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Modelagem Matemática de Amplificadores de Potência Usando Ordens Polinomiais Esparsas Maria Eduarda Rizo, Eduardo Gonçalves de Lima Universidade Federal do Paraná, Curitiba, Brasil rizo@ufpr.br eduardo.lima@ufpr.br Seminários de Microeletrônica do Paraná Curitiba, Brasil Resumo— Os amplificadores de potência (PA) são componentes eletrônicos cruciais para o desenvolvimento de sistemas modernos de comunicação sem fio. Eles desempenham um papel fundamental ao aumentar a amplitude do sinal de entrada e garantir uma comunicação confiável e de qualidade, além de permitir o aumento da cobertura e do alcance dos sinais. Quando existem fortes não linearidades e longos efeitos de memória a complexidade computacional de um polinômio de memória (MP) aumenta pois, no MP completo são utilizadas todas as potências inteiras do sinal de entrada e todas as amostras discretizadas no tempo. O objetivo deste trabalho é analisar os possíveis benefícios, em termos de melhoria entre acurácia e complexidade, do uso de um MP com não linearidades e atrasos esparsos. Primeiramente, foi estudado sobre regressão linear e sobre polinômio de memória (MP). Para a extração dos coeficientes de um modelo não linear, porém linear nos coeficientes, que é o caso do modelo deste trabalho, foi utilizado o método dos mínimos quadrados no MATLAB. Então, códigos de regressão foram desenvolvidos baseados no MP com sinais complexos quando o número de coeficientes foi fixado em 9, variando ou fixando os valores de potência e de memória, utilizando todas as potências e também somente as potências pares e usando também modelagem direta e modelagem inversa, e analisados os resultados através do erro quadrático médio normalizado (NMSE). Foi utilizada a função barra invertida do MATLAB para aplicar o método dos mínimos quadrados e obter-se o vetor de coeficientes ajustáveis. Na elaboração do código foi fixado o valor de 9 para os coeficientes, a quantidade de amostras para extração e de validação é de 4500, então foram usados os sinais de extração “in_extraction” e “out_extration” para obter os coeficientes ajustáveis e os sinais de validação “in_validation” e “out_validation” para obter a saída estimada do modelo, logo após isso, foram elaborados códigos. A adoção de não linearidades e atrasos esparsos permitiu reduzir o NMSE em até 0,14 dB em relação ao uso de todas as não linearidades e todos os atrasos, e o que gerou o menor erro, de aproximadamente -29,4986 dB, foi na estimativa da modelagem inversa empregando- se todas as potências da amplitude, além da análise de gráficos de amplitude de saída em função da amplitude de entrada (AM-AM). I. INTRODUÇÃO Dado sua importância, este estudo teve como objetivo investigar a possibilidade de modelagem matemática de sistemas não lineares com dinâmicas representadas por atrasos esparsos. Através da modelagem matemática, podemos simular sistemas e prever cenários e, após formular e resolver um modelo que aborda um problema específico, podemos aplicá-lo [1]. No caso da modelagem de um amplificador de potência (PA), esses modelos são baseados em medições feitas na entrada e saída do PA. Em seguida, o comportamento real do PA é simulado usando um modelo matemático, que deve ter alta precisão e baixa complexidade de comportamento. Quando as não linearidades e os efeitos de memória são pequenos, uma alternativa acessível é o uso de polinômios de memória (MP) [2]. Com o objetivo de melhorar o equilíbrio entre precisão e complexidade, o uso de atrasos esparsos já foi proposto [3], mas o objetivo deste trabalho é analisar os possíveis benefícios, em termos de melhorar o equilíbrio entre precisão e complexidade, do uso de um MP com não linearidades esparsas, particularmente com a aplicação simultânea de não linearidades e atrasos esparsos. II. REVISÃO DA LITERATURA Originalmente [4], um polinômio de memória (MP) com todas as potências da amplitude (pares e ímpares) foi proposto, e ele tem a seguinte equação: �̃�(𝑛) = ∑ ∑ �̃�2𝑝−1,𝑚|�̃�(𝑛 − 𝑚)|𝑝−1�̃�(𝑛 − 𝑚) 𝑀 𝑚=0 𝑃 𝑝=1 (1) No entanto, também é abordado neste trabalho o MP que é linear nos coeficientes e utiliza apenas as potências pares, com a seguinte equação: �̃�(𝑛) = ∑ ∑ �̃�2𝑝−1,𝑚|�̃�(𝑛 − 𝑚)|2𝑝−2�̃�(𝑛 − 𝑚) 𝑀 𝑚=0 𝑃 𝑝=1 (2) onde P e M são o truncamento da ordem do polinômio e o comprimento da memória, respectivamente, �̃�(𝑛) e �̃�(𝑛) são o envoltório complexo na entrada e saída do PA, respectivamente, e �̃�2𝑝−1,𝑚 são coeficientes complexos. Com o objetivo de melhorar o equilíbrio entre precisão e complexidade, o uso de atrasos esparsos foi proposto [5]. Todas as ordens polinomiais ainda são utilizadas, mas nem todos os atrasos são usados. III. MATERIAIS E MÉTODOS O amplificador de potência usado é um amplificador de potência classe AB que utiliza um HEMT fabricado em tecnologia GaN, e os dados de entrada-saída foram medidos com um analisador de sinal vetorial (VSA) Rohde & Schwarz FSQ com uma frequência de amostragem de 61,44 MHz. O tamanho da amostra de extração e de validação foi de 4500, para ambos os casos de entrada e saída. A esparcidade será aplicada apenas à potência ou simultaneamente à potência e ao atraso. Essas duas propostas podem ser aplicadas tanto ao MP com apenas potências pares quanto ao MP com todas as potências. O número de coeficientes, que é a multiplicação do valor de P pelo valor de M+1, é fixado em 9. A ordem polinomial máxima é 5 (começa em 1 e vai até 5), e a duração máxima da memória também é 5, exceto que começa em 0 e depois vai até 5. Os modelos resultantes serão os seguintes: quando os valores de potência e memória estão fixos, por exemplo, se P = 3 e M = 3, os valores de potência serão 1, 2 e 3 (e teremos apenas 1 cenário de potência, pois os valores estão fixos), e os valores de memória serão 0, 1 e 2 (e igualmente, teremos apenas 1 cenário de memória); ou quando os valores de potência e memória variam, no caso de P = n, teríamos C cenários de valores de potência: 𝐶𝑛 5 = 5! 𝑛! ∗ (5 − 𝑛)! (2) e esses C cenários seriam as combinações dos 𝑛 valores de potência, indo de 1 até 5. Podemos usar a mesma análise sempre que os valores variam, sejam valores de potência ou valores de memória. O objetivo deste trabalho foi investigar melhorias na precisão da modelagem matemática quando, em todos os casos, o número de coeficientes é fixado em 9, a ordem polinomial máxima é 5 e a duração máxima da memória também é 5, começando em 0 e terminando em 5, portanto, temos 6 valores de memória. Também em todos os casos, tivemos a mesma possibilidade de modelos: modelos nos quais tanto a potência quanto a memória variavam, que é o caso geral, e os casos específicos que são variações do caso geral: quando todos os valores de memória estavam fixos e os valores de potência variavam, quando os valores de potência permaneciam fixos enquanto os valores de memória variavam, e modelos nos quais tanto a potência quanto a memória estavam fixos. Como o caso geral é quando ambos os valores variam, o esperado é que os melhores valores finais aconteçam nesses casos. IV. RESULTADOS As diferentes abordagens de MP são aplicadas tanto à modelagem direta quanto à inversa do PA. No caso da modelagem direta do PA, a entrada do MP é a entrada do PA, e a saída do MP é a saída do PA. No caso da modelagem inversa do PA, a entrada do MP é a saída do PA, e a saída do MP é a entrada do PA. Os resultados da simulação são relatados em quatro subseções. As subseções IV.A e IV.B utilizam o MP com apenas potências pares de amplitude, conforme a equação (2), enquanto as subseções IV.C e IV.D utilizam o MP com todas as potências de amplitude, conforme a equação (1) A. Modelagem direta usandoMP com apenas potências pares. Quando a modelagem direta foi usada em conjunto com as potências pares, tivemos a possibilidade de obter os modelos conforme mencionado acima. Os valores de NMSE em dB estão indicados na Tabela I. TABELA I – VALORES DE NMSE (DB) OBTIDOS. Valores de P e M Valores de P e M estão variando Valores de P estão fixos e os de M estão variando Valores de P estão variando e os de M estão fixos Valores de P e M estão fixos P = 3 M = 2 -29,2727 -29,2727 -29,2644 -29,2644 Após analisar a Tabela I, podemos observar que o valor mais baixo de NMSE é encontrado quando tanto os valores de potência quanto de memória estão variando, e quando os valores de potência estão fixas e os de memória estão variando. Também podemos notar que quando os valores de P estão variando e os de M estão fixos e, também quando os valores de P e de M estão fixos, temos o mesmo valor de NMSE. Isso ocorre porque, quando os valores de M estão variando e fixos, eles têm os mesmos cenários de memória, e um desses cenários de memória em questão, é o valor de memória que resulta no NMSE mais baixo, e ele se repete nos dois modelos. Em seguida, temos os gráficos de amplitude de saída versus amplitude de entrada (AM-AM) para o melhor caso mostrado na Tabela 1, tanto para os dados medidos quanto para os dados estimados. Valores de saída baseados nos valores de entrada. B. Modelagem inversa usando MP com apenas potências pares. Quando a modelagem inversa foi usada em conjunto com potências pares, os valores de NMSE em dB obtidos estão indicados na Tabela II. TABELA II – VALORES DE NMSE (DB) OBTIDOS. Valores de P e M Valores P e M estão variando Valores P estão fixos e os de M estão variando Valores de P estão variando e os de M estão fixos Valores de P e M estão fixos P = 3 M = 2 -29,3593 -29,3593 -29,3593 -29,3593 Podemos observar que obtivemos o mesmo valor de NMSE, independentemente dos valores de P ou M estarem variando ou fixos. Isso acontece pois o melhor cenário para este modelo acontece quando os valores de P são 1, 2 e 3, e os de M são 0, 1 e 2, e, obviamente, este cenário está presente em todos os modelos. Também podemos notar que, após usar a modelagem inversa, o valor do NMSE diminuiu em todos os modelos. Na Figura 2 temos os gráficos de AM-AM para o melhor caso quando a modelagem inversa foi usada apenas com potências pares, tanto para os dados medidos quanto para os dados estimados. Valores de saída baseados nos valores de entrada. C. Modelagem direta usando MP com todas as potências. A mesma modelagem direta foi usada como anteriormente, mas desta vez, em vez de usar apenas potências pares, todas as potências foram utilizadas. Novamente, tivemos as mesmas possibilidades de modelos e os valores de NMSE, em dB, obtidos são mostrados na Tabela III. TABELA III – VALORES DE NMSE (DB) OBTIDOS. Valores de P e M Valores de P e M variando Valores de P estão fixos e os de M estão variando Valores de P estão variando e os de M estão fixo Valores de P e M estão fixos P = 3 M = 2 - 29,4793 - 29,4707 -29,4642 -29,4578 Após aplicar a modelagem direta para todas as potências, pode-se identificar a partir da Tabela III que o valor mínimo possível de NMSE ocorre quando os valores de P e M estão variando. Pode-se notar que, em todos os casos, após comparar a modelagem direta para potências pares com a modelagem direta para todas as potências, os valores de NMSE diminuíram. Além disso, temos os gráficos de amplitude de saída versus amplitude de entrada para o melhor caso mostrado na Figura 3, tanto para os dados medidos quanto para os dados estimados. Valores de saída baseados nos valores de entrada. D. Modelagem inversa usando MP com todas as potências. Novamente, tivemos as mesmas possibilidades de modelos e os valores de NMSE, em dB, obtidos são mostrados na Tabela IV. TABELA IV – VALORES DE NMSE (DB) OBTIDOS. Valores de P e M Valors de P e M variando Valores de P estão fixos e os de M estão variando Valores de P estão variando e os de M estão fixos Valores de P e M estão fixos P = 3 M = 2 -29,4986 -29,3946 -29,4986 -29,3946 Podemos observar que o valor mais baixo de NMSE é encontrado quando os valores de P e M estão variando, e também quando os valores de P estão variando e os de M estão fixos. É perceptível que todos os valores de NMSE aumentaram significativamente em comparação com a modelagem direta aplicada às potências pares. Na Figura 4 temos os gráficos de AM-AM para os melhores casos quando a modelagem inversa foi usada apenas com potências pares, tanto para os dados medidos quanto para os dados estimados. Valores de saída baseados nos valores de entrada. V. CONCLUSÃO O objetivo principal do trabalho foi realizar a modelagem matemática de um amplificador e analisar os resultados após a utilização do método dos mínimos quadrados no MATLAB. O trabalho apresenta essas métricas que determinam qual foi a melhor modelagem dentre as duas utilizadas, a direta e a inversa, e se a melhor foi quando foi utilizado somente potências pares ou todas as potências. Os resultados apresentados mostram que o melhor NMSE foi atingido quando utilizado a modelagem inversa com todas as potências, especificamente quando os valores de P e M estão variando. Também é possível perceber que quando é utilizada a modelagem inversa, os valores diminuíram em cerca de 0,1 dB, em relação com os valores quando utilizado modelagem direta, menos quando a modelagem direta e utilizando todas as potências para valores fixos de P, que resultou num NMSE menor em cerca de 0,08 dB. AGRADECIMENTOS Os autores gostariam de agradecer o apoio financeiro fornecido pelo Conselho Nacional de Ciência e Tecnologia Desenvolvimento (CNPq) no âmbito do Programa PIBITI UFPR 2022. REFERÊNCIAS [1] L. Ljung, System Identification: Theory for the User. Englewood. [2] J. Kim and K. Konstantinou, “Digital predistortion of wideband signals based on power amplifier model with memory,” Electron. Lett., vol. 37, no. 23, pp. 1417–1418,Nov. 2001.. [3] H. Ku and J. S. Kenney, “Behavioral modeling of nonlinear RF power amplifiers considering memory effects,” IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 51, no. 12, pp. 2495–2504, Dec. 2003. [4] L. Ding and G. T. Zhou, "Effects of even-order nonlinear terms on power amplifier modeling and predistortion linearization", IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 53, no. 1, pp. 156-162, January 2004. [5] H. Ku and J. S. Kenney, “Behavioral modeling of nonlinear RF power amplifiers considering memory effects,” IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 51, no. 12, pp. 2495–2504, Dec. 2003.
