fundamentos da matematica1 lista 05

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5a. lista de Fundamentos de Matemática 1
1. Prove a seguinte propriedades de potência para a, b > 0 com número natural m,n.
(a) an+m = anam
(b) (an)m = anm
(c) (ab)n = anbn
(d)
(
a
b
)n
= a
n
bn
(e)
am
an
= am−n para m > n.
2. Mostre as seguintes propriedades para m,n naturais.
(a) m < n =⇒ am < an para a > 1.
(b) 1 < a < b =⇒ an < bn.
(c) m < n =⇒ am > an para 0 < a < 1.
(d) Se a > 1, dado c > 1,∃n : an > c. Dica: (1 + δ)n > 1 + nδ.
(e) 0 < a < 1, então dado c > 0,∃n : an < c.
3. Verdadeira ou falso? Justifique.
(a)
√
2 > 1.
(b) pi
√
3 > 1.
(c) pi−
√
3 < 0.
(d)
(
3
√
3
)pi
> 1.
4. Calcule
(a)
(
1
3
)2
+
(
1
3
)3
(b) 32 +
(
1
3
)3
(c) 50
(d)
(
a
b2
)3
+
(
1
b
)6
, a, b > 0
(e) (a2b)
2
(ab2)
3
, a, b > 0
5. Resolva a inequação para x ∈ R.
(a) 3x−1 < 32.
(b) 8 > 22x+1.
(c)
√
2 > 22x+1.
(d) (3x)pi ≤ (2x2)pi com x > 0.
(e)
1
3x+1
≤ 1
33
.
(f)
(
1
3
)x2+1 ≤ 1
9
.
1
6. Assumindo que as propriedades de potências com números naturais estende para potências
inteiras, mostre que
(a) a0 = 1 para a > 0
(b) a−n = 1
an
para a > 0.
7. Para a > 0 e n natural, tem-se que n
√
a = b se b ≥ 0 e bn = a. Mostre que
(a)
n
√
am = pn
√
apm
(b)
n
√
ab = n
√
a n
√
b
(c)
n
√
a
b
=
n√a
n√
b
(d) ( n
√
a)
m
= n
√
am
(e)
m
√
n
√
a = mn
√
a
8. Assinale V ou F e justifique.
(a)
√
4 = ±2
(b)
√
x2 = |x| para todo x.
(c)
n
√
1 = 1
(d)
3
√
8 = 2
√
2
(e)
√
(x− 1)2 = x− 1 para x ≥ 1
(f) Solução de x2 = 4 é x = ±2.
(g) b n
√
a = n
√
abn para a, b > 0.
9. Verdadeiro ou falso? Dê contraexemplo no caso falso.
(a) x < y então xa < ya para a > 0.
(b) x < y então xa < ya para a < 0.
(c) (ax)y = (ay)x para a > 0.
(d) (ax+y)
z
= axz + ayz para a > 0.
(e) (ab)x = axbx para a, b > 0.
(f)
(
a
b
)x
> 1 para a > b > 0.
10. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) x < y então 1
ax
< 1
ay
para 0 < a < 1.
(b) ax existe para todo a 6= 0 para a, x ∈ R.
(c) Para a > 1, m
n
< x < m+1
n
implica a
m
n < ax < a
m+1
n
.
(d) 0 < a < 1 então ax é decrescente em x.
(e) a > 1 então ax
2
> ax para x 6= 0.
(f) f(x) = ax transforma P.A. em P.G. (x0, . . . , xk é P.A. então a
x0 , . . . , axk é P.G.)
2