 = -2
2. u=(-2,1) e v=(3,6). Temos
u.v= -2.3 + 1.6 = -6 + 6 = 0
3. u=(3,3) e v=(1,2). Temos
u.v= 3.1 + 3.2 = 3 + 6 = 9
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
O módulo de um vetor é o número real não
negativo da forma:
|u| = no R³
ou
|u| = no R³
O módulo representa o tamanho do vetor.
MÓDULO DE UM VETOR
    2 2. , . ,u u x y x y x y  
    2 2 2. , , . , ,u u x y z x y z x y z   
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplos:
Calcule o módulo de :
1.u=(2,3,1)
|u| =
2. u=(-1,2,4)
|u| =
3. u=(5,0,1)
|u| =
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
O VERSOR de um vetor é o quociente entre o vetor e
o seu módulo.
Considere o vetor u = (-2,1,3). Temos então que o
versor será:
VERSOR DE UM VETOR
 2 2 2. 2 1 3 4 1 9 14u u        
 2,1,3 2 1 3, ,
14 14 14 14
uversor
u
  
    
 
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Considere os vetor u, v e w:
i.Se u é um vetor não nulo, então u . u >0
ii.Comutatividade: u . v = v .u
iii.Distributividade: u . (v + w) = u . v + u. w
iv.k = constante, (k.u) . v = k (u .v) = u . (k .v)
v. u . u = |u|2
PROPRIEDADES DE PRODUTO ESCALAR
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
O produto escalar entre dois vetores u e v também
pode ser calculado através do ângulo formado por estes
dois vetores:
u . v = |u| . |v| . cos A
onde A é o ângulo formado pelos dois vetores.
PRODUTO ESCALAR ATRAVÉS DO ÂNGULO FORMADO PELOS
VETORES
u
A
v
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
EXEMPLO:
Considere os vetores
u = (-2,3,-2) e v = (-1, 2, 4).
O produto escalar u . v = 2 + 6 – 8 = 0
. 0cos 0
. .
u v
u v u v
   
0arccos0 90A A  
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Dados dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2),não
nulos e dispostos nesta ordem, denominamos produto
vetorial de u e v, que se representa por u x v que se lê “u
vetorial v “ ao vetor gerado pelo cálculo do determinante
abaixo:
u x v =
PRODUTO VETORIAL
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Cálculo de u x v:
u x v = =
= (y1.z2 – z1y2) i – (x1z2 – z1x2) j + (x1y2 – y1x2) k
PRODUTO VETORIAL
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo.:
Calcule u x v, onde u = (5,4,3) e v = (1, 0, 1):
Usando a fórmula de produto vetorial:
u x v =
uxv=(y1.z2 – z1y2) i – (x1z2 – z1x2)j + (x1y2 – y1x2) k
Logo: uxv =(4 – 0)i – (5 - 3)j + (0 - 4)k = 4i – 2j – 4k =(4,-2,-4)
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Considere os vetores u, v e w:
i.Seja u é um vetor qualquer, u x u = 0
ii.u x v = - v x u
iii.u x (v + w) = u x v + u x w
iv.u x v é ortogonal simultaneamente os
vetores u e v.
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Considere os vetores u e v. A norma ou módulo do
produto vetorial de u por v, ou seja, |u x v| define a área
do paralelogramo formado por estes dois vetores.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
u
A
v
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
O produto misto é definido no R³. Dados três vetores
u=(x1, y1, z1), v=(x2, y2, z2) e w=(x3, y3, z3), dispostos nesta
ordem, denominamos produto misto de u, v e w, com
notação u . (v x w) ao número real definido pelo
determinante:
u.(v x w) =
PRODUTO MISTO
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo
Calcular o produto misto u.(v x w), onde u =(3,-1,4),
v=(1,0,-1) e w=(2,-1,0).
u.(v x w) =
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Considere os vetores u, v e w:
i.Seja u é o vetor nulo então u . (v x w) = 0
ii.u . (v x w)= - v . (u x w)
iii.Se os vetores u, v e w forem coplanares
então u . (v x w) = 0
PROPRIEDADES DE PRODUTO MISTO
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Considere os vetores u, v e w. O produto misto de
u, v e w é igual a u . (v x w) e define o volume do
paralelepípedo de arestas formadas pelos vetores u, v e w.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
u
v
w
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Resumindo:
Na aula de hoje estudamos os produtos entre vetores,
suas propriedades e as respectivas interpretações
geométricas.
Fizemos também alguns exemplos.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 5: RETA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
. Reta em R² - Equação Vetorial
. Equações Paramétricas
. Reta em R³ - Equação Vetorial
. Equações Paramétricas
. Equação da Reta definida por dois pontos
. Equação Simétrica
. Condição para que três pontos estejam em linha reta
em R³
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Seja v = (x1,y1) um vetor não nulo e A = (x0,y0) um
ponto do plano.Da Geometria Euclidiana temos que existe
uma única reta r com direção de v, contendo o ponto A.
RETA – EQUAÇÃO VETORIAL
v
r
A
y
x
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIALE GEOMETRIA ANALÍTICA
Desse modo, um ponto P(x,y) pertence à reta r se, e
somente se, o vetor AP seja tal que AP//tv, para algum
real t.
v
r
tv
A
y
x
P
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Em forma de coordenadas temos:
AP = tv -> P – A = tv -> (x,y) – (x0,y0) = t (x1,y1) ->
-> (x – x0, y – y0) = t(x1 , y1) (Equação Vetorial da Reta)
Daí, temos:
x = x0 + tx1
(Equações Paramétricas da Reta)
y = y0 + ty1
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo
Considere a reta r que passa pelo ponto A(2,3) e tem a
direção do vetor v=(2,-1).
Temos então que:
P = A + tv -> (x,y) = (2,3) + t(2,-1) ->
-> (x,y) = (2+2t , 3-t) (Equação Vetorial)
Esta equação é equivalente ao sistema de equações:
(Equações Paramétricas)
2 2
3
x t
y t
 

 
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Seja v = (x1,y1,z1) um vetor não nulo e A = (x0,y0,z0) um
ponto do espaço. Para que um ponto P do espaço pertença
à reta r, é necessário e suficiente que os vetores AP e v
sejam colineares.
Assim, temos:
AP = tv ou P – A = tv ou P = A + tv (Equação Vetorial)
RETA EM R3 – EQUAÇÃO VETORIAL
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Em forma de coordenadas temos o vetor AP = tv
(x – x0, y – y0, z –z0) = (tx1 , ty1, tz1) -> Equação Vetorial
Que é equivalente ao sistema de equações
x = x0 + tx1
y = y0 + ty1 (Equações Paramétricas)
z = z0 + tz1
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo
Considere a reta r que passa pelo ponto A(-2,1,2) e
tem a direção do vetor v=(1,2,3).
Temos então que:
P = A + tv ->
-> (x,y,z) = (-2,1,2) + t (1,2,3) ->
-> (x,y,z) = (-2,1,2) + (t,2t,3t) ->
-> (x,y,z) = (-2+t,1+2t,2+3t) (Equação Vetorial)
Que é equivalente ao sistema de equações
x = -2 + t
y = 1 + 2t (Equações Paramétricas)
z = 2 + 3t
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo
Determinar as equações paramétricas da reta r, que
passa pelo ponto A(2,-1,5) e é paralela ao vetor v=(-
2,1,7).
x = 2 - 2t
y = -1 + t -> Equações Paramétricas
z = 5 + 7t
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Considere os pontos A(x1,y1,z1) e B(x2, y2, z2). Seja
a reta que passa pelo ponto A (ou pelo ponto B ) e que
tenha como vetor diretor o vetor v = AB = B – A = (x2 – x1,
y2 –y1, z2 – z1).
Vejamos então a reta r determinada pelos pontos
A (2, -2, 4) e B (3, -1, 2) e tendo como vetor diretor o
vetor
v = AB = B – A = (3, -1, 2) – (2, -2, 4) = (1, 1, -2) é:
EQUAÇÃO DA RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS EM R³ 
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
x = 2 + t
y = -2 + t em A
z = 4 - 2t
x = 3 + t
y = -1 + t em B 
z = 2 - 2t
que são as Equações Paramétricas
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Em forma de coordenadas temos o vetor AP = tv
(x – x0, y – y0, z –z0) = (tx1 , ty1, tz1) Eq.Vetorial
Portanto isto é equivalente ao sistema de equações
(Eqs Paramétricas)
x = x0 + tx1
y = y0 + ty1 --
z = z0 + tz1
(Eq.Simétrica)
RETA - EQUAÇÕES SIMÉTRICAS EM R3
0 0 0
1 1 1
x x y y z z
x y z
  
 
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
As equações simétricas da reta r determinada pela
equação vetorial
(x – 3, y -1, z +4) = (2t, 3t, - t)
tendo como vetor direção
v = AB = B – A = (3, 1, -4) – (1, -2, 3) = (2, 3, -1) é: (com
B)
Exemplo
3 2
1 3
4
x t
y t
z t
 

  
   
3
2
1
3
4
1
xt
yt
zt







RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Sejam os pontos A(x1,y1,z1), B(x2, y2, z2) e
C(x3, y3, z3). Para que estes 3 pontos estejam em linha
reta a condição é que os vetores AB e AC sejam colineares,
ou seja
AB = t.AC, para t  R (Real)
ou x2 – x1 = y2 – y1 = z2 – z1
x3 – x1 y3 – y1 z3 – z1
CONDIÇÕES PARA QUE 3 PONTOS ESTEJAM EM LINHA
RETA EM R3
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo:
Verifique se os pontos A(5,2,-6), B(-1, -4, -3) e C(7, 4, -7)
estão em linha reta.
Sim
- 1 – 5 = - 4 – 2 = - 3 + 6
7 – 5 4 – 2 - 7 + 6
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Em forma de coordenadas temos o vetor AP = tv
(x – x0, y – y0, z –z0) = (tx1 , ty1, tz1) Eq. Vetorial
Portanto isto é equivalente ao sistema de equações
x = x0 + tx1
y = y0 + ty1
z = z0 + tz1
RETA – EQUAÇÕES EM R3
t = (x – x0)/x1
t = (y – y0)/y1
t = (z – z0)/z1
(x – x0) = (y – y0) = (z – z0)
x1 y1 z1
Equações 
Simétricas
Equações 
Reduzidas
Eqs Paramétricas
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
RETA-AULA 5
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Na aula de hoje estudamos:
- A reta em R² e suas diversas formas de representação.
- A reta em R³ e suas diversas formas de representação.
- A condição para o alinhamento de três pontos em R³.
- Exercícios.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA: RAV1
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
. Exercícios de revisão sobre os conteúdos das
Aulas de 1 a 5
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exercícios
1.Dados os pontos A(1, 2), B(-3, 5), C(0, 7), D(6, 6) e E(4, 0).
Determine os seguintes vetores:
i. AB = B – A = (-3,5) – (1,2) = (-3 – 1, 5 – 2) = (- 4, 3)
ii. AC = C – A = (0,7) – (1,2) = (0 – 1, 7 – 2) = (- 1, 5)
iii. CE = E – C = (4,0) – (0,7) = (4 – 0, 0 – 7) = (4, -7)
iv. EA = A – E = (1,2) – (4,0) = (1 – 4, 2 – 0) = (- 3, 2)
v. AE = E – A = (4,0) – (1,2) = (4 – 1, 0 – 2) = ( 3, -2)
vi. BD = D – B = (6,6) – (-3,5) = (6 – (-3), 6 – 5) = (9, 1)
vii.CB = B – C = (-3,5) – (0,7) = (-3 – 0, 5 – 7) = (- 3, - 2)
viii.DA = A – D = (1,2) – (6,6) = (1 – 6, 2 – 6) = (- 5, - 4)
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2. Dados os vetores u=(3, 0), v=(-5, 2), w=(-1, -2) e os
escalares k1 = 2 k2= - 4. Determine os seguintes
vetores:
i. u – v = (3,0) – (-5,2)= (3 – (-5), 0 - 2) = (8, - 2) 
ii. w + u = (- 1, -2) + (3,0) = (-1 + 3, -2+0) = (2, -2)
iii. k2.u + k1.v – w = -4.(3,0)+2.(-5,2)-(-1,-2)= (-21, 6)
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3. Calcule o produto escalar de :
1.u=(3,1) e v=(1,1). 
Temos u.v= 3.1 + 1.1 = 3 + 1 = 4
2. u=(-2,-1) e v=(0,4). 
Temos u.v= -2.0 + -1.4 = 0 + -4 = - 4
3. u=(2,1) e v=(-2,6). 
Temos u.v= 2.(-2) + 1.(6) = -4 + (6) = 2
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
4. Calcule o módulo de :
i. u=(2,2,1)
|u| = 
ii. u=(0,2,0)
|u| =
iii. u=(1,0,-1)
|u| = 
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
5. Calcular u x v, onde u = (1,0,2) e v = (-1, 1, -1):
Usando a fórmula de produto vetorial:
u x v =
u x v = (y1.z2 – z1y2) i – (x1z2 – z1x2)j + (x1y2 – y1x2)k
Logo:
u x v = (0 – 2)i – (-1 - 2)j + (1 - 0)k = -2i +3j +k = (-2,3,1)
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
6. Calcular o produto misto u . (v x w), onde u =(1,1,- 4),
v=(1,0,2) e w=(2,1,0).
u.(v x w) = =
= (0 + 4 - 4) – (0 + 2 + 0) = - 2
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA7. Determine a equação da reta que passa pelos pontos
A(3,4) e B(5,9).
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
8. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(2,3)
e tem coeficiente angular m=7.
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
9. Calcular o valor de m para que as retas
e
sejam ortogonais.





xz
mxy
r
2
3
:








tz
ty
tx
s
5
3
21
:
RAV 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Na aula de hoje:
. Resolvemos exercícios sobre os conteúdos da Aulas 1 a 5.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 6: PLANO
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula:
. A Equação Geral do Plano.
. A Determinação de um Plano.
. Ângulo entre Planos.
. Exercícios
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Um plano fica determinado por 3 pontos não colineares A,
B e C.
O plano determinado por estes 3 pontos é o mesmo plano
definido pelo ponto P e os vetores AB e AC, linearmente
independentes.
PLANO 
A
B
C

P
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Seja A(x1, y1,z1) um ponto pertencente a um plano  e v
um vetor não nulo e normal (ortogonal) ao plano. O plano 
pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos
P(x,y,z) do espaço tais que o vetor AP é ortogonal ao vetor v. O
ponto P pertence ao plano  se, e somente se:
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
A
P
v v . AP = 0
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Sendo v=(a,b,c) e AP=(x – x1, y – y1, z – z1), temos
AP . v = (a,b,c) . (x – x1, y – y1, z – z1) =
= a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0 =
= ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0.
Fazendo ax1 – by1 – cz1 = d , teremos:
ax + by + cz + d = 0
que é a EQUAÇÃO GERAL OU CARTESIANA DO PLANO
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo.:
Determinar a equação do plano  que passa pelo ponto
A(-2,4,-1), tendo como vetor normal v=(3,4,-5).
Solução
A equação é da forma ax+by+cz+d=0.
Temos então que: 3x + 4y -5z + d = 0.
Daí, substituindo A na equação, podemos determinar o
valor de “d”.
3.(-2) + 4.4 – 5.(-1) + d = 0 =>
=> -6 + 16 + 5 + d = 0 => d = -15
Logo a equação procurada é:
3x + 4y -5z – 15 = 0
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Uma vez que o vetor v é ortogonal a qualquer vetor do
plano, então se dois vetores v1 e v2 não colineares pertencerem
ao plano temos que:
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
A
B
C

v
v1
v2
v1 x v2 = v
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que os coeficientes da equação ax + by + cy + d=0 são
as coordenadas do vetor normal a plano .
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
A
B
C

v =(a,b,c)
v1
v2
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo.:
Dado o ponto A(1,-3,4) e os vetores v1=(3,1,-2) e v2=(1,-
1,1), determinar a equação do plano .
Solução:
Temos que:
v = v1 x v2 = = (-1, - 5, - 4)
Daí, temos: –x – 5y – 4z + d =0
Agora, substituindo o ponto A na equação encontramos d= 2
Logo, a equação do plano  é: x + 5y + 4z – 2 =0
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
i) Existe apenas um plano que contém duas retas concorrentes
r e s.
v = v1 x v2 , onde v1 e v2 são vetores diretores de r e s.
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
Temos os seguintes casos de determinação de um plano.

v =(a,b,c)
v1
s
rv2
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ii) Existe apenas um plano que contém duas retas paralelas r e
s.
v = v1 x A1A2, sendo v1 o vetor diretor de r onde A1r e A2s

v =(a,b,c)
v1
s
r
A2
A1
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
iii) Existe apenas um plano que contém uma reta e um ponto
fora dela.
iv) Existe apenas um plano que contém três pontos não
colineares.
P
π
r.
A
B
C
π
Sejam os planos
1: a1x+ b1y + c1z +d1=0 , onde o vetor normal é: v1=(a1,b1,c1)
2: a2x+ b2y + c2z +d2=0 , onde o vetor normal é: v2=(a2,b2,c2)
ÂNGULO ENTRE PLANOS 
1
2
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
O ângulo entre os planos 1 e 2 é o menor ângulo que
um vetor normal de 1 forma com um vetor normal de 2.
Chamando de  esse ângulo, temos: ,
com 0≤θ≤π/2. ou , em coordenadas:
21
21
.
.
cos
vv
vv

2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
.
cos
cbacba
ccbbaa



PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exercícios.:
1.Determine o ângulo entre os planos
e
0102:1  zyx
.012:2  zyx
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2.Determine o valor de m para que seja de 30° o ângulo entre
os planos:
e072:1  zmyx .02354:2  zyx
PLANO-AULA 6
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Na aula de hoje estudamos:
. O Plano, sua equação geral e as formas de determinação de
um plano.
. O Ângulo entre dois planos.
. Exercícios.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 7: DISTÂNCIAS
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
Na aula de hoje estudaremos:
. Distâncias entre dois pontos.
. Distância de ponto a reta.
. Distância entre duas retas paralelas.
. Distância de ponto ao plano.
. Distância entre dois planos.
. Exercícios.
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Dados dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) o módulo do vetor
AB ou a distância entre os pontos AB é igual a
d(A,B) = |AB|
isto é,
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
A
B
d
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo.:
Dados dois pontos A(3,4,5) e B(3,1,1) determine o módulo
do vetor AB ou a distância entre os pontos A e B.
Solução:
d(A,B) = |AB| =
Seja A(x1, y1,z1) pertencente a uma reta r e seu vetor
diretor v(a,b,c). Seja um ponto B(x2,y2,z2) qualquer do espaço.
Os vetores v e AB determinam um paralelogramo onde sua
altura corresponde a distância d(B,r).
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 
B=(x2,y2,z2)
A =(x1,y1,z1)
r
v=(a,b,c)
Com relação a área do paralelogramo temos:
A = |v|. d
sendo
A = |v x AB|
Logo: |v|.d =|v x AB|
Portanto:
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 
B=(x2,y2,z2)
A =(x1,y1,z1)
r
v=(a,b,c)
v
vxAB
d 
Exemplo.:
Seja A(0,2,-3) um ponto de uma reta r cujo vetor diretor é
v=(2,2,1). Seja B(2,0,7) um ponto fora da reta. Determine a
distância d(B,r).
Solução:
Sendo o vetor AB = B – A = (2, - 2, 10) temos que
d(B,r) =
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
A distância entre as retas r e s paralelas é a distância de um
ponto qualquer A de uma delas a outra reta, isto é:
d(r,s) = d(A,r)
Obs.: A distância entre retas r e s concorrentes é nula. 
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS (PARALELAS)
A=(x1,y1,z1)
r
s
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo.:
Considere as retas:
e
Determine a distância entre elas.
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Solução.:
Podemos ver que retas e
são paralelas pois seus vetores diretores são uma
combinação linear.
Temos:
reta r : vetor diretor v1=(1,-2,2)
reta s: vetor diretor v2=(-2,4,-4)
Assim, temos v2 = -2. v1
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Retas
Considerando o ponto A(0,3,0) da reta r e o ponto
B(1,1,-3) em s e gerando o vetor AB temos com o vetor v2 =
(-2,4,-4) o cálculo da distância:
d(A,s) = |v2 x AB|
|v|
Sendo AB = (1,2,3), temos
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIAANALÍTICA
Daí, temos:
=>
=> u.c.
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Seja um ponto P0(x0, y0, z0) e um plano : ax + by + cz + d = 0.
Seja P(x,y,z) um ponto qualquer deste plano.
O vetor v é normal ao plano e tem
a mesma direção do vetor AP0.
Temos que o vetor AP0 é a
projeção do vetor PP0 na
direção de v.
DISTÂNCIA DE UM PONTO AO PLANO 
A
v= (a,b,c)

P
P0
d
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Logo, desenvolvendo temos:
ou então:
v
vPPAPPd .),( 000 
222
000
0 ),(
cba
dczbyax
Pd



DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo.:
Seja um ponto A(- 4,2,5) e o plano : 2x + y + 2z + 8 = 0.
Determinar a distância de A até o plano.
Temos que
Fazendo a devida substituição temos:
=> uc
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Podemos definir a distância entre dois planos somente se
forem paralelos. Dados dois planos 1 e 2 paralelos, a
distância d(1, 2) é igual a distância de um ponto A
pertencente a qualquer
dos planos ao outro.
d(1, 2) = d(1, A) = d(B, 2)
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS 
A
B
v= (a,b,c))
1
2
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo.:
Sejam os planos
1: 2x - 2y + z - 5 = 0 e 2: 4x - 4y + 2z + 14 = 0. Determinar a
distância entre os planos.
Sendo o ponto A (0,0,5) pertencente ao plano 1 e o vetor
v=(4,-4,2) normal ao plano 2, temos então:
uc
DISTÂNCIAS-AULA 7
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Na aula de hoje estudamos:
. Distâncias entre dois pontos.
. Distância de ponto a reta.
. Distância entre duas retas paralelas.
. Distância de ponto ao plano.
. Distância entre dois planos.
. Exercícios.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Aula 8 – CÔNICAS: PARÁBOLA
CÔNICAS: PARÁBOLA-AULA 8
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
.Definição
.Elementos
.Equações da Parábola de vértice na origem
- O eixo da parábola é o eixo dos y
- O eixo da parábola é o eixo dos x
.Equação da parábola com vértice fora da origem
- O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y
- O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x
.Exercícios
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
PARÁBOLA
1.DEFINIÇÃO
Consideremos em um plano uma reta d e um 
ponto F não pertencente a d.
PARÁBOLA é o lugar geométrico dos pontos do 
plano que são equidistantes de F e d.
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Observe que P’ é o pé da perpendicular baixada 
de um ponto P do plano sobre a reta d e, pela definição 
dada P só pertence à parábola se: 
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι PFΙ = Ι PP’Ι
Note ainda que consideramos F d, pois, caso 
contrário a parábola se transformaria numa reta.
2.ELEMENTOS
. F é o foco
. a reta d é a diretriz 
. o eixo é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à
diretriz
. o vértice é o ponto V de interseção da parábola com o 
seu eixo
Note que: d(V,F) = d(V,A) 
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3.EQUAÇÕES DA PARÁBOLA DE VÉRTICE NA ORIGEM 
1° CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y. 
V
A
p/2
p/2
P(x,y)
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Nesse caso teremos: x²=2py => y=1/2p x². 
Fazendo 1/2p=a, teremos: y=ax² , com a>0.
O nº real p≠0 é denominado “parâmetro” da parábola. 
Note que p é a distância entre F e d.
A equação x2 =2py é chamada EQUAÇÃO REDUZIDA DA PARÁBOLA. 
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que da equação x²=2py observamos ser 
2py sempre positivo ou nulo pois é igual a x²≥0, daí os 
sinais de p e de y são sempre iguais.
Dessa forma, se p>0 a parábola tem 
concavidade voltada para cima e, se p<0, a parábola 
tem concavidade voltada para baixo.
y
y
p  0 p  0
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2°CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x
Nesse caso teremos: y²=2px => x=1/2p y².
Fazendo 1/2p=a, teremos x=ay² com a>0.
P’(-p/2, y)
p/2
P (x, y)
VA
(-p/2,0) (p/2,0)p/2
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Observe que da mesma forma que analisamos no
caso anterior, teremos que se p>0 a parábola terá
concavidade voltada para a direita e, se p<0, a parábola
terá concavidade para a esquerda.
y
x
o
x
y
ox  0
p  0
x  0
p  0
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
4.EQUAÇÃO DA PARÁBOLA COM VÉRTICE FORA DA ORIGEM
1°CASO: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y 
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
P(x’, y’) coordenadas em relação aos eixos X’VY’
P(x, y) coordenadas em relação ao eixos XOY
O gráfico nos mostra que x’ = x – h
y’ = y – k 
Equação da parábola em relação aos eixos X’VY’ x’² = 2py’
Equação da parábola em relação aos eixos XOY (x-h)²=2p (y-k)
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2°CASO:O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x
De modo análogo obteremos:
(y – k)² = 2p (x – h)
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
EXERCÍCIOS
1. Determinar a equação da parábola de foco F(2,1) e cuja 
diretriz é a reta d de equação x – 4 = 0.
x
y
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
F(2,1)
d= x-4=0
Sendo P (x,y) um ponto qualquer da parábola, temos:
d(P,d)=x-4 = 
d(P,F)= 
Pela definição de parábola: d(P,d) = d(P,F)
(x-4)2 = (x-2)2 + (y-1)2
y2 + 4x – 2y - 11= 0
Obs: Pela posição do foco e da diretriz é fácil concluir que o 
vértice é o ponto V(3,1) e o eixo é a reta  de equação y-1=0
22 )1()2(  yx
)²4( x
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2. Determinar o foco e a equação da diretriz das parábolas 
x²=8y e y²=-2x.
a) x2 = 8y o eixo da parábola é o eixo y
a equação é da forma x2 = 2py
2p = 8 p = 4 p/2 = 2 Logo: Foco: F(0,2)
Diretriz: y=-2
x
y
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
b) y2 = -2x o eixo da parábola é o eixo x
A equação é da forma y2 = 2px
2p = -2 p = -1 p/2 = -1/2
Logo: Foco: F(p/2,0) F(-1/2,0) 
Diretriz: d=-p/2 = 1/2 x=1/2
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3. Determinar a equação da reta que passa pela origem e
pelo vértice da parábola y = -x² + 4x – 3.
CÔNICAS: PARÁBOLA – AULA 8
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Resumindo
Nesta aula estudamos:
- A parábola,sua definição e seus elementos
- As equações da parábola de vértice na origem
- As equações da parábola com vértice fora da origem
- Resolvemos alguns exercícios.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
AULA 9 – CÔNICAS: ELIPSE 
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
 Elipse:Definição
 Elementos . Observações
 Equações Reduzidas: - Eixo maior sobre Ox
- Eixo maior sobre Oy
 Excentricidade de uma Elipse
 Outras formas de Equação da Elipse:
- Eixo maior da Elipse paralelo ao eixo x
- Eixo maior da Elipse paralelo ao eixo y
. Exercícios
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ELIPSE
DEFINIÇÃO: Dados dois pontos F1 e F2 (focos) e um segmento 
de medida 2a, denomina-se ELIPSE o lugar geométrico dos 
pontos do plano tais que:
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a ou PF1Ι+ ΙPF2 = 2a
B2
B1
A2A1CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ELEMENTOS
- Os pontos fixos F1 e F2 são os focos da elipse
- O ponto O, médio do segmento F1F2, é o centro da elipse
- A distância de F1 a F2 chama-se distância focal
- Os pontos A1, A2, B1 e B2 são os vértices da elipse
- O segmento A1A2 é o eixo maior da elipse
- O segmento B1B2 é o eixo menor da elipse
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Observações:
Se variarmos as posições de F1 e F2, mantendo fixo o 
comprimento 2a , a forma da elipse irá variar. Quanto 
mais afastados estiverem os pontos F1 e F2 , mais 
“achatada” será a forma da elipse e, por outro lado, 
quanto mais próxima de zero estiver a distancia entre 
eles, ela será quase circular e, no caso de F1 = F2, 
teremos uma circunferência de centro F1 ou F2 e raio a.
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
EQUAÇÕES REDUZIDAS
A equação PF1 + PF2 = 2a => d(P,F1) + d(P,F2) = 2a 
quando desenvolvida nos leva a dois casos importantes a 
serem considerados:
1º) O eixo maior está sobre o eixo dos x
Desse modo chegamos a equação: x²/a² + y²/b² = 1 que é a 
equação reduzida para este caso, com a > b.
A1 A2
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2º) O eixo maior está sobre o eixo y
Desse modo chegamos a equação x²/b² + y²/a² = 1 que é 
a equação reduzida para esse caso, com a > b. 
1
2
A1
A2
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Observação:
Para saber se a elipse tem eixo maior sobre o 
eixo dos x (Ox) ou sobre o eixo dos y (Oy), basta 
observar onde está o maior denominador (a²) na sua 
equação reduzida.
Se esse for denominador de x², o eixo maior está 
sobre Ox, caso contrário, estará sobre Oy.
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que em qualquer caso termos:
Eixo maior: A1A2 = 2a, eixo menor: B1B2 = 2b e distância 
focal: F1F2 = 2c
Observe que B2F2=a pois B2F1+B2F2=2a(definição de 
elipse) e B2F1=B2F2. Logo, do triângulo retângulo B2CF2, 
temos: a²=b²+c².
Desta igualdade observamos que: b<a e c<a.
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
EXCENTRICIDADE DE UMA ELIPSE
É o número real definido por e = c/a (0<e<1).
Note que a excentricidade de uma elipse é responsável 
pela “forma” da elipse.Quando a elipse tem excentricidade 
próxima de “zero” elas são aproximadamente circulares 
e,se forem próximas de 1, serão “achatadas”.
Todas as infinitas elipses com excentricidade e = ½ 
terão a mesma forma , diferindo apenas pelo tamanho. 
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
OUTRAS FORMAS DE EQUAÇÃO DA ELIPSE
Vamos considerar apenas os casos em que os eixos 
das elipses forem paralelos aos eixos coordenados. 
Consideremos então uma elipse de centro O(h,k)≠(0,0).
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
1º) Eixo maior da elipse paralelo ao eixo x
Nesse caso a equação da elipse fica: 
(x-h)² /a² + (y-k)²/b² = 1 
A1 A2
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2º) Eixo maior da elipse paralelo ao eixo y
Nesse caso a equação da elipse fica: 
(x-h)² /b² + (y-k)²/a² = 1 
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Exercícios
1. Escrever a equação da elipse de focos F1(-3,0) e F2(3,0) 
e cujos vértices são V1(-5,0) e V2(5,0).
V1V2=2a -> 10=2a -> a=5
F1F2=2c -> 6==2c -> c=3
Temos então que: a²=b²+c² -> 5²=b²+3² -> b²=16 -> 
->b=4 -> b>0 (semieixo menor)
Logo: x²/a² + y²/b² = 1 -> x²/25 + y²/16 = 1
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2.Para cada uma das elipses a seguir,determinar:
a) a medida dos semieixos
b) os focos
c) a excentricidade
A. 9x² + 25y² = 225 
a) 9x²/225 + 25y²/225 = 225/225 -> x²/25 + y²/9 = 1 
Tipo: x²/a² + y²/b²= 1 
Então: a²=25 -> a=5 (semieixo maior)
b²= 9 -> b=3 (semieixo menor)
b) a²=b²+c² -> 25=9+c² -> c=4 -> F1(-4,0) e F2(4,0)
c) e=c/a -> e=4/5
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
B. 4x² + y² - 16 = 0
a) 4x²+y²=16-> 4x²/16+y²/16=16/16 -> x²/4 + y²/16=1
Tipo: x²/b²+ y²/a²=1
a²=16 -> a=4 (semieixo maior)
b²= 4 -> b=2 (semieixo menor)
b) a²=b²+c² -> 16=4+c² -> c²=12 -> c=V12
Logo: F1(0. – V12) e F2(0,+V12)
c) e=c/a =V12/4 -> e= V3/2
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
C. x² + y² - 9 = 0
a) x²+y²=9 -> x²/9 + y²/9 = 9/9 -> x²+y²=1
Nesse caso temos:a²=b²=9 -> a=b=3
b) Trata-se de uma circunferência de raio 3
c) e==c/a -> e=0/3 -> e=0 ( A circunferência é uma 
elipse de excentricidade nula.
x
y
3-3
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3. De a equação da elipse de excentricidade e=2/3 e 
semieixo maior a=6.
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
4. Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem 
centro C(4,-2), excentricidade e=1/2 e eixo menor de 
medida 6. Obter uma equação desta elipse.
CÔNICAS: ELIPSE– AULA 9
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Resumindo
Na aula de hoje:
- Estudamos a elipse, sua definição e seus elementos.
- Abordamos algumas propriedades da elipse.
- Vimos as equações reduzidas da elipse.
- Estudamos a excentricidade da elipse e suas propriedades.
- Analisamos outras formas de equações da elipse.
- Resolvemos alguns exercícios. 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 10 – CÔNICAS:HIPÉRBOLE
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
 Hipérbole.Definição.
 Elementos
 Equação da hipérbole com centro na origem do sistema
- O eixo real está sobre o eixo dos x
- O eixo real está sobre o eixo dos y
 Equação da hipérbole de centro fora da origem do 
sistema
- O eixo real é paralelo ao eixo dos x
- O eixo real é paralelo ao eixo dos y
. Exercícios 
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Hipérbole
1.Definição
HIPÉRBOLE é o lugar geométrico dos pontos de um
plano cuja diferença das distâncias, em módulo, a dois 
pontos fixos desse plano é constante.
Sejam F1 e F2 dois pontos distintos de um plano
tal que a distância d(F1,F2)=2c. Consideremos um número 
real “a” tal que 2a<2c.
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais 
que: Ιd(P,F1) – d(P,F2)Ι = 2a ou Ι ΙPF1Ι – ΙPF2Ι Ι = 2a,
dá-se o nome de HIPÉRBOLE.
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
A hipérbole é uma curva com dois ramos. Devemos
observar que a equação: Ι ΙPF1Ι – ΙPF2Ι Ι = ± 2a será
positiva quando um ponto P da hipérbole estiver no ramo
da direita e será negativa quando o ponto P estiver no
ramo da esquerda.
1 2
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2. ELEMENTOS
o
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
.Focos: são os pontos F1 e F2.
.Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
.Centro: é o ponto médio O do segmento F1F2.
.Vértices: são os pontos A1 e A2.
.Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimen-
to 2a. 
.Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de com-
primento 2b.
.Do triângulo retângulo B2OA2 tiramos a relação c²=a²+b².
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
.As retas r e s que contêm as diagonais do retângulo MNPQ 
são denominadas assíntotas da hipérbole. Quando a=b, o
retângulo MNPQ se transforma num quadrado e as assín-
totas serão perpendiculares ( = 90°) e, nesse caso tere-
mos a HIPÉRBOLE EQUILÁTERA.
.O ângulo  assinalado na figura é denominado abertura dahipérbole.
.A excentricidade da hipérbole é o número “e” dado por
e=c/a com c>a => e>1. 
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3.EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE COM CENTRO NA ORIGEM DO 
SISTEMA
1°CASO: O eixo real está sobre o eixo dos x
Nesse caso temos: x²/a² - y²/b² = 1
2º CASO: O eixo real está sobre o eixo dos y
Nesse caso temos: y²/a² - x²/b² = 1 
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
1°CASO: 
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2º CASO: 
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
4.EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO FORA DA ORIGEM
DO SISTEMA
1ºCASO: O eixo real é paralelo ao eixo dos x
Nesse caso teremos: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1
2º CASO:O eixo real é paralelo ao eixo dos y
Nesse caso teremos: (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
1ºCASO:
hh
k
y
y
y
P(x,y)
x’C
x xO
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2º CASO:
y
A1
C
F1
F2
P (x,y)
A2
k
ho x
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
EXERCÍCIOS
1. Determine a distância focal e a excentricidade de uma
hipérbole com eixo real 8cm e eixo imaginário 6cm. 
V1V2=2a -> 2a=8 -> a=4cm
M1M2=2b ->2b=6 -> b=3cm
Logo: c²=a²+b² -> c²=16+9 -> c=5cm
A distância focal vale : F1F2 = 2c -> F1F2 = 10cm
A excentricidade é: e=c/a -> e=5/4
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2.O ponto (2,0) é um dos vértices de uma hipérbole de 
eixo real horizontal e centro na origem. Sendo a hipér-
bole equilátera, determinar sua equação, suas assínto-
tas e sua excentricidade.
Como a hipérbole é equilátera, temos a=b=2 .
Neste caso, a equação da hipérbole é do tipo:
x²/a² - y²/b² = 1 -> x²/4 – y²/4 = 1 -> x² - y² = 4.
Como c²=a²+b² -> c²=4+4 -> c²=8 -> c=2
A excentricidade é dada por: e=c/a=2 /2 -> e=
As assíntotas tem equações: y=±b/a x -> y=±2/2 x -> y=±x 
2
2 2
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3.Dê a equação reduzida e as equações das assíntotas da
hipérbole de equação 16x² - 9y² + 144 = 0. 
CÔNICAS: HIPÉRBOLE– AULA 10
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Nesta aula estudamos:
. A hipérbole, sua definição e seus elementos.
- As equações da hipérbole com vértice na origem
- As equações da hipérbole com vértice fora da origem
- Resolvemos alguns exercícios.
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA DE REVISÃ0 DA AV2
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Conteúdo Programático desta aula
 Revisão dos conteúdos 
abordados nas aulas 6 a 10
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
EXERCÍCIOS
1. Escrever a equação cartesiana do plano π que passa 
pelo ponto A(2,-1,5) e é paralelo ao plano π’: 3x-2y+z-8=0
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
2. Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos 
pontos A(3,-1,1), B(0,-2,1) e C(1,1,1). 
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
3.Calcule a distância do ponto P(3.-5) à reta de equação 
2x-7y+12=0.
Temos que: a=2, b=-7 e c=12. 
Então:
d(A,r) = ->
-> d(A,r) = 
494
12356
)²7(²2
12)5.(73.2
²² 







ba
cbyax
53
53
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
4. Considere um triângulo cujos vértices são A(2,-1), 
B(3,1) e C(-2,-4). Calcule:
a) a altura relativa ao lado BC
b) a área do triângulo 
x y 1
a) r=BC= 3 1 1 = 0 ->
-2 -4 1
-> x-2y-12+2-3y+4x=0 ->
-> 5x-5y—10=0 -> 
-> x-y-2=0
A
B
C
r
h
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Logo: h=d(A,r)= -> h = 
b) SΔ = ½ .BC.h = ½.5V2.V2/2 -> SΔ = 5/2
A
B
C
r
h
2
212
)²1(²1
2)1.(12.1 



2
2
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
5. Determine a equação da parábola de vértice V(0,0) e 
que passa pelo ponto P(-3,8).
A equação é da forma x²=2py. Como o ponto P 
pertence à parábola, então este ponto é uma solução da 
equação,logo:
(-3)² = 2p.8 -> p=9/16
Então a equação procurada é: 
x²=2.9/16.y -> x²=9/8 y ou ainda: 8x² - 9y = 0.
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
6.Determine a equação da elipse definida por
4x² + 25y² - 16x + 200y + 316 = 0.
RAV 2
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
7. Determinar os valores de p e q para os quais a reta 
y = 2x + q é tangente à elipse 3x² + y² = 3.
Procurando os pontos de interseção da reta com a 
elipse, obtemos:
DaÍ: Δ = (4q)² -4.7.(q²-3) = -12q²+84
Se a reta é tangente a elipse, temos:
Δ = 0 -> -12q² + 84 = 0 -> q² = 7 -> q = ±
03²4²73)²2(²3
3²²3
2






qxqxx
yx
qxy
7
RAV 2
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8. Considerando a hipérbole 9x² - 7y² - 63 = 0, determine:
a. A medida dos semieixos
b. Os vértices
c. Os focos
d. A excentricidade
e. As equações das assíntotas
RAV 2
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9. A excentricidade de um hipérbole é 2V2 e a distância 
focal vale 12. Determine a equação dessa hipérbole.