RES MAT I Aulas 01 a 04

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Professor
D. Sc. Maurício Coelho Alves
Estácio Belém
+55 91 98890-6999
Resistência 
Dos Materiais I
Professor
D. Sc. Maurício Coelho Alves
Estácio Belém
+55 91 98890-6999
AULA 01
O Cayan Tower tem uma torção de 1,2 grau a cada andar, o que soma 90 graus, o equivalente a um quarto de volta desde o térreo até o topo que tem altura de 306 metros.
Maior prédio torcido do mundo foi inaugurado em Dubai, com 80 andares e 306 metros de altura
Aula 01
APRESENTAÇÃO DO CURSO
7 CAPS
7 CAPÍTULOS
0. APRESENTAÇÃO
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
18 aulas
APRESENTAÇÃO DO CURSO
0. 
Apresentação
Professor
Objetivo
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Conteúdo
Bibliografia
7 CAPÍTULOS
0. APRESENTAÇÃO
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
0. APRESENTAÇÃO
7 CAPÍTULOS
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Objetivo
Metodologia dos 300
Avaliações
Conteúdo
Bibliografia
Metodologia dos 300
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
6
Professor
Engº D. Sc. Maurício Coelho Alves
Aula 01
7
Apresentar e discutir conceitos de força, energia, trabalho e equilíbrio para o âmbito da Mecânica do Contínuo. 
Desenvolver conhecimentos necessários para determinar e interpretar tensões e deformações em corpos sólidos, particularmente em elementos estruturais
Objetivo
Despertar interesse pela disciplina e motivação pela prática
0. APRESENTAÇÃO
7 CAPÍTULOS
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Objetivo
Metodologia dos 300
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Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
8
Avaliações
AV 1
AV 2
AV 3
 NF
TRAB
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7 CAPÍTULOS
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Objetivo
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Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Metodologia dos 300
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
AV 1: contemplará o conteúdo da disciplina até a sua realização. AV2 e AV3: abrangerão todo o conteúdo da disciplina.
Inovação: Metodologia dos 300
A avaliação do aluno é tratada como um dos momentos do processo de ensino e aprendizagem;
Aula 01
9
Metodologia dos 300
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7 CAPÍTULOS
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Professor
Objetivo
Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
10
Metodologia dos 300
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Objetivo
Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Conceito de vetores e força
Equilíbrio de um ponto material
Resultantes de sistema de forças
Equilíbrio de corpos rígidos
Análise estrutural
Forças em vigas
Centro de gravidade e centróide
Aula 01
11
Metodologia dos 300
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7 CAPÍTULOS
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Objetivo
Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
12
Metodologia dos 300
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7 CAPÍTULOS
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Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
13
Metodologia dos 300
0. APRESENTAÇÃO
7 CAPÍTULOS
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Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
14
Metodologia dos 300
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7 CAPÍTULOS
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Objetivo
Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
15
Metodologia Espartana
0. APRESENTAÇÃO
http://www.bodhidharma.com.br/index.php/a-cultura-marcial/78-7-os-espartanos
Leitura Complementar
Aula 01
7 CAPÍTULOS
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Professor
Objetivo
Avaliações
Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
16
Conteúdo
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7 CAPÍTULOS
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Professor
Objetivo
Avaliações
Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
2.	Equilíbrio das estruturas
Tipos de estruturas e forças atuantes em estruturas;
aparelhos de apoio;
equação de equilíbrio estático;
determinação de reações de apoio em estruturas reticuladas;
esforços internos
3.	Tensões
Caso uniaxial;
Caso bidimensional
Tensões normais, cisalhamento e reciprocidade de cisalhamento;
Caso 3D
Componentes de tensão em um cubo infinitesimal;
Notação para tensões;
Reciprocidade das tensões de cisalhamento;
Equações diferenciais de equilíbrio
Aula 01
17
Conteúdo
0. APRESENTAÇÃO
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Professor
Objetivo
Avaliações
Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
4.	Deformações
Deformações normais e de cisalhamento;
Equações cinemáticas (deformações obtidas a partir de derivadas de deslocamentos);
5.	Elasticidade
Material isotrópico, ortotrópico e anisotrópico;
Lei de Hooke para material isotrópico;
Ensaios axiais;
Módulo de elasticidade longitudinal;
Coeficiente de Poisson;
Módulo de cisalhamento;
Regime linear e elástico;
Material plástico e elastoplástico;
Lei de Hooke generalizada (material isotrópico);
Lei de Hooke para estados planos de tensão e deformação (material isotrópico)
Aula 01
18
Conteúdo
0. APRESENTAÇÃO
6.	Energia de Deformações
Devido a tensões normais (estado uniaxial);
Devido a tensões de cisalhamento;
Caso tridimensional;
Casos particulares: estados planos de tensão e deformação.
7.	Análise de Tensões
Tensões principais;
Tensões de cisalhamento máximas;
Círculo de Mohr para tensões;
Aula 01
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Professor
Objetivo
Avaliações
Metodologia dos 300
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
19
Bibliografia Básica
1. HIIBBLER, R. C. Resistência dos Materiais. 7ª Edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010;
2. PHILPOT, Timothy A. Mecânica dos materiais: um sistema integrado de ensino. Rio de Janeiro: LTC, 2013;
3. BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON Jr., E. Russel. Resistência dos materiais, 3ª Edição. São Paulo: Makron Books, 1995.
0. APRESENTAÇÃO
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Professor
Objetivo
Avaliações
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
20
Bibliografia Complementar
1.	TIMOSHENKO, S. O.; GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos: Volume 1. 1ª 	Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983;
2. 	POPOV, E. P. Resistência dos Materiais. 2ª Edição. Rio de Janeiro: 	Prentice – Hall do Brasil, 1984;
TIMOSHENKO, S. P. GOODIER, J. N. Teoria da Elasticidade. 3ª Edição. 	Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1980;
LITTLE, R. W. Elasticity. New York: Dover Publication, 1999.
TIMOSHENKO, S. P. History of Strength of Materials. New York: Dover Publication, 1983.
RICARDO, O. G. Introdução à Resistência dos Materiais. Editora da UNICAMP, 1977.
DECELLE, A. F., LEGENDRE, D. Méchanique Apliquée au Génie Civil. Editora Eyrolles, Paris,
1983.
Shames, Irving H. Introdução à Mecânica dos Sólidos. Prentice – Hall do Brasil, 1983.
0. APRESENTAÇÃO
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Professor
Objetivo
Avaliações
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
21
Bibliografia Complementar
9.	Taborda Garcia, L. F. e S. F. Villaça: Introdução à Elasticidade Não-	Linear, COPPE/ UFRJ, 1995.;
10. 	Malvern, L.: Introduction to the Mechanics of a Continuum Medium, 	Prentice-Hall, 1969.;
11.	Atkin, R.J. e N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, 	Longman, 1980.;
12.	Boresi, A.P. e K. Chong: Elasticity in Engineering Mechanics, Elsevier, 	1987
Boresi, A.P., R.J. Schmidt e O.M. Sidebottom: Advanced Mechanics of 	the Materials, Wiley, 1993.
Tomasz Wierzbicki. 2.080J Structural Mechanics. Fall 2013. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.
0. APRESENTAÇÃO
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Professor
Objetivo
Avaliações
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
22
Bibliografia Complementar
David Parks, and Lallit Anand. 2.002 Mechanics and Materials II. Spring 2004. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.
Carol Livermore, Henrik Schmidt, James Williams Jr., and Simona Socrate. 2.001 Mechanics & Materials I. Fall 2006. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License:  Creative Commons BY-NC-SA.
Rice, James R. 2010, Solid Mechanics. Harvard University, MA 02138USA, Downloadable at esag.harvard.edu/rice/e0_Solid_Mechanics_94_10.pdf.
http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/mecsol/Mec.html (Revisão Álgebra)
http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/ 
0. APRESENTAÇÃO
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Professor
Objetivo
Avaliações
Conteúdo
Bibliografia
Introdução
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 01
23
Definição
1. Introdução
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Objetivo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
A Resistência dos Materiais, ou ainda Mecânica dos Sólidos, Mecânica dos Materiais e Mecânica dos Corpos Deformáveis é uma parte da Mecânica dos Meios Contínuos que estuda o comportamento (deformação) dos sólidos sob a ação de ações externas, tais como forças mecânicas, magnetismo, eletricidade, calor, etc. 
Aula 01
Figura 1
24
Hipótese do Meio Contínuo
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
1. Introdução
A matéria na realidade é formada de moléculas, átomos e partículas subatômicas; portanto, não é contínua e sim discreta. Entende-se que os termos matemáticos CONTÍNUO e DISCRETO significam, respectivamente, "formar um inteiro completo, sem interrupções ou vazios“ e "separados individualmente e distintos.“ Contudo existem muitas situações da experiência diária que a teoria fenomenológica do comportamento dos materiais utilizada não considera a estrutura atômica ou molecular da matéria. 
Na discussão do comportamento macroscópico dos materiais, despreza-se a influência da microestrutura. Consideram-se os materiais como sendo continuamente distribuídos sobre uma determinada região do espaço. Em qualquer instante do tempo, cada ponto desta região está sendo ocupada por uma partícula do material. 
Aula 01
25
A Mecânica dos Meios Contínuos
1. Introdução
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Objetivo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
A Mecânica dos Meios Contínuos (Mecânica do Contínuo) é, por sua vez, a parte da Mecânica que estuda os meios que podem ser representados pela hipótese de que a microestrutura do material pode ser desprezada; desta maneira, o corpo pode ser representado como um conjunto contínuo de partículas, que será denominado de continuum. Sem esse artifício seria necessário considerar-se a ação em cada um dos corpos elementares.
Vazios capilares em concreto C24 aos 28 dias e C75 aos 112 dias de idade.
MEV aumento de 1000 x
MEV (Micrografia Eletrônica de Varredura)
Aula 01
Figura 2
26
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Objetivo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Esta disciplina engloba, entre outras, a Mecânica dos Sólidos e a Mecânica dos Fluidos, cuja diferenciação se dá no modelo de comportamento do material, e não nas equações básicas. A Mecânica dos Sólidos em si é demasiadamente ampla para ser estudada como um todo. Convenciona-se dividí-la em algumas especialidades principais, que normalmente são estudadas separadamente:
Elasticidade; 
Elasto-plasticidade;
Mecânica estrutural: vigas, placas, cascas Piezoeletricidade;
Viscoelasticidade-viscoplasticidade (fluidos-sólidos);
Mecânica da Fratura (Micromecânica - meios descontínuos).
1. Introdução
A Mecânica dos Meios Contínuos
Aula 01
27
Corpo Rígido
1. Introdução
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Objetivo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Em alguns casos pode-se ainda simplificar mais o contínuo. O caso mais elementar é consideração de Corpo Rígido, que confere, teoricamente, ao contínuo a indeformabilidade. Tal hipótese pode ser aceita quando a deformação é suficientemente pequena e não afeta a análise desejada.
P
P
P’
Seja a viga biapoiada sujeita à ação de uma força P de valor razoavelmente pequeno. A viga apresentará deformação pequena por flexão e pode-se considerá-la como rígida. Figura 3.
Caso se deseje uma análise mais exata faz-se necessário conhecer a posição correta que a carga assumirá após a viga parar de deformar. Figura 4.
Figura 3.
Figura 4.
Aula 01
28
Mecânica dos Sólidos
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
1. Introdução
As hipóteses mencionadas qualificam a Mecânica dos Sólidos como parte da mecânica dos meios contínuos. É impossível se estudar o comportamento macroscópico de uma estrutura considerando-se o comportamento de cada cristal de um metal. Obviamente, problemas envolvendo a microestrutura do material não podem ser abordados diretamente por esta formulação. 
A maior justificativa do uso da hipótese do meio contínuo é o fato de dar bons resultados, e ser utilizada com sucesso por muito tempo. A maior vantagem de se considerar um meio contínuo está na possibilidade de se utilizar as ferramentas mais poderosas da matemática. Em um meio contínuo, é possível se utilizar a definição de limite, e com isto, o cálculo diferencial pode ser definido.
Aula 01
29
Mecânica dos Materiais e Investigações Experimentais
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Objetivo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
1. Introdução
Todo desenvolvimento de análise da Mecânica dos Materiais está baseado em investigações teóricas, que conduzem a procedimentos matemáticos, e também a investigações experimentais, com a finalidade de se conhecer as características e propriedades mecânicas envolvidas.
Aula 01
Figura 5
Figura 6
30
Mecânica dos Materiais
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Objetivo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
1. Introdução
AÇO
Elástica
Zona
Ruptura
Zona Plástica
Limite de fluência fs
Zona de Fluência
fi
T
k
Encruamento
Estricção
Tenacidade
Escoamento
Resiliência
Zona Elasto - Plástica
Ductilidade
Aula 01
Figura 7
31
Mecânica dos Materiais e Teoria da Elasticidade
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Objetivo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
1. Introdução
A relação entre a Mecânica dos Materiais e a Teoria da Elasticidade, quanto aos seus objetivos, são coincidentes. Entretanto, a diferença está no método utilizado para se atingir os resultados:
	A Mecânica dos Materiais introduz hipóteses simplificadoras e diminui consideravelmente a dificuldade na resolução dos problemas da Teoria da Elasticidade.
Aula 01
32
Objetivo da Mecânica dos Materiais
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Introdução
Hipótese do meio contínuo
Objetivo
Equilíbrio das estruturas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
1. Introdução
Problemas de Dimensionamento
	Conhecido o sistema de forças que atua no elemento 	estrutural, procura-se calcular as dimensões necessárias 	para que as tensões e deformações produzidas não 	ultrapassem valores limites preestabelecidos.
Problemas de Avaliação
	Quando a solicitação externa e as dimensões do 	elemento estrutural são conhecidos e procuram-se as 	tensões e deformações que surgem para compará-las 	com limites pré-fixados que não devem ser 	ultrapassados.
NSd Tensão solicitante de cálculo;
NRd Tensão resistente de cálculo;
Aula 01
33
AULA 02
34
Conceito de Força
2. Conceitos Preliminares
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Aula 02
Quando um corpo de massa m estiver em repouso e iniciar um movimento ou, ainda, quando em movimento retilíneo, com velocidade constante, experimentar alterações ou em sua velocidade ou em sua direção, é lícito afirmar que a ele aplicou-se uma força.
Dessa forma, é possível afirmar que a ideia de força se refere à massa, aceleração (alteração de velocidade), direção e sentido.
Força é uma grandeza VETORIAL: para defini-la corretamente há a necessidade de se indicar, além da intensidade, sua direção e sentido.
35
2. Conceitos Preliminares
Aula 02
NA ANÁLISE ESTRUTURAL É NECESSÁRIO
Conhecer as forças que atuam nas estruturas:
intensidades, direções e sentidos.
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Conceito de Força
Figura 8
36
Tipos de Forças
2. Conceitos Preliminares
Aula 02
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
37
Tipos de Forças
2. Conceitos Preliminares
Aula 02
As forças externas que atuam na estrutura são denominadas CARGAS e podem ser:
PERMANENTES; ACIDENTAIS (Variáveis); EXCEPCIONAIS.
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Figura 9
38
Tipos de Forças
2. Conceitos Preliminares
Cargas Permanentes
	Atuam de maneira contínua, sem variar significativamente 	durante a vida útil da estrutura e podem ser determinadas com 	grande precisão, por serem exclusivamente devidas a forças 	gravitacionais.
	
	Exemplos: 
peso próprio da estrutura;
peso de equipamentos permanentes;
Peso próprio de elementos construtivos;
Empuxos devidos ao peso próprio de solo e de outras ações permanentes sobre ele aplicadas;
protensão;
recalques;
retração de materiais
Aula 01
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
39
Tipos de Forças
2. Conceitos Preliminares
Cargas Acidentais (Variáveis)
	São as cargas acidentais das construções, ocorrem com variações de intensidade e tempo, que podem atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso:
Exemplos:
forças de frenação, de impacto e centrífugas;
os efeitos do vento, das variações de temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio;
Pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas. 
Em função da probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, podem ser classificadas em:
NORMAIS: grande probabilidade de ocorrência;
ESPECIAIS: consideradas em estruturas que sofram ações sísmicas ou cargas acidentais de natureza ou de intensidade especiais.
Aula 01
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
40
Tipos de Forças – Figura 10
2. Conceitos Preliminares
Aula 01
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
41
Tipos de Forças – Figura 11
2. Conceitos Preliminares
Aula 01
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
42
Tipos de Forças
2. Conceitos Preliminares
Aula 02
NA ANÁLISE ESTRUTURAL É NECESSÁRIO
Conhecer as forças que atuam nas estruturas:
intensidades, direções e sentidos.
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Figura 12
43
Distribuição de Cargas
2. Conceitos Preliminares
Aula 02
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Cargas Distribuídas
Distribuídas sobre uma área: 
Nomeadamente cargas superficiais. 
Exemplos: 
peso próprio de laje;
Peso próprio de revestimento;
Peso de liquido no fundo do recipiente;
Empuxo de líquido sobre as paredes do recipiente.
Cargas acidentais da figura 2.
	
Figura 13
44
Distribuição de Cargas
2. Conceitos Preliminares
Aula 02
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Cargas Distribuídas
Distribuídas sobre uma linha: 
Nomeadamente cargas lineares. 
Exemplos: 
peso próprio de vigas;
peso de parede sobre viga;
Peso de parede sobre placa;
Cargas depositadas por uma laje sobre vigas.
São representadas graficamente por um conjunto de setas dispostas sobre uma linha.
	
Figura 14
45
Distribuição de Cargas
2. Conceitos Preliminares
Aula 02
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Cargas Localizadas em um ponto
Aplicadas pontualmente: 
Nomeadamente cargas
pontuais ou concentradas. 
Exemplos: 
Viga apoiada sobre outra;
Pilar sobre viga ou placa;
Peso próprio do pilar;
São representadas graficamente por uma seta isolada.
Figura 15
46
Atividade Extraclasse
2. Conceitos Preliminares
Aula 02
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Conceito de Forças
Tipos de Forças
Distribuição de Cargas
Tensões
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
O aluno deve entregar a Lista de Exercícios 01 seguindo preferencialmente as recomendações abaixo:
CAPA:
Logo da instituição;
Título do Trabalho;
Disciplina;
Nome do Professor;
Cidade e data.
Entrega 08/03/2017
47
Introdução
3. Tensões
Aula 02
7 CAPÍTULOS
0. Apresentação
Introdução
Conceitos Preliminares
Tensões
Introdução
Meio Contínuo
Tensões
Notação das Tensões
Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
CONTEXTUALIZAÇÃO
As estruturas são sujeitas a cargas externas que se combinam e atuam no meio contínuo (na matéria) das peças componentes. O caminho das forças passa pelos vínculos internos (ligações) até os apoios, onde são definidas as reações e equilíbrio do sistema.
Durante o trajeto internos na peças estruturais surgem os esforços internos solicitantes que gerarão tensões e deformações.
Se a tensão interna atuante em um elemento for maior que a tensão por ela suportada ela colapsará.
Se a deformação causada na peça estrutural for maior que a deformação aceita, a peça perderá suas condições estéticas ou de estabilidade, ou ambas.
AVALIAR TENSÕES E DEFORMAÇÕES
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Introdução
3. Tensões
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Tensões
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Tensões
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Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Na Mecânica dos Sólidos Deformáveis, quer em regime elástico ou regime plástico, utilizam-se os conceitos básicos de:
Tensões;
deformações específicas;
equações de compatibilidade;
equações de equilíbrio.
Neste item 3 será estudada a letra a: TENSÕES
49
Meio Contínuo
3. Tensões
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Tensões
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Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
De volta à discursão de Meio Discreto x Meio Contínuo
Teoria Molecular da estrutura de corpos sólidos – Isaac Newton
	Era impossível aplicar conceitos de análise matemática
Considerando-se um grande número de moléculas num elemento de volume infinitesimal passou-se do Sólido Discreto para o Meio Contínuo com capacidade de soluções matemáticas.
Diz-se que nos colocamos à escala macroscópica quando preferimos uma resposta global média em detrimento de uma análise da estrutura particular da matéria. A matéria perde então o seu carácter descontínuo e admite-se uniformemente distribuída no domínio em estudo.
Num meio contínuo, as forças, as tensões, as deformações e a energia são funções contínuas no domínio do corpo
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Meio Contínuo
3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
P

P
V
Figura 16
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Tensões
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Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Desenvolvimento do Conceito
O conceito de Tensões está fundamentado no método das seções:
Princípio de Euler e Cauchy
Consiste em seccionar um objeto (Corpo Sólido) para expor as Forças Internas que agem em uma superfície plana causadas por Forças Externas. 
O Plano de corte é denominado de Plano da Seção. 
Figura 17
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Tensões
3. Tensões
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Conceitos Preliminares
Tensões
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Tensões
Notação das Tensões
Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Em geral, há quatro tipos diferentes de cargas resultantes:
a) Força normal, N (Tração e Compressão);
b) Força de cisalhamento, V;
c) Momento de torção ou torque, T;
d) Momento fletor, M.
O Equilíbrio do Corpo Rígido é obtido por meio de uma distribuição das forças internas que ocorrem na seção transversal exposta. A distribuição de forças internas possui uma resultante normal ao plano da seção, cuja intensidade nessa área é conhecida como tensão. Portanto a soma de todas as forças é nula!
Desenvolvimento do Conceito
Leitura adicional:
Mecânica dos Materiais Avançada: Biblioteca Virtual Estácio, item 2.9
Figura 18
53
Tensões
3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
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Tensões
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Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Sobre as Forças Internas: Leitura Adicional
Leitura adicional:
Fundamentals os Solid Mechanics: A Treatise on Strength of Materials
	M. L. Gambhir, Editora PHI
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Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensão Normal: considere-se uma barra sujeita a forças F com direção do eixo da barra. Essas forças são ditas Axiais.
méd = tensão média (será visto mais adiante) 
Figura 19
As forças internas são ortogonais ao Plano da Seção Transversal e as correspondentes tensões são nomeadas de Tensões Normais.
Desenvolvimento do Conceito: Tensão Normal Forma simplificada
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Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensão Média e Convenção
Observação sobre Tensão Média e Tensão
CONVENSÃO
Tensão Normal Trativa
 Sinal positivo, força sai.
Tensão Normal Compressiva
 Sinal negativo, força entra.
Ver Princípio de Saint - Venant
Figura 20
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Tensões
3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Princípio de Saint Venant
Afirma que um sistema de forças externas em equilíbrio agindo numa região pequena em relação às dimensões globais do corpo, produz
tensões significativamente altas apenas nas imediações da região de aplicação dessas forças, e rapidamente essas tensões decrescem à medida que crescem progressivamente as distâncias.
Leitura adicional:
Mecânica dos Materiais Avançada: Biblioteca Virtual Estácio, item 2.9
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
Figura 22
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3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Princípio de Saint Venant na tração
Considere-se uma barra de aço engastada na base e livre no topo, dividida em múltiplos planos horizontais e verticais, submetida a uma força de tração aplicada em um furo no topo.
Carga distorce as retas próximas à ela e do apoio;
Linhas longe da carga e do apoio permanecem retas;
Figura 23
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Princípio de Saint Venant na compressão
Figura 24
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Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Princípio de Saint Venant na compressão
Figura 25
Assume-se na prática da Resistência do Materiais que a distribuição de tensões é uniforme em uma barra carregada axialmente. Com isso, segue-se da estática elementar que a resultante P das forças internas está aplicada no centróide da seção transversal.
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Princípio de Saint Venant na compressão
Experimento: 
Modelo Didático Princípio de Saint Venant
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Elasticidade
Energia de Deformação
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Tensão em um Ponto – Valor Específico da Tensão no Ponto
Princípio das Tensões de Euler e Cauchy:
Em toda a seção de corte de um corpo existe um campo de vetores tensão , semelhantes a forças de superfície, de modo que a associação das forças elementares dF =  x dA correspondentes a cada elemento de área dA asseguram a transmissão global das forças que uma parte do corpo exerce sobre a outra.
Augustin Cauchy (1789 – 1857)
Leonhard Euler
Figura 26
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Tensões
3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensão em um Ponto – Valor Específico da Tensão no Ponto
Momento de descontração!!!
Figura 27
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Tensões
3. Tensões
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensão em um Ponto – Valor Específico da Tensão no Ponto
Para definir-se a tensão em um ponto Q da seção transversal deve-se considerar uma área infinitesimal A sobre o Plano da Seção.
Figura 28
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Tensões
3. Tensões
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensão em um Ponto – Valor Específico da Tensão no Ponto
Se
E as condições de equilíbrio de cada uma das partes da barra, mostrada na Figura 28, exigem que a intensidade da resultante se iguale ao valor P das cargas aplicadas, pode-se escrever que:
Essa expressão mostra que o volume limitado pelas superfícies que se formam em cada distribuição de tensões da Figura 25 deve ser igual à intensidade P das forças aplicadas. Essa é a única informação, relativa à distribuição de tensões nas várias seções, que a estática pode oferecer. A distribuição real de tensões é INDETERMINADA! Mas, calma!
Para refletir, guardar e depois aplicar!!!! 
P

c
Figura 29
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Tensões
3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Assume-se na prática da Resistência do Materiais que a distribuição de tensões é uniforme em uma barra carregada axialmente, como já se viu anteriormente, menos nas vizinhanças do ponto de aplicação da carga. Com isso, segue-se que, da estática elementar, a resultante P das forças internas está aplicada no centróide da seção transversal.
Com isso, uma distribuição uniforme de tensões só é possível se a linha de ação das forças aplicadas P e P’ passar pelo centróide da seção considerada. A esse carregamento chama-se Carga Centrada.
P

c
C
P
P’
Carga Centrada e Carga Excêntrica
Figura 30
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Tensões
3. Tensões
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensões de Cisalhamento (Corte)
Caso a carga seja aplicada de forma axial e excêntrica (Figura 31) as condições de equilíbrio de uma parte da barra (Figura 32) conduzem à conclusão de que as forças internas em uma certa seção transversal devem ser iguais à P aplicada no centróide mais um conjugado M de intensidade M = P.d.
Figura 31
Figura 32
Dessa forma, a distribuição de tensões não pode ser uniforme, ou simétrica.
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Tensões
3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
LISTA DE EXERCÍCIOS
Lista 01:
Capa com nome, matrícula, logo da instituição, nome do professor, nome da disciplina e data da entrega;
Resolução dos exercícios deve ser apresentada de modo contínuo e sem rasuras;
Apresentar textos que expliquem ou facilitem o fluxo da resolução dos problemas.
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Cisalhamento Direto (Corte)
De forma geral, as
cargas solicitantes em uma estrutura são transmitidas por elementos individuais por meio de conexões: parafusos, rebites, pregos ou soldas.
Nessas conexões, uma das tensões mais significativas induzidas é a tensão de cisalhamento (cisalhante ou cortante).
A tensão de cisalhamento é a intensidade da força interna, porém a tensão age na superfície que é paralela à força interna.
Figura 33
Da definição de tensão, pode-se escrever que a tensão média de cisalhamento na seção transversal do pino como:
A tensão em um ponto da seção transversal do pino pode ser obtida de forma análoga àquela da tensão normal:
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Tensões
3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Cisalhamento Direto (Corte)
Cisalhamento Simples:
	apenas uma seção transversal do pino transmite a carga entre o elemento solicitado axialmente e o apoio.
Av = área que transmite a tensão de cisalhamento;  (tau) = tensão de cisalhamento 
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Cisalhamento Direto (Corte)
Cisalhamento Duplo:
	duas seções do pino estão sujeitas a forças cortantes V
Figura 34
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3. Tensões
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Energia de Deformação
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Cisalhamento Direto (Corte)
Cisalhamento Duplo:
	duas seções do pino estão sujeitas a forças cortantes V
Figura 35
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Cisalhamento Direto (Corte)
Área Bruta x Área Líquida:
A ligação entre a placa Gusset e a chapa tracionada é feita por meio de um pino, para o qual se faz um furo na chapa. Consequentemente, o furo reduz a área transversal nessa região. A área reduzida é chamada de Área Líquida e à área das outras regiões da denomina-se Área Bruta.
Figura 36
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Tensões
3. Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Cisalhamento Direto (Corte)
Área Bruta x Área Líquida:
Com a redução da área é evidente que a tensão normal aumenta. Embora aqui se mostre distribuição uniforma da tensão na Área Líquida, isso não é um fato. Há concentrações de tensões próximas ao furo.
Figura 37
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AULA 04
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Tensões
3. Tensões
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Tensões
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Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensão de Esmagamento
É uma categoria especial da tensão normal, porém ocorrem na superfície de contato entre dois elementos distintos que estão conectados.
Ab = área de contato entre dois elementos componentes
Figura 38
78
Tensões
3. Tensões
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Conceitos Preliminares
Tensões
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Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensão de Esmagamento
Mecanismos de esmagamento
Figura 39
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Tensões
3. Tensões
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Tensões
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Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensões Admissíveis e Tensões Últimas
Uma vez obtidas as tensões internas nos elementos que compõem uma estrutura pode-se afirmar que a resistência está assegurada enquanto os valores das forças externas (Tensões Solicitantes) forem  vezes maiores que a tensão de falha do material que constitui a estrutura, denominada Tensão Resistente.
À razão entre a tensão externa (Tensão Solicitante) e Tensão Internas aceitáveis (Tensão Resistentes) dá-se o nome de Coeficiente de Segurança.
S	= tensão solicitante (Tensão externa);
R	= tensão solicitante (Tensão interna);
	= coeficiente de segurança.
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensão Última e Tensão Admissível
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensões Admissíveis e Tensões Últimas
O coeficiente de segurança  expressa a incerteza quanto:
Previsão das máximas tensões solicitantes;
Qualidade do material que se traduzem em menor resistência do que àquela prevista em projeto;
Presença de tensões ou imperfeições iniciais.
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Tensões
3. Tensões
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Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensões em Seções Inclinadas
Lembra-se que forças axiais aplicadas em barras causavam tensões normais e forças transversais aplicadas em pinos provocavam tensões de cisalhamento, pois sempre as tensões foram analisadas no plano normal aos eixos da barra ou do pino.
O que acontece com as tensões em planos oblíquos ao eixo?
Figura 40
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Tensões
3. Tensões
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Meio Contínuo
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensões em Seções Inclinadas
Faz-se um corte oblíquo em uma seção arbitrária e procede-se com o DCL.
Figura 41
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Tensões
3. Tensões
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Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensões em Seções Inclinadas
Análise da tensão no plano inclinado.
Determina-se primeiramente as forças componentes da resultante que atuam perpendicular e paralelamente
no plano inclinado.
A orientação do plano inclinado pode ser definida pelo ângulo formado entre o eixo x e a normal n da seção b-b.
Ângulo positivo no sentido contrário do relógio.
Figura 42
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Tensões
3. Tensões
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Meio Contínuo
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensões em Seções Inclinadas
Análise da tensão no plano inclinado.
A componente perpendicular, atuando na direção n é chamada de força normal N.
A componente paralela, atuando na direção t é denominada de forca de cisalhamento V.
Figura 43
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Tensões
3. Tensões
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Conceitos Preliminares
Tensões
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
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Tensões em Seções Inclinadas
Como Tensão é Força sobre área, as magnitudes das Tensões Normal e Cisalhante dependem da área do plano oblíquo.
Observações: 
quando o ângulo  diminui a área An tende a A.
As tensões Normal e Cisalhante são afetadas pela orientação do plano inclinado.
A
An
Figura 44
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Tensões
3. Tensões
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Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
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Tensões em Seções Inclinadas
A tensão Normal no plano oblíquo é dado por:
Figura 45
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Tensões
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Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
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Tensões em Seções Inclinadas
A tensão Normal no plano oblíquo é dado por:
Figura 46
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Tensões
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Tensões
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Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento
Equações de Equilíbrio sob a Forma Diferencial
Deformações
Elasticidade
Energia de Deformação
Análise de Tensões
Tensões em Seções Inclinadas
Variação de tensões em função da orientação  do plano obliquo
Quanto valem as tensões máximas Normal e Cisalhante?
Usar um programa computacional
(MATLAB, MATHCAD, MAPLE...)
Figura 47
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Significado e Importância dos Máximos e Mínimos de Tensões
Pode-se observar nas Figuras 43 a 46 que, mesmo em uma barra sujeita à força de tração axial, pode haver muitas combinações diferentes de tensão normal e cisalhante.
O módulo e a direção da tensão normal e cisalhante em qualquer ponto depende do plano que está sendo analisado.
É função do engenheiro analisar todas as combinações possíveis de tensões normais e cisalhantes que existem nas superfícies internas do elemento estrutural!
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Esse item pode também ser identificado na literatura sob o título de: Tensões para um caso de carregamento qualquer: Componentes de Tensões.
Figura 48
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Estado Triplo de Tensões: Tensor de Cauchy
Tensores são entidades geométricas introduzidas na matemática e na física para generalizar a noção de escalares, vetores e matrizes. Um tensor é uma forma de representação associada a um conjunto de operações tais como a soma e o produto. Muitas grandezas físicas são melhor representadas como a correspondência entre um conjunto de vetores e outra. Por exemplo, a Tensão (mecânica) (Figura 49) toma uma direção (vetor) como entrada e produz a tensão sobre a superfície normal a este vetor como saída e, assim, expressa a relação entre estes dois vetores.
Figura 49: Tensor de segunda ordem
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Componentes do Tensor de Tensões
O primeiro índice indica a direção normal à face de atuação.
O segundo índice indica a direção do componente.
Figura 50: Tensor de segunda ordem
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Estados Uniaxial, Biaxial e Triaxial de Tensões
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Estado Plano de Tensão e Estado Plano de Tensão Generalizado
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