Lista 6 - Cálculo 1

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Lista 6 de Ca´lculo 1
1. Estude como decidir que uma func¸a˜o e´ injetora (invert´ıvel).
2. Encontre o domı´nio ma´ximo poss´ıvel em que cada func¸a˜o abaixo e´ invert´ıvel, ache
a fo´rmula expl´ıcita da func¸a˜o inversa x = f−1(y) e calcule a derivada (f−1)′(y):
(a) y = f(x) = 3x/(x+ 2).
(b) f(x) = −x2 + x+ 2.
3. Seja f(x) =
ax+ b
cx+ d
. Deˆ condic¸o˜es em a, b, c e d para que f = f−1.
4. Estude graficamente func¸o˜es inversas: como e´ o gra´fico da inversa de uma func¸a˜o
dada?
5. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) =
{
cos
(
1
x
)
, x 6= 0
0, x = 0
6. Verifique que x 7→ sec x e´ uma func¸a˜o par e x 7→ tan x, x 7→ cotx e x 7→ csc x sa˜o
ı´mpares.
7. Calcule
(a) (sen(sen(sen(x))))′,
(b)
(
cos(sen(
√
x2 + 1))
)′
.
8. Verifique que f(t) = Asen(ct + a) +B cos(ct + b) satisfaz f ′′(t) + c2f(t) = 0.
9. Calcule a derivada de y(x) = arctan(senx).
10. Determine a, b ∈ R para que a func¸a˜o f(x) =
{
x2, x < 1
ax+ b, x ≥ 1 seja deriva´vel em
todos os pontos.
11. (a) Calcule
d(n)
dxn
senx ∀n ∈ N.
(b) Calcule
d(n)
dxn
cosx ∀n ∈ N.
12. O movimento de uma part´ıcula e´ dado por s(t) = e−tsen(t).
(a) Determine a velocidade e a acelerac¸a˜o no instante t.
(b) Analise o que ocorre quando o tempo fica cada vez maior (t→ +∞).
(c) Esboce o gra´fico do movimento.
(d) Interprete o movimento.
13. Um ponto (x, y) move-se sobre a semicircunfereˆncia x2 + y2 = 5 y ≥ 0, gerando
curvas t 7→ x(t) e t 7→ y(t) Suponha que dx(t)
dt
> 0, ∀t. Determine o ponto da
semicircunfereˆncia em que a velocidade de y seja o dobro da de x.
14. Estude as inversas das func¸o˜es trigonome´tricas e suas derivadas.
15. Verifique que se f(x) = x+ ln x, x > 0, enta˜o (f−1)′(x) =
f−1(x)
1 + f−1(x)
.