CadernoDoAluno 2014 2017 Vol2 Baixa MAT Matematica EM 3S

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3a SÉRIE
ENSINO MÉDIO
Volume 2
MATEMÁTICA
CADERNO DO ALUNO
MAT 3 SERIE MEDIO_CAA.indd 1 18/02/14 14:50
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO ALUNO 
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
3a SÉRIE
VOLUME 2
Nova edição
2014-2017
governo do estado de são paulo
secretaria da educação
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretária-Adjunta
Cleide Bauab Eid Bochixio
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares
Dione Whitehurst Di Pietro
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o 
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Caro(a) aluno(a),
Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre, 
você encontrou desafios que exigiram dedicação e muito estudo para construir os conhecimentos e 
desenvolver as habilidades compreendidas no curso. Parabéns pelo empenho!
Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, o foco de estudo será a ideia de função, 
que é a tradução, em linguagem matemática, da relação de interdependência entre duas ou mais 
grandezas. Estudam-se funções, tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio, em diversas 
situações: na proporcionalidade direta ou inversa, nas funções polinomiais, nas funções exponen-
ciais e logarítmicas, nas funções trigonométricas.
Assim, nas primeiras atividades deste Caderno, você estudará as funções já apresentadas em 
séries/anos anteriores, tendo em vista não somente a revisão de suas principais características, mas 
também a construção de um panorama comparativo das relações de interdependência já conhecidas.
No estudo das funções, você poderá relacionar determinado tipo de função com seu respectivo 
gráfico, compreender a funcionalidade da construção de um gráfico, verificar que as funções são 
importantes na explicação de vários fatos do nosso cotidiano e que, a partir dessa ideia, podemos 
realizar conexões com outras áreas do conhecimento.
O Caderno vai ainda apresentar a você as três formas básicas de crescimento e decrescimento, 
tentando caracterizar a rapidez com que elas ocorrem por meio da taxa de variação. Descortinar 
uma série de ideias sobre a variação de funções poderá ser útil na compreensão de alguns fenômenos 
naturais e econômicos, como as taxas de inflação, por exemplo.
Ainda neste Caderno, serão apresentados os tópicos de Estatística, um dos conteúdos matemáti-
cos mais aplicados a situações do cotidiano. Você terá oportunidade de desenvolver habilidades in-
dispensáveis para o seu dia a dia, como interpretar dados de diferentes naturezas a partir de gráficos 
estatísticos e relacionar as informações de diversas fontes e linguagens.
Nas atividades propostas, você vai recordar o cálculo da média aritmética de um conjunto de 
dados. Nas Situações de Aprendizagem, serão agregadas à média aritmética outras medidas estatísti-
cas, como as chamadas “medidas de tendência central”, que são a mediana e a moda, e as “medidas 
de dispersão”, que, neste Caderno, serão contempladas pelo estudo da amplitude e do desvio padrão.
Enfim, você terá contato com a ideia de que para um bom retrato das características de uma 
população, por exemplo, não é necessário estudar cada um de seus elementos. Assim, você saberá 
que é possível selecionar uma amostra representativa da população e verificar qual é o sistema de 
amostragem mais adequado aos objetivos definidos por uma pesquisa estatística.
Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo seu professor e, com isso, possa 
aprender cada vez mais. Será de suma importância que você se aproprie destes conhecimentos, pois está 
encerrando o seu percurso estudantil no Ensino Médio, e por que não dizer na Educação Básica, e todos 
os conceitos estudados contribuirão para melhorar o seu desempenho na continuidade de seus estudos 
ou na vida profissional. O nosso objetivo é contribuir para que o estudo da Matemática seja cada vez mais 
prazeroso. Aproveite bastante! E parabéns por ter chegado até essa etapa da vida estudantil.
Equipe Curricular de Matemática
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemática – 3a série – Volume 2
5
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA: 
UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES
PESQUISA INDIVIDUAL
Muitos livros didáticos de Matemática, destinados aos alunos do Ensino Médio, tratam 
de funções. Utilize alguns títulos dessas séries para pesquisar e anote, em uma folha avulsa, 
as principais características das seguintes funções, como tipo de curva que representa seu 
gráfico, crescimento, raízes, continuidade etc.
•	 Função	de	1o grau: y = ax + b, com a e b constantes, a ≠ 0.
•	 Função	de	2o grau: y = ax2 + bx + c, com a, b e c constantes, a ≠ 0.
•	 Função	y = k __ x , com k constante, k ≠ 0.
•	 Funções	exponencial	e	logarítmica:	y = ax e y = loga x, com a > 0 e a ≠ 1.
•	 Funções	trigonométricas:	y = sen x, y = cos x, y = tg x.
Leitura e análise de texto
Uma grandeza é algo que pode ser medido; seu valor é o resultado dessa medida e 
pode ser constante ou variável em uma dada situação concreta. Chamaremos uma grandeza 
variável (ou constante) apenas de variável (ou constante). Quando uma variável y depende de 
outra variável x, de tal forma que a cada valor que atribuímos livremente a x correspon - 
de um único valor para y, dizemos que y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Dizemos 
que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Naturalmente, qualquer 
letra pode representar as variáveis dependente e independente. Quando escrevemos 
w = f(z), por exemplo, queremos dizer que a variável dependente w é uma função da 
variável independente z. 
Uma grandeza pode depender dos valores atribuídos a duas outras; a área A de um 
retângulo, por exemplo, depende dos comprimentos de seus dois lados, x e y. Dizemos, 
nesse caso, que A é uma função das duas variáveis independentes x e y. No Ensino Fun-
damental, somente estudamos funções de uma variável, mas podemos facilmente imagi-
nar situações práticas em que uma grandeza depende simultaneamente de várias outras, 
sendo uma função de diversas variáveis. 
Matemática – 3a série – Volume 2
6
VOCÊ APRENDEU?
 1. Com base na pesquisa realizada anteriormente, foi possível relacionar determinado tipo de 
função com seu respectivo gráfico. A seguir, temos uma tabela que traz, na coluna da esquerda, 
alguns desses tipos de funções e, na coluna da direita, a representação de alguns gráficos. Rela-
cione cada função à sua respectiva imagem gráfica:
I. O comprimento C de uma circunferência 
é uma função de seu raio x: C = 2πx.
( ) 
II. A área A de um quadrado é uma função 
de seu lado x: A = x2. 
( ) 
III. A massa m de uma substância radioativa 
diminui com o tempo, ou seja, é uma fun-
ção do tempo de decomposição t: m = f(t). 
Para certa substância, tem-se m = mo⋅ 2
– 0,1t, 
onde mo é a massa inicial e t, o tempo de 
decomposição em horas.
( )
IV. Uma pequena bola é presa a uma mola 
perfeitamente elástica. Afastada da posição O 
de equilíbrio, a uma distância a, a bola osci-
la em torno da mola, deslocando-se em uma 
superfície horizontale lisa. A distância x da 
bola até o ponto O depende do instante t con-
siderado, ou seja, é uma função de t: x = f(t). 
No caso, temos x = a ⋅ cos (kt), onde k é uma 
constante que depende da elasticidade da 
mola e da massa da bola.
( )
C
2p
1
x
t
Matemática – 3a série – Volume 2
7
V. Mantendo-se a temperatura constante, 
a pressão P de um gás no interior de um reci- 
piente de volume variável V é uma função 
de V: P = f(V). No caso, temos P = k __ V , em 
que k é uma constante. 
( ) x
t
a
–a
O
 2. Na figura seguinte está representada uma viga reta AB, que sustenta um arco AB de parábola, 
construído em ferro e apoiado em hastes verticais. A largura L do vão é de 40 m e a flecha f do 
arco de parábola tem 5 m. Sabendo que as hastes verticais são igualmente espaçadas no vão, 
calcule seus comprimentos y1, y2 e y3.
A B
y
xx1
y1
0
L
f
x2
y2
x3
y3
 3. Entre todos os retângulos com perímetro de 24 m, como os exemplificados a seguir, qual tem a 
maior área? Registre sua resposta no espaço a seguir.
6 m
6 m
1 m
11 m
Matemática – 3a série – Volume 2
8
 4. A população N de determinado município cresce exponencialmente desde a sua fundação, há 
20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 ⋅ 100,1t, sendo t em anos. 
 a) Esboce o gráfico de N como função de t.
 (Sugestão: atribua para t valores múltiplos de 10.)
Matemática – 3a série – Volume 2
9
 b) Calcule o valor da população N, 15 anos após a fundação do município.
 c) Depois de quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingiu 216 000 habitantes?
 5. Certa substância radioativa se decompõe de tal forma que sua massa m reduz-se à metade do 
valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo⋅ 2
–0,25t, sendo mo o valor inicial da massa (t em 
horas). Partindo de 60 g da substância, pede-se:
 a) o gráfico de m como função de t;
Matemática – 3a série – Volume 2
10
 b) a massa m restante após 8 horas;
 c) a expressão de t como uma função de m;
 d) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g?
 6. Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica, apoiada em uma superfí-
cie horizontal lisa, conforme mostra a figura. Com a mola em seu comprimento normal, a 
bolinha fica em equilíbrio, parada. Afastando-se a bolinha 10 cm da posição de equilíbrio, a 
mola fica esticada; abandonando-se, então, a bolinha, ela passa a oscilar em torno da posição 
inicial, reali zando um movimento de vai e vem. É possível mostrar que o afastamento x da 
bolinha em relação à posição de equilíbrio é uma função periódica do tempo t e pode ser 
expressa pela fórmula x = 10 ⋅ cos (kt), com x em centímetros e t em segundos. 
posição inicial
x = a ⋅ cos (kt)
onde a é a amplitude
x
a
O
 Considerando que a bolinha retorna à posição em que foi abandonada (x = 10) a cada 4 segundos:
 a) determine o valor de k;
Matemática – 3a série – Volume 2
11
 b) calcule o valor de x para t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s e t = 10 ___ 3 s;
 c) construa o gráfico de x como função de t.
Leitura e análise de texto
Para esboçar o gráfico de funções polinomiais como f(x) = (x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 5) é 
importante considerar os seguintes passos: 
Calcular as raízes da função, isto é, pontos que cruzam o eixo x.
Podemos perceber que o gráfico corta o eixo x nos pontos (1; 0), (2; 0) e (5; 0), ou seja, 
x = 1, x = 2 e x = 5 são raízes da equação polinomial de grau 3, correspondente à igual - 
dade f(x) = 0. Isso é suficiente para um esboço do gráfico de f(x), pelas seguintes razões:
Matemática – 3a série – Volume 2
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•	 	a	curva	que	representa	o	gráfico	de	uma	função	polinomial	é	contínua	e	suave,	as-
sumindo todos os valores intermediários entre dois valores dados; 
•	 	o	número	de	raízes	reais	de	uma	equação	polinomial	(algébrica)	de	grau	3	é,	no	
máximo, 3; 
•	 	em	consequência,	o	gráfico	não	cortará	o	eixo	x em outro ponto, além dos 3 já 
identificados;
•	 o	ponto	do	gráfico	que	cruza	o	eixo	y é o valor de f(0), isto é: 
 f(0) = (–1) ⋅ (–2) ⋅ (–5) = –10, ou seja, é o ponto (0; –10).
Reunindo as informações anteriores, temos o esboço do gráfico:
f(x) = (x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 5)
0
– 10
y
1 2 5
x
Construindo o gráfico por meio de um software, obtemos:
–14
2
–10
6
–6
10
–2
14 y
–1 1 2 3 54 6 7
x
–16
0
–12
4
–8
8
–4
12
É interessante notar que, na função polinomial f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, quando x 
assume valores muito altos, os valores de f(x) acompanham de perto os valores absolutos 
de ax3. Esses valores serão muito altos se a > 0; ou muito baixos, se a < 0. No exemplo, 
como a = 1, temos valores de f(x) muito altos para valores muito grandes de x e valores de 
f(x) muito baixos para valores muito pequenos de x.
Matemática – 3a série – Volume 2
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LIÇÃO DE CASA
 7. Esboce o gráfico da seguinte função polinomial:
 f(x) = x ⋅ (x + 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3)
Matemática – 3a série – Volume 2
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 8. Esboce o gráfico da função polinomial f(x) = x · (x + 1) · (x – 2) · (3x – 7).
Matemática – 3a série – Volume 2
15
Matemática – 3a série – Volume 2
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: UM OLHAR “FUNCIONAL”
Leitura e análise de texto
Geralmente, traçamos gráficos de funções apoiados na construção de tabelas. Con-
tudo, muitos gráficos podem ser obtidos sem tomar por base as conclusões que resultam 
de uma representação de pontos isolados. Nesse trabalho, é importante “ler” e interpretar 
as indicações de quais operações devemos realizar com a variável independente x para obter 
valores referentes à variável dependente y. 
Para ilustrar o que pretendemos dizer, vamos explorar a construção de alguns gráficos. 
A função f(x) = x2 – 7 indica, por exemplo, que, para encontrar os valores de y = f(x), 
devemos elevar a variável independente x ao quadrado e diminuir 7 unidades do resultado 
obtido. Desse modo, para representar os pontos (x; y) em que y = x2 – 7, podemos imagi-
nar que o gráfico de y = x2 foi deslocado 7 unidades para baixo na direção do eixo y. Dessa 
forma, o gráfico de f(x) = x2 – 7 pode ser construído a partir da elaboração de um gráfico 
mais simples: f(x) = x2. 
0
5
10
−5
−2−4−6 642
y
x
f(x) = x2 – 7
y = x2
No caso da função de f(x) = 2 + sen x, os valores de y serão determinados depois que 
encon trarmos o valor do seno da variável independente x e a esse valor adicionarmos 
2 unidades. Nesse caso, podemos imaginar que o gráfico mais simples da função de y = sen x 
será deslocado 2 unidades para cima na direção do eixo y.
0
y
−5−10−15
5 10 15
2
4
−2
−4
y = sen x
f(x) = 2 + sen x
x
−7
Matemática – 3a série – Volume 2
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VOCÊ APRENDEU?
 1. Utilizando o mesmo sistema de coordenadas, esboce os gráficos das seguintes funções:
a) f(x) = x2 + 9 c) h(x) = 9 – x2
b) g(x) = x2 – 9 d) m(x) = –9 – x2
Matemática – 3a série – Volume 2
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 2. Agora, esboce os gráficos das funções indicadas a seguir no mesmo sistema de coordenadas:
a) f(x) = cos x c) h(x) = –3 + cos x
b) g(x) = 5 + cos x d) m(x)= 5cos x
 3. Para o gráfico de f(x) = (x – 3)2, podemos imaginar o gráfico de y = x2 deslocado 3 unidades 
para a direita na direção do eixo x. O gráfico de y = (x – 3)2 é como se fosse o de y = m2, sendo 
m = x – 3. O vértice da parábola desloca-se do ponto em que x = 0 para o ponto em que x = 3. 
A seguir, construa o gráfico dessa função.
2
1
4
3
6
5
7
0
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
8
9
8 9
 4. O gráfico de f(x) = 3(x + 2) pode ser construído a partir do gráfico de y = 3x, deslocado para 
a esquerda na direção do eixo x. O gráfico de y = 3(x + 2) é como se fosse o de y = 3m, sendo 
m = x + 2. É como se oeixo y se deslocasse horizontalmente de tal forma que o antigo ponto 
em que x = 0 coincidisse com o novo ponto em que x = –2 (ou seja, m = 0). Faça um esboço 
dessa situação no sistema de eixos a seguir.
6
–2
4
–4
2
p
y
x0
–6
p
2
3p
2
5p
2
7p
2
9p
2
2p 3p 4p 5p–p –p
2
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0
10
20
15
25
y
x
5
–0,5 0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–2 –1–2,5–4 –1,5–3,5 –3–4,5
 5. Para obter o gráfico de y = 4 + log2 (x – 5), podemos imaginar o gráfico de y = log2 x deslo-
cado 5 unidades para a direita, como se estivéssemos construindo o gráfico de y = log2 m, 
sendo m = x – 5. Faça o esboço da situação descrita para obter o gráfico de y = 4 + log2 (x – 5).
8
6
–2
4
–4
2
0 1 32 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14–1–2
y
x
 6. Vamos agora pensar no gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1
 . Para construir o gráfico de f(x), podemos 
começar com o de y = x2. Depois, fazemos o de y = x2 + 1, deslocando uma unidade para 
cima o gráfico de y = x2, na direção do eixo y. A partir daí, para obter o gráfico de f(x), 
repre sentamos os pontos (x ; y) tais que o valor de y seja o inverso de x2 + 1, para cada valor de x. 
Matemática – 3a série – Volume 2
20
É importante notar que:
•	 no ponto onde x = 0, x2 + 1 vale 1 e o inverso de x2 + 1 também é igual a 1;
•	 em todos os outros pontos, x2 + 1 é positivo e maior que 1; logo, seu inverso é positivo e 
menor que 1;
•	 assim, o gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1
 situa-se sempre acima do eixo x, aproximando-se mais e 
mais dele à medida que o valor de x aumenta, pois quanto maior for o valor de x2 + 1, menor 
será o valor de seu inverso.
 Resumindo, na construção do gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1
 , podemos observar os seguintes passos:
•	 construir o gráfico de y = x2; 
•	 construir o gráfico de y = x2 + 1;
•	 construir o gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1
 .
Faça o esboço da situação descrita para traçar o gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1
 . 
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5
y
x
Matemática – 3a série – Volume 2
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 8. Para o gráfico de f(x) = 1 __ x , podemos fazer o gráfico de y = x e representar, para cada valor de x, 
a ordenada y, que é o inverso de x. 
 É importante notar que:
•	 quando	x	= 0, não existe o inverso de x, ou seja, a função f(x) não está definida;
 7. Para o gráfico de f(x) = , podemos fazer o gráfico de y = x2, depois o de y = x2 – 1 e em 
seguida representar os pontos com abscissa x e ordenada o inverso de x2 – 1.
 É importante notar que:
•	 quando x2 – 1 = 0, ou seja, quando temos x = 1 ou x = –1, então a função f(x) não está definida;
•	 quando x assume valores próximos de 1 ou de –1, os valores absolutos dos inversos tor- 
nam-se muito grandes. Se x se aproxima de 1 por valores maiores do que 1, os inversos 
tornam-se muito grandes (positivos); por outro lado, se x se aproxima de 1 por valores 
menores do que 1, os inversos tornam-se muito grandes em valor absoluto, mas negativos. 
Algo similar ocorre quando x se aproxima de –1.
 Faça o esboço da situação descrita para traçar o gráfico de f(x) = 
1
x2 – 1
1
x2 – 1.
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6
y
x
–1
–2
–3
–4
–5
–6
Matemática – 3a série – Volume 2
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•	 	quanto	mais	próximo	de	0	é	o	valor	de	x, maior é o valor absoluto do inverso de x, 
sendo que os valores de x positivos têm inversos positivos e os valores de x negativos 
têm inversos negativos;
•	 	quanto	maior	é	o	valor	absoluto	de	x, tanto positivo quanto negativo, mais próximo de 0 é 
o inverso de x, sendo o sinal de x sempre igual ao sinal de seu inverso.
 Faça o esboço da situação descrita para obter o gráfico de f(x) = 1 __ x .
0
1
2
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
3
4
5
y
x–0,5 0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–2 –1–2,5– 4 –1,5– 3,5 –3– 4,5
LIÇÃO DE CASA
 9. O gráfico de f(x) = 3 sen x é análogo ao de y = sen x, com a amplitude aumentando de 1 
para 3 unidades, ou seja, os valores de f(x) oscilarão entre +3 e –3. Faça o esboço des se 
gráfico no plano a seguir.
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10
20
30
40
50
60
–60
–50
–40
–30
–20
–10
p
2
p 3p
2
5p
2
7p
2
9p
2
11p
2
13p
2
15p
2
2p 3p 4p 5p 6p 7p–p
2
–3p
2
–5p
2
–7p
2
–9p
2
–p–2–3–4
3
–1
2
–2
1
y
x0
–3
p
2
3p
2
p 2p–p –p
2
4
–3p
2
 10. Para construir o gráfico de f(x) = 3x · sen x, basta imaginar o gráfico de y = A · sen x, 
sendo que o valor de A varia de acordo com x segundo a reta y = 3x. Assim, o gráfico 
oscilará entre as retas y = 3x e y = –3x. Faça o esboço desse gráfico no plano a seguir.
 11. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas a seguir:
a) f(x) = 3x 
b) g(x) = 3x – 1 
Matemática – 3a série – Volume 2
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c) h(x) = 3x + 1 
d) m(x) = 3–x 
e) n(x) = 3–x + 1
10
20
15
y
x
5
–7 –6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 119
 12. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas:
a) f(x) = –x2
b) g(x)= 3 – x2
c) h(x) = 13 – x2
4
8
6
y
x
2
–6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
–6
–2
–4
–8
Matemática – 3a série – Volume 2
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 13. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas:
a) f(x) = 3x2
b) g(x) = – 3x2
c) h(x) = sen x
d) m(x) = 3x2 ⋅ sen x
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
y
x2
4
6
8
–7 –6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
–22
–20
–18
–16
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
–28
–26
–24
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Matemática – 3a série – Volume 2
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
AS TRÊS FORMAS BÁSICAS DE CRESCIMENTO OU 
DECRESCIMENTO: A VARIAÇÃO E A VARIAÇÃO DA VARIAÇÃO
As funções de 1o grau, expressas na forma f(x) = ax + b, são crescentes (a > 0) ou são 
decrescentes (a < 0), sendo que o coeficiente a representa a variação em f(x), quando x 
aumenta em 1 unidade a partir de qualquer valor inicial. O valor de a é chamado taxa de 
variação unitária de f(x), ou somente taxa de variação de f(x). Naturalmente, se a = 0, ou 
seja, se a taxa de variação é zero, então a função f(x) é constante: f(x) = b.
Leitura e análise de texto
taxa de variação = a = variação de f(x) por unidade a mais de x
a = f(x + 1) = f(x) = constante
(a > 0, função crescente)
f(x) = ax + b
(a < 0, função decrescente)
1
a
1
a
y
a = 0 (função constante)b
x
De modo geral, dizemos que uma função f(x) é crescente nos intervalos em que ocorre 
o seguinte: se os valores de x crescem, então os correspondentes valores de f(x) também 
crescem. Dizemos que f(x) é decrescente nos intervalos em que ocorre o seguinte: se os 
valores de x crescem, então os correspondentes valores de f(x) decrescem. O significado do 
crescimento ou do decrescimento no gráfico de f(x) é bastante expressivo:
x1 x2
x aumenta 
x
y 
y2 
y1 
y aumenta 
f(x) crescente
y
x
x1 x2 
x aumenta 
f(x) decrescente
y1 
 
y2
y diminui
x1 x2
x aumenta 
x
y 
y2 
y1 
y aumenta 
f(x) crescente
y
x
x1 x2 
x aumenta 
f(x) decrescente
y1 
 
y2
y diminui
Matemática – 3a série – Volume 2
27
Consideremos uma função que não é de 1o grau, ou seja, cujo gráfico não é uma reta. 
Ao observá-lo, constatamos que a taxa de variação unitária de f(x), ou seja, a variação de 
f(x) por unidade a mais de x, não é mais constante, isto é, a diferença f(x + 1) – f(x) passa 
a depender do valor de x a partir do qual ela é calculada.
Por exemplo: 
•	 	se	f(x)	= 5x + 7, então f(x + 1) – f(x) =5(x + 1) + 7 – (5x + 7) = 5, ou seja, a taxa 
de variação unitária de f(x) = 5x + 7 é constante e igual a 5; exatamente o valor de 
a na função a = 5;
•	 	no	entanto,	se	f(x)	= 5x2 + 7, então f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1)2 + 7 – (5x2 + 7) = 10x + 5, 
ou seja, a taxa de variação unitária de f(x) = 5x2 + 7 é igual a 10x + 5; portanto, a 
taxa varia com o valor de x para o ponto considerado.
No que segue, chamaremos de taxa de variação unitária de uma função, para cada 
valor de x, o valor da diferença f(x+1) – f(x).
Quando uma função f(x) cresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para 
cima; quando ela cresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo. 
Basicamente, em cada intervalo considerado, estas são as três formas de crescimento: 
•	 crescer linearmente, com taxa de variação constante;
•	 crescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes, o que 
faz com que o gráfico resulte encurvado para cima;
f(x) cresce a taxas decrescentes
a > a’ > a’’
f(x) = ax + b 
cresce a uma taxa constante
f(x) cresce a taxas crescentes
a < a’ < a’’
B
A
C
y
x
1
1
1
a
a’
a’’
a
a’
1
1
1
1
1
a
a 
a
a’’
1
Matemática – 3a série – Volume 2
28
Nas atividades a seguir, sempre que fizermos menção a decrescimentos, as taxas serão 
consideradas em valor absoluto, isto é, em módulo.
Observação!
Quando uma função decresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado para 
cima; quando ela decresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo.
B 
C 
1
1
1 
1 
1 
1 
1 
1 
a 
 
1 
a 
a a 
a
a’
a’ 
a’’
a’’ 
x 
y
A 
f(x) decresce a taxas 
decrescentes 
(em valor absoluto)
f(x) decresce a uma 
taxa constantef(x) decresce a taxas 
crescentes 
(em valor absoluto)
•	 crescer cada vez mais lentamente, o que faz com que o gráfico resulte encurvado 
para baixo.
De forma análoga, em dado intervalo, uma função pode decrescer de três modos 
distintos: 
•	 decrescer linearmente, com taxa de variação constante;
•	 decrescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes em 
valor absoluto (as taxas são negativas); 
•	 decrescer cada vez mais lentamente, ou seja, com taxas de variação decrescentes em 
valor absoluto (as taxas são negativas).
O gráfico a seguir ilustra as três formas de decrescimento:
Matemática – 3a série – Volume 2
29
A forma-padrão de crescimento ou decrescimento: f(x) = ax + b
Os gráficos a seguir representam o preço médio P dos alimentos da mesma cesta básica, 
em diferentes países, em função do tempo t, ao longo de determinado ano.
Desafio!
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
Matemática – 3a série – Volume 2
30
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
t
t
t
t
P
P
P
P
P
P
P
P
t 
t t
país A
país B
país E
país F
país G
país H
t 
país C
país D
país J
P
t
P
t
país I
Matemática – 3a série – Volume 2
31
Pergunta-se: 
 a) Em que país os preços estiveram estabilizados ao longo do ano?
 b) Em que país os preços aumentaram a uma taxa constante?
 c) Em que país os preços aumentaram a taxas crescentes?
 d) Em que país os preços diminuíram a uma taxa constante?
 e) Em que país os preços aumentaram a taxas decrescentes?
 f ) Em que país os preços diminuíram a taxas decrescentes?
 g) Em que país os preços inicialmente aumentaram a uma taxa constante e, posterior-
mente, a taxas decrescentes?
 h) Em que país os preços diminuíram a taxas crescentes?
 i) Em que país os preços inicialmente aumentaram a taxas crescentes e depois a 
taxas decrescentes?
 j) Em que país os preços inicialmente diminuíram a taxas crescentes, e depois a 
aumentaram taxas decrescentes?
Matemática – 3a série – Volume 2
32
VOCÊ APRENDEU?
 1. No gráfico a seguir, identifique os intervalos nos quais: 
x1 x9x5x3 x11x7
y
x
x2 x10x6x4 x12x8
 a) a função f(x) é positiva;
 b) a função f(x) é negativa;
 c) a função f(x) é constante;
 d) a função f(x) é crescente; 
 e) a função f(x) é decrescente;
Matemática – 3a série – Volume 2
33
 f ) a função f(x) cresce a taxa constante;
 g) a função f(x) decresce a taxa constante;
 h) a função f(x) cresce a taxas crescentes;
 i) a função f(x) cresce a taxas decrescentes;
 j) a função f(x) decresce a taxas crescentes;
 k) a função f(x) decresce a taxas decrescentes.
 2. Quando uma pedra é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 
40 m/s, a partir de uma altura inicial de 45 m, ela sobe com velocidade cada vez menor, até 
atingir uma altura máxima em relação ao solo, quando momentaneamente para. A partir 
daí, ela desce cada vez mais rapidamente até voltar ao solo. Sabemos que, por causa da for-
ça da gravidade (peso), que age sobre a pedra, sua velocidade diminui a uma taxa constante 
de aproximadamente 10 m/s a cada segundo, no movimento de subida. Podemos descrever 
o movimento da pedra por meio de uma função de 1o grau, que representa sua velocidade, 
Matemática – 3a série – Volume 2
34
e de uma função de 2o grau, que representa sua altura 
em relação ao solo. Nesse caso, as funções que repre-
sentam a velocidade e a altura são as seguintes: 
v = 40 – 10t
 (a partir do valor inicial 40 m/s, a velocidade di-
minui 10 m/s a cada segundo, ou seja, a taxa de 
variação da velocidade é de –10 m/s por s, que se 
escreve –10 m/s2)
h = 45 + 40t – 5t2 
 (a partir do valor inicial 45 m, a altura aumenta até 
um valor má ximo, diminuindo posteriormente 
até atingir o valor zero).
Pede-se:
 a) construa o gráfico de v em função de t;
 b) construa o gráfico de h em função de t;
 c) determine o valor máximo de h(t);
 d) determine o valor de t quando a pedra voltar a 
passar pela posição inicial;
 e) calcule depois de quanto tempo a pedra atinge o solo;
 f ) observando os gráficos de h(t) e v(t), assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) nas frases 
seguintes:
 ( ) “A velocidade decresce a uma taxa constante.”
 ( ) “A altura h cresce cada vez mais lentamente até atingir o valor máximo; depois decresce 
cada vez mais rapidamente.”
 ( ) “A altura cresce a taxas decrescentes até o valor máximo; depois decresce a taxas 
crescentes.”
0
v = 40 m/s
2 
3
t = 0
45 m
h máx
v =0
1
Matemática – 3a série – Volume 2
35
Matemática – 3a série – Volume 2
36
LIÇÃO DE CASA
 3. Considere o gráfico da função de 2o grau f(x) = (x – 5) ⋅ (x + 1) indicado a seguir.
y
0 1 2 3 4 6 7
f(x) = (x + 1) ⋅ (x – 5)
−1−2−3
−8
1
−3
−7
−11
2
−2
–6
−10
3
−1
−9
−5
−4
x
5
 a) Identifique os intervalos em quef(x) > 0 e os intervalos em que f(x) < 0.
Matemática – 3a série – Volume 2
37
 b) Identifique os intervalos em que f(x) é crescente e os intervalos em que é decrescente.
 c) Qualifique o crescimento e o decrescimento de f(x), informando se eles ocorrem a taxas 
crescentes ou a taxas decrescentes.
 4. Construa o gráfico das funções a seguir: 
 a) f(x) = 3x
 b) g(x) = 3‒x
 c) h(x) = log3 x 
 d) m(x) = log 1 __ 
3
 x
 Identifique, em cada caso, se a função é crescente ou decrescente, bem como se o crescimento 
ocorre a taxas crescentes ou a taxas decrescentes.
0
2
–2
–4
4
6
8
y
x0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–1–1,5–3 –0,5–2,5 –2–3,5
Matemática – 3a série – Volume 2
38
VOCÊ APRENDEU?
 5. No mesmo sistema de coordenadas, construa o gráfico das funções f(x) = sen x e g(x) = cos x 
entre x = 0 e x = 2π.
0
1
0,5
–0,5
–1
–1,5
1,5
2
y
x
p 2pp
2
3p
2
Matemática – 3a série – Volume 2
39
 a) No intervalo considerado, identifique os trechos em que f(x) e g(x) são crescentes e os trechos em 
que são decrescentes.
 b) Compare os gráficos de f(x) e de g(x), observando que os valores máximos de uma das fun-
ções ocorrem nos pontos em que a outra se anula e vice-versa.
 c) Compare os gráficos de f(x) e de g(x), verificando que a concavidade de f(x) muda (de 
gráfico encurvado para baixo para gráfico encurvado para cima ou vice-versa) nos pontos 
em que g(x) assume valores extremos (máximo ou mínimo) e vice-versa em relação a g(x). 
Matemática – 3a série – Volume 2
40
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
OS FENÔMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OU 
DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NÚMERO ℮
Leitura e análise de texto
As funções são instrumentos fundamentais para a representação das relações de inter-
dependência entre grandezas, conforme estamos vendo neste volume. As funções de 
1o grau f(x) = ax + b, por exemplo, prestam-se muito bem para representar relações que 
envolvem proporcionalidade. Já na representação de fenômenos periódicos, utilizamos 
funções trigonométricas como f(x) = sen x ou f(x) = cos x e, para expressar crescimento ou 
decrescimento exponenciais, entram em cena as funções na forma f(x) = ax.
A função exponencial – uma propriedade característica
Já conhecemos a função f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. Vamos agora destacar uma pro-
priedade característica dessa função que pode ter passado despercebida. 
Consideremos a função f(x) = 2x e seu gráfico. Calculemos f(x) para os valores inteiros 
de x, começando com x = 0.
f(x) = 2x
0 1 3 5−2 2
2
6
10
14
18
22
26
30
4
8
8
12
16
16
20
24
28
32
4 6−1
y
x
2
4
1
 
x 2x f(x + 1) – f(x)
0 1 1
1 2 2
2 4 4
3 8 8
4 16 16
5 32 32
6 64 64
7 128 ...
Notamos que quando x aumenta em 1 unidade, a partir de x = 0, a variação em f(x) é 
igual, sucessivamente, a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., ou seja, a taxa de variação unitária, que 
é igual a f(x + 1) – f(x), é igual ao valor de f(x):
 f(1) – f(0) = f(0) f(3) – f(2) = f(2) f(5) – f(4) = f(4)
 f(2) – f(1) = f(1) f(4) – f(3) = f(3) e assim por diante.
A taxa de variação unitária de f(x) = 2x é, portanto, igual a f(x). 
Chamaremos essa taxa de f1(x). Calculando f1(x) para um valor qualquer de x, temos, 
de fato: f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 2
x + 1 – 2x = 2x ⋅ (2 – 1) = 2x.
Matemática – 3a série – Volume 2
41
VOCÊ APRENDEU?
 1. Analogamente ao que foi feito antes para f(x) = 2x, calcule a taxa de variação unitária para 
f(x) = 3x. Para isso, inicialmente complete a tabela a seguir:
 0−1 1 2 3
54
18
6
4 5
24
6
30
48
66
12
36
54
72
18
42
60
78
3
27
9
33
51
69
15
39
57
75
21
45
63
81 y
x 
x 3x f(x + 1) – f(x)
0 1 2
1
2
3
4
5
De modo geral, calculando a taxa unitária f1(x) para a função f(x) = a
x, obtemos: 
f1(x) = f(x + 1) – f(x) = a
x + 1 – ax = ax ⋅ (a – 1); ou seja, o valor de f1(x) é diretamente 
proporcional ao valor de f(x). 
Quadro-resumo
Matemática – 3a série – Volume 2
42
 2. Uma população P de bactérias aumenta com uma rapidez que é diretamente proporcional ao 
seu valor em cada instante, ou seja, quanto maior é o valor de P, mais rapidamente a população 
aumenta. Partindo de um valor P0 = 1 000, observa-se que a população dobra a cada hora, ou 
seja, o valor de P pode ser expresso pela função: 
P = f(t) = 1 000 ⋅ 2t (t em horas)
 a) Calcule a taxa de variação unitária nos instantes t = 1 h e t = 2 h.
 b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 6 h e t = 7 h é igual ao valor da 
população para t = 6 h.
LIÇÃO DE CASA
 3. A população N de cães de certa região cresce exponencialmente de acordo com a expressão 
N = f(t) = 600 ⋅ 10t, sendo t em décadas. 
 a) Calcule a taxa de variação unitária para t = 2 décadas.
 b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 7 e t = 8 é igual a 9 vezes o valor 
da população para t = 7.
Matemática – 3a série – Volume 2
43
Leitura e análise de texto
Fenômenos naturais e crescimento exponencial – o nascimento do número ℮ 
(℮ ≅ 2,71828)
Quando se estuda o crescimento de uma população, seja de seres humanos, seja de 
animais, consideram-se as taxas porcentuais de crescimento ou decrescimento. Quando se 
diz, por exemplo, que certa população N cresce a uma taxa de 20% ao ano, isso significa 
que, considerando N uma função do tempo t em anos, a taxa de variação unitária, ou seja, 
o aumento de N por unidade a mais de t é igual a 0,20N. Quer dizer, então, que o aumento 
de N por ano é diretamente proporcional ao valor de N; ou seja, N deve ser uma função 
exponencial do tempo t em anos. 
Para descobrir qual é a base dessa função exponencial, vamos examinar o significado do 
crescimento populacional em situações concretas. O que significaria, então, dizer que o valor 
de N aumenta 20% em um ano? Certamente não seria o caso de imaginar que a população 
ficaria constante ao longo do ano, aumentando em 20% tão logo se inicie o ano seguinte. Na 
verdade, uma pressuposição mais razoável, mais natural em todos os sentidos, é a de que o 
crescimento anunciado distribui-se uniformemente ao longo do ano. É justamente quando 
se tenta descrever matematicamente tal distribuição que surge o número ℮ de que falamos 
inicialmente. Vamos acompanhar o raciocínio a seguir para compreender como surge tal 
número na descrição de processos naturais de crescimento (ou decrescimento).
Certa população N é uma função do tempo: N = f(t), t em anos. Os dados disponíveis 
informam que N cresce a uma taxa de 100% ao ano, ou seja, dobra a cada ano. Como 
podemos expressar o valor de N em função de t? 
Uma primeira hipótese, bem pouco natural (na verdade, absurda), é de que N ficaria 
constante ao longo de cada ano, dobrando de valor ao final, na passagem para o ano se-
guinte. O gráfico de N em função de t seria o seguinte:
4No
N 
0 1 2 3 
t 
2No
No
Uma hipótese mais razoável seria a de que o crescimento de 100% ao ano distribui-se 
ao longo do ano. Vamos considerar, inicialmente, que tal distribuição ocorra do modo 
Matemática – 3a série – Volume 2
44
mais simples: 50% em cada semestre. Nesse caso, após o primeiro semestre, a população 
seria No + 50% de No, ou seja, a população inicial seria multiplicada pelo fator ª 1 + 1 __ 2 º , 
tornando-se No ª 1 + 1 __ 2 º . Após o segundo semestre, novamente a população inicial 
seria multiplicada por ª 1 + 1 __ 2 º , tornando-se No ª 1 + 1 __ 2 º 
2
. No período seguinte, a população 
seria No ª 1 + 1 __ 2 º 
3
, e assim por diante. O gráfico da população N em função do tempo seria 
o representado a seguir:
No ª 1 + 1 __ 2 º 5
N 
t 
3 210
No 
No ª 1 + 1 __ 2º 4
No ª 1 + 1 __ 2 º 
3
No ª 1 + 1 __ 2 º 2
No ª 1 + 1 __ 2 º 
 1 __ 2 
3 __ 2 
5 __ 2 
Para se aproximar ainda mais de uma situação concreta envolvendo crescimento, 
seria ainda mais razoável supor que os 100% de crescimento se distribuam ao longo do 
ano, sendo 25% a cada trimestre. Nesse caso, ao final do primeiro trimestre, a população 
seria No + 25% de No, ou seja, No ª 1 + 1 __ 4 º . Ao final do segundo trimestre, o valor inicial 
do trimestre terá sido multiplicado novamente por ª 1 + 1 __ 4 º , tornando-se No ª 1 + 1 __ 4 º 
2
; 
após o terceiro trimestre, a população seria No ª 1 + 1 __ 4 º 
3
, e assim por diante. O gráfico da 
população N em função do tempo seria o representado a seguir:
Matemática – 3a série – Volume 2
45
N
No ª 1 + 1 __ 4 º 8
No ª 1 + 1 __ 4 º 4
No ª 1 + 1 __ 4 º 7
No ª 1 + 1 __ 4 º 3
No ª 1 + 1 __ 4 º 6
No ª 1 + 1 __ 4 º 2
No ª 1 + 1 __ 4 º 5
No ª 1 + 1 __ 4 º 
1 2 3
0
No
 1 __ 
4
 5 __ 
4
 9 __ 
4
 2 __ 
4
 6 __ 
4
 10 __ 
4
 3 __ 
4
 7 __ 
4
 11 __ 
4
 
Se imaginarmos o crescimento de 100% ao ano distribuído mês a mês, sendo o cresci-
mento mensal igual a 1 ___ 12 de 100%, então teríamos o valor da população:
•	 ao final do primeiro mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º ;
•	 ao final do segundo mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º 
2
;
•	 ao final do terceiro mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º 
3
;
•	 e assim por diante, de modo que, ao final do primeiro ano, teríamos N = No ª 1 + 1 ___ 12 º 
12
.
Se o ano fosse dividido em 100 partes iguais, sendo o crescimento de 100% ao ano 
distribuído ao longo delas, sendo de 1% em cada uma, a população, ao final do ano, seria 
igual a: N = No ª 1 + 1 ____ 100 º 
100
.
Como se pode observar nos gráficos, se uma população cresce a uma taxa de 100% ao 
ano, o valor da população ao final do primeiro ano é igual a:
t
N
Matemática – 3a série – Volume 2
46
•	 2No, quando se considera que seu valor permaneceu constante ao longo do ano, 
dobrando ao final;
•	 No ª 1 + 1 __ 2 º 
2
, ou seja, 2,25No, quando se considera o crescimento uniformemente 
distribuído, sendo 50% em cada semestre;
•	 No ª 1 + 1 __ 4 º 
4
, ou seja, aproximadamente 2,44No, quando o crescimento é distribuí-
do ao longo dos trimestres, sendo 25% ao trimestre;
•	 No ª 1 + 1 ___ 12 º 
12
, ou seja, aproximadamente 2,61No, quando ele é uniformemente 
distribuído mês a mês, e assim por diante. 
Se imaginarmos o crescimento de 100% ao ano distribuído uniformemente ao longo 
do ano, subdividido em n partes, o valor de N ao final do ano será N = No ª 1 + 1 __ n º 
n
.
No cálculo anterior, chama a atenção o número ª 1 + 1 __ n º 
n 
 para valores grandes de n. 
Recorrendo a uma calculadora, podemos verificar que, quanto mais aumenta o valor 
de n, mais os valores da expressão ª 1 + 1 __ n º 
n
 se aproximam de um determinado número:
•	 para n = 100, temos: ª 1 + 1 ____ 100 º 
100
= 2,704813829...
•	 para n = 365, temos: ª 1 + 1 ____ 365 º 
365
= 2,714567485...
•	 para n = 1 000, temos: ª 1 + 1 _____ 1 000 º 
1 000
 = 2,716923932...
•	 para n = 10 000, temos: ª 1 + 1 ______ 10 000 º 
10 000
= 2,718145927...
•	 para n = 1 000 000, temos: ª 1 + 1 ________ 1 000 000 º 
1 000 000
= 2,718280469...
•	 para n = 100 000 000, temos: ª 1 + 1 __________ 100 000 000 º 
100 000 000
 = 2,718281815...
Dizendo de outra maneira: quanto maior é o valor de n, mais o valor da expressão 
 ª 1 + 1 __ n º 
n
 se aproxima do número 2,7182818... Esse número diferente é representado 
pela letra ℮ e escrevemos: ℮ ≅ 2,7182818. 
Assim, concluímos que, se uma população No cresce a uma taxa de 100% ao ano, 
distribuída uniformemente ao longo do ano, seu valor ao final do ano será igual a No ⋅ ℮, 
ou seja, aproximadamente, 2,718 ⋅ No. 
Matemática – 3a série – Volume 2
47
Seguindo esse raciocínio, podemos mostrar que, ao final de dois anos, o valor da po - 
pulação será igual a No ⋅ ℮
2, ao final de três anos será No ⋅ ℮
3 e, generalizando, ao 
final de t anos, teremos N = No ⋅ ℮
t.
Se a taxa k não for 100%, isto é, k ≠ 1, mas sim 20%, ou seja, k = 0,2, teremos, ao final 
de t anos: N = No ⋅ ℮
0,2t. De modo geral, para uma taxa porcentual k qualquer (0 < k < 1) 
teremos, ao final de t anos, N = No ⋅ ℮
kt.
Em muitas outras situações práticas, em diferentes contextos, nos deparamos com o 
número ℮. Apesar de ser um número de aparência diferente, sua presença é muito fre-
quente no estudo de fenômenos naturais que envolvem crescimento ou decrescimento 
exponencial, como desintegração radioativa e juros compostos. 
Tal como o número π, o número ℮ é irracional e transcendente. Isso significa que irra-
cionais, como ® 
__
 2 , não são razões entre inteiros, mas são raízes de equações algébricas com 
coeficientes inteiros (por exemplo, x2 – 2 = 0). Um irracional é transcendente quando não 
existe equação algébrica com coeficientes inteiros que o tenha como raiz, e esse é o caso de 
números como π e ℮. Tais fatos, no entanto, não nos interessarão no presente momento. 
Interessa-nos apenas conhecer uma função exponencial particular, que vai ampliar signifi-
cativamente o repertório de recursos para o tratamento matemático de diversos fenômenos 
em diferentes contextos. 
Vejamos como o número ℮ pode ser aplicado ao cálculo de juros em uma situação 
similar à que foi descrita anteriormente. Quando um capital Co é aplicado a uma taxa de 
100% ao ano, se os juros forem incorporados ao capital apenas no final do ano, o valor do 
capital, depois de um ano, será igual a 2Co; depois de dois anos, será 4Co, e assim por diante. 
Entretanto, se os juros forem distribuídos uniformemente ao longo do ano, de modo que 
a cada período de 1 __ n do ano sejam incorporados os juros de 
100% ______ n 
 , no final do ano o novo 
capital será igual a Co ª 1 + 1 __ n º 
n
. Se os juros forem incorporados continuamente ao capital, o 
valor montante, ao final de um ano, será C = Co ⋅ ℮ e, ao final de t anos, será C = Co ⋅ ℮
t. 
Se a taxa k não for 100%, isto é, k ≠ 1, mas sim 10%, ou seja, k = 0,1, teremos, ao 
final de t anos: C = Co ⋅ ℮
0,1t. De modo geral, para uma taxa k (0 < k < 1), teremos, ao final 
de t anos, C = Co ⋅ ℮
kt.
Quando se estuda o fenômeno da propagação de doenças, também se considera o fato 
de que a rapidez com que o número de doentes aumenta é diretamente proporcional ao 
número de doentes em cada instante. Na descrição matemática do fenômeno, nos depara-
mos novamente com o número ℮. 
Assim, reafirmamos: sempre que tentamos descrever matematicamente o modo como 
variam funções presentes em fenômenos naturais de diferentes tipos, mas que têm em co-
mum o fato de que envolvem grandezas que crescem ou decrescem com uma rapidez que é 
Matemática – 3a série – Volume 2
48
diretamente proporcional ao valor da grandeza em cada instante, naturalmente encon-
tramos o número ℮. Um valor aproximado de ℮ pode ser obtido a partir da expressão 
 ª 1 + 1 __ n º 
n
: quanto maior o valor de n, mais próximos estaremos do número ℮. Para todos os 
fins práticos, ℮ ≅ 2,71828, ou, com uma aproximação melhor, ℮ ≅ 2,718281828459045.
Em consequência, em situações concretas que descrevem fenômenos naturais 
que apresentem crescimento ou decrescimento exponencial, a função f(x) = ℮x, cujo 
gráfico apresentamos a seguir, tem uma presença marcante. 
0
3
6
12
18
24
30
9
15
21
27
33
36
−1 2 3 4 5 x
y
f(x) = ℮xy = 3x y = 2x
1
Assim como o número ℮ serve de base para uma particular eimportante função ex-
ponencial, ele também serve para a correspondente função logarítmica: se y = ℮x, então 
x = loge y. Em outras palavras, à função exponencial de base ℮ corresponde sua inversa, a 
função logarítmica de base ℮.
A função g(x) = loge x costuma ser representada por g(x) = ln x, uma abreviatura para 
“logaritmo natural de x”. Os gráficos de f(x) = ℮x e de sua inversa, g(x) = ln x, são repre-
sentados a seguir. É interessante notar que, como funções inversas, a cada ponto (a; b) 
do gráfico de f(x) corresponde um ponto (b; a) do gráfico de g(x), ou seja, os gráficos são 
simétricos em relação à reta y = x.
2
6
10
4
8
12
14
−14
−12
−10
−8
−6
−4
0 2 106 14 204 12 188 16 22
x
y
−2
−2−8 −4−10 −6−12−16−18−20−22 −14
f(x) = ℮x y = x g(x) = ln x
Matemática – 3a série – Volume 2
49
VOCÊ APRENDEU?
 4. Um investidor aplica uma quantia de R$ 1 000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano. Calcule 
o valor do capital investido ao final do primeiro ano, supondo que: 
 a) os juros sejam incorporados ao capital apenas no final de cada ano (juros simples);
 b) os juros sejam distribuídos uniformemente, sendo incorporados ao capital ao final de cada mês;
 c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos) ao longo do ano. 
(Dado: ℮0,12 ≅ 1,1275.)
 5. Um investidor aplica uma quantia Co a uma taxa de juros de 12% ao ano. Calcule depois de 
quanto tempo o capital investido dobrará de valor, supondo que: 
 a) os juros sejam incorporados ao capital apenas ao final de cada ano;
Matemática – 3a série – Volume 2
50
 b) os juros sejam incorporados ao capital ao final de cada mês;
 c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos).
 6. Esboce o gráfico das funções:
 a) f(x) = ℮(x – 5)
 b) g(x) = ℮(–x)
 c) h(x) = 13 · ℮(x + 1)
 d) m(x) = – 7 · ℮(1 – x)
Matemática – 3a série – Volume 2
51
LIÇÃO DE CASA
 7. Quando uma substância radioativa se decompõe, a rapidez com que ela se transforma é dire-
tamente proporcional à quantidade restante, em cada momento, ou seja, seu decrescimento é 
exponencial. Sabendo que a massa inicial mo de certa substância radioativa é 60 g e reduz-se 
à metade a cada 4 h, determine a expressão de sua massa m em função do tempo t em horas: 
 a) supondo que m(t) = mo ⋅ 2
bt, determine o valor de b;
Matemática – 3a série – Volume 2
52
 b) supondo que m(t) = mo ⋅ ℮
at, determine o valor de a;
 c) mostre que as expressões obtidas nos itens a e b são equivalentes;
 d) calcule a massa restante após 8 horas;
 e) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g?
Matemática – 3a série – Volume 2
53
PESQUISA INDIVIDUAL
Construção de gráficos com o auxílio de um software
Alguns softwares livres, como o Graphmatica, o Geogebra ou o Winplot, podem ser 
utilizados para construir gráficos de funções de vários tipos. 
Para o estudo dos gráficos das funções, procure “baixar” da internet um software para 
construção de gráficos ou, se possível, utilize a sala de informática de sua escola. Com o 
auxílio de um desses softwares, desenhe os gráficos indicados.
8. Faça os gráficos das quatro funções a seguir, em um mesmo sistema de eixos, e res-
ponda às perguntas.
f(x) = ℮x g(x) = ℮–x h(x) = ln x (x > 0) m(x) = ln (–x) (x < 0) 
a) Qual das funções cresce a taxas crescentes?
b) Qual das funções cresce a taxas decrescentes?
c) Qual das funções decresce a taxas crescentes?
d) Qual das funções decresce a taxas decrescentes?
9. O gráfico da função f(x) = ℮–x2 é chamado curva normal e representa a distribuição 
em torno do valor médio das frequências de ocorrência de um experimento aleatório 
em uma população. Muitas medidas de características físicas como altura, massa, 
dimensões dos pés, dos colarinhos, entre outras, ao serem representadas estatistica-
mente, conduzem a uma curva normal. De forma geral, as diversas curvas do tipo 
normal (ou curva de Gauss) são do tipo f(x) = a ⋅ ℮–b ⋅ x2, com diversos valores para 
os parâmetros a e b. Utilizando um programa para construção de gráficos, elabore 
algumas curvas de Gauss, variando os valores dos parâmetros a e b.
Matemática – 3a série – Volume 2
54
55
Matemática – 3a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 
A APRESENTAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS: 
GRÁFICOS E TABELAS
!
?
Leitura e análise de texto
Os dados de natureza qualitativa nos informam sobre as características dos objetos de 
estudo, como cor dos cabelos, time de futebol preferido, bairro de residência etc. Os dados 
quantitativos referem-se à possibilidade de se efetuarem medidas ou contagens acerca da 
manifestação dos fenômenos. São dados de natureza quantitativa, por exemplo, altura, 
salário mensal, número de irmãos etc. 
Nas pesquisas realizadas em Geografia, é comum trabalharmos com dados, qualitati-
vos ou quantitativos, provenientes de fontes secundárias, isto é, das estatísticas e dos do-
cumentos cartográficos. Depois de coletados, os dados são organizados em mapas, tabelas 
e/ou gráficos. 
Os mapas são objeto de estudo da Cartografia, já os gráficos, não. Estes estão mais 
ligados à Matemática e, em particular, à Estatística. Isso porque grande parte dos gráficos 
tem origem nas propostas de Nicole Oresme (1323-1382) e René Descartes (1596-1650) 
para a descrição da posição de pontos no plano, base da Geometria Analítica. A partir daí, 
foi possível a elaboração de gráficos de relações e de funções na Matemática, explorados 
depois, também na Estatística.
Diante de um mapa ou de um gráfico, podemos nos interessar por um aspecto particular 
ou por um conhecimento global do assunto que está sendo representado. Assim, iniciamos a 
leitura identificando do que trata o mapa, a tabela ou o gráfico. Para isso, ficamos atentos ao 
título, que deve dizer “o quê”, “onde” e “quando” a respeito do tema, completando-se depois 
com outras informações que acompanham a tabela, o gráfico ou o mapa, principalmente a 
respectiva legenda que explica os significados das grandezas utilizadas.
Em seguida, já sabendo do que se trata, analisamos a representação gráfica, que será 
mais eficaz quanto mais nos revelar o conteúdo da informação que ela encerra. Uma tabela, 
um gráfico ou um mapa, portanto, será eficaz quando possibilitar ao usuário uma resposta 
visual e rápida às questões por ele colocadas. 
Diante de gráficos, podemos pensar principalmente em dois tipos de questão:
 •	 sobre	determinado	detalhe	(quanto	choveu	no	mês	de	abril	na	cidade	X?);
	 •	 sobre	o	conjunto	(qual	é	o	regime	anual	das	chuvas	na	cidade	X?).
Teremos essas questões em mente nas próximas atividades.
56
Matemática – 3a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
O climograma ou gráfico termopluviométrico
Muitas vezes, para uma análise comparativa de variáveis, combina-se, em um mesmo grá-
fico, a frequência acumulada porcentual (gráfico de linhas) com a frequência relativa (gráfico 
de barras). 
Uma aplicação muito comum dessa combinação é o climograma ou gráfico termopluviomé-
trico. A temperatura, por ser contínua, é representada por uma linha. Para a precipitação, como é 
acumulativa, utilizam-se as colunas. 
Um gráfico assim construído pode mostrar contrastes entre períodos secos e úmidos e, ainda, 
permitir a comparação entre vários regimes climáticos em vista de uma classificação estudada em 
Geografia.
A tabela seguinte apresenta dados baseados nas características do clima da cidade de Catalão, 
em Goiás. Nessa tabela, temos o índice de chuvas, em milímetros, e a temperatura média mês a 
mês, em grau Celsius.
Mês Índice de chuvas (mm) Temperatura média (°C)
Janeiro 299 23
Fevereiro 259 23
Março 223 23
Abril 96 22,5
Maio 28 21
Junho 7 19,5
Julho 12 20
Agosto 7 21,5
Setembro 58 23
Outubro 155 23,5
Novembro 210 23
Dezembro 37822,5
57
Matemática – 3a série – Volume 2
A observação dos dados dessa tabela permite tirar uma série de conclusões, principalmente 
aquelas que dizem respeito a uma análise detalhista, como, por exemplo, afirmar que a temperatura 
média de dezembro é 22,5 °C. 
No entanto, apesar de ser possível obter diversas conclusões com base nos dados registrados em 
tabelas, um gráfico, relacionando todas as informações, permite visualizar mais facilmente variações 
entre os elementos dos conjuntos. O gráfico seguinte, gerado a partir dos dados da tabela anterior, 
é o climograma da cidade pesquisada.
25
20
15
10
5
0
°C
299
J A J OF M A NM J
Climograma de Catalão
S D
259
223
96
28
7
índice de chuvas (mm)
12
58
155
210
378
7
400
350
300
200
250
100
150
50
0
23 23 23 2323 23,522,5
22,5
21,5
19,521 20
temperatura média (°C)
(m
m
)
 1. A respeito desse gráfico, responda:
	 a)	 Como	é	possível	relacionar	as	estações	do	ano	ao	índice	de	chuvas	apresentado	no	gráfico?
	 b)	 Quais	foram	as	temperaturas	média	máxima	e	média	mínima	no	ano?	Em	quais	meses	
elas	ocorreram?
 c) A amplitude de um conjunto de dados é definida como a diferença entre o maior e o 
menor valor do conjunto. Qual foi a amplitude do conjunto das temperaturas médias 
mensais	da	cidade	de	Catalão?
58
Matemática – 3a série – Volume 2
	 d)	 Qual	foi	a	temperatura	média	anual	da	cidade	de	Catalão?
 e) Relacionando as duas variáveis apresentadas no gráfico, responda: é verdade que chove mais 
nos	meses	mais	frios?	Justifique.
 2. Observe o climograma seguinte, construído com base em dados fictícios de outra cidade. 
Neste gráfico, como no anterior, o índice de chuvas é dado em milímetros e a temperatura, 
em grau Celsius.
117 119 114 117
139
12,5
14
20
24
27
20,5
28,5
22
17
28,5
13,5
147
122
89 96
122
106
180
100
140
60
160
80
120
40
20
0
J A J OF M A NM J S D
40
35
30
25
20
15
10
5
0
índice de chuvas (mm) temperatura média (°C)
°C(m
m
)
167
26,5
 A respeito dos dados representados nesse gráfico, responda:
59
Matemática – 3a série – Volume 2
	 a)	 A	cidade	em	questão	localiza-se	no	Hemisfério	Norte	ou	no	Hemisfério	Sul?	Por	quê?
	 b)	 Nos	meses	de	inverno	chove,	em	média,	mais	ou	menos	do	que	nos	meses	de	verão?
	 c)	 Qual	foi	a	temperatura	média	anual	dessa	cidade?
 d) A amplitude da variação dos valores médios mensais dos índices pluviométricos (valor 
máximo	–	valor	mínimo)	foi	maior	para	essa	cidade	ou	para	a	cidade	de	Catalão?
	 e)	 Como	as	características	climáticas	dessa	cidade	diferenciam-se	das	de	Catalão?	
 f ) O clima de Catalão é classificado como tropical semiúmido, cujas principais características são:
•	 temperaturas	elevadas	no	verão	e	amenas	no	inverno	(média	de	20	°C);	
•	 existência	de	duas	estações:	a	úmida	e	a	menos	úmida;	
•	 temperaturas	médias	mensais	altas	ao	longo	de	todo	o	ano;	
•	 reduzida amplitude térmica anual. 
60
Matemática – 3a série – Volume 2
 Caracterize o clima da cidade representada no gráfico anterior, comentando sobre as mesmas 
variáveis que definiram o clima tropical semiúmido para Catalão.
A distribuição da riqueza no Brasil
 3. Observe o gráfico que representa a distribuição de renda em nosso país.
Porcentual da população – 
crescimento da riqueza
46,9%
15,7%
7,3%5,7%4,5%3,4%2,5%
10% 50%30% 70%20% 60%40% 80% 90%
1% 3%
10%
Fonte: IBGE e Atlas da Exclusão Social.
 Pelo gráfico, podemos concluir que a distribuição da riqueza em nosso país mostra, por exem-
plo, que os 10% mais pobres da população brasileira detêm apenas 1% da renda nacional, e 
que os 20% mais pobres ficam com 3,5% (1% + 2,5%). Já os 10% mais ricos (acima de 90%) 
detêm 46,9% da renda nacional. Supondo a população brasileira igual a 200 milhões de habi-
tantes, e o Produto Interno Bruto (PIBa) brasileiro igual a 2,4 trilhões de reais, responda, com 
base no gráfico:
a O Produto Interno Bruto anual é a soma de todas as riquezas produzidas no país.
61
Matemática – 3a série – Volume 2
 a) Qual é o porcentual da renda nacional destinado aos 40% mais pobres da população 
brasileira?
 b) Qual é o PIB per capita do Brasil, isto é, em média, quanto da riqueza produzida anual-
mente	cabe	a	cada	brasileiro?
	 c)	 Qual	é,	em	reais,	a	parte	da	riqueza	nacional	destinada	aos	20%	mais	pobres	da	população?
 d) Qual é, em reais, a parte da riqueza nacional destinada a cada um dos brasileiros situados 
entre	os	20%	mais	pobres	da	população?
 e) Complete a tabela seguinte com o total da população brasileira por faixa de concentração 
de riqueza e com a renda per capita em cada faixa.
Renda per capita por faixa de riqueza
Porcentual mais pobre da 
população
Porcentual 
da riqueza
Valor absoluto 
da riqueza (R$) População
Renda per 
capita (R$)
Até 10%
Maior que 10% até 20%
Maior que 20% até 30%
Maior que 30% até 40%
Maior que 40% até 50%
 f ) Calcule a renda per capita dos 10% mais ricos da população brasileira e responda: 
Quantas vezes a renda per capita dos 10% mais ricos é maior do que a renda per capita 
nacional?
62
Matemática – 3a série – Volume 2
 g) Qual é a relação entre a renda per capita dos 10% mais ricos e a renda per capita dos 10% 
mais	pobres?
LIÇÃO DE CASA
A temperatura interna da casa
Uma das maneiras de avaliar o conforto e a viabilidade de um projeto de arquitetura residencial 
consiste em comparar a diferença entre a temperatura externa e a temperatura interna do imóvel. 
Adotando limites superior e inferior para as temperaturas, que correspondam, respectivamente, 
às condições de conforto máximo e mínimo, os arquitetos geram um gráfico em que registram as 
temperaturas de hora em hora, durante certo intervalo de tempo e, a partir dele e de outros fatores, 
julgam o nível de conforto do imóvel.
Um desses gráficos, representado a seguir, foi construído com base em dois dias, sendo um deles 
um dia de inverno e o outro um dia de verão. 
horas do dia
te
m
pe
ra
tu
ra
horas do dia
temperatura interior
temperatura interior
temperatura exterior
temperatura exterior
mínimo
conforto
máximo
conforto
 4. Analisando os gráficos, responda:
 a) Qual dos dois gráficos, o da direita ou o da esquerda, corresponde ao período medido du-
rante	o	verão?	Por	quê?
63
Matemática – 3a série – Volume 2
 b) O projeto em questão é, com base no conforto interno, mais adequado para o período de 
verão	ou	para	o	período	de	inverno?
64
Matemática – 3a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 
MÉDIA	ARITMÉTICA	E	DISPERSÃO:	QUAL	É	A	RELAÇÃO?
!
?
Atividade em grupo – Jogo do desvio médio
Neste jogo, você sorteará amostras, utilizará seus conhecimentos de cálculo proporcional, cal-
culará médias aritméticas e, por fim, aprenderá um importante conceito de Estatística: o conceito 
de dispersão. Leia as instruções a seguir e siga as orientações de seu professor.
Como é o jogo?
Cada grupo receberá um saquinho contendo determinado número de peças coloridas (esse nú-
mero será comunicado ao grupo pelo professor). O trabalho do grupo será descobrir o número de 
peças de cada cor, sem contá-las uma a uma, apenas efetuando amostragens.
Uma amostra é uma parte significativa da população. No caso do saquinho com as peças 
coloridas, uma amostra pode ser composta de certo número de peças, retiradas ao acaso. 
Cada grupo deverá:
•	 sortear	amostras	várias	vezes,	registrando	o	número	de	peças	de	cada	cor	a	cada	retirada;	
•	 colocar de volta no saquinho as peças de uma amostra, misturando-as bem às demais, antes 
de	realizar	a	próxima	amostra;
•	 organizar	os	resultados	conforme	forem	sendo	obtidos,registrando-os	em	uma	tabela;
•	 discutir	e	resolver	como	farão	a	previsão	sobre	o	número	total	de	peças	de	cada	cor	no	saquinho;
•	 desenhar um gráfico de barras para apresentar os resultados finais, isto é, a previsão sobre as 
quantidades de peças de cada cor no saquinho, semelhante, por exemplo, ao gráfico seguinte:
Depois que todos os grupos desenharem os gráficos, deverão avaliar qual grupo conseguiu a 
melhor previsão, isto é, aquela que mais se aproximou dos valores reais das peças coloridas contidas 
no saquinho. Seu professor orientará os grupos sobre as próximas etapas.
65
Matemática – 3a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 1. Observe o alvo desenhado a seguir, sobre o qual duas pessoas, A e B, atiraram 20 dardos 
cada uma. Os resultados obtidos por esses atiradores foram registrados na tabela.
10
20
30
50
Atirador
Resultados
50 30 20 10 0
A 4 6 5 4 1
B 6 3 5 3 3
	 a)	 Qual	é	a	média	de	pontos	por	tiro	de	cada	um	dos	atiradores?
66
Matemática – 3a série – Volume 2
 b) Compare os desvios médios (DM) de cada uma das séries de tiros e decida qual é o atirador 
com o desempenho mais regular.
 2. O gráfico a seguir foi construído pelo síndico de um condomínio para analisar o consumo 
de energia dos proprietários.
Consumo por residência (kWh)
20
68
no de casas
consumo (kWh)
80
60
40
20
70
200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800
50
30
10
0
31
17
12 9
3 2
	 a)	 Qual	é	o	número	total	de	residências	pesquisadas?
	 b)	 Quantas	residências	consomem	1	400	kWh	ou	menos?
67
Matemática – 3a série – Volume 2
 c) Considere que, em cada faixa, o consumo de todas as residências seja igual ao ponto médio 
entre os extremos do intervalo. Assim, por exemplo, todas as 20 residências da primeira 
faixa consomem 300 kWh, que é o valor médio entre 200 e 400 kWh. Nessas condições, 
complete a tabela e, em seguida, determine, com base nos valores tabelados, o consumo 
médio e o desvio médio do consumo de eletricidade das famílias do condomínio.
Faixa de 
consumo 
(kWh)
[200, 
400[
[400,
600[
[600, 
800[
[800,
1 000[
[1 000, 
1 200[
[1 200,
1 400[
[1 400,
1 600[
[1 600, 
1 800[
Frequência
(no de casas)
 
Obs.: representação de intervalo real [a, b[.
intervalo fechado 
à esquerda
intervalo aberto 
à direita
 3. Em duas empresas, A e B, a distribuição dos salários pagos aos funcionários é representada 
na tabela seguinte:
Salários (R$)
Número de funcionários
Empresa A Empresa B
1 000,00 6 4
2 000,00 8 9
3 000,00 12 14
4 000,00 16 11
5 000,00 6 8
6 000,00 2 4
Total 50 50
68
Matemática – 3a série – Volume 2
 Em qual das duas empresas é maior:
	 a)	 o	valor	médio	dos	salários?	Quanto	a	mais?
	 b)	 o	desvio	médio	dos	salários	pagos?	Quantos	por	cento	a	mais?
69
Matemática – 3a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 
A CURVA NORMAL E O DESVIO PADRÃO: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
!
?
Leitura e análise de texto
Introdução à leitura e interpretação da curva normal
Considerando, ao acaso, 900 pessoas de uma cidade qualquer para, em seguida, medir 
a pressão arterial de cada uma delas e desenhar um gráfico com os resultados, obteria-se, 
sem dúvida, algo igual ou muito parecido com o seguinte gráfico.
50 130
0
80
40
120
20
100
60
140
160
Fr
eq
uê
nc
ia
90 17070 150110 190 210
Pressão sistólica (em mmHg)
A certeza que temos, nesse caso, deve-se ao fato de que a variável “pressão arterial” é, 
como tantas outras, uma variável normal 1.
A pressão arterial de praticamente 100% das pessoas varia em uma faixa que vai de 
50 a 210 milímetros de mercúrio (mmHg) ou, como é mais comum, de 5 a 21 cmHg. 
Mas, como ocorre com todas as variáveis normais, há poucas pessoas com pressão san-
guínea próxima dos extremos e muitas com valores próximos do valor central, no caso, 
igual a 13 cmHg. 
Observe, por meio dos pontilhados assinalados no gráfico, que, entre as 900 pessoas, 
cerca de 80 têm pressão igual a 160 mmHg, enquanto 140 pessoas têm pressão igual a 
130 mmHg.
 Com base nos dados representados nesse gráfico, faça o que se pede a seguir.
1 À ação de bombear sangue dá-se o nome de sístole. A cada batimento cardíaco, o sangue corre pelas artérias e arterío-
las à máxima pressão – pressão sistólica. Segue-se depois uma pausa muito breve, denominada diástole, que ocorre 
entre os batimentos cardíacos, quando a pressão é mínima. Esse período recebe o nome de pressão diastólica. 
Pressão arterial sistólica	(PAS)	é	o	maior	valor	verificado	durante	a	aferição	de	pressão	arterial.	Exemplo:	120 x 80;	em	
que 120 refere-se à pressão arterial sistólica e 80 refere-se à pressão arterial diastólica, ambas medidas em milímetros de mer- 
cúrio (mmHg). (Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/saude/pressao-arterial.htm>. Acesso em: 3 jan. 2014.)
70
Matemática – 3a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 1. Complete a tabela com os valores aproximados do número de pessoas da população repre-
sentada no gráfico com cada valor de pressão.
Pressão 
(mmHg) 
Frequência 
(no de pessoas)
Pressão 
(mmHg)
Frequência 
(no de pessoas)
50 140
60 150
70 160
80 170
90 180
100 190
110 200
120 210
130 220
 2. Com a ajuda de uma calculadora e com base nos dados apresentados na tabela da atividade 
anterior, determine, para a variável pressão sanguínea dessa população, o valor da:
	 a)	 moda,	isto	é,	o	valor	mais	frequente	da	distribuição	de	dados;	
	 b)	 mediana,	isto	é,	o	valor	central	da	distribuição	ordenada	dos	dados;	
71
Matemática – 3a série – Volume 2
 c) média aritmética.
 3. Localize, no gráfico apresentado anteriormente na seção Leitura e análise de texto, os valores 
obtidos para moda, mediana e média aritmética, e responda: Há muita ou pouca diferença 
entre	esses	valores?
 4. Aproximadamente, qual porcentagem da população analisada tem pressão sanguínea maior 
ou	igual	à	mediana	de	130	mmHg?	
 5. Se uma pessoa dessa população for sorteada, qual é a probabilidade, de acordo com os da-
dos da tabela apresentada na atividade 1, de ela possuir pressão sanguínea menor ou igual 
a	100	mmHg?
Leitura e análise de texto
Desvio padrão de uma distribuição de dados
O desvio padrão (DP) é uma medida de dispersão de um conjunto de dados, ou seja, 
é um número que mostra, de acordo com determinado modo de interpretar, quanto os 
elementos do conjunto estão próximos ou afastados da média aritmética dos valores desse 
conjunto. O desvio padrão está relacionado a uma curva bastante importante na análise de 
dados estatísticos: a curva normal.
72
Matemática – 3a série – Volume 2
A curva normal, também conhecida por curva de Gauss, tem um formato que reflete, 
visualmente, a distribuição de uma variável analisada em uma população. A maior con-
centração de valores da variável analisada próximos da média aritmética da população, e 
também a igualdade teórica entre média aritmética, mediana e moda são as responsáveis 
pela forma assumida pelo gráfico de frequências, quase igual a um sino, conforme pode-
mos perceber na figura a seguir.
Média aritmética, mediana e moda
y
x0
A concentração de valores em torno dos valores médios, no entanto, pode ser maior ou 
menor, como podemos observar nos gráficos seguintes, desenhados com a mesma escala.
1
2
3
A observação dessas curvas nos mostra que todas possuem valores médios iguais – média 
aritmética, moda e mediana –, mas possuem dispersões diferentes. A curva 1 é, entre essas, a 
que possui menor dispersão, enquanto a curva 3 é a que apresenta maior dispersão. Assim, é de 
se esperar que, se forem calculados os desvios padrão das distribuições que geraram essas curvas, 
o maior valor de desvio, entre todos,será o obtido para a curva 3, e o menor, para a curva 1. 
Mas	qual	é	a	relação	entre	o	formato	da	curva	normal	e	o	desvio	padrão?	Para	compreender	um	
pouco essa relação, precisamos aprender a calcular o desvio padrão de um conjunto de dados. 
Consideremos, por exemplo, os seguintes valores de alguma variável que estejamos 
analisando, e vamos obter o desvio padrão desse conjunto de dados.
{1, 4, 6, 7, 12}
O primeiro passo no cálculo do desvio padrão é a obtenção da média aritmética do 
conjunto de valores.
73
Matemática – 3a série – Volume 2
Média aritmética = 1 + 4 + 6 + 7 + 12
5
= 30
5
 = 6
Em seguida, calculamos a diferença entre cada valor do conjunto e a média obtida.
VOCÊ APRENDEU?
 6. Para os valores do conjunto seguinte, determine a média aritmética e o desvio padrão.
{4, 5, 6, 7, 8}
Diferenças: 1 – 6 = –5
 4 – 6 = –2
 6 – 6 = 0
 7 – 6 = 1
 12 – 6 = 6
Elevamos cada diferença ao quadrado, somamos todos os resultados e calculamos a 
média aritmética entre eles:
Média da soma dos quadrados das diferenças
(–5)2 + (–2)2 + 02 + 12 + 62
5
 = 66
5
 = 13,2
Por fim, extraímos a raiz quadrada do valor anteriormente obtido e determinamos o 
desvio padrão (DP) desse conjunto de valores.
DP = ® 
____
 13,2 ≅ 3,63
Podemos resumir os passos realizados na seguinte expressão, em que a média é iden-
tificada por 
_
 x e cada um dos n elementos do conjunto de valores por xi:
O cálculo do desvio padrão de um conjunto de muitos valores é trabalhoso e exige a 
utilização de uma calculadora científica. A tecla usada para isso é, normalmente, apresen-
tada com o símbolo σ (sigma). Dessa forma, não é com o cálculo do desvio padrão que 
devemos nos preocupar, mas, sim, com sua correta interpretação. 
74
Matemática – 3a série – Volume 2
 7. Comparando a média aritmética e o desvio padrão dos conjuntos {1, 4, 6, 7, 12}, analisado 
na seção Leitura e análise de texto, e {4, 5, 6, 7, 8}, da atividade anterior, discuta as diferenças 
e semelhanças entre esses resultados.
 8. Considere duas amostras de 100 pessoas cada, em que todas responderam à pergunta: 
“Qual	é	seu	número	de	horas	diárias	de	sono?”.
 Os dados obtidos com as respostas foram organizados e, em seguida, calcularam-se a média e 
o desvio padrão de cada amostra. 
Amostra Média (horas) Desvio padrão (horas)
A 6,5 1,2
B 6,9 0,8
 Em qual das duas amostras, A ou B, os valores das horas diárias de sono das pessoas estão 
mais	afastados	da	média?	Por	quê?
75
Matemática – 3a série – Volume 2
 9. As massas dos alunos de uma escola de Ensino Médio distribuem-se normalmente, com mé-
dia aritmética igual a 62,5 kg e desvio padrão igual a 1,2 kg. Se no intervalo entre 62,5 kg e 
62,5 + 1,2 = 63,7 kg encontramos aproximadamente 34% dos alunos da escola, qual é a por-
centagem	de	alunos	que,	provavelmente,	encontram-se	entre	62,5	kg	e	62,5	–	1,2	=	61,3	kg?	
Por	quê?
 10. Observe a curva normal desenhada para a análise de determinada variável populacional.
3
1
2
0
2,5
0,5
60 10080 12070 11090 130 140
1,5
 Vamos desenhar sob a curva um triângulo isósceles que tenha, aproximadamente, área de 
valor igual à da região compreendida entre a curva e o eixo horizontal.
3
1
2
0
2,5
0,5
60 10080 12070 11090 130 140
1,5
%
%
76
Matemática – 3a série – Volume 2
 Vamos desenhar também um trapézio que tenha altura igual ao valor estimado do desvio 
padrão dessa distribuição de valores.
3
1
2
0
2,5
0,5
60 10080 12070 11090 130 140
1,5
 Determine, de acordo com os valores representados nos eixos horizontal e vertical:
	 a)	 o	valor	aproximado	do	desvio	padrão	dessa	distribuição;
	 b)	 a	medida	da	área	do	triângulo;
 c) a medida da área do trapézio.
 11. Em relação aos valores das áreas do triângu-
lo e do trapézio, determinados na atividade 
anterior, avalie se seriam iguais ou diferen-
tes caso a distribuição, mantendo-se nor-
mal, apresentasse um maior valor de desvio 
padrão, de maneira que o gráfico fosse mais 
“achatado”, semelhante ao da figura a seguir:
%
3
1
2
0
2,5
0,5
60 10080 12070 11090 130 140
1,5
%
77
Matemática – 3a série – Volume 2
 Atividade em grupo – Tratando dados e construindo o gráfico de frequências 
de uma variável normal
 Todas as alunas de uma escola de Ensino Médio tiveram sua altura medida pelo professor de 
Educação Física. Os resultados são apresentados na tabela seguinte.
1,46 1,57 1,60 1,63 1,66 1,69
1,48 1,57 1,60 1,63 1,66 1,69
1,48 1,57 1,60 1,63 1,66 1,70
1,50 1,58 1,60 1,63 1,66 1,70
1,50 1,58 1,61 1,63 1,66 1,70
1,51 1,58 1,61 1,63 1,66 1,70
1,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,70
1,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,70
1,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,70
1,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,71
1,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,71
1,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,71
1,53 1,58 1,61 1,64 1,66 1,71
1,53 1,58 1,61 1,64 1,66 1,71
1,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,71
1,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,72
1,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,72
1,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,72
1,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,72
1,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,72
1,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,72
1,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,73
1,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,73
1,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,73
1,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,73
1,54 1,58 1,62 1,64 1,67 1,73
1,54 1,59 1,62 1,64 1,67 1,73
1,54 1,59 1,62 1,64 1,67 1,74
1,55 1,59 1,62 1,64 1,67 1,74
1,55 1,59 1,62 1,64 1,67 1,74
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,76
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,76
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,77
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,78
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,78
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,78
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,80
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68
1,55 1,59 1,62 1,65 1,68
1,56 1,60 1,63 1,65 1,68
1,56 1,60 1,63 1,65 1,68
1,56 1,60 1,63 1,65 1,68
1,56 1,60 1,63 1,65 1,68
1,56 1,60 1,63 1,65 1,68
1,56 1,60 1,63 1,65 1,69
1,56 1,60 1,63 1,65 1,69
1,56 1,60 1,63 1,65 1,69
1,56 1,60 1,63 1,65 1,69
1,57 1,60 1,63 1,66 1,69
1,57 1,60 1,63 1,66 1,69
1,57 1,60 1,63 1,66 1,69
1,57 1,60 1,63 1,66 1,69
1,57 1,60 1,63 1,66 1,69
78
Matemática – 3a série – Volume 2
 Com base nos dados apresentados na tabela, faça o que se pede.
 I. Distribua os dados em intervalos de classes de 4 cm de amplitude cada um, isto é, o primeiro 
intervalo	deve	abranger	alturas	de	1,46	m	a	1,49	m;	o	segundo	intervalo	pode	abranger	alturas	
de	1,50	m	a	1,53	m;	o	terceiro	intervalo,	alturas	de	1,54	m	a	1,57	m,	e	assim	por	diante.
 II. Construa uma tabela organizada contendo as classes, as frequências, os porcentuais de frequência, 
a frequência acumulada e o porcentual de frequência acumulada.
 III. Construa um histograma e um gráfico de frequências acumuladas.
 IV. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda.
 V. Calcule o desvio padrão.
 VI. Avalie a possibilidade de aproximar a distribuição dos dados da distribuição normal. Como 
fazer	isso?	Calculando	o	coeficiente de assimetria (C.A.) da curva, da seguinte maneira:
C.A. = 3( 
_
 x – mediana) _____________ desvio padrão 
 Se o valor absoluto desse coeficiente for menor que 1, a assimetria é moderada, e, se for maior 
que 1, a assimetria é forte.
 VII. Elabore um pequeno relatório contendo resultados calculados, gráficos e comentários finais 
sobre a variável analisada.
VOCÊ APRENDEU?
Probabilidades e curva normal
 Para resolver as atividades 12 a 16, consulte a tabela presente no final desta Situação de Aprendizagem.
 12. A média das idades da população da cidade 1 é igual à média das idades da população da cidade 2. 
No entanto, o desvio padrão das idades da população da cidade 1 é o dobro do valor do 
desvio padrão das idades da população da cidade 2. 
 a) Qual é a porcentagem de pessoas da cidade 1 que têm idades no intervalo compreendido 
entre	a	média	e	dois	desvios	padrão	acima	da	média?